TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA tOÁN ====== o0o ====== HOÀNG THỊ CẨM NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ TÓM TẮT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học GVC VƯƠNG THÔNG Hà Nội – 2013 -1- LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực đề tài khóa luận tốt nghiệp, bảo tận tình thầy hướng dẫn phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi Em có trình nghiên cứu, tìm hiểu học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài Kết thu không nỗ lực thân mà có giúp đỡ quý thầy cô, gia đình bạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo giúp đỡ em Đặc biệt thầy Vương Thông thầy hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn thành tốt đề tài phương pháp, lý luận nội dung suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp -2- LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo Vương Thông Trong khóa luận có tham khảo kết nghiêm cứu nhà khoa học Em xin khẳng định kết khóa luận không chép từ đề tài Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Hoàng thị Cẩm Nguyên -3- MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Hàm số chứa tham số 1.1.1 Tìm điểm đặc biệt họ hàm số 1.1.2 Cho họ hàm số y  f ( x, m) , m tham số Tìm m để họ đồ thị tương giao với đường mặt phẳng 13 1.1.3 Cho điểm M có tọa độ phụ thuộc vào tham số m Tìm quỹ tích điểm M m thay đổi 18 1.2 Phương trình chứa tham số 26 1.2.1 Tìm điều kiện tham số m để họ phương trình f  x, m   có nghiệm D 26 1.2.2 Tìm điều kiện tham số m để họ phương trình f  x, m   có nghiệm thỏa mãn số điều kiện D 31 1.3 Bất phương trình chứa tham số 36 1.3.1 Tìm điều kiện tham số m để họ bất phương trình 36 1.3.2 Tìm điều kiện tham số m để họ bất phương trình f  x, m   -4- có nghiệm thỏa mãn số điều kiện D 39 1.4 Hệ phương trình ( bất phương trình) chứa tham số 42 1.5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức toán học 47 CHƯƠNG 2: XÉT MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ DẠNG X  d  54   2.1 Bài toán xét cấu trúc đại số dạng   d   a  b d a, b   , d tham số 54 2.2 Bài toán xét cấu trúc đại số dạng X  1   a  ib a, b  X  X tập 57 KẾT LUẬN 59 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 -5- MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số ngành toán học nghiên cứu cách trừu tượng hệ thống số đếm phép tính chúng, bao gồm số chủ đề cao cấp lý thuyết nhóm, vành, trường Đại số giảng dạy trường phổ thông chủ yếu liên quan đến phép tính số thực, hàm số, phương trình đồ thị sơ cấp Các nhà toán học gọi môn đại số sơ cấp Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt môn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học khác, công cụ để hoạt động đời sống thực tế Muốn học tốt môn toán nắm vững lí thuyết cần phải làm nhiều tập luyện tập Trong môn toán phổ thông có nhiều dạng toán chứa tham số phân chia thành nhiều toán nhỏ chương trình học Tuy nhiên dạng toán chưa phân loại rõ ràng hệ thống đầy đủ chưa đưa phương pháp giải cách tường minh Với mong muốn tìm hiểu sâu đối tượng nói hướng dẫn thầy hướng dẫn, em định chọn đề tài “Phương pháp giải số toán chứa tham số ” để trình bày khóa luận tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận phân dạng đưa phương pháp giải cách chi tiết toán chứa tham số -6- Đối tượng phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương pháp giải dạng toán chứa tham số b) Phạm vi nghiêm cứu Phạm vi nghiên cứu số dạng tập phương pháp giải toán chứa tham số Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu phân loại, hệ thống dạng toán chứa tham số Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương : Một số toán có chứa tham số Chương : Xét số cấu trúc đại số dạng X  d  -7- Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Hàm số chứa tham số 1.1.1 Tìm điểm đặc biệt họ hàm số Giả sử ta có họ hàm số y  f (m, x) m tham số thuộc tập hợp A ( A có nhiều giá trị ) Ứng với giá trị m  A ta có hàm số cụ thểvà tương ứng với đồ thị cụ thể Khi m thay đổi, m  A ta họ hàm số có tương ứng họ đồ thị Có thể phân điểm mặt phẳng tọa độ thành loại: - Điểm mà đồ thị họ hàm số cho qua (điểm cố định), - Điểm có số đồ thị họ cho qua, - Điểm đồ thị họ cho qua 1.1.1.1 Điểm mà đồ thị họ hàm số cho qua (điểm cố định) Điểm M ( x0 , y0 ) gọi điểm cố định họ hàm số cho đồ thị họ tương ứng với m  A qua M a) Phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải cho toán song ta thường sử dụng phương pháp đa thức phương pháp gán giá trị Phương pháp đa thức Dựa vào kết sau: đa thức bậc n n nghiệm, đa thức bậc n, f ( x)  a0 x n  a1 x ( n1)   an có nhiều n nghiệm đa thức đồng đa thức không, tức a0  a1    an  , từ ta có hệ phương trình ẩn x0 , y0 , giải hệ phương trình ta tìm x0 , y0 -8- - Bước 1: Gọi M ( x0 , y0 ) điểm cố định cần tìm họ hàm số y  f (m, x ), m  A Khi đó, theo định nghĩa điểm M nằm đồ thị họ hàm số cho tức y0  f ( m, x0 )  m  A  hay y0  f  m, x0    m  A  (1)  a0  x0 , y0  m k  a1  x0 , y0  m k 1    ak  x0 , y0   (m  A) (2) Theo tính chất đa thức từ (2) ta suy ra:  a0  x0 , y0     a1  x0 , y0       ak  x0 , y0     3 - Bước 2: Hệ (3) xã định tọa độ điểm M Hệ (3) có nghiệm họ đồ thị hàm số có điểm cố định - Bước 3: Thử lại Chú ý: Với số trường hợp ta xét f '( x0 , m)  thuận tiện Xem vế phải đẳng thức hàm số m: F  m   f  m, x0  F  m   y0  m  A  , tức F  m  số m Từ đây, suy ra: F '  m   (m  A)  A0 ( x0 )m n  A1 ( x0 )m( n1)   An ( x0 )  (m  A) Từ ta suy hệ phương trình xác định hoành độ điểm M:  A0  x0 , y0     A1  x0 , y0       Ak  x0 , y0    Tìm x0 , cho m giá trị để tìm y0 -9- Phương pháp gán giá trị Không phải đồ thị hàm số đưa dạng đa thức, sử dụng phương pháp trường hợp - Bước 1: Ta gán cho m giá trị thứ nhất, ta có hàm số f1 ( x ) Gán cho m giá trị thứ hai, ta tìm hàm số f ( x ) - Bước 2: Tìm giao điểm hàm số f1 ( x) , f ( x) - Bước 3: Ta chứng minh giao điểm điểm cần tìm b) Ví dụ minh họa VD1: Cho họ hàm số y  x   m  1 x   2m  3m   x  2m(2m  1) (*) m   tham số Tìm tất điểm