TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN BÙI THỊ NGOAN MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT VÀ ỨNG DỤNG K HÓ A LU ẬN T ỐT N GHI ỆP Đ ẠI HỌ C Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học T.s TRẦN VĂN NGHỊ HÀ NỘI - 2015 Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới THS TRẦN V Ă N N G H Ị , người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Toán, trường Dại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, dộng viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Sinh viên Bùi Thị Ngoan LỜI CẢM Khóa luận hoàn thành sau trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn Th.s T R Ầ N V Ă N N G H Ị Trong khóa luận em có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học nước Em xin cam đoan kết khóa luận không chép từ khóa luận Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan LỜI CAM Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Sinh viên Bùi Thị Ngoan Mục lục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tính lồi Iiiột số tính chất quan trọng hình hình học Tính lồi xuất nhiều lĩnh vực Hình học lồi, Giải tích lồi, Quy hoạch lồi Với mong muốn tìm hiểu sâu tính lồi tập lồi đặc biệt ứng dụng chúng, em chọn đề tài VÀ ỨNG DỤNG" "MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu sâu kiến thức tập lồi • Làm rõ tính chất tập lồi đặc biệt • ứng dụng tính lồi vào số toán cực trị Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Dối tượng nghiên cứu: Kiến thức tập lồi • Phạm vi nghiên cứu: Một số tập lồi đặc biệt ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu • Trình bày c,ơ sở lý thuyết tập lồi • Trình bày tính chất số tập lồi đặc biệt • Trình bày số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm ba chương: Chương 1: Sơ lược tập lồi Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt Chương 3: ứng dụng tính lồi vào toán cực trị Chương Sơ LƯỢC VỀ TẬP LÒI 1.1 Định nghĩa tính chất Giả sử X không gian tuyến tính, K tập số thực Định nghĩa 1.1 Tập A C X gọi LỒI, VXX, X2 ẽ /4, VA (E K : ^ A 5^ =7’" À £ -b (1 — XỴx2 ẽ Á Chú ý Theo định nghĩa trên, tập xem tập lồi Giả sử A c X; X1,X2 Định nghĩa 1.2 € A ĐOẠN NỐI XI,X2 [x\,x2] — {x G A : X — ẰXị Nhận xét A 1.1 Tập lồi, định nghĩa sail + (1 — A)x ,0 < A < 1} \/XI,X2€ A, ta có [X 1,X 2] c A Ví dụ 1.1 Các nửa không gian tập lồi Các tam giác hình tròn mặt phang tập lồi Hình cầu đơn vị không gian Danach tập Mệnh đề 1.1 Giả sử Khi đó, tập A A =n A A A c X (tt I) tập lồi, với / tập lồi số lồi QẼ/ Chứng minh Lấy Ii,x £ Ả Khi đó, XI,X2 € A A (Va G I) Với O' G /, A A lồi, cho \XỊ A Suy Axi + (1 — A)a ?2 £ + (1 — A)X'2 € A (VA € [0,1]) A Từ Định nghĩa 1.1 ta nhận mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2 