209 MỞ ĐẦU 210 Bước Đặt vấn đề cần khảo sát lý thuyết kinh tế liên quan đến giả thuyết mối quan hệ biến kinh tế Kinh tế lượng với thuật ngữ tiếng Anh “Econometrics” Giáo sư Kinh tế học người Na Uy, A.K Ragnar Frisch (Nobel kinh tế năm 1969), sử dụng vào khoảng năm 1930 Từ ghép từ hai từ gốc “Econo” có nghóa kinh tế “Metrics” có nghóa đo lường Ví dụ, ta khảo sát giả thuyết kinh tế học vó mô cho mức tiêu dùng hộ gia đình có quan hệ chiều với thu nhập khả dụng họ Từ đó, kinh tế lượng hiểu “đo lường kinh tế” ngày phạm vi kinh tế lượng mở rộng nhiều người ta đưa nhiều đònh nghóa khác để giải thích Tuy nhiên, phạm vi giáo trình tự giới hạn nỗ lực trình bày khía cạnh quan trọng kinh tế lượng : Chẳng hạn, với biến Y lượng chi tiêu cho tiêu dùng hộ gia đình biến X thu nhập khả dụng hộ gia đình đó, ta thành lập mô hình tuyến tính dạng Xác đònh thực nghiệm quy luật kinh tế Các lý thuyết kinh tế thường nêu giả thuyết chất (đònh tính) đó, kinh tế lượng cố gắng lượng hóa giả thuyết (bằng cách đònh lượng quan hệ) Chẳng hạn, kinh tế học vi mô khẳng đònh điều kiện khác không thay đổi, giảm giá loại hàng hóa làm tăng lượng cầu loại hàng hóa ngược lại Giả thuyết cho biết quan hệ giá lượng cầu nghòch biến kinh tế lượng cố gắng lượng hóa chúng, chẳng hạn cho biết lượng cầu tăng/giảm ta giảm/tăng đơn vò giá Nói khác đi, kinh tế lượng quan tâm đến việc kiểm đònh mặt thực nghiệm lý thuyết kinh tế Để làm điều này, kinh tế lượng sử dụng số liệu thống kê phương pháp thống kê toán để tìm chất mối quan hệ đại lượng Phương pháp Kinh tế lượng Nội dung phương pháp kinh tế lượng thường gồm bước sau : Bước Thiết lập mô hình toán học để mô tả mối quan hệ biến kinh tế khảo sát Y = β1 + β2 X + ε , β1 β2 tham số cần ước lượng mà ta gọi tham số mô hình ε yếu tố ngẫu nhiên mà nguồn gốc tồn quan hệ biến kinh tế nói chung ngẫu nhiên, không xác Bước Sử dụng số liệu thống kê thu thập để ước lượng tham số mô hình Chẳng hạn, dựa mẫu thống kê khảo sát n hộ gia đình, ta n cặp số liệu ( X i , Yi ) , với ≤ i ≤ n , X i Yi lượng thu nhập khả dụng lượng chi tiêu cho tiêu dùng hộ gia đình thứ i Dùng phương pháp thống kê toán, mà người ta gọi phương pháp hồi quy, nhằm ước lượng tham số β1 β2 Bước Phân tích kết dựa giả thuyết kinh tế Ví dụ, với mô hình Y = β1 + β2 X + ε nêu bước với mẫu thống kê bước dùng để ước lượng tham số, ước lượng < β2 < kiểm đònh chấp nhận, ta thấy phù hợp với giả thuyết kinh tế bước β2 > cho thấy lương thu nhập khả dụng tăng (X tăng) lượng chi tiêu cho tiêu dùng tăng (Y tăng) đồng thời β2 < phù hợp với giả 209 thuyết lượng chi tiêu cho tiêu dùng hộ gia đình không vượt mức thu nhập khả dụng hộ gia đình ( Y < X ) Khi đó, ta nói mô hình toán học bước phù hợp mặt kinh tế Trường hợp mô hình chọn không phù hợp mặt kinh tế, ta cần trở lại bước để thành lập mô hình khác với mong muốn mô hình tốt Bước Khai thác kết Khi mô hình nhận phù hợp với giả thuyết kinh tế, ta dùng mô hình để : - Dự báo kết - Kiểm tra hay đề sách Ví dụ, với mô hình Y = β1 + β2 X + ε chấp nhận với mức thu nhập khả dụng X cho trước hộ gia đình, ta dự báo lượng chi tiêu cho tiêu dùng hộ gia đình 210 ( 140, 95) , ( 140,103) , ( 140,108) , ( 160,102) , ( 160,107 ) , ( 160,110) , ( 160,125) , ( 180,110) , ( 180,115) , ( 180,135) , ( 180,140) , ( 200,120) , ( 200,144 ) , ( 200,145) , ( 220,135) , ( 220,152) , ( 220,157 ) , ( 220,160) , ( 240,145) , ( 240,155) , ( 240,165) , ( 260,150) , ( 260,152) , ( 260,175) , ( 260,185) , ( 260,191) ( 140,113) , ( 160,116) , ( 180,120) , ( 200,136) , ( 220,137 ) , ( 220,162) , ( 240,175) , ( 260,178) , ( 140,115) , ( 160,118) , ( 180,130) , ( 200,140) , ( 220,140) , ( 240,137 ) , ( 240,189) , ( 260,180) , Biểu diễn điểm trục tọa độ với trục hoành thu nhập trục tung chi tiêu hình Ta minh họa bước qua ví dụ số cụ thể sau : Bước Giả thuyết kinh tế : mức chi tiêu cho tiêu dùng hộ gia đình có quan hệ chiều với thu nhập khả dụng họ Bước Xét mô hình Y = β1 + β2 X + ε , với Y lượng chi tiêu cho tiêu dùng X lượng thu nhập khả dụng hộ gia đình, β1 β2 tham số cần ước lượng Bước Thu thập mẫu thống kê gồm cặp ( X, Y ) , X lượng thu nhập khả dụng hộ gia đình (đơn vò ngàn đồng) Y lượng chi tiêu cho tiêu dùng hộ gia đình (đơn vò ngàn đồng) đơn vò thời gian, ta có số