cố định họ đường cong Giải : Cách Bước 1: Gọi M ( x0 , y0 ) điểm cố định cần tìm Khi đó, y0  x03   m  1 x02   2m  3m   x0  2m(2m  1) hay   x0  m   x0  x02   m   x03  x02  x0  y0   (m) Điều tương đương với: 4  x0   3x0  x0     x0  x0  x0  y0  Bước 2: Hệ có nghiệm x0  2; y0  Bước 3: Ngược lại: thay x0  2; y0  vào họ hàm số ta được: 23  (m  1)22  (2m  3m  2).2  2m(2m  1)    m   4m  6m   m  2m    0m  với m - 10 - VD3: Tìm p để hệ sau vô nghiệm ( p  x )( p  x  2)    x  Giải Hệ cho vô nghiệm f ( x )  ( p  x )( p  x  2)  ;  x  Điều kiện cần: Giả sử f ( x)  ;  x  ta có:  f (1)    f (0)   f (1)   ( p  1)( p  3)  p 0  p( p  2)    (1)   p    ( p  1)( p  1)   Vậy (1) điều kiện cần để f ( x)  ;  x  Điều kiện đủ: i) Nếu p  p  x  (x) Do 1  x   p  x   1  ( p  x )( p  x  2)  ; x  ii) Nếu p  Do 1  x   p  x   p  x   ( p  x )( p  x  2)  ; x  Vậy p  p  điều kiện cần đủ để hệ cho vô nghiệm c) Bài toán áp dụng Bài 1: Tìm a để hệ sau có nghiệm  x  ( y  3)  (1)  (2)  y  2ax Đáp số: a   - 51 - 3 16 Bài 2: Tìm a, m để hệ sau có nghiệm   (  x   y )sin a  (  y   x )cos a  m sin(a  )  (  x   y )cos a  (  y   x )sin a  m cos(a   )  Đáp số: m  4; a Bài 3: Tìm a, b, c để hệ sau có nghiệm a cos x  b sin x  c   2 a sin x  b cos x  c  Đáp số: a  b  2c  1.5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức toán học a) Bài toán Cho biểu thức toán học chứa tham số, giá trị tham số cho ta biểu thức toán học khác Lúc biểu thức có GTLN, GTNN Muốn tìm GTLN, GTNN biểu thức toán học ta làm theo số phương pháp sau Phương pháp bất đẳng thức Cho hàm số f ( x) xác định miền D Ta nói rằng: Số M GTLN f ( x) D, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây: i) f ( x)  M x  D ii) Tồn x0  D , cho f ( x0 )  M Khi ta kí hiệu M  max f ( x) xD Số m GTNN f(x) D, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây: - 52 - i) f ( x)  m x  D ii) Tồn x0  D , cho f ( x0 )  m Khi ta kí hiệu m  f ( x) xD Phương pháp bất đẳng thức dựa trực tiếp vào định nghĩa Như sử dụng phương pháp để tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) miền D ta tiến hành theo hai bước: - Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức - Bước 2: Tìm điểm miền D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Phương pháp miền giá trị hàm số - Bước 1: Gọi y0 giá trị tùy ý hàm số xét miền cho Điều có nghĩa hệ phương trình sau (ẩn x) có nghiệm  f ( x)  y0  x  D - Bước 2: Tùy dạng hệ phương trình mà có điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trường hợp, điều kiện sau biến đổi rút gọn đưa dạng   y0   - Bước 3: Vì y0 giá trị f ( x) , nên từ điều ta suy f ( x )   xD max f ( x)   xD Phương pháp chiều biến thiên Phương pháp xét chiều biến thiên hàm số để tìm GTLN GTNN hàm số xét miền D tiến hành sau: - Bước 1: Bằng cách sử dụng kiến thức tam thức bậc 2, nhị thức bậc nhất, ta lập bảng biến thiên hàm số miền D cho - 53 - - Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên so sánh giá trị đặc biệt để đáp số toán Khi sử dụng phương pháp ta cần lưu ý điều sau đây: Nếu trình giải, ta dùng phép biến đổi ( toán đơn giản hơn) , toán tương đương, ta phải xác định lại miền xác định mà ta tìm GTLN, GTNN hàm số đơn giản hóa b) Ví dụ minh họa VD1: Tìm GTNN hàm số f ( x, y, z )  xy  yz  zx  mxyz , xét miền D  ( x, y, z ) : x  0, y  0, z  0; x  y  z  1 biện luận theo tham số m Giải Nếu ( x, y, z )  D , áp dụng theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x yz xyz       27 (1) Nếu ( x, y, z )  D x  0, y  0, z  , ta có bất đẳng thức Cauchy 1 1 ( x  y  z)      x y z 1 1  xy  yz  zx  xyz     x y z Do x  y  z   xy  yz  zx  xyz Nếu ( x, y, z )  D xyz  , rõ ràng xy  yz  zx  xyz Vậy ta có ( x, y, z )  D xy  yz  zx  xyz Từ ta suy ra: f ( x, y, z )  (9  m) xyz ( x, y, z )  D (2) Xét khả sau: - Nếu m  , từ (2) ta có: f ( x, y, z )  ( x, y, z )  D - 54 - Lại có f (0,0,1)  f (0,1,0)  f (1,0,0)  (0,0,1);(0,1,0);(1,0,0)  D Vậy trường hợp f ( x, y , z )  ( x , y , z )D - Nếu m   m  từ (1) (2) ta có: f ( x, y , z )  9m ( x, y, z )  D 27 1 1 9m 1 1  , ,   D Lại có f  , ,   27  3 3 3 3 Trong trường hợp f ( x, y, z )  ( x , y , z )D 0  Vậy ta có f ( x, y, z )    m ( x , y , z )D  27 VD2: Cho hàm số f ( x)  9m 27 m9 m9 x  px  q , x   Tìm p q cho x2  max f ( x)  f ( x)  1 x x Giải Gọi y0 giá trị tùy ý hàm số, phương trình sau có nghiệm (ẩn x) x  px  q  y0 (1) x2  Dễ thấy (1)  ( y0  1) x  px  ( y0  q )  (2) Xét khả năng: Nếu y0  , (2) có nghiệm p  p  0; q  Nếu y0  , (2) có nghiệm   4 y02  4(q  1) y0  p  4q  - 55 - Xét phương trình : 4t  4(q  1)t  ( p  4q)  (4) Gọi t1 , t2 nghiệm phương trình (4), nghiệm (3) là: t1  y0  t2 Dễ thấy t1   t2 Vậy kết hợp trường hợp ta nghiệm (2) là: t1  y0  t2 , t1 , t2 nghiệm phương trình (4) Từ ta được: max f ( x)  t2 ; f ( x)  t1 x x Như toán cho trở thành: Tìm p q cho phương trình (4) có nghiệm 1 Theo định lý Viet ta có:  4(q  1) 8    4q  p  9  q    p  8 Vậy có cặp giá trị thỏa mãn toán : ( p  8; q  ) ( p  8; q  7) VD3: Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x)   x  mx  miền 1  x  Giải Ta nhân thấy f ( x)   x  mx  parabol có a  1  có hoành độ đỉnh x  m Từ ta xét khả sau: Nếu m  ta có bảng biến thiên sau x 1 f ( x) - 56 - m Từ suy max f ( x)  f (1)  m 1 x 1 f ( x)  f (1)   m 1  x 1 Nếu m  2 ta có bảng biến thiên sau x m 1 f ( x) Từ suy max f ( x)  f (1)  m 1 x 1 f ( x)  f (1)  m 1  x 1 Nếu 2  m  ta có bảng biến thiên sau x m 1 f ( x) m 4m Từ suy max f ( x)  f    1  x 1 2 f ( x)   f (1), f (1)  m, m 1 x 1   m,  m    m,   m  Vậy m2  m,    m2 max f ( x)   , 2m2 1  x 1  m  2  m, - 57 -   m, m  f ( x)   1  x 1  m, m  c) Bài toán áp dụng Bài 1: Tìm GTLN hàm số f ( x, y, z )  x  y  z xét miền D  ( x, y, z ) : x  0, y  0, z  : x  my  36,2 x  z  72 biện luận kết theo m  cho trước ,m  36  Đáp số: max f ( x, y, z )   36 ( x , y , z )D 24 ,0 m     m Bài 2: Cho hàm số f ( x)  x  4ax  a  2a, xét 2  x  Tìm a để f ( x)  2 x 0 Đáp số: a   a  1 Bài 3: Cho hàm số f ( x)  2 x  x  a , xét 1  x  Tìm a để max f ( x) đạt giá trị nhỏ 1 x 1 Đáp số: a  - 58 - 23 16 CHƯƠNG 2: XÉT MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ DẠNG X  d    2.1 Bài toán xét cấu trúc đại số dạng   d   a  b d a, b   , d tham số Ta xét số trường hợp sau:  Với d = Ta có   d        Vành số nguyên  với ánh xạ:  :  *  n n vành Ơclit Ta có  miền nguyên Ánh xạ  :  *  Ta phải chứng minh  ánh xạ Ơclit Thật : - Nếu a, b  * b a a   (b)  b  a   (a ) - Với phần tử a , b tùy ý  , b  ta có q, r  cho : a  bq  r r  b suy :  (r )   (b) r  ( đccm) Vậy  ánh xạ Ơclit  Với d = 1 Ta có   d     1    i  Vành  i  với ánh xạ  :  i  *  a  bi  a  b vành Ơclit - Từ định nghĩa ta dễ dàng nhìn thấy : a, b  i  b a a   (b)   (a) - 59 - - Với x, y   i  ta phải tìm q, r thuộc  i  cho x  yq  r ; * r   (r )   ( y) Muốn xét x     i  (i ) Ta biết số hữu tỷ  bao y tìm số nguyên a cho  a  1 hay   a  Cũng làm với số hữu tỉ  , ta có b   cho:  b  1 hay   b  4 Đặt q  a  bi , ta có: 2 x  yq x   q     i    a  bi  y y  (  a )  i (   b)  (  a )  (   b)  1   1 4 2 x  yq 2 Vậy  hay x  yq  y y Đặt r  x  yq , ta x  yq  r với  (r )   ( y) r  Vậy  ánh xạ Ơclit hay  i  vành Ơclit  Với d =  Ta có   d     3    i  Vành  i  với ánh xạ  :  i  *  a  bi  a  3b2 - 60 - Với số phức   a  bi ta gọi chuẩn N ( )    a  b2 Khi  ,  hai số phức ta có N ( )  ( )( )        N ( ) N (  ) Như    i  mà  ước N ( )  Ta có : N (2)  4; N (1  i 3)  4; N (1  i 3)  Do số 2;  i 3;  i không ước Bây ta phải chứng minh ước thực A Giả sử   x  yi ước N (  )  x  y phải ước Tức N ( )  N (  )  N ( )  Nếu N ( )     0i   1  0i nên  ước Nếu N (  )  x  y  điều xảy Nếu N ( )  ta có:  ước thực nên ta có   , mà N ( )   N (2) nên ta suy N ( )  hay   1 nên ta có  liên kết với Vậy ước thực  i  , phần tử bất khả quy  i  Tương tự ta chứng minh  i 3;  i phần tử bất khả quy  i  Như  i  , có phân tích thành tích phần tử bất khả quy:  2.2  (1  i 3)(1  i 3) Vậy  i  không vành chính, không vành Ơclit ( Ta có định lí : Nếu A vành Ơclit A vành ) - 61 - 2.2 Bài toán xét cấu trúc đại số dạng X  1   a  ib a, b  X  X tập Ta xét số trường hợp sau:  Với X   ta có X  1    i  vành số nguyên Gauss xét  Với X   ta có X  1    i  Ta có  i  vành  Thật vậy: Với n  , n  n  0i   i  ,    i  nên  i    Giả sử a  bi, c  di  i  , với a, b, c, d  Ta có: (a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i   i  ( a  c  ; b  d   ) (a  bi )(c  di )  (ac  bd )  (ad  bc)i   i  ( ac  bd  ; ad  bc   ) Vậy  i  vành  , Vì  giao hoán nên  i  giao hoán, có đơn vị  0i , phần tử  0i Ta tìm ước không vành  i  Giả sử m  ni; p  qi   i  ước không Từ ta có m  ni; p  qi   0i (m  ni)( p  qi)   0i Mà (m  ni)( p  qi)  (mp  nq)  (np  mq)i Do m, n, p, q  m, n, p, q  nên mp  nq  mp  nq (1)  (m  ni )( p  qi )   0i   np  mq  np   mq (2) - 62 - Từ (1) ta có : m q  n p Từ (2) ta có: m p  n q Suy : q p    q  p  vô lí p, q  ; p, q  p q Vậy giả sử sai,  i  ước Vậy  i  miền nguyên  Với X   ta có X  1    i    trường số phức  Với X   ta có X  1    i    trường số phức - 63 - KẾT LUẬN Phần nội dung khóa luận trình bày