BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Ket-noi.com LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội-2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi Hà Nội, 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi thầy cô giáo hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả, thường xuyên dành cho em bảo, giúp đỡ động viên vật chất tinh thần giúp em hoàn thành luận văn thời hạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, thầy cô, cán nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần xa người thân gia đình động viên, tạo điều kiện để luận văn sớm hoàn thành LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tác giả thực hướng dẫn PGS.TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi Trong nghiên cứu luận văn, tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Phùng Thị Nhàn NHỮNG KÍ HIỆU Trong luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng sau R C ∅ −∞ ∞ ber bei tập hợp số thực tập hợp số phức tập rỗng âm vô dương vô (tương đương với +∞) phần thực hàm phần ảo hàm Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Những kí hiệu Mở đầu Chương HÀM TRỤ 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Hàm Gamar Euler 12 1.3 Hàm trụ 16 1.3.1 Hàm trụ loại 18 1.3.2 Các hàm trụ khác 29 1.3.3 Biểu diễn tiệm cận hàm trụ 39 1.3.4 Đồ thị hàm trụ phân bố không điểm Chương ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 47 53 2.1 Ứng dụng để giải vấn đề lý thuyết 53 2.1.1 Định lý cộng hàm Bessel 53 2.1.2 Những phương trình vi phân giải nhờ hàm trụ 53 2.1.3 Các tích phân có chứa hàm Bessel 54 2.1.4 Tích phân Sonhin 56 2.1.5 Tích phân thuyết sóng điện 58 2.1.6 Dao động dây xích 60 2.1.7 Dao động màng tròn 63 2.1.8 Nguồn nhiệt hình trụ 64 2.1.9 Sự truyền nhiệt hình trụ tròn 67 2.2 Một số ứng dụng khác 68 Kết luận 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự đời số phức trình nghiên cứu phát triển hoàn thiện lí thuyết hàm số biến số phức dấu mốc quan trọng trình phát triển toán học Những kết đạt lý thuyết giải nhiều vấn đề quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống khác Khi nghiên cứu giải tích phức, vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu lí thuyết hàm trụ Nhiều tính chất quan trọng hàm trụ tìm biết đến với nhiều ứng dụng có tính thực tiễn cao vật lý, kỹ thuật, xây dựng Từ việc nghiên cứu hàm trụ không gian hai chiều, nhiều nhà toán học không ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiều chiều đạt nhiều kết to lớn Với kết đạt không gian hàm biến số thực việc tính độ dài đường cong, diện tích mặt, thể tích khối Việc nghiên cứu hàm trụ giải cách triệt để vấn đề lớp hàm biến số phức đặc biệt biểu diễn thông qua hàm trụ Với nhiều ứng dụng đặc biệt khoa học đời sống mà việc nghiên cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu cách sâu sắc, có hệ thống hàm trụ với ứng dụng tác giả mạnh dạn chọn đề tài “Hàm trụ ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, tính chất hàm trụ ứng dụng hàm trụ Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Hàm trụ Chương 2: Ứng dụng hàm trụ Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học cách logic hệ thống Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu khái niệm toán học, nâng lên thành đề tài nghiên cứu đề xuất ứng dụng việc giải số vấn đề lý thuyết, giải toán thực tiễn Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học người yêu thích toán học Chương HÀM TRỤ 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử hàm f = u + iv xác định hữu hạn lân cận điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C Định nghĩa 1.1 Ta nói f khả vi điểm z0 theo nghĩa giải tích thực (hay R2 − khả vi), hàm u v khả vi hàm (x, y) điểm (x0, y0) biểu thức df = du + idv, (1.1) gọi vi phân f điểm z0 Định nghĩa 1.2 Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 C− khả vi lân cận điểm Ta gọi hàm f chỉnh hình tập mở D, chỉnh hình điểm D (do tập D khái niệm giải tích khả vi phức trùng nhau) Ta gọi hàm f chỉnh hình tập hợp M ⊂ C thác triển giải tích lên tập hợp mở D ⊃ M Cuối cùng, hàm f chỉnh hình điểm vô hiểu tính chỉnh hình hàm ϕ(z) = ϕ( z1 ) z = Định nghĩa cho phép ta xét hàm chỉnh hình tập hợp mặt phẳng đóng C Định lý 1.1 Tổng tích hàm chỉnh hình miền D chỉnh hình miền Do tập hợp tất hàm chỉnh hình miền D lập nên vành vành ta kí hiệu H(D) H(D) không gian vector C 60 2.1.6 Dao động dây xích Cho chuỗi xích nặng đồng loại AMB chiều dài l cheo thẳng đứng điểm B tác động lực kéo thực dao động nhỏ quanh vị trí cân Nếu biểu thị thông qua thời gian x Chiều dài chuỗi xích từ điểm a đến điểm chuyển động M qua n = u(x, t) nghiêng điểm M từ chiều thẳng đứng hình 2.1, phương trình dao động nhỏ có dạng ∂ 2u ∂ 2u ∂u = g x + , ∂t2 ∂x2 ∂x (2.24) g gia tốc lực kéo Khi theo Becnuli, giải chương trình Hình 2.1 phương pháp nhân chia đường chuyển động Đối với điều tìm cách giải phương trình riêng, có dạng sinh hai hàm, số hàm phụ thuộc vào đường di chuyển x, hàm khác phụ thuộc vào t u = X (x) T (t) Khi đặt điều vào (2.24), sau biến đổi đơn giản có T (t) xX (x) + X (x) =g T (t) X (x) Vì bên trái hàm biến t, bên phải hàm biến x, đẳng thức sảy hai vế số 61 Khi phương trình cuối có dạng ω2 T (t) + ω T (x) = 0, xX (x) + X (x) + X (x) = g (2.25) Giải phương trình đầu có dạng T (t) = A sin (ωt + ϕ) , A ϕ điểm cố định, phương trình thứ hai có dạng phương trình ω2 (2.2) a = 1, b = 0, c = , α = Theo công thức (2.4) tìm g g µ = 2, v = 0, k = đó, phép (2.3) trường hợp 4ω g t t = 2ω xg , đưa phương trình đến dạng có dạng x = 4ω phương trình hàm tuần hoàn với số x = 0, thấy từ phép tương ứng (2.6) Bằng cách việc giải phương trình (2.25) có dạng X (x) = BJ0 2ω x g + CY0 2ω x , g B C điểm cố định Từ lý giải vật lý rõ ràng x → việc giải g phải có giới hạn, C = 0, coi điểm cố định B = 1, thừa số tuỳ ý A đưa vào giải thích T Bằng cách tìm cách giải riêng phương trình (2.24) dạng u = AJ0 2ω x sin (ωt + ϕ) g (2.26) Đại lượng ω có giá trị tuỳ ý, từ điều kiện dây xích treo điểm B, tìm u(l, t) = tất t, có điều trường hợp, J0 2ω l g = 0, (2.27) ακ g , ακ số hàm Becnuli bậc l Phương trình (2.26) cho thấy tất điểm xích thực α g với biên độ thay đổi dao động ngang với tần xuất tương đương ωκ = l từ ω = ωκ = 62 từ điểm đến điểm theo quy luật AJ0 2ωk x g = AJ0 αk x l (Khi x = hàm số J0(x) = 1, điểm cố định A thể biên độ dao động vòng tròn tự chuỗi) Tần xuất dao động dạng chuỗi xích dao động khác biệt, phụ Hình 2.2 thuộc vào số ακ hàm J0 (x) xét hình 2.2 diễn giải quy luật thay đổi biên độ điểm chuỗi k = 0, 1, Thường dao động chuỗi nhận dao động (2.26) với biên độ khác biệt chu kỳ u (x, t) = ∞ Aκ J0 ακ κ=0 x sin (ωκ t + ϕκ) l (2.28) Để xác định hệ số Aκ ϕκ , cần đưa chênh lệch vận tốc điểm chuỗi , nghĩa u (x, 0) = f (x) , ∂(u) ∂(t) Khi có điều kiện f (x) = ∞ Aκ J0 aκ κ=0 x sin ϕκ l Những điều kiện mà biểu thị ∞ g (x) = |t=0 = ϕ (x) Aκ ωκ J0 aκ κ=0 x cos ϕκ l x/l = τ f lτ = F (τ ) , g lτ = G (τ ), viết lại dạng khai triển phụ đề khái quát F (τ ) = ∞ κ=0 Ak sin ϕk J0 (aκ τ ) , G (τ ) = ∞ Ak ωκ cos ϕk J0 (aκ τ ) (2.29) κ=0 Từ khai triển theo công thức (1.49) tìm hệ số Aκ ϕκ 63 Becnulli giải phương trình (2.25) với giúp đỡ chuỗi đưa đến điều kiện (2.27) nhận thấy chuỗi xích tập hợp vô hạn dạng sợi dao động 2.1.7 Dao động màng tròn Độ võng u = u(x, y, t)− chênh lệch từ trạng thái cân màng, thực dao động nhỏ tác động lực kéo, dẫn đến phương trình ∂ 2u = a2 ∂t ∂ 2u ∂ u + , ∂x2 ∂y (2.30) a2 = T/σ, T− sức kéo σ− mật độ bề mặt Trong công trình công bố năm 1764, Euler xem xét toán dao động màng xung quanh Euler tìm từ phương trình a ∂ 2u ∂u ∂ 2u + + ∂r2 r ∂r ∂ϕ2 ∂ 2u = 2, ∂y (2.31) phù hợp với phương trình (2.30) toạ độ cực tính Để xây dựng cách giải phương trình (2.3) Euler giả định u = R (r) sin (ωt + y) sin (λϕ + δ) có ω, λ δ − l điểm cố định, sau phép vào (2.31) r R + rR + ω2 r − λ2 R = 0, a (2.32) sau chuyển từ r đến điểm di chuyển p = rω/a phương trình cuối tiếp nhận dạng thông thường phương trình hàm tuần hoàn ρ2 R + ρR + ρ2 − λ2 R = (2.33) Từ lý giải vật lý rõ ràng chu kỳ hàm theo ϕ phải 2π, vậy, λ cần phải số nguyên Đối với giá trị Euler thu cách giải phương trình riêng (2.32) dạng u = AJn ωr sin (ωt + γ) sin (nϕ + δ) a (2.34) Nếu màng bao đường tròn, r = r0 , r0− bán a (n) (n) kính màng, cần phải có Jn ωra = 0, từ ω = ωκ = ak , r0 (n) aκ κ hàm Jn (x) 64 Euler nhận thấy tồn tập vô hạn dao động màng n = hàm số u không phụ thuộc vào ϕ u = Ak J0 αk r r0 sin (ωk t + γk ) , (2.35) nghĩa tất