1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 4 1.2 1.1.1 1.1.2 Định nghĩa Tính chất 1.1.3 1.1.4 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên Kỳ vọng có điều kiện Các dạng hội tụ luật số lớn 1.2.1 Các dạng hội tụ 8 1.2.2 Luật số lớn Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi theo hàng 13 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị 13 2.2 Hội tụ Mosco 15 2.3 2.4 Tính hoán đổi Luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, 17 hoán đổi theo hàng 21 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI NÓI ĐẦU Trong thập kỷ gần đây, lý thuyết biến ngẫu nhiên đa trị xuất có bước phát triển mạnh mẽ, dẫn tới nhiều ứng dụng lĩnh vực khác như: tối ưu hóa điều khiển, hình học ngẫu nhiên, toán kinh tế, thống kê, y học, Trong báo viết luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị, tác giả Artstein Vitale thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, nhận giá trị tập compact không gian Euclide (1975) Kết mở rộng kết có xác suất đơn trị Cho đến luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị nghiên cứu dạng hội tụ khác như: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco, hội tụ Wijsman, hội tụ slice, hội tụ theo khoảng cách Hausdorff, Chúng ta kể tên số nhà toán học tiêu biểu giới nghiên cứu vấn đề như: G Beer, C Castaing, C Hess, F Hiai, R L Taylor, H Inoue, Gần đây, báo [6], tác giả Nguyễn Văn Quảng Dương Xuân Giáp thiết lập luật số lớn theo tôpô Mosco cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng không gian Rademacher dạng p (1 < p ≤ 2) Khái niệm biến ngẫu nhiên hoán đổi mở rộng khái niệm biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Để tiếp nối hướng nghiên cứu báo [6], định chọn đề tài "Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi theo hàng." Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày kí hiệu, khái niệm tính chất xác suất không gian Banach Cụ thể, trình bày kí hiệu, khái niệm tính chất phần tử ngẫu nhiên, kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên, dạng hội tụ luật số lớn phần tử ngẫu nhiên Chương Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi theo hàng Trong chương này, trước hết trình bày kí hiệu, khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên đa trị, kỳ vọng biến ngẫu nhiên đa trị, dạng hội tụ biến ngẫu nhiên đa trị trình bày khái niệm, tính chất biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi Các khái niệm đối tượng nghiên cứu luận văn Sau thiết lập luật số lớn cho trường hợp mảng tam giác Kết mở rộng kết H Inoue R L Taylor Khi thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng, sử dụng kĩ thuật chứng minh H Inoue R L Taylor không thu kết Vì thế, đưa phương pháp để xây dựng mảng lát cắt, đưa số kỹ thuật biến đổi khác Trong báo [6], thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả ly tác giả điều kiện kỳ vọng bị chặn mảng biến ngẫu nhiên đa trị cần thiết kĩ thuật chứng minh sử dụng Tuy nhiên, luận văn này, không cần giả thiết kỳ vọng bị chặn mảng biến ngẫu nhiên Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dạy cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học sống Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Xác suất Thống kê Toán ứng dụng, thầy cô Khoa Toán Tác giả xin cảm ơn thầy giáo ThS Dương Xuân Giáp anh chị nhóm Seminar "Xác suất thống kê " giúp đỡ tận tình cho tác giả Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình bạn bè quan tâm, động viên tạo điều kiện tốt để tác giả thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, giả thiết (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ, (X, ) không gian Banach thực, khả ly, X∗ không gian đối ngẫu nó, G σ -đại số F B(X) σ -đại số tập Borel X Ký hiệu R tập tất số thực, N tập tất số tự nhiên 1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa Ta nói ánh xạ X : Ω −→ X phần tử ngẫu nhiên G -đo được, X ánh xạ G/B(X) đo (nghĩa với B ∈ B(X) X −1 (B) ∈ G ) Phần tử ngẫu nhiên F -đo gọi cách đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, X phần tử