www.VNMATH.com I) C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 1) Kh¸i niƯm: B A C O D Mét tø gi¸c cã ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn ®ỵc gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn (Gäi t¾t lµ tø gi¸c nét tiÕp) 2) §Þnh lÝ - Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tỉng sè ®o hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 -NÕu mét tø gi¸c cã tỉng sè ®o hai gãc ®èi diƯn b»ng 180 th× tø gi¸c ®ã néi tiÕp ®êng trßn 3) DÊu hiƯu nhËn biÕt (c¸c c¸ch chøng minh) tø gi¸c néi tiÕp - Tø gi¸c cã tỉng sè hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc cđa ®Ønh ®èi diƯn - Tø gi¸c cã bãn ®Ønh c¸ch ®Ịu mét ®iĨm(mµ ta cã thĨ x¸c ®Þnh ®ỵc) §iĨm ®ã lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kỊ cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc α II) Bµi tËp Bµi tËp Cho ∆ ABC vu«ng ë A Trªn AC lÊy diĨm M vµ vÏ ®êng trßn ®êng kÝnh MC KỴ BM c¾t ®êng trßn t¹i D §êng th¼ng DA c¾t §êng trßn t¹i S Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp · · = ACD b) ABD · c) CA lµ ph©n gi¸c cđa SCB Bµi tËp Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AD Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t t¹i E VÏ EF vu«ng gãc víi AD Chøng minh: a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp b) CA lµ ph©n gi¸c cđa ∠BCF c) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa DE Chøng minh tø gi¸c BCMF néi tiÕp Bµi tËp Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t t¹i E H×nh chiÕu vu«ng gãc cđa E trªn AD lµ F §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai lµ M Giao ®iĨm cđa BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b -1- www.VNMATH.com b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BFM c) BE DN = EN BD Bµi tËp Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng th¼ng CD , AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i c¸c ®iĨm thø hai F , G Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn c) AC song song víi FG d) C¸c ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy Bµi tËp Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( ∠A = 90 ; AB > AC) vµ mét ®iĨm M n»m trªn ®o¹n AC (M kh«ng trïng víi A vµ C) Gäi N vµ D lÇn lỵt lµ giao ®iĨm thø hai cđa BC vµ MB víi ®¬ng trßn ®êng kÝnh MC; gäi S lµ giao ®iĨm thø hai gi÷a AD víi ®êng trßn ®êng kÝnh MC; T lµ giao ®iĨm cđa MN vµ AB Chøng minh: a Bèn ®iĨm A, M, N vµ B cïng thc mét ®êng trßn b CM lµ ph©n gi¸c cđa gãc ∠BCS TA TC = c TD TB Bµi tËp Cho ®êng trßn (O) vµ ®iĨm A n»m ngoµi ®êng trßn Qua A dùng hai tiÕp tun AM vµ AN víi ®êng trßn (M, N lµ c¸c tiÕp ®iĨm) vµ mét c¸t tun bÊt k× c¾t ®êng trßn t¹i P, Q Gäi L lµ trung ®iĨm cđa PQ a/ Chøng minh ®iĨm: O; L; M; A; N cïng thc mét ®êng trßn · b/ Chøng minh LA lµ ph©n gi¸c cđa MLN c/ Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MN vµ LA Chøng minh MA2 = AI.AL d/ Gäi K lµ giao ®iĨm cđa ML víi (O) Chøng minh r»ng KN // AQ e/ Chøng minh ∆KLN c©n Bµi tËp Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H khơng trùng với điểm A AH CD; AB//CD) néi tiÕp ®êng trßn (O) TiÕp tun víi ®êng trßn (O) t¹i A vµ D c¾t t¹i E Gäi I lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo AC vµ BD a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp b/ Chøng minh AB//EI c/ §êng th¼ng EI c¾t c¹nh bªn AD vµ BC cđa h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S Chøng minh: -4- www.VNMATH.com * I lµ trung ®iĨm cđa RS 1 + = * AB CD RS Bµi tËp 24 Cho ®êng trßn (O; R) cã hai ®êng kÝnh AOB vµ COD vu«ng gãc víi LÊy ®iĨm E bÊt k× trªn OA, nèi CE c¾t ®êng trßn t¹i F Qua F dùng tiÕp tun Fx víi ®]êng trßn, qua E dùng Ey vu«ng gãc víi OA Gäi I lµ giao ®iĨm cđa Fx vµ Ey a/ Chøng minh I; E; O; F cïng n»m trªn mét ®êng trßn b/ Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g×? v× sao? c/ Khi E chun ®éng trªn AB th× I chun ®éng trªn ®êng nµo? Bµi tËp 25 Cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BC b¸n kÝnh R vµ ®iĨm A trªn nưa ®êng trßn (A kh¸c B vµ C) Tõ A h¹ AH vu«ng gãc víi BC Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A vÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F a Tø gi¸c AFHE lµ h×nh g×? T¹i sao? b Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp c H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm A cho tø gi¸c AFHE cã diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt ®ã theo R Bµi tËp 26 Cho ®iĨm M, N, P th¼ng hµng theo thø tù ®ã Mét ®êng trßn (O) thay ®ỉi ®i qua hai ®iĨm M, N Tõ P kỴ c¸c tiÕp