NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN - THÂN TẶNG CÁC EM - CHÚC CÁC EM HỌC GIỎI HÃY SỐNG CÓ KHÁT VỌNG,CÓ NIỀM TIN VÀO BẢN THÂN CÁC EM SẼ THÀNH CÔNG! NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I I.Quy tắc nhân Một công việc H thực qua K giai đoạn H1, H2 ,H3 ….Hk ,trong đó: Giai đoạn H1 có n1 cách thực Giai đoạn H2 có n2 cách thực Giai đoạn H3 có n3 cách thực ………………………………… Giai đoạn Hk có nk cách thực Khi để hoàn thành công việc H phải thực đồng thời K giai đoạn suy có (n1.n2.n3….nk ) cách để hoàn thành công việc H Ví dụ 1:Đề thi cuối khó môn toán khối 12 trường trung học gồm hai loại đề tự luận trắc nghiệm.Một học sinh dự thi phải thực hai đề thi gồm tự luận trắc nghiệm,trong tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi học sinh có cách chọn đề thi? Giải: - Số cách chọ đề tự luận 12 cách - Số cách chọn đề trắc nghiệm 15 cách Vì học sinh phải làm đồng thời loại đề nên có tất 12.15 = 180 cách chọn đề thi Ví dụ 2:Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9} a Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác b Từ tập A lập số tự nhiên chẵn gồm có chữ số đôi khác a Giải: a Gọi số tự nhiên gồm chữ số là: n = a1a2 a3a4 Để có số n ta phải chọn đồng thời a1,a2,a3,a4 đó: - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm b.Gọi số tự chẵn có chữ số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 - a5 có cách chọn (bằng 2) - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Ví dụ 3:Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Có số tự nhiên có chữ số đôi khác lấy từ tập A Giải: Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 đó: - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0) - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn Vậy có tất 9.9.8.7.6 = 27216 cách Ví dụ 4:Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} a Từ tập A lập số tự nhiên gòm chữ số đôi khác chữ số lẻ,chia hết cho b Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác cho chữ số đứng cuối chia hết cho Giải: a Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 đó: số n lẻ,chia hết a5 = - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0,≠ 5) - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn Vậy có tất 5.5.4.3 = 300 số b.Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5a6 đó: Vì chữ số cuối chia hết a6 = a6 = ta chia làm hai trường hợp Trường hợp a6 =8 - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0,≠ 8) - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số Trường hợp 2: a6 = - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn  có 6.5.4.3.2 = 720 số NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Vậy có tất cả:600 + 720 = 1320 số Ví Dụ 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,8,9} a.Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác > 50.000 b Từ tập A lậ số tự nhiên gồm chữ số đôi khác cho chữ số đứng vị trí thứ chia hết cho chữ số cuối lẻ Giải: a Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 Vì n > 50.000 nên a1 chon chữ số {5,6,8,9} - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn Vậy có 4.7.6.5.4 = 3360 số cần tìm b Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5a6 theo đề ta có : - a3 chia hết a3 = 5,chữ số cần tìm số lẻ  a6 = {1,3,9} có cách chọn - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn có tất cả: 3.6.5.4.3 = 1080 số cần tìm Ví dụ 7: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ sô đôi khác cho chữ số có mặt Giải: Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 để có số n ta làm hai bước sau : chọn vị trí cho chữ số 2: có vị trí Chọn chữ số lại - Do vai trò số giống nên ta giả sử a1 =2 ta có: - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn Vậy có tất 5(8.7.6.5) = 8400 số cần tìm Ví dụ 8: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6} a Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho số không bắt đầu 246 b Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho chữ số có mặt lần Giải: a Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5a6 Chọn tùy ý : - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0) - a2 có cách chọn NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn - a6 có cách chọn  có 6.6.5.4.3.2 = 4320 số có chữ số đôi khác Chọn số có chữ số 246 - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn - a6 có cách chọn  4.3.2 = 24 số bắt đầu 246 Vậy ycbt = tùy ý - phần bù = 4320 - 24 = 4296 số cần tìm b.Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 Trường hợp 1: a1 = số cần tìm có dạng n = 1a2 a3a4 a5 - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn  có 6.5.4.3= 360 số Trường hợp 2: Nếu a1 ≠ 1ta có - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0) - có vị trí cho số giả sử a2 = - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn  có 5.4.5.4.3 = 1200 số cần tìm  1200 + 360 = 1560 kết Ví dụ 9: cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6} Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho chữ số không đứng cạnh Giải: Tìm Số có chữ số khác đôi tùy ý n = a1a2 a3a4 a5 - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0) - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn  có 6.6.5.4.3 = 2160 số Tìm số tự nhiên có chữ số khác đôi 2,5 đứng cạnh Giả sử 2,5 chữ số a ta tìm số có chữ số Trường hợp 1: - a1 = a - a2 có cách chọn - a3 có cách - a4 có cách NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I  có 5.4.3 = 60 số Trường hợp 2: - a1 ≠ a nên a1 có cách chọn ( a1 ≠ 0,2,5) - có vị trí cho số a giả sử a2 = a - a3 có cách - a4 có cách  có 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 đổi chỗ cho nên ta đc 204.2 = 408 số Vậy YCBT = 2160 - 408 = 1572 cách -có vị trí cho a II Qui tắc cộng: Một công việc H bao gồm K công việc H1, H2 ,H3 ….Hk,trong đó: Giai đoạn H1 có n1 cách thực Giai đoạn H2 có n2 cách thực Giai đoạn H3 có n3 cách thực ………………………………… Giai đoạn Hk có nk cách thực Khi để hoàn thành công việc H phải thực 1trong công việc suy có (n1+ n2 + n3 + nk ) cách để hoàn thành công việc H Ví dụ 1: Một nữ sinh trung học đến trường chọn hai trang phục quần trắng áo dài quần xanh áo sơ mi Nữ sinh có quần trắng, áo dài, quần xanh áo sơ mi có cách chọn trang phục: Giải: - Nữ sinh chọn hai trang phục Trường hợp 1: Quần trắng + áo dài - có cách chọn quần trắng - cách chọn áo dài  có 5.7 cách chọn trang phục thứ Trường hợp 2: Quần xanh + áo sơ mi - có cách chọn quần xanh - có cách chọn áo sơ mi  có 4.6 = 24 cách chọn trang phục thứ Vậy theo quy tắc cộng nữ sinh có 35 + 24 = 59 cách Ví dụ 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} a Từ tập A lập số lẻ có chữ số khác b Từ tập A lập số có chữ số khác cho số chia hết cho Giải: a.Tìm Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5 - a5 = {1,3,5,7,9} có cách chọn NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0) - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn Vậy ta 5.8.8.7.6 = 13440 số b.Tìm Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5a6 Vì số chia hêt a6 = {0,5} Trường hợp 1: a6 = - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn  có 9.8.7.6.5 = 15120 số Trường hợp 2:a6 = - a1 có cách chọn ( a1 ≠ 0) - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn  có 8.8.7.6.5 = 13440 số Vậy thu 15120 + 13440 = 28560 số cần tìm Ví dụ 3: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} a Từ tập A lập số lẻ gồm chữ số mà ko chia hết cho b Từ tập A lập số chẵn gồm chữ số mà chữ số thứ lẻ Giải: a.Tìm Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5 Vì số lẻ, không chia hêt a5 = {1,3,7,9} - a5 có cách chọn - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn - a4 có cách chọn  số cần tìm 4.8.7.6.5 = 6720 số b.Tìm Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5a6 - Vì chữ số thứ lẻ,a3 = {1,3,5,7,9} a3 có cách chọn - Chữ số số chẵn nên a6 = {2,4,6,8} có cách chọn - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a4 có cách chọn - a5 có cách chọn  số cần tìm 5.4.7.6.5.4 = 16800 số Ví dụ :Cho tập A = {1,2,3,4,5,6} NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I a Từ tập A lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác chữ số có mặt lần b Từ tập A lập số gồm có chữ số đôi khác cho tổng chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số sau đơn vị c Từ tập A lập số gồm có chữ số đôi khác cho chữ số đứng cuố lẻ Giải: a Tìm Số chẵn có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 - Trường hợp 1: a4 =2 - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn  số cần tìm 5.4.3 = 60 số Tường hợp : a4 ≠ nên có cách chọn {4,6},số có vị trí giả sử a1 = - a1 có cách chọn - a2 có cách chọn - a3 có cách chọn  có 2.3.4.3.1 = 72 số Vậy có 60 + 72 = 132 số cần tìm b.Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5a6 Theo đề a1 + a2 + a3 + = a4 + a5 + a6 Mà a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 21 Vậy a1 + a2 + a3 = 10 Từ tập A ta chọn ba số a1 ,a2,a3 cho a1 + a2 + a3 = 10 Ta có (1,3,6);(2,3,5);(1,4,5) Do với a1 có cách chọn,a2 có cách,a3 có cách nên ta đc 3.2.1 = số Do ba chọn giống nên 18 số cần tìm c.Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5 Vì chữ số đứng cuối lẻ nên a3,a5 = {1,3,5} a3 có cách chọn a5 có cách a1 có cách chọn a2 có cách chọn a4 có cách chọn Vậy có 3.2.4.3.2 = 144 số Ví dụ 5: Từ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập số gồm chữ số hai chữ số liền kề phai khác Giải Số có chữ số n = a1a2 a3a4 ( a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠ a4 ) a1 có cách chọn (a1 ≠ 0) a2 có cách chọn (a1 ≠ a2) a3 có cách chọn (a2 ≠ a3) a4 có cách chọn (a3 ≠ a4 ) Vậy có tất 7.7.7.7 = 2401 số NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I CHỈNH HỢP 1.Định Nghĩa công thức Cho tập A gồm n phần tử khác đôi một.Từ tập n rút k phần tử khác đôi xếp chúng theo thứ tự chỉnh hợp chập k n phần tử Ank  Công thức n!  n  k ! 2.Phương pháp chung để giải toán chỉnh hợp Bước 1:Gọi số cần tìm n = a1a2 an Bước 2: Liệt kê tính chất mà số n cần thỏa mãn Bước 3:Xử lý tính chật cách chọn chữ số thỏa mãn Bước 4: Đếm lại số phần tử lại tập hợp A cách lấy số phần tử A ban đầu phần tử có mặt tính chất tập hợp A’ Bước 5: Chọn chữ số lại ko có tính chất lấy từ tập A’ Bước 6: Áp dụng hai qui tắc để có kết Các dạng toán Dạng - Tập hợp A không chứa số Ví dụ 1:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7} a Có số gồm có chữ số đôi khác lấy từ tập A b Từ tập A lập số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác c Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho tổng hai chữ số đầu cuối chia hết cho 10 Giải: a.Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5 Năm chữ số chọn từ A,đôi khác xếp theo thứ tự định nên số cần tìm chỉnh hợp chập phần tử A75  7!  2520 số (7  5)! b.Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5a6 n số chẵn nên a6 = {2,4,6} có cách chọn chọn chữ số lại từ tập có - a6 = phần tử ta có A65  6!  720 (6  5)! Vậy có tất A65 = 2160 số c.Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5a6 theo giả thiêt a1 + a6 =10 nên số {(3,7);(4,6) - ứng với a1 có cách chọn,a6 có cách nên số cách 2.2.1 - chọn chữ số lại tập co chữ số ta A54  5!  120 (5  4)! Vậy có tất 2.2.1.120 = 480 số cần tìm Ví dụ 2:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A lập số có chữ số đôi khác cho có chữ số chẵn chữ số lẻ NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Giải: Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5a6 - Chọn chữ số chẵn tổng chữ số ta A43  - Chọn chữ số lẻ tổng chữ số lẻ ta có A53  4!  24 (4  3)! 5!  60 (5  3)! Vậy có 24.60 = 1440 số cần tìm Ví dụ 3Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} a Từ tập A lập số lẻ gồm có chữ số đôi khác b Từ tập A lập số gồm có chữ số đôi khác cho chữ số đầu lẻ, chữ số cuối chẵn c Từ tập A lập số gồm có chữ số khác đôi chữ số đầu cuối chẵn Giải: a Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5a6 Vì n số lẻ nên a6 = {1,3,5,7,9}  a6 có cách chọn, - Chọn chữ số lại tổng số lại ta A85  8!  6720 (8  5)! Vậy có tất 5.6720 = 33600 số b Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5a6 Vì số cuối chẵn nên a6  {2,4,6,8} có cách chọn Số đầu lẻ nên a1  {1,3,5,7,9} có cách chọn - Chọn chữ số lại tổng - = phần tử ta có A74  7!  840 (7  4)! Vậy có 4.5.840 = 16800 số c Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5 Vì a1 , a5 chẵn nên  {2,4,6,8} a1 có cách chọn,a5 có cách chọn - Chọn chữ số lại tổng - = phần tử ta có A73  7!  210 (7  3)! - Vậy có tất 4.3.210 = 2520 số Ví dụ 4: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6} a Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số khác đôi không bắt đầu 345 b Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số khác đôi chữ số có mặt lần c Từ tập A lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số có mặt lần Giải a.Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 10 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I chọn chữ số tổng chữ số ta số số bắt đầu 345 có dạng 345a4 a5 A65  6!  720 (6  5)! A32  3! 6 (3  2)! Vậy số cần tìm 720 - = 714 số b.Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 Chữ số có mặt lần nên có vị trí cho số Coi vị trí số chữ số chọn phần tử lại A53  5!  60 (5  3)! Vậy có 4.60 = 240 số c.Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 n chẵn nên a4  {2,4,6} Chữ số có mặt lần nên xét trường hợp Trường hợp 1: a4 = ,số cách chọn cho chữ số lại lai A53  5!  60 (5  3)! Trường hợp 1: a4 ≠ nên a4 có cách chọn - có vị trí cho số - chọn vị trí lại tổng phần tử A42  4!  12 (trừ a4 , trừ 2) (4  2)! Ta 2.3.12 = 72 Vậy có tất 72 + 60 = 132 số Ví dụ 5:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8} a.Từ tập lập số lẻ gồm chữ số đôi khác cho chữ số có mặt lần b Từ tập lập số lẻ gồm chữ số đôi khác cho chữ số có mặt lần chữ số đứng đầu lẻ Giải: a.Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5 TH1: a5 = Chọn chữ số lại ta A74  7!  840 (7  4)! TH2: a5 ≠ - a5 có cách chọn - có vị trí cho số - có A63 cách chọn chữ số lại Vậy có 3.4 A63 + A74 = 2280 số c Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5 TH1: Nếu a1 = - a6 có cách chọn {1,5,7} 11 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I - chọn chữ số lại có A64 cách  có A64 số TH2: a1 ≠ 1.Nếu a6 = a1 có cách chọn, chọn chữ số lại A64  có A64 số Nếu a6 ≠ - a1 có cách chọn,a6 có cách chọn,có vị trí cho chữ số 3,chọn chữ số lại A53  TH2 = + = A64 + 3.2.4 A53 Vậy có tất A64 + A64 + 3.2.4 A53 = 3600 số cần tìm Ví dụ 8: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} a Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác cho chữ số đứng không chia hết cho 5,chữ số có mặt lần chữ số cuối lẻ b Từ tập A lập số gồm có chữ số đôi khác hai chữ số đứng cạnh Giải a) Số có chữ số khác đôi n = a1a2 a3a4 a5 Chữ số đứng không chia hết : a3 ≠ Cách : Xét trường hợp sau: TH1 : a5 =5: + a3 có cách chọn + Chọn chữ số lại có A73 cách  có A73 số TH2: a5 ≠ 5: + a5 có cách chọn + a3 có cách chọn ( a3 ≠ a3 ≠ a5 ) + có vị trí có chữ số +Chọn hai chữ số lại có A62 cách  có 4.7.3 A62 số Vậy có tất cả: A73 + 4.7.3 A62 =4200 số cần tìm Cách 2:Dùng phép loại trừ : B1: tính số số lẻ có năm chữ số chữ số có mặt lần : A84 +4.4 A73 B2 : Tính số số lẻ có năm chữ số a3 = là: A73 Vậy có tất cả: A84 + 4.4 A73 - A73 =1200 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5 a6 Cách : Chia trường hợp : TH1 : a1 =1  a2 =3: Chọn chữ số lại có A74 cách TH2: a2 =1  có hai vị trí cho chữ số Chọn chữ số lại có A74 cách  có A74 số 12 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I TH3: a3 =1: giống TH2: có A74 số TH4: a4 =1:giống TH2: có A74 số TH5: a5 =1:giống TH2 : có A74 số TH6: a6 =1:giống TH1 Vậy có tất cả: A74 + 4.2 A74 =8400 số cần tìm Cách 2: Khi hai chữ số (1 3) đứng cạnh ta xem hai chữ số (1,3) chữ số a Khi ta lập số có năm chữ số cho chữ số a có mặt lần ; hoán đổi vị trí hai chữ số 1,3 số cần tìm theo yêu cầu toán + Chữ số a có vị trí + Chọn chữ số lại: A47 cách  có A73 số + Hoán đổi vị trí hai chữ số ta số số cần tìm là: 2.5 A74 =8400 số Ví dụ Cho tập hợp A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} a) Từ tập A lập số gồm có sáu chữ số đôi khác cho hai chữ số không đứng cạnh ? b) Từ tập A lập chữ số gồm có sáu chữ số đôi khác cho hai chữ số lẻ không đứng cạnh ? Giải a) Gọi số cần tìm là:: n = a1a2 a3a4 a5 a6 Bài toán giải cách loại trừ theo hai bước sau : B1 : Tính số số có sáu chữ số hai chữ số 1,3 có mặt : +Chữ số có vị trí +Chữ sô có vị trí + Chọn bốn chữ số lại có A74 cách  có 6.5 A74 số B2 : Tính số số có sáu chữ số hai chữ số đứng cạnh : + Xem hai chữ số (1,3) chữ số a Ta lặp số có năm chữ số mà chữ số a có mặt lần : - có vị trí cho chữ số a - Chọn chữ số lại có A74 cách  có A74 số mà chữ số a có mặt lần + Hoán đổi vị trí số chữ số a ta 2.5 A74 số mà hai chữ số đứng cạnh Vậy có tất cả: 6.5 A74 - 2.5 A74 = 16800 số cần tìm theo yêu cầu toán b) Bài toán giải theo bước sau : B1 : Chọn hai chữ số lẻ năm chữ số lẻ B2 : Lấy cặp số lẻ giải câu a + Chọn hai chữ số năm chữ số lẻ : C52 + Lấy cặp số lẻ điển (1,3) ( giải câu a) Vậy