LỜI NÓI ĐẦU Xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất nhằm tìm quy luật tượng tưởng chừng quy luật này; đời nước Pháp vào nửa cuối kỷ 17 Năm 1933, Kolmogorov cho đời sách '' Foundation of the Theory of Probability '' giới Toán học công nhận Xác suất lĩnh vực toán học chặc chẽ Ông nói: giá trị chấp nhận lý thuyết xác suất định lý giới hạn De Moivre (1667 – 1754) tác giả Định lý giới hạn trung tâm (trường hợp đối xứng), thành tựu quan trọng Xác suất Cuốn tiểu luận trình bày theo bố cục: Phần I: GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Phần II: NHẮC LẠI MỘT SỐ KẾT QUẢ Phần III: CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN Phần IV: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Phụ lục: MINH CHỨNG LỊCH SỬ Tôi viết tiểu luận định lý giới hạn trung tâm này, nói chung góp nhặt khai triển chẳng sáng tạo Thỉnh thoảng có đôi lời khen tặng, lấy làm xấu hổ như cưỡng chiếm mà không thuộc Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, PGS.TS Tô Anh Dũng giúp đỡ để hoàn thành tiểu luận cách tốt Khi kẻ bình thường quên ước lượng tài sức mà viết vấn đề rộng lớn trừu tượng thời gian ngắn ngủi hẳn tránh khỏi thiếu sót Rất mong lượng thứ giáo độc giả Nước muôn sông không đủ để rửa tai nghe lời cao luận Tác giả Trương Văn Kìm Trang ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM I VÀI NÉT VỀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Giả sử  X kn , k  1,2, , n, n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai hữu hạn Đặt akn  X kn , kn  DX kn , k  1,2, , n n n n n k 1 k 1 k 1 i 1 Bn2    kn ; S n   X kn ; An   ak   EX i  ES n , n  1,2, S  An Nếu đặt U n  n , n  1,2, EUn = DUn = Ta gọi Un dãy tổng Bn chuẩn hóa từ dãy biến ngẫu nhiên  X kn , k  1,2, , n, n  1,2, Định lý giới hạn trung tâm Cổ điển dạng định lý cho điều kiện đủ để phân phối Un hội tụ yếu phân phối chuẩn N(0 ; 1): lim P (U n  x )   ( x )  n 2 x e  t2 dt , x (1)  Có số cách chứng minh khác cho định lý giới hạn trung tâm mà điển hình phương pháp sử dụng kỹ thuật đánh giá trực tiếp phương pháp xây dựng hàm đặc trưng Dù phương pháp chứng minh nào, người ta thấy xuất đánh giá tương đối phức tạp Trong tiểu luận nhỏ này, kỹ thuật hàm đặc trưng xây dựng Phương pháp sử dụng lần Liapunov (1901) hoàn thiện Lindeberg (1917), Feller (1933), Gniedenko (1949), Kac (1961),Petrov (1972), Theo thông tin Toán học Hội Toán học Việt Nam (09/2006) năm 2006 có đề tài cấp quốc gia '' Các định lý giới hạn Lý thuyết xác suất Ứng dụng '' nhóm nguyên cứu mà chủ trì đề tài GS Nguyễn Văn Quảng ĐH Vinh Định lý giới hạn trung tâm phép thử Bernoulli (đối xứng: p = ) độc lập nhà Toán học de Moivre công bố năm 1718 sách '' The Doctrine of Chance '' Đến năm 1812, Laplace mở rộng kết Moivre cho phép thử Bernoulli (không đối xứng) độc lập Công trình de Moivre (1730) Laplace (1812) kết Định lý giới hạn trung tâm sơ đồ Bernoulli sử dụng công thức xấp xỉ Stirling: n! 2 n n ne n , n  10 Đến năm 1878, Chebyshev đề nghị phương pháp moment để xét Định lý giới hạn chưa hoàn chỉnh Phương pháp moment hoàn chỉnh Markov (1898) với điều kiện đủ cho Định lý giới hạn trung tâm TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM n n k 1  E X kn n B 2 lim 2  0,   (2) (trong dãy biến ngẫu nhiên  X kn , k  1,2, , n, n  1,2, có moment cấp 2+  ) Năm 1901, Liapunov sử dụng phương pháp hàm đặc trưng lần để chứng minh Định lý giới hạn trung tâm nhận điều kiện tương tự điều kiện (2) khác chỗ  >0, tức lim n  E X kn 2 n B 2 k 1 n  0,   (3) (trong dãy biến ngẫu nhiên  X kn , k  1,2, , n, n  1,2, có moment cấp 2+  ) Khi nghiên cứu Định lý giới hạn trung tâm, Markov Liapunov làm rõ tính tiệm cận bé so với tổng hay tổng quát sau tính vô bé Đỉnh cao Định lý giới hạn trung tâm Cổ điển định lý Lingdeberg (1917) Ta thấy trình phát triển, giả thuyết hữu hạn moment đến cấp biến ngẫu nhiên thành phần giảm nhẹ theo thời gian Đến kỷ 20 điều kiện moment không đặt với Định lý giới hạn trung tâm Tổng quát (Kolmogoroff, Gniedenko – 1949) Tuy nhiên việc áp dụng điều kiện định lý Định lý giới hạn trung tâm Tổng quát vào toán cụ thể gặp nhiều trở ngại tính toán kiểm tra Năm 2005, Phạm Xuân Bình (ĐH Qui Nhơn) đưa dạng (có thể gọi dạng nửa cổ điển Định lý giới hạn trung tâm) với giả thuyết tồn moment cấp 1, mà việc sử dụng có nhiều thuận lợi Một vấn đề đặt liệu điều kiện đủ định lý phát triển mà ta nói có cần hay không ? Năm 1935, Feller cho câu trả lời khẳng định