TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẪN XUÂN DŨNG TÌM HIỂU SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN MINH TƯỚC HÀ NỘI - 2013 Lời cảm ơn Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Trần Minh Tước Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tời toàn thầy cô giáo khoa Toán giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Minh Tước, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành khóa luận Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô công tác Khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô khác trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, em xin cảm ơn bạn lớp K35 Cử Nhân Toán nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Hà Nội, Ngày 17 tháng năm 2013 Sinh viên TRẦN XUÂN DŨNG Lời cam đoan Tên em là: Trần Xuân Dũng, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35CN Toán, Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin cam đoan đề tài: “Tìm liên hệ đồ thị vô hướng ma trận”, kết nghiên cứu thu thập riêng em Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có không trung thực luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, Ngày 17 tháng năm 2013 Sinh viên TRẦN XUÂN DŨNG Mục lục Mở đầu Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm lí thuyết đồ thị 1.1.1 Đồ thị vô hướng 1.1.2 Bậc đỉnh 1.1.3 Tính liên thông 1.1.4 Sự đẳng cấu 1.2 Một số khái niệm ma trận 1.2.1 Ma trận 3 4 7 Chương 2: Mối liên hệ đồ thị vô hướng ma trận kề 10 2.1 Cách biểu diễn đồ thị vô hướng ma trận 2.2 Hành trình, đường, chu trình, vết, mạch tính liên thông 2.2.1 Hành trình, đường, chu trình, vết mạch 2.2.2 Tính liên thông đồ thị vô hướng 2.3 Sự đẳng cấu đồ thị 2.3.1 Đồ thị đẳng cấu Chương 3: Đồ thị Euler đồ thị vòng 3.1 Đồ thị Euler 3.2 Đồ thị vòng Kết luận Tài liệu tham khảo 10 12 12 16 21 21 24 24 30 32 33 Mở đầu Lý chọn đề tài Việc sử dụng phương pháp đại số việc khảo sát đồ thị quan tâm Như biết cách biểu diễn đồ thị qua ma trận kề ma trận liên thuộc Riêng đặc tính đồ thị biểu diễn ma trận kề tương ứng người nói tới Từ nhận thức với tên đề tài: "Tìm liên hệ đồ thị vô hướng ma trận" em nghiên cứu ứng dụng đại số tuyến tính lí thuyết ma trận để khảo sát đồ thị vô hướng Đối tượng, phạm vi phương pháp nghiên cứu • Đối tượng: Đồ thị vô hướng ma trận kề • Phạm vi: Sự liên hệ đồ thị vô hướng ma trận Phương pháp nghiên cứu: • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết điều khiển • Phương pháp quan sát, đọc sách Mục đích, yêu cầu nhiệm vụ nghiên cứu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, toán đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Em xin bắt đầu nhắc lại kiến thức lí thuyết đồ thị ma trận đồ thị vô hướng sỏ nghiên cứu mối liên hệ chúng Trong khoá luận em tập trung việc chuyển thể đặc tính đồ thị sang đặc tính đại số (ma trận kề), sau sử dụng phương pháp đại số để đưa tính chất đồ thị Cấu trúc khóa luận Khóa luận em gồm chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại khái niệm đồ thị ma trận Chương Mối liên hệ đồ thị vô hướng ma