TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề số 16) Câu (2,5 điểm) − x2 + x − Cho hàm số (C) : y = x −1 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M ∈ (C) để tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ Từ điểm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C’) : y = x − 6x + 9x − Câu (1,5 điểm) Giải phương trình: Giải hệ phương trình: Câu (1,5 điểm) Giải phương trình: 3.25 x −2 + ( 3x − 10 ) x −2 = x − sin x + sin y =  cos x + cos y = log x ( cos x − sin x ) + log ( cos x + cos x ) = ( ) ( x ) Giải bất phương trình: x + + x + + x x + > Có số tự nhiên gồm chữ số cho số chữ số đứng trước lớn chữ số đứng liền sau Câu (2 điểm) Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) mp(P):3x – 8y + 7z – = Tìm toạ độ điểm C ∈ (P) cho ∆ABC tam giác Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hãy xác định góc hợp cạnh đối diện tứ diện Câu (2,5 điểm) Tính : I = π /4 ∫ x sin x dx cos3 x ; J = ∫ x x − x + 2dx Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: 1 a+b+c + + ≤ a + bc b + ac c + ab 2abc Cho z = − 1 3 + i , Hãy tính : ; z; z ;(z) ;1 + z + z z 2 (Hết) Câu I HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 16) Nội dung Ý b Tìm M ∈ (C) để tổng khoảng cách đến tiệm cận nhỏ X = −x + 4 ⇔ Y = X + Với  x −1 X Y = y TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) = | X −Y | 4 | X |+ =| X | + ≥ = 27 Dấu "=" xảy ⇔ |X| 2 y = −x +1−  Điểm 2.5 0,75 0.25 0.5 4 | X |= ⇔ X2 = ⇔ X = ± 23 ⇔ x = ± 23 |X| 2 • Gọi M(2; m) ∈ d1: x = Khi đt d ∋ M ⇒ d: y = k(x -2) + m Để đt d tiếp xúc với  x − x + x − = k ( x − 2) + m (C’) ⇔ hệ:  có nghiệm 3 x − 12 x + = k ⇔ 2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m = (1) có nghiệm • Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) số nghiệm Pt (1) • Xét hàm số y = 2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m ⇒ y’ = 6(x-2)2 ≥ ∀x ⇒ Hàm đồng biến ⇒ Pt (1) có nghiệm ⇒ từ điểm đt x = kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C’) II 0,25 0,5 1,5 Giải phương trình: 3.25 x −2 + ( 3x − 10) ( 0,75 x −2 ) ( = x−3 ) ( ) ⇔ x−2 3.5 x−2 − + x 3.5 x −2 − − 3.5 x−2 − = ( )( 0.25 ) ⇔ 3.5 x −2 − x −2 + x − = B 3.5 x−2 − = (1) ⇔  x−2 5 + x − = ( 2) Q M (1) ⇔ 5x−2 = ⇔ x = + log5 = − log5 3 x−2 ( 2) ⇔ = − x + Vế trái hàm đồng biếnAvế phải hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = nên nghiệm Vậy Pt có nghiệm là: x = − log x = 0.25 0.25 C1 Giải hệ phương trình: P 0,75 C2 sin x + sin y = ⇒ ( sin x + cos x ) + ( sin y + cos y ) = 2 ⇔  cos x + cos y = 0.25 π   π  cos x −  = x = + k 2π   4 π π     cos x −  + cos y −  = ⇔  ⇔ 4 4 π     cos y −  =  y = π + l 2π    4 0.25 Thử lại thấy nên: π  x = + k 2π  nghiệm hệ phương trình  π  y = + l 2π  0.25 III 1,5 0,5 Giải phương trình: log x ( cos x − sin x ) + log ( cos x + cos x ) = x 0 < x ≠  Điều kiện: cos x − sin