Phòng GD-ĐT h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc Bài : (2 điểm) Tính giá trị biểu thức sau ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm 120 phút ) −1  1 a / +  12 − ÷  7 b / ( + + + + + 2014 ) − ( + + + + + 2011)    1    c /  − ÷ − ÷1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷   10  15   780   Bài : (2 điểm) a/ Tìm số nguyên a , biết : −13 a − − = −44 ( 24 − 15 ) + ( −2011) b/ Cho biểu thức : A = 2010 + 20102 + 20103 + + 20102009 + 20102010 Chứng minh A chia hết cho 2011 c/ Cho B = 802 − 79.80 + 1601 Chứng minh : B bình phương số tự nhiên Bài : (2 điểm) a/ So sánh S với , biết S = 2011 2012 2013 + + 2012 2013 2011 b/ Với n số tự nhiên thỏa mãn 6n + 7n – hai số tự nhiên không nguyên tố ước chung lơn 6n + 7n – ? Bài : (4 điểm) Cho điểm O nằm đường thăng xy Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa đường thẳng xy , kẻ tia Oz , Ot cho ∠zOt = 1300 , ∠yOt = 1000 a/ Tia Oz phân giác ∠yOt không? ? b/ Gọi Om phân giác ∠zOt , On tia đối tia Ot Tính số đo góc mOn ? c/ Lấy thêm 19 điểm phân biệt đường thẳng xy ( điểm không trùng với điểm O ) điểm A nằm đường thẳng xy Hỏi vẽ tam giác nhận điểm làm đỉnh HẾT gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm) Phòng GD-ĐT h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm 120 phút ) Bài : (2 điểm) Tính giá trị biểu thức sau −1  1 −1 −1 1 36 a / + 12 − ÷ = + 12 − = − + = − + = − =  7 6 7 7 b / ( + + + + + 2014 ) − ( + + + + + 2011) Nhận xét : ( + + + + + 2014 ) Có 1007 số hạng ; ( + + + + + 2011) Có 1005 số hạng = ( − 3) + ( − ) + ( − ) + ( 2010 − 2011) + ( 2012 + 2014 ) Có 1006 nhóm = ( −1) + ( −1) + ( −1) + + ( −1) + 4026 Có 1005 số hạng -1 = −1005 + 4026 = 3021    1   14 779 10 18 28 1558  c /  − ÷ − ÷1 − ÷1 − ÷ 1 − = ÷ =   10  15   780  10 15 780 12 20 30 1560  1.4 2.5 3.6 4.7 38.41 1.2.3 38 4.5.6 41 41 41 = = = 2.3 3.4 4.5 5.6 39.40 2.3.4 39 3.4.5.6 40 39 107 Bài : (2 điểm) −13 a − − = −44 ( − 15 ) + ( −2011) = −44 ( 24 − 15 ) + ( −2011) −13 a − − = −44.1 + a/ −13 a − − = −43 −13 a − = −39 a −1 − =  a − = −3  a = → → Thảo mãn a − =  a = −2 b/ A = 2010 + 20102 + 20103 + + 20102009 + 20102010 Có 2010số hạng A = ( 2010 + 20102 ) + ( 20103 + 20104 ) + + ( 20102009 + 2010 2010 ) = 2010 ( + 2010 ) + 20103 ( + 2010 ) + + 2010 2009 ( + 2010 ) = 2010.2011 + 20103.2011 + + 20102009.2011 = 2011 ( 2010 + 20103 + 20102009 ) chia hết cho 2011 Nên A chia hết cho 2011 2 c/ Cho B = 80 − 79.80 + 1601 = 80 ( 80 − 79 ) + 1601 = 80.1 + 1601 = 1681 = 41 Vậy B bình phương số tự nhiên 41 Bài : (2 điểm) S= a/ 2011 2012 2013      1  + + = 1 − + ÷+  − ÷+  + ÷ 2012 2013 2011  2012   2013   2011 2011    1   = 3+ − − ÷+  ÷  2011 2012   2011 2013  1 1 > ; > Vì 2011 2012 2011 2013 1 1   1   − > 0; − > → 3+ − − Nên ÷+  ÷> 2011 2012 2011 2013  2011 2012   2011 2013  Vậy S>3 b/ Gọi d ước chung lớn 6n + 7n – ( d thuộc N*) Ta có : 7 ( 6n + 1) ∈ d 6n + ∈ d → → ( 6n + 1) − ( 7n - 1) ∈ d → 42n +7-42n+6 ∈ d → d ∈ { 1;13}  7n - ∈ d 6 ( 7n - 1) ∈ d Mà 6n + 7n – hai số tự nhiên không nguyên tố Nên d ≠ → d = 13 Vậy ước chung lớn 6n + 7n – 13 Bài : (4 điểm) Cho điểm O nằm đường thăng xy Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa đường thẳng xy , kẻ tia Oz , Ot cho ∠zOt = 1300 , ∠yOt = 1000 a/ Vì điểm O nằm đường thẳng xy nên hai tia Ox Oy hai tia đối Nên ∠xOy, ∠yOz hai góc kề bù → ∠xOy + ∠yOz = 1800 → ∠yOz = 500 0 Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có ∠xOy < ∠yOz ( 50 < 100 ) Nên tia Oz năm tia Oy Ot (1) → ∠zOy + ∠tOz = ∠yOt → ∠zOy = 500 ( ) Từ (1) (2) suy Oz phân giác góc yOt b/ Vì Om phân giác ∠zOt Nên → ∠zOm + ∠tOm = 500 = 250 Vì On tia đối tia Ot Nên ∠nOm & ∠tOm hai góc kề bù → ∠nOm + ∠tOm = 1800 → ∠nOm = 1800 − 250 = 1550 c/ Xét 20 điểm tên đường thẳng xy Chọn điểm nối nối điểm với 19 điểm lại ta vẽ đoạn thẳng Làm với 20 điểm ta 19.20 đoạn thẳng Như đoạn thẳng tính hai lần Do tất có 19.29:2 đoạn thẳng *Vì qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ tam giác Nên nối hai điểm đầu đoạn thẳng nằm đường thẳng xy với điểm A nằm đường thẳng xy ta xẽ vĩe tam giác Vậy số tam giác vẽ số đoạn thẳng nằm đường thẳng xy Như ta có 190 tam giác HẾT gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm) ...Phòng GD-ĐT h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm 120 phút ) Bài : (2 điểm) Tính giá trị biểu... Vậy số tam giác vẽ số đoạn thẳng nằm đường thẳng xy Như ta có 190 tam giác HẾT gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)