trận kề Chương tìm hiểu mối liên hệ đồ thị vô hướng ma trận kề Biểu diễn đặc tính đồ thị qua ma trận kề Từ chuyển thể đặc tính đồ thị sang đặc tính ma trận kề Chương Đồ thị Euler đồ thị vòng Chương nhắc lại khái niệm vết mạch Euler cách biểu diễn chúng ma trận kề Áp dụng thuật toán Fleury tìm mạch Euler ma trận kề tương ứng Chương nói đến cách biểu diễn đồ thị vòng ma trạn kề Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số khái niệm lí thuyết đồ thị Đồ thị vô hướng Định nghĩa 1.1 Một đồ thị vô hướng G cặp G = (V, E), gồm hai tập hữu hạn V E thoả mãn điều kiện E ⊆ {{a, b}|a, b ∈ V ; a = b} Phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đồ thị vô hướng G Nếu e = {a, b} cạnh G a b gọi đỉnh đầu mút cạnh e hay đỉnh liên thuộc với e Ta thường kí hiệu cạnh {a, b} cách đơn giản ab Ví dụ 1.1 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d} E = {{a, b}, {b, d}, {b, c}, {c, d}} Khi G đồ thị vô hướng biểu diễn sau: a b d c Hình 1.1 Ví dụ đồ thị vô hướng Như vậy, khoá luận này, đề cập tới đồ thị vô hướng, hữu hạn, khuyên cạnh bội Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.2 Bậc đỉnh Định nghĩa 1.2 Bậc v , kí hiệu deg(v), số cạnh liên thuộc với v , nghĩa deg(v) = |E(v)| Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Bậc nhỏ G số δ(G) = min{deg(v)|v ∈ V }; Bậc lớn G số ∆(G) = max{deg(v)|v ∈ V } Ví dụ 1.2 Cho đồ thị sau: f g e c d a b Hình 1.2 Bậc đỉnh bậc đồ thị Ta có: deg(a) = 2; deg(b) = 4; deg(c) = 3; deg(d) = 0; deg(e) = 1; deg(f ) = 4; deg(g) = 4, δ(G) = 0, ∆(G) = Có thể kiểm chứng kết luận sau Định lý 1.1 [2, 3] Giả sử G = (V, E) đồ thị vô hướng m cạnh Khi deg(v) = 2m v∈V Hệ 1.2 [3] Trong đồ thị G = (V, E), ta có số đỉnh bậc lẻ đồ thị số chẵn 1.1.3 Tính liên thông Định nghĩa 1.3 Cho G = (V, E) đồ thị vô hướng Một hành trình vô hướng G dãy đỉnh v0 v1 v2 cho với i = 0, 1, , n − 1, {vi, vi+1} cạnh G Các cạnh {vi, vi+1}, i = 0, 1, , n − 1, gọi cạnh hành trình Khi n gọi độ dài, đỉnh v0 gọi đỉnh đầu, đỉnh gọi đỉnh Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ cuối hành trình vô hướng Một hành trình gọi khép kín đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Một hành trình gọi đường đỉnh hành trình khác Một hành trình gọi vết cạnh hành trình khác Một hành trình khép kín gọi chu trình đỉnh hành trình khác Một hành trình khép kín gọi mạch cạnh hành trình khác Ví dụ 1.3 Cho đồ thị G = (V, E) vô hướng C D B A E F Hình 1.3 Minh họa hành trình đồ thị Khi đó: • ABCDEF đường • ABCDEFA chu trình • ABCDBEDAEFA mạch Có thể thấy mối liên hệ khái niệm hành trình, đường, vết, chu trình, mạch sơ đồ sau Định ngĩa 1.4 Một đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi liên thông, với hai đỉnh vi vj khác G tồn Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ hành trình vô hướng G với đỉnh đầu vi đỉnh cuối vj Trong trường hợp ngược lại đồ thị không liên thông Đồ thị liên thông cực đại G′ = (V ′ , E ′) đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi thành phần liên thông G Ví dụ 1.4 Cho đồ thị vô hướng G: A C B H D E F G2 G1 Hình 