điểm màng nằm khoảng cách tương đồng từ tâm, dao động tương đồng Các điểm màng thực dao động hài r aαk với biên độ Ak J0 αk , phụ hoà, với tần xuất tương đồng ωk = r0 r0 thuộc vào khoảng cách điểm đến tâm Trong hình 2.3 diễn tả quy luật thay Hình 2.3 đổi biên độ dao động điểm riêng biệt màng k = 0, 1, Loại hình dao động chung có phép cộng dao động (2.34) với điểm n k khác biệt u= ∞ (n) r r0 Ank Jn αk (n) sin ωk t + γnk sin (nϕ + δnk ) (2.36) n, k=0 Với vị trí độ lệch màng đưa tìm thấy hệ số Ank, γnk , δnk sử dụng tính trực giao hệ thống hàm hình học hàm tuần hoàn 2.1.8 Nguồn nhiệt hình trụ Dòng nhiệt mặt phẳng song song mà phân bổ nhiệt độ tất mặt phẳng (II), vuông góc với hướng cố định đó, tương đương, 65 viết phương trình vi phân ∂u = a2 ∂t ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y (2.37) t thời gian, a hệ số cố định x, y tọa độ Đề Tại mặt phẳng (II) Bằng kiểm tra vi phân trực tiếp hàm số (x − ξ)2 + (y − η)2 A − 4a2 t , u= e t (2.38) A, ξ, η cố định thoả mãn phương trình (2.37) Hiển nhiên t → điểm z = x + iy, khác với ζ = ξ + iη, hàm số u → , điểm ξ hàm tiến đến ∞ Cho nên nói (2.38) mặt vật lý học thể nhiệt độ xuất điểm z từ tác động nguồn nhiệt tức thời, vào thời điểm t = điểm ζ Chúng ta tính nhiệt độ tổng Hình 2.4 xuất điểm z từ tác động nguồn nhiệt điểm tức thời, t = phân bố dọc theo vòng tròn |ζ| = p Chúng ta cho tác dụng từ nguồn phân phối cung nhỏ p dϑ vòng tròn này, với tác dụng từ nguồn điểm Khi nhiệt độ từ tác động nguồn xác định theo công thức (2.38) |z − ζ|2 r2 + p2 − 2pr cos ϑ − − Adθ Adθ 4a2 t du = e 4a2 t = e , t t 66 z = reiϕ , ζ = pei(ϑ+ϕ) hình 2.4 Khi lấy tích phân biểu thức theo ϑ từ −π đến π, tìm nhiệt độ tổng cần tìm r + p2 A − u = e 4a2 t t π pr e 2a2 t cos ϑ dϑ −π Ở thay hàm cos ϑ thành hàm sin ϑ, phép tương π tự với phép biến đổi ϑ thành ϑ − , thay giới hạn tích phân 3π π − , lần lấy −π.π, mà không làm thay đổi đại lượng tích phân, Chúng ta có r + p2 − 2πA pr u= e 4a2t I0 (2.39) t 2a2 t Để giải thích ý nghĩa vật lý A tính tổng lượng nhiệt cần thu mặt phẳng z phân bổ nhiệt độ Nếu biểu thị thông qua nhiệt dung riêng c qua mặt phẳng bề mặt chất σ, nhiệt thành phần diện tích rdrdϕ dQ = cσurdrdϕ, mà toàn mặt phẳng ∞ 2π Q = cσ dϕ p2 2πAcσ − e 4a t 2π ur dr = t ∞ r2 − e 4a2 t I0 pr rdr 2a2t 0 Khi tính toán tích phân Veber (2.14) mục ( n, a b2 trường hợp p tương đương 0, ∞ r2 e 4a2 t I0 − pi 2a2 t , 4a2 t ), tìm pr 4ap t r dr = 2a te 2a2t Do vậy, Q = 8π Acσa2 biểu thức u đưa đến dạng cuối u= Q 4πa2 cσt r + p2 − e 4a2 t I0 pr 2a2t (2.40) Khi chuyển từ vùng nhiệt mặt phẳng đến cho công thức (2.40) đưa biểu thức nhiệt độ xuất từ tác động nguồn nhiệt tức thời, vào thời điểm t = phân bố số chu kỳ (nguồn nhiệt tuần hoàn) Vì vậy, Q biểu thị tổng nhiệt lượng có dải chiều dài l chuyển dịch đến trục chu kỳ 67 2.1.9 Sự