tun PT, PT’ víi ®êng trßn (O) a) Chøng minh: PT2 = PM.PN Tõ ®ã suy (O) thay ®ỉi vÉn qua M, N th× T, T’ thc mét ®êng trßn cè ®Þnh b) Gäi giao ®iĨm cđa TT’ víi PO, PM lµ I vµ J K lµ trung ®iĨm cđa MN Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp c) Chøng minh r»ng: Khi ®êng trßn (O) thay ®ỉi vÉn ®i qua M, N th× TT’ lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh d) Cho MN = NP = a T×m vÞ trÝ cđa t©m O ®Ĩ gãc ∠ TPT’ = 600 Bµi tËp 27 Cho ∆ABC vu«ng ë A Trªn AC lÊy ®iĨm M (M≠A vµ C) VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh MC Gäi T lµ giao ®iĨm thø hai cđa c¹nh BC víi ®êng trßn Nèi BM kÐo dµi c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai lµ D §êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iĨm thø hai S Chøng minh: a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp · b) Khi M chun ®éng trªn AC th× ADM cã sè ®o kh«ng ®ỉi c) AB//ST Bµi tËp 28 Cho hai ®êng trßn b»ng (O) vµ (O') c¾t t¹i A, B §êng vu«ng gãc víi AB kỴ qua B c¾t (O) vµ (O') lÇn lỵt t¹i c¸c ®iĨm C, D LÊy M trªn cung nhá BC cđa ®êng trßn (O) Gäi giao ®iĨm thø hai cđa ®êng th¼ng MB víi ®êng trßn (O') lµ N vµ giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng CM, DN lµ P a Tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c g×, t¹i sao? b Chøng minh ACPD néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn c Gäi giao ®iĨm thø hai cđa AP víi ®êng trßn (O') lµ Q, chøng minh r»ng BQ // CP Bµi tËp 29 Cho ∆ ABC vng A (AB < AC) H nằm A C Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng · c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phân giác KCB Bµi tËp 30 Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iĨm I n»m gi÷a A vµ O cho AI = 2/3 AO KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi Ac c¾t MN t¹i E Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp -5- www.VNMATH.com Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM Chøng minh AM2 = AE.AC Chøng minh AE AC - AI.IB = AI2 H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa C cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi tËp 31 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp b) Chứng minh KH ⊥ AB c) Cho BC = R Tính PK Bµi tËp 32 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iĨm cđa IK Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh AC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bµi tËp 33 Cho ®iĨm A bªn ngoµi ®êng trßn (O ; R) Tõ A vÏ tiÕp tun AB, AC vµ c¸t tun ADE ®Õn ®êng trßn (O) Gäi H lµ trung ®iĨm cđa DE a) Chøng minh n¨m ®iĨm : A, B, H, O, C cïng n»m trªn mét ®êng trßn · b) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cđa BHC c) DE c¾t BC t¹i I Chøng minh : AB = AI.AH d) Cho AB=R vµ OH= R TÝnh HI theo R Bµi tËp 34 Cho nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M bÊt k× trªn nưa ®êng trßn ( M kh¸c A,B) Trªn nưa mỈt ph¼ng bê AB chøa nưa ®êng trßn kĨ tiÕp tun Ax Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cđa gãc IAM c¾t nưa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn Bµi tËp 35 Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B khơng vng góc với AB, cắt hai đường tròn E F (E  (O 1); F  (O2)) Chứng minh AE = AF Vẽ cát tuyến CBD vng góc với AB ( C (O 1); D  (O2)) Gọi P giao điểm CE DF Chứng minh rằng: a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường tròn b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B I P di chuyển đường nào? Bµi tËp 36 · Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh BC, CD lÇn lỵt lÊy ®iĨm E, F cho EAF = 45 BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù t¹i G, H Chøng minh: a) ADFG, GHFE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b) ∆CGH vµ tø gi¸c GHFE cã diƯn tÝch b»ng -6- www.VNMATH.com Bµi tËp 37 Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, hai ®iĨm C vµ D thc ®êng trßn, B lµ trung ®iĨm cđa cung nhá CD KỴ ®êng kÝnh BA; trªn tia ®ãi cđa tia AB lÊy ®iĨm S, nèi S víi C c¾t (O) t¹i M; MD c¾t AB t¹i K; MB c¾t AC t¹i H a Chøng minh: ∠BMD = ∠BAC , tõ ®ã suy tø gi¸c AMHK néi tiÕp b Chøng minh: HK // CD c Chøng minh: OK.OS = R2 Bµi tËp 38 Cho ®êng trßn (O), mét ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, mét ®iĨm I n»m gi÷a A vµ O cho AI = AO KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN, cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi AC c¾t MN t¹i E a Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn b Chøng minh V AME ®ång d¹ng víi V ACM vµ AM2 = AE.AC c Chøng minh AE.AC − AI.IB = AI2 d H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm C cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi tËp 39 Cho ba ®iĨm A, B, C trªn mét ®êng th¼ng theo thø tù Êy vµ ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi AC t¹i A VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh BC vµ trªn ®ã lÊy ®iĨm M bÊt k× Tia CM c¾t ®êng th¼ng d t¹i D; Tia AM c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai N; Tia DB c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai P a) Chøng minh: Tø gi¸c ABMD néi tiÕp ®ỵc b) Chøng minh: TÝch CM CD kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ ®iĨm M c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chøng minh träng t©m G cđa tam gi¸c MAB ch¹y trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh Bµi tËp 40 Cho ®êng trßn (O) vµ ®iĨm A n»m ngoµi ®êng trßn C¸c tiÕp tun víi ®êng trßn kỴ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn ë B vµ C Gäi M lµ ®iĨm t ý trªn ®êng trßn (M kh¸c B vµ C) Gäi H; K; I lÇn lỵt lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kỴ tõ M xng BC; CA; AB a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp · · H = MK b/ Chøng minh: MHI c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK Bµi tËp 41 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A M vµ Q lµ hai ®iĨm trªn (d) cho M≠A, M≠Q, Q≠A C¸c ®êng th¼ng BM vµ BQ lÇn lỵt c¾t ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iĨm thø hai lµ N vµ P Chøng minh: TÝch BN.BM kh«ng ®ỉi Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp BÊt ®¼ng thøc: BN + BP + BM + BQ > 8R Bµi tËp 42 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn t©m O vµ P lµ trung ®iĨm cđa cung AB kh«ng chøa C vµ D Hai d©y PC vµ PD lÇn lỵt c¾t d©y AB t¹i E vµ F C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t t¹i K Chøng minh r»ng: a Gãc CID b»ng gãc CKD b Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®ỵc mét dêng trßn c IK // AB Bµi tËp 43 -7- www.VNMATH.com Trªn ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB, lÊy hai ®iĨm M, E theo thø tù A, M, E, B (hai ®iĨm M, E kh¸c hai ®iĨm A, B) AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t BM t¹i D a Chøng minh MCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB b Gäi H lµ giao ®iĨm cđa CD vµ AB Chøng minh BE.BC = BH.BA c Chøng minh c¸c tiÕp tun t¹i M vµ E cđa ®êng trßn (O) c¾t t¹i mét ®iĨm n»m trªn ®êng th¼ng CD 0 d Cho biÕt ∠BAM = 45 vµ ∠BAE = 30 TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC theo R Bµi tËp 44 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Mét c¸t tun MN quay xung quanh trung ®iĨm H cđa OB Giäi I lµ trung ®iĨm cđa MN Tõ A kỴ Ax vu«ng gãc víi MN t¹i K Gäi C lµ giao ®iĨm cđa Ax víi tia BI a/ Chøng minh r»ng: BN// MC b/ Chøng minh r»ng: Tø gi¸c OIKC lµ h×nh ch÷ nhËt c/ TiÕp tun Bt víi ®êng trßn (O) c¾t tia AM ë E, c¾t tia Ax ë F Gäi D lµ giao ®iĨm thø hai cđa tia Ax víi (O) Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF néi tiÕp Bµi tËp 45 Cho ∆ ABC c©n (AB = AC) vµ gãc A nhá h¬n 60 0; trªn tia ®èi cđa tia AC lÊy ®iĨm D cho AD = AC a) Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c g×? t¹i sao? b) KÐo dµi ®êng cao CH cđa ∆ ABC c¾t BD t¹i E VÏ ®êng trßn t©m E tiÕp xóc víi CD t¹i F Qua C vÏ tiÕp tun CG cđa ®êng trßn nµy Chøng minh: Bèn ®iĨm B, E, C, G thc mét ®êng trßn c) C¸c ®êng th¼ng AB vµ CG c¾t t¹i M, tø gi¸c AFGM lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chøng minh: ∆ MBG c©n Bµi tËp 46 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R, ®êng th¼ng d kh«ng qua O vµ c¾t ®êng trßn t¹i hai ®iĨm A, B Tõ mét ®iĨm C trªn d (C n»m ngoµi ®êng trßn), kỴ hai tiÕp tun CM, CN víi ®êng trßn (M, N thc (O)) Gäi H lµ trung ®iĨm cđa AB, ®êng th¼ng OH c¾t tia CN t¹i K a Chøng minh ®iĨm C, O, H, N cïng n»m trªn mét ®êng trßn b Chøng minh KN.KC = KH.KO c §o¹n th¼ng CO c¾t ®êng trßn (O) t¹i I, chøng minh I c¸ch ®Ịu CM, CN vµ MN d Mét ®êng th¼ng ®i qua O vµ song song víi MN c¾t c¸c tia CM, CN lÇn lỵt t¹i E vµ F X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa C trªn d cho diƯn tÝch tam gi¸c CEF lµ nhá nhÊt Bµi tËp 47 Cho BC lµ d©y cung cè ®Þnh cđa ®êng trßn (O; R) (0 < BC < 2R) A lµ mét ®iĨm di ®éng trªn cung lín BC cho ∆ ABC nhän C¸c ®êng cao AD; BE; CF c¾t t¹i H (D ∈ BC; E ∈ CA; F ∈ AB) Chøng minh: Tø gi¸c BCEF néi tiÕp Tõ ®ã suy AE.AC = AF.AB Gäi A' lµ trung ®iĨm cđa BC Chøng minh r»ng: AH = 2OA' KỴ ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A §Ỉt S lµ diƯn