1.4 Đồ thị G với hai thành phần liên thông G1 G2 Đồ thị vô hướng G đồ thị không liên thông Nó có hai thành phần liên thông G1 G2 1.1.4 Sự đẳng cấu Định nghĩa 1.5 Hai đồ thị vô hướng G = (V, E) G′ = (V ′ , E ′) gọi đẳng cấu với va viết G ∼ = G′ tồn song ánh ϕ : V → V ′ cho ab ∈ E ϕ(a)ϕ(b) ∈ E ′ với a, b ∈ V Song ánh ϕ gọi đẳng cấu G G′ Ví dụ 1.5 Cho G = (V, E) G′ = (V ′ , E ′) đồ thị vô hướng Hình 1.5 f e a b c d Hình 1.5 Ví dụ hai đồ thị vô hướng đẳng cấu Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ Ví dụ 2.5 Xét tính liên thông đồ thị sau: A B D C Hình 2.5 Ví dụ xét tính liên thông đồ thị Được biểu diễn ma trận kề tương ứng là:  1 1 1  A=  1 1 Khi ta tính An−1 với n = A2 = 1 2      5 ; A3 = 5 5 5 5 Tính ma trận bao đóng bắc cầu T = A + A2 + A3 Ta có:    T =  7 7 7 7      Nhận xét: Vì T [i, j] ≥ nên có đường từ đỉnh i đến đỉnh j hay đồ thị liên thông 19 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ Ví dụ 2.6 Xét tính liên thông đồ thị sau: A B E C D Hình 2.6 Xét tính liên thông đồ thị Ta tính An−1 với n = A= 1 A = 5 5 1 0 5 1 5 1 0 1 2 ;A = 1 0 0 1 2 0 0 0 15 14 0 10 10 ; A = 14 15 0 10 10 0 0 0 Tính ma trận bao đóng bắc cầu T = A + A2 + A3 + A4 Ta có: 22 16 T = 22 16 16 14 16 14 26 16 22 16 16 14 16 14 0 0 0 Nhận xét: Vì T [5, j] = T [i, 5] = ≤ nên đồ thị không liên thông 20 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ 2.3 2.3.1 Sự đẳng cấu đồ thị Đồ thị đẳng cấu Tính chất: • Hai đồ thị đẳng cấu có số đỉnh số cạnh • Đẳng cấu ϕ hai đồ thị bảo toàn bậc tất đỉnh Ta xét tính đẳng cấu đồ thị ma trân kề tương ứng thông qua ví dụ sau: Ví dụ 2.7 Xét tính đẳng cấu đồ thị sau: U3 U2 V2 U4 V3 V5 V4 U5 V1 U1 Hình 2.7 Ví dụ xét tính đẳng cấu đồ thị Bước 1: Tìm đỉnh có bậc đồ thị: - Các đỉnh có bậc tương ứng U2 , V2 - Các đỉnh có bậc tương ứng U2 , U4 với V3 , V5 - Các đỉnh có bậc tương ứng U1 , U5 với V1 , V4 Bước 2: Định nghĩa hàm ϕ Căn vào bước ta định nghĩa hàm ϕ tạm thời sau: Ta có: ϕ(U3 ) = V2 Vì đỉnh U3 nối với đỉnh bậc U2 U4 , đỉnh V2 nối với đỉnh bậc V3 V5 nên ta chọn tiếp: ϕ(U2) = V3 ϕ(U4) = V5 Căn vào tính chất liền kề đỉnh tương ứng vừa chọn, ta thấy 21 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ đỉnh U2 nối với đỉnh U1 U5 nhau, đồng thời đỉnh V3 nối với đỉnh V1 V4 nhau, nên ta chọn tiếp hàm ϕ sau: ϕ(U1) = V1 ϕ(U5) = V4 Như ta lập phép tương ứng -1 đồ thị G1 G2 Bước 3: Lập ma trận kề đối chứng song ánh Ta có:     V2 V1 V4 V3 V5 U3 U1 U5 U2 U4     1 1  V2  U3       V1   U1 1 1 1   ; AG =  AG1 =   V  U 1 1 1         1 1  V3 1  U2 1 V5 1 1 U4 1 1 Vì AG1 = AG2 ta suy f bảo tồn cạnh Vậy ta kết luận ϕ phép đẳng cấu hay G1 G2 đẳng cấu Như để chứng minh hai đồ thị đẳng cấu ta phải chứng minh: • Điều kiện cần hai đồ thị: + Phải có số cạnh số đỉnh + Cùng số đỉnh bậc k số thành phần • Điều kiện đủ: Tồn song ánh bảo toàn quan hệ liền kề hai đồ thị Xét hai đồ thị vô hướng đẳng cấu G1 = (V1 , E1 ) G2 = (V2 , E2 ) Thì tồn hai song ánh ϕ ν cho: ϕ : V1 → V2 ν : E1 → E2 Nếu cạnh e1 ∈ E1 liên kết với cặp đỉnh v1 , v2 ⊆ V1 xét đồ thị G1 cạnh ν(e1 ) liên kết với cặp đỉnh ϕ(v1), ϕ(v2) xét đồ thị G2 Tương tự cạnh en−1 ∈ E1 liên kết với cặp đỉnh vn−1 , ⊆ V1 xét 22 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ đồ thị G1 cạnh ν(en−1) liên kết với cặp đỉnh ϕ(vn−1), ϕ(vn) xét đồ thị G2 (điều gọi tương ứng đỉnh) Nên theo thứ tự đỉnh ma trận kề tương ứng Do hai đồ thị có ma trận kề (theo thứ tự đỉnh đó) chúng đẳng cấu với hay nói cánh khác (0, 1) - ma trận đối xứng cấp n tương ứng, xác đến cách đánh số đỉnh (còn nói là: xác đến đẳng cấu) với đơn đồ thị vô hướng n đỉnh ma trận kề đồ thị vô hướng ma trận đối xứng A[i, j] = A[j, i]; i, j = 1, 2, n 23 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN Chương Đồ thị Euler đồ thị vòng 3.1 Đồ thị Euler Một vết đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi Vết Euler chứa tất cạnh G Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị nửa Euler có vết Euler Một mạch đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi mạch Euler chứa tất cạnh đồ thị G Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị Euler có mạch Euler Nếu đồ thị vô hướng đồ thị Euler hiển nhiên đồ thị nửa Euler Ví dụ 3.1 Cho đồ thị vô hướng C B D E A Hình 3.1 Ví dụ vết Euler Đồ thị sau có vết Euler là: 24 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ VÒNG d1 : ABCDBEDAE d2 : ABDCBEADE Vết Euler d1 biểudiễn ma trận kề tương  ứng là: A B C D E   (1) 1 A    B 1 (1) (1)  A=  C (1) (1)     (1) D (1) 1 E (1) 1 Trong cạnh d1 qua kí hiệu (1) Ví dụ 3.2 Cho đồ thị vô hướng C D B A E F Hình 3.2 Ví dụ mach Euler Đồ thị sau có mạch Euler là: C1 : ABCDBEDAEF A C2 : ABDCBEADEF A Mạch Euler C1 đượcbiểu diễn ma trận kề tương  ứng là: A B C D E F   A  (1) 1 (1)   B  (1) (1)     A = C (1) (1)    D (1) 1  (1)    E (1) 1 (1)   F 1 25 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ VÒNG Trong cạnh C1 qua kí hiệu (1) Để tìm mạch Euler đồ thị có tất đỉnh bậc chẵn, ta sử dụng thuật toán Fleury sau: Xuất phát từ đỉnh đồ thị G tuân theo hai qui tắc sau: • Qui tắc 1: Mỗi qua cạnh xóa cạnh đi, sau xóa đỉnh cô lập (nếu có) • Qui tắc 2: Không qua cầu, trừ không cách khác để di chuyển Áp dụng thuật toán Fleury tìm mạch Euler ma trân kề Ví dụ 3.3 Cho đồ thị vô hướng: A B C D H G F E Hình 3.31 Ví dụ tìm mạch Euler Ma trận kề tương ứng là:  A B C D E  A    B 1   C 1   A1 =  D   E   F 1    G 1 H 26 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN  F G H    1            1 CHƯƠNG ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ VÒNG Ta tuân theo quy tắc đường ma trận kề hàng cột hàng cột Nếu xuất phát từ đỉnh A theo hàng gặp vị trí (i, j) = qua B qua G, giả sử ta qua B xoá vị trí (A, B) vừa qua Vì ma trận kề có tính chất đối xứng nên ta xoá vị trí (B, A) Từ vị trí (A, B) vừa xoá theo cột qua C, G H , giả sử ta qua C xoá vị trí (C, B); (B, C) Tương tự ta qua F theo hàng xoá vị trí (C, F ); (F, C) Khi xoá vị trí qua ma trận kề tương ứng là:   A B C D E F G H  A       B  1    C  1     A2 =  D 1     E  1    F  1      G 1 1 H 1 Đến đây, ta chọn (G, F ) (G, F ) vị trí (G, F ); (F, G) ma trận kề tương ứng là:  A B C D E F G  A    B   C 1   A3 =  D 1   E 1   F 1    G 1 H 1 27 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN cầu xoá H     1            1 CHƯƠNG ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ VÒNG Từ vị trí (G, F ) theo hàng ta qua B H Giả sử ta qua B xoá vị trí (G, B); (B, G) Tương tự ta qua H G xóa vị trí (H, B); (B, H) (H, G); (G, H) Từ vị trí (H, G) ta vị trí ban đầu A Ta chu trình ABCF GBHGA không chu trình Euler không qua tất cạnh Như ta chọn qua vị trí (D, F ), (D, C), (E, C), (E, F ) Sau xoá vị trí qua ta ma trận kề tương ứng là:   A B C D E F G H  A       B  1    C      A4 =  D     E     F       G 1 1 H 1 Từ vị trí (E, F ) ta không cách khác qua vị trí (G, F ), (G, H), (B, H), (B, G)v(G, A) Khi ta thu chu trình Euler qua tất cạnh A, B, C, F , D, C, E, F, G, H, B, G, A Định lí 3.1 [2] Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị Euler đỉnh có bậc chẵn Hệ 3.3 [2] Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị nửa Euler có không hai đỉnh bậc lẻ Như muốn kiểm tra đồ thị Euler hay nửa Euler mà biết ma trận kề tương ứng đồ thị dựa vào tính chất ma trận 28 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ VÒNG kề ta có nhận xét sau: • Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị Euler tổng phần tử theo hàng cột số chẵn Ví dụ 3.4 Cho đồ thị vô hướng C D B A E F Hình 3.3 Ví dụ đồ thị Euler Ma trận kề tương ứng đồ thị là:        A=      A B C D E F A B C D 1 1 1 1 1 1 1  E F  1         1  Xét hành trình H1 : ABCDEF A mạch Dựa vào ma trận kề tương ứng đồ thị theo dòng cột ta có: deg(A) = deg(B) = deg(D) = deg(E) = deg(C) = deg(F ) = 29 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ VÒNG Vì bậc đỉnh đồ thị số chẵn nên suy đồ thị đồ thị Euler • Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị nửa Euler có không hai hàng hai cột có tổng phần tử số lẻ 3.2 Đồ thị vòng Đồ thị vòng Cn (n ≥ 3) đồ thị có n đỉnh v1 , v2, , có n cạnh (v1, v2), (v2, v3), , (vn−1, vn), (vn, v1) Ví dụ 3.5 C3 C4 C5 Hình 3.4 Đồ thị vòng Cn có: n đỉnh, deg(v) = 2, n cạnh Biểu diễn đồ thị C4 ma trận kề tương ứng:  1 1  A=  1 1      Nhận xét: Ma trận kề tương ứng đồ thị vòng có xếp vị trí {i, j} = tập hợp gồm vị trí hàng cột (vì bậc tất đỉnh đồ thị vòng nên theo tính chất ma trận kề tương ứng tổng dòng cột ma trận kề phải 2) 30 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ VÒNG Xét dây chuyền kép kín n đỉnh đồ thị vòng tồn thứ tự xếp đỉnh cho ma  trận kề đồ thị vòng  có dạng: 0    1 0     1 0      A =  0 0         0 0    0 Ta dễ dàng chứng minh tồn thứ tự xếp đỉnh qua phép sau: Nói cách khác phép đổi chỗ phần tử tập đỉnh V = 1, 2, , n Phép δ : Vn −→ Vn biểu diễn sau: n Phép δ = δ(1) δ(2) δ(3) δ(n) Trong δ(i) ảnh phần tử i ∈ Vn viết dòng cột với i Ảnh phần tử tập Vn qua phép cho ta hoán vị tập Vn Ngược lại hoán vị lại xác định phép Phép hoán vị kí hiệu tập hợp chu trình Do nếu: δ(1) = 1, δ(2) = 2, , δ(n) = n ta có chu trình (‘1, 2, ,n) Thứ tự phần tử chu trình thay đổi theo phép xoay vòng chu trình Do hoán vị viết là: (2, 3, 4, , n, 1); (3, 4, 5, , n, 1, 2); ( , , , , ); (n, 1, 2, , n − 1) Khi viết ma trận kề đồ thị có hướng Cn theo thứ tự xếp đỉnh ta nhận ma trận A 31 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN Kết luận Khóa luận với đề tài: “Tìm liên hệ đồ thị vô hướng ma trận”, em nghiên cứu nội dung liên hệ qua ma trận kề chủ yếu là: • Bậc đỉnh đồ thị vô hướng • Hành trình, đường, vết, mạch tính liên thông đồ thị vô hướng • Sự đẳng cấu đồ thị • Đồ thị Euler đồ thị vòng Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình thầy Trần Minh Tước ý kiến đóng góp thầy cô khoa Toán bạn sinh viên Theo em, đề tài thực tập đạt mục đích đề ra, mang lại cần thiết lợi ích thực tập chuyên ngành nói chung việc đào tạo Cử nhân ngành Toán nói riêng, góp phần phát triển Toán học Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô độc giả Em xin chân thành cảm ơn! 32 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN Tài liệu tham khảo [1] Norman Biggs (1974), Algebraic Graph Theory Cambridge Tracts in Mathematics ,VOL 67 [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (1997),Toán rời rạc, NXB Giáo dục [4] Ngô Đắc Tân(2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB ĐHQG Hà Nội [5] http://giaoan.violet.vn/present/show?entry/_id=367548 33 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN [...]... viết ma trận kề của đồ thị có hướng Cn theo thứ tự sắp xếp các đỉnh như vậy ta cũng vẫn nhận được ma trận A 31 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN Kết luận Khóa luận với đề tài: Tìm sự liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận , em đã nghiên cứu các nội dung được liên hệ qua ma trận kề chủ yếu là: • Bậc của đỉnh trong đồ thị vô hướng • Hành trình, đường, vết, mạch và tính liên thông của đồ thị vô hướng • Sự. .. } ∈ / E 10 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ Dễ thấy ma trận kề A của đồ thị vô hướng G hoàn toàn xác định G Vì vậy, ma trận kề A được gọi là một biểu diễn của G Ví dụ 2.1 Cho đồ thị G vô hướng B D A F E C Hình 2.1 Ví dụ biểu diễn đồ thị vô hướng qua ma trận kề Khi đó ma trận kề tương ứng của đồ thị G là:        A=      A B C D E F A B... Đồ thị vô hướng, liên thông G là đồ thị Euler nếu và chỉ nếu mọi đỉnh của nó đều có bậc chẵn Hệ quả 3.3 [2] Đồ thị vô hướng, liên thông G là đồ thị nửa Euler nếu và chỉ nếu nó có không quá hai đỉnh bậc lẻ Như vậy nếu muốn kiểm tra một đồ thị là Euler hay nửa Euler mà chỉ biết ma trận kề tương ứng của đồ thị thì dựa vào tính chất của ma trận 28 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG 3 ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ... K35-CN Chương 3 Đồ thị Euler và đồ thị vòng 3.1 Đồ thị Euler Một vết trong đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là Vết Euler nếu nó chứa tất cả các cạnh của G Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là đồ thị nửa Euler nếu nó có một vết Euler Một mạch trong đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là mạch Euler nếu nó chứa tất cả các cạnh của đồ thị G Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là đồ thị Euler nếu nó... trình H1 : ABCDEF A là một mạch Dựa vào ma trận kề tương ứng của đồ thị theo các dòng các cột ta có: deg(A) = deg(B) = deg(D) = deg(E) = 4 deg(C) = deg(F ) = 2 29 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG 3 ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ VÒNG Vì bậc của các đỉnh trong đồ thị đều là những số chẵn nên suy ra đồ thị là đồ thị Euler • Đồ thị vô hướng, liên thông G là đồ thị nửa Euler nếu và chỉ nếu nó có không quá hai hàng... K35-CN CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ Từ định nghĩa của quan hệ liên thông ta có bao đóng bắc cầu của quan hệ R là R R2 Rn−1 Dễ thấy ma trận của bao đống bắc cầu chính là hợp của các ma trận trên từ đó ta có thể xây dựng thuật toán cho bài toán trên Tham khảo trong [5] Thuật toán 2.1 • Xây dựng ma trận kề A cho đồ thị G • Tính ma trận bao đóng bắc cầu của ma trận kề A T = A + A2... được biểu diễn giống đường đi d4 trong ma trận kề của đồ thị Một dãy các vị trí {i, j} = 1 của ma trận kề mà hai vị trí (và không 13 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ qua hai) liên tiếp của dãy luôn nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột gọi là dây chuyền Như vậy đường đi và vết của đồ thị được biểu diễn trong ma trận kề tương ứng là một dây chuyền... hành trình, đường, chu trình, vết và mạch của đồ thị vô hướng trên ma trận kề tương ứng thông qua ví dụ sau: Ví dụ 2.2 Cho đồ thị vô hướng: A B D C Hình 2.2 Ví dụ hành trình trong đồ thị Một số đường đi từ đỉnh A đến đỉnh C là: • Đường đi d1 : {A, B}, {B, D}, {D, C} (đường đi có độ dài là 3) 12 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ • Đường đi d2 : {A, D},... 0 0 Tính ma trận bao đóng bắc cầu T = A + A2 + A3 + A4 Ta có: 22 16 T = 22 16 0 16 14 16 14 0 26 16 22 16 0 16 14 16 14 0 0 0 0 0 0 Nhận xét: Vì T [5, j] = T [i, 5] = 0 ≤ 1 nên đồ thị là không liên thông 20 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ 2.3 2.3.1 Sự đẳng cấu của các đồ thị Đồ thị đẳng cấu Tính chất: • Hai đồ thị đẳng cấu có cùng số đỉnh và số cạnh... E1 liên kết với cặp đỉnh v1 , v2 ⊆ V1 xét trong đồ thị G1 thì cạnh ν(e1 ) sẽ liên kết với cặp đỉnh ϕ(v1), ϕ(v2) xét trong đồ thị G2 Tương tự cạnh en−1 ∈ E1 liên kết với cặp đỉnh vn−1 , vn ⊆ V1 xét trong 22 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ đồ thị G1 thì cạnh ν(en−1) sẽ liên kết với cặp đỉnh ϕ(vn−1), ϕ(vn) xét trong đồ thị G2 (điều này được gọi là sự ... CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ Dễ thấy ma trận kề A đồ thị vô hướng G hoàn toàn xác định G Vì vậy, ma trận kề A gọi biểu diễn G Ví dụ 2.1 Cho đồ thị G vô hướng B D A F E... cứu nội dung liên hệ qua ma trận kề chủ yếu là: • Bậc đỉnh đồ thị vô hướng • Hành trình, đường, vết, mạch tính liên thông đồ thị vô hướng • Sự đẳng cấu đồ thị • Đồ thị Euler đồ thị vòng Ngoài... K35-CN CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ 2.3 2.3.1 Sự đẳng cấu đồ thị Đồ thị đẳng cấu Tính chất: • Hai đồ thị đẳng cấu có số đỉnh số cạnh • Đẳng cấu ϕ hai đồ thị bảo toàn bậc