SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT MINH KHAI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II Môn Toán (Thời gian làm 180 phút) I Phần chung: Câu Cho hàm số: y = x4 + 2m2x2 + (Cm) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b Chứng minh đường thẳng y = x+1 cắt (Cm) hai điểm phân biệt ∀ m∈R Câu 2 a Giải phương trình: 2sin x = (cos3x+cosx)(tan x + tan x) xy  2 x + y + =1  x+ y b Giải hệ phương trình:   x + y = x2 − y  e log x dx Câu Tính : I= ∫ x + 3ln x Câu Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi cạnh a ; SA=SB=SD=a ; (SBC)⊥(SCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Câu Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc 1 1 + + ≥ Chứng minh rằng: 2 a(2a − 1) b(2b − 1) c(2c − 1) II Phần riêng A Theo chương trình nâng cao: Câu 6a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;1) Lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ b ≥ điểm C thuộc trục Oy có tung độ c ≥0 cho ∆ABC vuông A Tìm tọa độ điểm B,C cho ∆ABC có diện tích lớn Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1;0;-2) vuông góc với hai mặt phẳng (P1) : 2x + y – z – = ; (P2) : x –y – z - =   2y  log 2011  x ÷ = x − y    Câu 7a Giải hệ :  3  x + y = x2 + y2  xy B Theo chương trình chuẩn Câu 6b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;5), đường thẳng BC có phương trình: x – 2y – = điểm I (1;0) tâm đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ đỉnh B,C Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(2;1;1) , B(3;2;2) vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – 5z – = wWw.VipLam.Info Câu 7b Giải phương trình: 3x.2 x = 3x + x + / Chú ý: Thí sinh khối B- D làm câu phần chung Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:……………… ĐÁPÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II – MÔN TOÁN Nội dung Câu (2đ) a m=1 : y= x4+ 2x2 +1 - TXĐ: D=R y = +∞ ; lim y = +∞ - Sự biến thiên: + Giới hạn vô cực: xlim →−∞ x →+∞ / + y = 4x + 4x y/= ⇔ x = + BBT x -∝ +∝ // y y + y +∝ +∝ y Điểm 0,25 0,5 Hàm số nghịch biến khoảng ( - ∝ ; 0),đồng biến khoảng (0; + ∝ ) cực tiểu : (0;1) Đồ thị : Một số điểm thuộc đồ thị (-1;4) ; (1;4) Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng y 0,25 -1 x b phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y= x +1 x4 + 2m2x2 + = x +1 (1) ⇔ x= x3 +2m2x – = (2) Xét hàm số f(x) = x3 +2m2x – có f/(x)= 3x2 + 2m2 ≥ ∀x∈R ; lim f ( x) = −∞ ; lim f ( x) = +∞ f(0) = - ≠ x →−∞ 0,25 (0,5) 0,5 x →+∞ ⇒PT(2) có nghiệm x ≠ với ∀m ∈ R Do PT(1) có nghiệm phân biệt với ∀m ∈ R hay đường thẳng y = x+1 cắt (Cm) hai điểm phân biệt ∀ m∈R wWw.VipLam.Info 0,25 (0,5) (2đ) 0,5 a 2sin x = (cos3x+cosx)(tan x + tan x) (1) ĐK : cosx ≠ cos2x ≠  sin x sin x  + (1) ⇔ 2sin3x=2cos2x.cosx  ÷  cos x cos2x  ⇔ sin x cos x = cos2x.sin x + sin x cos x ⇔ ( sin x cos x + cos2x.sinx ) cosx=cos2x.sin x + sin x cos x cos2x=0 (loai) cos2x.sin x.cosx=cos2x.sin x ⇔ sinx=0 (t/m)  cosx=sinx (loai) sinx=0 ⇔ x= kπ (k ∈ Z) Vậy x= kπ (k ∈ Z) Là nghiệm phương trình xy  2 x + y + =1 (1)  x +y b.Giải hệ phương trình:  ĐK x + y >  x + y = x2 − y (2)  xy (1) ⇔ ( x+y ) − + − xy = x+ y  x2 + y + x + y   xy  ⇔ ( x + y − 1)  x + y + − = ⇔ ( x + y − 1)  ÷= x+ y÷ x+ y     ⇔ x + y − = (do  x=1  x= - Với x = ⇒ y=0 Với x= - ⇒ y =3  x=1 y=0  (1đ) 0,25 0,25  x= -   y=3 Vậy hệ có nghiệm   lnx  log x e e  ÷ dx = ln x I= ∫  ln2  dx = dx x + 3ln x ∫1 x + 3ln x ln ∫1 x + 3ln x 1 2 Đặt t = + 3ln x ⇒ ln x = (t − 1) ⇒ ln xdx = tdt x e 0,5 x2 + y2 + x + y > 0) x+ y 2 ⇔ y = x − Thay vào (2)1 = x − (1 − x) ⇔ x + x − = ⇔  0,5 wWw.VipLam.Info 0,25 0,25 x =1 ⇒ t = ; x = e ⇒ t = 0,5 I= (1đ) 