TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN -***** - HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 1O KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học toán Hà Nội, 2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN -***** - HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 1O KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học toán Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐÀO THỊ HOA Hà Nội, 2013 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU NỘI DUNG Trang CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Kỹ giải toán vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1.2 Dạy học giải tập toán học 1.2 Cơ sở thực tiễn 11 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 Mục tiêu, nội dung dạy học bất đẳng thức 15 2.1.1 Mục tiêu… 15 2.1.2 Nội dung dạy học 15 2.2 Một số kiến thức bất đẳng thức 16 2.2.1 Định nghĩa 16 2.2.2 Một số tính chất 16 2.2.3 Các bất đẳng thức 16 2.3 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 18 2.3.1 Phương pháp dùng định nghĩa 18 2.3.2 Phương pháp biến đổi tương đương 20 2.3.3 Phương pháp quy nạp 23 2.3.4 Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác 26 2.3.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky 28 2.3.6 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 32 2.3.7 Phương pháp hình học 36 2.3.8 Phương pháp lượng giác 38 2.3.9 Phương pháp hàm số 39 2.3.10 Phương pháp đổi biến số 41 2.4 Một số ứng dụng bất đẳng thức 43 2.4.1 Giải phương trình, hệ phương trình 43 2.4.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 46 2.5 Hệ thống tập 51 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu, thực khóa luận “Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10”, với cố gắng thân với hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy cô giáo, bạn sinh viên, em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Phương pháp bạn sinh viên tạo điều kiện cho em suốt thời gian em làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thạc sỹ Đào Thị Hoa, người giúp đỡ em tận tình trình chuẩn bị hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Mai Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận “Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10” kết nghiên cứu riêng tôi, kết tìm tòi, tổng hợp từ tài liệu tham khảo hướng dẫn Thạc sỹ Đào Thị Hoa, trích dẫn khóa luận trung thực Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Mai Phương PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển trí tuệ, Toán học không cung cấp cho học sinh (người học toán) kỹ tính toán cần thiết mà giúp người học rèn luyện khả tư logic Trong việc dạy học toán tìm cách thức giải tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống tập, sử dụng phương pháp dạy học để góp phần củng cố kiến thức, hình thành phát triển tư cho học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần bồi dưỡng rèn luyện phẩm chất đạo đức, tập toán bất đẳng thức toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tự giác, tích cực, độc lập sáng tạo tư trí tuệ Tuy nhiên toán bất đẳng thức nhìn chung khó phạm vi kiến thức rộng, đòi hỏi học sinh phải tư tích cực Qua thời gian học tập trung học phổ thông thời gian thực tập, thấy thực trạng dạy toán bất đẳng thức là: - Giáo viên dạy bất đẳng thức chữa tập xong, khai thác, phân tích, mở rộng toán dẫn đến học sinh gặp toán khác chút không giải - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức toán thường khó, phải áp dụng kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng… nên học sinh hay ngại chưa vận dụng toán bất đẳng thức để giải toán khó cực trị, hàm số… Với lý kể trên, mạnh dạn chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10” nhằm giúp học sinh bớt lúng túng giải toán