liệu ( 80, 55) , ( 80, 60) , ( 80, 65) , ( 80, 70) , ( 80, 75) , ( 100, 65) , ( 100, 70) , ( 100, 74 ) , ( 100, 80) , ( 100, 85) , ( 100, 88) , ( 120, 79) , ( 120, 84 ) , ( 120, 90) , ( 120, 94 ) , ( 120, 98) , ( 140, 80) , ( 140, 93) , Hình Rõ ràng với mức thu nhập khả dụng X nhau, chi tiêu cho tiêu dùng Y biến ngẫu nhiên lấy nhiều giá trò khác điều giải thích tồn tham số ngẫu nhiên ε mô hình khảo sát liên hệ chi tiêu Y theo thu nhập X Một giải thuật đơn giản để xác đònh tham số β1 β2 ứng với giá trò X, ta thay giá trò Y tương ứng giá trò trung bình (điểm 209 đánh dấu hình 2) tìm đường thẳng qua điểm Chẳng hạn, với giá trò X = 80 , ta có giá trò Y tương ứng 55, 60, 65, 70 75 ( ) Bước Ta dùng mô hình nhận Bước để dự báo Chẳng hạn, biết thu nhập khả dụng hộ gia đình X = 300 , ta dự đoán chi tiêu cho tiêu dùng trung bình hộ gia đình Y ≈ 171.3233 Các bước cần thực bước có vai trò khác trình phân tích vấn đề kinh tế Tuy nhiên, việc tìm chất vấn đề kinh tế không đơn giản Do đó, trình nêu thường lặp lặp lại nhiều lần ta thu mô hình chấp nhận Quá trình phân tích kinh tế lượng biểu diễn sơ đồ sau trung bình E Y X = 80 ≡ 210 55 + 60 + 65 + 70 + 75 = 65 Hình Bây giờ, với đường thẳng qua điểm đầu cuối, ( 260,173) , ta có ( 80, 65) X − 80 Y − 65 = 260 − 80 173 − 65 ta phương trình Y ≈ 26.3333 + 0.4833X Bước Do hệ số β2 = 0.4833 thỏa điều kiện < β2 < nên kết phù hợp với giả thuyết kinh tế Bước Hình Hơn nữa, cần nhấn mạnh thành công trình phân tích kinh tế phụ thuộc vào việc sử dụng số liệu thích hợp phương pháp sử lý số liệu Có ba loại số liệu : Số liệu theo thời gian (chuỗi thời gian), số liệu chéo số liệu hỗn hợp Số liệu theo thời gian số liệu thu thập thời điểm đònh Chẳng hạn số liệu GDP bình quân 209 Việt Nam theo năm từ 1998 – 2006 cho bảng sau : Nă 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 m GDP 360 374 401 413 440 489 553 618 655 Bảng : Số liệu theo thời gian Số liệu chéo số liệu thu thập thời điểm nhiều nơi, đòa phương, đơn vò, khác Chẳng hạn số liệu GDP bình quân năm 2006 nước Brunei, Campuchia, Indonesia, Lào, Malaysia, Myanmar, Philippines, Singapore, Thái Lan, Việt Nam cho sau Nước GDP Nước GDP Brunei 30376 Myanmar 230 Campuchia 459 Philippines 1361 Indonesia 1581 Singapore 30162 Lào 570 Thái Lan 2959 Malaysia 5570 Việt Nam 655 Nước 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Brunei 13065 14511 18465 16820 17135 18788 21989 25759 30376 281 285 302 317 333 373 516 746 807 773 928 1100 1176 1283 1581 Lào 255 286 329 326 329 378 Malaysia 3254 3485 3844 3665 3884 4161 4652 5042 5570 Myanmar 134 173 178 129 130 197 199 Philippines 910 1019 994 914 966 982 1049 1168 1361 432 485 570 219 230 Singapore 21009 20909 23075 20724 21210 22157 25345 26839 30162 Thái Lan 1829 1985 1967 1836 1999 2233 2484 2659 2959 Việt Nam 360 374 401 413 440 489 553 618 655 Các số liệu thường số liệu lượng, nghóa chúng đònh lượng số giá cả, thu nhập, v.v Đối với số liệu chất, nghóa số liệu đònh tính nam/nữ, có/chưa có gia đình, nông thôn / thành thò, v.v , người ta thường lượng hóa biến biến giả (dummy), chẳng hạn biến X, với X = nam, hay có gia đình X = nữ, hay chưa có gia đình, v.v Số liệu hỗn hợp số liệu tổng hợp hai loại trên, nghóa số liệu thu thập nhiều thời điểm khác nhiều đòa phương, đơn vò khác Chẳng hạn số liệu GDP bình quân nước, từ 1998 – 2006 255 Indonesia Bảng : Số liệu tổng hợp Nguồn : Tổng hợp báo cáo IMF ASEAN Bảng : Số liệu chéo Campuchia 210 430 459 Ví dụ Số liệu cho bảng sau cho biết tiền lương (Y : đơn vò USD) tháng 49 nhân viên, so sánh giới tính ( D = : Nữ , D = : Nam) Y D Y D Y D Y D Y D 1345 1234 1345 2365 3307 2435 1345 2167 1345 3833 1715 1345 1402 1839 1839 209 1461 3389 2115 2613 1461 1639 1839 2218 2533 1433 1345 981 3575 1602 2115 1602 1345 1972 1839 1839 1144 1566 1234 2218 1288 1566 1187 1926 1529 1288 1496 1345 2165 1461 Bảng Chú ý rằng, kinh tế ngành khoa học xã hội, số liệu thường phi thực nghiệm, nghóa số liệu thu thập thường không xuất phát từ điều kiện Do đó, chất lượng số liệu thu thập thường không tốt xuất phát từ nhiều nguyên nhân khách quan chủ quan, chẳng hạn sai số phép đo, sai số quan sát hay bỏ sót quan sát, v.v 210 Ta xét tham số hiệp phương sai, σ X,Y , chúng, đònh nghóa kỳ vọng