tÝch ∆ ABC, 2p lµ chu vi ∆ DEF Chøng minh: a d // EF b S = p.R Bµi tËp 48 Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín AD vµ ®¸y nhá BC néi tiÕp ®êng trßn t©m O; AB vµ CD kÐo dµi c¾t t¹i I C¸c tiÕp tun cđa ®êng trßn t©m O t¹i B vµ D c¾t t¹i ®iĨm K a Chøng minh c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b Chøng minh IK song song víi BC c H×nh thang ABCD ph¶i tho¶ m·n ®iỊu kiƯn g× ®Ĩ tø gi¸c AIKD lµ h×nh b×nh hµnh Bµi tËp 49 Cho ®êng trßn (O;R) vµ mét ®iĨm A n»m trªn ®êng trßn Mét gãc xAy = 900 quay quanh A vµ lu«n -8- www.VNMATH.com tho¶ m·n Ax, Ay c¾t ®êng trßn (O) Gäi c¸c giao ®iĨm thø hai cđa Ax, Ay víi (O) t¬ng øng lµ B, C §êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t AB, AC t¹i c¸c ®iĨm thø hai t¬ng øng lµ M, N Tia OM c¾t ®êng trßn t¹i P Gäi H lµ trùc t©m tam gi¸c AOP Chøng minh r»ng a) AMON lµ h×nh ch÷ nhËt b) MN//BC c) Tø gi¸c PHOB néi tiÕp d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa gãc xAy cho tam gi¸c AMN cã diƯn tÝch lín nhÊt Bµi tËp 50 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB ®iĨm I n»m gi÷a A vµ O (I kh¸c A vµ O) KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN (C kh¸c M, N kh¸c B) Nèi AC c¾t MN t¹i E Chøng minh: a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51 Cho nưa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB vµ hai ®iĨm C, D thc nưa ®êng trßn cho cung AC nhá h¬n 900 vµ gãc COD = 900 Gäi M lµ mét ®iĨm trªn nưa ®êng trßn cho C lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung AM C¸c d©y AM, BM c¾t OC, OD lÇn lỵt t¹i E, F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh: D lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung MB c) Mét ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi nưa ®êngtrßn t¹i M vµ c¾t c¸c tia OC, OD lÇn lỵt t¹i I, K Chøng minh c¸c tø gi¸c OBKM vµ OAIM néi tiÕp ®ỵc d) Gi¶ sư tia AM c¾t tia BD t¹i S H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa C vµ D cho ®iĨm M, O, B, K, S cïng thc mét ®êng trßn Bµi tËp 52 Cho ®êng trßn (O) vµ hai ®iĨm A, B ph©n biƯt thc (O) cho ®êng th¼ng AB kh«ng ®i qua t©m O Trªn tia ®èi cđa tia AB lÊy ®iĨm lÊy ®iĨm M kh¸c A, tõ M kỴ hai tiÕp tun ph©n biƯt ME, MF víi ®êng trßn (O) (E, F lµ c¸c tiÕp ®iĨm) Gäi H lµ trung ®iĨm cđa d©y cung AB C¸c ®iĨm K vµ I theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng EF víi c¸c ®êng th¼ng OM vµ OH a) Chøng minh ®iĨm M, O, H, E, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn b) Chøng minh: OH.OI = OK OM c) Chøng minh: IA, IB lµ c¸c tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) Bµi tËp 53 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n AB Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB CD c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BC t¹i I Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh BC Bµi tËp 54 Cho ®êng trßn (0) vµ mét ®iĨm A n»m ngoµi ®êng trßn Tõ A kỴ hai tiÕp tun AB, AC vµ c¸t tun AMN víi ®êng trßn (B, C, M, N thc ®êng trßn vµ AM < AN) Gäi E lµ trung ®iĨm cđa d©y MN, I lµ giao ®iĨm thø hai cđa ®êng th¼ng CE víi ®êng trßn a) Chøng minh: Bèn ®iĨm A, 0, E, C cïng thc mét ®êng trßn b) Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC c) Chøng minh: BI // MN d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸t tun AMN ®Ĩ diƯn tÝch tam gi¸c AIN lín nhÊt Bµi tËp 55 Cho ®êng trßn (O) cã t©m O, ®êng kÝnh AB Trªn tiÕp tun cđa ®êng trßn O t¹i A lÊy ®iĨm M (M kh«ng trïng víi A) Tõ M kỴ c¸t tun MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC n»m gi÷a tia MA vµ tia MO) -9- www.VNMATH.com vµ tiÕp tun thø hai MI (I lµ tiÕp ®iĨm) víi ®êng trßn (O) §êng th¼ng BC vµ BD c¾t ®êng th¼ng OM lÇn lỵt tai E vµ F Chøng minh: a Bèn ®iĨm A, M, I vµ O n»m trªn mét ®êng trßn b ∠IAB = ∠AMO c O lµ trung ®iĨm cđa FE Bµi tËp 56 Cho nưa ®êng trßn (0) ®êng kÝnh AB, M thc cung AB, C thc OA Trªn nưa mỈt ph¼ng bê AB cã chøa M kỴ tia Ax,By vu«ng gãc víi AB §êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P vµ Q AM c¾t CP t¹i E, BM c¾t CQ t¹i F a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ T×m vÞ trÝ cđa ®iĨm C ®Ĩ tø gi¸c AEFC lµ h×nh b×nh hµnh Bµi tËp 57 Cho ®êng trßn (O) vµ ®êng th¼ng xy ngoµi ®êng trßn §êng th¼ng ®i qua O vu«ng gãc víi xy t¹i H c¾t ®êng trßn (O) t¹i A vµ B M lµ ®iĨm trªn (O), ®êng th¼ng AM c¾t xy t¹i E, ®êng th¼ng BM c¾t xy t¹i F, tiÕp tun t¹i M c¾t xy t¹i I, ®êng th¼ng AF c¾t (O) t¹i K Nèi E víi K a) Chøng minh: IM = IF b) Chøng minh: ®iĨm E, M, K, F cïng thc mét ®êng trßn c) Chøng minh: IK lµ tiÕp tun cđa (O) d) T×m tËp hỵp t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ AMH M di ®éng trªn (O) Bµi tËp 58 Cho ®êng trßn (O; R) cã ®êng kÝnh AB; ®iĨm I n»m gi÷a hai ®iĨm A vµ O KỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i I, ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng trßn (O; R) t¹i M vµ N Gäi S lµ giao ®iĨm BM vµ AN Qua S kỴ ®êng th¼ng song song víi MN, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng AB vµ AM lÇn lỵt ë K vµ H H·y chøng minh: 1) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK=HA.HM 2) KM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O; R) 3) Ba ®iĨm H; N; B th¼ng hµng Bµi tËp 59 Cho ®êng trßn (0; R), mét d©y CD cã trung ®iĨm M Trªn tia ®èi cđa tia DC lÊy ®iĨm S, qua S kỴ c¸c tiÕp tun SA, SB víi ®êng trßn §êng th¼ng AB c¾t c¸c ®êng th¼ng SO ; OM t¹i P vµ Q a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC c) Chøng minh OM OQ kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ ®iĨm S d) Khi BC // SA Chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A e) X¸c ®Þnh vÞ ®iĨm S trªn tia ®èi cđa tia DC ®Ĩ C, O, B th¼ng hµng vµ BC // SA Bµi tËp 60 Cho nưa ®êng trßn (0) ®êng kÝnh AB, M lµ mét ®iĨm chÝnh gi÷a cung AB K thc cung BM ( K kh¸c M vµ B ) AK c¾t MO t¹i I a) Chøng minh : Tø gi¸c OIKB néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cđa M lªn AK Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp c) Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ? d) Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cđa gãc MOK e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm K ®Ĩ chu vi tam gi¸c OPK lín nhÊt (P lµ h×nh chiÕu cđa K lªn AB) Bµi tËp 61 Cho tam gi¸c ABC víi ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (0) Tia ph©n gi¸c cđa gãc B, gãc C c¾t ®êng trßn nµy thø tù t¹i D vµ E, hai tia ph©n gi¸c nµy c¾t t¹i F Gäi I, K theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC a) Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n b) Chøng minh tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK // AB c) Tø gi¸c AIFK lµ h×nh g× ? T¹i ? - 10 - www.VNMATH.com d) T×m ®iỊu kiƯn cđa tam gi¸c ABC ®Ĩ tø gi¸c AEFD lµ h×nh thoi ®ång thêi cã diƯn tÝch gÊp lÇn diƯn tÝch tø gi¸c AIFK Bµi tËp 62 Cho ®êng trßn (O), mét ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, trªn ®o¹n OA lÊy ®iĨm I cho OA AI = KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN ( C kh«ng trïng víi M, N, B) Nèi AC c¾t MN t¹i E a) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) Chøng minh : C¸c tam gi¸c AME, ACM ®ång d¹ng vµ AM2 = AE AC c) Chøng minh : AE AC - AI IB = AI2 d) H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm C cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi tËp 63 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O;R)(AB < CD) Gäi P lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá AB ; DP c¾t AB t¹i E vµ c¾t CB t¹i K ; CP c¾t AB t¹i F vµ c¾t DA t¹i I a) Chøng minh: Tø gi¸c CKID néi tiÕp ®ỵc b) Chøng minh: IK // AB c) Chøng minh: Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®ỵc d) Chøng minh: AP2 = PE PD = PF PC e) Chøng minh : AP lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AED f) Gäi R1 , R2 lµ c¸c b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c AED vµ BED.Chøng minh: R + R2 = 4R − PA Bµi tËp 54 Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh , cã ®é dµi c¹nh lµ a E lµ ®iĨm ®i chun trªn ®o¹n CD (E kh¸c D), ®êng th¼ng AE c¾t ®êng th¼ng BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®êng th¼ng CD t¹i K 1) Chøng minh ∆ABF = ∆ADK tõ ®ã suy ∆AFK vu«ng c©n 2) Gäi I lµ trung ®iĨm cđa FK, Chøng minh I lµ t©m ®êng trßn ®i qua A , C, F , K 3) TÝnh sè ®o gãc AIF, suy ®iĨm A, B, F, I cïng n»m trªn mét ®êng trßn Bµi tËp 65 Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox, Oy lÇn lỵt lÊy hai ®iĨm A vµ B cho OA = OB M lµ mét ®iĨm bÊt kú trªn AB Dùng ®êng trßn t©m O1 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Ox t¹i A, ®êng trßn t©m O2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Oy t¹i B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iĨm thø hai N 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cđa gãc ANB 2) Chøng minh M n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh M thay ®ỉi 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ kho¶ng c¸ch O1O2 lµ ng¾n nhÊt Bµi tËp 66 Cho điểm A bên ngồi đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn · b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB = AI.AH Bµi tËp 67 Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O §êng ph©n gi¸c cđa gãc A , B c¾t ®êng trßn t©m O t¹i D vµ E , gäi giao ®iĨm hai ®êng ph©n gi¸c lµ I , ®êng th¼ng DE c¾t CA, CB lÇn lỵt t¹i M , N 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? - 11 - www.VNMATH.com Bµi tËp 68 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số OK BC tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm HC > HE Tinh HC Bµi tËp 69 Cho (O) ®êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iĨm cđa OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C Gäi K lµ ®iĨm t ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iĨm cđa AK vµ MM a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) TÝnh AH.AK theo R X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm K ®Ĩ (KM+KN+KB) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã Bµi tËp 70 Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t t¹i A vµ B Mét ®êng th¼ng ®i qua A c¾t ®êng trßn (O1) , (O2) lÇn lỵt t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iĨm cđa AC vµ AD 1) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng 2) Gäi M lµ giao diĨm cđa CO1 vµ DO2 Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m trªn mét ®êng trßn 3) E lµ trung ®iĨm cđa IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A T×m tËp hỵp ®iĨm E 4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa d©y CD ®Ĩ d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt Bµi tËp 71 Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC c¾t t¹i D Mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC lÇn lỵt t¹i E vµ F 1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng 2) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®êng th¼ng qua A ®Ĩ EF cã ®é dµi lín nhÊt Bµi tËp 72 Cho ®êng trßn t©m O vµ c¸t tun CAB ( C ë ngoµi ®êng trßn ) Tõ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung lín AB kỴ ®êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®êng trßn t¹i E , EN c¾t ®êng th¼ng AB t¹i F 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bµi tËp 73 Cho ∆ ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) VÏ c¸c tiÕp tun víi (O) t¹i A vµ B, c¸c tiÕp tun nµy c¾t t¹i M Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa O trªn MC CMR a/ MAOH lµ tø gi¸c néi tiÕp b/ Tia HM lµ ph©n gi¸c cđa gãc AHB c/ Qua C kỴ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t MA, MB lÇn lỵt t¹i E, F Nèi EH c¾t AC t¹i P, HF c¾t BC t¹i Q Chøng minh r»ng QP // EF Bµi tËp 74 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng th¼ng CD , AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i c¸c ®iĨm thø hai F , G Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn c) AC song song víi FG d) C¸c ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy - 12 - www.VNMATH.com Bµi tËp 75 Cho ®êng trßn t©m O Tõ mét ®iĨm P ë ngoµi ®êng trßn kỴ hai tiÕp tun ph©n biƯt PA, PC (A, C lµ tiÕp ®iĨm) víi ®êng trßn (O) a Chøng minh PAOC lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn b Tia AO c¾t ®êng trßn (O) t¹i B; ®êng th¼ng qua P song song víi AB c¾t BC t¹i D Tø gi¸c AODP lµ h×nh g×? c Gäi I lµ giao ®iĨm cđa OC vµ PD; J lµ giao ®iĨm cđa PC vµ DO; K lµ trung ®iĨm cđa AD Chøng tá r»ng c¸c ®iĨm I, J, K th¼ng hµng Bµi tËp 76 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O M lµ mét ®iĨm trªn cung AC ( kh«ng chøa B ) kỴ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp · · = HMK 2) Chøng minh AMB 3) Chøng minh ∆ AMB ®ång d¹ng víi ∆ HMK Bµi tËp 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C B Các tia AC, AD cắt Bx E F a, Chứng minh ABE vng cân b, Chứng minh  ABF   BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®Ønh B vµ C ë trªn nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AD, t©m O Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t t¹i E Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa E xng AD vµ I lµ trung ®iĨm cđa DE Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c ABEH, DCEH néi tiÕp ®ỵc; b) E lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c BCH; c) N¨m ®iĨm B, C, I, O, H n»m trªn mét ®êng trßn Bµi tËp 79 Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t t¹i E H×nh chiÕu vu«ng gãc cđa E trªn AD lµ F §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai lµ M Giao ®iĨm cđa BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BFM c) BE DN = EN BD Bµi tËp 80 