LờI CảM ƠN Sau thời gian nghiên cứu, với cố gắng thân, động viên từ gia đình bảo tận tình thầy Phan Hồng Trường, em hoàn thành khóa luận tôt nghiệp Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy, cô khoa Toán nói chung; thầy, cô tổ hình học nói riêng; đặc biệt thầy Phan Hồng Trường, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian khả thân nhiều hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy, cô bạn đọc nhận xét góp ý kiến để em rút kinh nghiệm khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Phan Thị Huệ LờI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với bảo, giúp đỡ tận tình thầy Phan Hồng Trường thầy, cô giáo tổ Hình học khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc để khóa luận ngày hoàn thiện Sinh viên Phan Thị Huệ Mục lục Phần 1: Mở ĐầU Phần 2: NộI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lý LUậN 1.1 Đại cương phép biến hình 1.2 Phép tịnh tiến CHƯƠNG 2: ứNG DụNG CủA PHéP TịNH TIếN VàO GIảI CáC LớP BàI TOáN 2.1 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán chứng minh 2.2 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán quỹ tích 15 2.3 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán dựng hình 21 2.4 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán cực trị 31 2.5 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán tính toán 36 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Phần 1: Mở ĐầU Lý chọn đề tài Hình học môn học khó học sinh, tính chặt chẽ, logic tính trừu tượng hình học cao môn học khác Các phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học công cụ hữu ích toán hình học phẳng hình học không gian Trong chương trình môn Toán phổ thông nước ta nay, vai trò tầm quan trọng phép biến hình ngày thể rõ ràng sâu sắc không lý thuyết, mà thực hành giải tập Các phép biến hình công cụ đơn giản đầy hiệu lực việc giải toán hình học Phép tịnh tiến phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải toán dựng hình, toán quỹ tích, toán chứng minh tính chất hình học, Tuy nhiên, việc vận dụng phép tịnh tiến để giải toán hình học mặt phẳng không gian việc dễ dàng, thực tế lại phần khó giáo viên học sinh Vì vậy, em định lựa chọn nghiên cứu đề tài: Phép tịnh tiến E2, E3 Trong khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, em xin trình bày kiến thức phép tịnh tiến ứng dụng việc giải lớp toán hình học phẳng hình học không gian Mục đích nghiên cứu - Hệ thống, tóm tắt kiến thức phép tịnh tiến E2, E3 - Ví dụ tập có hướng dẫn giải để minh họa cho phần ứng dụng phép tịnh tiến E2, E3 vào giải toán Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phép tịnh tiến E2, E3 Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lý thuyết phép tịnh tiến - Các ví dụ minh họa thể ứng dụng phép tịnh tiến lớp tập hình học: Bài toán chứng minh tính chất hình học Bài toán cực trị Bài toán quỹ tích Bài toán dựng hình Bài toán tính toán Phương pháp nghiên cứu - Phân tích tài liệu liên quan - Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán - Tham khảo ý kiến thầy cô, bạn bè Phần 2: NộI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lý LUậN 1.1 Đại cương phép biến hình 1.1.1 Phép biến hình En (n = 2, 3) 1.1.1.1 Định nghĩa Cho quy tắc f Với điểm M theo quy tắc f ta xác định điểm M Khi ta nói M ảnh M qua phép biến đổi f ký hiệu f: M M (đọc f biến M thành M) Điểm M gọi tạo ảnh M, f gọi phép biến đổi hình học hay