tích số ( X − µ X ) ( Y − µ Y ) , σ X,Y = E ( X − µ X ) ( Y − µ Y )  = n n ∑ ( X i − µ X ) ( Yi − µ Y ) i =1 Một cách trực quan, σ X,Y > , đa số giá trò X lớn giá trò trung bình nó, X i − µ X > , kèm với giá trò Y lớn giá trò trung bình nó, Yi − µ Y > , ta nói X, Y có quan hệ đồng biến với Ngược lại, σ X,Y < , đa số giá trò X lớn giá trò trung bình nó, X i − µ X > , kèm với giá trò Y nhỏ giá trò trung bình nó, Yi − µ Y < , ta nói X, Y có quan hệ nghòch biến với Đánh giá sơ số liệu thống kê Khi có số liệu thống kê, trước hết người ta biểu diễn chúng điểm hệ trục tọa độ để có nhận đònh sơ gọi biểu đồ rời rạc (hay biểu đồ phân tán số liệu) Ngoài ra, người ta ước lượng mối quan hệ chúng số tham số thống kê Xét số liệu ( X i , Yi ) , i = 1, , n , hai biến ngẫu nhiên X, Y với trung bình µ X = E(X) = n n ∑ i =1 X i , µ Y = E(Y) = n n ∑ i =1 Yi Quan hệ đồng biến Quan hệ nghòch biến Hình Để xét trường hợp σ X,Y = , ta ý X Y hai biến số ngẫu nhiên độc lập, nghóa P ( X = x; Y = y ) = P ( X = x ) P ( Y = y ) , X − µ X Y − µ Y hai biến số ngẫu nhiên độc lập σ X,Y = 209 Ngoài ra, X Y có quan hệ tuyến tính với mà ta gọi có tượng cộng tuyến X Y, nghóa tồn α ≠ cho Y = αX + β , Yi = αX i + β , với i, ta suy µ Y = E(Y) = E ( αX + β ) = αE(X) + β = αµ X + β Do ( X − µ X ) ( Y − µ Y ) = ( X − µ X ) ( ( αX + β ) − ( αµ X = α ( X − µX ) + β) ) 3.35 3.61 3.83 3.56 3.43 3.52 3.14 3.19 3.22 2.53 2.37 3.12 2.54 3.56 3.25 2.32 3.33 3.56 3.25 4.05 3.27 3.12 4.06 3.61 3.43 3.22 2.82 2.64 2.4 1.77 3.13 2.65 3.15 3.41 3.45 3.28 2.81 3.29 2.86 2.56 3.28 2.34 2.67 2.62 2.54 2.04 3.7 3.5 3.61 3.16 3.64 3.93 3.89 3.52 Quan hệ phi tuyến Ví dụ Khảo sát mối quan hệ điểm điểm trung bình PTTH Đại học 50 học sinh trường đại học Mỹ ta có bảng số liệu sau : PTTH ĐH 4.05 2.33 3.57 3.8 2.34 3.13 3.46 2.92 2.15 2.42 1.77 Trước hết, ta vẽ đồ thò phân tán X theo Y (trên đồ thò) cách dùng phần mềm máy tính Chẳng hạn với Eview, ta Hình Từ nhận xét nêu trên, ta thấy X Y có quan hệ tuyến tính với σ X,Y ≠ Do đó, σ X,Y = , ta kết luận X Y quan hệ tuyến tính với Khi đó, chúng độc lập hay có quan hệ phi tuyến với PTTH ĐH 3.42 2.66 3.56 2.96 3.13 3.27 3.38 4.13 3.95 3.81 4.33 2.85 Bảng σ X,Y = E ( X − µ X ) ( Y − µ Y )  ≠ ĐH 2.8 3.54 2.88 2.15 2.22 3.31 2.13 2.39 3.01 2.68 cho Độc lập 210 PTTH ĐH 3.38 4.16 3.71 PTTH ĐH 4.31 2.74 3.69 2.41 PTTH 3.79 3.5 Hình Đồ thò cho thấy mối quan hệ tuyến tính DTBDH DTBPTTH Trong trường hợp người ta cho chúng độc lập Ví dụ Bảng sau cho số liệu tỷ lệ lạm phát tỷ lệ thất nghiệp Mỹ từ năm 1959 đến 1995 Năm 1959 1960 TLLP TLTN 0.69 5.2 1.72 5.4 Năm 1971 1972 TLLP 4.38 3.21 TLTN 5.9 5.6 Năm 1983 1984 TLLP 3.21 4.32 TLTN 9.6 7.5 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1.01 1.32 1.31 1.61 2.86 3.09 4.19 5.46 5.72 6.4 5.2 5.7 5.2 4.5 3.8 3.8 3.6 3.5 4.9 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 6.22 11.04 9.13 5.76 6.5 7.59 11.35 13.5 10.32 6.16 4.9 5.6 8.5 7.7 7.1 6.1 5.8 7.1 7.6 9.7 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 3.56 1.86 3.65 4.14 4.82 5.4 4.21 3.01 2.99 2.56 2.83 209 210 7.2 6.2 5.5 5.3 5.5 6.7 7.4 6.8 6.1 5.6 người ta dùng hệ số tương quan tuyến tính, hay vắn tắt hệ số tương quan, rX,Y , xác đònh σ X,Y rX,Y = , σX σY σ X σ Y độ lệch chuẩn X Y, 2 σ2Y = E ( Y − µ Y )  σ2X = E ( X − µ X )      Bảng Tương tự, ta có đồ thò phân tán sau Hệ số tương quan có số tính chất sau : (i) rX,Y luôn dấu với σ X,Y (do σ X , σ Y > ) (ii) −1 ≤ rX,Y ≤ rX,Y = σ X,Y = (iii) Nếu X Y có quan hệ tuyến tính với nhau, nghóa Y = α + β X , µ Y = α + βµ X , σ2Y = β2σ2X , nghóa ta suy βσ σY =  X  −βσ X β > , β < σ X,Y = E ( X − µ X ) ( Y − µ Y )  = E β ( X − µ X )  = βσ2X   σ X,Y β > 1 rX,Y = = σ X σ Y −1 β < Từ đó, ta có đánh giá sơ sau : Hình Đồ thò cho thấy mối quan hệ tuyến tính TLLAMPHAT TLTHATNGHIEP Trong trường hợp người ta cho chúng có quan hệ phi tuyến với Tuy nhiên ta dựa vào đồ thò phân tán để đánh giá mối hệ số liệu, mà ta sử dụng công cụ toán học để đánh giá quan hệ Chẳng hạn, để đo lường mức độ chặt chẽ tương quan hai biến số ngẫu nhiên, độc lập với đơn vò đo lường biến số ngẫu nhiên, (i) Khi rX,Y = , ta nói X Y độc lập (hay có quan hệ phi tuyến với nhau) (ii) Khi rX,Y ≈ , ta nói X Y có quan hệ chặt chẽ với Nếu rX,Y > , nghóa rX,Y ≈ , X Y có quan hệ đồng biến chặt Ngược lại, rX,Y < , nghóa rX,Y ≈ −1 , X Y có quan hệ nghòch biến chặt 209 210 Ví dụ : Ta khảo sát liệu giá vàng (GP), số giá tiêu dùng (CPI) số chứng khoán thò trường chứng khoán NewYork (NYSE) từ năm 1977 đến năm 1991 Mỹ Năm GP CPI NYSE 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 147.98 193.44 307.62 612.51 459.61 376.01 423.83 360.29 317.30 367.87 446.50 436.93 381.28 384.08 362.04 60.60 65.20 72.60 82.40 90.90 96.50 99.60 103.90 107.60 109.60 113.60 118.30 124.00 130.70 136.20 53.69 53.70 58.32 68.10 74.02 68.93 92.63 92.46 108.90 136.00 161.70 149.91 180.02 183.46 206.33 Bảng Ta khảo sát tương quan giá vàng (GP) số giá tiêu dùng (CPI) tương quan số chứng khoán (NYSE) số giá tiêu dùng (CPI) Trước hết, ta vẽ đồ thò rời rạc GP theo CPI NYSE theo CPI, ta Hình Hình Đồ thò cho thấy tương quan chặt GP CPI Ngược lại, có tương quan đồng biến chặt NYSE CPI Bằng công cụ thống kê, ta có rGP,CPI = 0.388 rNYSE,CPI = 0.932 Ta thấy rNYSE,CPI ≈ nên NYSE CPI có quan hệ đồng biến chặt Ngược lại, rGP,CPI = nên GP CPI quan hệ tuyến tính chặt Người ta thường hình dung hóa số liệu hệ số tương quan sau : Khoảng 39% số liệu GP CPI cho thấy quan hệ chúng tuyến tính; khoảng 94% số liệu NYSE CPI cho thấy quan hệ chúng tuyến tính Ví dụ : Người ta khảo sát hai lý thuyết khác liên quan đến hành vi tiêu dùng dân chúng : - Theo Keynes, tổng tiêu dùng, CONS (Consumption Expenditure), có quan hệ đồng biến với tổng thu nhập (khả dụng), YD (Disposable Income) - Trong đó, nhà kinh tế học cổ điển tin tiêu dùng có quan hệ nghòch biến với lãi suất, RR (Real Interest Rate), kinh tế 209 Bằng cách thu thập số liệu CONS, YD RR từ năm 1955 đến năm 1986, người ta có số liệu sau Năm 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 CONS 873.80 899.80 919.70 932.90 979.40 1005.10 1025.20 1069.00 1108.40 1170.60 1236.40 1298.90 1337.70 1405.90 1456.70 1492.00 1538.80 1621.90 1689.60 1674.00 1711.90 1803.00 1883.80 1961.00 2004.40 2000.40 2024.20 2050.70 2146.00 2246.30 2324.50 2418.60 YD 944.50 989.40 1012.10 1028.80 1067.20 1091.10 1123.20 1170.20 1207.30 1291.00 1365.70 1431.30 1493.20 1551.30 1599.80 1668.10 1728.40 1797.40 1916.30 1896.60 1931.70 2001.00 2066.60 2167.40 2112.60 2214.30 2248.60 2261.50 2331.90 2470.60 2528.00 2603.70 Bảng RR 3.43 1.86 0.33 1.06 3.57 2.81 3.34 3.21 3.05 3.09 2.77 2.27 2.63 1.98 1.66 2.12 3.09 3.91 1.21 -2.40 0.31 2.66 1.57 1.07 -1.63 -1.58 3.80 7.66 8.82 8.45 7.80 7.10 210 đó, đơn vò tính CONS DI tỷ đô la RR phần trăm (%) Với đại lượng CONS YD, ta có đồ thò rời rạc sau Hình 10 hệ số tương quan chúng rCONS,YD = 0.998 Tương tự, với CONS RR, ta có đồ thò rời rạc Hình 11 hệ số tương quan rCONS,RR = 0.348 Từ đồ thò rời rạc hệ số tương quan, ta kết luận : 209 210 Với mô hình Keynes : Giả thuyết CONS đồng biến theo YD Khoảng 99% số liệu CONS YD khẳng đònh giả thuyết Ngoài ra, để tiện ký hiệu cho nhiều trường hợp, với biến số ngẫu nhiên X lấy giá trò X1 , X , , X n có trung bình X , ta đònh nghóa biến số ngẫu nhiên x tương ứng Với mô hình kinh tế học cổ điển : Giả thiết CONS nghòch biến theo RR không xác Khảng 35% số liệu CONS RR cho thấy quan hệ chúng tuyến tính (nhưng lại quan hệ đồng biến) x i = X i − X , y i = Yi − Y , i = 1, 2, , n Các ký hiệu chung Với X, Y, Z, hay X1 , X , X , để biến số ngẫu nhiên, giá trò chúng ký hiệu X j , Yj , Z j , hay X1, j , X 2, j , X 3, j , , số j số liệu thứ j biến tương ứng Đặc biệt chuỗi thời gian, người ta thường dùng số t thay cho j, nhằm nhấn mạnh yếu tố thời gian, chẳng hạn Yt X1,t số liệu biến Y X1 thời điểm t Với biến số ngẫu nhiên X lấy giá trò X1 , X , , X n , trung bình (mean), hay kỳ vọng (expectation) biến số ngẫu nhiên X, ký hiệu E ( X ) , µ X hay X , xác đònh E(X) = n phương sai (variance) X, ký σ X,Y = E ( X − µ X ) ( Y − µ Y )  = ∑ Xi , i =1 hiệu σ2X hay var(X) , đònh var(X) = E ( X − E(X) ) ), bậc hai phương sai, ký hiệu σ X hay se(X) , gọi độ lệch chuẩn (standard error) X, se(X) = var(X) n n ∑ ( X i − µX ) ( Yi − µ Y ) i =1 = n n ∑ xi y i , i =1 hệ số tương quan (correlation), ký hiệu rX,Y hay ρ(X, Y) , rX,Y = σ X,Y σX σY = cov(X, Y) se(X)se(Y) Chương MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN n nghóa kỳ vọng biến ( X − E(X) ) , nghóa ( Với vectơ ngẫu nhiên ( X, Y ) lấy giá trò ( X i , Yi ) , i = 1, 2, , n , hiệp phương sai (covariance), ký hiệu σ X,Y hay cov(X, Y) , đònh nghóa kỳ vọng tích ( X − µ X ) ( Y − µ Y ) , nghóa Hồi quy với thuật ngữ tiếng Anh “Regression” Francis Galton sử dụng vào năm 1886 công trình nghiên cứu tiếng ông chiều cao đứa trẻ có cha cao thấp không bình thường sinh Ông quan sát phụ thuộc chiều cao cháu trai vào chiều cao cha chúng Lập đồ thò phân bố, ông thấy • Với chiều cao cho trước người cha chiều cao cháu trai tương ứng nằm khoảng, dao động quanh giá trò trung bình • Chiều cao cha tăng chiều cao trung bình cháu trai tương ứng tăng 209 Như để tìm khoảng dự báo cho giá trò cá biệt giá trò trung bình cho Y0 Chẳng hạn ví dụ với mức phân bón 20 tạ/ha, để dự báo giá trò trung bình giá trò cá biệt suất với độ tin cậy 95% Ta thực theo bước sau 210 Nhấp OK suất cửa sổ sau Bước : Nhập thêm số liệu X = 20 vào quan sát thứ 11 sau Từ sổ Workfile chọn Proc → Structure / Resize Current Page… hình sau Hình 32 Chọn Yes Sau trở sổ Workfile nhập đúp vào biến X, sổ liệu biến X xuất ta nhập thêm giá trò X = 20 vào quan sát thứ 11 cách nhấp chuột phải vào ô có chữ NA chọn Edit + / − sau gõ 20 vào quan sát thứ 11 hình bên Hình 30 Nhấp chuột điều chỉnh 10 thành 11 hình 31 Hình 33 Bước : Tìm hàm hồi quy mẫu Y theo X (các thao tác µ0 µ se Y0 − Y phần 3) Để tìm Y ( ) Từ cửa sổ Equation : UNTITLED chọn Forecast…, hình sau Hình 31 209 210 Nhấp OK, ta đồ thò biến y_db sau Hình 34 Nhấp chuột, hình sau xuất Hình 36 Trở sổ Workfile ta thấy xuất thêm biến y_db se1 hình sau Hình 35 Ta nhập vào ô Forecast name biến y_db (mặc đònh yf) : µ giá trò Y µ 0) S.E (optional) biến se1 : giá trò se(Y0 − Y Hình 37 Chọn Show nhấp OK ta nhận sổ liệu hai biến y_db se1, hình sau 209 210 Hình 39 Trong ô Enter equation ta gõ dòng lệnh : se2 = sqr(se1 ^ − 2.431706 ^ 2) , sau nhấp OK Dữ liệu biến se2 nhập vào file liệu Để xem kết ta nhấp đúp vào biến se2 sổ Workfile ta có bảng số liệu sau Hình 38 µ = 60.31944 Hai số liệu hàng thứ 11 : Y µ ) = 2.558433 se(Y − Y ) Nhìn bảng số liệu hình 33 ta có σ = 2.431706 (S.E of µ ) công thức regression) Tiếp theo ta tính se(Y )2 µ 0) µ ) = var(Y µ ) = se(Y − Y µ )2 − σ đặt tên cho se(Y se(Y se2 chẳng hạn Từ cửa sổ Workfile chọn Genr ta cửa sổ sau Hình 40 Ở quan sát thứ 11 giá trò se2 = 0.795226 Bây giờ, với độ tin cậy 95% bậc tự ta tìm C = 2.306 (tra bảng Student) Gọi khoảng dự báo cho trung bình [a, b] chẳng hạn, ta tìm a, b sau Từ cửa sổ Workfile chọn Genr, gõ dòng lệnh a = y _ db − 2.306 * se2 vào ô Enter equation sau nhấp OK Ta lập lại thao tác cho b với dòng lệnh b = y _ db + 2.306 * se2 Khi số liệu a b nhập vào file liệu Để xem kết từ sổ Workfile ta chọn khối a b sau chọn Show chọn OK ta bảng số liệu sau 209 210 18 14 12 17 15 12 17 16 15 16 17 16 16 18 12 15 19 10 10 15 20 11 Bảng Trong Z biến giả : Z = : khảo sát nông thôn Z = : khảo sát thành thò Hình 41 Nhìn vào bảng số liệu ta có a = 58.48565 b = 62.15323 Hay khoảng dự báo cho giá trò trung bình µ − C × se(Y µ ), Y µ + C × se(Y µ )  = [58.48565, 62.15323] [a, b] =  Y  Ta thực tương tự cho việc tìm khoảng dự báo cho giá trò cá biệt Đònh mẫu Trước hết ta xét ví dụ sau Ví dụ Bảng số liệu sau cho biết số liệu lượng hàng bán (Y tấn/tháng), giá bán (X ngàn đồng / 1kg) 20 khu vực bán khảo sát hai nơi Thành phố Nông thôn STT Y X Z STT Y X Z 20 11 14 19 12 14 18 13 13 Có nhiều trường hợp ta không sử dụng hết số liệu mẫu ban đầu, hay cần khảo sát phụ thuộc biến giả nhận giá trò Để đònh mẫu lại, từ sổ Workfile chọn Sample, hình xuất hình 42 Hình 42 Chẳng hạn ta khảo sát 15 mẫu khu vực Thành phố ứng với Z = Ta khai báo vào ô Sample range pairs IF condition hình sau 209 210 Tính giá trò thống kê Để tính giá trò thống kê Trung bình, trung vò, độ lệch chuẩn, … biến có mô ví dụ 4, sau mở file liệu, từ cửa sổ EViews chọn Quick → Group Statistics → Descriptive statistics → Common sample, hình sau Hình 43 Nhấp OK, ta thấy có thay đổi cửa số Workfile sau Hình 45 Nhấp chuột nhập tên biến vào cửa sổ Series List hình sau Hình 44 Hình 46 Nhấp OK, ta bảng giá trò thống kê sau 209 Nhấp chuột, bảng kết kiểm đònh White xuất sau Giải thích : - Mean : trung bình Median