Giả sử tập AI C X (I lồi, Àj G R = 1, , ra) Khi đó, A1.41 + + \mAm tập lồi Mệnh đề 1.3 Giả sử M) XỊ không gian tuyến tính, tập Khi đó, tích Descartes Mệnh đề 1.4 Giả sử X, Y A Ị X X A M AỊ E XỊ X\ tập lồi không gian tuyến tính, T lồi X X (I X M X —> Y : = 1, , toán tử tuyến tính Khi đó, a) Nếu A c X lồi, b) T ( A ) lồi; Nếu B c Y lồi, nghịch ảnh T ~ ( B ) L Định nghĩa 1.3 Vectơ X i , , x m G X, X G X n ế u 3A j > gọi (i B tập lồi TỔ HỢP LỒI m = 1, , r a ) , ^2 vectơ m = , s ao c h o X = ^ AjX ị ¿=1 Định lý 1.1 Giả sử tập A c X lồi; xi, ,xm € A i=l Khi đó, A chứa tất tổ hợp lồi Xi, , x m Chứng minh Ta chứng minh quy nạp L,XI,X2 € A, RN = 2: với A 1, A > 0, A| + A = theo Định nghĩa 1.1, AịXi + Giả sử kết luận với M < K, X 2X G A ta chứng minh rằng: k +1 1), x i = I= X — AjXi + • • • + AfcXjfc + X K + I X K + I € A Vxi, Có thể xem ,xk+i e A, y Xi > 0(i = ỉ, ,k + \K+I < 1, À f c+1 = Ai = = = ta có lẽ Ả Khi đó, — ^k+1 = Ai + + > 0; - ^ >0 ( i — 1, , k ) A, 1, nên theo giả thiết quy nạp ta có *k+i k Vì Ẻ -^1 I —1 XI Y — X\ 1-A f c+1 Với điểm Y A € xk "X H G +•••+ Á 1-A f c+1 X K +1 G Ẩ, ta có — ^ K +1 > 0, (1 — A f c+1 ) + Afc + = Do đó, X = (1 — ẰK+I)Y + Ajfc +1 Xfc+i € A 1.2 Bao lồi bao lồi đóng Định nghĩa 1.4 Giả sử /1 c X Giao tất tập lồi chứa BAO LỒI (CONVEX HULL) Nhận xét 1.2 a) b) Tập A COA CO A A, tập lồi Đó tập lồi lồi Định lý 1.2 tập A A ký hiệu nhỏnhất gọi COA chứa A; CO A = trùng với tập tất tố hợp lồi A Chứng minh Theo Nhận xét 1.2, A tổ hợp lồi CO A lồi Bởi Do đó, chứa COA Hệ 1.1 Tập A A c X A lồi, chứa CO A chứa tất A chứa tất tổ liỢp lồi Giao tất BAO LỒI ĐÓNG Nhận xét 1.3 COA A không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.5 Giả sử gọi A lồi X c (Định lý 1.1) Mặt khác, tập tất tổ hợp lồi Bây giả sử A CÕA tập A, tập ký hiệu lồi đóng chứa A Ã)A tập lồi đóng Đó tập lồi đóng nhỏ chứa A Mệnh đề 1.5 Giả sử INTA a) Phần X1 b) Nếu € A c X lồi Khi đó, INTA,X2€ A [ X U X 2) Nói riêng, A bao đóng tập lồi; = {A^I + (1 — INTA Ỷ A Ằ ) X : < A < 1} c I N T A = A int A, int A = int A Chứng minh X\ Lấy INTA,X2€ A U X Ị Khi đó, tồn lân cận Ư Đặt X = ẰXI + (1 — A)x , (0 < A < 0), ta có c XU + XU + (1 — Bây lấy Giả sử Dü XỊ Ư € Ằ)X2 c A, XI,X2€ A Dặt lân cận lồi A X G INT A Do đó, Ằ)X2 cận X INTA = AjiCi + (1 — A)x , lồi (0 < A < 1) O nên (Xị Suy ra, Đặt X suy l'a X' — \X\ + ư) íì Ấ / 0, (ỉ = 1, 2) G {Xị + u) n A, + (1 — \)X'2 Định lý 1.3 Bao lồi đóng tập A = 1,2) Khi đó, x' e \{xx + ư) + u => {x + ư) X € A => {ỉ (1 - X)(x2 + U) = x + nA Ỷ A lồi trùng với bao đóng bao lồi CÕA = coA cho A (1— lân A, tức Chương MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT •••• 2.1 Đoạn thẳng Định nghĩa 2.1 Cho hai điểm đường thẳng ỊIOQ D qua P P Q Q không gian affine thực với điểm O A tùy ý Điểm OM = M thuộc XOP + ¡1 = với A + ÕM Tập hợp điểm gọi M cho P = Q , đoạn thẳng P Q Khi P Ỷ QÌ đoạn thẳng Iihững Hai điểm thẳng P, Q PQ XÕP + (1 - A)ÕỌ, A € R OM — XOP + (1 — X)OQ, với < A < ĐOẠN THẲNG PQ Khi 0) = PQ gồm điểm P P (khi A = 1) ọ (khi A = điểm ứng với A (0 < A < 1) gọi gọi gồm điểm HAI MÚT Ở GIỮA P đoạn thẳng Q Hiển nhiên đoạn thẳng tập lồi P Q , điểm khác đoạn 2.2 Đơn hình Cho m + điểm độc lập điểm gồm điểm Tập hợp gọi ký hiệu P() PỊ, , P Ta biết m-phẳng M O M cho (với điểm M-ĐƠN HÌNH A qua M + đó) với Đ Ỉ N H : P ( Ị , P I , , P M Ta chứng minh rằng, m-đơn hình tập lồi bé chứa đỉnh đơn hình Rõ ràng đỉnh p , đỉnh P Ị , , P M thuộc đơn hình (cho Aj = \J khác ta PỊ) Lấy hai điểm Nếu điểm X M, N thuộc đơn hình, tức M N thuộc đoạn thẳng Õx = tÕM + (1 - t)ÕN hay OX — [ T X Ị + (1 — í)/ij]OPj i—Q ^ [ X I + (! - *)/'•*] = \ Ị + ( Ì - T ) ^ Ị I Ị I =0 ¿=0 ¿=0 — T \ — T = T X Ị + (1 — T ) N I > Àj > 0, H I > 0,1 — T > Rõ ràng T Vậy điểm đỉnh X S(P0 thuộc đơn hình Tóm lại đơn hình Ì P\,, P ) tập lồi chứa M PI Bây ta chứng minh đơn hình Thật S' tập lồi chứa P(), P], , M S' chứa m- S(POI PI, , P ) M s chứa đơn hình S ( P q , P ị , , P k ) , 0< k < S (P Q P ị m S' ).Bằng quy nạpgiả sử chứa ( k + M e S(PQ, PỊ, tức k +1 fc+l O M = ^ ^ I O I » với r Aj = 12=0 2=0 , Pk+i) P S ' chứa Ả;-đơn hình l)-đơnhình S ( p , Pk+i)- Giả sử P P \, , Pk, Do A đoạn thẳng nối X , X + D , X + 2d, nằm điểm A Vì vậy, X + Xd G A (VA >0) =^íle + Ẩ Suy {d e X : A + d c A) c 0+A (2.5) Từ (2.4), (2.5) ta suy (2.3) ii) Chứng minh + Ấ Ĩ 1ÓĨ lồi Bởi phép nhân với số dương không làm thay đổi phương, Lấy D Ị , ri € + A, < A (1 - A)di+ X d < (1 - A)(di + + A = c (1 Suy (1 — Do đó, Vậy + + X)DỊ + XD2 A A Do A X)A + XA = Ả lồi nón lồi Ví dụ 2.3 X = K a) c = {{x,y) : X > 0,y > -} X {(X,Y) : X > 0,Y + Khi Ci = b) Khi c) c2 = {{x,y) : y > X2} C + — {{x,y) :X c3 = {(x,y) Kh i đ ó + C = d) > ()} c4 = : X2 + y2 < = 0,y > 0} 1} {(x,y) : X — y — 0} — {( x , y ) : X > , y Khi dó + Ơ4 = > {( 0, 0) } 0} u {(0,0)} nón lồi nên ta có A) + \{d2 G + v4 0+ A + A) 2.8 Phần tương đối P H Ầ N T R O N G T Ư Ơ N G Đ Ố I ( R E L AT I V E Định nghĩa 2.19 INTERIOR) tập A c K n phần A AF F A ký hiệu RIA Các điểm thuộc tập RIA gọi ĐIỂM TRONG TƯƠNG ĐỐI A Nhận xét 2.9 i n t A — { x € M” : 3e > 0, X + e B r i A — { x € a f f A : e > 0, affA c B c A}\ (x Ẩ} Định nghĩa2.20 Tập A \ RIA gọi mở tương đối (relatively open), A eB) n hình cầu đơn vị đóng R n A Tập + Định lý 2.13 Già sử A gọilà tập lồi R n ;.x (1 — X)X + XY BIÊN TƯƠNG RIA,Y G RIA G A ĐỐI riA — A Khi đó, (0 < A < 1) Chứng minh Giả sử —1 T : A tập lồi TO-chiều R'\ Theo Hệ 2.2, tồn ánh xạ affine K n —> M