với điều kiện mà sau đặt tên điều kiện Feller Định lý giới hạn trung tâm thành tựu đặc sắc Lý thuyết xác suất II KIẾN THỨC CHUẨN BỊ II.1 Bổ đề Cho   Nếu Re( )  e    (4)  e 1  2   e 1    (5) (6) TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Chứng minh:   t u (chú ý e  ) Ta có e   e dt   e du   du     0    1 u t e      (e  1)dt    (e 0   1) du    udu  2  1  2 u t u e 1    (e   t ) dt    (e    u ) du    du  2 0  Từ bổ đề II.1, ta suy Hệ quả:   eitx   itx  tx , t x  2h1 (t).g1 (x)    (7)  Trong h1 (t)  max t , t , g1 (x)  x ,x ; x, t  eitx   itx   t 2x2  h2 (t).g (x) Trong h2 (t)  max t , t (8)  , g (x)   x , x ; x, t  2 Ta có kết tổng quát cho bổ đề II.1 sau đây: II.2 Bổ đề Nếu Re( )  n  ta có n   2  n1 e 1     1! 2! (n  1)! n!  (9) Chứng minh: (Quy nạp) Đặt  n ( )  e    2  n1    1! 2! ( n  1)!  Theo (4) (5) ta 1 ( )  e     1 1! 2 1  ( )  e    1! 2!  n1   2  n Nếu  n1 ( )  e       , ta có 1! 2! ( n  2)! ( n  1)!  TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM    n ( )    n1 (t ) dt    n1 n t   n 1 (t ) dt   dt  ( n  1)! n! Theo quy tắc quy nạp (9) chứng minh II.3 Bổ đề Nếu ak  1, bk  1, k  1,2, ta có n n n  ak   bk   ak  bk k 1 k 1 (10) k 1 Chứng minh: (Quy nạp) k Đặt Ak  k  , Bk   bi i 1 i 1 Hiển nhiên (10) với n=1 Nếu (10) với (n – 1), tức n 1 n1 n 1  ak   bk   ak  bk k 1 k 1 k 1 Khi An  Bn  ( An 1  Bn1 )an  (an  bn ) Bn1  An1  Bn1 an  an  bn Bn1  An1  Bn 1  an  bn n1 n   ak  bk  an  bn   ak  bk k 1 n Vậy n k 1 n  ak   bk   ak  bk k 1 k 1 k 1 II.4 Vài kết khác cần ý khác a Ta có khai triển b Ta có c d ln 1  z   z   z , z  ,   ln 1  z   z  z , z  2 x  cos x  ,x n x  lim 1  u  u  e Suy lim     e x u 0 n  n (11) (12) (13) (14) TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM III CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN Giả sử  X kn , k  1,2, , n, n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai hữu hạn Để thống thuận tiện cho việc trình bày, ta quy ước đặt: akn  X kn , kn  DX kn , k  1,2, , n Bn2 n  kn ;  n n n Sn   X kn ; An   ak   EX i  ES n , n  1,2, k 1 k 1 k 1 i 1 Sn  An , n  1,2, (Un dãy tổng chuẩn hóa từ dãy Bn biến ngẫu nhiên  X kn , k  1,2, , n , n  1,2, ) Un  M n(2) n  :  E X kn , X kn k 1 n  2 , (  0)  L(2) n ( ) :  E X kn , X kn   , (0    1) k 1 Ln ( ) : Sn* : Bn n  E X  EX kn  , X kn  EX kn   Bn    kn  Bn k 1 n   X kn  EX kn  k 1 Những định lý giới hạn trung tâm suy rộng định lý Moivre – Laplace liên hệ với lược đồ phép thử Bernoulli III.1 Định lý (Định lý giới hạn tích phân de Moivre – Laplace, 1812) Giả sử số thành công n phép thử Bernoulli độc lập, mà phép thử ta có P  A   p (0  p  1, p  q  1) Khi  v  lim P  n  x    ( x )   n  npq 2   x e  t2 dt , x (15)  Chú ý rằng: số thành công viết dạng  X 1n  X n   X nn ,  X kn , k  1,2, , n, n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, lấy hai giá trị với xác suất tương ứng p q = – p Khi định lý Moivre – TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Laplace định lý giới hạn trung tâm Cổ điển đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối Bernoulli Định lý sau suy rộng định lý Moivre – Laplace đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối không thiết phải lấy hai giá trị III.2 Định lý (Lingdeberg – Lévy, 1925) Giả sử  X kn , k  1,2, , n, n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối phương sai hữu hạn: X kn  a, DX kn    , k  1,2, , n Khi  S  na  lim P  n  x   ( x)  n   n 2  x e  t2 dt , x (16)  hay  S  na  lim sup P  n  x   ( x)  n x   n  (17) Chứng minh: Không tính tổng quát, ta giả sử a  Gọi kn  t  hàm đặc trưng X kn , k  1,2, , n Khi hàm đặc trưng U n  U n  t   Ee it it Sn  n  Ee  Sn  An S  n cho Bn  n n  X kn n k 1   t    kn      n  n Theo tính chất tương ứng liên tục dãy hàm phân phối dãy hàm đặc trưng, ta cần đưa chứng minh n    t  lim  kn   e  n    n  t2 , t Sử dụng định lý khai triển hàm đặc trưng ([4], trang 217) để ý a  , ta có kn  t     2t  o t với t đủ bé   Kết hợp với (14) ta có n Do n t  t2   t    t  lim  kn   o    e , t  1     nlim n     n   2n   n    S  lim P  n  x    ( x ) n   n  TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM III.3 Định lý Giả sử  X kn , k  1,2, , n , n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có : X kn  0, Bn2 n n k 1 k 1   DX kn    kn  1, k  1,2, , n Khi với   đó, M n(2) n  :  E X kn , X kn k 1 2 0 (18) Thì FS n   ( x ) theo x Chứng minh: Theo tính chất tương ứng liên tục dãy hàm phân phối dãy hàm đặc trưng, để có (16) ta cần chứng tỏ n  Sn  t    kn  t   e  t2 , t k 1 Ta có Sn  t   e  t2 n  kn  t   e  t2 n  kn  t    e k 1 k 1 n    kn  t   e t2 n t2  kn2  k 1 kn  (sử dụng (10)) k 1 2 t  n   itX kn t X kn t 2 kn 1   Ee   itX kn   e    k 1 k 1  n t 4 kn k 1 n n   h2  t  g  X kn    k 1 n  h2  t   g  X kn   k 1 (sử dụng (8) (5)) t4 max  kn k n t 2  h2  t  M n   max  kn  0 k n Điều cuối theo giả thuyết M n   , ta cần chứng tỏ max  kn  k n Với    tùy ý, ta có TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM n   n  2  kn   E X kn , X kn     E X kn , X kn   k 1  k 1 n   n  2     E X kn , X kn    E X kn ,  X kn   k 1 n    E  X kn  , X kn   k 1 2   k 1 n   E  X kn 2 2 ,  X kn   k 1  1 2 2 E X kn , X kn     M n       Từ đó, lim max  kn 2  n k n limM n     0  n  Như định lý chứng minh xong III.4 Định lý (Lindeberg, 1917) Giả sử  X kn , k  1,2, , n , n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có : n n k 1 k 1 X kn  0, Bn2   DX kn    kn  1, k  1,2, , n Và thỏa mãn điều kiện Lindeberg L(2) n ( ) : n  E  X kn2 ,  X kn     0,   (20) k 1 Thì FS n   ( x ) theo x Chứng minh: Với      , ta có n  M n(2)   E X kn , X kn k 1 n  2   n    E X kn , X kn     E X kn  k 1  L(2) n ( )   k 1 2 , X kn    Từ đó, 2 limM n       lim Ln     n  n Do  nhỏ tùy ý nên ta có M n(2)  Áp dụng định lý III.3 ta có điều phải chứng minh TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 10 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM M n(2)   (2) (2)  Thật vậy, từ chứng minh M n  Ln ( )   suy M n(2)     L(2) n ( ) Chú ý: Với      M n(2)     L(2) n ( )  Mặt khác,   E X kn , X kn      E X kn , X kn 2 2  Suy n E X kn  , X kn    k 1 Điều tương đương với L(2) n    n 2  E  X kn2 , k 1 2 X kn 2  M n(2) Từ ta có M (2) n ( )    L (2) n ( )   Ngoài cách phát biểu định lý III.4 định lý Lindeberg có cách phát biểu khác, cách phát biểu trình bày sau: III.5 Định lý (Lindeberg, 1917) Giả sử  X kn , k  1,2, , n , n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có phương sai hưu hạn với : Fkn  P ( X kn  x), x  ; X kn  ; n n k 1 k 1 2 DX kn   kn   ; Bn2   DX kn   kn , k  1,2, , n Khi n x dFkn ( x )  0,     n B n k 1 x  B (21) S  lim P  n  x    ( x ), x  x  Bn  (22) lim n Thì Chú ý 1: n Đặt g n       x dFkn ( x ),   Khi (21) viết lại Bn k 1 x  B n lim g n     0,   n TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 17 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 1 n 2 n x dF ( x )   ,  kn Bn2 k 1 x  B  2t t n Hay tương đương với 0 n 2 x dFkn ( x)  2  2n 2  Bn k 1 x  B  t t n Cho n   , sau cho t   ta nhận (21) Một dạng khác định lý giới hạn trung tâm xét tính hội tụ cho mật độ Sn (nếu mật độ tồn tại) mật đọ phân phối chuẩn Những định lý loại Bn gọi Định lý giới hạn địa phương IV MỘT SỐ BÀI TẬP: IV.1 KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Giả sử  X kn , k  1,2, , n, n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai hữu hạn , ta quy ước đặt: akn  X kn , kn  DX kn , k  1,2, , n ; U n  n Sn  An , n  1,2, ; Bn n Bn2    kn ; S n   X kn ; Fkn ( x)  P ( X kn  0), x  k 1 k 1 ' ' kn (t )   kn (0). kn (t ) t 0 i t ''  (0) '' ( Nếu EX kn  DX kn  kn2  kn (0) ) i (trong  kn hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên Xkn) EX kn  '  kn (0) , DX kn  lim * Kiểm tra EX kn  , ta tiến hành kiểm tra điều kiện sau đây: Điều kiện Lindeberg: n lim gn     lim   x dFkn ( x )  0,   n n B n k 1 x  B (21) n Điều kiện Feller: TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 18 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM   Sn   x   ( x), x   lim P    x  Bn   lim max   kn    n 1k  n  B   n   (22) (23) Hoặc t   t  2  lim  S    e ,t   n n  Bn      kn   lim m ax  n 1k  n  B    n   Điều kiện Liapunov: n 2 2 lim 2  E X kn  với E X kn  a  ,   n B k  n * Kiểm tra EX kn  a  , ta tiến hành kiểm tra điều kiện sau đây: Điều kiện Lévy: t2 x    S n  na   lim P   x    ( x)  e dt , x   2   n   n      kn   lim m ax  n 1k n     Bn   (23) (29) (16) (23) BÀI TẬP 1.1 Kiểm tra điều kiện Lindeberg dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn , k  1,2, , n ; n  1,2, xác định bởi: k2 kn (t )  2 , t  k t Giải: '  kn (0) 2k 2t Ta có EX kn   i i (k  t ) DX k  '' kn (0)  t 0 2k (k  t )  2k 2t (k  t )2.2t  (k  t )  t 0   kn k Suy TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 19 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 2  k k 1 n n Bn2   kn  k 1 Do  kn lim max  n 1k n  B  n       1  k2     lim m ax  lim m ax   n       lim n  n  Bn 1k n  k   n  n 1k n    2  k 1 k  k 1 k 1      2 2  k2 k 1 Suy dãy biến ngẫu nhiên cho không thỏa mãn điều kiện Lindeberg BÀI TẬP 1.2 Kiểm tra điều kiện Lindeberg dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn k  1,2, , n ; n  1,2, xác định bởi: kn (t )  e  k 2t 2 , t Giải: Ta có EX kn  '  kn (0) i  k te i  k 2t 2  t 0 DX kn k 2t    ''  kn (0)    ( k 2t )   k 2te     2 k t     ( k ) e      k   kn   t 0 Suy Bn2 n  k 1  kn n   k  n(n  1)(2n  1) k 1 Do   kn  k     lim max    lim max    lim  max k  n 1k n  B  n 1k n  B  n B 1k n  n   n  n      n2  lim   n  n( n  1)(2n  1)  6    TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 20 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Ta có n n  t   t   Sn     kn     e  Bn  k 1  Bn  k 1  t   Như lim  S n  e n  Bn  t2 ,t  k 2t 2 Bn2   e t2  n  k   k 1 Bn2   e  t2 ,t  Do dãy biến ngẫu nhiên cho thỏa mãn điều kiện Lindeberg BÀI TẬP 1.3 Kiểm tra điều kiện Lindeberg dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn k  1,2, , n ; n  1,2, xác định dãy hàm phân phối: P  X kn   j   , j  1,2, , k 2k Giải: Từ hàm phân phối ta tính hàm đặc trưng với biến ngẫu nhiên rời rạc: kn (t )  Ee itX kn k k itj  itj  itj    e e e  e itj  2k 2k  j 1 2k j 1    k 1 k 2cos  tj    cos tj k j 1 j 1 2k  Suy k EX kn  '  kn (0) i  sin tjk 2t  j 1 0 ik t 0 k '' DX kn   kn (0)   j 1 j cos tj k  t 0 k 2k  3k  j    kn  k j 1 Suy n n n  2k  3k  1  n n    2k   3k  1  (4n  9n  11) 6  k 1 36 k 1 k 1 k 1  n Bn2    kn  k 1 Do    2k  3k   lim max  kn2   lim max  0 n 1k n  B  n 1k n  B   n   n Ta có TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 21 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM  t  n  t  n k tj  Sn     kn      cos Bn  Bn  k 1  Bn  k 1 k j 1 Suy k n n  n  t   t  k tj  lim  Sn    lim  kn    lim    cos   lim  n Bn  n k 1  Bn  n k 1  Bn  n k 1  k j 1 k k Vì tj  cos B  k nên n j 1 tj  cos B n j 1 k tj  cos B n j 1 k   t  Suy lim  Sn    e  n  Bn  t2  ,t  Do dãy biến ngẫu nhiên cho không thỏa mãn điều kiện Feller BÀI TẬP 1.4 Kiểm tra điều kiện Lindeberg dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn k  1,2, , n ; n  1,2, xác định bởi: sin k  t kn (t )   , t  ,   k t Giải: k  t cos k  t  sin k  t k  sin k  t Ta có  lim  lim  t 0 t 0 k t '  kn (0)  Suy EX kn  i ' kn (0) '  k  cos k  t  k 2 t sin k  t  k  cos k  t  DX kn   lim   t 0 3k  t   3  3  3  4  k cos k t  k cos k t  k cos k t  k sin k t  k 3 cos k  t  lim t 0 3k  t k 2    kn '' kn (0) Suy n k 2 n 2  k 3 k 1 k 1 n Bn2    kn  k 1 TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 22 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Do  kn lim max  n 1k n  B  n Vì Bn2       n2  k     lim max  n   lim n  n 1 k n  k 2  n k 2     k 1 k 1 1 n 2   k nên Bn  k 1 k 2 n Do   Suy Bn n n   k 2  k 1 kt Bn n  1 , k   k t Bn sin Từ ta có  k t  sin t2    t  n  t  n  Bn  n  Sn     kn      1  e , t     B B  n  k 1  n  k 1 k t    Bn  Do dãy biến ngẫu nhiên cho không thỏa mãn điều kiện Lindeberg BÀI TẬP 1.5 Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn k  1,2, , n ; n  1,2, với mật độ tương ứng:  k 3 , x  k 3  f k ( x)   x 0 , x   Kiểm tra xem dãy X kn có tuân theo định lý giới hạn trung tâm? Giải: Với mật độ cho, ta có  EX kn   xf k ( x)  ( xfk ( x) hàm lẻ )   DX kn  x    f k ( x)dx   x f k ( x)dx   x k 3 dx x k 3 TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 23 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Suy Bn2  n  kn2 k 1 k  3  k   lim   k     kn  A  k  k A  n k 3  k k 1 Ta có n lim g n     lim   x dFkn ( x ) n n B n k 1 x  B n n k 3 x k 3 dFkn ( x)   n B 2x n k 1 x  B  lim n  n k 3 x dFkn ( x )   k 3 n B 2 x n k 1  B  lim n  n  k   1  lim     lim k   n  B ( Bn ) k  n k 1   k   A A    n    lim   kk k  n B  n k 1  Bn      1  1  lim     2 k n B B ( k  1) B k 1 n  k 1 n n        Do dãy biến ngẫu nhiên cho thỏa mãn điều kiện Lindeberg Do dãy X kn tuân theo định lý giới hạn trung tâm IV.2 ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM BÀI TẬP 2.1 Một súc xắc cân đối đồng chất gieo 30 lần Tìm xác suất để tổng số nốt xuất lớn 120 Giải: Gọi Xk số nốt xuất lần gieo thứ k ( k  1,2, ,30 ) Khi X1, X2,…, X30 biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, cho sau: Xk p 6 6 6 TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 24 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Ta tính EX k  35 DX k  ( k  1,2, ,30 ) 12 30 Đặt S30   X k Ta cần tính P(S 30 > 120) k 1 Phân phối xác S30 phức tạp Nhưng theo định lý giới hạn trung tâm S30 có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn S với: 35  87,5 kỳ vọng: 30  105 12  120  105   120)  P( S  120)         (1,6)  0,054 87,5   Phương sai: 30 Do P( S30 Vậy xác suất để tổng số nốt xuất lớn 120 0,054 BÀI TẬP 2.2 Trong khu phố có 180 hộ người 50 hộ có nhiều người Lượng nước sinh hoạt hộ người dung ngày biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình 0,6m độ lệch tiêu chuẩn 0,04m3; hộ có nhiều người biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình 1,9m3 độ lệch tiêu chuẩn 0,14m3 Tìm xác suất để ngày khu phố sử dụng 205m3 nước? Giải: Gọi X1, X2,…, X180 lượng nước dùng hộ người Gọi Y1, Y2,…, Y50 lượng nước dùng hộ nhiều người Đặt X = X1 + X2 +…+ X180 Y = Y1 + Y2 +…+ Y50 Ta có: EX = 180.0,6 = 108 DX = 180.(0,04)2 = 0,288 EY = 50.1,9 = 95 DY = 50.(0,14)2 = 0,98 Theo định lý giới hạn trung tâm, X có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng 180, phương sai 0,288 Y có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng 95, phương sai 0,98 Vì X, Y độc lập nên X + Y có phân bố xấp xỉ phân phối chuẩn với: E(X + Y) = EX + EY = 108 + 95 = 203 D(X + Y) = DX + DY = 0,288 + 0,98 =1,268 Suy  205  203  P( X  Y  205)        (1,776)  0,0379  1,268  Vậy xác suất để ngày khu phố sử dụng 205m3 nước 0,0379 BÀI TẬP 2.3 Trọng lượng trung bình của đàn ông nước 78,5kg, với độ lệch tiêu chuẩn 11,2kg Chọn ngẫu nhiên 20 người X trọng lượng trung bình 20 người Tìm xác suất để X lớn 80kg ? TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Trang 25 Giải: Ta có X có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn với kỳ vọng 78,5 phương sai (11,2) Từ ta có 20    82  78,5  P( X  82)         (1,398)  0,081  11,2  20   Xác suất trọng lượng trung bình 20 người lớn 80kg 0,081 TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 26 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Phụ lục: Minh chứng lịch sử Aleksandr Mikhailovich Lyapunov Aleksandr Lyapunov năm 1876 Aleksandr Lyapunov già Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (tiếng Nga: Александр Михайлович Ляпунов; sinh ngày tháng (cũ 25 tháng 5), 1857 – tháng 11, 1918 thọ 61 tuổi) nhà toán học, học vật lý người Nga Họ ông viết sang tiếng La mã Ljapunov, Liapunov hay Ljapunov Tiểu sử Lyapunov sinh Yaroslavl, Đế quốc Nga.Cha ông Mikhail Vasilyevich Lyapunov (1820–1868), nhà thiên văn người đứng đầu tổ chức văn hóa Demidovski Vào năm 1863, M V Lyapunov hưu chuyển gia đình ông quê vợ Bolobonov, tỉnh Simbirsk (bây Ulyanovsk Oblast) Sau cha ông vào năm 1868, Aleksandr Lyapunov kèm cặp cậu ruột R M Sechenov, anh nhà sinh lý học tiếng Ivan Mikhailovich Sechenov Tại gia đình cậu mình, Lyapunov học với người em họ hàng xa Natalia Rafailovna, người mà trở thành vợ ông vào năm 1886 Năm 1870, mẹ ông đưa trai bà tới Nizhny Novgorod, nơi ông bắt đầu học trung học Ông tốt nghiệp xuất sắc vào năm 1876 2.Học vấn Năm 1876 Lyapunov gia nhập khoa Toán Lý trường Đại học Saint Petersburg, sau tháng ông định chuyển sang học khoa Toán trường Trong số giáo sư toán Saint Petersburg gồm Chebyshev học trò ông Aleksandr Nikolaevich Korkin Yegor Ivanovich Zolotarev Lyapunov viết công trình khoa học độc lập hướng dẫn giáo sư học D K Bobylev Năm 1880 Lyapunov nhận huy chương vàng cho công trình nghiên cứu thủy tĩnh học Đây sở cho báo cáo khoa học ông Về cân vật nặng chất lỏng nặng chứa bể chứa có hình dáng cố định Về áp suất thủy tĩnh Lyapunov hoàn thành chương trình đại học vào năm 1880, hai năm sau Andrey Markov, người mà tốt nghiệp từ Đại học Saint Petersburg Lyapunov trì mối liên hệ khoa học với Markov suốt đời Năm 1884 Lyapunov bảo vệ đề tài Thạc sĩ ông Về ổn định cân dạng elipsoid chất lỏng quay Đề tài gợi ý cho ông Chebyshev, người mà gợi ý cho sinh viên khác nữa, Zolotarev Sofia Vasilyevna Kovalevskaya Đề tài xuất vào năm 1885 Tập san thiên văn học TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Trang 27 (Bulletin Astronomique) Nó dịch nguyên vẹn sang tiếng Pháp vào năm 1904 thu hút ý nhà toán học, vật lý học thiên văn học Châu Âu 3.Giảng dạy nghiên cứu Năm 1895 Lyapunov trở thành giáo sư ngoại ngạch đề xuất vào chức giáo sư khí Đại học Kharkiv, năm Sinh viên trợ lý ông, Vladimir Steklov, nhớ lại giảng ông sau: «Một niên đẹp trai, tuổi với sinh viên khác, đến trước thính giả, có vị trưởng khoa già, giáo sư Levakovsky, người kính trọng tất sinh viên Sau vị trưởng khoa ngoài, người niên với giọng nói rung bắt đầu giảng động học chất điểm, thay giảng hệ thống động lực học Vấn đề dạy giáo sư Delarue Nhưng thầy Lyapunov dạy mẽ không thấy kiến thức sách giáo khoa Tất ác cảm môn học tan vào cát bụi Từ ngày đó, sinh viên bày tỏ kính trọng đặc biệt thầy Lyapunov» Năm 1892 Lyapunov bảo vệ luận án tiến sĩ tiếng Đại cương độ ổn định chuyển động Luận án bảo vệ đại học Moscow vào ngày 12 tháng 9, 1892, với phản biện Nikolai Zhukovsky V B Mlodzeevski Luận văn với luận văn thạc sĩ, dịch sang tiếng Pháp Năm sau Lyapunov trở thành giáo sư thực thụ Đại học Kharkiv 4.Những năm sau Lyapunov qua Saint Petersburg năm 1902, sau bầu vào thành viên Học viện Khoa học, đồng thời giáo sư khoa Toán ứng dụng trường Vị trí bị bỏ trống sau thầy ông, Chebyshev Không phải tham gia công tác giảng dạy, cho phép Lyapunov tập trung vào nghiên cứu đặc biệt ông đúc kết vấn đề Chebyshev để bắt đầu nghiệp khoa học Năm 1908 ông tham gia Hội nghị Toán học quốc tế lần thứ tư Rome Ông tham gia công việc xuất tuyển tập Euler: biên tập 18 19 Cuối tháng 6, năm 1917, Lyapunov vợ thăm anh trai ông Odessa Vợ ông bị bệnh lao họ phải rời sau theo yêu cầu bác sĩ Bà chết vào 31 tháng 10,1918 Cùng ngày đó, Lyapunov tự bắn vào đầu, ba ngày sau ông 5.Sự nghiệp Lyapunov đóng góp cho nhiều lĩnh vực, bao gồm phương trình vi phân, lý thuyết thế, hệ thống động học lý thuyết xác suất Quan tâm ông độ ổn định cân chuyển động hệ thống học, lý thuyết mẫu ổn định chất lỏng rối đồng dạng, nghiên cứu hạt ảnh hưởng trọng trường Sự nghiệp ông nhiều lĩnh vực vật lý toán liên quan đến toán giá trị biên phương trình Laplace Trong lý thuyết thế, công trình ông từ 1987 Về vài vấn đề liên kết với toán Dirichlet’s làm rõ nhiều vấn đề quan trọng lý thuyết Các công trình ông lĩnh vực có liên hệ chặt chẽ với công trình Steklov Lyapunov phát triển nhiều phương pháp xấp xỉ quan trọng Các phương pháp ông, phát triển vào năm 1899, giúp định nghĩa độ ổn định tập hợp phương trình vi phân thông thường Ông sáng tạo lý thuyết đại độ ổn định hệ thống động lực Trong lý thuyết xác suất, ông tổng hợp hóa công trình Chebyshev Markov, chứng minh định lý giới hạn trung tâm nhiều điều kiện tổng quát người trước Phương pháp ông sử dụng cho nhiều phép chứng minh phổ biến rộng rãi sau lý thuyết xác suất.Ông thành viên danh dự nhiều trường đại học, thành viên danh dự Học viện Rome đồng thời thành viên Học viện Khoa học Paris TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Trang 28 Andrey Nikolaevich Kolmogorov Andrey Nikolaevich Kolmogorov (tiếng Nga: Андре́ й Никола́ евич Колмого́ ров ; 25 tháng năm 1903 – 20 tháng 10 năm 1987 thọ 84 tuổi) nhà toán học Liên Xô có nhiều đóng góp lớn lý thuyết xác suất tôpô Sinh gia đình người Nga Tambov, Nga, ban đầu nghiệp ông làm logic, chuỗi Fourier Ông làm chuyển động hỗn loạn, học cổ điển, tin học Tuy nhiên, công trình quan trọng ông đóng góp lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên, trình ngẫu nhiên đặt chúng lên tảng toán học vững Một phương trình quan trọng ông phát triển trình ngẫu nhiên gọi phương trình Chapman-Kolmogorov, với quan trọng ngành tương tự phương trình E = mc2 vật lý Kolmogorov làm việc Đại học Tổng hợp Quốc gia Moskva mang tên M V Lomonosov Ông nghiên cứu hướng dẫn Nikolai Luzin, lấy Tiến sĩ Khoa học vào năm 1929 Vào năm 1931 ông trở thành giáo sư đại học Vào năm 1939 ông nhận danh hiệu Viện sỹ Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Ông người sáng lập lý thuyết độ phức tạp thuật toán mà thường nhắc đến đơn độ phức tạp Kolmogorov Ông qua đời Moskva vào năm 1987 Kolmogorov có nhiều giải thưởng lớn:  1941, Giải Quốc gia Liên Xô  1963, Giải thưởng Balzan  1965, Giải thưởng Lenin  1980, Giải thưởng Wolf  1987, Giải Lobachevsky Ông có câu nói tiếng: "Lý thuyết xác suất ngành toán học nên phát triển từ tiên đề cách thức xác Hình học Đại số." Và ông nói: giá trị chấp nhận lý thuyết xác suất định lý giới hạn TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Trang 29 Abraham de Moivre Abraham de Moivre (ngày 26 tháng năm 1667 [Vitry-le-François] - Ngày 27 tháng 11 1754 [London]).Abraham de trai bác sĩ phẫu thuật, ông có giáo dục tốt dẫn vào khoa học Ông sống điều kiện khó khăn người nhập cư: người nước ngoài, ông vị trí trường đại học, phải kiếm sống cách đưa học tư nhân, cách sử dụng trí thông minh nhanh chóng