ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TẠ THỊ HOÀN QUAN HỆ BIẾN PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2014 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ tôpô 1.2 Không gian metric 11 1.2.1 Không gian metric 11 1.2.2 Ánh xạ Lipschitz 11 1.3 Giải tích lồi 13 1.4 Ánh xạ đa trị 14 1.4.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 15 1.4.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 20 1.4.3 Một số định lí ánh xạ đa trị 21 1.5 Định lý Hoffman 22 Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân 23 2.1 Bài toán quan hệ biến phân tổng quát 23 2.1.1 Phát biểu toán 23 2.1.2 Sự tồn nghiệm 25 2.2 Bài toán quan hệ biến phân tuyến tính 36 2.2.1 Phát biểu toán 36 2.2.2 Sự tồn nghiệm 37 Cấu trúc tập nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính 53 3.1 Tính đóng tập nghiệm 53 3.2 Tính lồi tập nghiệm 55 3.3 Tính liên thông tập nghiệm 61 Tài liệu tham khảo 68 Mở đầu Bài toán quan hệ biến phân toán xuất phát từ việc tổng quát hóa số toán có ứng dụng thực tế toán tối ưu, toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, toán tựa cân bằng, Mô hình toán có ý nghĩa sâu sắc nghiên cứu toán học lý thuyết toán học ứng dụng Bài toán " Quan hệ biến phân" đề xuất lần vào năm 2008 Giáo sư Đinh Thế Lục [7] Môt dạng đặc biệt toán quan hệ biến phân toán quan hệ biến phân tuyến tính Dựa chủ yếu tài liệu [4], [6], [7], luận văn trình bày tính chất định tính toán quan hệ biến phân tuyến tính tồn nghiệm toán, cấu trúc tập nghiệm tìm hiểu tính chất tập nghiệm tính đóng, tính lồi, liên thông, Đây thông tin cần thiết cho việc nghiên cứu mặt định lượng toán, hay việc tìm nghiệm toán Luận văn trình bày theo chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày cách hệ thống kiến thức sở có dùng đến chương sau ánh xạ đa trị, tập lồi, Định lý Hoffman Chương Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Chương gồm hai phần Phần đầu phát biểu trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tổng quát Phần sau phát biểu trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính Chương Cấu trúc tập nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính Trong chương ta tìm hiểu số tính chất tập nghiêm toán quan hệ biến phân tuyến tính tính đóng, tính lồi, tính liên thông Bên cạnh ví dụ minh họa cho kết Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy dành nhiều thời gian, tâm huyết hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn Tạ Thị Hoàn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ tôpô Một số định nghĩa định lý trình bày dựa theo tài liệu [2] Định nghĩa 1.1.1 Quan hệ hai tập A tập hợp R tích Đềcác A × A Ta gọi đơn giản quan hệ hai Ký hiệu aRb R(a, b) (a, b) ∈ R Ta thường nói "a − R quan hệ b Định nghĩa 1.1.2 Cho tập V khác rỗng, K trường Các phần tử thuộc V gọi véctơ Trên V trang bị hai phép toán: phép cộng hai véctơ (ký hiệu "+") phép nhân vô hướng k ∈ K với véctơ (ký hiệu ".") Khi (V, +, ) gọi K - không gian véctơ 10 tính chất sau thỏa mãn: 1) Nếu x, y ∈ V x + y ∈ V 2) Với x, y, z ∈ V ta có x + (y + z) = (x + y) + z 3) Với x, y ∈ V ta có x + y = y + x 4) Tồn phần tử θ ∈ V, gọi phần tử trung hòa (hoặc véctơ không), cho x + θ = x với x ∈ V 5) Với x ∈ V, tồn phần tử y ∈ V, gọi phần tử đối xứng (phần tử đối) x, cho x + y = θ 6) Nếu a ∈ K, x ∈ V ax ∈ V 7) Với a ∈ K x, y ∈ V, ta có a(x + y) = ax + ay 8) Với a, b ∈ K x ∈ V, ta có (a + b)x = ax + bx 9) Với a, b ∈ K x ∈ V, ta có a(bx) = (ab)x 10) Với x ∈ V, ta có 1x = x1 = x, ký hiệu phần tử đợn vị phép nhân K Định nghĩa 1.1.3 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn tính chất sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ ; (iii) Hợp họ tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Tập X trang bị tôpô τ gọi không gian tôpô ký hiệu (X, τ ) Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, τ ) không gian tôpô • Tập G gọi tập mở X G ∈ τ • Tập F gọi tập đóng X X\F ∈ τ Định nghĩa 1.1.5 Cho hai tôpô τ1 τ2 ta nói τ1 yếu τ2 (hay τ2 mạnh τ1 ) τ1 ⊂ τ2 , nghĩa tập mở tôpô τ1 tập mở τ2 Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A tập X Tập U gọi lân cận tập A tồn tập mở nằm U chứa A Khi A = {x} ta nói U lân cận điểm x Định lý 1.1.1 Tập G không gian tôpô (X, τ ) mở G lân cận điểm thuộc Định lý 1.1.2 Nếu Vx họ tất lân cận điểm x thì: (i) x ∈ V với V ∈ Vx ; (ii) Nếu V1 , V2 ∈ Vx V1 ∩ V2 ∈ Vx ; (iii) Nếu V1 ∈ Vx V2 ⊃ V1 V2 ∈ Vx Định nghĩa 1.1.7 Cho Ux họ tất lân cận điểm x Một họ Vx ⊆ Ux gọi sở lân cận x với U ∈ Ux tồn V ∈ Vx cho V ⊆ U Chẳng hạn, họ tập mở chứa x sở lân cận x Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian tôpô (X, τ ), A tập X Đối với phần tử x ∈ X ta nói: (i) x điểm A tồn tập mở x nằm A (ii) x điểm A tồn lân cận x nằm X\A (iii) x điểm biên A x đồng thời không điểm không điểm A Hay nói cách khác x điểm biên A lân cận x giao khác rỗng (chứa điểm khác x) với A X\A Định nghĩa 1.1.9 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Ta gọi phần A hợp tất tập mở nằm A, o tập mở lớn nằm A Kí hiệu A intA Định nghĩa 1.1.10 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng nằm A, tập đóng nhỏ chứa A Kí hiệu A¯ clA Định nghĩa 1.1.11 Cho X , Y hai không gian tô pô Một ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận V f (x0) tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.1.12 Cho {(Xα , τα )}α∈I họ không gian tôpô Xét X = Xα = {x = (xα )α∈I , xα ∈ Xα } phép chiếu pα : x → xα α∈I Tô pô τ yếu X để tất ánh xạ pα liên tục gọi tôpô tích Khi (X, τ ) gọi không gian tôpô tích (hay không gian Tikhonov ) không gian tôpô {(Xα , τα )}α∈I Kí hiệu Xα α∈I Định nghĩa 1.1.13 Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) cặp điểm x khác y X tồn lân cận U x V y cho U ∩ V = ∅ Định nghĩa 1.1.14 Ta nói tôpô τ không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tôpô đó, tức nếu: x + y hàm liên tục hai biến x, y Cụ thể, với lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x′ ∈ Ux , y ′ ∈ Uy x′ + y ′ ∈ V αx hàm liên tục hai biến α, x Cụ thể, với lân cận V αx có số ε > lân cận U x cho |α − α′ | < ε, x′ ∈ U α′ x′ ∈ V Một không gian véctơ X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính) Định nghĩa 1.1.15 Một tập A gọi hấp thu với x ∈ A i) S tập đóng, ii) R tập đóng, iii) T (x) liên tục Theo Mệnh đề 3.3 [6], suy tập nghiệm (LVR) tập đóng Ví dụ 3.1.1 Xét toán (LVR) không gian R × R2 , với:       −3 −1 0 −1 −3 −2 −6 0 A0 = , d0 = , A1 = 0 , B1 = 1  , d1 =   ,       0 −1 −3  −1 0  , dr =    , Br =  Ar =        −1 −1 0 Khi A0 x ≤ d0 ⇔ −2 −6 x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Tức S = {x ∈ R, ≤ x ≤ 4} Ta có     −1 0 −1 y 0 A1x + B1 y ≤ d1 ⇔ 0 x + 1  y1 0 ⇔  −3 −3 ≤   ≤ y1 ≤ 4, ≤ y2 ≤ Tức T (x) = {(y1, y2) ∈ R2, ≤ y1 ≤ 4, ≤ y2 ≤ 4} Ta có     −1  −1 y1 0   1 Ar x + Br y ≤ dr ⇔ 0 x +   y2  −1 −1 0 54  −3  ≤ 4  0   x − y2 ≤ 0,    −y2 ≤ −3, y2 ≤ 4, ⇔    x − y1 ≤ 0, −y1 ≤ Tức R(x, y1 , y2 ) xác định sau:  x − y2 ≤ 0,    y2 ≥ 3, y2 ≤ 4,    x − y1 ≤ 0, y1 ≥  x − y2 = 0,    y2 = 3, y2 = 4, Giải hệ ba số phương trình:  x − y1 = 0,   y1 = 0, ta thu giao điểm sau: (3,3,3),(3,0,3),(0,0,3), (4,0,4),(0,0,4),(4,4,4) Kết hợp với điều kiện x ∈ S, y ∈ T (x), (x, y) ∈ R ta đỉnh V (P ) sau: V (P ) = {(3, 3, 3), (4, 0, 4), (4, 4, 4)} Từ suy Vx (P ) = {3, 4} Mặt khác kiểm tra ta thấy với ≤ x ≤ 4, y = (y1 , y2 ) cho ≤ y1 ≤ 4, ≤ y2 ≤ 4, quan R thỏa mãn Tức ≤ x ≤ R(x, y) thỏa mãn với y ∈ T (x) Hay tập nghiệm toán cho S = [3, 4] Rõ ràng nhận thấy S tập đóng Nhận xét 3.1.1 Trong ví dụ ví dụ ta xét, tập nghiệm toán (LVR) tập đóng 3.2 Tính lồi tập nghiệm Mệnh đề 3.2.1 Tập nghiệm (LVR) tập lồi hai điều kiện sau xảy ra: (i) Vx (P ) = Vx (P ) đỉnh Vx (P ) nghiệm toán 55 (LVR) (ii) T (x) affin Chứng minh Ta chứng minh Mệnh đề điều kiện (i) Trước hết ta đặt sol(LVR) tập nghiệm toán (LVR) Vì x ∈ Vx (P ) = Vx (P ) nghiệm toán (LVR) nên theo Bổ đề 2.2.1 ta có V (P (x) = V (P (x)) Vì P P đa diện lồi nên theo Định lý Carathéodory, ta có P = co (x, V (P (x)) = co (x, V (P (x)) = P, x∈Vx (P ) x∈Vx (P ) (x, V (P (x))) = (x, y) : y ∈ V (P (x)) (x, V (P (x))) = {(x, y) : y ∈ V (P (x))} Từ P = P suy với x ∈ co x ta có P (x) = P (x) Theo Bổ x∈Vx (P ) đề 2.2.1 x nghiệm toán Tức x = co sol(LVR)= co x∈Vx (P ) x x∈Vx (P ) Từ suy tập nghiệm toán (LVR) tập lồi Tiếp theo, giả sử điều kiện (ii) thỏa mãn, ta chứng minh tập nghiệm lồi Trước hết, ta nhắc lại T (x) affin với x1 , x2 ∈ Rn1 λ ∈ [0, 1], cho T (λx1 + (1 − λ)x2) = λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Giả sử x1 , x2 ∈ sol(LVR) x ∈ (x1, x2 ), tức tồn λ ∈ (0, 1) cho x = λx1 + (1 − λ)x2 Vì x1 , x2 nghiệm toán (LVR) nên ta có 56 Ar xj + Br y ≤ dr với y ∈ T (xj ), j = 1, Xét y ∈ T (x), T (x) affin nên T (x) = T (λx1 + (1 − λ)x2) = λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Từ suy y ∈ λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Điều