có: C52 ( 6.5 A74 - 2.5 A74 ) = 168000 số cần tìm NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 13 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Ví dụ 10.chọn tập A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} a) Từ tập A lập số chẵn gồm có sáu chữ số đôi khác cho chữ số đứng cạnh nhau? b) Từ tập A lập số chẵn gồm có sáu chữ số đôi khác nhai cho hai chữ số đứng chanh nhau? Giải a) Gọi số cần tìm : n = a1a2 a3a4 a5 a6 Số n số chẵn nên a6 = { 2,4,6,8}  a6 có cách chọn Để đơn giản hơn, lúc ta qui toán yêu cầu : Tìm số có năm chữ số cho chữ số đứng cạnh đem ghép với chữ số a6 chữ số n cần tìm Khi hai chữ số đứng cạnh nhau, ta xem (1,5) chữ số a.Ta lập số có bốn chữ số cho chữ số a có mặt : -Chữ số a có vị trí - Chọn ba chữ số lại có A63 cách  có A63 số - Hoán đổi vị trí hai chữ số ta được: 2.4 A63 số có năm chữ số mà ( 1,5 ) đứng cạnh - Các chữ số đem ghép với chữ số a6 ta số cần tìm là: 2.4 A63 = 3840 số n b)Gọi số cần tìm : n = a1a2 a3a4 a5 a6 Xét trường hợp sau : TH1 : a6 =4 a5 = : Chọn bốn chữ số lạo có A cách TH2: a6 = a5 = 4: Chọn bốn chữ số lại có A cách TH3: a6 ≠ a6 ≠ : + a có cách chọn + xem hai chữ số ( 2,6 ) chữ số a, ta lập số có bốn chữ số cho chữ số a có mặt lần -Chữ số a có vị trí -Chọn ba chữ số lại có A63 cách  có A63 số + Hoán đổi vị trí hai chữ số a có 2.4 A63 số Vây có tất cả: A74 + 2.4 A63 = 2640 số cần tìm Ví dụ 11 cho tập hợp A ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A lập số lẻ gồm có sáu chữ số cho chữ số có mặt lần Các chữ số lại có mặt lần, Giải NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 14 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Gọi số cần tìm : n = a1a2 a3a4 a5 a6 Cách 1: Xét hai trường hợp: TH1: a6 =5: + Do chữ số có mặt lần nên vị trí lại chữ số có vị trí + Chọn chữ số lại có A84 cách  có số có sau chữ sô mà a6 =5 I TH2 : a6 ≠ : a4 có cách Tha : a1 =  a2 ≠ + a2 có cách chọn ( a2 ≠ a1 a2 ≠ a6 ) +có vị trí cho chữ số + chọn chữ số lại có A62 cách  Ta có: 7.3.4 A62 = 2520 số Thb:a =  a1 ≠ a3 ≠ + a1 có cách chọn + a3 có cách chọn + có vị trí cho chữ số + Chọn chữ số lại có A51 cách  thb: có: 4.7.6.2 - A51 = 1680 số Thc: a3 = 5: giống thb Thd: a4 =5 : giống thb The: a5 = 5: giống tha Vậy có: A84 + 2.2520 + 3.1680 = 18480 Ví dụ 12: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A lập số có chữ số khác cho 1,2,3 đứng cạnh Giải: - 1,2,3 đứng cạnh ta coi số a đó,chữ số a có vị trí - Chọn chữ số lại ta có A64 cách - Hoán đổi vị trí 1,2,3 ta có 3! Cách Vậy có 3!.4 A64 = 10800 số cần tìm Dạng 2: Tập A có chứa số Phương pháp giải toán: Bước 1: Gọi số cần tìm n = a1a2 a3 an ( a1 ≠ 0) Bước 2: Liệt kê tính chất mà số n cần thỏa mãn Bước 3:Xử lý tính chất - Nếu có nhiều tính chất độc lập ta không chia trường hợp - Nếu chữ số a cụ thể có mặt 1,2,3… lần phải chia trường hợp a = a1 khác với a ≠ a1 - Nếu hay nhiều chữ số n có tính chất chia trường hợp Bước 4: Dùng qui tắc cộng, nhân giải toán Ví dụ 1: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A lập a.Bao nhiêu số có chữ số đôi khác b.Bao nhiêu số có chữ số đôi khác cho số lẻ NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 15 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Giải: a Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 Số ko có tính chất,có chứa số nên ta làm sau : - a1 có cách chọn (vì a1 ≠ 0) - Chọn chữ số lại ta A64 cách  có A64 = 2160 cách b Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 n số lẻ nên a5  {1,3,5} a5 có cách chọn - a1 có cách chọn (a1 ≠ a1 ≠ 5) - Chọn chữ số lại ta có A53 Vậy có 3.5 A64 =900 số Ví dụ : Cho tập A = {0,2,4,5,6,9}Từ tập A lập a Bao nhiêu số có chữ số đôi khác chia hết cho b Bao nhiêu số chẵn có chữ số đôi khác Giải a.Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 Vì n chia hết a4 = {0,5},ta chia toán làm hai trường hợp TH1:Nếu a4 = (hiển nhiên a1 ≠ 0) số lại có A53 cách TH2: Nế a4 = 5,thì a1 có cách chọn a1 ≠ ≠ Chọn số lại ta có A42  có A42 Vậy có tất A53 + A42 = 108 số cần tìm b Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 Vì n số chẵn nên a4 = {0,2,4,6}, ta chia toán làm hai trường hợp TH1 : Nếu a4 = chọn số lại ta A53 cách TH2 : Nếu a4 ≠ có cách chọn a4 - có cách chon a1 - chọn số lại ta có A42  có A42 Vậy có tất A53 + A42 = 108 số cần tìm Cách : Dùng phép đếm loại trừ : - Đếm số có chữ số khác chia hết cho + a4 có cách chọn + chọn ba chữ số lại A53  có A53 - Đếm số có chữ số chia hết cho mà a1 = A42 Vậy có A53 - A42 = 108 số Ví dụ 3: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7}.Từ tập A lập số có: a.Năm chữ số đôi khác chia hết cho b.Sáu chữ số đôi khác cho chữ số có mặt lần Giải: Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 số chia hêt a5 = {0,2,4,6} Cách 1: Xét trường hợp NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 16 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I TH1: Nếu a5 = ta chọn chữ số lại A74 cách TH2: Nếu a5 ≠ - a5 có cách chọn - a1 có cách chọn (do a1 ≠ 0, ≠ a5 ) - Chọn chữ số lại ta A63  3.6 A63 cách Vậy ta A74 + 3.6 A63 = 3000 số cần tìm Cách dùng phép loại trừ: Tính số có chữ số khác chia hết cho - a5 có cách chọn - só lại có A74 cách chọn  có A74 số Tính số có chữ số khác mà chia hết cho a1 = - a5 có cách chọn - chọn chữ số lại ta có A63  có A74 - A63 = 3000 số b Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5a6 TH1 : Nếu a1 = 2,chọn chữ số lại ta A75 cách TH2 : Nếu a1 ≠ - a1 có cách chọn (do a1 ≠ 0,2) - có vị trí cho chữ số - chọn chữ số lại có A64 có 6.5 A64 Vậy có tất A75 + 6.5 A64 = 13320 số Ví dụ 4: Cho tập A = {0,1,2,4,5,7,8,9}Từ tập A lập số a.Có năm chữ số khác lớn 50.000 b.Có năm chữ số khác số chẵn Giải: a.Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 n > 50000 nên a1  {5,7,8,9} a1 có cách chọn , chọn chữ số lại có A74 cách Vậy có A74  3360 số b.Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5 n số chẵn nên a5 = {0,2,4,8} TH1: a5 = 0, chọn số lại ta có A74 cách TH2: a5 ≠ a5 có cách chọn - a1 có cách chọn ,ba chữ số lại có A63  có 3.6 A63 Vậy có A74 + 3.6 A63 = 3000 số Ví dụ 4: Cho tập hợp A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ Tập A lập số: a) Có sáu chữ số khác cho chữ số va đứng cạnh nhau? b) Có sáu chữ số khác cho chữ số không đứng cạnh nhau? NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 17 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Giải a) Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5a6 Xét hai trường hợp sau : TH1 : a1a2 = 13 : Chọn chữ số lại A84 cách  có A84 số TH2 :Nếu a1a2 ≠ 13 : + a1 có cách chọn ( a1 ≠ 0;a1 ≠ ) + Có vị trí cho 13 + Chọn chữ số lại có A73 cách  có 6.4 A73 số Vậy có: A84 + 6.4 A73 số mà ( 1,3 ) đứng cạnh Do vai trò 13 giống vai trò 31 nên có tất cả: 2( A84 + 6.4 A73 ) =13440 số cần tìm b) Gọi số cần tìm n = a1a2 a3a4 a5a6 Giải theo bước sau : B 1: Tính số tạo thành có sáu chữ số bất kì: +a có cách chọn ( a ≠ ) + Chọn chữ số lại có A95 cách  có A95 số B2 : Tính số số có 0,7 đứng cạnh nhau: Tha: hai chữ 70 : + có vị trí 70 + chọn chữ số lại có A84 cách :  có A84 số có sáu chữ số mà có 70 Thb: hai chữ số 07 : + có vị trí cho 07 + chọn chữ số lại có A84 cách :  có: A84 số có sáu chữ số mà Do có : A84 + A84 = A84 số mà ( 0,7) đứng cạnh B3: số số cần tìm : A95 - A84 = 120960 số Ví dụ : cho tập hợp A= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập hợp A lập số có chữ số khác cho : a) có mặt hai chữ số b) hai chữ số không đứng cạnh Giải a) gọi số cần tìm : n = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 TH1 : Hai chữ số 90 + có sáu vị trí cho cho chữ số 90 + chọn chữ số lại có : A85 cách NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 18 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I  có A85 số có chữ số mà hai chữ số 90 TH2: Hai chữ số 09 + có vị trí có chữ số 09 + chọn chữ số lại có A85 cách  có A85 số có chữ số mà hai chữ số 09 Vậy có tất cả: A85 + A75 = 11 A85 số cần tìm b) gọi số cần tìm : n = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 Giải theo bước sau : B1: tính số số có chữ số khác bất kỳ: +a1 có cách chọn + Chọn chữ số lại có A96 cách  có A96 số B2:Tính số số có chữ số khác có chứa hai chữ sô 1.6 đứng cạnh nhau, xét hai trường hợp: TH1: a1a2 = 16 Có A85 cách chọn chữ số lại TH2: a1a2 ≠ 16 + Có vị trí cho chữ 16 +a1 có cách chọn ( a ≠ 0: a ≠ ) +Chọn chữ số lại: A74 cách  5.7 A74 cách Từ hai trường hợp ta có số số có chứa 16 là: A85 + 5.7 A74 Tương tự ta có: A85 + 5.7 A74 số số có chứa 61 B3 Vậy số số thỏa mãn toán là: A96 - 2( A85 + 5.7 A74 ) = 