trung vò 210 : - Std Dev : Độ lệch chuẩn Hình 47 10 Các toán kiểm đònh cho mô hình a Kiểm đònh White Chẳng hạn ví dụ Để thực việc kiểm đònh White Eview, sau ước lượng mô hình hồi quy mẫu, từ cửa sổ Equation chọn View → Residual Tests → White Heteroskedasticity (no cross terms) (Không có tích chéo biến độc lập) Khi hình sau Hình 48 Hình 49 Nếu chọn White Heteroskedasticity (cross terms) (Có tích chéo biến độc lập) Khi hình sau Hình 50 209 b Kiểm đònh biến không cần thiết mô hình 210 Nhấp OK Màn hình sau Ta xét ví dụ để kiểm đònh có mặt biến không cần mô hình xét, ta thực bước sau Bước : Mở file liệu cần xét Bước : Tìm hàm hồi quy mẫu y theo x z Bước : Từ cửa sổ Equation chọn View → Coefficient Tests → Redundant Variables → Likelihood Ratio… hình sau Hình 53 Theo kết bảng trên, giá trò thống kê F = 0.104291 có giá trò p = P(F > F − statistic) = 0.750677 Theo lý thuyết ta chấp nhận giả thuyết H0 : β3 = ( β3 hệ số biến Z) Tức biến Z biến không cần thiết mô hình ban đầu Hình 51 Sau sổ Omitted-Redundant Variable Test ta gõ tên biến cần kiểm đònh không cần thiết vào ô One or more test series (trong ví dụ ta chọn biến z) Hình 52 c Kiểm đònh biến bò bỏ xót mô hình Ta minh hoạ vấn đề số liệu ví dụ Để kiểm đònh biến bò bỏ xót (biến X chẳng hạn) mô hình xét Ta thực sau - Tìm hàm hồi quy biến bò bỏ xót Nghóa ta tìm hàm hồi quy Y theo X - Từ cửa sổ Equation chọn View → Coefficient Tests → Omitted Variables – Likelihood Ratio… hình sau 209 210 Theo kết bảng trên, giá trò thống kê F = 134.4608 có giá trò p = P(F > F − statistic) = 0.000001 nhỏ Theo lý thuyết ta bác bỏ giả thuyết H0 : β3 = ( β3 hệ số biến X ) Tức biến X có ảnh hưởng đến Y mô hình d Kiểm đònh Wald Hình 54 Sau sổ Omitted-Redundant Variable Test ta gõ tên biến bỏ xót cần kiểm đònh vào ô One or more test series Ta sử dụng EViews để tiến hành kiểm đònh mô có mặt biến không cần thiết Bằng kiểm đònh Wald Để tiến hành kiểm đònh Wald, trước hết ta ước lượng mô hình U Để minh hoạ ta lấy số liệu ví dụ thêm vào biến (đặt tên T) biến nhận giá trò từ đến 20 chẳng hạn Ước lượng mô hình U sau Hình 55 Nhấp OK Màn hình sau Hình 57 Từ kết bảng ta thấy hệ số khác không hai biến Z T ý nghóa mô hình Nên ta tiến hành kiểm đònh Wald sau Từ cửa sổ Equation chọn View → Coefficient Tests → Wald Coefficient Restrictions… hình sau Hình 56 209 210 Nhấp OK, kết xuất sau Hình 58 Và phương trình hồi quy hiển thò hình sau Hình 61 Từ kết bảng trên, ta thấy giá trò p = P(F > 2.176832) = 0.1458 > 0.05 Nên ta chấp nhận giả thuyết không, tức hai biến Z T không ảnh hưởng đến biến phụ thuộc Y e Kiểm đònh BG (Breusch – Godfrey) Hình 59 Sau sổ Wald Test ta gõ giả thuyết cần kiểm đònh (giả thuyết không) hình sau Hình 60 Ví dụ Cho số liệu thu nhập (X) tiêu dùng (Y) khoảng thời gian từ 1958 đến 1988 cho bảng sau Nă m Y X Năm Y X 1958 873.8 1494.9 1974 1538.7 2484.8 1959 899.8 1525.7 1975 1621.8 2608.5 1960 919.7 1551.1 1976 1689.6 2744.0 1961 932.9 1539.3 1977 1674.0 2729.3 1962 979.3 1629.1 1978 1711.9 2695.0 1963 1005.1 1665.2 1979 1803.9 2826.7 209 1964 1025.1 1708.7 1980 1883.7 2958.7 1965 1069.0 1799.4 1981 1960.9 3115.2 1966 1108.3 1873.3 1982 2004.4 3192.3 1967 1170.6 1973.3 1983 2000.4 3187.2 1968 1236.3 2087.6 1984 2024.2 3248.7 1969 1298.9 2208.4 1985 2050.7 3166.0 1970 1337.7 2271.3 1986 2145.9 3277.6 1971 1405.8 2365.6 1987 2239.9 3492.0 1972 1456.6 2423.3 1988 2313.0 3570.0 1973 1492.0 2416.2 210 Từ cửa sổ Equation chọn View → Residual Tests → Serial Correlation LM Test … hình sau Bảng Để tiến hành kiểm đònh vấn đề tự tương quan mẫu trên, ta làm sau - Hồi quy Y theo X ta kết Hình 63 Sau nhấp chuột, cửa sổ xuất sau Hình 64 Ta gõ vào ô Lags to include giá trò (bậc tự tương quan), nhấp OK Khi ta kết sau Hình 62 209 210 1952 0.41 12.7 1961 1.94 22.8 1953 0.50 13.5 1962 1.75 23.9 1954 0.43 14.3 1963 1.99 25.2 Trong đó, Y : Tiết kiệm ; X : Thu nhập Để kiểm đònh có thay đổi tiết kiệm hai thời kỳ hay không, ta ta thực bước kiểm đònh Chow sau - Hồi quy Y theo X, ta kết Hình 65 Theo kết bảng trên, ta có nR = 13.68617 có p _ value = 0.001067 nhỏ nên ta bác bỏ giả thuyết H0 , nghóa có tồn tự tương quan bậc f Kiểm đònh Chow mô hình hồi quy vối biến giả Ví dụ Giả sử số liệu tiết kiệm thu nhập cá nhân nước Anh từ năm 1946 đến 1963 (đơn vò pound) cho bảng sau Thời kỳ I Y X Thời kỳ II Y X 1946 0.36 8.80 1955 0.59 15.5 1947 0.21 9.40 1956 0.90 16.7 1948 0.08 10.0 1957 0.95 17.7 1949 0.20 10.6 1958 0.82 18.6 1950 0.10 11.0 1959 1.04 19.7 1951 0.12 11.9 1960 1.53 21.1 Hình 66 Từ cửa sổ Equation, chọn View → Stability Tests → Chow Breakpoint Test… hình sau 209 210 Hình 69 Và dựa vào bảng kết ta có giá trò F = 5.037 Với giá trò xác suất 0.022493 nên ta chấp nhận giả thuyết hai mô hình hồi quy khác Hình 67 Sau nhấp chuột, cửa sổ xuất sau Hình 68 Ta gõ vào cửa sổ Chow Test giá trò Breakpoint 1955 hình trên, nhấp OK Khi ta kết sau 209 210 PHỤ LỤC HƯỚNG DẪN DÙNG MÁY TÍNH Trong phần này, ta khảo sát hai loại máy : FX 500MS, 570MS FX 500ES, 570ES nhằm mục đích tính tham số cấn thiết mô hình hồi quy tuyến tính : a) Hệ số hồi quy : ˆ ˆ ˆ S β1 = Y − β2 X , β2 = rX,Y SY X ) ( ) máy theo thứ tự từ trái sang phải Các bước thực : Bước : Thoát khỏi chế độ hồi quy A Máy FX–500MS, FX–570MS : 2 ˆ ˆ X0 − X )  ( ˆ2  ( X − X )  ˆ2  var ( Y0 ) = σ n + , var ( Y − Y0 ) = σ + n + nS2  nS2X     X     Các ký hiệu, ghi Thực bước sau : Bước : Vào chế độ tính toán hồi quy tuyến tính (REG) Bước : Xóa liệu hồi quy cũ Bước : Nhập số liệu hồi quy - Các phím bấm máy ký hiệu biểu tượng , , , …, , , , , , , … phím nút Replay , Các độ lệch chuẩn SX SY ; Hệ số tương quan rX,Y d) Phương sai dùng cho dự báo : - Các phím mũi tên : , Cỡ mẫu n; Các trung bình X Y ; ˆ 2 TSS = nS2Y , ESS = nβ22S2X , RSS = n − rX,Y S Y , , Bước : Khai thác kết từ số liệu hồi quy vừa nhập Chủ yếu gồm tham số sau : rX,Y , , , Bước : Nhập số liệu hồi quy c) Hệ số xác đònh mô hình : đóng khung, ví dụ : , → Bước : Xóa liệu hồi quy cũ ˆ2 RSS 2 n với σ = n − = n − − rX,Y S Y R = ESS = TSS ” nghóa bấm phím → Bước : Vào chế độ tính toán hồi quy tuyến tính (REG) ˆ2 ˆ ˆ   ˆ var ( β1 ) =  n1 + X  σ2 , var ( β2 ) = σ , nSX nSX   → → Để nhận kết cần thiết cho tính toán, ta thực bước sau : b) Phương sai cho hệ số hồi quy : ( → - Chuỗi ký hiệu biểu tượng “ , , , , Bước : Khai thác kết từ số liệu hồi quy vừa nhập Bước : Thoát khỏi chế độ hồi quy Chú ý có khác biệt hai loại máy bước Tất bước lại Cụ thể, ta có Bước : Vào chế độ hồi quy tuyến tính 209 Máy FX–500MS : → → Máy FX–570MS : → → → → → Bước : Nhập số liệu hồi quy Số liệu tần số : xi = yi = → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → Cỡ mẫu n : Trong chế độ REG, ta thực sau : → → → → → → → Bước : Khai thác kết → Bước : Xóa số liệu hồi quy cũ → 210 → → → Trung bình X : → → → Trung bình Y : → → → → Độ lệch SX = xσn : → → → Độ lệch SY = yσn : → → → HSTQuan rX,Y = r : → → → → → → Bước : Thoát khỏi chế độ hồi quy → B Máy FX–500ES, FX–570ES Để nhận kết tính toán Kinh Tế Lượng, ta thực bước sau : Bước : Vào chế độ hồi quy tuyến tính (STAT) Bước : Nhập số liệu hồi quy (Xóa liệu hồi quy cũ, có) Số liệu có tần số : xi = Bước : Khai thác kết từ số liệu hồi quy vừa nhập yi = Bước : Thoát khỏi chế độ hồi quy Tần số lặp lại = Chú ý có khác biệt hai loại máy bước Tất bước lại Cụ thể, ta có Bước : Vào chế độ thống kê → → → → → → Máy FX–500ES : → → → → → → → → → → Máy FX–570ES : → → → → → → → → → → → → → → → → → Bước : Nhập số liệu hồi quy Trong chế độ STAT, ta thực sau : 209 → → Nếu số liệu hồi quy cũ, ta xóa : → → → Nhập số liệu tần số : 210 Trung bình X : → → → → Trung bình Y : → → → → Độ lệch SX = xσn : → → → Độ lệch SY = yσn : → → → → HSTQuan rX,Y = r : → → → → → → → xi = yi = → → → → → → → → → → → → → → Nhập số liệu có tần số : xi = yi = Tần số lặp lại = Nếu hình cột Freq (cột để nhập tần số) bấm → Nhập liệu : → → Nhập tần số : → → → → → → → → → → → → → → → Bước : Khai thác kết Cỡ mẫu n : → → → → → → → → → Bước : Thoát khỏi chế độ hồi quy → → → → → → → → → → [...]