truyền nhiệt hình trụ tròn Lấy toạ độ bề mặt hình trụ tròn ρ để giữ cho nhiệt độ tương đương u0 cos ωt Chúng ta tìm phân bố nhiệt độ theo điều kiện nhiệt độ ban đầu bên hình trụ Do toán bao hàm điểm đối xứng hình trụ, nên tạo toạ độ hình trụ r, ϕ, z Nhưng từ u không phụ thuộc vào z ϕ nên phương trình độ dẫn nhiệt có dạng sau ∂u = a2 ∂t ∂ 2u ∂u + , ∂r2 r ∂r (2.41) = u0 cos ω t trở thành điều kiện đường = 0, u r=ρ t=0 biên Bài toán giải theo phương pháp mở từ dẫn đến tái thiết theo u lập Laplace theo biến số t, thu phương trình mở sau d2 U dU ρ + − U = dr r dr a Phương trình cần phải có điều kiện sau U r=ρ = ρu0 p2 + ω Kết chung phương trình mở phải phù hợp với công thức (1.43) công thức (1.72) √ − √ − ρ ρ U = AJ0 ir + BY0 ir a a √ − ρ i) theo U bị hạn chế, với n → ∞, (chúng ta có λ = 0, α = a B = √ − ρ U = AI0 r a √ − ρu0 ρ Đặt điều kiện khoảng tìm AI0 a ρ = ρ + ω2 phương trình mở có dạng √ − ρ I0 r ρ a (2.42) U = u0 √ − ρ2 + ω ρ I0 ρ a 68 Công thức U (ρ) có số cực dương không xác định, từ hai số ρ = ±iω, số âm lại ρk = − aαρ k , αk có bậc không, ta có   √ − π     ω i     e r I aαk   r ∞   − ) J ( α a ρ k ρ αk e iωt u (r, t) = uo Re √ − π e + 2a  J (αk ) a4 αk4 + ρ4 ω    i ω k=0     ρ I e     a Nếu hạn chế công thức (1.86) ta có π √− i I0 xe = I0 x i = ber x + i bei x để thực √ ω a = λ, αk ρ = βk ta ber λρ+bei λr bei λρ cos ωt+ u (r, t) = u0 ber λrber λρ+bei2 λρ ber λr bei λρ − bei λr ber λρ sin ωt+ + ber2 λρ + bei2 λρ 2a4 ∞ −a2 β kt J0 (rβk ) βk3 + e 4 ρ k=0 J0 (ρβk ) a βk +ω 2.2 (2.43) Một số ứng dụng khác Bài toán 2.1 (Biểu diễn tích phân Bessel hàm trụ) Hàm trụ loại thứ Jn(z) bậc nguyên n xác định hệ số với ω n phần khai triển Laurent ∞ z ) (ω− ω = Jn(z)ω n e n=−∞ Có thể biểu diễn hàm Jn(z) dạng chuỗi lũy thừa Muốn cần nhân chuỗi e z.1 ω −z ω e z ) (ω− ω = e , có ∞ n=0 ∞ z n n (−1)n z n ( ) ω ( ) n nl nl ω n=0 Từ hệ số với ω n (n = 0, 1, 2, ) Jn (z) = ∞ k=0 (−1)k z (n + k)!k! n+2k 69 hệ số với (n = 0, 1, 2, ) ωn J−n(z) = (−1)nJn (z) Bây tìm biểu thức Jn (z) cách trực tiếp nhờ công thức xác định hệ số chuỗi Laurent: Jn (z) = 2πi e z (ω− ) dω ω ω n+1 C biến đổi biểu thức này, muốn chọn làm C đường tròn |ω| = đặt ω = eit , nhận Jn (z) = 2πi 2π 2π eiz sin t e−n itidt = = 2π 2π 2π cos (nt − z sin t)dt = sin(t − z sin t)dt Nhưng tích phân thứ hai 0, theo tính chất tích phân hàm tuần hoàn, khoảng lấy tích phân (0, 2π) thay khoảng lấy tích phân (−π, π), hàm dấu tích phân hàm lẻ Như vậy, Jn (x) = 2π 2π cos(nt − z sin t)dt Hệ thức nhận gọi tích phân Bessel có cho biểu diễn hàm trụ dạng tích phân áp dụng hiệu vật lí toán Bài toán 2.2 (Bài toán tìm công thức tiệm cận hàm trụ) Jn (λ) = 2πi e x (x− ) dz z , z n+1 (2.44) |z|=t 1 1 (x − ), f (z) = (1 + ), có điểm 2 z z khoảng cách z1,2 = ±i bậc Ref (z) = 0, có đây, ϕ(z) = , f (z) = z+1 ∓in ϕ(±i) = ∓ie