www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com BẤT ĐẲNG THỨC-“THẬT ĐƠN GIẢN” I.Lý chọn đề tài Khi giải toán đặc biệt toán bất đẳng thức Nhận thấy bạn thường: + Các bạn thường sợ bất đẳng thức bỏ qua hứng thú, Nhận thấy bạn: +Lúng túng thụ động từ đâu,phân tích toán ? +Không nắm vững bất đẳng thức quan trọng hệ bất đẳng thức côsi, bunhiacopski ,v…v… + Không nắm số bất đẳng thức đơn giản thường gặp có nhiều ứng dụng +Khi giải toán dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác, biến đổi thay đổi giả thuyết giải toán nhiều cách, từ suy toán tổng quát Để khắc phục hạn chế trên, định hướng bạn tư lôgíc Mình mạnh dạn đưa vài kinh nghiệm nhỏ viết hy vọng bạn học tập hiệu cách tiếp cận vấn đề bất đẳng thức quen thuộc, dễ chứng minh dễ nhớ đặc biệt có nhiều ứng dụng lớp 10 chương trỡnh phổ thụng 1 1 ≤ ( + ) Bài Toán: Với hai số dương x y ta có: (1) x+ y x y Đẳng thức xảy x =y Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh đưa hai cách chứng minh phổ biến Cách Với hai số dương x y ta có: 1 1 ≤ ( + ) ( x + y ) ≥ ⇒ (x + y)2 ≥ xy ⇒ x+ y x y Rừ ràng, đẳng thức xảy x = y Cách áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có 1 1 x + y ≥ xy, + ≥2 = x y x y xy 1 1 1 ≤ ( + ) Từ đó: ( x + y ) ( + ) ≥ ⇒ x y x+ y x y Và đẳng thức xảy x =y Tổng Quát: Cho hai số x, y dương a, b hai số bất kỡ ta có: 2 ( a + b) ( a + b) a b2 a b2 ≤ ( + ) hay ( + ) ≥ x+ y x y x y x+ y a b Dấu xảy = ( chứng minh bất đẳng thức có nhiều cách x y chứng minh xin dành cho bạn đọc) II Biện pháp thực Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com Để làm việc cần có nhiều việc phải làm Thứ nhất: yêu cầu rèn luyện cho học sinh nắm vững lý thuyết côsi,bunhiacopski, v…,v…và cách chứng minh thông thường Thứ hai: Khi cho bạn làm tập đặc biệt hướng cho bạn phân tích toán cách trả lời câu hỏi: -Vai trò số hạng nhân tử có bình đẳng không? -Bất đẳng thức có xảy dấu không? Nếu xảy thì số hạng phải thoả mãn điều kiện Từ cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết toán Thứ ba : Khuyến khích bạn biến đổi bất đẳng thức bất đẳng thức quen thuộc đặc biệt bất dẳng thức (1) Thứ tư: Sau khuyến khích bạn giải toán theo nhiều cách, nhiều công cụ Tổng quát toán.Công việc có lợi cho tư khả tổng hợp kiến thức bạn III Thực Bài toán Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (2) a+b b+c c+a a b c Đẳng thức xảy a = b = c Áp dụng (1) ta có điều phải chứng minh * Phát triển: Áp dụng (2) cho số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a + b b + c c + a (3) * Kết hợp (2) (3) ta có Bài toán Với a, b, c số dương: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (4) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a b c Đẳng thức xảy a = b = c 1 + + = thỏa toán nội dung câu IV, Đề thi Đại Chỳ ý: Nếu theo giả thiết a b c học Cao đẳng khối A, năm 2005 Bài toán Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1 + + ≤ + + (5) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a + 3b b + 3c c + 3a Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1 + ≥ = a + 3b b + 2c + a (a + 3b) + (b + 2c + a ) a + 2b + c Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com 1 + ≥ = b + 3c c + 2a + b (b + 3c ) + (c + 2a + b) b + 2c + a 1 + ≥ = c + 3a a + 2b + c (c + 3a ) + (a + 2b + c) c + 2a + b Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta có bất đẳng thức (5) a + 3b = b + 2c + a  Đẳng thức xảy khi: b + 3c = c + 2a + b ⇔ a = b = c c + 3a = a + 2b + c  Bài toán Hãy xác định dạng tam giác ABC góc thỏa mãn đẳng thức sau: A B C tg tg tg 2 + + = B C C A A B A B C + tg tg + tg tg + tg tg 4.tg tg tg 2 2 2 2 A B C Giải: Đặt x = tg , y = tg , z = tg thỏa x, y, z dương xy + yz + zx=1 2 x y z + + = Hệ thức trở thành: + yz + zx + xy xyz Ta có: x y z + + = + yz + zx + xy x y z = + + ≤ ( xy + yz ) + ( zx + yz ) ( xy + zx) + ( yz + zx) ( xy + yz ) + ( zx + xy ) 1 x x  1 y y  1 z z  ≤  + + + ÷+  ÷+  ÷=  xy + yz zx + yz   xy + zx yz + zx   xy + yz zx + xy  1 x+ z x+ y y + z   1  xy + yz + zx =  + + = ÷=  + + ÷=  xy + yz zx + yz xy + zx   x y z  xyz xyz Đẳng thức xảy khi: x = y = z hay tam giác ABC Bài toán Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + > 0, z + > Hãy tìm giá trị lớn x y z Q= + + x +1 y +1 z + Giải: Đặt a = x + > 0, b = y + > 0, c = z + > Ta có: a + b + c = a −1 b −1 c − 1 4 Q= + + = 3− + + ÷ a b c a b c Theo bất đẳng thức (1) ta có: Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com 1 4 16 ( + )+ ≥ + ≥ = a b c a+b c a+b+c ⇒ Q ≤ 3− = 3 a = b    a = b = x = y = ⇔ 2⇔ Đẳng thức xảy khi: a + b = c a + b + c = c =  z = −1   x = y = Vậy: MaxQ = đạt   z = −1 2x 2y 2z 1 + + ≤ + + Bài toán : Chứng minh : với x, x + y y6 + z z + x4 x4 y z y, z số dương Dấu xảy ? Giải : x + 1) ( 1 x2 4x + = + ≥ ≥ Tương tự ta có 4 6 x y x y x +y x +y 1 4y 1 4z + ≥ ; + ≥ Cộng vế bất dẳng thức ta có bất dẳng y z y6 + z z x4 z6 + x4 thức cần chứng minh Dấu xảy x=y=z=1 Bài toán : Cho số thực dương a, b c thoả :ab+bc+ca = abc chứng minh : a + b4 b4 + c c4 + a4 + + ≥1 3 3 3 ab a + b bc b + c ca c + a ( ) ( Giải: ta có ab+bc+ca = abc ⇔ ta có: a + b4 ( ab a3 + b3 ) = 1 + x4 y 1 1   ÷ + xy  x3 y3 ÷ = ) ( ) 1 1 1 + + = Đặt x = ; y = ; z = ⇒ x+y+z=1 Khi a b c a b c x4 + y x3 + y3 = ( x6 x x3 + y ) ) + ( y6 y x3 + y ≥ ( x3 + y ) ) ( x3 + y3 )( x2 + y2 ) 2 + y2 x 3 4 x +y x y x2 + y x + y = = + ≥ = ≥ 2 2 2 2 x + y x +y x x +y y x +y ( x + y) x + y ( ) ( ) ( Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk ( ) www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com b4 + c y+z c4 + a4 z+x ≥ ; ≥ Tương tự ta có bc b3 + c3 ( ) ca ( c + a ) Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có a + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥ x + y + z = 3 3 3 ab a + b bc b + c ca c + a ( ) ( ) ( ) Suy điều phải chứng minh Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức x −t t − y y − z z − x A= + + + t + y y+ z z + x x+t Với x, y, z, t số dương Giải : Ta có: x −t t−y y−z z−x A=( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) − = t+y y+z z+x x+t x+ y t + z