n cho L {x [ x I ) Không gian L ) x m , X m+1 T 1X u ' ) A Lấy À G [0,1), ta tồn (1 — B AFFA x m+1 lên không gian COI ••• 0} xn L • đồng với R m Vì vậy, để chứng minh định cần chứng minh cho trường hợp ánh xạ n-chiều Khi đó, € > RIA = lý ta INTA cho X)X + XY + EB c A, hình cầu đơn vị đóng M'\ Thật vậy, Y G A, với €> 0, Y E A + EB Do X INTA, e > đủ nhỏ, ta có G với (1 — \)X +A Y + E B — — EB) (1 — X)[x + € ( + A )( l B] + XA = A Giả sử A tập lồi IR" Khi đó, A + A(Ẩ + A) c (1 - A ) A + Định lý 2.14 Giả sử X)X EB + Hệ 2.5 c(1 — RIA lồi tập lồi K n Khi đó, aff (Ã) = af f A Chứng minh Hiển nhiên Mặt khác, AFF(A) D AFFA A c (iff A = aff A Vì vậy, a f f ( A ) = a f f A Định lý 2.15 Giả sử A tập lồi, khác rỗng IR'\ Khi đó, RI A Ỷ $ a f f {ri A) = a f f A Hệ 2.6 Giả sử A tập lồi IR" Khi đó, a f f (ri A ) = a f f (A) Hệ 2.7 Giả sử A tập lồi M” Khi đó, dim A — dim (ri A) — dim A Nói riêng, A Ỷ R I A Ỷ 0Định lý 2.16 Giả sử A tập lồi K n Khi dó, riA = A\ riA = riA (2.6) Chứng minh Giả sử € A DIMA Khi đó, = M < N AFFA Không tính chất tổng quát ta xem không gian ta đồng Áp dụng Mệnh đề 1.5 cho không gian ta nhận (2.6) AFFA O với Hệ 2.8 Giả sử AỊ, A2 tập lồi E" Khi đó, A\ = Ả ‘2 rỉ Ai = riA2- 2.9 Tập lồi đa diện Một tập lồi đa diện R” tập biểu diễn giao hữu hạn Iiửa không gian đóng, nghĩa tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình có dạng < Một tập lồi Z } Q K ŨỊ,X >< BỊ, I = 1, , m; U Ị € M"; òj € M gọi hữu hạn sinh tồn hệ hữu hạn vectơ {Z , L , cho K Q = ^T J Z J : T J j=i {(XỊ,X2) Ví dụ 2.4 a) Tập ẽ M2 : 2X\ + > với X2 — < 0; —X\ J = 1, , ợ| + 3x2 — < 0} tập lồi đa diện R b) Tập nghiệm hệ phương trình: X\ < < x2 + — x3 — min P Mệnh đề 3.1 Dổ df(x) Chứng minh X € X Iighiệm toán (P|), điều kiện cần đủ € X nghiệm (PỊ) ^ /(x) < F ( X )(Vx € X ) ■ =< 0,x — X >< f(x ) — f(x ) (Vx G X) «=> G d f ( x ) Bài toán với ràng buộc đẳng thức Giả sử / hàm lồi X X, C đa tạp tuyến tính song song với không gian M Xét toán (P ) {f(x) : X c} G C, X Định lý 3.1 a) Giả sử / liên tục điểm nghiệm toán (P ) Khi đó, df(x)nM±ỹ£ự) (3.1) b) Giả sử (3.1) X € c Khi đó, X Iighiệm toán (Pa)Định lý 3.2 Cho X không gian Banach, X * G X * , C T I G R , ( i = 1, , m ) c = {x £ X Giả sử / hàm lồi hàm / X :< X ị i X >= 0Ci, i = l , , m } liên tục điểm M Khi đó, X đạt cực tiểu c tồn Aị Ễ M ( i — 1, , ra) cho À1 x \ + • • • + Àmx * m € d f ( x ) 3.2 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức Giả sử X, X tập không gian lồi địa phương Hausdorff, A c X /o, , F M Xét toán /oO) ( 3) P FỊ(X) X e A < 0, I = 1, , M (1) (2) Hàm số sau gọi hàm Lagrange toán L{x\ A(), • • • 1\ m m ) ^ ^ Ĩ=1 ( P 3) hàm hữu hạn Định lý 3.3 (Định lý Kuhn - Tucker) Giả sử hàm / o , , fm tập A lồi, X