x > cos x + cos x >  Khi Pt 0.25 π  ⇔ cos x = − sin x ⇔ cos x = cos x +  2  π π   x = + k 2π x = x + + k π     2 ⇔ ⇔ π 2 x = − x − + k 2π  x = − π + k 2π     Kết hợp với điều kiện ta được: x = − Giải bất phương trình: (x ) ( ) 0.25 π k 2π + (Với k ∊ N*) ( ) 0,5 + + x + + 3x x + > ⇔ x + x + x + x + > ⇔ t + 3t + > Đặt t = x x + ≥ − 0.25  t ≥ − 2  ⇔ ⇔ t ≥ − ⇔ x x + ≥ − ⇔ x ≥ −1 t > − 3    t < −2 0.25 3 Trong 10 chữ số từ đến có tât C10 tập gồm chữ 0,5 0,25 số khác Trong tập có cách xếp số có chữ số mà chữ số đứng trước lớn chữ số đứng liền sau Vậy có tất C10 = 252 số IV 0,25 2.0 Xác định tọa độ điểm C ∈ (P) cho ∆ABC Để ∆ABC tam giác ⇒ đường cao MC = AB / = Gọi M trung điểm AB ⇒ M(1; 0; - 2) Gọi (Q) mf qua M vuông góc với AB ⇒ (Q): x + z + = Gọi d = (P) n (Q) ⇒  x = −2 − 2t 3 x − y + z − =  d : ⇔ y = t x + z + =  z = + 2t  1.0 0,25 0,25 ⇒ C ∈ d ⇒ C(-2 - 2t; t; + 2t) uuur 2 ⇒ MC = ( −3 − 2t; t ;3 + 2t ) ⇒ MC = ⇔ ( + 2t ) + t + ( + 2t ) = ⇔ 9t + 24t + 12 = ⇔ 3t + 8t + = ⇔ t1 = −2; t2 = −2 /  2 1 ⇒ C1 ( 2; −2; −3) , C2  − ; − ; − ÷  3 3 0,25 0.25 Xác định góc hợp cạnh đối diện tứ diện Lấy E, F, G trung điểm AB, CD, AC ta có: GE = GF = c/2 ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB ⇒ FA = FB = AC + AD − CD 2b + 2c − a = 4 1.0 0.25 FE trung tuyến ∆FAB nên: FA2 + FB − AB b + c − a FE = = 0.25 Gọi  góc tạo AD BC ta có : c2 b2 + c2 − a2 − | | GE + GF − FE | 2 cos α = | cos( GE , GF ) | = = 2GE.GF c2 0.25 2 2 |a −b | |a −b | Vậy cos α = = c c2 | Tương tự gọi  góc tạo CD, AB DB, AC ta có: cos β = | b2 − c2 | | c2 − a2 | , cos γ = a2 b2 0.25 A E G B D F C 0,5 Trong 10 chữ số từ đến có tât C tập gồm chữ số khác 0,25 Trong tập có cách xếp số có chữ số mà chữ số đứng trước lớn chữ số đứng liền sau Vậy có tất C9 = 126 số 0,25 V 2,5 0,5 u = x du = dx   Đặt:  d cos x ⇒  dv = − v =   cos3 x 2.cos x π /4 π x dx π ⇒I= = − tgx − 2 ∫ 2cos x cos x 2 0,25 π /4 = π − 0,25 1,0 J = ∫ x x − x + 2dx Đặt: x - = tgt dx = dt ; cos t x2 − 2x + = cos t tgt + ⇒J= ∫ dt = π cos t − = 3cos3 t sin t =u J1 = 0 π − 4 + J1 = 0,25 ∫ − π sin t dt + cos t ( ∫ − π dt cos3 t ) 1 − 2 + J1 du ∫ (1− u) (1+ u) − 2 = (1− u +1+ u) ∫ (1− u) (1+ u) 0,25 2 du = −  0 1 du du du  ∫ + ∫ +2 ∫ 2  (1− u) (1+ u) (1− u) (1+ u) − − − 2   ÷ ÷ ÷  1 1 1+ u  1 u 1+ u  =  − + 2ln = + 2ln  2 1− u 1+ u 1− u ÷ 1− u ÷  − 1− u −2 1 −1 =  − 2ln ÷= 4 +1 ( + 4ln ( )) 0,25 0,25 −1 1,0 1 a+b+c + + ≤ 2abc a + bc b + ac c + ab 1 a + bc ≥ 2a bc ⇒ ≤ a + bc 2a bc 1 ≤ Ta có: b + ca ≥ 2b ca ⇒ b + ca 2b ca 1 c + ab ≥ 2c ab ⇒ ≤ c + ab 2c ab 1 1 1 ⇒ + + ≤ + + a + bc b + ca c + ab 2a bc 2b ca 2b ca b+c c+a a+b + + bc + ca + ab 2 = a+b+c = ≤ abc 2abc 2abc Dấu “=” xảy a = b = c 0.5 0.5 ...Câu I HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 16) Nội dung Ý b Tìm M ∈ (C) để tổng khoảng cách đến tiệm cận nhỏ X = −x + 4 ⇔ Y = X + Với