ngẫu nhiên G -đo X phần tử ngẫu nhiên Mặt khác, dễ dàng thấy X phần tử ngẫu nhiên họ σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(X)} lập thành σ -đại số σ -đại số F σ -đại số gọi σ -đại số sinh X Hơn nữa, σ(X) σ -đại số bé mà X đo Do X phần tử ngẫu nhiên G -đo σ(X) ⊂ G Phần tử ngẫu nhiên X : Ω −→ X gọi phần tử ngẫu nhiên rời rạc |X(Ω)| không đếm Đặc biệt, |X(Ω)| hữu hạn X gọi phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong |X(Ω)| lực lượng tập hợp X(Ω)) Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi hội tụ đến ánh xạ X : Ω → X (khi n → ∞), Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, n → ∞) với ω ∈ Ω Ký hiệu Xn → X (khi n → ∞) Giả sử {Xt , t ∈ ∆} họ phần tử ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), nhận giá trị (X, B(X)) Khi đó, họ {Xt , t ∈ ∆} gọi độc lập đôi (độc lập) họ σ -đại số {σ(Xt ), t ∈ ∆} độc lập đôi (độc lập) Với ≤ p < ∞, ký hiệu Lp (Ω, F, P, X) = Lp (Ω, X) không gian Banach gồm phần tử ngẫu nhiên F -đo f : Ω → X cho chuẩn f p= (E f p p ) = f (ω) p p dP Ω hữu hạn Đặc biệt, Lp (Ω, R) kí hiệu cách ngắn gọn Lp 1.1.2 Tính chất Giả sử X1 , X2 không gian Banach thực khả ly, T : X1 → X2 ánh xạ B(X1 )/B(X2 ) đo X : Ω → X1 phần tử ngẫu nhiên G -đo Khi ánh xạ T ◦X : Ω → X2 phần tử ngẫu nhiên G -đo Giả sử ánh xạ X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo Khi đó, ánh xạ X : Ω → R biến ngẫu nhiên G -đo ( Tính chất đặc trưng quan trọng phần tử ngẫu nhiên.) Ánh xạ X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo với f ∈ X∗ f (X) biến ngẫu nhiên G -đo Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên G -đo được, a, b ∈ R ξ : Ω → R biến ngẫu nhiên G -đo Khi aX + bY ξX phần tử ngẫu nhiên G -đo Nếu {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên G -đo Xn → X n → ∞ X phần tử ngẫu nhiên G -đo Ánh xạ X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo X giới hạn dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo Nghĩa tồn dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo {Xn , n 1}, cho lim sup Xn (ω) − X(ω) = n→∞ ω∈Ω Ánh xạ: X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo X giới hạn (theo chuẩn) dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản G -đo {Xn , n 1}, cho Xn (ω) X(ω) với n ω ∈ Ω Nghĩa tồn dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản G -đo {Xn , n 1} thoả mãn lim Xn (ω) − X(ω) = Xn (ω) X(ω) n→∞ ω ∈ Ω h.c.c Giả sử {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên G -đo Xn −−−→ X (khi n → ∞) Khi tồn phần tử ngẫu nhiên G -đo X cho h.c.c X = X h.c.c Xn −−−→ X Giả sử X1 , X2 không gian Banach thực khả ly {Xt , t ∈ ∆} họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị X1 Khi đó, với t ∈ ∆, Tt : X1 → X2 ánh xạ B(X1 )/B(X2 ) đo họ {Tt (Xt ), t ∈ ∆} họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị X2 10 Giả sử X1 , X2 , , Xn phần tử ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), nhận giá trị (X, B(X)) Khi đó, điều kiện cần đủ để X1 , X2 , , Xn độc lập với f1 , f2 , , fn ∈ X∗ , biến ngẫu nhiên f1 (X1 ), f2 (X2 ), , fn (Xn ) độc lập với n 1.1.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên 1.1.3.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên Phần tử m ∈ X gọi kỳ vọng X với f ∈ X∗ ta có f (m) = E(f (X)) Ký hiệu m = EX Giả sử X phần tử ngẫu nhiên p > Nếu E X p < ∞, ta nói X khả tích bậc p Nếu X khả tích bậc 1, để đơn giản, ta nói X khả tích 1.1.3.2 Tính chất Giả sử X , Y phần tử ngẫu nhiên, ξ biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ X Khi đó, tồn EX, EY, Eξ 1) Tồn E(X + Y ) E(X + Y ) = EX + EY ; 2) Tồn E(aX) E(aX) = aEX ; 3) Tồn E(αξ) E(αξ) = αEξ ; 4) Nếu P(X = α) = EX = α; 5) Nếu ξ f (X) độc lập với f ∈ X∗ tồn E(ξX) E(ξX) = EξEX ; 6) Với ánh xạ tuyến tính liên tục T : X → X ( X không gian Banach thực khả ly) tồn E(T (X)) E(T (X)) = T (E(X)) Nếu E X < ∞ tồn EX EX E X (Bất đẳng thức Jensen) Nếu ϕ : X → R hàm lồi liên tục, X ϕ(X) khả tích, ϕ(EX) 1.1.4 E ϕ(X) Kỳ vọng có điều kiện 1.1.4.