sivantran@gmail.com - 01689583116 BÀI TOÁN 1: “Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với đường thẳng (d1) cắt (d2)” Cách 1: Bước 1: Chuyển phương trình dạng tham số uuur -Giả sử (d) đường thẳng cần dựng cắt (d2) B, B( ) ⇒ AB ( ) ur ur -Gọi a1 vtcp (d1), ta có a1 ( ) Bước 2: uuur ur uuur ur uuur Vì (d) (d1) nên : AB a1 ⇔ AB.a1 = (nhớ tích vô hướng) ⇒ AB ( ) Bước 3: Phương trình đường thẳng (d) cho bởi:  x = qua A ( ) ( d ) :  uuur ⇔ ( d ) :  y = , t ∈ R vtcp AB ( )  z =  Cách 2: -Giả sử (d) đường thẳng cần dựng, (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P1) (P2), đó: qua A ( ) qua A ( ) P : ( )  ( P1 ) ( d1 ) ( d ) ∈ ( P2 ) ( P1 ) :  * Phương trình mặt phẳng (P1) qua A ( ) ( P1 ) :  ( P1 ) ( d1 ) qua A ( ) ⇔ ( P1 ) :  ⇔ ( P1 ) : r ur vtptn = a1 ( ) * Phương trình mặt phẳng (P2) (mặt phẳng qua điểm chứa đường thẳng) Viết phương trình mặt phẳng (P2) cách: Cách 1: Chuyển phương trình (d2) dạng tổng quát, sau sử dụng chùm mặt phẳng uuuu r Cách 2: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d2) ⇒ AM ( ) qua r  uu qua A ( ) ⇔ ( P2 ) : n2 ( P2 ) :  r ( d ) ∈ ( P2 )  uu n  qua A ( ) ( P2 ) :  uur ⇔ ( P2 ) : vtptn2 A ( ) uu r uuuu r uu r uuuu r AM ⇔ n2 =  AM a2  = uu r a2  ptmp ( P1 )  ptmp ( P2 ) Kết luận: Phương trình giao tuyến (d) (P1) (P2) có dạng: ( d ) :  BÀI TOÁN 2: “Lập phương trình đường thẳng qua A, cắt hai đường thẳng (d1) (d2)” sivantran@gmail.com - 01689583116 Bước 1: Cách 1: Sử dụng pp chùm mặt phẳng : -Gọi (P) mặt phẳng qua A chứa (d 1), ta có (P) thuộc chùm tạo (d1), có dạng : (P) : m(pt(1) (d1)) + n(pt2 (d1)) = ⇔ ( P ) : Cách 2: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d1) uuuu r ⇒ AM ( ) qua A ( ) r r uuuu r ur  r uuuu qua A ( ) ⇔ ( P2 ) : n AM ⇔ n =  AM a1  = ( P) :  ( d ) ∈ ( P )  r ur n a1 qua A ( ) ⇔ ( P ) : ( P ) :  r vtptn  Bước 2: Gọi B giao điểm (P) (d2) Khi tọa độ B nghiệm hệ:  pt1 of ( d ) x =    pt2 of ( d ) ⇒  y = ⇒ B ( )  z =   pt ( P ) Chú ý: không tồn B Kết luận toán vô nghiệm Nếu có vô số nghiệm Kết luận toán có vô số nghiệm chùm đường thẳng chứa (d) qua A Bước 3: Gọi (d) đường thẳng qua A, B, ta có:  x = qua A ( )  ⇔ ( d ) :  y = , t ∈ R ( d ) :  uuur vtcp AB ( )  z =  ur ur Gọi a1 vtcp (d1), ta có a1 ( ) ur uuu r Từ đó, dễ thấy a1 không phương với AB Vậy, (d): đường thẳng cần dựng BÀI TOÁN 3: “Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A, vuông góc với (d) nằm mặt phẳng (P)” Bước 1: - Kiểm tra (d) có cắt (P) A không - Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn: qua A ( ) qua A ( ) ⇔ ( Q)  uu r ( Q ) :  ( Q ) ( d ) vtptad ( ) Bước 2: Khi đường thẳng (d1) giao tuyến (P) (Q) BÀI TOÁN 4: sivantran@gmail.com - 01689583116 “Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A, vuông góc với (d) cắt (d)” Gọi (d1) đường thẳng qua A vuông góc với (d) cắt (d), (d1) qua A H (H hình chiếu vuông góc A lên (d) * Xác định H: r r Gọi a vtcp (d), ta có a ( ) Chuyển phương trình (d) dạng tham số: Vì H ∈ ( d ) , nên H (theo t) AH uuur r uuur ⇒ AH ( )  x = ( d ) :  y = , t ∈ R  z =  ( d ) ⇔ AH a = ⇔ ⇔ t = ⇒ H ( ) Phương trình (d1), xác định bởi: qua A ( ) ⇔ ( d1 ) : uuur vtcp AH ( ) ( d1 ) :  Dựng (P1) (P2) thỏa mãn: qua A ( ) qua A ( ) ( P1 ) :  ( P2 ) :  ( P1 ) ( d ) ( d ) ∈ ( P2 ) Khi ( d1 ) = ( P1 ) ∩ ( P2 ) BÀI TOÁN 5: “Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng (P) r Mặt phẳng (P) có vtpt n ( ) Gọi (d) đường thẳng qua A vuông góc với (P), ta được:  qua A ( )  ⇔ ( d ) :  ,t ∈ R ( d) : r  