phương pháp giải số toán chứa tham số số vấn đề liên quan Qua khóa luận này, em đạt kết chủ yếu sau : - Trong chương em có tổng kết số dạng toán phổ thông phương pháp giải chúng - Trong chương em nêu toán xét số trường hợp đơn giản toán Sau trình nghiên cứu, em hiểu thêm nhiều kiến thức mới, củng cố cho thêm nhiều kiến thức đại số Dù có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan chủ quan, khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận bảo thầy cô giáo Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Cẩm Nguyên - 64 - DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Văn Điều (2001) , Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp 1, 2, , Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội Phan Huy Khải (1999) , Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số, Nxb Giáo dục, Hà Nội Phan Huy Khải (1999), Điều kiện cần đủ để biện luận phương trình bất phương trình chứa tham số, Nxb Giáo dục, Hà Nội Phan Huy Khải (2002), Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Nxb Giáo dục, Hà Nội Hoàng Xuân Sính (2008), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội Bùi Huy Hiền (2009), Bài tập đại số đại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Lưu (2012), “ Sử dụng hệ đối xứng hai ẩn loại II để giải phương trình”, Tạp chí Tuyển chọn theo chuyên đề toán học & tuổi trẻ, 6, tr 11 – 12, Nxb Giáo dục Việt Nam - 65 - [...]...   0 có nghiệm trên D a) Bài toán Cho họ phương trình chứa tham số, khi m thay đổi phương trình sẽ thay đổi theo, khi đó phương trình có thể có nghiệm hoặc không có nghiệm Vậy có những giá trị của tham số sẽ làm cho phương trình có nghiệm Bài toán đặt ra giúp chúng ta có thể tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm Ta sử dụng các phương pháp giải sau: - Phương pháp đặt ẩn phụ Bước 1: Đặt... Bài toán áp dụng Bài 1: Tìm m để họ phương trình sau có nghiệm 2 x 2  2(m  4) x  5m  10  3  x  0 Đáp số: m  3 Bài 2: Tìm m để họ phương trình sau có nghiệm x2  x  1  x2  x  1  m Đáp số: 1  m  1 1.2.2 Tìm điều kiện của tham số m để họ phương trình f  x, m   0 có nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D a) Bài toán Để giải bài toán này ta thường dùng hương pháp điều kiện cần... của ẩn phụ Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình chứa ẩn phụ Giải phương trình chứa ẩn phụ, đối chiếu với điều kiện ẩn phụ đã nêu để tìm nghiệm thích hợp của phương trình này Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo hệ thức đặt ẩn phụ - Phương pháp hàm số Tìm cách chuyển phương trình f  x, m   0 về dạng tổng quát f  x   g (u ) Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm khi... thay đổi 8   Đáp số:  x  0;   y  0  9   - 17 - 1.1.2 Cho họ hàm số y  f ( x, m) , m là tham số Tìm m để họ đồ thị tương giao với một đường nào đó trong mặt phẳng a) Đưa ra bài toán Cho họ hàm số y  f ( x, m) , m là tham số, cho hàm số y  g (u ) Gọi F và G là đồ thị tương ứng của chúng Khi m thay đổi thì F cũng thay đổi tương