kéo theo tồn y1 ∈ T (x1), y2 ∈ T (x2 ) cho y = λy1 +(1−λ)y2 Từ suy Ar x + Br y = Ar (λx1 + (1 − λ)x2) + Br (λy1 + (1 − λ)y2 ) = λ(Ar x1 + Br y1 ) + (1 − λ)(Ar x2 + Ar y2) = λdr + (1 − λ)dr = dr Suy R với y ∈ T (x) Tiếp theo, ta x ∈ S Thật Vì x1 , x2 ∈ sol(LVR), suy x1 , x2 ∈ S, tức A0 x ≤ d0 , A0 x ≤ d0 Ta xét A0x = A0(λx1 + (1 − λ)x2) = λA0x1 + (1 − λ)A0x2 = λd0 + (1 − λ)d0 = d0 Suy A0 x ≤ d0 Hay x ∈ S Vậy x ∈ sol(LVR) Suy sol(LVR) tập lồi Để minh họa cho mệnh đề trên, ta xét toán (LVR) không gian R × R2 sau: 57 Ví dụ 3.2.1 A0 = Khi       −2 0 0 4 2 −1 0 , d0 = , A1 = 0 , B1 =  −1 , d1 = 0 ,       −1 1 4  −1 1  Ar = −1 , Br =  1  , dr = 8 −2 −1 A0 x ≤ d0 ⇔ −1 (x) ≤ ⇔ ≤ x ≤ Tức S = {x ∈ R, ≤ x ≤ 2} Ta có     −1 0 0 y  0 A1x + B1 y ≤ d1 ⇔ 0 x +  −1 y1   4 ≤ 0 ⇔ ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ Tức T (x) = {y = (y1, y2)|0 ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ 2} Ta có    −1 1  −1 y 1  Ar x + Br y ≤ dr ⇔ −1 x +  1  y1 −2 −1    x − y1 + y2 ≤ 6, x + y1 − y2 ≤ 4, ⇔ −x + y1 + y2 ≤ 8,   −x − 2y1 + y2 ≤  Tức quan hệ R cho    x − y1 + y2 ≤ 6, x + y1 − y2 ≤ 4, −x + y1 + y2 ≤ 8,   −x − 2y + y ≤ 58   4 ≤ 8 Như P = {(x, y1, y2 ) : ≤ x ≤ 2, ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ 2}, P = {(x, y1, y2) : ≤ x ≤ 2, ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ 2, x − y1 + y2 ≤ 6, x + y1 − y2 ≤ 4, −x + y1 + y2 ≤ 8, −x − 2y1 + y2 ≤ 2} Biểu diễn hình học P P ta thu được: V (P ) = V (P ) = {(0, 0, 0), (0, 0, 2), (0, 2, 0), (2, 0, 0), (2, 2, 0), (2, 0, 2), (2, 2, 2), (0, 2, 2)} Từ ta có Vx (P ) = Vx (P ) = {0, 2} Hơn x = x = nghiệm toán Theo Mệnh đề 3.2.1, ta có tập nghiệm toán cho tập lồi Thật vậy, kiểm tra ta thấy với ≤ x ≤ 2, ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ thỏa mãn quan hệ R Nên tập nghiệm toán cho sol(LVR)=[0, 2] Như rõ ràng sol(LVR) tập lồi Một trường hợp đặc biệt thu từ Mệnh đề (3.2.1), ánh xạ T cho cụ thể, nội dung hệ sau Hệ 3.2.1 Cho T (x) xác định T (x) = {y ∈ Rn2 : Al x + dl ≤ y ≤ Aux + du }, Al , Au ma trận cấp n2 × n1 dl , du véc tơ cấp n2 × Khi đó, tập nghiệm toán (LVR) tập lồi Chứng minh Rõ ràng, tập hợp T (x) diễn đạt sau T (x) = {y ∈ Rn2 : (Al x + dl )i ≤ yi ≤ (Aux + du)i, i = 1, , n2} Giả sử x1 , x2 ∈ Rn1 x ∈ (x1, x2 ) Khi đó, tồn λ ∈ (0, 1) cho x = λx1 + (1 − λ)x2 59 Xét y ∈ T (x), điều có nghĩa (Al x + dl )i ≤ yi ≤ (Aux + du )i, i = 1, 2, , n2 Suy λ(Al x1 + dl )i + (1 − λ)(Al x2 + dl )i ≤ yi ≤ λ(Au x1 + du)i + (1 − λ)(Aux2 + du )i, i = 1, 2, , n2 Do đó, với i = 1, 2, , n2 tồn αi ∈ [0, 1] cho yi = αi (λ(Al x1 + dl )i + (1 − λ)(Al x2 + dl )i) + (1 − α)(λ(Aux1 + du )i +(1 − λ)(Aux2 + du)i ) = λ(αi (Al x1 + dl )i + (1 − αi )(Aux2 + du )i) +(1 − λ)(αi (Aux1 + du )i + (1 − αi )(Aux2 + du)i) = λy1i + (1 − λ)y2i , (yj1 , , yjn2 ) ∈ T (xj ), i = 1, 2, Từ suy T (x) ⊂ λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Hơn nữa, rõ ràng T (x) ⊃ λT (x1 ) + (1 − λ)T (x2 ) Do đó, ta có T (x) = λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Suy T (x) affin Theo Mệnh đề (3.2.1) tập nghiệm toán (LVR) cho tập lồi Chú ý 3.2.1 Nhắc lại rằng, ánh xạ T : X ⇒ Y ánh xạ đa trị lõm với x1 , x2 ∈ X với λ ∈ [0, 1], ta có T (λx1 + (1 − λ)x2) ⊂ λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Trong toán (LVR), ta thấy rõ ràng T (x) ánh xạ đa trị lồi, hay T (x) ánh xạ đa trị lõm Do không thỏa mãn Mệnh đề 3.6 [6] Nên tập nghiệm (LVR)nói chung tập lồi 60 3.3 Tính liên thông tập nghiệm Tương tự tính lồi tập nghiệm, tính liên thông tập nghiệm không bảo đảm Để thấy rõ điều này, ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.3.1 Xét toán (LVR) không gian R × R2 ,     −1 0 1 1     −1 −1 −1 −1   ; B = A0 = ; d0 = ; A1 =    −1 −1 −1  −1 −2 1         −2 0 −1 0 11 5          −1  −1 0  ; dr = −5  , A r =   ; Br =  d1 =  5  1 −1 0 0 −1  −1 0  0 25 1 Khi A0 ≤ d0 ⇔ −1 −1 x ≤ ⇔ {−x ≤ −1; x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Tức S = {x ∈ R, ≤ x ≤ 5} Ta có    −1 1   11 −1 −1  x + −1 −1 y1 A x + B1 y ≤ d ⇔  2   y2  −1 −1 −2 1  x − y1 ≤ 0,    x + y1 ≤ 11,   −x + y1 − y2 ≤ 0, ⇔ 2x − y1 − y2 ≤ 0,    −x − y1 + y2 ≤ 0,   x − 2y1 + y2 ≤  61  11 0  ≤ 0 0  Tức T (x) = {(y1 , y2 ) ∈ R2 } cho  x − y1 ≤ 0,    x + y1 ≤ 11,   −x + y1 − y2 ≤ 0, 2x − y1 − y2 ≤ 0,    −x − y1 + y2 ≤ 0,   x − 2y1 + y2 ≤ Ta có      −2 0 −1 0       −5 −1  y1 −1    x +  ≤ A r x + Br y ≤ d r ⇔    1 −1  y2 −1  −1 0  25 1   −x ≤ −2,  ≤ x ≤ 5,    x ≤ 5,     x + y1 ≥ 5, −x − y1 ≤ −5, −x + y1 ≤ 5, ⇔ ⇔ −x + y ≤ 5,   y2 ≥ 1,     −y2 ≤ −1,   2x + y + y2 ≤ 25 2x + y1 + y2 ≤ 25  Tức quan hệ R xác định  ≤ x ≤ 5,    x + y1 ≥ 5, −x + y1 ≤ 5,  y2 ≥ 1,   2x + y1 + y2 ≤ 25 Suy P = {(x, y1, y2) ∈ R × R2 | ≤ x ≤ 5,                x − y1 ≤ 0, x + y1 ≤ 11, −x + y1 − y2 ≤ 0, 2x − y1 − y2 ≤ 0, −x − y1 + y2 ≤ 0, x − 2y1 + y2 ≤ ≤ x ≤ 5, x + y1 ≥ 5, −x + y1 ≤ 5, P = {(x, y1, y2 ) ∈ R × R |  y2 ≥ 1,   2x + y1 + y2 ≤ 25 Bài toán nhận x1 = x2 = nghiệm Thật 62 Với x1 = ta có T (3) = {(y1, y2 ), ≤ y1 ≤ 7, y1 − y2 ≤ 4, y1 + y2 ≥ 8, −y1 + y2 ≤ 4, 2y1 − y2 ≥ 4} R(3) = {(y1 , y2 ), ≤ y1 ≤ 8, y2 ≥ 1, y1 + y2 ≤ 19} Biểu diễn hình học T (3), ta kết cho hình sau 12 C = (8, 11) 11 10 B = (6, 9) D = (8, 5) A = (3, 3) E=( , ) 2 −1 10 Hình 3.1: T (3) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy với y ∈ T (3) thỏa mãn R(3) Suy x1 = nghiệm toán cho 63 Với x2 = ta có T (4) = {(y1, y2 ), ≤ y1 ≤ 7, y1 − y2 ≤ 4, y1 + y2 ≥ 8, −y1 + y2 ≤ 4, 2y1 − y2 ≥ 4} R(4) = {1 ≤ y1 ≤ 9, y2 ≥ 1, y1 + y2 ≤ 17} Biểu diễn hình học T (4), ta kết cho hình vẽ sau D = (7, 10) 10 A = (4, 4) C = (7, 3) B = (6, 2) Hình 3.2: T (4) 64 Nhìn vào hình vẽ, ta thấy y ∈ T (4) thoả mãn R(4) Suy x2 = nghiệm toán cho Như x1 = x2 = nghiệm toán Xét tổ hợp lồi x1 x2 sau: x1 x2 = + = + 2 2 Ta có x = không nghiệm toán cho Thật vậy, 7 15 T ( ) = {(y1, y2 ), ≤ y1 ≤ , y1 − y2 ≤ 2 2 7 y1 + y2 ≥ 7, −y1 + y2 ≤ , 2y1 − y2 ≤ } 2 Biểu diễn hình học T ( ), ta kết cho hình vẽ sau 65 12 21 B = (7, ) C=( 15 , 11) 10 D=( 7 A=( , ) 2 E=( 15 , 4) 21 , ) 4 10 Hình 3.3: T ( ) 15 37 Nhìn vào hình vẽ, ta thấy với y = ( , 11) ∈ T ( ) ta có y1 +y2 = ≥ 18 2 15 Suy ( , , 11) không thỏa mãn R Hay x = không nghiệm 2 toán cho Như tập nghiệm toán cho tập liên thông Hay tập nghiệm toán (LVR) nói chung không liên thông 66 KẾT LUẬN Trong chương 3, ta tập nghiệm toán (LVR) tính lồi tính liên thông, lại đảm bảo tính đóng Bên cạnh đó, ta trình bày điều kiện cần, điều kiện đủ để tập nghiệm (LVR) tập lồi số ví dụ minh họa cho kết 67 Tài liệu tham khảo [1] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [4] A Dhara, D T Luc (2013), A solution method for linear variational relation problems, Journal of Global optimization, p.1-39 [5] Alan J Hoffman (1952), On approximate solutions of systems of linear inequalities, Journal of Research of the National Bureau of Standards, Vol 49, p 263 - 265 [6] P Q Khanh, D T Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems, Set Valued Anal, Vol 16, p.1015 1035 [7] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysic, J Optim Theory Appl, Vol 138, p 65 - 76 68 [...]... Fn(x − x0) ≤ cFm ((Ax − b)+) 22 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân 2.1 2.1.1 Bài toán quan hệ biến phân tổng quát Phát biểu bài toán Trong phần này chúng ta luôn giả thiết A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y Định nghĩa 2.1.1 Bài toán tìm a... 2.1.1 Bài toán tìm a ¯ ∈ A sao cho (1) a ¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a); (2) Quan hệ R(¯ a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2(¯a) và y ∈ T (¯a, b) được gọi là bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR) Các ánh xạ đa trị S1 , S2 , T được gọi là ánh xạ ràng buộc và R là một quan hệ biến phân Điểm a ¯ thỏa mãn điều kiện 1) và 2) được gọi là nghiệm của bài toán (VR) Tập các nghiệm của bài... định hướng nếu trên nó xác định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau: (i)) với mọi m, n, p ∈ I sao cho m ≥ n, n ≥ p thì m ≥ p; (ii) nếu m ∈ I thì m ≥ m; (iii) với mọi m, n ∈ I thì tồn tại p ∈ I sao cho p ≥ m, p ≥ n Khi đó ta nói tập I được định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và kí hiệu là (I, ≥) hoặc viết tắt là I Định nghĩa 1.1.19 Cho I là tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” Khi đó ánh xạ x xác định trên... (αx) = αFk (x) Định lý 1.5.1 (xem [5]) Cho hệ bất phương trình tuyến tính A1 x = a11x1 + + a1n xn ≤ b1 Am x = am1 x1 + + amn xn ≤ bm , Fn và Fm là hai hàm thuần nhất trên các không gian tương ứng Ký hiệu A là ma trận cấp m × n với các hàng là A1, , Am Khi đó tồn tại một hằng số c > 0 sao cho với mọi x tồn tại một nghiệm x0 của hệ bất phương trình tuyến tính trên thỏa mãn Fn(x − x0) ≤ cFm ((Ax −... là nghiệm của bài toán (VR) Tập các nghiệm của bài toán (VR) được kí hiệu là Sol(V R) Sau đây là một số bài toán đã biết có thể được đưa về mô hình bài toán quan hệ biến phân, đó là bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán tựa cân bằng, 23 Ví dụ 2.1.1 Bài toán tối ưu (Optimization Problem) Cho X, Ω, Λ là các tập khác rỗng, f là một hàm thực xác định trên X và hai... cân bằng là trường hợp đặc biệt của bài toán (VR) khi A = B = Y = X , S1 (x) = clS(x), S2(x) = S(x), T (x, b) = G(x) với mọi x, b ∈ X và quan hệ R(x, b, y) đúng nếu F (b, y) ⊆ Z\ − intC 2.1.2 Sự tồn tại nghiệm Cho S1 , S2 , T là các ánh xạ đa trị và quan hệ biến phân R được xác định như mục trên Xét ánh xạ đa trị P : B ⇒ A được xác định bởi P (b) = P1 (b) ∪ P2 (b), trong đó P1 (b) = A\S2−1(b), P2 (b)... bao lồi S2 (x) ⊆ S1 (x) (iv) Quan hệ R là KKM không bảo đảm vì R(x, x, y) không đúng với x = 1 Vậy bài toán (VR) không có nghiệm Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ trình bày các điều kiện đủ phát triển cho các điều kiện ii) và iv) của định lí trên dựa trên tính liên tục của các ánh xạ đa trị Định nghĩa 2.1.4 Cho b ∈ A là điểm bất động Ta nói quan hệ R(., b, ) là đóng với biến thứ nhất và thứ ba nếu với... đóng Hệ quả 2.1.2 Bài toán (VR) có nghiệm khi các điều kiện sau thỏa mãn: (i) A là tập compact, lồi, khác rỗng (ii) E là tập đóng (iii) S2−1 (b) là tập mở trong A và với mỗi b ∈ A, convS2 (b) ⊆ S1 (b) 32 (iv) Với mỗi điểm cố định b ∈ A, T (., b) nửa liên tục dưới với biến số thứ nhất (v) Quan hệ R là KKM và với mọi điểm bất động b ∈ A, R(., b, ) đóng với biến số thứ nhất và thứ ba Chứng minh Hệ quả... = X , T (a, b) = {b} với mọi a ∈ A, b ∈ B và quan hệ R được xác định như sau R(a, b, y) đúng nếu φ(a, y) ≥ 0 Khi đó, bài toán (EP) chính là bài toán (VR) Ví dụ 2.1.3 Bài toán bao hàm thức biến phân (Variational Inclusion Problem) 24 Cho F , G là hai ánh xạ đa trị xác định trên A × B × Y lấy giá trị trên không gian Z Khi đó, bài toán bao hàm thức biến phân (VIP) được phát biểu như sau: "Tìm a ¯ ∈ A sao... là tập compact, lồi, khác rỗng (ii) Ánh xạ P : [0, 1] ⇒ [0, 1] có giá trị đóng (iii) Với mỗi x ∈ [0, 1], bao lồi S2 (x) ⊆ S1 (x) (iv) Quan hệ R là KKM không bảo đảm vì R(x, x, y) không đúng với x = 1 Vậy bài toán (VR) không có nghiệm Ví dụ 2.1.6 Cho X = [0, 1] ⊆ R, quan hệ R được định nghĩa bởi ánh xạ  1  1 − y nếu 0 ≤ x ≤ 2 ϕ= 21 1  − + y nếu < x ≤ 1 4 2 Ta có S1 (x) = S2 (x) = [0, 1], T (x, y) ... tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tổng quát Phần sau phát biểu trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính Chương Cấu trúc tập nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính Trong chương... toán học ứng dụng Bài toán " Quan hệ biến phân" đề xuất lần vào năm 2008 Giáo sư Đinh Thế Lục [7] Môt dạng đặc biệt toán quan hệ biến phân toán quan hệ biến phân tuyến tính Dựa chủ yếu tài liệu... định nghĩa toán quan hệ biến phân tuyến tính sau: Định nghĩa 2.2.1 Bài toán tìm x ∈ S cho (x, y) ∈ R với y ∈ T (x), tập S, T (x) quan hệ R định nghĩa gọi toán quan hệ biến phân tuyến tính (linear