472080 số Ví dụ 6: Cho tập A ={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ tập A tạo số: a) Có sái chữ số khác cho có mặt hai chữ số b) Có bảy chữ số khác cho có mặt hai chữ số Giải a) Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5a6 + Có vị trí cho chữ số + Có vị trí cho chữ số + Chọn chữ số lại có A84 cách b) Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 Cách :Giải theo bước sau : B1 : Tính số số có chữ số : + a1 có cách chọn + Chọn chữ số lại có A96 cách  có A96 số NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 19 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I B2 Tính số số có chữ số có mặt chữ số mà mặt chữ số : TH1 :a1 = : Chọn chữ số lại có A86 cách ( bỏ chữ số 5)  có A86 số TH2 : a1 ≠ : + a1 có cách chọn ( a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ ) + Có vị trí cho chữ số + Chọn chữ số lại có A75 cách ( bỏ chữ số )  có 7.6 A75 số Từ hai trường hợp  có : A86 + 7.6 A75 số B3 : Tính số số có chữ số; có mặt chữ số mà mặt chữ số 2: giống bước 2, ta có: A86 + 7.6 A85 số B4 : Tính số số có chữ sô mà chữ số 5: + a1 có cách chọn ( a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ ) + Chọn chữ số lại có A76 cách  có A76 số B5 : số số cần tìm là: A96 - 2( A86 + 7.6 A75 ) - A76 = 257040 số Cách 2: xét trường hợp sau TH1: a1 =2: + Chữ số có vị trí + chọn chữ số lại có A85 cách có A85 số TH2: a1 = 3: giống TH2  có A85 số TH3: a1 ≠ a1 ≠ 3: + Chữ số có vị trí + Chữ số có vị trí + a1 có cách chọn ( a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ ) + Chọn chữ số lại có A74 cách  có 6.5.7 A74 số Vậy có tất : 2.6 A85 + 6.5 A74 = 257040 số cần tìm Cách 3: tính theo bước sau: B1 :Tính số số tạo thành chứa chữ số có chữ số + có cahcsh chọn cho chữ sô + có A62 vị trí cho chữ sô + có A74 cách chọn chữ số lại  có A62 A74 số B2:Tính số số tạo thành chứa cố có chữ số + có A72 cách chọn vị trí cho hai chữ số + có A85 cách chọn chữ số lại  có A72 A85 số NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 20 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Theo quy tắc cộng ta có tất số là: A62 A74 + A72 A75 = 257040 số cần Bài 11: Cho tập A = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ tập A lập số a) Có chữ số khác cho có mặt chữ số 0,2,4? b) Có chữ số khác cho có mặt chữ số 1,3,5,7? Giải a) Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5a6 + Có vị trí cho chữ sô + Có vị trí cho chữ số + Có vị trí có chữ số + Chọn chữ số lại có A73 cách  có 5.5.4 A73 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5a6 a7 Nhận xét : Khi số tạo thành có từ chữ số cho trước trở lên ta nên sử dụng cách cách sử dụng cách dài Cách : Xét trường hợp : Th1 :Khi a1 =1 giống a1 = {3,5,7} + a1 có cách chọn + có vị trí cho chữ số + Có vị trí cho chữ số + Có vị tí cho chữ số + Chọn chữ số lại A63 cách  có : 4.6.5 A63 số TH2:a1 ≠ 1;a1 ≠ 3;a1 ≠6 a1 ≠7: + a1 có cách chọn + Có A64 vị trí cho chữ số 1.3.5.7 + Chọn hai chữ số lại có A52 số Vậy có tất cả: 4.6.5.4 A63 + A64 A52 = 93600 số cần tìm Cách 2: Giải theo hai bước sau: B1:Tính số số có chữ số có mặt chữ số 1.3.5.7 + Có vị trí cho chữ số + Có A64 cách chọn vị trí cho chữ số 1,3,5,7 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 21 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 22 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I [...]... 5 A64 A52 = 93600 số cần tìm Cách 2: Giải theo hai bước sau: B1:Tính số các số có chữ số 0 và luôn có mặt 4 chữ số 1.3.5.7 + Có 6 vị trí cho chữ số 0 + Có A64 cách chọn vị trí cho 4 chữ số 1,3,5,7 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 21 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 22 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I ... + 3.6 A63 = 3000 số Ví dụ 4: Cho tập hợp A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ Tập A có thế lập được bao nhiêu số: a) Có sáu chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 va 3 luôn đứng cạnh nhau? b) Có sáu chữ số khác nhau sao cho chữ số 0 và 7 không đứng cạnh nhau? NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 17 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Giải a) Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5a6 Xét hai trường hợp sau : TH1 : nếu a1a2 = 13 : Chọn... 2.4 A63 = 2640 số cần tìm Ví dụ 11 cho tập hợp A ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm có sáu chữ số sao cho chữ số 5 luôn có mặt 2 lần Các chữ số còn lại có mặt một lần, Giải NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 14 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Gọi số cần tìm là : n = a1a2 a3a4 a5 a6 Cách 1: Xét hai trường hợp: TH1: a6 =5: + Do chữ số 5 luôn có mặt 2 lần nên 5 vị trí còn lại thì chữ... CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I TH3: a3 =1: giống như TH2: có 2 A74 số TH4: a4 =1:giống như TH2: có 2 A74 số TH5: a5 =1:giống như TH2 : có 2 A74 số TH6: a6 =1:giống như TH1 Vậy có tất cả: 2 A74 + 4.2 A74 =8400 số cần tìm Cách 2: Khi hai chữ số (1 và 3) luôn đứng cạnh nhau thì ta xem như hai chữ số (1,3) là một chữ số a Khi đó ta lập một số có năm chữ số sao cho chữ số a luôn có mặt một lần... chứa chữ số 0 và luôn có chữ số 2 và 5 + có 6 cahcsh chọn cho chữ sô 0 + có A62 vị trí cho 2 chữ sô 2 và 5 + có A74 cách chọn 4 chữ số còn lại  có 6 A62 A74 số B2:Tính số các số tạo thành không có chứa cố 0 và luôn có chữ số 2 và 5 + có A72 cách chọn vị trí cho hai chữ số 2 và 5 + có A85 cách chọn 5 chữ số còn lại  có A72 A85 số NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 20 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Theo quy... {0,1,2,3,4,5,6,7}.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có: a .Năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 b.Sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt đúng 1 lần Giải: Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5 do số này chia hêt cho 2 nên a5 = {0,2,4,6} Cách 1: Xét trường hợp NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 16 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I TH1: Nếu a5 = 0 ta chọn 4 chữ số còn lại thì được A74... TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 19 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I B2 Tính số các số có 7 chữ số có mặt chữ số 2 mà không có mặt chữ số 5 : TH1 :a1 = 2 : Chọn 6 chữ số còn lại có A86 cách ( bỏ đi chữ số 5)  có A86 số TH2 : a1 ≠ 2 : + a1 có 7 cách chọn ( a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ 5 ) + Có 6 vị trí cho 2 chữ số 2 + Chọn 5 chữ số còn lại có A75 cách ( bỏ đi chữ số 5 )  có 7.6 A75 số Từ hai trường hợp trên  có : A86 + 7.6 A75... có năm chữ số sao cho chữ số 1 và 5 luôn đứng cạnh nhau rồi đem ghép với chữ số a6 sẽ được chữ số n cần tìm Khi hai chữ số 1 và 5 luôn đứng cạnh nhau, ta xem (1,5) là một chữ số a.Ta lập một số có bốn chữ số sao cho chữ số a luôn có mặt : -Chữ số a có 4 vị trí - Chọn ba chữ số còn lại có A63 cách  có 4 A63 số - Hoán đổi vị trí giữa hai chữ số 1 và 5 ta được: 2.4 A63 số có năm chữ số mà ( 1,5 ) luôn... 168000 số cần tìm NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 13 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Ví dụ 10.chọn tập A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho ha chữ số 1 và 5 luôn đứng cạnh nhau? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có sáu chữ số đôi một khác nhai sao cho hai chữ số 1 và 4 luôn đứng chanh nhau? Giải a) Gọi số cần tìm là : n... c.Số có 4 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 do n chẵn nên a4  {2,4,6} Chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần nên xét 2 trường hợp Trường hợp 1: a4 = 2 ,số cách chọn cho 3 chữ số còn lại lai A53  5!  60 (5  3)! Trường hợp 1: a4 ≠ 2 nên a4 có 2 cách chọn - có 3 vị trí cho số 2 - chọn 2 vị trí còn lại trong tổng 4 phần tử là A42  4!  12 (trừ a4 , trừ 2) (4  2)! Ta được 2.3.12 = 72 Vậy có tất ... sinh dự thi phải thực hai đề thi gồm tự luận trắc nghiệm,trong tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề. Hỏi học sinh có cách chọn đề thi? Giải: - Số cách chọ đề tự luận 12 cách - Số cách chọn đề trắc... VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I CHỈNH HỢP 1.Định Nghĩa công thức Cho tập A gồm n phần tử khác đôi một.Từ tập n rút k phần tử khác đôi xếp chúng theo thứ tự chỉnh hợp chập k n phần tử Ank  Công thức... vị trí cho chữ số 1,3,5,7 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 21 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 22 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I