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, X không gian Banach thực khả ly, B(X) σ -đại số Borel X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên, G σ -đại số σ -đại số F Khi phần tử ngẫu nhiên Y: Ω → X gọi kỳ vọng có điều kiện X G (i) Y phần tử ngẫu nhiên G -đo được; (ii) E(Y IA ) = E(XIA ), với A ∈ G Kí hiệu Y = E(X|G ) 1.1.4.2 Tính chất (Tính chất cho ta phương pháp khác để định nghĩa kỳ vọng có điều kiện, tương tự định nghĩa kỳ vọng.) Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên Khi Y = E(X|G) f (Y ) = E(f (X)|G) với f ∈ X∗ Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên, ξ biến ngẫu nhiên, α ∈ X, a ∈ R, f ∈ X∗ Khi 1) Nếu ξ biến ngẫu nhiên G -đo thỏa mãn E|ξ| < ∞ E ξX < ∞, E(ξX|G) = ξE(X|G) 2) Nếu X phần tử ngẫu nhiên G -đo E(X|G) = X 3) E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G) 4) E(aX|G) = aE(X|G) 5) E(αξ|G) = αE(ξ|G) 6) Nếu G1 ⊂ G2 E E(X|G1 )|G2 = E(X|G1 ) = E E(X|G2 )|G1 7) Nếu σ(X) độc lập với G E(X|G) = EX Nếu X phần tử ngẫu nhiên khả tích, tồn E(X|G) E(X|G) 1.2 1.2.1 E( X |G) h.c.c Các dạng hội tụ luật số lớn Các dạng hội tụ 1.2.1.1 Định nghĩa Giả sử {X, Xn , n 1} họ phần tử ngẫu nhiên xác định Ω nhận giá trị X Ta nói: Dãy {Xn , n 1} hội tụ hầu chắn đến X (khi n → ∞), tồn tập N ∈ F cho P(N ) = Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, n → ∞) với ω ∈ Ω\N h.c.c −−→ X (khi n → ∞) Ký hiệu Xn → X h.c.c., Xn − Dãy {Xn , n 1} hội tụ đầy đủ đến X (khi n → ∞), với ε > ∞ P( Xn − X > ε) < ∞ n=1 c Ký hiệu Xn → − X (khi n → ∞) Dãy {Xn , n ε > 1} hội tụ theo xác suất đến X (khi n → ∞), với lim P( Xn − X > ε) = n→∞ P Ký hiệu Xn − → X (khi n → ∞) Dãy {Xn , n 1} hội tụ theo trung bình cấp r > đến X (khi n → ∞), X, Xn (n 1) khả tích bậc r lim E Xn − X r = n→∞ Lr Ký hiệu Xn −→ X (khi n → ∞) Dãy {Xn , n 1} hội tụ yếu (theo phân phối) đến X (khi n → ∞), w PXn − → PX , PX : B(X) → R B → P X −1 (B) w Ký hiệu Xn − → X (khi n → ∞) 1.2.1.2 Tính chất Từ định nghĩa suy dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n 1} hội tụ hầu chắn (đầy đủ, theo xác suất, theo trung bình cấp r) đến phần tử ngẫu nhiên X (khi n → ∞) dãy biến ngẫu nhiên (thực) { Xn − X , n 1} hội tụ hầu chắn (đầy đủ, theo xác suất, theo trung bình cấp r) đến (khi n → ∞) Do đó, cách sử dụng tính chất tương ứng dãy biến ngẫu nhiên thực, ta có tính chất sau dãy phần tử ngẫu nhiên Xn → X h.c.c (khi n → ∞) với ε > 0, lim P sup Xm − X > ε = n→∞ c m n h.c.c Nếu Xn → − X Xn −−−→ X (khi n → ∞) h.c.c −−→ C ∈ X Nếu {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập Xn − c Xn → − C (khi n → ∞) h.c.c L P r Nếu Xn − −−→ X Xn −→ X Xn − → X (khi n → ∞) Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất tồn dãy {Xnk ; k 1) ⊂ (Xn , n ≥ 1} cho {Xnk ; k 1.2.2 Luật số lớn 1.2.2.1 Định nghĩa 1} hội tụ h.c.c 10 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ( n n k=1 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn n Xk − n EXk ) → h.c.c n → ∞ k=1 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát tồn dãy số (bn ), < bn ↑ ∞ cho ( bn bn k=1 Xk − bn bn EXk ) → h.c.c n → ∞ k=1 Nếu định nghĩa trên, hội tụ hầu chắn thay hội tụ theo xác suất dãy {Xn , n số lớn tổng quát) 1} gọi tuân theo luật yếu số lớn (luật yếu 1.2.2.2 Luật yếu số lớn dãy Chúng giới thiệu luật yếu số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Rademacher dạng p Trước hết, có định nghĩa không gian Rademacher dạng p sau: Định nghĩa Giả sử {rj , j 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = 1/2 Không gian Banach X gọi không gian Rademacher dạng p (1 p 2) tồn số C > cho, với i vj ∈ X (1 j i), i E i p 1/p rj vj C j=1 vj p 1/p j=1 Hoffmann - Jorgensen chứng minh không gian Banach không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) tồn số dương C = Cp cho với dãy hữu hạn phần tử ngẫu nhiên {f1 , f2 , , fn } độc lập, có kỳ vọng n E n fj j=1 p E fj p ≤C j=1 Định lý Giả sử X không gian Rademacher dạng p (1 {Xn , n p 2), 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị X, {bn , n 21 (ii) Với a, b ∈ R, với lưu ý X = −X = −1 X = −1 −X = nên ta có P(X < a, −X < b) = P(−1 < a, < b) + P(1 < a, −1 < b) P(X < b, −X < a) = P(−1 < b, < a) + P(1 < b, −1 < a) So sánh hai đẳng thức này, ta có P(X < a, −X < b) = P(X < b, −X < a) Do đó, X −X hoán đổi Tiếp theo, X −X không độc lập Lấy a = b = 0, P(X < 0, −X < 0) = 1 P(X < 0)P(−X < 0) = P(X = −1)P(X = 1) = = 2 Nghĩa tồn a, b cho P(X < a, −X < b) = P(X < a)P(−X < b) Do đó, X −X không độc lập Ví dụ Ta xét {X1 , X2 , , Xn } dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Đặt Yk = Xk − X với X = n1 ni=1 Xi Dãy {Y1 , Y2 , , Yn } hoán đổi được, không độc lập (xem [R F Patterson and R L Taylor (1985), Strong laws of large numbers for triangular arrays of exchangeable random variables, Stochastic Analysis and Applications, 3, 2, 171-187]) Như vậy, xem khái niệm biến ngẫu nhiên hoán đổi mở rộng khái niệm biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Năm 2006, H Inoue R.L.Taylor [5] thiết lập luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi 2.4 Luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi theo hàng Cho biến ngẫu nhiên đa trị X : Ω → c(X), ta kí hiệu FX σ -đại số sinh X , nghĩa σ -đại số bé mà X đo Khi đó, có 1 (FX ) = cl{E(x|FX ) : x ∈ SX (F)} SX 22 (F), Giả sử X, Y hai biến ngẫu nhiên đa trị f, g tương ứng thuộc SX SY1 (F) Khi đó, X, Y độc lập f, g nói chung không độc lập Tuy (FX ), g ∈ SY1 (FY ) X, Y độc lập kéo theo f, g độc nhiên, f ∈ SX lập Cũng vậy, X, Y hoán đổi nói chung f, g không hoán đổi Tuy nhiên, H Inoue R.L.Taylor [5] chứng minh kết sau 2.4.1 Bổ đề (xem [5], Lemma 4.2) (1) Với biến ngẫu nhiên đa trị X (F) = ∅, ta có SX coE(X) = coE(X, FX ) (2) Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi Với (FX ), tồn lát cắt g ∈ SY1 (FY ) cho f g hoán đổi f ∈ SX (3) Với hai biến ngẫu nhiên đa trị X, Y hoán đổi SX (F) = ∅, ta có E(X, FX ) = E(Y, FY ) Chứng minh Chúng ta ý với x ∈ L1 (Ω, X), kỳ vọng có điều kiện x A ∈ F xác định hàm E(x|A) ∈ L1 (Ω, A, X) cho xdµ, ∀B ∈ A E(x|A)dµ = B B Nếu SX (F) = ∅ tồn hàm A-đo E(X|A) cho 1 SE(X|A) (A) = cl{E(x|A) : x ∈ SX (A)} ∈ L1 (Ω, X) (1) Từ coX FX -đo được, có 1 ScoX (FX ) = {E(x|FX ) : x ∈ ScoX (F)} 1 1 Hơn nữa, ScoX (F) = coSX (F) ScoX (FX ) = coSX (FX ) Do coE(X) = clE(coX) = cl{E(E(x|FX )) : x ∈ ScoX (F)} = cl{E(x) : x ∈ ScoX (FX )} = coE[X, FX ] 23 (2) Từ X khả ly f F -đo tồn hàm (E, B(X))-đo ϕ : c(X) → X thỏa mãn f (ω) = ϕ(X(ω)), ∀ω ∈ Ω Đặt g(ω) = ϕ(Y (ω)), ω ∈ Ω Nếu X, Y hoán đổi f, g hoán đổi Thật vậy, chúng minh điều trường hợp tổng quát sau, giả sử họ biến ngẫu nhiên đa trị {Xi , ≤ i ≤ n} hoán đổi ϕ : c(X) → X (E, B(X))-đo (hay (E, B(R))-đo được), B(X) B(R) tương ứng σ -đại số Borel X R Khi đó, họ biến ngẫu nhiên đơn trị {ϕ(Xi ), ≤ i ≤ n} hoán đổi Với phân hoạch π {1, 2, , n} với tập Borel {B1 , B2 , , Bn }, có n n [ϕ(Xπ(i) ) ∈ Bi ] = P P i=1 [Xπ(i) ∈ ϕ−1 (Bi )] i=1 n [Xi ∈ ϕ−1 (Bi )] =P i=1 (từ tính hoán đổi hệ {Xi , ≤ i ≤ n}) n =P [ϕ(Xi ) ∈ Bi ] i=1 Chúng ta có g(ω) dµ = Ω ϕ(Y ) dµ = c(X) f (ω) dµ < ∞ ϕ(X) dµ = c(X) Ω Vì hàm khoảng cách d(f, X) {B(X), E}-đo f, g hoán đổi đuộc nên d(f (.), X(.)) d(g(.), Y (.)) hoán đổi Do đó, d(f (ω), X(ω)) = suy d(g(ω), Y (ω)), nghĩa Y ∈ SY1 (FY ) (3) Ta chứng minh E(X, FX ) ⊂ E(Y, FY ) Thật vậy, lấy x E(X, FX ) Khi đó, tồn f ∈ SX (FX ) để Ef = x, suy tồn g ∈ SY1 (FY ) cho f, g hoán đổi (theo (2)) Từ có x = Ef = Eg nghĩa x ∈ E(Y, FY ) Chứng minh E(Y, FY ) ⊂ E(X, FX ) hoàn toàn tương tự Chú ý Bổ đề 2.4.1(2) cho họ hữu hạn hay vô hạn biến ngẫu nhiên R.L.Taylor, A.N.Vidyashankar Y.Chen (năm 2000) chứng minh luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên hoán đổi 24 2.4.2 Định lý Cho {Xk , k ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên hoán đổi không gian Banach X cho E X1 < ∞ {f (Xn )} biến ngẫu nhiên không tương quan, với f ∈ X∗ , n n Xk − EX1 → h.c.c k=1 Tiếp theo, trình bày chi tiết chứng minh luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả ly 2.4.3 Định lý Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả ly X Nếu E|X1 | < ∞ Cov{f (g(coX1 )), f (g(coX2 ))} = với f ∈ X∗ n n Xk → coEX1 theo dạng hội tụ Mosco, k=1 g : c(X) → X hàm đo Chứng minh Lập luận chứng minh Bổ đề 2.4.1(2), với dãy biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi {Xn }, tồn hàm (E, B(X))đo ϕ : c(X) → X (trong B(X) σ -đại số Borel X) dãy phần tử ngẫu nhiên tương ứng {xn } cho xn (ω) = ϕ(Xn (ω)) với ω ∈ Ω Lưu ý tính hoán đổi dãy {Xn } kéo theo tính hoán đổi dãy {f (Xn )}, với f : c(X) → X hàm đo Đặt Z = coE(X1 ) Vn (ω) = n1 cl n Xk (ω) Từ giả thiết dãy {Xn , n ≥ 1} k=1 hoán đổi áp dụng Bổ đề 2.4.1(2), ta suy dãy {xn } hoán đổi (do đó, phân phối) Cho trước ε > Khi đó, với z ∈ Z , cách áp dụng Bổ đề 2.4.1(1), (2) (3), chọn {x1 , x2 , , xm } cho xi ∈ SX (FXi ), với i ≤ i ≤ m m m E(xi ) − z < ε i=1 Từ Bổ đề 2.4.1(2), tồn dãy lát cắt {xn : n ≥ 1}, với xn ∈ SX (FXn ) cho dãy {x(k−1)m+i , k ≥ 1} hoán đổi với n i = 1, 2, , m Tiếp tục, đặt zi = E(xi ), ≤ i ≤ m 25 Với n = (k − 1)m + l, ≤ l ≤ m, có n n xt (ω) − t=1 m m zi i=1 n = ≤ + m k x(t−1)m+i (ω) − i=1 t=1 m k k x(t−1)m+i (ω) n k t=1 i=1 m k zi − n m i=1 n m x(k−1)m+i (ω) − i=l+1 − zi + n m m zi i=1 m x(k−1)m+i (ω) i=1 Với ≤ i ≤ m, {x(k−1)m+i , k ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn đầy đủ giả thiết Định lý 2.4.2 nên áp dụng định lý ta suy k k x(t−1)m+i (ω) − zi → h.c.c k → ∞ t=1 k −1 x(k−1)m+i (ω) → h.c.c k → ∞ Vì vậy, n n xt (ω) − t=1 m m zi → h.c.c n → ∞ i=1 Từ Vn (ω) tập đóng c(X) ta suy vậy, có m m n n k=1 xk (ω) ∈ Vn (ω) h.c.c Vì zi ∈ s − liVn (ω) h.c.c (do s − liVn (ω) tập đóng, với i=1 ω ∈ Ω) Từ đó, Z ⊂ s − liVn (ω) h.c.c Tiếp theo, chứng tỏ w − lsVn (ω) ⊂ Z h.c.c Giả sử {zi } dãy trù mật X\Z Do X khả ly nên chọn dãy {zi∗ } X∗ cho: zi , zi∗ ≤ s(Z, zi∗ ) với i Khi đó, z ∈ Z z, zi∗ ≤ s(Z, zi∗ ), với i ≥ Do dãy {Xn } hoán đổi nên với i ≥ 1, {s(Xn (.), zi∗ )} dãy biến ngẫu nhiên hoán đổi được, thuộc L1 Vì vậy, tồn N ∈ F với P(N ) = cho với ω ∈ Ω\N i ≥ ta có lim n→∞ s(Vn (ω), zi∗ ) = lim n→∞ n n s(Xk (ω), zi∗ ) = s(Z, zi∗ ) k=1 w Nếu z ∈ w − lsVn (ω) với ω ∈ Ω\N zk → z , với zk ∈ Vnk (ω) Do đó, với i ≥ 1, z, zi∗ = lim zk , zi∗ ≤ lim s(Vnk (ω), zi∗ ) = s(Z, zi∗ ) k→∞ k→∞ Điều kéo theo z ∈ Z Vì vậy, w − lsVn (ω) ⊂ Z h.c.c 26 Bổ đề sau thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, nhận giá trị không gian Banach khả ly 2.4.4 Bổ đề (xem [9], Theorem 1) Giả sử {Xnk : n ≥ 1, ≤ k ≤ n} mảng tam giác phần tử ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, nhận giá trị không gian Banach khả ly Với k , dãy {Xnk : n ≥ 1} hội tụ theo trung bình bậc tới phần tử ngẫu nhiên X∞k Xn1 − X∞1 ≥ X(n+1),1 − X∞1 với n Khi đó, ρn (f ) = E[f (Xn1 )f (Xn2 )] → n → ∞ với f ∈ X∗ n n Xnk → h.c.c n → ∞ k=1 2.4.5 Bổ đề (xem [6], Lemma 3.3) Giả sử {xni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng tam giác phần tử không gian Banach X thỏa mãn: (i) lim xni = 0, i→∞ (ii) tồn số C cho xni ≤ C, với n ≥ 1, ≤ i ≤ n Khi đó, ta có n n i=1 xni → n → ∞ Năm 2006, H Inoue R L Taylor thiết lập luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả ly (Định lý 2.4.3) Trong định lý đây, thiết lập luật số lớn cho trường hợp mảng tam giác Kết mở rộng kết H Inoue R L Taylor Khi thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng, sử dụng kĩ thuật chứng minh H Inoue R L Taylor không thu kết Vì thế, phải sử dụng thêm Bổ đề 2.4.5 đưa phương pháp để xây dựng mảng lát cắt, đưa số kỹ thuật biến đổi khác Trong báo [6], thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả ly, tác giả điều kiện kỳ vọng bị chặn mảng biến ngẫu nhiên đa trị cần thiết kĩ thuật chứng minh sử dụng Tuy nhiên, luận văn này, không cần giả thiết kỳ vọng bị chặn mảng biến ngẫu nhiên 27 2.4.6 Định lý Cho {Xni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả ly Giả sử ρn (f, g) = Cov (f (g(coXn1 )), f (g(coXn2 ))) → n → ∞, (2.10) với f ∈ X∗ g : c(X) → X hàm đo Khi đó, tồn X ∈ c(X) cho: +) Với x ∈ X, tồn mảng tam giác {fni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} thỏa mãn L hoán đổi theo hàng, fni ∈ SX (FXni ) fni →2 x n → ∞ ni với i fn1 − Efn1 ≥ f(n+1),1 − Ef(n+1),1 với n ≥ (2.11) L +) Với x∗ ∈ X∗ , s(Xn1 , x∗ ) →2 s(X, x∗ ) n → ∞, với n s(Xn1 , x∗ ) − Es(Xn1 , x∗ ) ≥ s(X(n+1),1 , x∗ ) − Es(X(n+1),1 , x∗ ) , (2.12) M - lim cl n Chứng minh Đặt Gn (ω) = n Xni (ω) = coX h.c.c i=1 n cl n i=1 Xni (ω) Đầu tiên, chứng tỏ coX ⊂ s-liGn (ω) h.c.c Để làm điều này, sử dụng Bổ đề 2.4.5 Với x ∈ coX > 0, theo Bổ đề 3.6 (xem [2]), tồn x1 , x2 , , xm ∈ X (các phần tử x1 , x2 , , xm phụ thuộc vào x ) cho m xj − x < m j=1 Từ điều kiện (2.11), tồn mảng tam giác {fni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} cho với j = 1, 2, , m, mảng {fn,(i−1)m+j } hoán đổi theo hàng L fn, (i−1)m+j →2 xj n → ∞, với j = 1, 2, , m i ≥ (2.13) Đặt yni = Efni với n ≥ 1, ≤ i ≤ n Giả sử n = (k − 1)m + l với 28 ≤ l ≤ m Khi đó, có n n m fni (ω) − m i=1 = n k ≤ n m xj j=1 k fn,(i−1)m+j (ω) − n j=1 i=1 m k j=1 m j=l+1 k k + n + n m k j=1 m j=1 m k xj j=1 m (fn,(i−1)m+j (ω) − xj ) + n i=1 + k ≤ n m fn,(k−1)m+j (ω) − m fn,(k−1)m+j (ω) j=l+1 k − n m m xj j=1 k (fn,(i−1)m+j (ω) − yn,(i−1)m+j ) i=1 k yn,(i−1)m+j − xj i=1 fn,(k−1)m+j (ω) − yn,(k−1)m+j j=l+1 + + n m yn,(k−1)m+j j=l+1 k − n m m xj (2.14) j=1 Đặt gni (ω) = fni (ω) − yni , với n ≥ ≤ i ≤ n Do {fn,(i−1)m+j : n ≥ 1, ≤ i ≤ k} gồm biến ngẫu nhiên khả tích, hoán đổi theo hàng nên {gn,(i−1)m+j : n ≥ 1, ≤ i ≤ k} mảng phần tử ngẫu nhiên khả tích, hoán đổi theo hàng L Từ (2.13), với s = (i − 1)m + j (1 ≤ j ≤ m), ta có fns →2 xj n → ∞, nghĩa E fns − xj → n → ∞ Chúng ta có ≤ Efns − xj = E(fns − xj ) ≤ (E fns − xj )2 ≤ E fns − xj (từ tính chất EX ≤ E X ) → n → ∞ (theo bất đẳng thức hàm lồi) Từ đó, có ≤ gns = (fns −xj )−(Efns −xj ) ≤ fns −xj 2+ Efns −xj n→∞ → 29 Điều có nghĩa L gns →2 n → ∞ (2.15) Với f ∈ X∗ , ta có ρn (f ) = E (f (gni )f (gnj )) = E (f (fni − Efni ).f (fnj − Efnj )) = E [(f (fni ) − f (Efni )).(f (fnj ) − f (Efnj ))] (do f ánh xạ tuyến tính) = E [(f (fni ) − E(f (fni ))).(f (fnj ) − E(f (fnj )))] (theo định nghĩa phần tử ngẫu nhiên) = Cov (f (fni ), f (fnj )) với i = j = Cov (f (g(coXn1 )), f (g(coXn2 ))) → n → ∞ (2.16) (từ giả thiết (2.10)) Từ khẳng định trên, thấy với l, j = 1, 2, , m, mảng tam giác {g(k−1)m+l,(i−1)m+j : k ≥ 1, ≤ i ≤ k} thỏa mãn tất điều kiện Bổ đề 2.4.4 áp dụng bổ đề ta có k k g(k−1)m+l,(i−1)m+j (ω) → h.c.c k → ∞, với l, j = 1, 2, , m i=1 Điều tương đương với k k i=1 gn,(i−1)m+j (ω) = k k (fn,(i−1)m+j (ω) − yn,(i−1)m+j ) n→∞ → h.c.c i=1 (2.17) Với l, j = 1, 2, , m, đặt zki := y(k−1)m+l,(i−1)m+j − xj = yn,(i−1)m+j − xj Với j = 1, 2, , m, từ điều kiện {fn,(i−1)m+j } hoán đổi theo hàng hội tụ theo trung bình bậc theo cột tới xj n → ∞ nên chúng có kì vọng bị chặn Do đó, suy |zki | ≤ Efn,(i−1)m+j + xj ≤ C + xj , (2.18) 30 với k ≥ 1, ≤ i ≤ k Từ (2.13), suy zki → k → ∞, với i ≥ (hội tụ theo L2 kéo theo hội tụ theo L1 ) Từ đó, ta có zki → i → ∞ Kết hợp điều với (2.18), nhận thấy {zki : k ≥ 1, ≤ i ≤ k} thỏa mãn tất giả thiết Bổ đề 2.4.5, với l, j = 1, 2, , m Từ đó, áp dụng bổ đề cho mảng {zki : k ≥ 1, ≤ i ≤ k} thu k k y(k−1)m+l,(i−1)m+j − xj → k → ∞ với l, j = 1, 2, , m i=1 Từ đó, ta suy k k yn,(i−1)m+j − xj → n → ∞ (2.19) i=1 Từ (2.17), có n m fn,(k−1)m+j (ω) − yn,(k−1)m+j j=l+1 k = n m k j=l+1 k i=1 = n m gn,(k−1)m+j (ω) j=l+1 k−1 gn,(i−1)m+j (ω) − ( ) k k−1 k−1 gn,(i−1)m+j (ω) n→∞ → i=1 (2.20) Tương tự, từ (2.19), thu n m ≤ n yn,(k−1)m+j j=l+1 k = n m j=l+1 k m yn,(k−1)m+j − xj j=l+1 k yn,(i−1)m+j − xj i=1 + n k−1 −( ) k k−1 + n m xj j=l+1 k−1 yn,(i−1)m+j − xj i=1 m xj → n → ∞ j=l+1 (2.21) Chúng ta có ( nk − m) → n → ∞ Từ đó, kết hợp với (2.14) (2.17), (2.19), (2.20) (2.21), có n n i=1 fni (ω) − m m xj → h.c.c n → ∞ j=1 31 Điều kéo theo m m j=1 xj ∈ s-liGn (ω) h.c.c Vì coX ⊂ s-liGn (ω) h.c.c Tiếp theo, giả sử {xj } dãy trù mật X \ coX Từ định lý khả ly, tồn dãy {x∗j } thuộc X∗ với x∗j = cho xj , x∗j − d(xj , coX) ≥ s(coX, x∗j ), j ≥ (2.22) Khi đó, x ∈ coX x, x∗j ≤ s(coX, x∗j ) với j ≥ Từ {Xni , n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, suy {s(Xni , x∗j ) : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, với j ≥ Đặt hjni = s(Xni , x∗j ) − E(s(Xni , x∗j )), {hjni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng Lập luận tương tự, suy mảng tam giác {hjni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} thỏa mãn đầy đủ điều kiện Bổ đề 2.4.4 cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, với j ≥ Khi đó, áp dụng bổ đề này, có n n hjni (ω) → h.c.c n → ∞, với j ≥ i=1 Điều có nghĩa n n s(Xni , x∗j )− n i=1 n E(s(Xni , x∗j )) → h.c.c n → ∞, với j ≥ i=1 Hơn nữa, từ (2.12) (2.22), có Es(Xni , x∗j ) = s(clE(Xni ), x∗j ) → s(X, x∗j ) < ∞ n → ∞ với i, j ≥ Từ đó, tính hoán đổi theo hàng mảng tam giác biến ngẫu nhiên {s(Xni , x∗j ) : n ≥ 1, ≤ i ≤ n}, ta suy mảng tam giác có kì vọng bị chặn áp dụng Bổ đề 2.4.5, ta có n n E(s(Xni , x∗j )) → s(X, x∗j ) n → ∞, ∀j ≥ i=1 32 Từ đó, với j ≥ 1, s(Gn (ω), x∗j ) → s(X, x∗j ) h.c.c n → ∞ Nghĩa là, tồn N ∈ F , P(N ) = cho với ω ∈ Ω\N, j ≥ 1, s(Gn (ω), x∗j ) → s(X, x∗j ) n → ∞ w Với ω ∈ Ω\N, x ∈ w-lsGn (ω) xk → x k → ∞, xk ∈ Gn(k) (ω) Từ đó, thu x, x∗j = lim xk , x∗j ≤ lim s(Gn(k) (ω), x∗j ) = s(X, x∗j ) ≤ s(coX, x∗j ), ∀j ≥ k→∞ k→∞ Từ suy x ∈ coX Vì vậy, w-ls n1 cl n i=1 Xni (ω) ⊂ coX h.c.c.✷ Định lý 2.4.6 kết mà thu thực luận văn cao học Các kết thu được viết thành báo nhận đăng tạp chí khoa học nước 33 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng, luận văn hoàn thành, giải vấn đề sau đây: Hệ thống số khái niệm tính chất xác suất không gian Banach Trình bày khái niệm, tính chất, định lý biến ngẫu nhiên đa trị biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi Trình bày chi tiết chứng minh luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả ly Chúng thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi theo hàng, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả ly Một số hướng nghiên cứu luận văn: - Thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi theo hàng với điều kiện compact khả tích martingale ngược - Thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị tôpô Wijsman 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Dương Xuân Giáp Nguyễn Thị Quỳnh Hoa (2013), Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi theo hàng, Tạp chí Đại học Sài Gòn (nhận đăng) tiếng anh [2] C Castaing, N V Quang and D X Giap (2012), Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vol 13, No 4, pp 615-636 [3] C Castaing, N V Quang and D X Giap (2012), Various convergence results in strong law of large numbers for double array of random sets in Banach spaces, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vol 13, No 1, pp 1-20 [4] Y S Chow and H Teicher, Probability theory, Springer, New York, 1978 [5] H Inoue and R.L.Taylor (2006), Law of large numbers for exchangeable random sets in Kuratowski-Mosco sense, Stochastic Analysis and Applications, Volume 24, Issue 2, pp 263-275 [6] N V Quang and D X Giap (2013), Mosco convergence of SLLN for triangular arrays of rowwise independent random sets, Statistics and Probability Letters, 83, pp 1117-1126 [7] N V Quang and D X Giap (2013), SLLN for double array of mixing dependence random sets and fuzzy random sets in a separable Banach space, Journal of Convex Analysis, Vol 20, No [8] R L Taylor, P Z Daffer and R F Patterson (1985), Limit theorems for 35 sums of exchangeable variables, Rowman & Allanheld Publishers, Totowa N.J [9] R L Taylor and R F Patterson (1985), Strong laws of large numbers for arrays of row-wise exchangeable random elements, Internat J Math & Math Sci., Vol 8, No 1, 135-144 [...]... lập được luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả ly Một số hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn: - Thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng với các điều kiện compact khả tích đều và martingale ngược - Thiết lập luật. .. lập được luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được 2.4 Luật số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng Cho biến ngẫu nhiên đa trị X : Ω → c(X), ta kí hiệu FX là σ -đại số sinh bởi X , nghĩa là σ -đại số bé nhất mà X đo được Khi đó, chúng ta có 1 1 (FX ) = cl{E(x|FX ) : x ∈ SX (F)} SX 22 1 (F), Giả sử X, Y là hai biến ngẫu nhiên. .. Văn Quảng, luận văn được hoàn thành, đã giải quyết các vấn đề chính sau đây: 1 Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản về xác suất trên không gian Banach Trình bày các khái niệm, tính chất, các định lý về biến ngẫu nhiên đa trị và biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được 2 Trình bày chi tiết chứng minh luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được, nhận giá trị... martingale ngược - Thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị đối với tôpô Wijsman 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Dương Xuân Giáp và Nguyễn Thị Quỳnh Hoa (2013), Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng, Tạp chí Đại học Sài Gòn (nhận đăng) tiếng anh [2] C Castaing, N V Quang and D X Giap (2012), Mosco convergence of strong law... với mọi số nguyên không âm k và hàm Ψ(t) là một hàm liên tục, chẵn, dương Ψ(|t|) thỏa mãn Ψ(t) |t|r ↑ và |t|r+p−1 ↓ khi |t| ↑ 13 Chương 2 LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CHO MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, HOÁN ĐỔI ĐƯỢC THEO HÀNG 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị Ký hiệu c(X) là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của không gian Banach X Trên c(X) ta xác định một cấu trúc tuyến tính với các phép toán được định... ngẫu nhiên hoán đổi được trên không gian Banach X sao cho E X1 < ∞ và {f (Xn )} là các biến ngẫu nhiên không tương quan, với mỗi f ∈ X∗ , thì 1 n n Xk − EX1 → 0 h.c.c k=1 Tiếp theo, chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả ly 2.4.3 Định lý Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến. .. sao cho f, g hoán đổi được (theo (2)) Từ đó chúng ta có x = Ef = Eg nghĩa là x ∈ E(Y, FY ) Chứng minh E(Y, FY ) ⊂ E(X, FX ) hoàn toàn tương tự Chú ý rằng Bổ đề 2.4.1(2) cũng đúng cho họ hữu hạn hay vô hạn các biến ngẫu nhiên R.L.Taylor, A.N.Vidyashankar và Y.Chen (năm 2000) chứng minh được luật số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi được 24 2.4.2 Định lý Cho {Xk , k ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu. .. ≤ i ≤ n} là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, với mỗi j ≥ 1 Đặt hjni = s(Xni , x∗j ) − E(s(Xni , x∗j )), thì {hjni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} cũng là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng Lập luận tương tự, chúng ta suy ra rằng mảng tam giác {hjni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của Bổ đề 2.4.4 cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực,... ∈ Bn ) Một dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thì chúng hoán đổi được, tuy nhiên nếu một dãy biến ngẫu nhiên là hoán đổi được thì có thể chúng không độc lập Để thấy rõ điều này chúng ta xét một số ví dụ sau đây: Ví dụ 1 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau 1 P(X = 1) = P(X = −1) = 2 Khi đó (i) X và X hoán đổi được nhưng không độc lập (ii) X và −X hoán đổi được nhưng không... Nếu X, Y hoán đổi được thì f, g cũng hoán đổi được Thật vậy, chúng ta sẽ chúng minh điều này trong trường hợp tổng quát như sau, giả sử họ các biến ngẫu nhiên đa trị {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là hoán đổi được và ϕ : c(X) → X là (E, B(X))-đo được (hay (E, B(R))-đo được) , trong đó B(X) và B(R) tương ứng là σ -đại số Borel trên X và R Khi đó, họ các biến ngẫu nhiên đơn trị {ϕ(Xi ), 1 ≤ i ≤ n} cũng hoán đổi được Với ... chất phần tử ngẫu nhiên, kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên, dạng hội tụ luật số lớn phần tử ngẫu nhiên Chương Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi theo hàng Trong chương... xác suất đơn trị Cho đến luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị nghiên cứu dạng hội tụ khác như: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco, hội tụ Wijsman, hội tụ slice, hội tụ theo khoảng cách Hausdorff,... dạng hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả ly Chúng thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên