Chđ ®Ị I rót gän biĨu thøc Cã chøa c¨n thøc bËc hai CĂN BẬC HAI A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Khái niệm x bậc hai số khơng âm a ⇔ x2 = a Kí hiệu: x = a 2.Điều kiện xác định biểu thức A Biểu thức A xác định ⇔ A ≥ 3.Hằng đẳng thức bậc hai A A ≥ A2 = A =  −A A < 4.Các phép biến đổi thức +) A.B = A B ( A ≥ 0; B ≥ ) +) A A = B B +) A 2B = A B ( B ≥ 0) +) A = A.B B B ( A.B ≥ 0; B ≠ ) +) ( A ≥ 0; B > ) ( ) ( B ≥ 0; A ≠ B ) n.( A m B ) = ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) m A m B m = A2 − B A± B +) n A± B +) A ± B = m ± m.n + n = A−B m + n = A với  m.n = B Bµi 1: Thùc hiƯn phÐp tÝnh: 1) − 125 − 80 + 605 ; 2) 10 + 10 + 5+ ; 1− 3) 15 − 216 + 33 − 12 ; 4) − 12 − 18 − 48 + 27 ; 30 + 162 ( m± n ) = m± n BµI TËP 5) 2− 2+ ; + 2+ 2− 6) 16 − − ; 27 75 7) 27 − + 75 ; 8) ( 3− 3+ ) 10 + 9) − 25 12 + 10) − ( + ) ; 18) 19) 13) ( + ) ( 49 − 20 ) − ; + 2+ + ) 6−4 + − 6−4 2 + −8 5 −4 ; 17) 14 − − 24 − 12 ; + 10 + + − 10 + ; 14) + 6+4 16) ( 192 ; 11) − + + ; 12) 6+4 15) − 2− ;  x Bµi 2: Cho biĨu thøc A =  −  2 x  a) Rót gän biĨu thøc A; b) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > - C©u I(2,5®): HN Cho biĨu thøc A = 20) ( + + ; +1 3−2 −3 ) ( ) +1 − 1− −1 3 + +1 1+ +1  x − x x + x  ÷ ÷ x + − x − ÷ ÷   x 1 + + , víi x ≥ vµ x ≠ x−4 x −2 x +2 1/ Rót gän biĨu thøc A 2/ TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A x = 25 3/ T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A = -1/3 C©u I: (1,5®) C Tho Cho biĨu thøc A = 1/ Rót gän biĨu thøc A 2/ T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > C©u III: Thu gän c¸c biĨu thøc sau: 15 − + + 1+ 5  x+ y x− y − B =  + xy  − xy x + x −1 − x − x −1 − x x−x 1− x A=   x + xy  : ÷ ÷  − xy ÷   Bµi 1: (2,0®) KH (Kh«ng dïng m¸y tÝnh cÇm tay) a Cho biÕt A = + 15 vµ B = - 15 h·y so s¸nh tỉng A + B vµ tÝch A.B Bài 2:Cho biểu thức:  x x x    − P =  +  với x >0  x  x + x x + x  1.Rút gọn biểu thức P 2.Tìm giá trị x để P = ; Bài 1: (1,5 điểm) Cho P = x+2 x +1 x +1 + − x x −1 x + x +1 x −1 a Rút gọn P b Chứng minh P ; y > ; x ≠ y Câu 6: Rút gọn biểu thức: A = 48 − 75 − (1 − 3)2 Bài ( điểm )  a    − + Cho biểu thức K =  ÷:  ÷  a −1 a − a   a +1 a −1 a) Rút gọn biểu thức K b) Tính giá trị K a = + 2 c) Tìm giá trị a cho K < 25 a) Trục mẫu : A = + ; B= 4+2 Bµi 1: (1,5 ®iĨm) a) Rót gän biĨu thøc: A = 27 − 12 Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức A = x − 27 + x − − x − 12 với x > a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x cho A có giá trị Bài (1,5 điểm)  Rút gọn biểu thức: P =   a −1 −   a +1 a +2  với a > 0, a ≠ 1, a ≠  :  − a   a −2 a −  Câu (2,0 điểm) Rút gọn (khơng dùng máy tính cầm tay) biểu thức: a) 12 − 27 + b) − + ( − ) 1) Rót gän biĨu thøc:  x −1  víi x > vµ x ≠ A= − ÷: x +1 x + x +1 x+ x Câu 2:(2.0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc 2( x − 2) x + a) Rút gọn biểu thức: A = với x ≥ x ≠ x−4 x +2  1   − Bµi 2(2,0 ®iĨm): Cho biĨu thøc : M =  ÷1 − ÷ a  − a + a  a, Rót gän biĨu thøc M b, TÝnh gi¸ trÞ cđa M a = Bài 3: (2điểm) Rút gọn biểu thức: 1/ 2/ A= + 15 + − 15 − 15 + 15  a − a  a + a  1 +  B = 1 +   − a + a    Câu 1: (2đ) Rút gọn biểu thức a/ A = − 27 − 128 + 300 Câu2: (2đ) a2 + a 2a + a − + (với a>0) Cho biểu thức P = a − a +1 a a/Rút gọn P b/Tìm giá trị nhỏ P C©u 3: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: A = 2x x + − 11x − − x + 3 − x x2 − a/ Rót gän biĨu thøc A b/ T×m x ®Ĩ A < c/ T×m x nguyªn ®Ĩ A nguyªn B C©u III: (1,0 ®iĨm) x+ x Rót gän: A =    x − x  + 1 − 1 Víi x ≥ 0; x ≠ x +  x −  Bài 2: (2,0 điểm) ĐĂK LĂK 1/ Rút gọn biểu thức A = ( + 2) + ( − 2)  x +2 2/ Cho biểu thức B =   x −1 − x +1 x −3 +    : 1 − ÷ ÷ ÷ ( x − 1)( x − 3)   x −1 x −1 A Rút gọn biểu thức B B Tìm giá trị ngun x để biểu thức B nhận giá trị ngun Bµi (2,0 ®iĨm): Cho biĨu thøc: N= n − + n + ; víi n ≥ 0, n ≠ n +1 n −1 a Rót gän biĨu thøc N b T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cđa n ®Ĩ biĨu thøc N nhËn gi¸ trÞ nguyªn Bài 3: (1,0 di m) Rút g n bi u th c P = y x+ x+x y+ y xy + (x > 0; y > 0)  x   10 − x  + + : x − + ÷  ÷  x −4 2− x x + ÷  x +2  µi 3: Cho biĨu thøc B =  a) Rót gän biĨu thøc B; b) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > − + x −1 x x +1 x − x +1 Bµi 4: Cho biĨu thøc C = a) Rót gän biĨu thøc C; b) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ C < Bµi 5: Rót gän biĨu thøc : a) D = x + + x2 − + x + − x2 − x + − x2 − x + + x2 −  x + x  x − x  b) P = 1 + ; ÷  ÷1 − x − ÷ ÷ x +    ; c) Q = d) H = x +1 ; : x − x x x +x+ x x −1 − x − x − −1 1  a +1 + ÷: a −1  a − a +1 a− a  Bµi 6: Cho biĨu thøc M =  a) Rót gän biĨu thøc M; b) So s¸nh M víi 2x − x − Bµi 7: Cho c¸c biĨu thøc P = vµ Q = x −2 a) Rót gän biĨu thøc P vµ Q; b) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P = Q x − x + 2x − x +2 2x + x x − x x + + − x x− x x+ x Bµi 8: Cho biĨu thøc P = a) Rót gän biĨu thøc P b) So s¸nh P víi c) Víi mäi gi¸ trÞ cđa x lµm P cã nghÜa, chøng minh biĨu thøc gi¸ trÞ nguyªn chØ nhËn ®óng mét P  3x + 9x − 1  + + ÷  x + x −2 ÷: x − x − x +   Bµi 9: Cho biĨu thøc P =  a) T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ P cã nghÜa, rót gän biĨu thøc P; lµ sè tù nhiªn; P c) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi x = – b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ĩ  x +2 x +3 x +2  x  − − : − ÷  ÷  x−5 x +6 2− x x −3÷ x +1÷     Bµi 10: Cho biĨu thøc : P =  a) Rót gän biĨu thøc P; b) T×m x ®Ĩ ≤− P Chđ ®Ị II HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I Tính chất hàm số bậc y = ax + b (a ≠0) -Đồng biến a > 0; nghịch biến a < -Đồ thị đường thẳng nên vẽ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị +Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số ln qua gốc tọa độ +Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số ln cắt trục tung điểm b -Đồ thị hàm số ln tạo với trục hồnh góc α , mà tgα = a -Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA + b II.