TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN KHOA KINH TẾ -o0o - Phạm Thị Oanh Bài giảng TOÁN KINH TẾ Buôn Ma Thuột, tháng 09 năm 2007 http://wwwebook.edu.vn 85 MỤC LỤC Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Mô hình 1.1.2 Mô hình toán 1.1.3 Mô hình toán kinh tế 1.2 Cấu trúc mô hình toán kinh tế 1.2.1 Các biến số 1.2.2 Mối quan hệ biến số 1.2.3 Phân loại mô hình toán kinh tế 1.3 Các bước thành lập mô hình 1.3.1 Đặt vấn đề 1.3.2 Mô hình hóa 1.3.3 Phân tích mô hình 1.3.4 Giải thích kết 1.4 Một số phương pháp phân tích sử dụng mô hình 1.4.1 Đo lường thay đổi biến nội sinh theo biến ngoại sinh 1.4.2 T ính hệ số thay 1.4.4 Vấn đề tăng quy mô hiệu Chương 2: PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH Error! Bookmark not defined 2.1 Mô hình thị trường Error! Bookmark not defined 2.2.1 Mô hình thị trường loại hàng hóa – mô hình tuyến tính Error! Bookmark not defined 2.2.2 Mô hình thị trường loại hàng hóa- mô hình phi tuyến Error! Bookmark not defined 2.2.3 Mô hình thị trường nhiều loại hàng hóa Error! Bookmark not defined 2.2 Cân mô hình thu nhập quốc dân Error! Bookmark not defined 2.2.1 Mô hình giản đơn Error! Bookmark not defined 2.2.2 Mô hình thu nhập quốc dân có tính đến thuế Error! Bookmark not defined Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Error! Bookmark not defined 3.1 Ứng dụng đạo hàm phân tích kinh tế Error! Bookmark not defined 3.1.1 Mối quan hệ chi phí biên chi phí trung bình Error! Bookmark not defined 3.1.2 Mối quan hệ doanh thu biên doanh thu trung bình Error! Bookmark not defined 3.1.3 ứng dụng đạo hàm riêng phân tích kinh tế Error! Bookmark not defined 3.2 ứng dụng vi phân phân tích kinh tế Error! Bookmark not defined 3.2.1 Vi phân tổng Error! Bookmark not defined 3.2.2 Hệ số co giãn Error! Bookmark not defined Chương 4: TỐI ƯU HÓA SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG 10 4.1.1 Bài toán sản xuất 10 4.2.1 Mô hình toán 12 4.2.2 Kiểm tra tính cực trị đạo hàm 13 4.2.3.Ứng dụng phân tích kinh tế 14 4.3 Trường hợp toán có nhiều biến lựa chọn 15 4.3.1 Trường hợp toán có biến 15 4.3.1.1 Trường hợp toán có biến – sử dụng vi phân để khảo sát tính cực trị 15 4.3.1.2 Dùng vi phân để khảo sát cực trị hàm biến 15 4.3.2 Bài toán có nhiều biến lựa chọn 17 http://wwwebook.edu.vn 86 4.3.2.1 Bài toán có biến lựa chọn 17 4.3.2.2 Bài toán có n biến lựa chọn 19 4.3.3 ứng dụng phân tích kinh tế 20 4.3.3.1 Tìm lợi nhuận cực đại doanh nghiệp sản xuất nhiều loại sản phẩm thị trường cạnh tranh hoàn hảo 20 4.3.3.2 Tìm lợi nhuận cực đại doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm thị trường cạnh tranh không hoàn hảo 21 4.4 Tối ưu hóa với ràng buộc đẳng thức 25 4.4.1 Ảnh hưởng ràng buộc 25 4.4.1.1 Ví dụ 25 4.4.1.2 Liên hệ với cực trị tự 26 4.4.2 Phương pháp nhân tử Lagrange 26 4.4.2.1.Bài toán biến 26 Mức lợi ích cực đại mà người tiêu dùng đạt 611 đơn vị 28 4.4.2.2 Bài toán n biến 28 4.4.3.