y+ x z +t = + + + −4= t + y y + z z + x x+t   1   = ( x + y)  + + ( t + z ) +   −4≥ t + y z + x  y + z x+t 4 ≥ ( x + y) + (t + z ) −4= x+ y + z +t x+ y+ z+t 4( x + y + z + t ) = −4=0 z + y + z +t Vậy MinA=0 x = y = z = t Trên số toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau số tập tương tự: Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: 1 1   1/ + + ≤ + + ÷ 2a + 3(b + c) 2b + 3(c + a ) 2c + 3(a + b)  a + b b + c c + a  1 1 1  + + ≤  + + ÷ a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b  a + 2c b + 2a c + 2b  Bài Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thỏa: 1 17 + + < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 96 Bài Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ của: 2/ Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng A= + huyhoang.231095@gmail.com + xy xy x2 + y2 Bài Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c Tìm giá trị lớn biểu thức: ab bc ca T= + + a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c độ dài cạnh) Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p −a p −b p −c a b c IV Mở rộng Cho x, y,z ba số dương chứng minh rằng: 1 1 ≤ ( + + ) ( ) ;Dấu xảy x=y=z x+ y+z x y z Tổng quát: Cho ba số a, b, c bất kỡ, x, y, z la ba số thực dương ta có: a2 b2 c ( a + b + c ) + + ≥ ( ) (Bất đẳng thức s-vac) Dấu xảy x y z x+ y+z a b c = = x y z Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:   a 2  b 2  c 2   a b2 c   x + y + z 2  ÷ + + x + y + z = + + ( )  ÷ ÷  ÷  ÷   ÷ ÷ ÷   x y z x y z           ( ) ( ) ( ) ≥ ( a + b + c) Từ suy điều phải chứng minh V Áp dụng a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c với a, b, c số thực Bài toán 1: Chứng minh : b c a dương Giải :Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : a2 b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ = a + b + c Suy điều phải chứng minh Dấu xảy b c a a+b+c a b c = = ⇔ a=b=c b c a Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com Bài toán : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a6 b6 c6 B= 3 + + a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = b + c c + a a + b3 Giải : Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : a3 + b3 + c ) ( a6 b6 c6 a + b3 + c B= 3 + + ≥ = Mặt khác theo bất b + c c + a a + b3 ( a + b3 + c3 ) 2 đẳng thức Bunhiacopski ta có : = ( a + b + c ) ≤ 3 ( a + b + c )  = 3  ( ) aa a + bb b + cc c   3 3 3 3 ≤ 9( a + b + c) ( a + b + c ) = 9( a + b + c ) ⇒ ( a + b + c ) ≥ Vậy B ≥ 18 Bài toán : Cho số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1 chứng minh 1 1 + + + ≥ x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) Giải : 1 1 x = ; y = ; z = ; t= , đặt theo ta có abcd = a b c d 1 a2 = = 1 1  b + c + d ; tương tự ta có : x ( yz + zt + ty ) + +   a  bc dc bd  b2 c2 d2 = ; = ; = Công y ( xz + zt + tx ) a + c + d z ( yt + xt + xy ) a + b + d t ( yz + zx + xy ) a + b + c vế bất đẳng thức ta có : 1 1 + + + 3 x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) a2 b2 c2 d2 ( a+b+c+d) = + + + ≥ b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c 3( a + b + c + d ) a + b + c + d 4 abcd = ≥ = 3 (Mở rộng tự nhiờn bất đẳng thức (6) cho bốn số) Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com a = b = c = d =  Dấu xảy  a b c d b + c + d = a + c + d = a + b + d = a + b + c  B= Bài a8 (b +c toán ) 2 + (a 4: b +c + ) 2 Tìm c8 (b giá + a2 ) trị B= a ( b2 + c ) 2 b + ( a2 + c ( a4 + b4 + ) 2 c biểu ≥ (b + c2 4 2 2 + a2 ) 2 2 + a 2c ) Xét biểu thức a 2b + b 2c + a 2c Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có : Do a 2b + b c + a c ≤ a + b + c B≥ (a thức 4 (a +b +c ) ) +(a +c ) +(b ( b2 + a ) (a +b +c ) + c ) + 2( a b + b c = , a, b, c số thực dương thỏa điều kiện ab + bc + ca = Giải : Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : nhỏ + b4 + c ) (a +b +c ) = a = ) 4( a + b + c ) ( a + b4 + c ) + ( a + b + c 4 4 4 + b4 + c4 Mát khác theo bất đẳng thức Bunhiacopski = ( ab + bc + ca ) ≤ a + b + c 2 Bài toán : Cho x,y,z>0 thoả : x + y + z ≥ Tìm giá trị nhỏ của: y3 x3 z3 + + x + y + z y + 3z + x z + 3x + y Nhận xét: Các số x, y, z có vai trò bình đẳng dự đoán dấu xảy chúng Giải: Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com x3 y3 z3 x4 y4 z4 + + = + + x + y + z y + 3z + x z + 3x + y x + 3xy + xz y + yz + yx z + 3xz + yz 2 x2 + y + z x2 + y + z x2 + y + z ≥ ≥ ≥ x + y + z + ( xy + yz + zx ) x + y + z + x + y + z 10 x + y + z ( ( = x2 + y + z ≥ ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) 30 Dấu xảy khi:  x2 y2 z2  = =  x + 3xy + xz y + yz + yx z + 3xz + yz  ⇔x= y=z= x = y = z   x2 + y + z =   Bài toán : Cho a,b,c>0 thoả : a.b.c = 2 + + ≥3 Chứng minh rằng: 3 a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng dự đoán dấu xảy chúng 1 1 - Để đơn giản biểu thức ta đặt a = x ; b = y ; c = z 1 Giải: Đặt a = x ; b = y ; c = z Theo giả thiết ta có: xyz = 2 2x2 = = Ta có a ( b + c )  +  y + z ; tương tự ta có: x3  y z ÷ 2 2z2 2 y2 = = = = b3 ( a + c )  1  x + z ; c3 ( b + a )  1  y + x Do Áp dụng bất đẳng thức + + y  x z ÷ z  y x ÷ (6) ta có : y2 2 2 x2 2z2 + + = + + ≥ a ( b + c ) b2 ( c + a ) c ( a + b ) y + z x + z y + x 2( x + y + z ) 2( x + y + z ) = ≥ xyz = 2( x + y + z ) Dấu xảy x = y = z = Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com Bài toán : Cho số thực dương x,y,z >o thoả : x + y + z ≥ Tìm GTNN y2 x2 z2 + + x + yz y + zx z + xy A= Giải: Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : ( x + y + z) y2 x2 z2 + + ≥ Ta x + yz y + zx z + xy x + y + z + yz + zx + xy có yz + zx + xy ≤ x + y + z ( x + y + z) y2 x+ y+ z x2 z2 + + ≥ = ≥ 2 x + yz y + zx z + xy x + y + z + x + y + z Do   x + y + z =  ⇔ x = y = z =1 Dấu xảy  x = y = z  x y z  = =  x + yz y + zx z + xy Bài toán : Với x, y, z số dương x y.z ≥ Chứng minh rằng: x + x + yz y y + zx + z z + xy Hướng dẫn Đặt a = x , b = y , c = z Bài toán trở thành : a, b, c số dương a.b.c ≥ Chứng minh : a2 a + bc + b2 b + ac Áp dụng bất đẳng thức trờn ta có a2 a + bc + b2 b + ac + c2 c + ab ≥ + ≥ c2 c + ab ( a + b + c) ≥ (1) (2) 2 a + bc + b + ac + c + ab 2 ( 3) Bỡnh phương hai vế bất đẳng thức: Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk 10 www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com 2   a + b + c) a + b + c) ( ( VT (3) ≥   = 2 a + bc + b + ac + c + ab  a + bc + b + ac + c + ab      4 ( a + b + c) ( a + b + c) ≥ ≥ 3(a + b + c + ab + bc + ac ) ( a + b + c ) − ( ab + bc + ac )    ( a + b + c) ≥ ( a + b + c ) − 3 ( Vỡ ab + bc + ac ≥ 3 ( abc ) ≥ ) Đặt t = ( a + b + c) thỏa t ≥ ( vỡ a + b + c ≥ 3 abc ≥ ) t2 3t + 15 t − 3 3.9 + 15 t −3 = + + ≥ +2 = Ta có: 3(t − 3) 12 12 t − 12 12 t − ⇒VT (5') ≥ ⇒VT (4 ') ≥ 2 ⇒ Dấu xảy x = y = z = điều phải chứng minh Tổng quát : ta có toán sau: với x1 , x2 , , xn ( n ≥ ) số dương x1 x2 xn ≤ xn x1 x2 n + + + ≥ Cmr: x1 + x2 x3 xn x2 + x3 x4 xn xn + x1 x2 xn −1 Bài toán : chứng minh a, b, c số thực dương thỏa mãn 1 + + < abc = ab + bc + ca a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 16 Giải : 1 1 1 Từ abc = ab + bc + ca suy + + = đặt x = ; y = ; z = x + y + z = Áp a b c a b c dụng bất đẳng thức (7) ta có : 36 x + y + 3z a + 2b + 3c = + + ≥ ⇒ ≤ x y z x + y + 3z a + 2b + 3c 36 y + z + 3x z + 2x + 3y ≤ ; ≤ ; Tương tự ta có b + 2c + 3a 36 c + 2a + 3b 36 Cộng ba bất đẳng thức ta có 6( x + y + z) 1 + + ≤ = < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 36 16 Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk 11 www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com 1 1 1  11 3 = ≤  + + ÷≤  + + ÷ a + 2b + 3c ( a + c ) + ( b + c ) + ( b + c )  a + c b + c b + c   a b c  Tương tự ta có: 1 1 1  13 2 = ≤  + + ÷ ≤  + + ÷; b + 2c + 3a ( a + c ) + ( a + c ) + ( b + a )  a + c a + c b + a   a b c  Cách2 : 1 1 1  13 2 = ≤  + + ÷≤  + + ÷ c + 2a + 3b ( b + c ) + ( b + a ) + ( b + a )  b + c a + b b + a   b c a  cộng vế với vế ta có: 1 1 6 6 + + ≤  + + ÷< a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 36  a b c  16 suy điều phải chứng minh dấu xảy a=b=c=3 { x y z x, y , z ≥ + + ≤ Bài toán 10 Cho x + y + z = Cmr: P = + x + y + z 10 Giải:  x2  y2   z2   P = x 1 − + y 1 − + z 1 − = ÷ ÷ ÷ + y + z  1+ x       x3 y3 z3  = 1−  + + = 2 ÷ + x + y + z   4 x2 + y + z ) (  x y z  = 1−  + + ≤ 1− 3 ÷ x + x y + y z + z x + y + z + x3 + y + z   2 Đặt t = x + y + z từ điều kiện ⇒ t ≥ Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki Cô Si ta có: x + y + z = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) + 3xyz ≤ 3 t  x2 + y2 + z  2 ≤ x + y + z − 1 − ( x + y + z )  +  = t − + t ÷ 2 3   2t 2t −3t + 10t + 9 P ≤1− ≤1− = − + = t 3t + 10t + 10 10 t 3t + + t + + 3t + 3t 3 ( − t )(57t + 9) 9 P≤ + ≤ 3t + 10t + 10 10 Dấu xảy x = y = z = ⇒ đpcm 2 Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk 12 www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng huyhoang.231095@gmail.com Bài toán 11: Cho x, y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN biểu thức: P = Giải: P= = x2 ( y + z ) y y + 2z z 2x x y y + 2z z + + y2 ( z + x ) z z + 2x x 2y y z z + 2x x + + x2 ( y + z ) y y + 2z z z2 ( x + y) x x + 2y y + ≥ y2 ( z + x) + z z + 2x x x 2 yz y y + 2z z + z2 ( x + y) x x + 2y y y 2 xz z z + 2x x + z 2 xy x x + 2y y 2z z x x + 2y y để đơn giản đặt a = x x ; b = y y ; c = z z ; ( a + b + c) 2a 2b 2c 2a 2b 2c P= + + = + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b a ( b + 2c ) b ( c + 2a ) c ( a + 2b ) ( ab + bc + ca ) Ta có = = ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ) ( ab + bc + ca ) ( a + b2 + c ) ( ab + bc + ca ) + = ( a + b2 + c ) ( ab + bc + ca ) + ( 2ab + 2bc + 2ca ) ( ab + bc + ca ) Mặt khác ta có a + b + c ≥ ab + bc + ca Nờn ta có: P ≥ dấu xảy a = b = c Hay x x = y y = z z ⇔ x=y=z=1 Một số tập tương tự: x3 y3 z3 + + Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ cuả biểu thức Q = ,với x, y ,z y+z z+x x+ y số dương thoả mãn điều kiện x+y+z ≥ VI Kết thực Đây phần khó thực đối tượng học sinh đa dạng nên gặp không khó khăn.Tuy nhiên qua tìm hiểu bạn học sinh kết thu tương đối khả quan Kết sau Giái Khá TB Yếu Kém Khối 10 25% 31% 10% 26% 18% Khối 11 27% 25% 11% 29% 8% Đây viết Hoàng chỉnh sửa, số sai xót, mong người đóng góp ý kiến tại: huyhoang.231095@gmail.com Chân thành cảm ơn người! Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk 13 www.VIETMATHS.com Phạm Huy Hoàng Trường THPT Hồng Đức – BMT - ĐăkLăk huyhoang.231095@gmail.com 14 [...]... Từ abc = ab + bc + ca suy ra + + = 1 đặt x = ; y = ; z = thì x + y + z = 1 Áp a b c a b c dụng bất đẳng thức (7) ta có : 1 2 3 36 1 x + 2 y + 3z a + 2b + 3c = + + ≥ ⇒ ≤ x y z x + 2 y + 3z a + 2b + 3c 36 1 y + 2 z + 3x 1 z + 2x + 3y ≤ ; ≤ ; Tương tự ta cũng có b + 2c + 3a 36 c + 2a + 3b 36 Cộng ba bất đẳng thức trên ta có 6( x + y + z) 1 3 1 1 1 + + ≤ = < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 36 6 16 Trường... = 2 2 2 ÷ 1 + x 1 + y 1 + z   2 4 4 4 x2 + y 2 + z 2 ) (  x y z  = 1−  + + ≤ 1− 3 3 3 ÷ x + x y + y z + z x + y + z + x3 + y 3 + z 3   2 2 2 Đặt t = x + y + z từ điều kiện ⇒ t ≥ 1 3 Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và Cô Si ta có: x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) + 3xyz ≤ 3 1 3 1 t  x2 + y2 + z 2  2 2 2 ≤ x + y + z − 1 − ( x + y + z )  + 3  = t − + t... đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức: P = Giải: P= = x2 ( y + z ) y y + 2z z 2x x y y + 2z z + + y2 ( z + x ) z z + 2x x 2y y z z + 2x x + + x2 ( y + z ) y y + 2z z z2 ( x + y) x x + 2y y + ≥ y2 ( z + x) + z z + 2x x x 2 2 yz y y + 2z z + z2 ( x + y) x x + 2y y y 2 2 xz z z + 2x x + z 2 2 xy x x + 2y y 2z z x x + 2y y để đơn giản đặt a = x x ; b = y y ; c = z z ; 2 ( a + b + c)... 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca Nờn ta có: P ≥ 2 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Hay x x = y y = z z ⇔ x=y=z=1 Một số bài tập tương tự: x3 y3 z3 + + Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức Q = ,với x, y ,z y+z z+x x+ y là các số dương thoả mãn điều kiện x+y+z ≥ 6 VI Kết quả thực hiện Đây là một phần khó thực hiện trên đối tượng học sinh đa dạng nên gặp không ít khó khăn.Tuy nhiên qua