vtcpn ( )  Vì hình chiếu vuông góc H A lên (P) giao điểm (d) (P), đó: thay tọa độ (d) vào (P) ⇔ t = ⇒ H ( ) BÀI TOÁN 6: “Xác định tọa độ điểm A1 đối xứng với A qua mặt phẳng (P) Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H A lên mặt phẳng (P) Bước 2: Suy tọa độ điểm A1 từ điều kiện H trung điểm AA1 BÀI TOÁN 7: “Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A lên đường thẳng (d) sivantran@gmail.com - 01689583116 Cách 1: r r Gọi a vtcp (d), ta có a ( ) Chuyển phương trình (d) dạng tham số: Vì AH H ∈( d ) , nên H (theo t) uuur r uuur ⇒ AH ( )  x = ( d ) :  y = , t ∈ R  z =  ( d ) ⇔ AH a = ⇔ ⇔ t = ⇒ H ( ) Cách 2: r r Gọi a vtcp (d), ta có a ( ) Gọi H(x,y,z) hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng (d), suy ra:  H ∈ ( d )  H ∈ ( d )  H ∈ ( d ) ⇔  uuur r ⇔  uuur r ⇒   AH ( d ) AH a  AH.a = BÀI TOÁN 8: “Xác định tọa độ điểm A1 đối xứng với A qua đường thẳng (d) Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H A lên đường thẳng (d) Bước 2: Suy tọa độ điểm A1 từ điều kiện H trung điểm AA1 Bài 1: Cho (d1) đường thẳng: x +1 y −1 z − x y −1 z − = = = đường thẳng (d2): = −2 1 Lập phương trình mặt phẳng chứa (d1) (d2) ĐS: 6x-8y+z+11=0 Bài 2: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(-1, 2, -3), vuông góc với vectơ r a = (6; 2; −3) cắt đường thẳng: ĐS: x −1 y +1 z − = = −5  x = + 3t ( d ) :  y = −1 + 2t , t ∈ R  z = − 5t  sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng qua điểm (1; 2; -2) song song với đường thẳng: ĐS: x −1 y − z + = = −7 −3 x + y − z + =  2 x − y + z − = r Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1, 2, 3); a = (6; −2; −3) đường thẳng (d) có 2 x − y − = 5 x + z − 14 = phương trình  a) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa A (d) r B)Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A vuông góc với vectơ a cắt đường thẳng (d) ĐS: ( α ) : 3x+3y+2z-9=0; ( ∆ ) : x +1 y − z − = = −21 24 sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2, -1, 1); đường thẳng y + z − = 2 x − y − z + = ( ∆) :  a) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua A vuông góc với ( ∆ ) b) Xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua ( ∆ ) ĐS: ( α ) : y − z + = ; B(0; 3; 5) Bài 6: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, 2, 1); đường thẳng: sivantran@gmail.com - 01689583116 ( d) : x y = = z +3 a)Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A chứa (d) b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A, vuông góc với (d) cắt (d) 14 x − y − z − 24 = 2 x + y + z − 15 = ĐS: (P): 14x-5y-8z-24=0; ( ∆ ) :  Bài 7: Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua M(1; 1; 2) song song với đường thẳng: 3x − y + z − = x + y − 2z + = ( d) : ĐS: ( ∆ ) : x −1 y −1 z − = = −2 Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình:  x = + 2t ( d ) :  y = − t , t ∈ R  z = 3t  ( P ) : 2x − y − 2z +1 = sivantran@gmail.com - 01689583116 a) Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) b) Gọi K điểm đối xứng điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d) Hãy xác định tọa độ điểm K ĐS: M1(-3; 4; -6) M2(9; -2; 12); K(4; 3; 3) Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3) Hãy viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác x = 1+ t  ĐS: ( d ) :  y = , t ∈ R z =  sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 10: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2; -1; 0), vuông góc cắt đường thẳng (d) có phương trình: 5 x + y + z + = x − y + 2z +1 = ( d) : ĐS: ( ∆ ) : x − y +1 z = = Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x+6y-z-2=0, đường thẳng:  x + y − z − 14 = x − y − z − = ( d) : a) Tìm tọa độ giao điểm A (P) (d) b) Tìm phương trình mặt phẳng ( β ) qua B(1; 2; -1) vuông góc với (d) ĐS: A(0; 0; -2); ( β ) : 4x+3y+z-9=0 Bài 12: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình: sivantran@gmail.com - 01689583116 x = 1+ t ( d ) :  y = t − 1, t ∈ R  z = 2t  ( P ) : x + y + z −1 = a) Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M(2; 0; -1) qua đường thẳng (d)  13 16  1 8 ĐS: A1  ; ; ÷; A2  ; − ; − ÷; N ( 0; −2;1) 5 5 5 5 x − 2z = vuông góc với 3 x − y + z − = Bài 13: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng:  mặt phẳng: x – 2y + z + = ĐS: ( β ) : 11x – 2y -15z – = sivantran@gmail.com - 01689583116 x +1 y −1 z − x y −1 z − = = = Bài 14: Cho đường thẳng ( d1 ) : đường thẳng ( d ) : = Tìm −2 1 tọa độ giao điểm (d1) (d2) ĐS: A(2; 3; 1) Bài 15: Chứng minh hai đường thẳng sau cắt nhau:  x = 2t  x = t '+  ( d1 ) :  y = 3t − 2, t ∈ R; ( d ) :  y = −4t '− 1, t ' ∈ R  z = 4t +  z = t '+ 20   ĐS: M(3; 7; 18) Bài 16: Chứng tỏ hai đường thẳng sau không cắt vuông góc nhau: ( d1 ) : 3x + y − z + = x y −1 z = = ; ( d2 ) :  −2 2 x + y − z + = sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 17: Viết phương trình tắc đường thẳng (d) qua M(1; 5; 0) cắt hai đường 2 x − z − = 3x + y − = ; ( d2 ) :  x + y − = y − z − = x −1 y − z = = ĐS: thẳng: ( d1 ) :  Bài 18: Viết phương trình tắc đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1), vuông góc với x −1 y + z = = cắt đường thẳng Viết phương trình tắc đường thẳng 1 x + y − z + = (d) qua M(1; 5; 0) cắt hai đường thẳng: ( d ) :  x +1 = x −1 y −1 z −1 = = ĐS: −1 −2 thẳng: ( d1 ) : Bài 19: Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(-1, 2, -3), vuông góc với vectơ r a = (6; −2; −3) cắt đường thẳng (d): sivantran@gmail.com - 01689583116 ( d) : ĐS: x −1 y +1 z − = = −3 x −1 y +1 z − = = −5 Bài 20: Cho đường thẳng 2 x − y − = 2 x − y + = ; ( d2 ) :   x + 3z + =  y + 2z +1 = ( d1 ) :  a) Chứng minh (d1)//(d2) Viết phương mặt phẳng chứa (d1) (d2) b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M(-2; 3; -4) qua (d1) ĐS: x + 4y + 11z +10 = 0; N(4; -3; 2) sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 21: Cho điểm A(0; 1; 1) đường thẳng ( d1 ) : x + y − z + = x −1 y + z = = ; ( d2 ) :  1 x +1 = Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d1) cắt (d2) ĐS: x y −1 z −1 = = −1 Bài 22: Trong không gian cho đường thẳng ( d1 ) : x −7 y −3 z −9 x − y −1 z −1 = = ; ( d2 ) : = = −1 −7 Chứng tỏ hai đường thẳng chéo Bài 23: Cho đường thẳng xác định phương trình: x+2 y+2 z = = điểm M(4; -3; 2) Tìm tọa độ điểm N hình chiếu vuông góc điểm −1 M lên đường thẳng cho ĐS: N(1; 0; -1) sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 24: Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng (d): ( d ) : x − y −1 z = = a) Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với (d) b) Tính khoảng cách từ A đến (d) ĐS: x + 2y + z – = 0; 2 x Bài 25: Cho điểm A(1; 2; 1) đường thẳng (d): ( d ) : = y −1 = z+3 a) Viết phương trình mặt phẳng qua A chứa đường thẳng (d) b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) ĐS: 15x – 11y –z + = 0; 347 26 sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 26: Trong không gian cho đường thẳng  x = 2t + x = + s  ( d1 ) :  y = t + ( d ) :  y = −3 + 2s  z = 3t −  z = + 3s   a) Chứng tỏ (d1) (d2) chéo b) Tính khoảng cách (d1) (d2) ĐS: 3 Bài 27: Trong không gian cho đường thẳng ( d1 ) : x −7 y −3 z −9 x − y − z −1 = = ( d ) : = = −1 −7 a) Chứng tỏ (d1) (d2) chéo b) Tính khoảng cách (d1) (d2) ĐS: 21 sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 28: Trong không gian cho đường thẳng  x = −2 + 2t  x + y + 2z =  ( d ) :  y = −5t ,t ∈ R ( d1 ) :  x − y + z +1 = z = + t  a) Chứng tỏ (d1) (d2) chéo b) Tính khoảng cách (d1) (d2) ĐS: 17 419 Bài 29: Trong không gian cho đường thẳng ( d1 ) : x − y z +1 x +1 y − z = = ( d ) : = = −1 −2 −1 a) Tính khoảng cách (d1) (d2) b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm B(3; -3; 2) qua đường thẳng (d1) ĐS:  11  ; A ; ; − ÷ 3 3 sivantran@gmail.com - 01689583116 [...]... Bài 16: Chứng tỏ rằng hai đường thẳng sau đây không cắt nhau và vuông góc nhau: ( d1 ) : 3x + y − 5 z + 1 = 0 x y −1 z = = ; ( d2 ) :  1 −2 3 2 x + 3 y − 8 z + 1 = 0 ... thẳng qua A, vuông góc (d1) và cắt (d2) ĐS: x y −1 z −1 = = −1 1 2 Bài 22: Trong không gian cho 2... Bài 23: Cho đường thẳng xác định bởi phương trình: x+2 y+2 z = = và điểm M(4; -3; 2) Tìm tọa độ điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm 3 2 −1 M lên đường thẳng đã cho ĐS: N(1; 0; -1) sivantran@gmail.com - 01689583116 ... Bài 18: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1), vuông góc với x −1 y + 2 z = = và cắt đường thẳng Viết phương trình chính tắc của đường thẳng 3 1 1 x + y − z + 2 = 0 (d) qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng: ( d 2 ) :  x +1 = 0 x −1 y −1 z −1 =... Bài 19: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1, 2, -3), vuông góc với vectơ r a = (6; −2; −3) và cắt đường thẳng (d): sivantran@gmail.com - 01689583116 ( d) : ĐS: x −1 y +1 z − 3 = = 2 −3 6 x −1 y +1 z − 3 = = 3 2 −5 ... Bài 24: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d): ( d ) : x − 2 y −1 z = = 1 2 1 a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d) b) Tính khoảng cách từ A đến (d) ĐS: x + 2y + z – 1 = 0; 2 2 ... Bài 26: Trong không gian cho 2 đường thẳng  x = 2t + 1 x = 2 + s  ( d1 ) :  y = t + 2 và ( d 2 ) :  y = −3 + 2s  z = 3t − 2  z = 1 + 3s   a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau b) Tính khoảng cách giữa (d1)... Bài 27: Trong không gian cho 2 đường thẳng ( d1 ) : x −7 y −3 z −9 x − 3 y − 1 z −1 = = và ( d 2 ) : = = 1 2 −1 −7 2 3 a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) ĐS: 2 21 ... Bài 28: Trong không gian cho 2 đường thẳng  x = −2 + 2t  x + y + 2z = 0  và ( d 2 ) :  y = −5t ,t ∈ R ( d1 ) :  x − y + z +1 = 0 z = 2 + t  a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau b) Tính khoảng cách giữa (d1)... Bài 29: Trong không gian cho 2 đường thẳng ( d1 ) : x − 2 y z +1 x +1 y − 2 z = = và ( d 2 ) : = = 1 −1 −2 2 1 −1 a) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm B(3; -3; 2) qua đường thẳng ... “Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A, vuông góc với (d) cắt (d)” Gọi (d1) đường thẳng qua A vuông góc với (d) cắt (d), (d1) qua A H (H hình chiếu vuông góc A lên (d) * Xác định H: r r Gọi a... thấy a1 không phương với AB Vậy, (d): đường thẳng cần dựng BÀI TOÁN 3: “Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A, vuông góc với (d) nằm mặt phẳng (P)” Bước 1: - Kiểm tra (d) có cắt (P) A không -... P1 ) ∩ ( P2 ) BÀI TOÁN 5: “Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng (P) r Mặt phẳng (P) có vtpt n ( ) Gọi (d) đường thẳng qua A vuông góc với (P), ta được:  qua A ( )  ⇔