điểm chấp nhận toán (P 3) (tức thỏa mãn (1),(2)) Khi đó, a) Nếu X nghiệm toán ( P 3), tồn đồng thời cho: L(X; A o , , A m ) Xi > ( Ỉ = = 0,1, , ra) không L(X\ A o , , A 7n ); (3.2) xeA Kfi{x) = {i = , ,m) (3.3) Hơn nữa, điều kiện Slater sau thỏa mãn 3xfì e A : fị(xo) < (?; = 1, , ra), b) Nếu A > xem A = (3.2), (3.3) thỏa mãn với A() = Chú ý Diều kiện (3.2) gọi điều kiện Kuhn X nghiệm toán - Tucker; A(>, , A m (PS) gọi NHÃN TỬ LAGRANGE 3.3 Bài toán quy hoạch toàn phương Xét toán quy hoạch toàn phương có dạng (Q P ) { _ Ịmin f(x) — —xTQx +qTX X € c = { x € M " : g ( x ) — -x QịX + Qj X + bị < = , , m} Q , Q I , ■ ■ , Q M ma trận thực đối xứng; X T ma trận chuyển đơn vị X; ợ, Ợi, , Q M T E R"; B , B U M T E R Sự tồn nghiệm Năm 1956, Frank Wolfe chứng minh tồn nghiệm toán cho trường hợp Q 1, , Q M ma trận không Định lý 3.4 (Định lý Frank - Wolfe) Xót toán í mỉn ĩ(x) Mn : = —xTQx QiTx + bị < + qTx y X e Ci 0, i = 1, , m} = {2 € (QP) Nếu = inf{f(x) X £ c i} : ('QPi) số thực hữu hạn toán có nghiệm 1999, Năm Q1 rộng Luo Zhang mỏ nửa xác định dương (tức X T Q\X Định lý Frank - Wolfe cho trường hợp > O.Vx G R n ) ọ , • • • :Qm ma trận không Định lý 3.5 (Dịnh lý Frank - Wolfe mở rộng) Xét toán f(x) = -xTQx + qTx ( Q P ) < * € c, - {* € R* : + ,/* + c, < 0; C ị < 0, = , , m } T Qị X + Q\ Nếu = nửa xác định dương INF{F(X) : X € C 2} số thực hữu hạn toán ( Q P 2) có nghiệm Điều kiện cực trị Năm 1971, Majthay đưa điều kiện cần đủ cho nghiệm địa phương toán ( Q P 1) năm 1980 Contesse hoàn thành chứng minh chi tiết cho định lý Định lý 3.6 (Đinh lý Majthay - Contesse) Diều kiện cần đủ cho X nghiệm địa phương toán (QP 1) tồn cho: i) Hệ ĩĩl Ai ( Q i ' x + Ợj) = i= Q I T X + C Ị < 0, I = , , A j > , ¿ = l , , m k Aj(ợj T x Qx + q + + Ci) = 0, I = 1, , m m thỏa mãn ii) Nếu V G R n \ thỏa mãn Ợ ; T U = 0,Vz € /i g.¿ T 'f; < o, Vĩ € / , với /i = {* : qi x - bị = 0; \ị T h =ụ ■ QiTx - bị th ì x Qv > T = 0; Xị > 0}; = 0} A Mới đây, [1] [6] tác giả mở rộng kết Định lv Majthay Contess cho toán ( Q P ) chứng minh chi tiết cho định lý Định lý 3.7 ([1], [6]) Xét toán ( Q P ) với I(X), QI I(X) = {I : GI(X) hàm tựa lồi tập lồi D D = 0} C ĩgC Giả sử với Ỉ € Nếu hai điều kiện thỏa mãn: (Qx i) + q)TV Q ị X +Q i > T u < ii) X vTQv > — {u ]R n :< 0, Vi e 0, Vv nghiệm địa phương ( Vv e T l ( x ) > 0, Tị € Q P ) KẾT (ãf ) n < Qx + q >x LUẬN Trong khóa luận, em trình bày vấn đề liên quan đến tập lồi, số tập lồi đặc biệt ứng dụng tính lồi vào toán cực trị Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong quý thầy cô bạn góp ý đe khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! [...]... M là tập hợp € M2 :— V S < b) M € 0; = XỊ — 2 < 0} Nhận xét 2.11 a) Nếu các Aị Iiửa xác định dương, Ỉ = 1, , m thì M là tập xác định M là tập lồi Nếu các Aị = 0 , 1 = 1, , M thì M trở thành tập lồi đa diện Do dó, tập lồi đa diện là trường hợp đặc biệt của tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi bởi các hàm toàn phương lồi, do đó Chương 3 ỨNG DỤNG TÍNH Lồi VÀO BÀI TOÁN cực TRỊ 3.1 Bài toán lồi với... 0, Tị € Q P ) KẾT (ãf ) n < Qx + q >x LUẬN Trong khóa luận, em trình bày các vấn đề liên quan đến tập lồi, một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng tính lồi vào bài toán cực trị Sau quá trình nghiên cứu, em đã tìm hiểu thêm được nhiều kiến thức mới, đúc rút cho mình được một số kiến thức cơ bản về vấn đề đã nghiên cứu Em cũng hy vọng những điều em trình bày trong khóa luận này có thể giúp cho việc nghiên... là nón lồi Iihỏ nhất chứa A Chứng minh K Ta có là nón lồi có đỉnh tại o, bởi vì K D A K đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng Hơn nữa, mọi nón lồi chứa A thì phải chứa Định nghĩa 2.14 Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại một nón lồi và được gọi là O) K chứa tập A và điềm NÓN LỒI SINH BỞI TẬP A, O là ký hiệu là KA Định nghĩa 2.15 Giao của tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập là /;ao... là tập lồi trong K n Khi dó, riA = A\ riA = riA (2.6) Chứng minh Giả sử € A DIMA Khi đó, = M < N AFFA là Không mất tính chất tổng quát ta có thể xem như không gian con và ta có thể đồng nhất Áp dụng Mệnh đề 1.5 cho không gian ta nhận được (2.6) AFFA O với Hệ quả 2.8 Giả sử AỊ, A2 là các tập lồi trong E" Khi đó, A\ = Ả ‘2 rỉ Ai = riA2- 2.9 Tập lồi đa diện Một tập lồi đa diện trong R” là một tập. .. ra từ Định nghĩa 2.13 Ví dụ 2.2 = EN , B A X là một nón lồi bởi vì K E (A E Kn K = { x € R n :< x , b a > < = fì K A , trong dó a€/ K = {x € M" :< A /) Khi đó, 0, Va € X,B 1} >< 0} A là nón lồi Định lý 2.8 Tập K C X là một nón lồi có đỉnh tại X + y € K, \x G K, Vx, O khi và chỉ khi y £ K,v A > 0 Chứng minh i) Giả sử K là Ĩ 1ÓĨ 1 lồi Khi đó, do K là tập lồi, ta có 1 z= ~{x + y) e K Do K là nón có đĩnh... không gian đóng, nghĩa là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình có dạng < Một tập lồi Z } Q K ŨỊ,X >< BỊ, I = 1, , m; U Ị € M"; òj € M được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một hệ hữu hạn các vectơ {Z , L , sao cho K Q = ^T J Z J : T J j=i {(XỊ,X2) Ví dụ 2.4 a) Tập ẽ M2 : 2X\ + > 0 với X2 — 1 < 0; mọi —X\ J = 1, , ợ| + 3x2 — 3 < 0} là một tập lồi đa diện trong R 2 b) Tập nghiệm của hệ phương... đoạn thẳng MN 0< Hi < khi và chỉ khi p¡$ = tĩụì + {I - t)P¡$ hay PoX = {tXị + PqPì- (1 — t ) ß i ) i =0 1 M sao cho P0M = Ta có 0 < t.Xị < t (vì t, Xị > 0 và t, Aị < 1) và 0 < (1 — T)HI < 1— T (vì 0 < 1 — T, HI < 1) T\Ị + Vậy 0 < thuộc (1 — T)FII