ứng Khi đó giữa F và G có thể xảy ra một số trường hợp sau:... Đáp số: a, y  2 x3  3 x b, I (1,1) c, k  0 quỹ tích là đường x  2 Bài 3: Cho hai hàm số y  x3  x 2  5 và y  x3  2 x 2  mx  1 a) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị của hai hàm số trên luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B b) Tìm quỹ tích điểm giữa đoạn AB khi m thay đổi Đáp số: b, y  4 x3  2 x 2  12 x  9 - 30 - 1.2 Phương trình chứa tham số 1.2.1 Tìm điều kiện của tham số m để họ phương. .. của hàm số luôn đi qua hai điểm cố định Đáp số: (1, 3) và (3,13) Bài 3: Tìm điều kiện của  ,     0  để đồ thị của hàm số y mx   có một điểm cố định duy nhất  x  m 1 Đáp số:   1 4 Bài 4: Cho hàm số: y  m  1  x 2  3x   2(2m  1) mx  m Chứng minh rằng với mọi m khác không thì đồ thị của hàm số luôn có một đường tiệm cận cố định, còn đường tiệm cận thứ hai luôn đi qua một điểm... hàm số không bao giờ đi qua những điểm có tung độ: y   13 3 c) Bài toán áp dụng mx 2  x  m Bài 1: Cho hàm số y  xm Tìm trên mặt phẳng tọa độ tất cả những điểm mà tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số không thể đi qua khi m thay đổi  x2  Đáp số: M  ( x, y ) : y   x 4 1    2 x 2  (m  1) x  (2m  1) 2 Bài 2: Cho hàm số y  x  (3m  1) Tìm tất cả những điểm trên trục tung mà đồ thị hàm số. .. , x2 ,, xn Phương pháp giải: Việc khảo sát sự tương giao giữa đồ thị của các hàm số y  f  x, m  ; y  g ( x) tương đương với việc khảo sát sự có nghiệm của phương trình f ( x, m)  g ( x) Phương trình f ( x, m)  g ( x) có bao nhiêu nghiệm thì F và G có bấy nhiêu giao điểm - Bước 1: Ta thiết lập phương trình f ( x, m)  g ( x) (*) - Bước 2: Từ phương trình trên và theo yêu cầu bài toán ta có Nếu... chất nghiệm của phương trình, từ nhận xết đó và điều kiện ràng buộc suy ra các giá trị của tham số - Bước 2: Với giá trị tìm được của tham số cần chứng tỏ rằng phương trình thỏa mãn điều kiện ràng buộc - Bước 3: Kết luận b) Ví dụ minh họa VD1: Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m  3  0 (1) Xác định m sao cho phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối Giải Phương trình (1)...   1 Ta được hệ    4   2 Giải hệ này ta được   2,   1 Với   2,   1 đồ thị suy biến thành y  2 khi m  2 và y  1 khi m  1 nhưng theo đầu bài 2 giá trị này bị loại trừ - 14 - c) Bài toán áp dụng Bài 1: Cho hàm số y   x2  m  x Tìm tất cả những điểm cố định của 2x  m họ đường cong này Đáp số: (0, 1);(3, 1) với m  0; m  6 Bài 2: Cho hàm số y  mx 2  2  m  2  x  3m  ...  d  -7- Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Hàm số chứa tham số 1.1.1 Tìm điểm đặc biệt họ hàm số Giả sử ta có họ hàm số y  f (m, x) m tham số thuộc tập hợp A (... vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Hàm số chứa tham số 1.1.1 Tìm... tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương pháp giải dạng toán chứa tham số b) Phạm vi nghiêm cứu Phạm vi nghiên cứu số dạng tập phương pháp giải toán chứa tham số Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên