=================================== TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011 =================================== ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V NĂM 2011 Môn thi: TOÁN TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ========================================== 2x + Câu ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = x − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm k để đồ thị (C) có hai điểm phân biệt M(xM; yM), N(xN; yN) thỏa mãn:  xM + y M = k   xN + y N = k Chứng minh hai điểm M, N thuộc nhánh đồ thị (C) Câu ( 2,0 điểm ) π π 11π π sin(3 x − ) + sin(8 x − ) = sin( x + ) + cos(3 x − ) 15 Giải phương trình: Giải phương trình: x3 + x – = Câu ( 1,0 điểm ) x2 + π sin x dx ∫ π sin x + cos x Tính tích phân: Câu ( 1,0 điểm ) Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A’ xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ, biết BAˆ A' = 450 Câu ( 1,0 điểm ) Chứng minh hệ phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x + y + z =  y + z + x = z + x + y =  Câu ( 2,0 điểm) x2 y2 + =1 Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): 16 đường thẳng d: 3x + 4y – 12 = Chứng minh đường thẳng d cắt (E) hai điểm phân biệt A, B Tìm điểm C thuộc (E) cho diện tích tam giác ABC (đvdt) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 2; -1), B(1; 4; -1), C(2;4;3), D(2;4; -1).Viết phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD song song với mp(BCD) Câu ( 1,0 điểm ) Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn: z2 + | z | = =========================================================== SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) http://violet.vn/vuphan62hn ==================================================== Page of =================================== TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011 =================================== …………………………… Hết………………………………… Dự kiến kì thi thử Đại học lần thứ tổ chức vào ngày 21,22/5/2011 HD GIẢI L5-2011 (SPHN) Câu 2/ Theo M,N điểm thuộc đường thẳng x + y = k hay y = - x + k 2x + x − ≠ ⇔ x −1 2 x + = ( x − 1)(− x + k ) Xét phương trình hoành độ giao điểm: =-x+k ⇔ x2 – (k – 1)x + k + = (*) ( Vì x = không nghiệm phương trình với k) Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (k – 1)2 – 4(k + 1) > ⇔ k2 – 6k – > ⇔ k > +  k < − Đặt t = x – ⇔ x = t + Khi phương trình (*) trở thành: t2 – (k – 3)t + = Với điều kiện phương trình có hai nghiệm dấu ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phía so với ⇔ Hai điểm M,N thuộc nhánh đồ thị (C) Lưu ý: Không sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai để chứng minh! Câu π π 11π π sin(3 x − ) + sin(8 x − ) = sin( x + ) + cos(3 x − ) 15 (2.1) 1/ Giải phương trình: ⇔ π 11π π π 3[ sin(3 x − ) − cos(3 x − ) 5 ] + 2[ sin (8x – ) – sin(2x + 15 )] = Phương trình (2.1) ⇔ ⇔ sin(3 x − 8π π 8π ) + cos(5 x + ) sin(3 x − ) = 15 15 8π π  x= + k  8π  45  sin(3 x − 15 ) = 19π 2π  ⇔ x = = k  150 π   cos(5 x + ) = −  x = − 31π + k 2π  150 2/ Giải phương trình: x3 + x – = ⇔ Cách 1: phương trình (2.2) ⇔ (x – 2)[ (x2 +2x + 5) - x + (2.2) x3 + x – 10 = ⇔ x−2 x2 + + ] = (k ∈ Z) ⇔ x2 + -3 x–2=0 ⇔ x2 − (x – 2)(x2 + 2x + 5) = x2 + + x = =========================================================== SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) http://violet.vn/vuphan62hn ==================================================== Page of =================================== TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011 =================================== x−2 x +5 +3 x + − x + 14 Vì: x2 + 2x + - x2 + + = (x+1)2 + > với x x x +5 Cách 2: Xét f(x) = x3 3x2 hàm số xác định R có f ‘ (x) = +1– x x2 + >0 ( Vì > | x| với x nên – x + ) Như f(x) hàm số đồng biến R Mặt khác f(2) = Vậy phương trình có nghiệm nhất: x=2 π sin x ∫π sin x + cos4 x dx Câu Tính tích phân: I = π π cos x ∫π sin x + cos4 xdx Xét thêm: J = Ta có: I + J = (1) Ngoài ra: π +x–7– x2 + π cos x − sin x cos x dx = ∫ dx 4 x + cos x π π 1− sin x J–I= = ∫ sin dt ∫ 2−t − J–I= = Từ (1) & (2) suy ra: 2 ln t− t+ = 1 2 ln π >0 cos x dx 2x ∫ − sin π 1− 1+ Đặt t = sin2x ta có: dt = 2cos2x.dx Khi đó: = 2 ln(3 − 2 ) (2) π − ln(3 − 2 ) I= Câu =========================================================== SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) http://violet.vn/vuphan62hn ==================================================== Page of =================================== TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011 =================================== Gọi O tâm đáy ABC Ta có: A’O ⊥ mp(ABC), mà AB ⊥ CO nên AB ⊥ mp(A’CO) Gọi H = AB * CO A’H ⊥ AB ⇒ BAˆ A' a = 450 AA’ = AH = ; a a AH = A’H = Do đó: SAA’B’B = Vì AO ⊥ BC nên AA’ ⊥ BC ⇒ BB’ ⊥ BC ⇒ BB’C’C hình chữ nhật ⇒ a2 A’ Suy ra: C’ B’ 450 A C H O B SBB’C’C = BB’.BC = Vậy: a (2 + ) Câu Sxq = Ta thấy (x;y;z) = (0;0;0) nghiệm hệ Nếu ẩn x, y, z thì Xét trường hợp: xyz ≠ Từ hệ suy ẩn x, y, z âm Do x, y, z bình đẳng theo hoán vị vòng quanh , nên xét hai trường hợp: 2 ⇒ ⇒ ≤ ≤ ≤  x ≥ y ≥ z  x ≥ y ≥ z TH1: x y z < Khi đó:  = x + y2 + z4 z + x2 + y4 = x = y = z TH2: y ≤ x ≤ z , xét tương tự suy x = y = z Thế vào phương trình hệ được: f(x) = x3 + x + = với x với x nên hàm số đồng biến, mà f(-1) = -10 suy phương trình có nghiệm âm Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Câu =========================================================== SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) http://violet.vn/vuphan62hn ==================================================== Page of =================================== TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011 =================================== 3 x + y − 12 = ⇔  x = 0; y =   x = 4; y = x y2  =1  + 1/ Hệ phương trình tọa độ giao điểm d (E): 16 Vậy d cắt (E) hai điểm phân biệt A, B Giả sử A( 4;0) B(0;3) S ABc 12 = Từ có hệ phương trình tọa độ điểm C: Ta có AB = 5, SABC = nên d(C,AB) = AB | x + y − 12 | 12 =  x = ±2  | x + y − 12 |= 12   32 + 42 ⇔ ⇔  2 9 x + 16 y = 144 x + y =1 y = *  16 Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài:  2  2  2 ;− ; C  − 2 ;      2 C    2/ =========================================================== SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) http://violet.vn/vuphan62hn ==================================================== Page of =================================== TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011 =================================== * * * D A D B D C Ta có = (0; -2; 0), = ( - 1; 0; 0), (0; 0; 4) * * * * * * ⇒ DA.DB = DB.DC = DC.DA = Suy DA, DB, DC đôi vuông góc Gọi M trung điểm AC, Mx trục tam giác ABC tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD giao Mx mặt * * MI = DB phẳng trung trực BD Từ suy ra: 21 Xác định I( ; 3; 1) R = ID = 21 Phương trình mặt cầu (S): (x – )2 + (y – 3)2 + (z – 1)2 = * α A D Mặt phẳng ( ) // mp(BCD) nên có véc tơ pháp tuyến * =(0;2;0) hay n (0;1;0) Phương trình mp( α ): y + d = α α ⇔ ⇔ 21 Mp( ) tiếp xúc với (S) d(I, ( )) = R |3+d| = ⇔ 21 21 ± ± d = -3 y– = Có hai mặt phẳng thỏa mãn đề là: B x K I C D =========================================================== SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) http://violet.vn/vuphan62hn ==================================================== M A Page of =================================== TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011 =================================== ∈ z2 Câu Đặt z = x + yi; (x,y R) Khi ta có: + ⇔ x = y =  xy = ⇔  x = 0; y =  2 2  x − y + x + y =  x = 0; y = −1 z ⇔ =0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z gồm điểm: x2 – y2 + x + y + 2xyi = {(0;0), (0,1); (0;-1)} =========================================================== SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) http://violet.vn/vuphan62hn ==================================================== Page of ... TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011 =================================== …………………………… Hết………………………………… Dự kiến kì thi thử Đại học lần thứ tổ chức vào ngày 21,22/5/2011 HD GIẢI L5- 2011 (SPHN)... được: f(x) = x3 + x + = với x với x nên hàm số đồng biến, mà f(-1) = -10 suy phương trình có nghiệm âm Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Câu ===========================================================... Khi phương trình (*) trở thành: t2 – (k – 3)t + = Với điều kiện phương trình có hai nghiệm dấu ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phía so với ⇔ Hai điểm M,N thuộc nhánh đồ thị (C) Lưu ý: Không