π , f (±i) = ±i, |f (±i)| = 70 x 1− = 0, cho x + y2 |z| = x = tìm ϑ1 = 3π/4, ϑ2 = π/4 Do có Do ta có phần thực u = Re f (z) = công thức tiệm cận cần tìm    − Jn (λ) ∼ √ e 2πλ   = π 3π λ−n + i − +e π π cos λ − n − πλ  π π  λ−n − i =   Bài toán 2.3 (Bài toán hỗn hợp hình trụ) Cho y ϕ x hình trụ toạ độ(y véc tơ bán kính) Trong hình trụ tròn ≤ y < 1, −π ≤ ϕ ≤ π, −∞ < x < ∞ cho phương trình Laplace ∆u = 0, phần x > 0, bề mặt y = cho giá trị hàm u: phần lại x < 0, y = có đạo hàm thông thường uy Trong trường hợp hàm biết không phụ thuộc hàm vào ϕ, ta đưa đến toán uxx + uy + uyy = 0, −∞ < x < ∞, < y < y u (x, − 0) = g (x) , x > (2.45) uy (x, − 0) = h (x) , x < (2.47) |u (x, y)| bị chặn y → ∞, (2.48) (2.46) g(x) h(x) hàm cho Ta áp dụng hai phần phương trình (2.44) toán tử V − x2 U (x, y) + Uy (x, y) + Uyy (x, y) = 0, < y < y (2.49) phương trình nhận dẫn đến phương trình Becel Cách giải chung phương trình (2.49) có dạng U (x, y) = C (x) I0 (xy) + C1 (x) K0 (x, y) I0(x) K0(x) hàm hình trụ đối số ảo, C(x) C1 (x) hàm sinh Trong mối liên hệ với điều kiện (2.48) ta suy đoán C1 (x) ≡ 71 Như U (x, y) = C (x) I0 (x, y) , −∞ < x < ∞, < y < (2.50) Để xác định hàm chưa rõ C(x) ta dùng vế điều kiện (2.46), (2.47) ta xác định chúng u (x, − 0) = f _ (x) + g+ (x) , −∞ < x < ∞ (2.51) uy (x, − 0) = f+ (x) + h_ (x) − ∞ < x < ∞ (2.52) g+ (x) = g (x) , x > 0, 0, x < 0, h− (x) = 0, x > 0, h (x) , x < 0, f+ (x) f− (x) hàm chưa biết dạng (2.45) (2.46) Ta đưa phép biến đổi đẳng thức Fourier (2.50), (2.51) U (x, − 0) = F − (x) + G+ (x) , Uy (x, − 0) = F + (x) + H − (x) (2.53) Từ đẳng thức (2,50) (2.52) ta đưa F + (x) = xI1 (x) − xI1 (x) + F (x) − H − (x) + G (x) , −∞ < x < ∞ I0 (x) I0 (x) Sau xác định hàm F − (x), ta cần tìm lời giải u (x, y) = V −1 I0 (xy) F − (x) + G+ (x) I0 (x) KẾT LUẬN Lý thuyết hàm biến phức nói chung lý thuyết hàm trụ nói riêng có tầm quan trọng toán học Trong luận văn tập trung nghiên cứu hàm trụ trường số phức Luận văn trình bày trọng tâm khái niệm hàm trụ trường số phức số tính chất quan trọng chúng, sau luận văn trình bày số ứng dụng hàm trụ gồm: • Ứng dụng để giải số vấn đề lý thuyết toán học – Định lí cộng hàm Bessel – Những phương trình vi phân giải nhờ hàm trụ – Các tích phân có chứa hàm Bessel – Tích phân Sonhin – Tích phân thuyết sóng điện – Dao động dây xích – Dao động màng tròn – Nguồn nhiệt hình trụ – Sự truyền nhiệt hình trụ tròn • Một số ứng dụng khác – Biểu diễn tích phân Bessel hàm trụ – Bài toán tìm công thức tiệm cận hàm trụ – Bài toán hỗn hợp hình trụ Mặc dù có nhiều cố gắng song chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong đóng góp ý kiến nhận xét để luận văn đầy đủ hoàn thiện, đồng thời tác giả có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau 73 Một lần nữa, cho em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Khoa Toán, thầy cô Phòng Sau Đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2, bạn bè đồng nghiệp, người thân gia đình, đặc biệt PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2000), Hàm biến phức − Lý thuyết ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Đinh Văn Phiêu, Lê Mậu Hải, Nguyễn Thu Nga, Nguyễn Huy Lợi (1984), Bài tập hàm số biến phức, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Trần Đức Vân (2004), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [5] B V SABAT (1979), Nhập môn giải tích phức, tập tập 2, NXB ĐH THCN, Hà Nội [6] G M Fichtengon (1972), Cơ sở giải tích toán học, NXB ĐH THCN, Hà Nội [7] L I Vonkovưski, G L Lunxơ, L G Aramnovich (1980), Bài tập lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐH THCN, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Nga [8] M.A.Lavrentev i B.V.Xabat (1973), MeTody Teorii funkci kompleksnogo permennogo, IZDATELSTVO ”NAUKA” GLAVNA MATEMATIQESKO LITERATURY , Moskva REDAKCI FIZIKO- [...]... (1.61) 2i Những hàm này được gọi là hàm trụ dạng 2 hay là hàm Vêber; chúng được gọi cả hàm Nheyman và khi đó có nghĩa là qua hàm Nλ (z) Vì trong giá trị thực z và λ hàm Jλ (z) là hàm thực, nên từ công thức (1.58) rút ra rằng đối với giá trị z và λ như thế ta có (1) (2) Hλ (z) = Hλ (z) Nhưng khi rút ra từ (1.61) rõ ràng đối với những giá trị thực z và λ những hàm Vêber có giá trị thực Khi sử dụng các công... sử dụng công thức (1.36) và công thức J0(z) = J1(z) của mục trước, chúng ta nhận được (1) H 1 (z) = −i 2 2 iz (2) e ; H 1 (z) = −i πz 2 2 −i z e πz (1.60) Tương tự trên giữa hàm Bessel và lượng giác, công thức (1.56) và (1.60) chỉ ra sự tương đương giữa các hàm Hλ (z) và e±iz 3) Những hàm Vêbe Công thức (1.56) cho chúng ta thấy hàm Jλ được xây dựng từ những hàm Hλ , như hàm cosin Xem xét cả những hàm. .. của nó, dựa vào (1.12) tại lân cận điểm z = −π, ta có (−1)n 1 + c0 + c1 (x + n) + Γ (x) = n! x + n và khi n tăng, hệ số của phần chính trong khai triển giảm đi rất nhanh 1.3 Hàm trụ Những hàm trụ hay còn được gọi là hàm Bessel đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong phần khai triển, là phương pháp chính sử dụng trong các bài toán có liên quan tới hình tròn hoặc hình trụ Điều này được giải thích rằng... cho J0(x), J1 (x) và J2 (x) 18 1.3.1 Hàm trụ loại 1 1) Những khái niệm tích phân của Sonhin Chúng ta cùng nghiên cứu biểu thức vi phân của hàm trụ t2 x + tx + (t2 + λ2 )x = 0 (1.15) ở đó t là biến số độc lập, x− hàm ẩn và λ là tham số, chỉ số của biểu thức (1.15) chúng ta sẽ tính bằng số thực Chúng ta sẽ giải biểu thức này bằng phương pháp mở Nếu như đặt X(p) là phương trình của hàm ẩn, thì theo định... −π π 1 ei z sin ζ−in ζ dζ = π 0 cos(z sin ζ − nζ)dζ (chúng ta khai triển hàm theo công thức Euler và sử dụng hàm chẵn cos và hàm lẻ sin) Đó là tích phân Bessel 4) Biểu diễn bởi chuỗi Chúng ta khai triển ở tích phân Sonhin – 1 z − ( )2 1 Slepply (1.23) bằng số nhân e ζ 2 ở chuỗi bậc và thay bậc tổng và tích ζ phân (đó là theo quy luật sự trùng hợp bằng nhau của chuỗi nhận được) 1 z λ ( ) Jλ (z) = 2πi... ζ.K và KW = ±iλe±iλ ζ K hướng tới 0 khi tiến gần ∂ζ đến đầu C1 và C2, hoặc tiến đến 0 Do đó ta có cách giải phương trình (1.52) ở nửa mặt phẳng phải Re z > 0 1 ei z sin ζ−iλ ζ dζ, = π C1 1 (2) Hλ (z) = ei z sin ζ−iλ ζ dζ, π C2 (1) Hλ (z)        (1.55) được gọi là những hàm trụ dạng 3, hoặc những hàm Khankelia 2) Mối liên hệ giữa hàm trụ loại 1 và loại 3 Nếu cộng hai công thức (1.55), thì tích. .. k=1 z −z ek, k (1.8) tích vô hạn hội tụ, vì nó là một phần trong khai triển Weierstrass của sinπz, ứng với các chỉ số k âm (ở đó thay k bằng −k và z = πz) Từ (1.8) suy ra rằng hàm 1 Γ(1+z) nguyên và nó có không điểm tại các điểm z = −k, (k = 1, 2, ) và chỉ có tại các điểm đó Vì thế hàm Γ (1 + z) không triệt tiêu và là hàm phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm và chỉ có tại các điểm... Giả sử D ∈ C là một miền và H(D) là tập hợp các hàm chỉnh hình trên D Khi đó i) Nếu f ∈ H(D) và f (z) = 0 thì 1 f ∈ H(D) ii) Nếu f ∈ H(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi Định lý 1.3 Nếu f : D → D∗ và g : D∗ → C là các hàm chỉnh hình, ở đây D và D∗ là các miền trong mặt phẳng (z), (w), thì hàm g0 f : D → C chỉnh hình Định lý 1.4 (Định lý Cauchy) Nếu hàm f ∈ H(D) thì tích phân của nó theo... từ đầu toạ độ và quay về −∞ theo giới hạn trên của bán trục này Vì thế chúng ta thu được một khái niệm tích phân của hàm trụ, cũng như thuộc về N Ya Sonhin (chúng ta viết z thay t) Jλ (z) = 1 2πi e z 2 (ω− 1 ) ω ω λ+1 dω (1.21) C0 Tích phân Sonhin (1.21) chúng ta nhận được đối với những số dương z, nhưng phần phải của nó là hàm phân tích trong nửa mặt phẳng phải z, hoặc nhờ Re z > 0 tích phân (1.21)... Fourier-Bessel Được chứng minh rằng 1 nó trùng hợp với [f (t − 0) + f (t + 0)] đối với hàm phẳng − đoạn trong 2 khoảng (0; l) 1.3.2 Các hàm trụ khác 1) Hàm Khankelia Chúng ta tiếp tục xét phương trình vi phân của hàm trụ với chỉ số z 2 ω + zω + (z 2 − λ2 )ω = 0 (1.52) 30 (z là biến số độc lập, ω là hàm số phải tìm, λ là tham số, tất cả đại lượng được đưa ra ở đây là tổng hợp) Ta đi tìm cách giải phương trình ... thống hàm trụ với ứng dụng tác giả mạnh dạn chọn đề tài Hàm trụ ứng dụng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, tính chất hàm trụ ứng dụng hàm trụ Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, ... 1.3.2 Các hàm trụ khác 29 1.3.3 Biểu diễn tiệm cận hàm trụ 39 1.3.4 Đồ thị hàm trụ phân bố không điểm Chương ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 47 53 2.1 Ứng dụng để giải vấn đề...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa