PHÒNG GD&ĐT DUYÊN HẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGŨ LẠC MÔN: TOÁN – LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề: Câu ( điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x – x – 12 b) (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 c) x4 + 8x3 + 14x2 - 8x - 15 Câu (3,5 điểm) x2 + x  x + 1 − x2  : − + Cho biểu thức: P = ÷ x − 2x +  x − x x2 − x  a) Tìm giá trị x để P có giá trị xác định rút gọn P b) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên Câu (3 điểm) Cho phương trình x3 – (m2 – m + 7)x – (m2 – m – ) = a) Tìm giá trị m để nghiệm phương trình b) Giải phương trình ứng với giá trị m Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có Aˆ = 900 ; AB = 6cm; AC = 8cm; AH ⊥ BC H Gọi E F hình chiếu H lên AB AC; M N trung điểm HB HC a) Tính AH b) Tứ giác MNFE hình gì? c) Tính diện tích tứ giác MNFE Câu (3,5 điểm) Cho AC đường chéo lớn hình bình hành ABCD Từ C, vẽ đường vuông góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD (E, F thuộc phần kéo dài cạnh AB AD) Chứng minh AB AE + AD AF = AC2 _ Người đề (đã ký) Bùi Thị Hồng Trang ĐÁP ÁN Câu Nội dung a) x – x – 12 = x – 4x + 3x – 12 = (x2 – 4x) + (3x -12 ) = x(x – 4) + 3(x – ) = (x + 3) (x – 4) Biểu điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 8x +7)(x2 + 8x + 15 ) + 15 Đặt x2 + 8x + 11 = y ⇒ (y – ) ( y + 4) + 15 = y2 – 16 + 15 = y2 – = (y – 1) (y + 1) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10) (x + 2) (x + 6) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 c) x4 + 8x3 + 14x2 - 8x -15 = x4 + 8x3 + 16x2 – x2 – 8x – 16 – x2 + = (x4 + 8x3 + 16x2) – ( x2 + 8x + 16) – (x2 – 1) = (x2 + 4x)2 - (x + 4)2 – (x2 – 1) = [x (x + 4)]2 – (x + 4)2 – (x2 – 1) = x2 (x + 4)2 – (x + 4)2 – (x2 – 1) = (x + 4)2 (x2 – 1) – (x2 – 1) = ( x2 – 1) [(x + 4)2 – 1] = (x + 1) (x – 1) (x +3)(x + 5) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ  x +1 x2 + x − x2  a) P = : − + ÷ x − 2x +1  x − x x2 − x  x ( x +1)  x +1 − x2  = : − + ÷ ( x −1)  x − x x ( x −1)  0,25đ x ( x +1)  x +1 − x2  = : + + ÷ ( x −1)  x x −1 x ( x −1)  0,25đ x( x + 1)  ( x + 1)( x − 1) + x + (2 − x )  = : ÷ ( x − 1)  x( x − 1)  0,25đ x ( x +1)  x −1 + x + − x  = : ÷ ( x −1)  x ( x −1)  0,25đ = x( x + 1) x + : ( x −1) x( x −1) 0,25đ = x( x + 1) x( x − 1) ( x − 1) x + 0,25đ x2 = x −1 0,25đ Vậy để giá trị P xác định x −1 ≠  x ≠  x +1 ≠  x ≠  ⇔ x ≠ x ≠ −1  x2 x −1 +1 b) P = = x −1 x −1 = ( x +1) + x −1 Để P∈ Z x – ∈ Z nên x – ∈ Ư(1) ⇒ x – ∈ {1 ; -1} + Nếu x – = ⇒ x = (thỏa mãn) + Nếu x – = -1 ⇒ x = (loại) Vậy để P nguyên x = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ   0, 25 đ    0, 25 đ  a) Thay x = vào pt ta được: - 4m2 + 4m = ⇔ m2 – m = ⇔ m (m – 1) = ⇔ m = m = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) Thay m2 – m = vào pt ban đầu ta được: x3 - 7x + = ⇔ x3 - – 7x +7 = ⇔ (x3 - 1) – (7x – 7) = ⇔ ( x - 1)(x2 + x + 1) – 7(x – 1) = ⇔ (x – 1) (x2 + x – 6) = ⇔ (x – 1) (x + 3)( x – 2) = ⇔ x = x = -3 x = Vậy pt có ba nghiệm x = 1; x = ; x = -3 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ B M H E Vẽ hình 0,5đ N O A F C a) Xét ∆ABC vuông A có: BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 102 ⇒ BC = 10 cm 0,25đ 0,25đ 1 AB AC = BC AH 2 AB AC 6.8 ⇒ AH = = = 4,8 cm BC 10 b) Xét ∆ MHO ∆ MEO có: Ta có: SABC = 0,25đ 0,25đ MH = ME (EM trung tuyến ∆ BEH vuông) MO: cạnh chung OH = OE (AH, EF đường chéo hcn AEHF) Do đó: ∆ MHO = ∆ MEO (c c c) · · ⇒ MEO = MHO = 900 ⇒ ME ⊥ EF Tương tự ta có: NF ⊥ EF Vậy MF // NE nên MNFE hình thang vuông c) Ta có AEHF hình chữ nhật nên EF = AH = 4,8 cm HB FN = HC 1 ⇒ EM + FN = (HB + HC) = BC 2 1 Khi : SMNFE = (EM + FN) EF = BC.EF 2 = 10 4,8 = 12cm2 Mặt khác, EM = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ E B C G A D F Vẽ hình 0,5đ Vẽ BG ⊥ AC Xét ∆ ABG ∆ ACE có: Aˆ : góc chung Gˆ = Eˆ = 90 0,25đ 0,25đ Do đó: ∆ABG : ∆ACE ( g.g ) ⇒ AB AG = AC AE ⇒ AB AE = AC AG (1) Xét ∆ CBG ∆ ACF có: Gˆ = Fˆ = 900 · · GCB = CAF (so le AF // BC) AF AC Do đó: ∆CBG : ∆ACF ( g.g ) ⇒CG = CB ⇒ AF CB = AC CG (2) Cộng vế tương ứng (1) (2) ta có: AB AE + BC AF = AC (AG + CG) ⇒ AB AE + BC AF = AC AC Hay AB AE + BC AF = AC2 Vì BC = AD (do ABCD hình bình hành) nên AB AE + AD AF = AC2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ... (x + 7) + 15 = (x2 + 8x +7)(x2 + 8x + 15 ) + 15 Đặt x2 + 8x + 11 = y ⇒ (y – ) ( y + 4) + 15 = y2 – 16 + 15 = y2 – = (y – 1) (y + 1) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10) (x + 2) (x... 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 c) x4 + 8x3 + 14x2 - 8x -15 = x4 + 8x3 + 16x2 – x2 – 8x – 16 – x2 + = (x4 + 8x3 + 16x2) – ( x2 + 8x + 16) – (x2 – 1) = (x2 + 4x)2 - (x + 4)2 – (x2 –... 0,5đ N O A F C a) Xét ∆ABC vuông A có: BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 102 ⇒ BC = 10 cm 0,25đ 0,25đ 1 AB AC = BC AH 2 AB AC 6 .8 ⇒ AH = = = 4 ,8 cm BC 10 b) Xét ∆ MHO ∆ MEO có: Ta có: SABC = 0,25đ 0,25đ