1 1  (t - 1)dt =  t − t ÷ 12 = ∫ 9ln 9ln  27ln  Gọi I trung điểm SC ⇒BI⊥SC DI⊥SC Từ giả thiết ⇒ BI⊥DI S Gọi O = AC∩ BD ⇒ BD = 2OI =SA =a ⇒∆ABD D Kẻ SH ⊥(ABCD) ⇒ H tâm ∆ABD O A Ta có SH = SA2 − AH =a H Diện tích hình thoi ABCD : a2 SABCD = S∆ABD = a3 Thể tích khối chóp S.ABCD : V = SH.SABCD = (1đ) 0,25 (0,5) I 0,25 C 0,5 (0,75) B 1 + + =2 a b c 1 ; y= ;z= Đặt : x = Suy x,y,z > x+y+z=2 a b c 1 x3 y3 z3 + + = + + Ta có: P = a(2a − 1) b(2b − 1) c(2c − 1) ( y + z ) ( x + z ) ( y + x) x3 y + z y + z 3x + + ≥ Áp dụng bđt Cô-si: ( y + z) 8 y3 x + z x + z 3y + + ≥ ( x + z) 8 z3 y + x y + x 3z + + ≥ ( y + x) 8 Từ giả thiết suy wWw.VipLam.Info 0,25 0,25 0,5 1 P ≥ ( x + y + z ) = ( Đpcm) Ta có B(b;0) ; C(0;c) với b, c ≥ b2 + c2 >0 Phương trình đường thẳng BC : cx + by – bc = 2c + b − bc Khoảng cách từ A đến đt BC : h = ; BC = c + b 2 b +c 1 Diện tích ∆ABC S = h.BC = 2c + b − bc uuur uu 2u r Do ∆ABC vuông A nên AC AB = Do đó: 6a (2đ) 0,5 0,5 ⇒ 2b+c =5 ⇒ c= - 2b Do c≥ nên 0≤ b ≤ 5/2 Do đó: S = b2 – 4b + = f(b) Ta có max f (b)  5 0;  =f(0) = nên Smax = ⇔ b = c = hay B(0;0) C(0;5) r r Các mp (P1) , (P2) có vec tơ pháp tuyến n1 (2;1; −1) ; n (1; −1; −1) mp(P) qua A (1;0;-2) vuông góc với mp (P1) , (P2) nên có vec tơ pháp r r r   n = n tuyến  1; n  = ( −2;1; −3) phương trình mp(P) - (x – ) + y – (z +2 )= ⇔ 2x – y + 3z + = 7a   2y  log 2011  ÷ = x − y (1)   x    3  x + y = x2 + y2 (2)  xy ĐK: xy >0 Từ (2) suy x3 + y3 = xy(x2 + y2) >0 nên x> ; y> (1) ⇔ x.2011x = 2y.20112y (*) Xét hàm số f(t) = t 2011t (t >0)   ta có f/(t) = 2011  + t t  ÷> ln 2011  0,5 0,5 0,25 0,25 ∀t > f(t) đồng biến (0 ; + ∝ ) 6b pt (*) trở thành f(x) = f(2y) ⇔ x = 2y thay vào pt(2) ta y(5y – 9/2) = ⇔ y = (loại) y = 9/10 Với y = 9/10 suy x = 9/5 Vậy nghiệm hệ … 0,5 Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC : r = d ( I ; BC ) = 0,25 wWw.VipLam.Info uuuur Điểm C ∈ ĐT x – 2y – = ⇒ C(2y0 + 6;y0 ) ⇒ AC (2 y0 + 5; y0 − 5) Phương trình đt AC : (5 – y0 )x + (2y0 +5)y – 9y0 – 30 = Ta có r = d ( I ; AC ) nên ⇔ 10 y0 + 25 = 5= 0,5 10 y0 + 25 y02 + 10 y0 + 50 5 y02 + 10 y0 + 50 ⇔ 3y02 + 18y0 +15 = C (4; −1)  y0 = −1 ⇔ ⇒ C ( −4; −5) y = −  Do vai trò B C nên C(4;-1) B(-4;-5) ngược lại Vậy … 0,25 2.Ta có AB (1;1;1) 0,5 uuu r ur Một vec tơ pháp tuyến mp(P) : n1 (1;2 − 5) mp(Q) qua A(2;1;1) ; B(3;2;2) vuông góc với mp(P) nên có vec tơ pháp tuyến là: r uuu r ur n =  AB; n1  = ( −7;6;1) 7b (1đ) Phương trình mp(Q) là: - (x – 2) + 6(y – 1) + z – = ⇔ -7x + 6y + z + =0 0,5 3x.2 x = 3x + x + 2x + ⇔ 3x = (1) ( Do x = ½ nghiệm phương trình) 2x − 0,25 Ta có hàm số : f(x) = 3x đồng biến R −4 2x + / < ∀x ≠ nên nghịch biến khoảng có g (x)= (2 x − 1) 2x −1 ( - ∝ ; 1/2) và( ½; +∝) Do khoảng ( - ∝ ; 1/2) và( ½; +∝) phương trình f(x) = g(x) có nghiệm 0,25 hàm số g(x)= nghiệm Dễ thấy x = x = -1 nghiệm phương trình Vậy pt có nghiệm …… Ghi chú: Đối với khối B khối D điểm câu 5, chuyển sang câu 4, câu 1b, cụ thể phần đóng ngoặc tương ứng wWw.VipLam.Info 0,5 ... sinh:……………………………………… Số báo danh:……………… ĐÁPÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II – MÔN TOÁN Nội dung Câu (2đ) a m=1 : y= x4+ 2x2 +1 - TXĐ: D=R y = +∞ ; lim y = +∞ - Sự biến thi n: + Giới hạn vô cực: xlim →−∞ x... x.2011x = 2y.20112y (*) Xét hàm số f(t) = t 2011t (t >0)   ta có f/(t) = 2011  + t t  ÷> ln 2011  0,5 0,5 0,25 0,25 ∀t > f(t) đồng biến (0 ; + ∝ ) 6b pt (*) trở thành f(x) = f(2y) ⇔ x = 2y... trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y= x +1 x4 + 2m2x2 + = x +1 (1) ⇔ x= x3 +2m2x – = (2) Xét hàm số f(x) = x3 +2m2x – có f/(x)= 3x2 + 2m2 ≥ ∀x∈R ; lim f ( x) = −∞ ; lim f ( x) = +∞ f(0) = -