http:huongphuong.tk SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2010 - 2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài (1,0 điểm) Cho biểu thức:      2010 2 1 M=  +    x +1   x −1   x +  +    1 +        Tìm x để biểu thức có nghĩa, rút gọn M tìm giá trị lớn M Bài ( 2,0 điểm) Giải phương trình: x − + x − = Tìm m để phương trình x + ( 2m + 3) x + 3m + 11 = có hai nghiệm x1; x2 ≠ thoả mãn 1 − = x1 x2 Bài ( 2,0 điểm) Cho số thực a, b, c, d Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d ≥ ( a + c ) + (b + d ) Đẳng thức xảy nào? Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: 1 97 a + + b2 + + c + ≥ b c a Bài ( 3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường tròn (O’; R’) cắt A B Trên tia đối tia AB lấy điểm C Kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O, D, E tiếp điểm E nằm đường tròn (O’) Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn (O’) M N (M, N khác A) Tia DE cắt MN K Chứng minh: Các tứ giác BEKN, BDMK nội tiếp ∆BKM ∆BEA O ' K ⊥ MN Bài ( 2,0 điểm)  x + y = z Giải hệ phương trình nghiệm nguyên:   x + y = z Có 2010 viên sỏi Hai người chơi thay phiên bốc sỏi, lượt người chơi quyền bốc số lượng viên sỏi luỹ thừa với số mũ tự nhiên (1, 2, 4, 8, …) Ai bốc viên sỏi cuối thắng Giả sử người chơi người thông minh Hỏi người thắng cuộc? - Hết Họ tên học sinh: ………………………………, Giám thị 1:…………………… Số báo danh: …………………………… ……, Giám thị 2:…………………… http:huongphuong.tk SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI TUYỂN LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2010 - 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài ( 1,0 điểm) Cho biểu thức:      2010 2 1 M=  + 2    x +1  x −1   x +  1+    1 +  3       Tìm x để biểu thức có nghĩa, rút gọn M tìm giá trị lớn M Giải Điều kiện: x ≥ 2 3  2010 + M=   x + x + 4 x − x +  x + x + 2010 2010 = = x + x +1 x +1 x + x +1 Do x ≥ nên M ≤ 2010 Bài ( 2,0 điểm) (1,0 điểm) Giải phương trình: x − + x − = Giải Điều kiện x ≥ 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ⇔ x − + x − = ⇔ x − + x2 − 5x + = ⇔ x2 − 5x + = − x 0.25 x ≤ ⇔ ⇔ x = 0.5  x − x + = x − 14 x + 49 (1,0 điểm) Tìm m để phương trình x + ( 2m + 3) x + 3m + 11 = có hai nghiệm x1 ; x2 ≠ thoả mãn 1 − = x1 x2 Giải Phương trình có nghiệm khác khi:  35 m ≤ − ∆ = ( 2m + 3)2 − ( 3m + 11) = 4m − 35 ≥ m ≥ 35 ⇔  3m + 11 ≠ m ≠ − 11   x1 + x2 = −2m − Theo định lí Viet ta có:   x1 x2 = 3m + 11 0.25 0.25 1 1 1 1 2 − = ⇔  −  = ⇔ ( x1 − x2 ) = x12 x22 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2  = x12 x22   x1 x2  x1 x2   m = −3 2   ⇔ ( 2m + 3) − ( 3m + 11) = ( 3m + 11) ⇔ m − 66m − 261 = ⇔  87 (tmđk)   m =  Bài 3: (2,0 điểm) (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c, d Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d ≥ Trang ( a + c) + (b + d ) 0.25 0.25 http:huongphuong.tk Giải a2 + b2 + c + d ≥ ( a + c ) + (b + d ) ⇔ a2 + b2 + c2 + d + ⇔ (a (a 2 + b )( c + d ) ≥ ( a + c ) + ( b + d ) + b )( c + d ) ≥ ac + bd (1) 0.25 0.25 Nếu ac + bd < bất đẳng thức (1) hiển nhiên Nếu ac + bd ≥ bất đẳng thức (1) tương đương với (a 2 + b )( c + d ) ≥ ( ac + bd ) ⇔ ( ad − bc ) ≥ (đúng) 0.25 ad = bc Vậy bất đẳng thức đầu Dấu đẳng thức xảy  ac + bd ≥ (1,0 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: 1 97 a2 + + b2 + + c2 + ≥ b c a Giải 0.25 1 Theo phần ta có ( a + b + c ) +  + +  a b c 1 9 1 1 Lại có ( a + b + c )  + +  ≥ ⇒ + + ≥ ≥ a b c a+b+c a b c 1 a + + b2 + + c2 + ≥ b c a 2 0.25 16 1 1 ( a + b + c ) +  + +  ≥ ( a + b + c )  + +  ≥ 81  a b c  a b c 2 0.25 1 16 1 65 1 ( a + b + c ) +  + +  = ( a + b + c ) +  + +  +  + +  81  a b c  81  a b c  a b c 65 81 97 ≥8+ = 0.25 81 4 1 97 Vậy, a + + b + + c + ≥ Dấu xảy a = b = c = 0.25 b c a Bài 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường tròn (O’; R’) cắt A B Trên tia đối tia AB lấy điểm C Kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O, D, E tiếp điểm E nằm đường tròn (O’) Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn (O’) M N (M, N khác A) Tia DE cắt MN K Chứng minh: Các tứ giác BENK, BDMK nội tiếp ∆BKM ∆BEA O ' K ⊥ MN Giải (1.0 điểm) Do tứ giác AMNB nội tiếp nên MNB = DAB, mà DEB = DAB, nên MNB = DEB , 0.5 hay KNB = DEB Suy tứ giác BEKN nội tiếp Từ ta có BKN = BEN Lại tứ giác DAEB nội tiếp nên BEN = BDA 0.5 Vậy BKN = BDA nên tứ giác BDMK nội tiếp (1.0 điểm) Ta có BMK = BAE (cùng chắn cung BN) (1) 0.25 Do BEKN nội tiếp, nên BEN = BKN ⇒ BKM = BEA (2) 0.25 Trang http:huongphuong.tk Từ (1) (2) suy ∆BKM 0.5 ∆BEA C D A M E O' O K B N (1.0 điểm) Do CD tiếp tuyến đường trũn (O) nờn CDA = CBD , suy DB CD = DA CA CE EB Lập luận tương tự ta có = CA EA ∆CBD ∆CDA Do (3) (4) Ta lại có CD = CE (t/c tiếp tuyến) Từ (3), (4) (5) suy (5) EB DB = EA DA (6) Lại có DAB = BNK tứ giác ABNM nội tiếp (7) ADB = BEN = BKN (do tứ giác ADBE BEKN nội tiếp) (8) Từ (8) (9) ta thấy ∆DBA 0.25 ∆KBN nên KB DB = KN DA Mặt khác theo chứng minh câu 2) ta có ∆BKM ∆BEA nên (9) EB KB = EA KM Từ (6), (9) (10) có MK = NK, suy O'K⊥ MN Bài (2,0 điểm) (1,0 điểm) x + y = z Giải hệ phương trình nghiệm nguyên:  (I) x + y = z Giải Nếu z = hệ phương trình có nghiệm ( x; − x; ) với x ∈ Z 0.25 0.25 (10) 0.25 0.25 Nếu z ≠ từ hệ phương trình ta có: x − xy + y = x + y ⇔ x − ( y + 1) x + y − y = (1) ∆ = ( y + 1) − ( y − y ) = −3 y + y + ≥ ⇔ − 12 + 12 ≤ y≤ 3 0.25 Do y nguyên nên y ∈ {0;1; 2} x = z Nếu y = thay vào hệ (I) ta có  ⇒ x = z = (do z ≠ ) x = z x = Nếu y = thay vào phương trình (1) ta có x − x = ⇒  x = Trang http:huongphuong.tk Nếu x = z = Nếu x = z = 0.25 x =  Nếu y = thay vào (1) ta có x − x + = ⇔  x = Nếu x = z = Nếu x = z = Vậy hệ phương trình có nghiệm (k; -k; 0); (1; 0; 1); (0; 1; 1); (2; 1; 3); (1; 2; 3); (2; 2; 4) k số nguyên 0.25 (1,0 điểm) Có 2010 viên sỏi Hai người chơi thay phiên bốc sỏi, lượt người chơi quyền bốc số lượng viên sỏi luỹ thừa với số mũ tự nhiên (1, 2, 4, 8, …) Ai bốc viên sỏi cuối thắng Giả sử người chơi người thông minh Hỏi người thắng cuộc? Giải Chiến thuật người sau sau: Khi người trước bốc 2k viên sỏi  Nếu k lẻ 2k chia dư 2, người sau bốc viên sỏi 0.25  Nếu k chẵn 2k chia dư 1, người sau bốc viên sỏi 0.25 Như người trước phải đối mặt với tình số viên sỏi lại chia hết cho không bốc viên sỏi cuối Vậy người sau thắng 0.5 Chú ý:- Trên trình bày cách giải, học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa ứng với điểm câu biểu điểm - Học sinh làm đến đâu cho điểm đến theo biểu điểm - Trong câu, học sinh làm phần sai, không chấm điểm - Bài hình học, học sinh vẽ hình sai không chấm điểm Học sinh không vẽ hình mà làm làm cho nửa số điểm câu làm - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, học sinh công nhận ý để làm ý mà học sinh làm chấm điểm ý - Điểm thi tổng điểm câu làm không làm tròn Trang ...http:huongphuong.tk SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI TUYỂN LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2010 - 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài ( 1,0 điểm) Cho biểu thức:      2010... thay vào hệ (I) ta có  ⇒ x = z = (do z ≠ ) x = z x = Nếu y = thay vào phương trình (1) ta có x − x = ⇒  x = Trang http:huongphuong.tk Nếu x = z = Nếu x = z = 0.25 x =  Nếu y = thay vào. .. người sau thắng 0.5 Chú ý:- Trên trình bày cách giải, học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa ứng với điểm câu biểu điểm - Học sinh làm đến đâu cho điểm đến theo biểu điểm - Trong câu, học