tuyệt vời để giải loại vấn đề quán rượu Từ 18 đến 21 tuổi Moivre bị tù Pháp có nguồn gốc từ đạo Tin lành Ra tù ông rời Pháp sang ông phải chuyển tới London, Anh sống với anh trai, ông làm gia sư cho gia đình quý tộc Vào thời gian đó, Newton trình thảo ông '' Prineipia Mathematica '' cho bá tước vùng Devonshire Chuyện kể rằng, Moivre làm gia sư cho gia đình bá tước ông tình cờ thấy công trình Newton, ông thấy công trình tầm hiểu biết ông nên sau ông mua công trình xé thành trang học trang quanh London đến nơi làm gia sư Moivre có mặt quán cà phê London ông bắt đầu nguyên cứu xác suất cách tính tỉ lệ cá cược cho ngưòi tham gia trò chơi cá cược Moivre gặp Newton quán cà phê họ trở thành bạn thân Moivre dành sách tặng cho Newton Đến năm 1695, Halley đề cập đến Hiệp hội Hoàng gia London de Moivre cải thiện "phương pháp fluxion" (tính toán) từ Newton Hai năm sau, De Moivre trở thành thành viên liên kết xã hội năm nghiên cứu ông bao gồm thiên văn học phương pháp khác để giải phương trình Đó nhớ 1707 xuất công thức thể xoang điều khoản số phức, có chứa gọi De Moivre công thức: (Cos x + isin x)n = cos (nx) + isin (nx) Người bạn thân Newton, de Moivre 1712 bổ nhiệm làm chủ tịch ủy ban thành lập Hiệp hội Hoàng gia London để giải tranh chấp Newton Leibniz tính ưu việt sáng chế tính toán Ủy ban đưa phán thuận lợi cho Newton, de Moivre chắn trung bình ủy ban Ông có ngưỡng mộ tuyệt vời cho Leibniz, người chí can thiệp (không thành công) để de Moivre thu giáo sư Đức Sự đóng góp De Moivre xác suất, sách mình, Giáo Lý Chance, xuất năm 1718, ấn phẩm quan trọng lĩnh vực công việc Pascal Fermat năm 1650, Laplace, 50 năm sau de Moivre Vì vậy, sách giải thích làm de Moivre tính xác suất kiện ngẫu nhiên mà phụ thuộc vào số kiện khác: công thức xác suất hợp chất De Moivre người nhìn vào hội tụ biến ngẫu nhiên, từ quan TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Trang 30 điểm: đến mức độ chắn ném nhiều lần chết, tần số quan sát xuất số "sáu" có xu hướng hướng xác suất lý thuyết Đây vấn đề cần giải cho vấn đề người mẫu De Moivre cho thấy đặc biệt phân phối nhị thức là, cảm giác, đến bình thường (hoặc Laplace-Gauss), luật tiếng "trên đường cong chuông." De Moivre quan tâm đến ứng dụng thực tế xác suất thống kê Nó dựa lên bảng tỷ lệ tử vong cụ thể, cho công thức để tính toán số tiền hợp lý annuity Những việc chủ yếu khác De Moivre sách tạp biên analytica (hỗn hợp phân tích) xuất năm 1730 Đó sách xuất lần (misnamed!) Stirling công thức cung cấp cho số lượng tương đương với n! Cũng bao gồm làm việc trình tự tái phát, lượng giác, hợp lý Sau tác phẩm này, de Moivre năm 1735 trở thành thành viên liên kết Học viện Khoa học Berlin, sau năm 1754, liên kết thành viên Viện Hàn lâm Khoa học Paris Một huyền thoại đáng yêu xung quanh chết De Moivre, xảy 27 tháng 11 năm 1754 London, nghèo đói Trợ giúp số học, ông đoán ngày ông, nơi ông ngủ 24 giờ! Ông không sai! Người ta nói De Moivre nhận ngủ quý đêm thêm De Moivre tác giả Định lý giới hạn trung tâm với phép thử Bernoulli (đối xứng: p = 1/2) độc lập nhà Toán học de Moivre công bố năm 1718 sách '' The Doctrine of Chance '' , thành tựu quan trọng Xác suất Đến năm 1812, Laplace mở rộng kết Moivre cho phép thử Bernoulli (không đối xứng) độc lập Andrej Andreevich Markov Andrej Andreevich Markov (1856 - 1922), nhà toán học Nga, viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pêtecbua (Peterburg, 1890) Các công trình ông thuộc lí thuyết số, giải tích toán học đặc biệt có nhiều đóng góp lí thuyết xác suất Ông người đưa chứng minh đầy đủ chặt chẽ cho định lí giới hạn với điều kiện tổng quát Ông mở rộng định lí cho dãy đại lượng phụ thuộc, đặt móng cho hướng quan trọng lí thuyết xác suất đại, trình Markov TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Trang 31 Tài liệu tham khảo: Đặng Hùng Thắng Mở đầu Lý thuyết Xác suất ứng dụng NXB Giáo dục, 2008 [2] Phạm Xuân Bình Giáo án giảng dạy môn bổ túc xác suất Qui nhơn, 2008 [3] Nguyễn Duy Tiến – Vũ Viết Yên Lý thuyết Xác suất NXB Giáo dục, 2009 [4] Nguyễn Viết Phú – Nguyễn Duy Tiến Cơ sở Lý thuyết Xác suất NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [1] TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM [...]... Trang 17 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 0 1 1 n 4 2 n 2 x dF ( x )   ,  kn Bn2 k 1 x  B  2t 2 t 2 n Hay tương đương với 0 1 n 4 2 x 2 dFkn ( x)  2 2  2n 2  Bn k 1 x  B  t t n Cho n   , sau đó cho t   thì ta sẽ nhận được (21) Một dạng khác của định lý giới hạn trung tâm là xét tính hội tụ cho mật độ của Sn (nếu mật độ này là tồn tại) về mật đọ phân phối chuẩn Những định lý loại... x 0 , khi x  1  Kiểm tra xem dãy X kn có tuân theo định lý giới hạn trung tâm? Giải: Với mật độ đã cho, ta có  EX kn   xf k ( x)  0 ( do xfk ( x) là hàm lẻ )   DX kn  x   2  2 f k ( x)dx  2  x f k ( x)dx  2  x 2 0 1 k 3 dx 2 x k 3 TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 23 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Suy ra Bn2  n  kn2 k 1 k  3 1  k  3 2 ... 1  lim 2   2   2 k n B B ( k  1) B k 1 n  k 1 n n    0     Do đó dãy biến ngẫu nhiên đã cho thỏa mãn điều kiện Lindeberg Do đó dãy X kn tuân theo định lý giới hạn trung tâm IV.2 ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM BÀI TẬP 2.1 Một con súc xắc cân đối đồng chất được gieo 30 lần Tìm xác suất để tổng số nốt xuất hiện lớn hơn 120 Giải: Gọi Xk là số nốt xuất hiện ở lần gieo thứ k (... 6 p 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 24 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Ta tính được EX k  7 35 và DX k  ( k  1,2, ,30 ) 2 12 30 Đặt S30   X k Ta cần tính P(S 30 > 120) k 1 Phân phối chính xác của S30 rất phức tạp Nhưng theo định lý giới hạn trung tâm S30 có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn S với: 35 7  87,5 và kỳ vọng: 30  105 12 2  120... cho mật độ của Sn (nếu mật độ này là tồn tại) về mật đọ phân phối chuẩn Những định lý loại này Bn gọi là Định lý giới hạn địa phương IV MỘT SỐ BÀI TẬP: IV.1 KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Giả sử  X kn , k  1,2, , n, n  1,2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai hữu hạn , ta quy ước đặt: 2 akn  X kn , kn  DX kn , k  1,2, , n ; U n  n Sn  An , n  1,2, ; Bn n 2 Bn2... được phát triển từ các tiên đề trong một cách thức chính xác như là Hình học và Đại số." Và ông cũng từng nói: giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lý giới hạn TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Trang 29 Abraham de Moivre Abraham de Moivre (ngày 26 tháng 5 năm 1667 [Vitry-le-François] - Ngày 27 tháng 11 1754 [London]).Abraham de... minh đầy đủ và chặt chẽ cho định lí giới hạn cơ bản với những điều kiện khá tổng quát Ông đã mở rộng định lí này cho dãy các đại lượng phụ thuộc, đặt nền móng cho một hướng quan trọng của lí thuyết xác suất hiện đại, đó là quá trình Markov TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Trang 31 Tài liệu tham khảo: Đặng Hùng Thắng Mở đầu về Lý thuyết Xác suất và ứng... (21) n (trong định lý này,điều kiện đủ là định lý Lindeberg, điều kiện cần là định lý Feller) Chứng minh: * Điều kiện đủ được suy ra từ chứng minh định lý Lingdeberg * Ta chứng minh điều kiện cần theo 2 bước như sau: Bước 1: Chứng minh rằng TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang 15 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM  t  t2 n    1  ln  kn      n , t  , trong đó lim  n ... Trang 14 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Chứng minh: Ta chỉ cần chứng tỏ rằng điều kiện Liapunov (29) kéo theo điều kiện Lindeberg (21) Điều đó được suy ra từ đánh giá sau: Với   0 tùy ý,  x  1 n 1 n 2 0  2   x dFkn ( x)  2   x 2   dFkn ( x) Bn k 1 x  B Bn k 1 x  B   Bn  n n 1   2  Bn n  E X kn 2  0 k 1 Theo định lý Lindeberg ta suy ra điều phải chứng minh III Định lý (Lindeberg... trình vi phân, lý thuyết thế, hệ thống động học và lý thuyết xác suất Quan tâm chính của ông là độ ổn định của cân bằng chuyển động của hệ thống cơ học, lý thuyết mẫu về sự ổn định của chất lỏng rối đồng dạng, và nghiên cứu các hạt dưới ảnh hưởng của trọng trường Sự nghiệp của ông trong nhiều lĩnh vực của vật lý toán liên quan đến bài toán giá trị biên của phương trình Laplace Trong lý thuyết thế, ... ) Khi nghiên cứu Định lý giới hạn trung tâm, Markov Liapunov làm rõ tính tiệm cận bé so với tổng hay tổng quát sau tính vô bé Đỉnh cao Định lý giới hạn trung tâm Cổ điển định lý Lingdeberg (1917)...   X kn  EX kn  k 1 Những định lý giới hạn trung tâm suy rộng định lý Moivre – Laplace liên hệ với lược đồ phép thử Bernoulli III.1 Định lý (Định lý giới hạn tích phân de Moivre – Laplace,... suất tương ứng p q = – p Khi định lý Moivre – TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM Trang ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Laplace định lý giới hạn trung tâm Cổ điển đại lượng ngẫu