Các toán liên quan đến tính chất liên tục hàm số, đạo hàm hàm số I kiến thức ĐN: Hàm số f xác định khoảng (a; b) gọi liên tục điểm f ( x) = f ( x0 ) x0 ∈ ( a; b) ) xlim →x - Hàm số f xác định khoảng (a; b) gọi liên tục khoảng (a; b) liên tục điểm khoảng - Hàm số f xác định đoạn [a; b] gọi liên tục đoạn [a; b] f ( x) = f (0) liên tục khoảng (a; b), xlim →a + lim f ( x) = f (b) x →b − * Định lý giá trị trung gian hàm số liên tục Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a; b] Nếu f(a) ≠ f(b) M số nằm f(a) f(b) số c ∈ ( a; b ) ) cho f(c) = M * Định nghĩa Đạo hàm điểm f ′( x0 ) = lim x → x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 * ý hình học đạo hàm Đạo hàm hàm số y = f(x) x1 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0 ; f(x)) *Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) tiếp điểm M0(x0 ; f(x0)) : y = f’(x)(x - x0) + f(x0) * Định nghĩa đạo hàm cấp n F(x)(x) = [F(n - 1) )(x)]’ (n ∈ N , n ≥ 2) *Định nghĩa vi phân df(x) = f’(x)dx * ứng dụng vi phân vào tích phân gần F(x0 + ∆ x) ≈ f(x0) + f’(x0) ∆x ii toán điển hình 1 Xét tính liên tục hàm số điểm, khoảng, đoạn Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau điểm cho trước a) f(x) =  x2 −   x−2 −  với x ≠ -2 với x = -2 điểm x = -2 b) f(x) = 4 − 3x   x với x ≤ -2 với x > -2 điểm x = -2 Lời giải: a) Ta có ⇒ ( x − )( x + ) = lim x − = −4 = f (−2) x2 − = lim ( ) x→ −2 x + x →− x→ −2 x+2 lim f ( x ) = lim x →− hàm số cho bên trục x = -2 lim+ f (x) = lim+ x3 = (−2)3 = − b) Ta có x→− x→−2 ( ) lim− f ( x) = lim− − 3x2 = − 3(−2)2 = −8 x →− ⇒ ⇒ x →−2 lim f (x) = lim+ f (x) = − ⇒ lim f (x) = − = f (−2) x→−2− x→−2 x→−2 Hàm số cho liên tục x = -2 Bài 2: Tìm số thực a cho hàm số x2 f(x) =  2ax − với x lim f (x) = lim(x3 + 2x2 + bx + c) =−∞ x→−∞ x→−∞ ⇒ ∃ ( x1 ) ∈ R ⇒ ⇒ ⇒ để f(x1) < Hàm số y = f(x) liên tục [x1; x2] f(x1) f(x2) < Phương trình f(x) = có nghiệm (x1; x2) Phương trình f(x) = có nghiệm Bài 2: Chứng minh phương trình x3 - 10000x2 - =0 100 Có nghiệm dương Lời giải: Ta xét hàm số: f(x) = x3 - 10000x2Ta có: f(0) = - 100 x→+∞ liên tục R ⇒ Hàm số y = f(x) liên tục [0; a] f(0) f(a) < ⇒ Phương trình f(x) = có nghiệm Trên (0; a) ⇒ Phương trình f(x) = có nghiệm dương Tính đạo hàm hàm số Bài Tính đạo hàm hàm số a) y = sin(cos2x)cos(sin2x) b) y = (x2 + 1)x+1 Lời giải: a) Ta có: Sin(cos2x).cos(sin2x) = sin(cos2 x + sin x) + sin(cos2 x − sin x) 1 sin1 + sin ( cos 2x )  = sin1 + sin ( cos 2x ) 2 1 ′ ⇒ y′ =  sin1 + sin ( cos x ) ′ = + ( cos x )′ cos ( cos x ) 2  = ( −2 ) sin x.cos ( cos x ) = − sin x.cos ( cos x ) = b) Ta có: lny = (x + 1)ln(x2 + 1) y > ∀ x ∈ R Lấy đạo hàm hai vế ta có: ′ = ( x + 1)  ln x +  + ( x + 1)′ ln x + x ( x + 1) 2x ⇔ yy′ = ( x + 1) + ln x + = + ln x + x +1 x2 +  x +1  x ( x + 1) ⇔ y′ = x + + ln x +    x +1  ( y y′ ) ( ( ( ) ) ( ) ( Bài Tính đạo hàm cấp n hàm số: y = ) x −1 Lời giải Ta có: y= ( x − )( x + ) =  1  −    ( x − ) ( x + )   (−1) (−1)  −   2  ( x − 1) ( x + 1)2     1.2 1.2  ⇒ y′′ =  −   ( x − 1)3 ( x + 1)3     −(1.2.3) −(1.2.3)  ⇒ y′′′ =  −   ( x − 1)4 ( x + 1)4    ⇒ y′ = ) Ta chứng minh: ⇒ y (n) =  (−1)n n ! (−1)n n !  −    ( x − 1)n+1 ( x + 1)n+1    Thật vậy: - (*) với n = - Giả sử (*) với n = k, k ⇔y (k ) ⇒ y (*) ∀n ∈ N * ∈N*  (−1)k k ! (−1)k k !  =  −   ( x − 1)k +1 ( x + 1)k +1    ( k +1)  (−1)k k !(−1)(k + 1)( x − 1)k (−1)k k !(−1)(k + 1)( x + 1)k  ′ =  y  =  −  2k +2 2k +2 2 x − x +  ( ) ( )  (k )  (−1)k +1.(k + 1)! (−1)k +1.(k + 1)! =  −  k +2  ( x − 1)k + x +  ( )  ⇒ (*) với n = k + ⇒ (*) với (n) Kết luận: Với y ∀n ∈ N *  (−1)n n! (−1)n n!  −  (x) =  n+1 n+1  ( x −1) ( x +1)  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: Bài 1: Cho hàm số y = x2 Tìm hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số a) Tại điểm (-2; 4) b) Tại giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y = 3x - Lời giải a) Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (-2; 4) là: y’(-2) = 2(-2) = - y’= 2x b) Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng y = 3x - nghiệm phương trình x2 = 3x - x2 - 3x + = ⇔ x = x =  Vậy có giao điểm là: A(1; 1) B(2; 4) Hệ số góc tiếp tuyến A(1; 1) là: y’(1) = 2.1 = Hệ số góc tiếp tuyến B(2; 4) là: y’(2) = 2.2 = Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị Hàm số: y = x2 song song với đường thẳng 2x + y + = Lời giải Ta có: 2x + y + = y = - 2x - ⇔ Tiếp tuyến đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = - 2x - có hệ số góc - → y’(x) = - ⇔ 2x = -2 tiếp điểm A(-1; 1) ⇔x = -1 → = -2x - ⇔ 2x +y+1=0 Phương trình tiếp tuyến : y = - 2(x+1) + ⇔y III Những sai lầm thường gặp a) Sai lầm xét tính liên tục hàm số điểm Bài 1: Xét tính liên tục hàm số f(x)  1 = 1 + x  0 nế u x ≠ điểm x = nế u x = *Sai lầm thường gặp do: lim f ( x) = lim x →0 x →0 1+ x = + lim x =0 →∞ x f(0)=0 x →0 Nên hàm số f(x) liên tục điểm x = * Nguyên nhân sai lầm: lời giải không không xét giới hạn trái giới hạn phải x = * Lời giải đúng: Ta có: lim+ f ( x ) = lim+ x→0 x→0 lim− f ( x) = lim− x→0 x→0 x 1+ Từ (1) (2) → = 1 =0 (1) x → 0+ 1+ 3x 1 x 1+ lim− (2) = =1 x → → +∞ → x → ∞ x x → 0− → → − ∞ ⇒ 3x → x x→0 không ∃ lim f ( x ) nên f(x) không liên tục x = x →0 Bài 2: Xét tính liên tục hàm số: f(x)0 = 1 − cos x   x sin x  0 x ≠ điểm x = x = * Sai lầm thường gặp: x 1− cos x 1− cos x lim f (x) = lim = lim = lim = x→0 x→0 x sin x x sin x 1+ cos x x→0 x sin x 1+ cos x 2sin2 ( ) ( )   x 2    sin  x  1 1  = 1.1 = lim   =  x→0 1+ cos x   x  sin x 1+ cos x      * Nguyên nhân sai lầm: Tính sai lim x→ x sin x b) Sai lầm toán đạo hàm Bài 1: Tính đạo hàm hàm số f(x)0 =  − cos x  x   x ≠ điểm x = x = * Sai lầm thường gặp: ta có f(0) = f’(0) = [f(0)]’ = (0)’ = * Lời giải f ( x) − f (0) f ′(0) = lim = lim x→0 x→0 x−0 − cos x −0 2sin2 x x = limsin = x → ⇒ → ± ∞ = lim x→0 x→0 x x x x * Nguyên nhân: Sai lầm cho sinx = →±∞ * Lời giải đúng: x sin x − f ( x) − f (0) x = limsin = lim Ta có: f ′(0) = lim x→0 x→0 x→0 x −0 x x m∈Z → → lim sin Chọn x = mπ  m → +∞ x→0 = lim sin mπ = x m→∞ x= Chọn π n →∞  → ⇒ lim sin n∈Z x →0 + 2nπ Từ (1) (2) li m s i n x→ x π  = lim sin  + 2nπ  = n →∞ x 2  không ∃ đạo hàm hàm số x = Một số đề Bài Xét tính liên tục f(x) x = 1 − x − x ≠  f ( x) =  2− x 1 x =  Bài 2: Tìm a để hàm số f(x) liên tục x =  − cos x x ≤  x sin x f(x) =  x + a  x ≥  x + Bài Cho hàm số f ( x) = x2 − x + CMR hàm số liên tục x = - 3x − Nhưng đạo hàm x = - Bài 4: Cho 2a + 3b + 6c = CMR có nghiệm ∈ (0;1) Bài Cho số thuộc a0, a1,…a2002 thoả mãn:  a0 ≠   a2002 a1 a2  a0 + + + + 2003 = CMR phương trình: a0 + a1x + a2x2 + …+ a2002 x2002 = Có nghiệm [0; 1] Bài 6: CMR phương trình acosx + bsin2x + ccos3x = x có nghiệm đoạn: [ − π ; π ] với ∀a, b, c ∈ R vớ i x ≤ với x >  a x Bài 7: Tìm số thực a cho hàm số f(x) =   (1 − a ) x liên tục R Bài 8: Tính đạo hàm cấp n hàm số y = sinx Bài 9: Tính đạo hàm cấp n hàm số y = x − 3x + 2 Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 - 5x + biết tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng y = - 3x + b) Vuông góc với đường thẳng y = c) Đi qua A(0; 2) x−4 ... 2nπ  = n →∞ x 2  không ∃ đạo hàm hàm số x = Một số đề Bài Xét tính liên tục f(x) x = 1 − x − x ≠  f ( x) =  2− x 1 x =  Bài 2: Tìm a để hàm số f(x) liên tục x =  − cos x x ≤  x sin...  (1 − a ) x liên tục R Bài 8: Tính đạo hàm cấp n hàm số y = sinx Bài 9: Tính đạo hàm cấp n hàm số y = x − 3x + 2 Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 - 5x + biết tiếp tuyến... thị hàm số: Bài 1: Cho hàm số y = x2 Tìm hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số a) Tại điểm (-2; 4) b) Tại giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y = 3x - Lời giải a) Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm