Đề cương toán THPT 2016 CHUN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chủ đề 1: Bài toán tiếp tuyến 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm * Tính ; tính (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có phương trình với Ví dụ 1: Cho hàm số a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hồnh độ x = c) Tại điểm có tung độ y =5 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): Giải: a) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm Ta có có dạng: Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(-1; 7) là: hay y = b) Từ y’(2) = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = là: c) Ta có: +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (0; 5) Ta có y’(0) = -3 Do phương trình tiếp tuyến là: hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm Do phương trình tiếp tuyến là: hay +) Tương tự phương trình tiếp tuyến (C) là: Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành 1|Page Đề cương toán THPT 2016 b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = Giải: Ta có Gọi a) Khi tiếp điểm tiếp tuyến có phương trình: y0 = x0 nghiệm phương trình: ; y’(2) = 6, thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: b) Khi x0 = biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: , thay giá trị c) Khi x0 nghiệm phương trình y”= Ta có: y” = 6x – y” = ; Thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: Ví dụ 3: Cho hàm số (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hồnh độ x=2 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) điểm N, tìm tọa độ điểm N Giải a) Tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) có hồnh độ Ta có Phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) Vậy phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) N Xét phương trình Vậy điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số điểm (C), tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A tìm hồnh độ điểm B theo Lời giải: Vì điểm 2|Page (C) , Đề cương toán THPT 2016 Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng: Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): Vậy điểm B có hồnh độ hoctoancapba.com Ví dụ 5: Cho hàm số điểm có hồnh độ nhỏ (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) thỏa mãn chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc Giải Ta có Khi tiếp tuyến M có hệ số góc Vậy tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm suy có phương trình hay Tiếp tuyến d có hệ số góc -1 Mặt khác tiếp tuyến đồ thi (C) điểm kỳ (C) có hệ số góc Dấu “=” xảy nên tọa độ tiếp điểm trùng với Vậy tiếp tuyến d (C) điểm có hệ số góc nhỏ Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): đường thẳng (d): Giải + Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): 3|Page giao điểm (C) với Đề cương toán THPT 2016 (x = khơng phải nghiệm phương trình) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) M2(2; 4) + Ta có: + Tại tiếp điểm M1(0; -2) y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: + Tại tiếp điểm M2(2; 4) y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: Ví dụ 7: Cho hàm số (Cm).Gọi M điểm thuộc đồ thị (Cm) có hồnh độ -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải Ta có Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có Khi ta có hàm số ta có Phương trình tiếp tuyến có dạng Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d Vậy giá trị cần tìm Ví dụ 8: Cho hàm số (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hồnh độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Giải Với M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: d: y = -3x + m + - d cắt trục Ox A: - d cắt trục Oy B: 4|Page Đề cương toán THPT 2016 Vậy m = m = - 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số + Gọi  (C) biết trước hệ số góc tiếp điểm, giải phương trình , + Đến trở dạng 1,ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thị: Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com *) Cho trực tiếp: *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc , với hệ số góc k = *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi hệ số góc k = a *) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): y = ax + b *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b góc Ví dụ 9: Cho hàm số tiếp tuyến k = -3 Giải: Khi Khi đó, (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc Ta có: Gọi tiếp điểm Tiếp tuyến M có hệ số góc Theo giả thiết, hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: Vì Phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 9x + Giải: Ta có: Gọi 5|Page tiếp điểm Tiếp tuyến M có hệ số góc (C) Biết tiếp tuyến Đề cương toán THPT 2016 Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + +6 tiếp tuyến có hệ số góc k =9 Phương trình tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: (loại) Phương trình tiếp tuyến (C) M(3;1) là: Ví dụ 11: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Giải: Ta có Do tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng nên hệ số góc tiếp tuyến k = Do +) Với x = +) Với Pttt điểm có hồnh độ x = là: Pttt điểm có hồnh độ x = - là: Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vng góc với đường thẳng y =9x - 14 y = 9x + 18 là: Ví dụ 12: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: tuyến vng góc với đường thẳng (d): , biết tiếp Giải: (d) có phương trình: Gọi nên (d) có hệ số góc - tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k Ta có: nên hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: Vậy tiếp điểm M có tọa độ 6|Page Đề cương toán THPT 2016 Tiếp tuyến có phương trình: Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: Ví dụ 13: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành A, trục tung B cho tam giác OAB vng cân O, O góc tọa độ Giải Ta có: Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân nên hệ số góc tiếp tuyến là: Khi gọi tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có Với lúc tiếp tuyến có dạng qua góc tọa độ, nên khơng tạo thành tam giác OAB) Với (trường hợp loại tiếp tuyến lúc tiếp tuyến có dạng Vậy tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 14: Cho hàm số y = có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Giải Giả sử tiếp tuyến d (C) Do ∆OAB vuông O nên cắt Ox A, Oy B cho ⇒ Hệ số góc d ⇔ Hệ số góc d Khi có tiếp tuyến thỏa mãn là: 7|Page Đề cương toán THPT 2016 1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm Cách giải + Tiếp tuyến có phương trình dạng: điểm) , (với x0 hồnh độ tiếp + Tiếp tuyến qua nên + Giải phương trình (*) để tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Ví dụ 15: Cho đồ thị (C): tuyến qua điểm A(-2; -1) Giải: , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp Ta có: Gọi M tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến với (C) M : qua A(-2;-1) nên ta có: Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 1.4 Dạng Một số tốn tiếp tuyến nâng cao Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Giải: Gọi Ta có: hai điểm phân biệt (C) nên tiếp tuyến với (C) A B có hệ số góc là: Tiếp tuyến A B song song với khi: , thay a = -b ta được: 8|Page cho tiếp Đề cương toán THPT 2016 - Với - Với Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: Ví dụ 17: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Giải: Hàm số viết lại: Gọi Với điều kiện: Ta có: cặp điểm đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu tốn nên hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B là: Tiếp tuyến A B song song khi: (1) (do ) ( thay a (1) ) 9|Page Đề cương toán THPT 2016 Cặp điểm A B cần tìm có tọa độ là: Ví dụ 18: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0, 1), D, E cho tiếp tuyến (C m) D E vng góc với Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x3 + 3x2 + mx + = ⇔ x(x2 + 3x + m) = ⇔ * (Cm) cắt đường thẳng y = C(0, 1), D, E phân biệt: ⇔ Phương trình (2) có nghiệm xD, xE ≠ ⇔ Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD = y’(xD) = kE = y’(xE) = Các tiếp tuyến D, E vng góc khi: kDkE = –1 ⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 ⇔ 9m + 6m (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t) ⇔ 4m2 – 9m + = ⇔ m = ĐS: m = Ví dụ 19: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến lớn Giải: Gọi tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm M Ta có: 10 | P a g e 10 , biết Đề cương toán THPT 2016 z= Bài Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn: Bài Tìm phần thực, phần ảo số phức z = 2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: dụng Dạng đại số z với Ví dụ 1: Tìm số phức z biết Giải: Gọi z= a+ bi (a,b ) ta có: Vậy z= 2-i Ví dụ 2: Tính mô đun số phức z biết rằng: Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ) Ta có Suy mơ đun: Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: Giải Gọi z = x + iy (x, y R), ta có 67 | P a g e 67 ta sử Đề cương toán THPT 2016 Từ (1) (2) tìm x = ; y = Vậy số phức cần tìm + i - i Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: ảo Giải Đặt z= x+ yi (x,y ) Theo ta có Số phức w số ảo Vậy Ví dụ 5: Tìm tất số phức z biết Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ) ta có: Vậy z=0; Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn 68 | P a g e z2 số ảo 68 số Đề cương toán THPT 2016 Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ) Ta có Yêu cầu toán thỏa mãn Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i Ví dụ 7: Tìm số phức z biết Giải: Gọi z= a+ bi (a, b Vậy ) ta có Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn Giải: Giả sử z= x+ yi (x, y ) Khi đó, số thực Từ (1) (2) ta có x=1; y=0 x=-1; y=2 Vậy z=1; z=-1+ 2i  Bài tập tự luyện Bài Tìm số phức z thỏa mãn: Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: Bài Tìm số phức z thỏa mãn Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) 69 | P a g e z số ảo b) phần thực z hai lần phần ảo 69 Đề cương toán THPT 2016 z2 số ảo Bài Tìm số phức z thoả mãn Bài Giải phương trình: a) Bài b) Tìm số phức z biết Bài Tìm số phức z biết: Bài 10 Tìm số phức z thỏa mãn: có phần ảo Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn 2.4 Dạng 4: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Trong dạng này, ta gặp tốn biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến mơđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z −1+ i =2 b) + z = 1− i c) z − 4i + z + 4i = 10 Giải: Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) biểu diễn điểm M(x;y) z −1+ i a) Xét hệ thức: =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – + i = (x – 1) + (y + 1)i 2 Khi (1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.⇒ Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường tròn có tâm I(1;-1) bán kính R = 2+ z = z −i b) Xét hệ thức 2 ⇔ (x+2) + y = x + (1-y)2 ⇔ 4x + 2y + = 70 | P a g e 70 ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| Đề cương toán THPT 2016 Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB c) Xét hệ thức: z − 4i + z + 4i = 10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: z − 4i + z + 4i = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 = ⇒ Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F F2 có độ dài trục lớn 10 x2 y + =1 Phương trình (E) là: 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn Giải: Đặt z= x+ yi (x,y Ta có: ) Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có phương trình Ví dụ 3: Cho số phức Giải Giả sử Tìm tập hợp điểm biểu diễn biểu diễn điểm M(x;y) Khi ta có: Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức đường tròn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhỏ 71 | P a g e , biết 71 Tìm số phức z có mơđun Đề cương toán THPT 2016 Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) biểu diễn điểm M(x;y) Ta có (1) Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thẳng x + y = Mặt khác Hay Do Vậy Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn Giải Đặt z= x+ yi (x, y số thực Tìm giá trị nhỏ ) ta có Ta có: Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z mơ đun z nhỏ độ dài OM nhỏ z=-2+2i Tìm M(-2;2) suy Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn thỏa mãn điều kiện Giải Gọi Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy bán kính Gọi d đường thẳng qua O I Gọi M1, M2 hai giao điểm d (C) Ta thấy số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay 72 | P a g e 72 đường trịn có tâm  Đề cương toán THPT 2016 Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho Giải Đặt z= x+ yi (x, y ), đó: số ảo u số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường trịn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1) Bài tập tự luyện Bài Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) b) c) Bài Trong số phức thỏa mãn Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: nhỏ Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhỏ .Tìm số phức z có mơđun Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện mơđun nhỏ Tìm số phức z có Bài Trong số phức z thỏa mãn , tìm số phức z mà nhỏ Bài Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện Trong tất số phức z thỏa mãn , tìm số phức có Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhất, lớn 73 | P a g e 73 nhỏ Tìm số phức có mơ đun nhỏ Đề cương toán THPT 2016 2.5 Dạng Phương trình bậc hai tập số phức 2.5.1 Vấn đề Tìm bậc hai số phức (Đọc thêm) Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w = ⇒ w có bậc hai +) Nếu w = a > (a ∈ R) ⇒ w có hai bậc hai a - a +) Nếu w = a < (a ∈ R) ⇒ w có hai bậc hai −ai - −ai +) Nếu w = a + bi (b ≠ 0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w ⇔ z2 = w ⇔ (x+yi)2 = a + bi x2 − y = a  2 xy = b ⇔ Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối Ví dụ: Tìm bậc hai số phức sau: a 4+ 5i b) -1-2 i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = + i  (1)  x − y =  y = x ⇔    x − 45 = (2)  xy =  x2 Khi đó: z2 = w ⇔ (x+yi)2 = + i⇔ (2) ⇔ x4 – 4x2 – 45 = ⇔ x2 = ⇔ x = ± x=3⇒y= x = -3 ⇒ y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i  − (1)  x − y = −1  y = x ⇔   x − = −1 (2) 2 xy = −2  x2 Khi đó: z2 = w ⇔ (x+yi)2 = -1-2 i ⇔ (2) ⇔ x4 + x2 – = ⇔ x2 = ⇔ x = ± x= 2 ⇒y=- x=- ⇒y= 74 | P a g e 74 Đề cương toán THPT 2016 Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i 2.5.2 Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C ∈ C, A ≠ 0) Phương pháp: Tính ∆ = B2 – 4AC −B + δ −B − δ *) Nếu ∆ ≠ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = A , z2 = A (trong δ bậc hai ∆) *) Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức − B 2A Giải:   bậc hai  Phương trình có nghiệm:   Căn bậc hai  Phương trình có nghiệm:  Đặt t = z2  Phương trình trở thành:  Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau: a) z2 + 2z + = b z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo) Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có: ∆ = -4 = 4i2 ⇒ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i b) Ta có: ∆ = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i bậc hai số phức 2i 75 | P a g e 75  Đề cương toán THPT 2016 3i − + + i 3i − − − i = 2i = −1 + i 2 ⇒ Phương trình có hai nghiệm là: z1 = ; z2 = Ví dụ 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình Tính giá trị biểu thức Giải: Ta có Vậy Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn Giải: Với ta có Với ta có Tính Ví dụ 5: Giải phương trình sau tập hợp số phức: Giải Điều kiện: Phương trình cho tương đương với Phương trình có biệt thức Phương trình có hai nghiệm là: Bài tập tự luyện 76 | P a g e 76 (tham khảo) Đề cương toán THPT 2016 Bài Cho , nghiệm phức phương trình biểu thức A = Bài Giải phương trình: Bài Gọi Tính giá trị tập số phức (Tham khảo) nghiệm phức phương trình: Tính: 2.5.3 Vấn đề 3: Phương trình quy bậc hai - Đối với dạng ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai - Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc bậc hai - Đối với số phương trình khác, ta đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biết cách giải a Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải phương trình: z3 – 27 = z = z =1 ⇔   z = −3 ± 3i z + 3z + =   2,3 Giải: z3 – 27 = ⇔ (z – 1) (z2 + 3z + 9) = ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình tập hợp số phức: Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-1 z=2 Phương trình cho tương đương với Giải ta bốn nghiệm: Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1)biết phương trình có nghiệm ảo (Tham khảo) Giải: Đặt z = yi với y ∈ R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = ⇔ -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng hoá hai vế ta được: 77 | P a g e 77 Đề cương toaùn THPT 2016 −  2y + 4y =  − y + y + y − 10 = giải hệ ta nghiệm y = 2 Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i ⇒ vế trái (1) phân tích dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b ∈ R) đồng hoá hai vế ta giải a = b =  z = 2i  z = 2i  ⇔  z = −1 − 2i  z + 2z + =  z = −1 + 2i  ⇒ (1) ⇔ (z – 2i)(z +2z + 5) = ⇔ Vậy phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm thực (Tham khảo) Giải Gọi nghiệm thực z0 ta có: biết phương trình có Khi ta có phương trình Tìm nghiệm phương trình z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm ảo (tham khảo) Giải Giả sử phương trình có nghiệm ảo bi, b Thay vào phương trình ta được: Phương trình phân tích thành Các nghiệm phương trình z= -3i; b Phương pháp đặt ẩn phụ 78 | P a g e 78 biết phương trình có Đề cương toán THPT 2016 Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng:  −1 + 23i z =   z + z−6=   t = −6 −1 − 23i ⇔ z = t = ⇔  2  z + z − =  z =   z = −2 t2 + 4t – 12 = ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: t = z  t2 +2zt – 3z2 = ⇔ (t – z)(t+3z) = ⇔ t = −3z  z = −1 + 5i  2 + Với t = z ⇔ z + 3z +6 –z = ⇔ z + 2z + = ⇔  z = −1 − 5i + Với t = -3z ⇔ z2 + 3z +6 +3z = ⇔ z2 + 6z + = ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: ,  z = −3 +   z = −3 − C PT Đặt Khi phương trình (8) trở thành: Đặt Khi phương trình (8) trở thành Vậy phương trình có nghiệm: ; Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số phức 79 | P a g e (tham khảo) 79  Đề cương toán THPT 2016 Giải: Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( Đặt t=z- Khi Phương trình (2) có dạng: t2-t+ PT (3) có nghiệm t= Với t= (2) (3) ,t= ta có (4) Có PT(4) có nghiệm: z= Với t= ,z= ta có (4) Có PT(4) có nghiệm: z= ,z= Vậy PT cho có nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z= Bài tập tự luyện ; z= Bài Giải phương trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0., biết phương trình có nghiệm ảo.(tham khảo) Bài Cho phương trình: z3 – (4 + i)z2 + (3 + 8i)z – 15i = Biết phương trình có nghiệm thực Gọi z1, z2, z3 nghiệm phương trình Hãy tính Bài Gọi bốn nghiệm phương trình tính tổng Bài Giải phương trình tập số phức: 80 | P a g e 80 tập số phức Đề cương toán THPT 2016 a) b) (z2+1)2+(z+3)2=0 c) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 81 | P a g e 81 ... xứng qua Oy vớớ́i phần đồ thị (C) bờn phải Oy Đề cương toán THPT 2 016 4.2 Ví dụ tập Ví dụ 1: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12 x – (C) 1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số (đề thi đại học khối... 40 | P a g e 40 Đề cương toán THPT 2 016 x -∞ + y'' +∞ + -1 +∞ y -1 -∞ * Đồ thị: Đồ thị cắt trục Oy điểm (0; 1) cắt trục hoành điểm ( -1; 0) Đồ thị có tâm đối xứng giao điểm I (1; -1) hai tiệm cận... trình là: Ví dụ 21: Cho hàm số a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm số b) Cho điểm 11 | P a g e thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận (C) 11 Đề cương toán THPT 2 016 điểm A B Chứng