Ứng dụng phân tích kinh tế 29 4.4.3.1.Tối ưu hóa lợi ích nhu cầu người tiêu dùng 29 4.4.3.2 Tổ hợp chi phí tối thiểu đầu vào sản xuất 31 Chương 5: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 33 5.1 Một số ví dụ dẫn đến toán QHTT 33 5.1.1 Bài toán lập phần thức ăn 33 5.1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 34 5.1.3.Bài toán phối hợp sử dụng tài nguyên nông nghiệp 35 5.1.4 Bài toán phân bổ vốn đầu tư 36 5.2 Bài toán QHTT 37 5.2.1 Bài toán QHTT tổng quát 37 5.2.2 Các dạng toán QHTT 38 5.3.Phương pháp đồ thị 41 5.4 Phương pháp đơn hình 42 5.4.1 Xây dựng bảng đơn hình xuất phát 43 5.4.2 Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu 43 5.4.3 Cải tiến P.A 44 5.5 Bài toán M 47 5.6 Bài toán đối ngẫu 49 5.6.1 Ví dụ toán đối ngẫu 49 5.6.2 Cách viết toán đối ngẫu 51 5.6.3 Các tính chất toán đối ngẫu 52 5.6.4 Tìm lời giải tối ưu toán gốc thông qua lời giải tối ưu toán đối ngẫu 53 5.7 Phân tích đối ngẫu Error! Bookmark not defined 5.7.1.Ví dụ Error! Bookmark not defined 5.7.2 Phân tích lời giải tối ưu Error! Bookmark not defined 5.7.3 Phân tích tình hình sử dụng nguồn lực Error! Bookmark not defined 5.7.4 Giá đối ngẫu Error! Bookmark not defined Chương 6: BÀI TOÁN VẬN TẢI 56 6.1 Giới thiệu toán vận tải 56 6.1.1 Đặt toán 56 6.1.2 Lập mô hình toán 57 6.1.3.Ví dụ thực tế toán vận tải 59 6.1.4 Các trường hợp toán vận tải 60 6.2 Sử dụng phương pháp vị để giải toán vận tải 62 6.2.1 Tìm phương án xuất phát ban đầu 62 http://wwwebook.edu.vn 87 6.2.1.1 Phương pháp Tây – Bắc 63 6.2.1.2 Phương pháp chi phí tối thiểu 64 6.2.1.3 Phương pháp Volgel 65 6.2.2 Kiểm tra điều kiện tối ưu, tìm ô vào tập hợp ô chọn 68 6.2.2.1 Xây dựng hệ thống vị ui vj (ui ≠ vj) 68 6.2.2.2 Tiêu chuẩn tối ưu 68 6.2.2.3 Tìm ô vào tập hợp ô chọn 68 6.2.3 Tìm ô khỏi tập hợp ô chọn Cải tiến P.A 68 6.2.3.1 Xác định vòng điều chỉnh 68 6.2.3.2.Đánh dấu (+) (-) cho vòng điều chỉnh 69 6.2.3.3 Ô khỏi tập hợp ô chọn 69 6.2.3.4 Cải tiến phương án 69 6.3 Các dạng khác toán Vận tải 72 6.3.1 Bài toán vận tải có ô cấm 72 6.3.2 Trường hợp toán có hàm mục tiêu → max 74 BÀI TẬP (7 tiết) 78 http://wwwebook.edu.vn 88 Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Mô hình Có nhiều quan niệm mô hình đối tượng từ hình thức đơn giản, trực quan đến hình thức khái quát, có sử dụng khái niệm toán học trừu tượng Với yêu cầu bước đầu làm quen với phương pháp mô hình, đề cập đến quan điểm đơn giản mô hình Theo quan điểm : “Mô hình đối tượng phản ánh thực khách quan đối tượng, hình dung tưởng tượng đối tượng ý nghĩ người nghiên cứu việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý nghĩ qua lời văn , chữ viết, sơ đồ, hình vẽ…hoặc ngôn ngữ chuyên ngành” Mô hình phụ thuộc vào yếu tố: + Trình độ nhận thức người nghiên cứu + Phương pháp diễn đạt người nghiên cứu Nội dung phương pháp mô hình bao gồm: + Xây dựng, xác định mô hình đối tượng Quá trình gọi mô hình hóa đối tượng + Dùng mô hình làm công cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu Quá trình gọi phân tích mô hình 1.1.2 Mô hình toán Nói mô hình toán kinh tế, trước hết phải hiểu "Mô hình toán gì?" Một cách đơn giản hiểu mô hình toán mô tả tượng ngôn ngữ toán Theo cách hiểu gặp nhiều mô hình toán từ bắt đầu làm quen với môn toán Có thể nêu ví dụ đơn giản Xét toán sau “Một người từ A đến B với vận tốc 5km/h, hỏi thời gian cần thiết để tới B quãng đường từ A đến B dài 10km” Các yếu tố miêu tả toán tượng Để giải toán diễn đạt theo ngôn ngữ toán sau: “Gọi khoảng cách từ A đến B s, vận tốc người v Thời gian cần thiểt từ A đến B t Khi ta có quan hệ sau: s=vt” Quan hệ (phương trình) nhận miêu tả xác tượng nêu toán Có thể gọi mô hình toán Với mô hình nhận ta không giải toán cụ thể mà giải lớp toán khác http://wwwebook.edu.vn 1.1.3 Mô hình toán kinh tế “Là mô hình toán ứng dụng phân tích kinh tế” Một câu hỏi đặt là, tượng mô tả theo ngôn ngữ toán học? Toán học có ứng dụng nhiều thực tế Từ vấn đề đơn giản ví dụ đến phức tạp vấn đề tự nhiên, xã hội Ở đề cập đến ứng dụng toán học kinh tế Một vấn đề kinh tế quan hệ sản xuất, mối liên hệ chi phí khối lượng sản phẩm tạo Quan hệ miêu tả hàm số y=f(x), x nguyên liệu đầu vào, y sản phẩm tạo Có nhiều câu hỏi đặt -Tìm cách kết hợp nguyên liệu đầu vào để thu nhiều sản phẩm f(x)->max - Trong điều kiện giá thị trường mặt hàng y p, giá nguyên liệu x q, có lượng vốn định Tìm cách tối ưu hóa lợi nhuận u = ypxq Bên cạnh nhiều vấn đề khác trình hình thành giá điều kiện cạnh tranh tự độc quyền, việc phân bố hàng hóa, đổi công nghệ sản xuất Việc sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả áp dụng phương pháp suy luận, phân tích toán học kế thừa thành tựu lĩnh vực lĩnh vực khoa học có liên quan Đối với vấn đề phức tạp có nhiều mối quan hệ đan xen mà cần nghiên cứu, phân tích mặt định tính lẫn định lượng phương pháp suy luận thông thường, phân tích đơn giản không đủ hiệu lực để giải Chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học Đây điểm mạnh mô hình toán kinh tế 1.2 Cấu trúc mô hình toán kinh tế 1.2.1 Các biến số Biến biểu ngôn ngữ toán học yếu tố, tiêu hay mặt đối tượng hay vấn đề kinh tế cần nghiên cứu để mô tả phân tích tượng mặt định lượng, ta phải xem xét lựa chọn số yếu tố đặc trưng cho tượng vấn đề lượng hóa chúng Tùy vào mục đích nghiên cứu mà biến số phân làm loại: http://wwwebook.edu.vn + Biến ngoại sinh( biến giải thích): Là biến có mức độ độc lập định mô hình xem tồn bên mô hình Việc thêm hay bớt biến ngoại sinh định mức độ phù hợp mô hình so với thực tiễn Ví dụ: Các sách phủ + Biến nội sinh( biến giải thích): Là biến tồn thân mô hình, chúng phụ thuộc khăng khít lẫn chịu tác động biến ngoại sinh Nếu biết giá trị biến khác mô hình, ta xác định giá trị cụ thể biến nội sinh cách giải hệ thức Ví dụ: Y = C + I0 +G0 C = a + b*Y I0, G0: Là biến ngoại sinh C, Y: Là biến nội sinh Khi C thay đổi dẫn đến Y thay đổi ngược lại Y thay đổi dẫn đến C thay đổi + Tham số: Là biến số mà phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể đặc trưng tương đối ổn định, biến động giả thiết Các tham số mô hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng biến tới biến nội sinh 1.2.2 Mối quan hệ biến số Đây vấn đề cốt lõi mô hình toán kinh tế, phản ánh quan hệ định lượng thể tương tác ảnh hưởng qua lại biến mô hình Các quan hệ kinh tế nảy sinh trình hoạt động kinh tế chủ thể kinh tế (tác nhân kinh tế), chủ thể với Nhà nước, khu vực, phận kinh tế kinh tế quốc gia tạo quan hệ biến số liên quan Các mối quan hệ phản ánh, thể tác động quy luật hoạt động kinh tế Chúng ta dùng biểu thức, hệ thức toán học cách thích hợp từ đơn giản đến phức tạp để thể mối quan hệ biến mô hình Hệ thức thường sử dụng phổ biến phương trình Phương trình mô hình tồn dạng hàm số, phương trình đại số Tùy thuộc vào ý nghĩa thực tiễn mối quan hệ biến có phương trình, phân loại phương trình mô sau: http://wwwebook.edu.vn + Phương trình định nghĩa: Là phương trình thể quan hệ định nghĩa biến số hai biểu thức vế phương trình Ví dụ: Lợi nhuận (LN) định nghĩa phần chênh lệch tổng doanh thu (TR) tổng chi phí (TC), ta viết: LN = TR - TC Hay ví dụ khác, xuất ròng (NX) quốc gia khoản chênh lệch xuất (EX) nhập (IM) quốc gia Thông thường xuất, nhập phụ thuộc vào thu nhập (Y), mức giá (P), tỷ giá hối đoái (ER) theo định nghĩa xuất ròng ta viết: NX = EX(Y, P, ER) – IM(Y, P, ER) + Phương trình hành vi:Là phương trình mô tả quan hệ biến tác động quy luật giả định Từ phương trình hành vi ta biết biến động biến nội sinh biến số khác thay đổi Sự biến động phản ứng hành vi người Ví dụ: Trong hành vi tiêu dùng, thu nhập tăng lên người tiêu dùng có xu hướng chi tiêu nhiều Nó thể mối quan hệ phụ thuộc lẫn biến số Ví dụ: Hàm cung hàm cầu S = S(P), D = D(P) phương trình hành vi thể phản ứng người sản xuất người tiêu dùng trước thay đổi giá + Phương trình điều kiện: Là phương trình mô tả quan hệ biến số tình có điều kiện mà mô hình đề cập Ví dụ: Phương trình Qs = Qd phương trình điều kiện thể điều kiện cân thị trường 1.2.3 Phân loại mô hình toán kinh tế * Phân loại theo đặc điểm cấu trúc công cụ toán học sử dụng + Mô hình tối ưu: Mô hình phản ánh lựa chọn cách thức hoạt động nhằm tối ưu hóa tiêu định trước + Mô hình tĩnh mô hình mô tả tượng kinh tế tồn thời điểm hay khoảng thời gian xác định + Mô hình động: mô hình nghiên cứu tượng kinh tế biến phụ thuộc vào thời gian http://wwwebook.edu.vn + Mô hình toán kinh tế mô hình kinh tế lượng: Về mặt hình thức ta xem mô hình kinh tế lượng mô hình toán kinh tế Tuy nhiên thực tế người ta thường phân biệt chúng lý kỹ thuật phân tích ứng dụng Đối với mô hình toán kinh tế, tham số mô hình cho trước giả định biết phân tích ta sử dụng phương pháp toán học túy Trong mô hình kinh tế lượng tham số lại ẩn số, giá trị chúng xác định nhờ phương pháp suy đoán thống kê vào giá trị trước biến khác mô hình * Phân theo quy mô tượng + Mô hình vi mô: Nghiên cứu tượng kinh tế phạm vi nhỏ tượng kinh tế với yếu tố ảnh hưởng phạm vi hẹp mức độ chi tiết + Mô hình vĩ mô: Mô tả tượng kinh tế liên quan đến kinh tế, khu vực kinh tế gồm số nước * Phân loai theo thời gian + Mô hình tác nghiệp( ngắn hạn) + Mô hình dài hạn 1.3 Các bước thành lập mô hình 1.3.1 Đặt vấn đề Chúng ta cần diễn đạt rõ vấn đề, tượng hoạt động kinh tế cần quan tâm, mục đích gì, nguồn lực huy động để tham gia nghiên cứu 1.3.2 Mô hình hóa Sau xác định mục đích nghiên cứu, tiến hành trình mô hình hóa đối tượng liên quan đến vấn đề - Xác định yếu tố kiện cần xem xét mối liên hệ trực tiếp chúng mà ta cảm nhận trực quan vào cở sở lý luận lựa chọn - Lượng hóa yếu tố coi chúng biến mô hình, xác định đơn vị đo lường thích hợp (đối với yếu tố định lượng), yếu tố định tính cần sử dụng phương pháp thống kê, kinh tế lượng để lượng hóa http://wwwebook.edu.vn - Xem xét vai trò biến số thiết lập hệ thức toán học – chủ yếu phương trình, mô tả quan hệ biến (đây bước quan trọng khó khăn) Vì phải dựa vào sở lý luận đủ mạnh đáng tin cậy phương diện kinh tế lẫn toán học Kết thúc công việc ta có mô hình ban đầu 1.3.3 Phân tích mô hình Sử dụng phương pháp phân tích mô hình (sẽ trình bày chương tiếp theo) để phân tích Kết phân tích dùng để hiệu chỉnh mô hình ( thay đổi vai trò biến, thêm bớt biến, thay đổi định dạng phương trình…) cho phù hợp với thực tiễn 1.3.4 Giải thích kết Dựa vào kết phân tích mô hình ta đưa giải đáp cho vấn đề nghiên cứu Nếu ta thay đổi vấn đề mục tiêu nghiên cứu đối tượng liên quan không thay đổi sử dụng mô hình sẵn có Ví dụ: Nhà nước điều chỉnh sắc thuế đánh vào việc sản xuất loại hàng hóa A (tăng thuế suất) 1.4 Một số phương pháp phân tích sử dụng mô hình 1.4.1 Đo lường thay đổi biến nội sinh theo biến ngoại sinh a) Đo lường thay đổi lượng tuyệt đối Y = f( X1, X2 …Xn) Trong đó: Y biến nội sinh X1, X2,…., Xn biến ngoại sinh Giả sử biến ngoại sinh Xi ( i=1, n ) thay đổi lượng Δ i Gọi Δ Y thay đổi Y thay đổi Xi đem lại Δ Y = f( X1, X2,…., Xi + Δ Xi …Xn) Gọi Pi lượng thay đổi trung bình Pi= ΔY ∂Y = ΔX i ∂X i Xi tăng lên đơn vị dẫn đến Y thay đổi lượng Pi đơn vị Ví dụ: TRQ doanh thu theo sản lượng Doanh thu biên MR=TR’Q = dTR dQ Doanh thu biên doanh thu tăng thêm bán thêm đơn vị sản phẩm http://wwwebook.edu.vn Dj 60 70 40 30 Si 100 80 20 Bài toán cho cân thu phát Ta tìm phương án ban đầu phương pháp chi phí tối thiểu Dj 60/30/0 Si 100/30/0 80/60/30/0 20/0 30 30 v1=2 Ta có P.A ban đầu: 70/0 40/20/0 30/0 70 v2=1 20 20 v3=-1 30 v4=3 u1=0 u2=3 u3=2 30 70 0  X0 = 30 20 30  0 20  Ta tính Δ ij ô loại để kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu Δ 31= 2+2-6 = -2 Δ 22= 3+1-3 = Δ 32 = 2+1-2 =1 Δ 13 = 0+(-1)-4 = -5 Δ 14 = 0+3-3 = Δ 34 = 2+3-5 =0 Vì Δ 22 = Δ 32 = >0 nên P.A xét chưa tối ưu Ta chọn ô (2,2) làm ô điều chỉnh (ô vào tập hợp ô chọn) Ta xác định vòng điều chỉnh: 30 + (30) 30 - 70 - (70) + S,t - Lượng điều chỉnh: d= xij(-) = min(30,70) = 30 Và ô (2,1) ô khỏi tập hợp ô chọn (hay trở thành ô loại bảng vận tải mới) Ta tính lại lượng hàng vòng điều chỉnh bảng vận tải sau http://wwwebook.edu.vn 70 Dj Si 100 80 20 60 70 60 v1=2 v2=1 40 30 40 30 20 20 v3=0 v4=4 30 u1=0 u2=2 u3=1 Ta lại tính hệ thống vị kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu Δ 21 = 2+2-5 = -1 Δ 31 = 1+2-6 = -3 Δ 32 = 1+1-2 = Δ 13 = 0+0-4 = -4 Δ 14 = 0+4-3 = Δ 34 = 1+4-5 = Ta thấy Δ 14 > nên P.A xét chưa tối ưu, ô (1,4) ô vào tập hợp ô chọn (hay ô (1,4) ô chọn bước tiếp theo) Vòng điều chỉnh 40 - + + - S,t 30 30 Lượng điều chỉnh: d = (30,40) = 30 Ô (2,4) ô (ô loại bảng vận tải mới) Ta tính lại lượng hàng vòng điều chỉnh bảng vận tải sau Dj Si 100 80 20 60 70 40 30 60 10 30 60 20 6 20 v1=2 v2=1 v3=0 v4=3 Ta tính lại hệ thống vị kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu Δ 21 = 2+2-5 = -1 Δ 31 = 1+2-6 = -3 Δ 32 = 1+1-2 = Δ 13 = 0+0-4 =-4 http://wwwebook.edu.vn 71 u1=0 u2=2 u3=1 Δ 24 = 2+3-6 = -1 Δ 34 = 1+3-5 = -1 Trong bảng vận tải Δ ij ≤ với ∀ i,j Vậy P.A xét tối ưu 60 10 30 X =  60 0   0 20  * Giá trị nhỏ nhất: f(X*) = 460 4.3 Các dạng khác toán Vận tải 4.3.1 Bài toán vận tải có ô cấm Trên thực tế lý cầu đường nên vận chuyển hàng hóa số tuyến đường đó, xuất số ô toán vận tải ta phân phối hàng được, ô gọi ô cấm Ngoài ô cấm xuất trường hợp toán vận tải không cân thu phát với điều kiện số trạm phát phải phát hết hàng (trường hợp tổng phát > tổng thu), với điều kiện trạm thu phải thu đủ hàng (trường hợp tổng phát < tổng thu) Khi đó, ô giả ô cấm * Cách giải: Lập toán M cách đặt giá cước vận chuyển đơn vị hàng hóa ô cấm M (M >0, M tùy ý) Sau giải toán cân thu phát Có trường hợp xảy ra: + Trường hợp 1: Nếu P.A.T.Ư toán M thành phần ứng với ô cấm 0, toán ban đầu có P.A.T.Ư + Trường hợp 2: Nếu P.A.T.Ư toán M mà có thành phần ứng với ô cấm khác 0, toán ban đầu phương án P.A.T.Ư Ví dụ: Cho toán vận tải bảng sau Dj Si I II III 160 180 A 150 140 B 100 C 145 11 12 13 D 100 http://wwwebook.edu.vn 72 Với điều kiện A3, A4 phải phát hết hàng Lượng hàng tính tấn, chi phí vận chuyển tính $/tấn D Ta có: j = 140+160+180 = 480 i = 150+100+145+100 = 495 j =1 S i =1 Bài toán chưa cân thu phát, tổng cung lớn tổng cầu Ta đưa toán dạng chuẩn cách lập thêm trạm thu giả D với lượng hàng trạm phát giả là:  Si i =1 D j = 15 (Ci4 = 0, i = 1,4 ) j =1 Do yêu cầu trạm A3, A4 phải phát hết hàng nên ta có ô cấm ô (3, 4) ô (4, 4) Khi C34 = M C44 = (M >0, M lớn) I II III IV 140 160 180 15 150 100 145 11 12 M 100 13 M Ta d ùng ph ơng ph áp Volgel đ ể t ìm ph ơng án ban đ ầu Dj Si A B C D Dj Si I II III IV 160 180 110 15 0 A 150 140 40 B 100 15 C 145 11 145 12 M U3 = D 100 13 M U4 = V2 = V3 = V4 = 100 V1 = 70 U1 = 15 U2 = Ta có phương án ban đầu 110   40  15 70 15  X =  145 0   0 100 Ta kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu, xây dựng hệ thống vị tính ∆ij ô loại ∆21 = 0, ∆21 = 0, ∆31 = -2, ∆12 = 0, ∆21 = -2, ∆42 = -1, ∆33 = -2, ∆43 = -3, ∆14 = ∆34 = - M, ∆44 = - M Ta thấy ∆ij ô loại ≤ 0, phương án xét tối ưu http://wwwebook.edu.vn 73 Ta có kế hoạch vận chuyển hang sau: Nơi giao hang A giao cho đại lý I 40 tấn, đại lý III 110 Nơi giao hang B giao cho đại lý II 15 đại lý III 70 tấn, dư kho 15 Nơi giao hang C giao toàn số hang cho đại lý II 145 Nơi giao hang D giao hết số hang cho đại lý I 100 Tổng chi phí vận chuyển hang $ 3.335 4.3.2 Trường hợp toán có hàm mục tiêu → max n Ta có mô hình: f(X) = m  C ij xij → max j =1 i =1 n  xij = S i  j =1  m với điều kiện:  xij = D j  i =1  xij ≥   i = 1, m j = 1, n Trong đó: cij lợi nhuận thu dùng đơn vị diện tích đất loại i để trồng loại j Vẫn giải toán chi phí vận chuyển với lưu ý sau: - Trạm phát thứ i loại đất i có trữ lượng đơn vị diện tích - Trạm thu thứ j loại trồng thứ j có yêu cầu bj đơn vị diện tích - Khi tìm P.A ban đầu, ô chọn để phân phối ô có cij lớn (nếu dùng phương pháp Volgel ưu tiên phân phối cho ô có cij lớn nằm dòng hay cột có độ chênh lệch lớn suất lớn suất lớn kế tiếp) - Điều kiện tối ưu: Δ ij ≥ với ( ∀ i,j) ô loại - ô điều chỉnh: Là ô có Δ st = { Δ ij, ∀ Δ ij [...]... vậy bài toán tìm lợi nhuận cực đại của doanh nghiệp sẽ chuyển thành bài toán tìm Q để sao cho: π (Q) = TR(Q) – TC(Q) → Max Trong đó: π (Q): Là hàm mục tiêu (hàm lợi nhuận) TR(Q): là hàm tổng doanh thu TC(Q): là hàm tổng chi phí Q: là biến lựa chọn (sản lượng) Bài toán tối ưu hóa ở đây là xác định mức sản lượng tối ưu Q* để sao cho π (Q*) lớn nhất Tổng quát : Bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn là bài toán. .. Trường hợp bài toán chỉ có một biến lựa chọn 2.2.1 Mô hình bài toán Trong bài toán này chúng ta chỉ có 1 biến lựa chọn duy nhất và ta tìm cách đạt được mục tiêu đề ra trên cơ sở xác định giá trị của biến lựa chọn này Ví dụ: Một doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm duy nhất, họ tìm cách để đạt lợi nhuận cực đại từ quá trình sản xuất của mình (tìm π max ) Lợi nhuận là sự chênh lệch giữa tổng doanh thu... Tại X1= 32 , X2= 8 thì U => max Nhận xét : Giải bài toán bằng phương pháp liên hệ cực trị tự do trên ta đã đưa bài toán có 1 biến độc lập trở thành biến phụ thuộc Trong trường hợp ràng buộc phức tạp thì việc rút biến gặp nhiều khó khăn vì thế người ta đưa ra một phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán 2.4.2 Phương pháp nhân tử Lagrange 2.4.2.1 .Bài toán 2 biến Y = f ( X 1 , X 2 ) → max(min) RB... sản xuất nhỏ nhất thì doanh nghiệp nên sản xuất khối lượng sản phẩm là Q = 35 đơn vị 2.2.3.Ứng dụng trong phân tích kinh tế Tìm điều kiện cần và đủ để DN sản xuất ra 1 loại sản phẩm có lợi nhuận cực đại Về lý thuyết kinh tế ta biết rằng điều kiện cần để đạt lợi nhuận cực đại là MR bằng MC, ta xét điều kiện này dưới góc độ toán học Giả sử khối lượng sản phẩm sản xuất ra là Q Tổng doanh thu của DN là TR(Q)... nhuận cực đại DN cần sản xuất khối lượng sản phẩm Q = 44 đơn vị Mức lợi nhuận cực đại mà DN có thể đạt được là π max = 65.824 đơn vị tiền tệ 2.3 Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn 2.3.1 Trường hợp bài toán có 2 biến 2.3.1.1 Trường hợp bài toán có 1 biến – sử dụng vi phân để khảo sát tính cực trị Cho hàm số Y = f(x) Điều kiện cần để hàm số có cực trị: dy = 0 dy = df dX = f ′( x ).dx = 0  f ′(... tích kinh tế 2.3.3.1 Tìm lợi nhuận cực đại trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại sản phẩm ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo Trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo đối với DN giá sản phẩm là biến ngoại sinh (DN không có đủ sức mạnh làm thay đổi giá sản phẩm) Mục tiêu của DN là tìm mọi biện pháp nhằm thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng hợp lý các yếu tố đầu vào Giả sử dn sản xuất 2 loại sản phẩm ở thị. .. quả +Nếu α + β TR1=45Q1-4Q12 P2=95-5Q2=>TR2=95Q2-5Q22 P3=85 – 5Q3 => TR3=85Q3 – 5Q32 Yêu cầu: ... Nghiên cứu tượng kinh tế phạm vi nhỏ tượng kinh tế với yếu tố ảnh hưởng phạm vi hẹp mức độ chi tiết + Mô hình vĩ mô: Mô tả tượng kinh tế liên quan đến kinh tế, khu vực kinh tế gồm số nước * Phân... lõi mô hình toán kinh tế, phản ánh quan hệ định lượng thể tương tác ảnh hưởng qua lại biến mô hình Các quan hệ kinh tế nảy sinh trình hoạt động kinh tế chủ thể kinh tế (tác nhân kinh tế) , chủ thể... MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Mô hình 1.1.2 Mô hình toán 1.1.3 Mô hình toán kinh tế 1.2 Cấu trúc mô hình toán kinh tế