Điểm thuộc đường – đường qua điểm Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA) Ví dụ 1: Tìm hệ số a hàm số: y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) Giải: Do đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 a=1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1) Đường thẳng (d) có qua A khơng? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = nên điểm A thuộc v đường thẳng (d) III.Quan hệ hai đường thẳng Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ -Hai đường thẳng song song a1 = a2 b1 ≠ b2 -Hai đường thẳng trùng a1 = a2 b1 = b2 -Hai đường thẳng cắt a1 ≠ a2 +Nếu b1 = b2 chúng cắt b1 trục tung +Nếu a1.a2 = -1 chúng vng góc với IV.Cách tìm giao điểm hai đường y = f(x) y = g(x) Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai cơng thức y = f(x) y = g(x) để tìm tung độ giao điểm Chú ý: Số nghiệm phương trình (II) số giao điểm hai đường V.Tìm điều kiện để đường thẳng đồng qui Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng khơng chứa tham số để tìm (x;y) Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm vào phương trình lại để tìm tham số VI.Tính chất hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) -Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > -Đồ thị hàm số Parabol ln qua gốc tọa độ: +) Nếu a > parabol có điểm thấp gốc tọa độ +) Nếu a < Parabol có điểm cao gốc tọa độ -Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA2 VII.Vị trí đường thẳng parabol -Xét đường thẳng x = m parabol y = ax2: +) ln có giao điểm có tọa độ (m; am2) -Xét đường thẳng y = m parabol y = ax2: +) Nếu m = có giao điểm gốc tọa độ m +) Nếu am > có hai giao điểm có hồnh độ x = ± a +) Nếu am < khơng có giao điểm VIII.Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: cx2= ax + b (V) Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai cơng thức y = ax +b y = cx để tìm tung độ giao điểm Chú ý: Số nghiệm phương trình (V) số giao điểm (d) (P) IV.Tìm điều kiện để (d) (P) a) (d) (P) cắt phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt b) (d) (P) tiếp xúc với phương trình (V) có nghiệm kép c) (d) (P) khơng giao phương trình (V) vơ nghiệm X.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết 1.Quan hệ hệ số góc qua điểm A(x0;y0) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vng góc tìm hệ số a Bước 2: Thay a vừa tìm x0;y0 vào cơng thức y = ax + b để tìm b 2.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2) Do đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b 3.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x0;y0) tiếp xúc với (P): y = cx2 (c 0) +) Do đường thẳng qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b (3.1) +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx (c 0) nên: Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép (3.2) +) Giải hệ gồm hai phương trình để tìm a,b XI.Chứng minh đường thẳng ln qua điểm cố định ( giả sử tham số m) +) Giả sử A(x0;y0) điểm cố định mà đường thẳng ln qua với m, thay x 0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển phương trình ẩn m hệ số x 0;y0 nghiệm với m +) Đồng hệ số phương trình với giải hệ tìm x0;y0 XII.Một số ứng dụng đồ thị hàm số 1.Ứng dụng vào phương trình 2.Ứng dụng vào tốn cực trị bµi tËp vỊ hµm sè C©u IV: (1,5®) C tho Trong mỈt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P) T×m a, biÕt r»ng (P) c¾t ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = -x hoµnh ®é b»ng VÏ ®å thÞ (P) øng víi a võa t×m ®ỵc T×m to¹ ®é giao ®iĨm thø hai B (B kh¸c A) cđa (P) vµ (d) Bµi 2: (2,25®) hue t¹i ®iĨm A cã a) Cho hµm sè y = ax + b T×m a, b biÕt r»ng ®å thÞ cđa hµm sè ®· cho song song víi x cã hoµng ®é b»ng -2 b) Kh«ng cÇn gi¶i, chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh ( + )x2 - 2x - = cã hai nghiƯm ®êng th¼ng y = -3x + vµ ®i qua ®iĨm A thc Parabol (P): y = ph©n biƯt vµ tÝnh tỉng c¸c b×nh ph¬ng hai nghiƯm ®ã C©u II: HCM a) VÏ ®å thÞ (P) cđa hµm sè y = x vµ ®ng th¼ng (d): y = x + trªn cïng mét hƯ trơc to¹ ®é b) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) b»ng phÐp tÝnh Bài 2: (2,50 điểm) KH Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d): y = mx – (m tham số, m ≠ ) a Vẽ đồ thò (P) mặt phẳng Oxy b Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm (p) (d) c Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) hai giao điểm phân biệt (P) (d) tìm giá trò m cho yA + yB = 2(xA + xB) – Bàì 1: Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + qua điểm M(-2;2) Tìm hệ số a Bài 2: (2,0 điểm) Cho hàm số y = ax + b tìm a, b biết đồ thò hàm số đẫ cho qua hai điểm A(-2; 5) B(1; -4) Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + a tìm điều kiện m để hàm số nghòch biến b Tìm giá trò m để đồ thò hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ − Bài (3.0 điểm ) Cho hàm số y = x2 y = x + a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A,B đồ thị hai hàm số phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n t¹i A cã AE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tun => E lµ trung ®iĨm cđa HK (6) Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng) (HD) Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang §Ĩ tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n AKFI lµ h×nh thang c©n M lµ trung ®iĨm cđa cung AB ThËt vËy: M lµ trung ®iĨm cđa cung AB => ∠ABM = ∠MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ) (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ∠ABI = 450 => ∠AIB = 450 (8) Tõ (7) vµ (8) => ∠IAK = ∠AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau) VËy M lµ trung ®iĨm cđa cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn Bµi Cho nưa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB KỴ tiÕp tun Bx vµ lÊy hai ®iĨm C vµ D thc nưa ®êng trßn C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lỵt ë E, F (F ë gi÷a B vµ E) Chøng minh AC AE kh«ng ®ỉi Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: C thc nưa ®êng trßn nªn ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => BC ⊥ AE ∠ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tun ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®êng cao => AC AE = AB2 (hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao ), mµ AB lµ ®êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®ỉi ®ã AC AE kh«ng ®ỉi ∆ ADB cã ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠ABD + ∠BAD = 900 (v× tỉng ba gãc cđa mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ∆ ABF cã ∠ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tun ) => ∠AFB + ∠BAF = 900 (v× tỉng ba gãc cđa mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ∠ABD = ∠DFB ( cïng phơ víi ∠BAD) Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ∠ABD + ∠ACD = 1800 ∠ECD + ∠ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠ECD = ∠ABD ( cïng bï víi ∠ACD) Theo trªn ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB Mµ ∠EFD + ∠DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kỊ bï) nªn suy ∠ECD + ∠EFD = 1800, mỈt kh¸c ∠ECD vµ ∠EFD lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CDFE ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M bÊt k× trªn nưa ®êng trßn cho AM < MB Gäi M’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa M qua AB vµ S lµ giao ®iĨm cđa hai tia BM, M’A Gäi P lµ ch©n ®¬ng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB Chøng minh ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn Gäi S’ lµ giao ®iĨm cđa MA vµ SP Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n Chøng minh PM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 900 ; ∠AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠AMS = 900 Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AS VËy ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®êng trßn nªn M’ còng n»m trªn ®êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng => ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’ ⊥ AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (v× so le trong) (2) => Tõ (1) vµ (2) => ∠AS’S = ∠ASS’ Theo trªn ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ∠ASP=∠AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => ∠AS’P = ∠AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => ∠B1 = ∠S’1 (cïng phơ víi ∠S) (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => ∠S’1 = ∠M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => ∠B1 = ∠M3 (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => ∠M1 = ∠M3 => ∠M1 + ∠M2 = ∠M3 + ∠M2 mµ ∠M3 + ∠M2 = ∠AMB = 900 nªn suy ∠M1 + ∠M2 = ∠PMO = 900 => PM ⊥ OM t¹i M => PM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M Bµi 11 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC) C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iĨm D, E, F BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M Chøng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän BD BM DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp = CB CF Lêi gi¶i: (HD) Theo t/c hai tiÕp tun c¾t ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ∠ADF = ∠AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => ∠DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE) Chøng minh t¬ng tù ta cã ∠DFE < 900; ∠EDF < 900 Nh vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän AD AF Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => => DF // BC = AB AC DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã ∠ B = ∠C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC lµ h×nh thang c©n ®ã BDFC néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã ∠ DBM = ∠BCF ( hai gãc ®¸y cđa tam gi¸c c©n) ∠BDM = ∠BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); ∠ CBF = ∠BFD (v× so le) => ∠BDM = ∠CBF BD BM = => ∆BDM ∼∆CBF => CB CF Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iĨm M (M kh¸c O) CM c¾t (O) t¹i N §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tun t¹i N cđa ®êng trßn ë P Chøng minh : Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M Khi M di chun trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo Lêi gi¶i: Ta cã ∠OMP = 900 ( v× PM ⊥ AB ); ∠ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tun ) Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => ∠OPM = ∠ ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN => ∠OPM = ∠OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 l¹i cã ∠C lµ gãc chung => ∆OMC ∼∆NDC CM CO => CM CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®ỉi => CM.CN =2R2 = CD CN kh«ng ®ỉi hay tÝch CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M ( HD) DƠ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB => Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨn A , VÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã : ∠BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠AEH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) ∠CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠AFH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) ∠EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng) Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn =>∠F1=∠H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) Theo gi¶ thiÕt AH ⊥BC nªn AH lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (O1) vµ (O2) => ∠B1 = ∠H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => ∠B1= ∠F1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC mµ ∠AFE + ∠EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠EBC+∠EFC = 1800 mỈt kh¸c ∠EBC vµ ∠EFC lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c BEFC ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã ∠A = 900 lµ gãc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Chøng AE AF = minh trªn) => ∆AEF ∼∆ACB => => AE AB = AF AC AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => ∆IEH c©n t¹i I => ∠E1 = ∠H1 ∆O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => ∠E2 = ∠H2 => ∠E1 + ∠E2 = ∠H1 + ∠H2 mµ ∠H1 + ∠H2 = ∠AHB = 900 => ∠E1 + ∠E2 = ∠O1EF = 900 => O1E ⊥EF Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F ⊥ EF VËy EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Bµi 