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC; ∠B > 45 ), mét ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi AB vµ AC lÇn lỵt t¹i B vµ C Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iĨm M (M kh«ng trïng víi B vµ C) råi h¹ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, CA, AB a ChØ c¸ch dùng ®êng trßn (O) b Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp c Gäi P lµ giao ®iĨm cđa MB vµ IK; Q lµ giao ®iĨm cđa MC vµ IH Chøng minh PQ ⊥ MI Bµi tËp 81 - 13 - www.VNMATH.com Cho ∆ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R H¹ c¸c ®êng cao AD, BE cđa tam gi¸c C¸c tia AD, BE lÇn lỵt c¾t (O) t¹i c¸c ®iĨm thø hai lµ M, N Chøng minh r»ng: Bèn ®iĨm A,E,D,B n»m trªn mét ®êng trßn T×m t©m I cđa ®êng trßn ®ã MN// DE Cho (O) vµ d©y AB cè ®Þnh, ®iĨm C di chun trªn cung lín AB Chøng minh r»ng ®é dµi b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆CDE kh«ng ®ỉi Bµi tËp 82 Cho ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn t©m O KỴ hai tiÕp tun AB , AC víi ®êng trßn (B , C lµ tiÕp ®iĨm ) M lµ ®iĨm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M ≠ B ; M ≠ C ) Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa M trªn c¸c ®êng th¼ng AB , AC , BC ; H lµ giao ®iĨm cđa MB vµ DF ; K lµ giao ®iĨm cđa MC vµ EF 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp b) MF vu«ng gãc víi HK 2) T×m vÞ trÝ cđa M trªn cung nhá BC ®Ĩ tÝch MD ME lín nhÊt Bµi tËp 83 Cho ∆ ABC vng cân A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M thuộc đoạn AD (M khơng trùng A, D) Gọi I, K hình chiếu vng góc M AB, AC H hình chiếu vng góc I đoạn DK a/Tứ giác AIMK hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc đường tròn Tìm tâm đường tròn c/ B, M, H thẳng hàng Bµi tËp 84 Cho tam gi¸c ABC (cã ba gãc nhän) Hai ®êng cao AD vµ BF gỈp t¹i H a/ Chøng minh tø gi¸c DHFC néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn X¸c ®Þnh t©m cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c b/ Gäi CK lµ ®êng cao cßn l¹i cđa tam gi¸c ABC; KD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c DHCF t¹i E Chøng minh r»ng gãcEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sư CH = AB TÝnh sè ®o cđa gãc ACB Bµi tËp 85 Cho tø gi¸c ABCD (AB // CD) néi tiÕp ®êng trßn (O) TiÕp tun t¹i A vµ tiÕp tun t¹i D cđa ®êng trßn (O) c¾t t¹i E Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD Chøng minh: ∠CAB = ∠AOD a b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB Bµi tËp 86 Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O D E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bµi tËp 87 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Trªn AC lÊy mét ®iĨm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD - 14 - www.VNMATH.com a Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®êng trßn b Chøng minh AD.CD = ED.BD c Tõ D kỴ DK vu«ng gãc víi BC Chøng minh r»ng AB, DK, EC ®ång quy t¹i mét ®iĨm vµ ∠DKE = ∠ABE Bµi tËp 88 Tõ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn(O), ta kỴ c¸c tiÕp tun AB, AC tíi ®êng trßn (O) (B, C lµ c¸c tiÕp ) Tõ M h¹ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK t®iĨm) M lµ mét ®iĨm trªn cung nhá BC, ( ¬ng øng xng BC, AC, AB Gäi P lµ giao cđa MB vµ IK; Q lµ giao cđa MC vµ IH a Chøng minh c¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn b Chøng minh r»ng tia ®èi cđa tia MI lµ ph©n gi¸c cđa gãc KMH c Chøng minh PQ // BC Bµi tËp 89 Cho ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R vµ hai ®êng kÝnh vu«ng gãc AB vµ CD Trªn AO lÊy ®iĨm E mµ OE = M ≠ B; M ≠ C AO, CE c¾t (O) ë M a TÝnh CE theo R b Chøng minh tø gi¸c MEOD néi tiÕp ®ù¬c X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c c Chøng minh hai tam gi¸c CEO vµ CDM ®ång d¹ng TÝnh ®é dµi ®êng cao MH cđa tam gi¸c CDM Bµi tËp 90 Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t t¹i A vµ B, tiÕp tun chung víi hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) vỊ phÝa nưa mỈt ph¼ng bê O 1O2 chøa ®iĨm B, cã tiÕp ®iĨm thø tù lµ E vµ F Qua A kỴ c¸t tun song song víi EF c¾t ®êng trßn (O1), (O2) thø tù t¹i C, D §êng th¼ng CE vµ ®êng th¼ng DF c¾t t¹i I a Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD b Chóng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp c Chøng minh ®êng th¼ng AB ®i qua trung ®iĨm cđa EF Bµi tËp 91 Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB (C ngồi đường tròn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F 4) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 5) Chứng minh góc CAE góc MEB 6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ cã AB > AC, ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A, vÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, vÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F a Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b Chøng minh AE.AB = AF.AC c Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi tËp 93 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BC §iĨm A thc ®o¹n OB (A kh«ng trïng víi O vµ B), vÏ ®êng trßn (O') ®êng kÝnh AC §êng trßn ®i qua trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng AB vµ vu«ng gãc víi AB c¾t ®êng trßn (O) t¹i D vµ E Gäi F lµ giao ®iĨm thø hai cđa CD víi ®êng trßn (O'), K lµ giao ®iĨm thø hai cđa CE víi ®êng trßn (O') Chøng minh: a Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi b AF // BD c Ba ®iĨm E, A, F th¼ng hµng d Bèn ®iĨm M, F, C vµ E cïng thc mét ®êng trßn e Ba ®êng th¼ng CM, DK, EF ®ång quy Bµi tËp 94 - 15 - www.VNMATH.com Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O') c¾t t¹i A vµ B §êng tiÕp tun víi (O') vÏ tõ A c¾t (O) t¹i ®iĨm M; ®êng tiÕp tun víi (O) vÏ tõ A c¾t (O') t¹i N §êng trßn t©m I ngo¹i tiÕp tam gi¸c MAN c¾t AB kÐo dµi t¹i P a Chøng minh r»ng tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh b Chøng minh r»ng ®iĨm O, B, I, O' n»m trªn mét ®êng trßn c Chøng minh r»ng: BP = BA Bµi tËp 95 Tõ ®iĨm P n»m ngoµi ®êng trßn (O), kỴ hai tiÕp tun PM vµ PN víi ®êng trßn (O) (M, N lµ tiÕp ®iĨm) §êng th¼ng ®i qua ®iĨm P c¾t ®êng trßn (O) t¹i hai ®iĨm E vµ F §êng th¼ng qua O song song víi PM c¾t PN t¹i Q Gäi H lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n EF Chøng minh r»ng: a Tø gi¸c PMON néi tiÕp ®êng trßn b C¸c ®iĨm P, N, O, H cïng n»m trªn mét ®êng trßn c Tam gi¸c PQO c©n d PM2 = PE.PF e ∠PHM = ∠PHN - 16 - [...]... www.VNMATH.com Bµi tËp 68 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC Tính tỉ số OK BC khi tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm ,... đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ở ngồi đường tròn) Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I, CM cắt đường tròn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F 4) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp 5) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB 6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ cã AB > AC, ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A, vÏ nưa... AMB ®ång d¹ng víi ∆ HMK Bµi tËp 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C và B Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F a, Chứng minh ABE vng cân b, Chứng minh  ABF   BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®Ønh... của AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O tại D và E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ tại I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bµi tËp 87 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Trªn AC lÊy mét ®iĨm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD - 14 - www.VNMATH.com a Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®êng trßn b Chøng minh AD.CD = ED.BD c Tõ... ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ kho¶ng c¸ch O1O2 lµ ng¾n nhÊt Bµi tËp 66 Cho điểm A bên ngồi đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H là trung điểm của DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn · b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC 2 c) DE cắt BC tại I Chứng minh : AB = AI.AH Bµi tËp 67 Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn... ABC vng cân tại A AD là trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M bất kì thuộc đoạn AD (M khơng trùng A, D) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên AB, AC H là hình chiếu vng góc của I trên đoạn DK a /Tứ giác AIMK là hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc một đường tròn Tìm tâm đường tròn đó c/ B, M, H thẳng hàng Bµi tËp 84 Cho tam gi¸c ABC (cã ba gãc nhän) Hai ®êng cao AD vµ BF gỈp nhau t¹i H a/ Chøng minh ... H) Chứng minh góc ABE góc EAH tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểm H để AB=... BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số OK BC tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm HC > HE Tinh HC Bµi... đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F 4) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 5) Chứng minh góc CAE góc MEB 6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92