... biết, ta thay $ˆ2 của nó, σ2 bằng ước lượng không chệch σ 3.3 Tính chất của các ước lượng bình phương nhỏ nhất $ˆ2 = σ Với các giả thiết cho trong 3.2, ta có 3.3.1 Đònh lý Gauss – Markov Với các giả thiết 1-5 của mô hình hồi quy tuyến tính, các ước lượng cho bởi phương pháp OLS là các ước lượng tuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏ nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính không chệch (3.3.3) n... sẽ lớn và do đó, rất khó ước lượng β2 và β3 ( ) ( ) ( ) i =1 đó, β j càng ˆ 8 β$2 và n ∑ x23,i Do i =1 càng nhỏ và khi được ước lượng chính xác ˆ β$3 là các ước lượng tuyến tính không chệch và có phương sai nhỏ nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính không chệch của β2 và β3 Chú ( ý rằng với các 2 giả ) thiết đã nêu thì Yi : N β1 + β2 X 2,i + + βk X k,i ; σ và các ước lượng của β1 , β2 ˆ ˆ ˆ , ,... phát giải thích được trên 99% sự thay đổi của lãi suất ngân hàng Nhìn chung các kết quả tính toán trên khá phức tạp khi số liệu quan sát lớn hay trong các mô hình khác Trên thực tế, người ta thường dùng các phần mềm kinh tế lượng để hỗ trợ cho việc tính toán Chẳng hạn, với phần mềm Eview (xem phần phụ lục), ta được các kết quả cho trong bảng sau Chú ý rằng từ (3.3.7-3.3.9), ta nhận được đẳng thức (... X 3,i ; Yi ) , i = 1, 2, , N , trong đó Yi sai khác với kỳ vọng có điều kiện một đại lượng sai số ngẫu nhiên, ký hiệu ε i , nghóa là ( ) Yi = E Y X 2 = X 2,i , X 3 = X 3,i + ε i = β1 + β2 X 2,i + β3 X 3,i + ε i MÔ HÌNH HỒI QUY BỘI Trong thực tế, một đại lượng thay đổi thường chòu sự tác động của nhiều hơn một đại lượng Chẳng hạn nhu cầu Y của một loại hàng hóa thường lệ thuộc vào nhiều yếu tố như... ε i : N 0; σ2 , ∀i RSS ≡ Để ước lượng tham số của mô hình ( ) người ta dùng một mẫu gồm n bộ giá trò X 2,i ; X 3,i ; Yi , i = 1, 2, , n , để thành lập hàm hồi quy mẫu, SRF, dạng µˆ = β$ˆ + β$ˆ X + β$ˆ X , Y 1 2 2 3 3 ˆ trong đó β j là ước lượng điểm của β j , với j = 1, 2, 3 Khi đó, giá trò ước lượng thứ i của SRF sai khác so với giá trò tương ứng của PRF một đại lượng mà ta gọi là phần dư, ký hiệu... , β$1 là ước lượng trong đó Y ˆ điểm của β$1 và β$2 là ước lượng điểm của β2 Ngoài ra, do Y là biến số ngẫu nhiên, nên ứng với quan sát thứ i trong tổng thể, X = X i , giá trò Y = Yi tương ứng sai khác với giá trò trung bình β1 + β2 X i một đại lượng sai số ngẫu nhiên, ký hiệu ε i Do đó, ta còn viết 3 Phương pháp bình phương nhỏ nhất Y = β1 + β2 X + ε , (2.1.2) trong đó ε là một đại lượng ngẫu nhiên... lượng của β1 , β2 ˆ ˆ ˆ , , βk là β$1 , β$2 , , β$k thu được bằng phương pháp bình phương tối thiểu (OLS) và phương pháp ước lượng cơ hội cực đại (Maximum-Likelihood) là như nhau Tuy nhiên ước lượng của $ˆ2 = 1 ∑n e2 , σ2 trong phương pháp ước lượng cơ hội cực đại, σ n i =1 i là ước lượng chệch 1.6 Hệ số xác đònh hồi quy bội µˆ , nghóa là 5 Các phần dư ei không tương quan với Y i n µˆ = 0 ei Y i $ˆ 6... Thông thường, đại lượng Phương pháp bình phương nhỏ nhất, OLS (Ordinary Least Square), do nhà toán học Đức Carl Fredrich Gauss đưa ra Với phương pháp này, kèm theo một vài giả thiết, các ước lượng thu được có một số tính chất đặc biệt mà nhờ đó nó trở thành phương pháp hồi quy mạnh và phổ biến nhất 3.1 Nội dung phương pháp OLS 209 Giả sử Y = β1 + β2 X là PRF cần tìm Ta tìm cách ước lượng nó bằng cách... vào phân phối xác suất của các ε i và ta cần thêm giả thiết sau ( ) 2 Giả thiết 6 εi : N 0; σ ˆ ˆ $ˆ2 có các tính chất sau : Khi đó, các ước lượng β$1 , β$2 và σ i) Chúng là các ước lượng không chệch, có phương sai nhỏ nhất và khi số quan sát đủ lớn thì các ước lượng này xấp xỉ với các giá trò β1 , β2 và σ2 tương ứng 209  2  $ˆ ii) β1 : N  β1 ; σβ$ˆ ÷ ,  1  ˆ β$ − β1 Z1 = 1 : σ $ˆ β1 iii) χ2 =... là cần ước lượng PRF bằng SRF tốt nhất theo nghóa là SRF này có các tính chất : tuyến tính, không chệch, có độ lệch chuẩn nhỏ nhất Cụ thể, với hàm hồi quy tổng thể tuyến tính, hàm hồi quy mẫu có dạng µˆ = β$ˆ + β$ˆ X , Y 1 2 Chú ý rằng trong phân tích hồi quy tuyến tính, hàm hồi quy tổng thể được hiểu là tuyến tính đối với tham số nhưng không nhất thiết tuyến tính theo các biến ˆ µ là ước lượng điểm ... phân tích vấn đề kinh tế Tuy nhiên, việc tìm chất vấn đề kinh tế không đơn giản Do đó, trình nêu thường lặp lặp lại nhiều lần ta thu mô hình chấp nhận Quá trình phân tích kinh tế lượng biểu diễn... Bước Giả thuyết kinh tế : mức chi tiêu cho tiêu dùng hộ gia đình có quan hệ chiều với thu nhập khả dụng họ Bước Xét mô hình Y = β1 + β2 X + ε , với Y lượng chi tiêu cho tiêu dùng X lượng thu nhập... chọn không phù hợp mặt kinh tế, ta cần trở lại bước để thành lập mô hình khác với mong muốn mô hình tốt Bước Khai thác kết Khi mô hình nhận phù hợp với giả thuyết kinh tế, ta dùng mô hình để