14 Cho ®iĨm C thc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c nưa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nưa ®êng trßn (O) t¹i E Gäi M N theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa EA, EB víi c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) Chøng minh EC = MN Chøng minh MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) TÝnh MN TÝnh diƯn tÝch h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã: ∠BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m K) => ∠ENC = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) ∠AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m I) => ∠EMC = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m O) hay ∠MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) Theo gi¶ thiÕt EC ⊥AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (I) vµ (K) => ∠B1 = ∠C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => ∠C1= ∠N3 => ∠B1 = ∠N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ∠B1 = ∠N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => ∠N1 = ∠N3 mµ ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900 hay MN ⊥ KN t¹i N => MN lµ tiÕp tun cđa (K) t¹i N Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tun cđa (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) Ta cã ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m O) => ∆AEB vu«ng t¹i A cã EC ⊥ AB (gt) => EC = AC BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = π OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π IA2 = π 52 = 25 π ; S(k) = π KB2 = π 202 = 400 π Ta cã diƯn tÝch phÇn h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 π - 25 π - 400 π ) = 200 π = 100 π ≈ 314 (cm2) 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Trªn c¹nh AC lÊy ®iĨm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB Gäi E lµ giao ®iĨm cđa BC víi ®êng trßn (O) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE Chøng minh ®iĨm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE Lêi gi¶i: Ta cã ∠CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠CDB = 900 nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠D1= ∠C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) ¼ = EM ¼ => ∠C2 = ∠C3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) ∠D1= ∠C3 => SM => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB XÐt ∆CMB Ta cã BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy ¼ = EM ¼ => ∠D1= ∠D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE.(1) Theo trªn Ta cã SM Ta cã ∠MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn (O)) => ∠MEB = 900 Tø gi¸c AMEB cã ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => ∠A2 = ∠B2 Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠A1= ∠B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u : ∠ABC = ∠CME (cïng phơ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cïng bï ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS » = CS » => SM ¼ = EM ¼ => ∠SCM = ∠ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB => CE Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng thẳng CD, AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i F, G Chøng minh : Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy Lêi gi¶i: XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠DEB = ∠BAC = 900 ; l¹i cã ∠ABC lµ gãc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB Theo trªn ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (v× hai gãc kỊ bï); ∠BAC = 900 ( v× ∆ABC vu«ng t¹i A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp * ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) hay ∠BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠E1 = ∠C1 l¹i cã ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) DƠ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S Bµi 17 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC cã ®êng cao lµ AH Trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B C, H ) ; tõ M kỴ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH ⊥ PQ Lêi gi¶i: Ta cã MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt) => ∠AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp * V× AM lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iĨm cđa AM Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao => SABC = BC.AH Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®êng cao => SABM = AB.MP Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®êng cao => SACM = AC.MQ Ta cã SABM + SACM = SABC => 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Ịu) => MP + MQ = AH » = HQ ¼ ( tÝnh Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng ph©n gi¸c => ∠HAP = ∠HAQ => HP chÊt gãc néi tiÕp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy OH còng lµ ®êng cao => OH ⊥ PQ Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iĨm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iĨm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: Ta cã : ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠MCI = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠MDI = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠MCI + ∠MDI = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn Ta cã BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nªn BC vµ AD lµ hai ®êng cao cđa tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m cđa tam gi¸c MAB Theo gi¶ thiÕt th× MH ⊥ AB nªn MH còng lµ ®êng cao cđa tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I ∆OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => ∠A1 = ∠C4 ∆KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => ∠M1 = ∠C1 Mµ ∠A1 + ∠M1 = 900 ( tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ∠C1 + ∠C4 = 900 => ∠C3 + ∠C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bĐt) hay ∠OCK = 900 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 => ∠OHK + ∠OCK = 1800 mµ ∠OHK vµ ∠OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 19 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n AB Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB Nèi CD, KỴ BI vu«ng gãc víi CD Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: ∠BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BID = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï); DE ⊥ AB t¹i M => ∠BMD = 900 => ∠BID + ∠BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD (1) Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tun ( v× M lµ trung ®iĨm cđa DE) =>MI = ME => ∆MIE c©n t¹i M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠I3 = ∠C1 mµ ∠C1 = ∠E1 ( Cïng phơ víi gãc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 Mµ ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 20 Cho ®êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi t¹i C Gäi AC vµ BC lµ hai ®êng kÝnh ®i qua ®iĨm C cđa (O) vµ (O’) DE lµ d©y cung cđa (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iĨm M cđa AB Gäi giao ®iĨm thø hai cđa DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp Bèn ®iĨm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi B, E, F th¼ng hµng DF, EG, AB ®ång quy MF = 1/2 DE MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: ∠BGC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠CGD = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) Theo gi¶ thiÕt DE ⊥ AB t¹i M => ∠CMD = 900 => ∠CGD + ∠CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BFD = 900; ∠BMD = 900 (v× DE ⊥ AB t¹i M) nh vËy F vµ M cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD ⊥ DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh tho => BE // AD mµ AD ⊥ DF nªn suy BE ⊥ DF Theo trªn ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => BF ⊥ DF mµ qua B chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DF ®o B, E, F th¼ng hµng Theo trªn DF ⊥ BE; BM ⊥ DE mµ DF vµ BM c¾t t¹i C nªn C lµ trùc t©m cđa tam gi¸c BDE => EC còng lµ ®êng cao => EC⊥BD; theo trªn CG⊥BD => E,C,G th¼ng hµng VËy DF, EG, AB ®ång quy Theo trªn DF ⊥ BE => ∆DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tun (v× M lµ trung ®iĨm cđa DE) suy MF = 1/2 DE ( v× tam gi¸c vu«ng trung tun thc c¹nh hun b»ng nưa c¹nh hun) (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => ∆MDF c©n t¹i M => ∠D1 = ∠F1 ∆O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠F3 = ∠B1 mµ ∠B1 = ∠D1 (Cïng phơ víi ∠DEB ) => ∠F1 = ∠F3 => ∠F1 + ∠F2 = ∠F3 + ∠F2 Mµ ∠F3 + ∠F2 = ∠BFC = 900 => ∠F1 + ∠F2 = 900 = ∠MFO’ hay MF ⊥ O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 21 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Gäi I lµ trung ®iĨm cđa OA VÏ ®êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q Chøng minh r»ng c¸c ®êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc t¹i A Chøng minh IP // OQ Chøng minh r»ng AP = PQ X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa P ®Ĩ tam gi¸c AQB cã diƯn tÝch lín nhÊt Lêi gi¶i: Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn lỵt lµ c¸c b¸n kÝnh cđa ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (I) VËy ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (I) tiÕp xóc t¹i A ∆OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠A1 = ∠Q1 ∆IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠A1 = ∠P1 => ∠P1 = ∠Q1 mµ ®©y lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy IP // OQ ∠APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => OP ⊥ AQ => OP lµ ®êng cao cđa ∆OAQ mµ ∆OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®êng trung tun => AP = PQ AB.QH mµ AB lµ ®êng kÝnh kh«ng ®ỉi nªn SAQB lín nhÊt QH lín nhÊt QH lín nhÊt Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB §Ĩ Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iĨm cđa cung AO ThËt vËy P lµ trung ®iĨm cđa cung AO => PI ⊥ AO mµ theo trªn PI // QO => QO ⊥ AB t¹i O => Q lµ trung ®iĨm cđa cung AB vµ ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt (HD) KỴ QH ⊥ AB ta cã SAQB = Bµi 22 Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iĨm E thc c¹nh BC Qua B kỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chun trªn c¹nh BC th× H di chun trªn ®êng nµo? Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn ∠BCD = 900; BH ⊥ DE t¹i H nªn ∠BHD = 900 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠BDC + ∠BHC = 1800 (1) ∠BHK lµ gãc bĐt nªn ∠KHC + ∠BHC = 1800 (2) Tõ (1) vµ (2) => ∠CHK = ∠BDC mµ ∠BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => ∠CHK = 450 XÐt ∆KHC vµ ∆KDB ta cã ∠CHK = ∠BDC = 450 ; ∠K lµ gãc chung KC KH = => ∆KHC ∼ ∆KDB => => KC KD = KH.KB KB KD (HD) Ta lu«n cã ∠BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn E chun ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chun ®éng trªn cung BC (E ≡ B th× H ≡ B; E ≡ C th× H ≡ C) Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Dùng ë miỊn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE Chøng minh ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng §êng th¼ng HD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n Cho biÕt ∠ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iĨm cđa BF vµ ED, Chøng minh ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => ∠BAH = 450 Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => ∠CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => ∠BAC = 900 => ∠BAH + ∠BAC + ∠CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng Ta cã ∠BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F (1) ∠FBC = ∠FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn ∠CAD = 450 hay ∠FAC = 450 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ∆FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F Theo trªn ∠BFC = 900 => ∠CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kỊ bï); ∠CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng) => ∠CFM + ∠CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®êng trßn suy ∠CDF = ∠CMF , mµ ∠CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => ∠CMF = 450 hay ∠CMB = 450 Ta còng cã ∠CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); ∠BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng) Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn ∆CBM cã ∠B = 450 ; ∠M = 450 => ∠BCM =450 hay MC ⊥ BC t¹i C => MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Bµi 24 Cho tam gi¸c nhän ABC cã ∠B = 450 VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E A Chøng minh AE = EB Gäi H lµ giao ®iĨm cđa CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®êng trung D trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH F Chøng minh OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c O BDE H / _ Lêi gi¶i: _K 1 ∠AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) / I 0 => ∠AEB = 90 ( v× lµ hai gãc kỊ bï); Theo gi¶ thiÕt ∠ABE = 45 B E C => ∆AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB Gäi K lµ trung ®iĨm cđa HE (1) ; I lµ trung ®iĨm cđa HB => IK lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c HBE => IK // BE mµ ∠AEC = 900 nªn BE ⊥ HE t¹i E => IK ⊥ HE t¹i K (2) Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cđa HE VËy trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH theo trªn I thc trung trùc cđa HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iĨm cđa BH => IE = IB ∠ ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BDH = 900 (kỊ bï ∠ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tun (do I lµ trung ®iĨm cđa BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID Ta cã ∆ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => ∠D1 = ∠C1 (3) ∆IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => ∠D2 = ∠B1 (4) Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®êng cao cđa tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®êng cao cđa tam gi¸c ABC => BH ⊥ AC t¹i F => ∆AEB cã ∠AFB = 900 Theo trªn ∆ADC cã ∠ADC = 900 => ∠B1 = ∠C1 ( cïng phơ ∠BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>∠D1 = ∠D2 mµ ∠D2 +∠IDH =∠BDC = 900=> ∠D1 +∠IDH = 900 = ∠IDO => OD ⊥ ID t¹i D => OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE Bµi 25 Cho ®êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R) KỴ c¸c tiÕp tun víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t t¹i A Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iĨm M råi kỴ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, AC, AB Gäi giao ®iĨm cđa BM, IK lµ P; giao ®iĨm cđa CM, IH lµ Q Chøng minh tam gi¸c ABC c©n C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp Chøng minh MI = MH.MK Chøng minh PQ ⊥ MI Lêi gi¶i: Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã AB = AC => ∆ABC c©n t¹i A Theo gi¶ thiÕt MI ⊥ BC => ∠MIB = 900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900 => ∠MIB + ∠MKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK ) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠KMI + ∠KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠HMI + ∠HCI = 1800 mµ ∠KBI = ∠HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => ∠KMI = ∠HMI (1) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠B1 = ∠I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠H1 = ∠C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) ¼ ) => ∠I1 = ∠H1 (2) Mµ ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 s® BM MI MK = Tõ (1) vµ (2) => ∆MKI ∆MIH => => MI2 = MH.MK MH MI Theo trªn ta cã ∠I1 = ∠C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã ∠I2 = ∠B2 mµ ∠C1 + ∠B2 + ∠BMC = 1800 => ∠I1 + ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => ∠Q1 = ∠I1 mµ ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) Theo gi¶ thiÕt MI ⊥BC nªn suy IM ⊥ PQ Bµi 26 Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R VÏ d©y cung CD ⊥ AB ë H Gäi M lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung CB, I lµ giao ®iĨm cđa CB vµ OM K lµ giao ®iĨm cđa AM vµ CB Chøng minh : KC AC AM lµ tia ph©n gi¸c cđa ∠CMD Tø gi¸c OHCI néi tiÕp = KB AB Chøng minh ®êng vu«ng gãc kỴ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M » = MC ¼ » Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa BC => MB => ∠CAM = ∠BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia KC AC ph©n gi¸c cđa gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ) = KB AB » => ∠CMA = ∠DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c (HD) Theo gi¶ thiÕt CD ⊥ AB => A lµ trung ®iĨm cđa CD cđa gãc CMD » (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa BC => OM ⊥ BC t¹i I => ∠OIC = 900 ; CD ⊥ AB t¹i H => ∠OHC = 900 => ∠OIC + ∠OHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp KỴ MJ ⊥ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC) Theo trªn OM ⊥ BC => OM ⊥ MJ t¹i J suy MJ lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M Bµi 27 Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn C¸c tiÕp tun víi ®êng trßn (O) kỴ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C Gäi M lµ ®iĨm t ý trªn ®êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kỴ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp ∠BAO = ∠ BCO ∆MIH ∼ ∆MHK MI.MK = MH2 Lêi gi¶i: (HS tù gi¶i) Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ∠BAO = ∠ BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO) Theo gi¶ thiÕt MH ⊥ BC => ∠MHC = 900; MK ⊥ CA => ∠MKC = 900 => ∠MHC + ∠MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ∠HCM = ∠HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM) Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ∠MHI = ∠MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) ¼ ) => ∠HKM = ∠MHI (1) Chøng minh t¬ng tù ta còng cã Mµ ∠HCM = ∠MBI ( = 1/2 s® BM ∠KHM = ∠HIM (2) Tõ (1) vµ (2) => ∆ HIM ∼ ∆ KHM MI MH = Theo trªn ∆ HIM ∼ ∆ KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Gäi H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC; E lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua BC; F lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa BC Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh E, F n»m trªn ®êng trßn (O) Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n Gäi G lµ giao ®iĨm cđa AI vµ OH Chøng minh G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa BC => I lµ trung ®iĨm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®êng chÐo c¾t t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => ∠BAC + ∠B’HC’ = 1800 mµ ∠BHC = ∠B’HC’ (®èi ®Ønh) => ∠BAC + ∠BHC = 1800 Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => ∠BHC = ∠BFC => ∠BFC + ∠BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thc (O) * H vµ E ®èi xøng qua BC => ∆BHC = ∆BEC (c.c.c) => ∠BHC = ∠BEC => ∠ BEC + ∠BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thc (O) Ta cã H vµ E ®èi xøng qua BC => BC ⊥ HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iĨm cđa cđa HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ⊥ HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang (3) Theo trªn E ∈(O) => ∠CBE = ∠CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4) Theo trªn F ∈(O) vµ ∠FEA =900 => AF lµ ®êng kÝnh cđa (O) => ∠ACF = 900 => ∠BCF = ∠CAE ( v× cïng phơ ∠ACB) (5) Tõ (4) vµ (5) => ∠BCF = ∠CBE (6) Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n Theo trªn AF lµ ®êng kÝnh cđa (O) => O lµ trung ®iĨm cđa AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iĨm cđa HF => OI lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c AHF => OI = 1/ AH Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iĨm cđa BC => OI ⊥ BC ( Quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => ∠OIG = ∠HAG GI OI = (v× so le trong); l¹i cã ∠OGI = ∠ HGA (®èi ®Ønh) => ∆OGI ∼ ∆HGA => mµ OI = AH => GA HA GI = mµ AI lµ trung tun cđa tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iĨm cđa BC) => G lµ träng t©m cđa tam GA gi¸c ABC Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cđa ®êng trßn (O; R) (BC ≠ 2R) §iĨm A di ®éng trªn cung lín BC cho O lu«n n»m tam gi¸c ABC C¸c ®êng cao AD, BE, CF cđa tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC Gäi A’ lµ trung ®iĨm cđa BC, Chøng minh AH = 2OA’ Gäi A1 lµ trung ®iĨm cđa EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’ Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vÞ trÝ cđa A ®Ĩ tỉng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Lêi gi¶i: (HD) Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => ∠AEF = ∠ACB (cïng bï ∠BFE) ∠AEF = ∠ABC (cïng bï ∠CEF) => ∆ AEF ∼ ∆ ABC VÏ ®êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iĨm cđa HK => OK lµ ®êng trung b×nh cđa ∆AHK => AH = 2OA’ ¸p dơng tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tun, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng ta cã : R AA ' = ∆ AEF ∼ ∆ ABC => (1) ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC; R’ lµ b¸n kÝnh ®êng R ' AA1 trßn ngo¹i tiÕp ∆ AEF; AA’ lµ trung tun cđa ∆ABC; AA1 lµ trung tun cđa ∆AEF Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AEF AH A 'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ = AA’ 2 VËy R AA1 = AA’ A’O (2) Gäi B’, C’lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AC, AB, ta cã OB’⊥AC ; OC’⊥AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iĨm cđa mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn lỵt lµ c¸c ®êng cao cđa c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ BC’ + OB’ AC + OC’ AB ) 2SABC = OA’ BC + OB’ AC’ + OC’ AB (3) AA1 AA1 mµ lµ tØ sè gi÷a trung tun cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ ABC AA ' AA ' AA1 EF FD ED nªn = T¬ng tù ta cã : OB’ = R ; OC’ = R Thay vµo (3) ta ®ỵc AA ' BC AC AB EF FD ED 2SABC = R ( BC + AC + AB )  2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®ỉi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt SABC Ta cã SABC = AD.BC BC kh«ng ®ỉi nªn SABC lín nhÊt AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt A lµ ®iĨm chÝnh giìa cđa cung lín BC Theo (2) => OA’ = R Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC c¾t (O) t¹i M VÏ ®êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cđa gãc OAH Gi¶ sư ∠B > ∠C Chøng minh ∠OAH = ∠B - ∠C Cho ∠BAC = 600 vµ ∠OAH = 200 TÝnh: a) ∠B vµ ∠C cđa tam gi¸c ABC b) DiƯn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) ¼ = CM ¼ => M AM lµ ph©n gi¸c cđa ∠BAC => ∠BAM = ∠CAM => BM lµ trung ®iĨm cđa cung BC => OM ⊥ BC; Theo gi¶ thiÕt AH ⊥ BC => OM // AH => ∠HAM = ∠OMA ( so le) Mµ ∠OMA = ∠OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O cã OM = OA = R) => ∠HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc OAH VÏ d©y BD ⊥ OA => »AB = »AD => ∠ABD = ∠ACB Ta cã ∠OAH = ∠ DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ∠OAH = ∠ABC ∠ABD => ∠OAH = ∠ABC - ∠ACB hay ∠OAH = ∠B - ∠C a) Theo gi¶ thiÕt ∠BAC = 600 => ∠B + ∠C = 1200 ; theo trªn ∠B ∠C = ∠OAH => ∠B - ∠C = 200 0 ∠B + ∠C = 120 ∠B = 70 =>  ⇔  0 ∠B − ∠C = 20 ∠C = 50 π R 1202 R π R R R (4π − 3) b) Svp = SqBOC - S V BOC = = − R − = 3600 2 12 C©u V(0,5®): HN C¸C BµI TO¸N N¢NG CAO Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − + x + x + = (2 x + x + x + 1) Bµi 5: (1,25®) hue 4 Mét c¸i phƠu cã h×nh trªn d¹ng h×nh nãn ®Ønh S, b¸n kÝnh ®¸y R = 15cm, chiỊu cao h = 30cm Mét h×nh trơ ®Ỉc b»ng kim lo¹i cã b¸n kÝnh ®¸y r = 10cm ®Ỉt võa khÝt h×nh nãn cã ®Çy níc (xem h×nh bªn) Ngêi ta nhÊc nhĐ h×nh trơ khái phƠu H·y tÝnh thĨ tÝch vµ chiỊu cao cđa khèi níc cßn l¹i phƠu Bài 5: Các số a, b, c ∈ [ − 1;4] thoả mãn điều kiện a + 2b + 3c ≤ chứng minh bất đẳng thức: a + 2b + 3c ≤ 36 Đẳng thức xảy nào? Câu 5: (1,0 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: Bài 5: (1,0 điểm) Với số k nguyên dương, đặt Sk = ( + 1)k + ( - 1)k Chứng minh rằng: Sm+n + Sm- n = Sm Sn với m, n số nguyên dương m > n Bµi (1,5 ®iĨm)  x + y − xy = 1) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh:  2  x + y − x y = ( xy − 1) + 2) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: (2 x + 1) x − x + > (2 x − 1) x + x + Bài :(1điểm) Cho 361 số tự nhiên a1 , a , a , , a 361 thoả mãn điều kiện 1 1 + + + + = 37 a1 a2 a3 a 361 Chứng minh 361 số tự nhiên đó, tồn số Bài (0,5 điểm) Giải phương trình: x2 - 1 + x + x + = ( x + x + x +1) 4 Bài (0,5 điểm) Giải phương trình: 1 1   + = 3 + ÷ x 2x − 5x −   4x − Bài (1,0 điểm) Cho số thực m, n, p thỏa mãn : n + np + p = − 3m Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : B = m + n + p Bài ( 1,5 điểm ) Người ta rót đầy nước vào ly hình nón cm Sau người ta rót nước từ ly để chiều cao mực nước lại nửa Hãy tính thể tích lượng nước lại ly Câu : ( 1.0 điểm ) Cho D điểm cạnh BC tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Ta vẽ hai đường tròn tâm O , O2 tiếp xúc AB , AC B , C qua D Gọi E giao điểm thứ hai hai đường tròn Chứng minh điểm E nằm đường tròn (O) C©u V : (1 ®iĨm) Cho x, y tháa m·n: x + − y = y + − x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: B = x + 2xy − 2y + 2y + 10 Câu 5:(1,0 điểm) − 4x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = x +1 Bµi 5: (1,0 ®iĨm) TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: P = sin 150 + sin 250 + sin 650 + sin 750 Bài 5: (1 điểm) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có chiều cao h = 12 cm bán kính đường tròn đáy r = cm Câu 5: (1đ) Cho b,c hai số thoả mãn hệ thức: 1 + = b c Chứng minh hai phương trình sau phải có nghiệm: x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) C©u 7: (0,5 ®iĨm) Cho h×nh thoi ABCD Gäi R, r lÇn lỵt lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABD, ABC, a lµ ®é dµi c¹nh cđa h×nh thoi Chøng minh r»ng: 1 + = 2 R r a C©u VI:(0,5 ®iĨm) Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz - 16 =0 x+ y+ z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = (x+y)(x+z) C©u VI:(0,5 ®iĨm) T×m sè nguyªn x; y tho¶ m·n ®¼ng thøc: x2+ xy +y2 - x2y2 = Bài 5: (1,0 điểm) Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình: x + 2(m + 1)x + 2m + 9m + = (m tham số) Chứng minh : 7(x1 + x ) − x1 x ≤ 18 Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y >0 x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = Bµi 5: (1, ®iĨm) Cho hai sè a,b kh¸c tho¶ m·n 2a2 + b + 12 = 4 a T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = ab + 2009 1 + x +y xy [...]... (1) *Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn (§5) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 .Các dạng và cách giải Dạng 1: c = 0 khi đó x = 0 2 ( 1) ⇔ ax + bx = 0 ⇔ x ( ax+b ) = 0 ⇔  b x=− a  Dạng 2: b = 0 khi đó −c ( 1) ⇔ ax 2 + c = 0 ⇔ x 2 = a −c −c ≥ 0 thì x = ± -Nếu a a −c < 0 thì phương trình vơ nghiệm -Nếu a Dạng 3: Tổng qt CƠNG THỨC NGHIỆM TỔNG QT CƠNG THỨC... = A 'C' = B'C' -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vng: góc nhọn; hai cạnh góc vng; cạnh huyền - cạnh góc vng… *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng 2.Phương pháp... 'C' b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vng: hai cạnh góc vng; cạnh huyền và một cạnh góc vng; cạnh huyền và một góc nhọn d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau 2.Chứng minh hai góc bằng nhau -Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, ... phương trình có nghiệm kép −b −b' x1 = x 2 = x1 = x 2 = 2a a ∆ < 0 : phương trình vơ nghiệm ∆ ' < 0 : phương trình vơ nghiệm Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vơ tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5 3.Hệ thức Viet và ứng dụng -Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b  S =... = Chứng minh: AE 2 AF2 a 2 3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a; ∠ BAC = 2 α ; α < 450 Kẻ các đường cao AE, BF a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc α b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc α và 2α , các cạnh của tam giác ABF, BFC c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau: 2tgα 1) sin 2α = 2sin αcosα; 2) cos2α =cos 2α − sin 2 α; 3) tg2α = 1 − tg... đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vng, … Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB -Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ... ®iĨm c¸ch chÝnh gi÷a qu·ng ®êng AB lµ 10 km vµ xe ®i chËm t¨ng vËn tèc gÊp ®«i th× hai xe gỈp nhau sau 1 giê 24 phót HPT:  x − y = 10   2 1 5 ( x + 2 y ) = 2( x + y ) Bµi 8 Hai líp 9A vµ 9B cã tỉng céng 70 HS nÕu chun 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng nhau TÝnh sè HS mçi líp Bµi 9 Hai trêng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tun TÝnh riªng tØ lƯ... bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, … -Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh -Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh -Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, …) 3.Chứng minh hai đoạn... - 10 = 0 8 3x2 + 14x + 8 = 0 9 4x2 - 5x - 9 = 0 9 -7x2 + 6x = - 6 10 2x2 - x - 21 = 0 10 x2 - 12x + 32 = 0 11 6x2 + 13x - 5 = 0 11 x2 - 6x + 8 = 0 12 56x2 + 9x - 2 = 0 12 9x2 - 38x - 35 = 0 13 10x2 + 17x + 3 = 0 13 x2 - 2 3 x + 2 = 0 14 7x2 + 5x - 3 = 0 14 4 2 x2 - 6x - 2 = 0 15 x2 + 17x + 3 = 0 15 2x2 - 2 2 x + 1 = 0 Bµi tËp 2: BiÕn ®ỉi c¸c ph¬ng tr×nh sau thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i a) 10x2... 2 x − 3 = 7 5 x = 10  y = 2.2 − 3  y = 1 x = 2 Vậy HPT ®· cho cã nghiƯm lµ:  y =1 2 x − y = 3 5 x = 10 x = 2 x = 2 ⇔ ⇔ ⇔  3 x + y = 7 3x + y = 7 3.2 + y = 7 y =1 x = 2 Vậy HPT ®· cho cã nghiƯm lµ:  y =1 - - 1.2 §Ĩ gi¶I lo¹i HPT nµy ta thêng sư dơng PP céng cho thn lỵi  2 x + 3 y = −2 10 x + 15 y = 10 11 y = −22  y = −2 x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  5 x + 2 y = 6 10 x + 4 y = 12 5 ... cã 250 HS líp dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tun TÝnh riªng tØ lƯ ®ç th× trêng A ®¹t 80%, trêng B ®¹t 90% Hái mçi trêng cã bao nhiªu HS líp dù thi vµo líp 10 Bµi 10 Hai vßi níc cïng... *Trong trường hợp giải biện luận, cần ý a = phương trình trở thành bậc ẩn (§5) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 .Các dạng cách giải Dạng 1: c = x = ( 1) ⇔ ax + bx = ⇔ x ( ax+b ) = ⇔  b x=− a  Dạng 2: b =... ∆ ' < : phương trình vơ nghiệm Dạng 4: Các phương trình đưa phương trình bậc hai Cần ý dạng trùng phương, phương trình vơ tỉ dạng đặt ẩn phụ, dạng chứa ẩn mẫu dạng tích nói §5 3.Hệ thức Viet