nói ngắn gọn phép biến hình Từ định nghĩa ta suy rằng: Nếu M , M tương ứng ảnh M1, M2 phép biến đổi M khác M M1 M2 hai điểm phân biệt Nếu f xác định với điểm không gian ta nói f phép biến hình không gian 1.1.1.2 Phép biến đổi - Nếu ảnh điểm M qua phép biến đổi f có tạo ảnh ứng với nó, ta nói f phép biến đổi đối (song ánh) hay - 1.1.1.3 Phép biến đổi đồng Ta nói f phép biến đổi đồng f biến điểm M En (n = 2, 3) thành Ký hiệu Id: Id(M) = M, M 1.1.1.4 Phép biến đổi ngược Giả sử f: M M, M Nếu tồn phép biến đổi g biến M thành M ta nói g phép biến đổi ngược f hay f có phép biến đổi ngược Kí hiệu: g = f-1 Như vậy: Nếu M = f(M) M = f-1(M) f-1 f = f f-1 = Id 1.1.1.5 Tích hai (hoặc nhiều) phép biến đổi Cho hai phép biến đổi f g, với điểm M f: M M g: M M Phép biến đổi biến M thành M gọi tích hai phép biến đổi f g Ký hiệu: g f: M M Cho n phép biến đổi f1, f2, , fn (n > 2) Tích n phép biến đổi cho phép biến đổi F có cách thực liên thứ tự định n phép biến đổi Ký hiệu: F = fn fn-1 f2 f1 1.1.1.6 Hai phép biến đổi trùng Cho hai phép biến đổi f g Ta nói f g trùng nhau, ký hiệu f = g, ảnh điểm M En (n = 2, 3) hai phép biến đổi trùng Nghĩa M, f: M M g: M M 1.1.1.7 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động phép biến đổi Cho phép biến đổi f tập T Điểm M tập T gọi điểm bất động (hay điểm kép, điểm tự ứng) phép biến đổi f, f(M) = M Đường thẳng d đường thẳng bất động phép biến đổi f, điểm thuộc d điểm bất động f Mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng bất động phép biến đổi f, điểm thuộc (P) điểm bất động f Đường thẳng (mặt phẳng) gọi đường thẳng (mặt phẳng) bất biến phép biến đổi f, f biến đường thẳng (mặt phẳng) cho thành 1.1.1.8 ảnh hình qua phép biến đổi Cho hình F En (n = 2, 3) Tập hợp ảnh điểm thuộc F qua phép biến đổi f lập thành hình F gọi ảnh F qua phép biến đổi đó, ký hiệu F = f(F) f có phép biến đổi ngược tức F = f-1 (F) Ký hiệu f: F F F = {F(M) M F} F = f(F)} 1.1.1.9 Hai hình trùng Ta nói hai hình F1 F2 trùng nhau, điểm hình thuộc hình ngược lại Ký hiệu: F1 = F2 Nếu điểm F1 thuộc F2, ta nói F1 hình F2 Ký hiệu: F1 F2 1.1.2 Phép biến hình afin Phép biến hình En (n = 2, 3) biến đường thẳng thành đường thẳng gọi phép biến hình afin, gọi tắt phép afin 1.1.3 Phép biến hình đẳng cự Phép biến hình En (n = 2, 3) bảo toàn khoảng cách hai điểm gọi phép biến hình đẳng cự, gọi tắt phép đẳng cự 1.2 Phép tịnh tiến 1.2.1 Định nghĩa Cho véctơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho MM = v gọi phép tịnh tiến theo véctơ v Ký hiệu: T Như vậy: T (M) = M MM = v Nếu phép biến hình thực cho điểm không gian, ta nói T phép tịnh tiến không gian Tập hợp ảnh điểm thuộc hình H phép tịnh tiến T lập thành hình H H gọi ảnh hình H phép tịnh tiến 1.2.2 Tính chất Cho phép tịnh tiến T ta có tính chất sau: i T điểm bất động T phép biến đổi ngược nó: ( T )-1 = T ii Nếu v = T phép đồng iii Nếu A, B ảnh A, B qua phép tịnh tiến AB = AB iv Tích hai phép biến đổi T T phép tịnh tiến mà véctơ tịnh tiến u + v tức T T = T T = T v Tích phép đối xứng tâm Đ phép tịnh tiến T phép đối xứng tâm tâm O phép biến đổi xác định hệ thức 2OA = v 1.2.3 Hệ Phép tịnh tiến T biến: i Ba điểm A, B, C thẳng hàng thành ba điểm A, B, C thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng ii Bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng iii Đường thẳng d thành đường thẳng d song song trùng với d iv Tia Ox thành tia Ox chiều với Ox v Đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB AB = AB vi Mặt cầu (O, R) thành mặt cầu (O, R) 1.2.4 Phép tịnh tiến với mặt phẳng, miền mặt phẳng (đa giác, hình tròn) Phép tịnh tiến T biến: i Mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P) (P) // (P) (P) (P); nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng ii Miền đa giác thành miền đa giác iii Hình tròn (I, r) thành hình tròn (I, r) 1.2.5 Phép tịnh tiến với góc nhị diện Phép tịnh tiến T biến góc nhị diện thành góc nhị diện số đo hai góc phẳng nhị diện 1.2.6 Phép tịnh tiến với hình trụ tròn xoay, hình nón tròn xoay Phép tịnh tiến T biến hình trụ tròn xoay (T) thành hình trụ tròn xoay (T); hình nón tròn xoay (N) thành hình nón tròn xoay (N) 1.2.7 Phép đối xứng - trượt không gian Cho mặt phẳng (P) véctơ v phương với (P) Ta nói phép biến đổi T1 = S(P) T T2 = T S(P) phép đối xứng trượt theo mặt phẳng (P) Phép đối xứng trượt theo mặt phẳng có mặt phẳng bất biến mặt phẳng (P) Bài 2: Cho ABC đường thẳng d Tìm cạnh AB AC điểm D, E cho BD - CE = a (a > 0, a số) DE // d Hướng dẫn giải Lấy điểm H cạnh AB cho BD - HD = a Khi đó, toán trở toán với điểm H có vai trò điểm B Bài 3: Cho hai mặt phẳng song song (P) (Q), hai điểm A, B không nằm hai mặt phẳng cho đoạn AB cắt hai mặt phẳng Hai điểm M, N thay đổi (P) (Q) cho MN vuông góc với (P) (Q) Tìm vị trí M N để tổng khoảng cách AM + MN + NB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải A * Phân tích Lấy điểm H (P) M H J gọi K hình chiếu vuông P góc H mặt phẳng C (Q) Dễ thấy MN = HK K Q N I Gọi C = T (A), B ta có MN = AC = HK MN = AC AM = CN Do đó: AM + MN + NB = AC + CN + NB AM + MN + NB CN + NB N I = BC (Q) Khi M J = T (I) Từ suy cách dựng Tóm lại: Nếu gọi C = T (A),I = BC (Q), J = T (I) đạt giá trị nhỏ AC + CB M J N I 30 AM + MN + NB 2.4 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán cực trị 2.4.1 Bài toán cực trị Bài toán cực trị hình học dạng bài: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; tìm điều kiện để yếu tố hình học đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đó toán cần A B Amax = B, A B Amin = B Xuất phát từ giả thiết biết, ta bất đẳng thức trường hợp xảy dấu = trường hợp yếu tố hình học đạt cực trị 2.4.2 Giải toán biến hình nhờ phép cực trị Giải toán cực trị hình học nhờ sử dụng phép biến hình ta thực theo bước: - Lựa chọn phép biến hình - Thực phép biến hình - Rút kết luận toán (bài toán có đạt cực trị hay không đạt cực trị đạt cực trị trường hợp nào) Nhờ phép biến hình, thông qua việc sử dụng hình phụ, ta đưa điều kiện cho toán hình liên quan đến việc tìm cực trị vốn rời rạc thành hình làm chúng có quan hệ với nhau, giúp việc tìm cực trị dễ dàng 2.4.3 Khai thác bái toán cưc trị nhờ phép biến hình Từ toán cụ thể ta xem xét số trường hợp đặc biệt, khái quát, tương tự, thay đổi vài điều kiện giả thiết, ta toán 31 2.4.4 Ví dụ Ví dụ 1: Cho trước điểm A đường thẳng d không qua A Trên d đặt đoạn thẳng BC = a (a > 0) Tìm vị trí đoạn BC để AB + AC nhỏ Lời giải Ta thực phép tịnh tiến T , phương song song với d ùuù= a T : A A Khi A điểm cố định khác A ta có: AB = AC AB + AC = AC + AC Bài toán quay trở toán: Tìm điểm a' a C d cho AC + AC nhỏ Gọi A điểm đối xứng A qua d Ta có: AC + AC nhỏ d b c' c AC +AC nhỏ C C = AA d a'' Vậy AB + AC nhỏ C = AA d (với A = Đđ (A); A = T (A); B = T (C)) Nhận xét: Ta có toán với cách giải tương tự: Bài toán: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = a, CD = b Đáy CD cố định, đáy AB trượt đường thẳng cố định x Tìm vị trí AB để tổng độ dài hai đường chéo AC BD đạt giá trị nhỏ Ví dụ 2: Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm hai phía d Một đoạn thẳng CD = a (a độ dài cho trước) trượt d Tìm vị trí đoạn thẳng để độ dài đường gấp khúc ACDB ngắn 32 Lời giải Gọi A = T (A) AC = AD a' a Khi đó: AC + CD + DB AD + CD + BD d' AD + BD (vì CD = a) c d D D = AB d c' d b C C = T (D) Vậy độ dài đường gấp khúc ACDB ngắn D = AB d C = T (D) Nhận xét: Trong trường hợp A, B nằm phía d cách giải toán hoàn toàn tương tự Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) song song với hai điểm A, B không thuộc hai mặt phẳng cho A (Q) nằm hai phía (P), B (P) nằm hai phía (Q) Tìm (P) điểm M (Q) điểm N cho MN (P) AM + MN + NB ngắn Lời giải Do MN (P) (P) // (Q) nên MN có độ dài hướng không đổi Xét T : A A1, M N A AM = A1N AA1 = MN M Vì MN không đổi nên: A1 P AM + MN + NB N AM + NB Q A1N + NB Bài toán quay trở toán: Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (Q) cho A1N + NB nhỏ 33 B Vì A (Q) khác phía so với (P) nên khoảng cách A (Q) lớn khoảng cách (P) (Q), mà khoảng cách (P) (Q) MN (= AA1) A1 B khác phía so với (Q) A1N + NB A1B Do A1N + NB nhỏ N = A1B (Q) Khi M = T (N) Vậy độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn N = A1B (Q) M = T (N) 2.4.5 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hai đường thẳng song song x, y điểm M nằm phía x y nằm phía y x Trên x ta đặt đoạn AB = a, y ta đặt đoạn CD = b (a, b độ dài cho trước) Tìm vị trí đoạn AB CD để MA + MB + MC + MD nhỏ Hướng dẫn giải Xét điểm A, B, C, D hình vẽ Gọi M = T (M) m1 x M = T (M) a b m m'' m' M1 = Đx(M) y M2 = Đy(M) c Khi đó: MA + MB + MC + MD d m2 MB + MB + MC + MC M1B + MB + MC + M2C B = MM x, A = T (B) C = MM y, D = T (C) Bài 2: Cho đoạn thẳng CD = a véctơ CD có hướng không đổi Ngoài (P) cho hai điểm A, B nằm phía với (P) Hãy tìm vị trí CD cho AC + BD nhỏ 34 Hướng dẫn giải b a co d c p a1 a2 Không tổng quát, giả sử T : A A cho AC cạnh hình bình hành ACDA AC = AD AC = AD AC + BD = AD + BD Bài toán đưa tìm D (P): Với hai điểm A, B cho trước nằm phía với (P) AD + BD nhỏ Sp phép đối xứng qua (P): Sp: A A1 Vì (P) mặt phẳng đối xứng AA1 DA = DA1 Ta có: AD + BD = DA1 + BD BA1 Dấu = xảy D = A1B (P) (hay D D0) Khi C ảnh D qua T Vậy AC + BD nhỏ D = BA1 (P) C = T (D) 35 2.5 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán tính toán 2.5.1 Bài toán tính toán Ta thường gặp số toán tính khoảng cách, tính số đo góc, tính diện tích, Để giải toán tính toán ta phải thiết lập mối quan hệ biết cần tìm, sau tính toán theo yêu cầu toán 2.5.2 Giải toán tính toán nhờ phép biến hình Dùng phép biến hình giải toán tính toán thực chất sử dụng phép biến hình để di chuyển yếu tố cho vị trí không thuận lợi vị trí thuận lợi cho việc tính toán (đưa tam giác, đường tròn ) Khi giải toán tính toán điều quan trọng phát mối liên hệ yếu tố biết yếu tố cần tìm Để làm điều ta thường mắc phải khó khăn định khó khăn giải ta biết vận dụng phép biến hình thích hợp biết lợi dụng tính chất phép biến hình 2.5.3 Khai thác toán tính toán nhờ phép biến hình - Từ vài điều kiện ban đầu ta tính vài yếu tố lại, dùng phép biến hình (vẽ thêm hình phụ) để tạo hình mới, thêm vài kiện toán tính toán với hình - Ta thay đổi điều kiện cho, yêu cầu tìm, xem xét trường hợp tương tự, đặc biệt, tổng quát, 2.5.4 Ví dụ Ví dụ 1: Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm cạnh AB, BC, CA Gọi O1, O2, O3 tâm đường ngoại tiếp 36 tam giác AC1B1, CA1B1, BC1A1 Tính độ dài cạnh góc O1O2O3 biết: AB = 4, AC = 43, BAC = 300. Lời giải Xét phép tịnh tiến T T : : A C1, B1 A1, C1 B AB1C1 C1A1B, O1 O3 O O = B A = AC (1) a Tương tự ta có : T : CB1A1 B1AC1, O2 O1 o1 c1 A1 O O = A C = CB Và T : (2) BC1A1 A1B1C, O3 O2 O O = B C = BA o3 o2 b (3) b1 Từ (1), (2) (3) O1O2O3 = A1B1C1 Xét A1B1C1 có: A1B1 = AB = 2, A1C1 = AC = 23, C B A = 300 Theo định lý hàm số cosin, ta có: B1C1 = A B + A C 2A B A C cosC B A = A1B1C1 cân B1, đó: B1A1 = B1C1 = 2, A1C1 = 23 C B A = B C A = 300, A B C = 1200 mà O1O2O3 = A1B1C1 O2O3 = O3O1 = 2, O1O2= 23 O O O = O O O = 300, O O O = 1200 Nhận xét: Từ toán ta rút kết luận sau: Nếu phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác biến tam đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm tam giác 37 c thành điểm tương ứng tam giác Từ đó, ta thay đổi số kiện toán mà cách làm không thay đổi Chẳng hạn ta thay: O1, O2, O3 tâm đường tròn ngoại tiếp thành: O1, O2, O3 tâm đường tròn nội tiếp O1, O2, O3 trực tâm O1, O2, O3 trọng tâm Ví dụ 2: Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD) có AC =5, BD = đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy MN Lời giải Phép tịnh tiến T : A B, C C T : ABC BCC S Tính S =S +S =S : +S a =S b m Gọi I trung điểm DC Ta có: NI + IC = CD NI IC = AB CD d n i c NI = AB NI = MB (= AB) mà MB // NI MBIN hình bình hành MN = BI = Xét BDC có: BC = AC = 5, BD = 3, trung tuyến BI = Ta có: BI2 = DC2 = 2(BC2 + BD2) BI2 = 52 áp dụng công thức Heron ta có: 38 c' S ( = S Vậy S =6S ) ( ) = = Nhận xét: Ta có toán tương tự: Bài toán 1: Tính diện tích hình thang ABCD có dường cao h, góc AB CD BD có độ dài a Bài toán 2: Tính diện tích hình thang ABCD có góc AB CD , BD AC vuông góc với có độ dài a, b Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P) ABC có đỉnh C nằm khác phía với hai đỉnh A, B (P) Biết khoảng cách từ A, B, C đến (P) tương ứng a, b, c Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác đên (P) Lời giải Gọi A, B, C chân đường vuông góc hạ từ A, B, C xuống (P) 0Ta có: AA = a, BB = b, CC = c B A Xét phép tịnh tiến: T : (P) (Q) A A1 A' P B B1 C C A1, B1, C1 (Q) (P) // (Q) C' A1 Q B1 C Ta có: CC (P), BB (P), AA (P) AA // BB // CC Lại có: CC // AA // BB CC = AA = BB = c A, A, A1 thẳng hàng AA1 = a + c B, B, B1 thẳng hàng BB1 = b + c Dễ thấy: AA1 BB1 (Q) Gọi E, F trung điểm BC CB1 39 B' EF // BB // AA Ta có: EF (Q) EF = BB = A E' G trọng tâm A1B1C A1G = A1F A1 G trọng tâm ABC AG = AE F B G G' Q E B1 F C Hình thang AA1FE có: GG // EF GG (Q) d(G, (Q)) = GG Gọi E, F trung điểm AG, A1G EF (Q) Hình thang EFFE có GG đường trung bình GG = = + = + (1) Hình thang GGA1A có: EF đường trung bình EF = (2) Từ (1) (2) ta có: GG = GG = GG = = + = Gọi d (G, (P)) = h h = GG c = đpcm 2.5.5 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hình thang ABCD (BC // AD) có: AB = a, CD = c, DA = d, tổng hai đáy lớn tổng hai cạnh bên ( b + d > a + c) Gọi M giao điểm phân giác góc A B; N giao điểm phân giác góc C D Tính khoảng cách MN 40 Hướng dẫn giải b' b n m a c d a' Vì M giao điểm phân giác góc A B nên M cách hai đáy BC AD Tương tự ta có N cách hai đáy BC AD Do MN // BC AD Phép tịnh tiến T : MN A A (A AD) B B (B BC) T : ABM ABN, MBC CBN, BAM NAB, MAD NAD ABN = CBN NAB = NAD Do N tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD AB + CD = BC + AD AB + CD = (BC - MN) + ( AD MN) (vì AB = AB, BB = AA = MN) 2MN = BC + AD AB CD MN = = Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, từ B kẻ đường thẳng BE CD BK AD (E CD, K CD), biết KE = a, BD = b (b > a) Tính khoảng cách từ B đến trực tâm BEK 41 Hướng dẫn giải b c h a e d k Gọi H trực tâm BEK, ta có: EH ^ BK KH ^ BE EH //DK , KH //DE DK ^ BK DE ^ BE KDEH hình bình hành DE = KH HB = KD Phép tịnh tiến T : H E B B T : BH BE Vì BH EK nên BE EK Trong tam giác vuông BEK ta có: BE2 = BK2 KE2 Mặt khác, tứ giác BBDK hình chữ nhật nên BK = BD = b BE = BK = b a Vậy khoảng cách từ B đến trực tâm BEK b a 42 Kết luận Phép biến hình vấn đề tương đối khó học sinh phổ thông, hầu hết học sinh chưa thấy hết vị trí tầm quan trọng việc ứng dụng phép biến hình vào giải toán Để giúp học sinh có hứng thú việc sử dụng phép biến hình vào giải toán hình học, em xin trình bày số kiến thức phép biến hình phép tịnh tiến ứng dụng việc giải lớp tập mặt phẳng không gian Cuối cùng, em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Hình học khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt thầy Phan Hồng Trường giúp đỡ, hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thân em nỗ lực cố gắng có hạn chế trình độ chuyên môn thời gian có hạn nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện 43 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn (1993), Giáo trình hình học sơ cấp tập 1, tập 2, ĐHSP Hà Nội [2] Bùi Văn Bình (1993), Bài tập hình học sơ cấp tập 1, ĐHSP Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh (2010), Tài liệu chuyên toán hình học 11, NXBGD [4] Đoàn Quỳnh (2010), Tài liệu chuyên toán tập hình học 11, NXBGD [5] Nguyễn Văn Mậu (2008), Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh chuyên Toán: Hình học số vấn đề liên quan, NXBGD [6] Đỗ Thanh Sơn (2010), Phương pháp giải toán hình học 11 theo chủ đề, NXBGD [7] Nguyễn Việt Hải (1993), 100 tập sử dụng phép biến hình, sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng 44 [...]... của (A, AB2) và đường thẳng AB D là ảnh của C qua phép tịnh tiến T 20 Bài 2: Cho mặt cầu (O, R), một điểm A và một véctơ v 0 Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu, ta gọi M là điểm đối xứng của M qua A và M là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ v Tìm tập hợp M, khi M biến thiên trên mặt cầu Hướng dẫn giải Xét phép đối xứng qua tâm Đ và M' phép tịnh tiến T Ta có: Đ : M M M'' A A' T : M1 M T Đ... Để dựng hình Hn-1 ta đi dựng hình Hn Trong đó hình Hn phải là hình dễ dàng dựng được nhờ các phép biến hình cơ bản hoặc là hình đã cho trong giả thiết Vấn đề là ta phải xác định được phép biến hình nói lên mối liên hệ giữa hình H cần dựng và hình Hi nào đó, sau đó căn cứ vào định nghĩa và tính chất của phép biến hình mà ta vẽ các đường phụ (với phép tịnh tiến thì ta vẽ các đoạn thẳng song song và...CHƯƠNG 2: ứNG DụNG CủA PHéP TịNH TIếN VàO GIảI CáC LớP BàI TOáN cơ bản 2.1 ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán chứng minh 2.1.1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A B là đúng, trong đó A được gọi là giả thiết, B được gọi là kết luận của bài toán Để giải bài toán chứng minh thông... trước) Gọi C là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo véctơ AB d c Trong ACC có: AC = 2a, ACC = , BC = b là trung tuyến kẻ từ C b Cách dựng - Dựng AC = 2a Gọi B là trung điểm của AC - Dựng cung chứa góc với dây cung AC - Dựng đường tròn (B, b) Gọi C là điểm chung của cung chứa góc và đường tròn Điểm C là đỉnh thứ ba của hình bình hành - Dựng D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo BA ABCD là hình bình... đó đạt cực trị 2.4.2 Giải bài toán biến hình nhờ phép cực trị Giải một bài toán cực trị trong hình học nhờ sử dụng phép biến hình ta thực hiện theo các bước: - Lựa chọn phép biến hình - Thực hiện phép biến hình - Rút ra kết luận của bài toán (bài toán có đạt cực trị hay không đạt cực trị nếu đạt cực trị thì bằng bao nhiêu và trong trường hợp nào) Nhờ phép biến hình, thông qua việc sử dụng các hình phụ,... toán tương tự của bài toán trên: Cho tứ diện ABCD có: AB = CD, AC = BD, AD = BC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD a Phép tịnh tiến theo véctơ MN biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB Chứng minh rằng: tứ giác phẳng ACBD là hình chữ nhật b Phép tịnh tiến theo véctơ NM biến đoạn thẳng CD thành đoạn thẳng CD Chứng minh rằng: bốn đỉnh của tứ diện ABCD cùng với các điểm A, B, C, D là đỉnh... Bài tập đề nghị Bài 1: Trên cung BC không chứa A của đường tròn ngoại tiếp ABC, ta lấy điểm D (khác B, C) Phép tịnh tiến theo véctơ DA biến B thành B, C thành C Chứng minh rằng: trực tâm ABC nằm trên một đường thẳng cố định khi D thay đổi trên cung BC không chứa A 13 Hướng dẫn giải Xét phép tịnh tiến theo véctơ DA: c' T : DBC ABC T b' biến các đường cao của DBC h thành các đường cao tương ứng của... (MN; AB) = (MN; CD) c (IJ; AB) = (IJ; CD) d IJ MN Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD a Phép tịnh tiến theo véctơ MN biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB Chứng minh rằng: tứ giác phẳng ACBD là hình vuông b Phép tịnh tiến theo véctơ NM biến đoạn thẳng CD thành đoạn thẳng CD Chứng minh rằng: bốn đỉnh của tứ diện ABCD cùng với các điểm A, B, C, D là đỉnh... (C) (O, R) Ta có: T : (C) (C) Mà HK // (Q) nên ảnh của (C) là (C) qua phép tịnh tiến cũng nằm trong (Q) và ta có hai bán kính của (C) và (C) bằng nhau d Biện luận - Nếu (O) và (O) khác phía đối với (P) thì không tồn tại (Q) // (P) thỏa mãn cắt cả hai mặt cầu Vậy bài toán vô nghiệm - Nếu (O) và (O) nằm cùng phía với (P) hoặc một trong hai mặt cầu cắt (P) thì số đường tròn (C) = (O, R) (O1, R) chính... định nghĩa, tính chất của các hình để dẫn tới kết luận 2.1.2 Giải bài toán chứng minh nhờ phép biến hình - Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho trong giả thiết A với các điểm, các đường trong kết luận B thông qua một phép biến hình nào đó, để nhờ những tính chất được bảo toàn qua các phép biến hình ta có thể nhận được các kết quả về: tính đồng quy hay thẳng hàng quan hệ song, ... dụng phép tịnh tiến E2, E3 vào giải toán Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phép tịnh tiến E2, E3 Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lý thuyết phép tịnh tiến - Các ví dụ minh họa thể ứng dụng phép tịnh. .. phép tịnh tiến mà véctơ tịnh tiến u + v tức T T = T T = T v Tích phép đối xứng tâm Đ phép tịnh tiến T phép đối xứng tâm tâm O phép biến đổi xác định hệ thức 2OA = v 1.2.3 Hệ Phép tịnh. .. Phép tịnh tiến với góc nhị diện Phép tịnh tiến T biến góc nhị diện thành góc nhị diện số đo hai góc phẳng nhị diện 1.2.6 Phép tịnh tiến với hình trụ tròn xoay, hình nón tròn xoay Phép tịnh tiến