bất đẳng thức, tự định hướng phương pháp chứng minh, giải toán liên quan hứng thú học bất đẳng thức nói riêng môn toán nói chung giúp thân tự nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ Mục đích nghiên cứu 2.1 - Với thân Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho trình giảng dạy sau - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, nâng cao kiến thức 2.2 Với học sinh - Giúp học sinh nắm số phương pháp chứng minh bất đẳng thức bản, giải toán chương trình - Giúp học sinh phát triển lực toán học, phát triển lòng yêu thích môn học - Chuẩn bị kiến thức cần thiết nhằm phục vụ kỳ thi Đại học sau Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu sở lý luận việc hướng dẫn học sinh giải tập toán - Tìm hiểu mục tiêu nội dung dạy học bất đẳng thức sách giáo khoa lớp 10 nâng cao - Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh  Hệ thống kiến thức phương pháp giải tập bất đẳng thức  Xây dựng hệ thống toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 chương trình nâng cao Phạm vi đối tượng nghiên cứu - Đối tượng: Các phương pháp chứng minh ứng dụng bất đẳng thức - Phạm vi: Đại số 10 nâng cao Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận - Quan sát điều tra - Tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.1 Kỹ giải toán vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1.1.1 Kỹ “Kỹ khả vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn Trong đó, khả hiểu là: sức có (về mặt đó) để thực việc gì” [2, tr.548] Theo tâm lý học, kỹ khả thực có hiệu hành động theo mục đích điều kiện xác định Nếu tạm thời tách tri thức kỹ để xem xét riêng tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả “biết”, kỹ thuộc phạm vi hành động, thuộc khả “biết làm” Kỹ nghệ thuật, khả vận dụng hiểu biết người để đạt mục đích Kỹ đặc trưng thói quen định cuối kỹ khả làm việc có phương pháp “Trong toán học, kỹ khả giải toán, thực chứng minh nhận Kỹ toán học quan trọng nhiều so với kiến thức túy, so với thông tin trơn” [5, tr.99] Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động Cho x,y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  ( x  a)2  y  ( x  a)  y  y  b Trong đó: a  0, b  a số x   Đáp án: MinA  b  a   y  a   2.4.2.3 Dùng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ của: T= x   x   x  x  Hướng dẫn: Ta có: x   x   x    x  x    x  (1) Và x   x   x    x  x    x  (2) Vậy T= x   x   x   x     Từ (1) suy dấu “=” xảy khi:  x  Từ (2) suy dấu “=” xảy khi:  x  Vậy: Ta có giá trị nhỏ  x  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A  x   y  x  y 5 Hướng dẫn: a) Áp dụng ab  a  b A  x   y 1  max A   chẳng hạn x  2, y  3 b) Áp dụng tính chất trị tuyệt đối x y  x  y A  x   y 1   A   chẳng hạn x  2, y  2.5 HỆ THỐNG BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh ≥ 0, ≥ + ( ≥ + ) (1) Hướng dẫn: (1)⇔ + − − ⇔ ( − )( − )( + ( − )− ≥0⇔ )≥0⇔( − ) ( + ( − )≥0 + + )≥0 Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy ⇔ = Khai thác toán: - Ta có toán tổng quát sau: Cho , ,…, số thực không âm, + + ⋯+ ≥ ∈ ℕ∗ Chứng minh … ( + + ⋯+ Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số thực ta có + + ⋯+ + +⋯+ ≥ ( + 2) ≥ ( + 2) … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … + + ⋯+ ≥ ( + 2) Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đpcm Đẳng thức xảy ⇔ = =⋯= … ) - Áp dụng (1) bất đẳng thức tổng quát ta chứng minh bất đẳng thức sau Bài toán 1: Chứng minh + + √ ≥ + √ + √ Hướng dẫn: + ≥ + + ≥ + + ≥ + Áp dụng (1) ta có Cộng vế với vế bất đẳng thức ta 2( + + ( + )+ )≥ ( + )+ ( + ) (2) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm ta có ( + )+ ( + )+ ( + )≥2 √ +2 +2 √ √ (3) Từ (2) (3) suy đpcm Đẳng thức xảy ⇔ = = Bài toán 2: Chứng minh với x, y, z số thực dương ta có + + + + + + + + + + ≥ + Hướng dẫn: Áp dụng (1) ta có ( ) +( ) ≥ ⇔2 + ≥ ⇔2 + ≥ ⇔ + ( + + ≥ ; + + + + ) ≥ + Tương tự + + + + + + Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đpcm ≥ + + Đẳng thức xảy ⇔ = = Bài toán 3: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ( + ) + + + ≥ 3( + + ) Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức tổng quát (1) cho n = ta + + ( ≥ + + ) (4) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có 1 + + ≥ (5) Từ (4) (5) suy đpcm Đẳng thức xảy ⇔ = = Bài 2: Cho x, y, z ba số dương + + + + + ≤ CMR + + ≥ √82 Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số (1 + ) + Hay √82 + ≥ Tương tự với √82 + + + ≥ , + (1 ; 9) ta có + + Ta phải chứng minh + + + ta + + +9 + + + ≥ + ≥ 82 + +9 + + 1 1 Ta có ( x  y  z )(   )  ⇒ x y z + Áp dụng Cauchy cho số (x + y + z) + + + ≥ 82 ta 81 ≥ 2√81 + + + + Đẳng thức xảy  x = y = z = 1/3 hay x + y + z = Khi áp dụng Cauchy cho số (x + y + z) + + + + ≥ 80 hay Vậy ta cần chứng minh ta ≥2 + + + ≤ (đây giả thiết) Ta đpcm Khai thác toán: - + + ⋯+ + - , Đề xuất toán tổng quát: Cho ,…, n số dương ≤ Chứng minh rằng: + + + ⋯+ + ≥ +1 Cách giải khác 1: Áp dụng Cauchy cho 82 số: x2 81 số + = + 81 + 81 + ⋯+ ta được: 81 ≥ 82 (81 = ) 82 √9 Tương tự với y, z Sử dụng Cauchy cho số giả thiết ta có: + + + ≥ √82 √3 + + √ ≥ 1 √82 √3 √ √ + = √82 + √ Với cách làm trên, ta đề xuất toán tổng quát sau: Cho x, y, z ba số dương nhiên + ≤ Chứng minh với số tự > ta có + - + + + + + ≥ 83 Cách giải khác 2: Đặt ⃗ = ; , ⃗= Ta có | ⃗| = ; , ⃗=( ; ) , | ⃗| = + , | ⃗| = + + Ta có | ⃗| + | ⃗| + | ⃗| ≥ | ⃗ + ⃗ + ⃗| Mà ⃗ + ⃗ + ⃗ = ( + + ; + + ) Nên + + + + + ( + ≥ + ) + + + Vậy ta cần chứng minh ( + + ) + + + ≥ 82 Ta có + + ≥ + + ≥( + Mà ( + + ) +( ) ⇒( + + ) + ≥ ( + ) + + + 81 ( + + ) ) ≥ 80 + + ≤1 Nên ta có đpcm Bài 3: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = CMR + Hướng dẫn: + ≥ + + (∗) Ta có (*) ⇔ 3( + ⇔ ( − )( ⇔( − ) ( + + ) + ( − )( − + ) ≥ ( + + )( + ) ) + ( − )( − )+( − ) ( + + + + + )≥0 )+( − ) ( + ) ≥ 0, bất đẳng thức với a, b, c dương Ta có đpcm Khai thác toán: - Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: a4, a4, a4, ta a4 + a4 + a4 +1 ≥ 4a3 Tương tự ta có b4 + b4 + b4 + ≥ 4b3 c4 + c4 + c4 + ≥ 4c3 Cộng vế tương ứng ta 3( + + Ta cần chứng minh + + ) ≥ 4( + + )−3 ≥3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số a3, 1, ta a3 + + ≥ 3a Tương tự b3 + + ≥ 3b c3 + + ≥ 3c Cộng vế tương ứng sử dụng giả thiết a + b + c = suy + - + ≥3 Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( + + ) =( ≤( ⇒ + + + + + + + ≥ + ) )( + + + + + + ) Vận dụng tương tự để hạ bậc ta có + + + + ≥ + + + + ≥ + + =1 1+1+1 Ta có đpcm - Cách 4: Nhận thấy đẳng thức xảy ⇔ Ta có − = = =1 − dấu nên ( − 1)( − 1) ≥ ⇒ ≥ − Tương tự với b c ta có ≥ − −1 − ≥ − −1 Cộng vế tương ứng bất đẳng thức sử dụng giả thiết + + = suy đpcm Bài 4: Chứng minh a.b  thì:   1 a 1 b2 1 ab Hướng dẫn: Xét hiệu:       1 a 1 b2 1 ab 1 a 1 ab 1 b2 1 ab 1)   (b  a) (ab (1 ab)(1 a )(1 b2 ) Khai thác toán: - Với số x, y mà + ≥ chứng minh rằng:    4x  y 1 2x  y Hướng dẫn: Đặt = , = , ta đưa toán ban đầu Bài 5: a  (a  4b) 2 2 Cho ab  Chứng minh :  2   a  4b    Hướng dẫn: Đặt a  2btg ,     ,   2 a  (a  4b) tg 2  (tg  2)   4(tg  1).cos  2 a  4b  tg   2sin 2  2(1  cos 2 )  2(sin 2  cos 2 )     2 sin(2  )    2  2, 2   Bài 6: Chứng minh a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi 3( + )+4 + ≥ 13 Hướng dẫn: Đặt T = +3 +3 +4 Do vai trò bình đẳng a, b, c nên ta giả sử < ≤ ≤ Chu vi tam giác nên a + b + c = ⇒ a + b = – c Mà a + b > c ⇒ ≤ < Ta biến đổi = 3( + )+3 = 3[( + ) − +4 = 3(3 − ) + +2 ]+3 +4 (2 − 3) Vì < ⇒ − < ≤ + 3− = ⇒ (2 − 3) ≥ 3− (2 − 3) Do ≥ 3(3 − ) + Xét hàm số ( ) = − +2 3− + 1; (2 − 3) = ( )=0⇔ + + )+4 + , có f’(c) = 3c2 − 3c =1 Lập bảng biến thiên suy ( ) ≥ 13 ⇒ 3( − ≥ 13 hay ≥ 13 Bài 7: Giải phương trình x   x   2( x  3)2  x  (1) Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho x  ; x – 1; ta có: 27    x   x  3  x   x   12  12   x  1   x  3    2( x  1)  2( x  3) (1) (2) xảy khi: x 1  x   x – 6x + = x –  x – 7x + 10 =  x=2 x = x = không thoả mãn; x = thoả mãn Vậy S  5 Bài 8: Giải hệ phương trình:  x  y  xy  3(1) ( x, y  R )   x   y   4(2) (Câu II.2.Thi ĐH khối A-năm 2007) Hướng dẫn: Điều kiện: xy  0, x   0, y    xy  0, x  1, y  1 Từ (1) có: x  y   xy  x  0, y  Từ (1) áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x  y   xy   ( x  y )  x  y  (3) Từ (2) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:  x   y   12  12 ( x  1)( y  1)  x  y  0(4) (2) x  y  x  y    x 1  y 1  x  y  Từ (3) (4) có:   x  y   xy *Chú ý: Từ toán ta khái quát cách giải theo hướng sau:  x  y  xy  a(1) ( x, y  R )  x  b  y  b  c (2)  Trong đó: a  0, c  0, b  c2  a số Bài 9: Tìm giá trị lớn B  y2 x 1  x y Hướng dẫn: Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích không âm Ta xem biểu thức x   1(x  1) y   ab  x  1, y  2(y  2) Theo bất đẳng thức Cauchy 1(x  1)  x  1 x 1    x x 2x y2 2(y  2)  y  2     y y 2y 2 max B  Bài 10: ab với a b x   x  2 2     4 y   y  tích a6 b6 c6 Tìm giá trị nhỏ   b  c3 c3  a a  b3 a, b,c số thực dương thoả mãn điều kiện a  b  c  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki  b  c  c3  a  a  b    2        a b c 3  3       b  a  c    3   b  c c  a b  a              Hay b6 c6   a6 3 2  a  b  c   3    a  b  c   3  b c c a a b  3 b6 c6   a  b  c   a6  3     I 3  b  c c  a a  b   3 Lại có  b  c3    a    a  b  c2  (II) a 2 c3     2 1   1  a  b3  a  b   b  c2    a  b  c     a  b  c2   b6 c6   a6 Từ (I), (II), (III)      3   b  c c  a a  b  18 abc c               3 b6 c6   a6    18 a  b  c  Vậy  3 3   b  c c  a a  b  (III) PHẦN III: KẾT LUẬN * Khóa luận giải vấn đề : - Giúp học sinh có nhìn tổng quát có hệ thống bất đẳng thức, từ có kĩ giải thành thạo toán thuộc chủ đề học sinh không cảm giác e sợ gặp bất đẳng thức - Tạo cho học sinh có thói quen tổng quát toán giải toán khác từ toán xuất phát, biết toán đề thi đâu mà có người ta tạo chúng cách - Thông qua việc tìm toán gốc, việc tổng quát toán, việc tạo toán mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ Giáo dục Đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập môn * Kết luận: Khóa luận em mặt hình thức không Cái phân loại có tính chất xuyên suốt chương trình bám vào kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư học sinh Thêm vào đó, với toán có phân tích lôgic, có tổng quát điều đặc biệt cho học sinh tìm toán dựa vào toán ban đầu Thông qua việc làm thường xuyên này, học sinh thích nghi cách tốt, có tư sáng tạo, có lực làm toán tạo toán Học sinh thường hiểu sâu thích học phần Mặc dù có đầu tư song điều kiện thời gian hạn chế nên phân loại chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong thầy cô góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi Đại học Cao đẳng năm gần Phan Văn Các (1992), Từ điển Hán Việt, NXB Giáo dục Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học môn Toán trường trung học phổ thông, NXB Giáo dục Đại số 10 nâng cao G Polya (1976), Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục G Polya (1977), Giải toán nào, Nxb Giáo Dục Nguyễn Phụ Hy (2000), Ứng dụng đạo hàm để giải toán trung học phổ thông, NXB Giáo dục Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn Toán (phần I), NXB Giáo dục 10 Võ Đại Mau (1998), Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng, NXB Trẻ 11 Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò, Phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, NXB Giáo dục 12 Trần Phương (2000) , Các phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, NXB thành phố Hồ Chí Minh [...]... nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết... viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm được kiến thức trong sách giáo khoa là hoàn toàn chưa đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh coi là khó Nhiều học sinh không biết giải bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải toán bất đẳng thức như thế nào Thực tế cho thấy toán bất đẳng thức. .. hướng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thường gặp, các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức Từ đó hướng dẫn học sinh rèn luyện các phương pháp suy nghĩ đúng đắn, biết đúc rút kinh nghiệm Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải các bài toán về bất đẳng thức có thể được minh họa qua các bài toán sau : Bài 1: Cho a, b,... Lời giải đúng: Ta có (1) ⇔ +2+ ⇔ Vì + + −3 −2 + = + + + + 9 1 − ≥0⇔ 4 4 −1 ≥0 ≥ 2 nên ⇒ (2) luôn đúng Vậy (1) luôn đúng với mọi , ≠0 + − 3 2 − 1 ≥0 4 (2) + ≥ 2 hoặc + ≤ −2 CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 MỤC TIÊU VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC 2.1.1 Mục tiêu Về kiến thức: - Hiểu khái niệm bất đẳng thức - Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức. .. thức - Nắm được các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối - Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản Về kỹ năng: - Chứng minh được các bất đẳng thức đơn giản, từ đó chứng minh được các bất đẳng thức phức tạp hơn - Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải được các phương trình, hệ phương trình nhờ bất đẳng thức Rèn luyện tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, - rèn luyện tính độc... dạy học môn toán cần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác nhau đó là: - Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác - Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống” [8, tr.19] Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông Rèn. .. dụng những tri thức và rèn luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động - Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: kiến thức, kỹ năng, phương pháp 1.1.1.4 Sự hình thành kỹ năng Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài tập Vì vậy,... chức năng đó là: - Chức năng dạy học - Chức năng giáo dục - Chức năng phát triển - Chức năng kiểm tra Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học: - Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học - Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật... chất đạo đức - 2.1.2 Nội dung dạy học - Khái niệm về bất đẳng thức - Tính chất của bất đẳng thức - Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối - Bất đẳng thức Cauchy - Bất đẳng thức Bunhiacopxki (tham khảo) 2.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 2.2.1 Định nghĩa Giả sử a và b là 2 số thực Các mệnh đề "a > b", "a < b", "a ≥ b", "a ≤ b" được gọi là những bất đẳng thức 2.2.2 Một số tính chất a a >... minh)” [3, tr.12] Để thực hiện tốt môn toán ở trong trường trung học phổ thông, một trong những yêu cầu được đặt ra là: Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng Chẳng hạn: tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm ” [9, ... −2 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 MỤC TIÊU VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC 2.1.1 Mục tiêu Về kiến thức: - Hiểu khái niệm bất đẳng thức - Nắm... đẳng thức sách giáo khoa lớp 10 nâng cao - Rèn luyện kỹ giải toán bất đẳng thức cho học sinh  Hệ thống kiến thức phương pháp giải tập bất đẳng thức  Xây dựng hệ thống toán bất đẳng thức cho học. .. giải toán vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1.2 Dạy học giải tập toán học 1.2 Cơ sở thực tiễn 11 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC