Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bảo tận tình thầy cô giáo em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - người chăm lo, dìu dắt chúng em trưởng thành hôm Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th S Nguyễn Thị Kiều Nga, cô tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình hoàn thành khóa luận Do lần em làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian có hạn lực thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Cao Thị Hiền Cao Thị Hiền K35B - sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận kết thân em suốt trình học tập nghiên cứu Bên cạnh quan tâm tạo điều kiện thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình cô giáo Th S Nguyễn Thị Kiều Nga Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Người cam đoan Sinh viên Cao Thị Hiền Cao Thị Hiền K35B - sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt MỤC LỤC Lời mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm, tập sinh nhóm 1.2 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp nhóm 1.3 Lớp ghép trái, lớp ghép phải 1.4 Nhóm chuẩn tắc điều kiện tương đương 1.5 Nhóm thương 1.6 Đồng cấu nhóm 1.7 Cấp nhóm, cấp phần tử nhóm 10 Chương 2: Một số cấu trúc nhóm đặc biệt 11 2.1 Nhóm hữu hạn 11 2.2 Nhóm xyclic 28 2.3 Nhóm tự 34 2.4 Nhóm giải 38 2.5 Một số tập 43 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Cao Thị Hiền K35B - sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt LỜI MỞ ĐẦU Đại số ngành chiếm vị trí quan trọng Toán học, góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại Ngày cầu học hỏi Toán học nói chung đại số nói riêng thầy cô giáo dạy Toán, bạn sinh viên khoa Toán nhiều người quan tâm đến môn Toán, ngày tăng Đối tượng chủ yếu đại số cấu trúc nhóm, vành, trường,… Trong nhóm cấu trúc bản, quan trọng, sở để xây dựng cấu trúc khác Các cấu trúc nhóm có nhiều ứng dụng ngành Toán đại số tuyến tính, giải tích, phương trình đạo hàm riêng,… Vì lý với đam mê lòng yêu thích Toán học em mạnh dạn chọn đề tài “Một số cấu trúc nhóm đặc biệt” để làm khóa luận Do khuôn khổ luận văn nên phần nội dung khóa luận trình bày số cấu trúc nhóm Nội dung khóa luận gồm chương:  Chương 1: Kiến thức chuẩn bị  Chương 2: Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Mặc dù cố gắng nhiều song điều kiện thời gian có hạn khả nhiều hạn chế, lần tiếp cận với nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong quan tâm, góp ý, bảo tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cao Thị Hiền K35B - sp Toán -1- Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm, tập sinh nhóm 1.1.1 Định nghĩa số tính chất a) Định nghĩa Cho X tập khác rỗng   phép toán hai X Khi X nhóm thỏa mãn điều kiện: i) ( xy) z  x( yz) , với x, y, z  X ii) Tồn e  X : xe  ex  x , với x  X iii) Với phần tử x  X , tồn x '  X cho: xx '  x ' x  e b) Chú ý - Phần tử e ii) gọi phần tử đơn vị X - Phần tử x ' iii) gọi phần tử nghịch đảo x X , kí hiệu x  - Nhóm X gọi nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) phép toán hai X thỏa mãn thêm điều kiện xy  yx , với x, y  X c) Tính chất Cho X nhóm Khi đó: 1) Phần tử đơn vị e X xác định 2) Mỗi phần tử x  X , tồn phần tử nghịch đảo x1 3) Trong nhóm có luật giản ước, với a, b, x  X : xa  xb  a  b ax  bx  a  b Cao Thị Hiền K35B - sp Toán -2- Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt 4) Trong nhóm X , phương trình ax  b (hoặc ya  b ) có nghiệm x0  a 1b (hoặc y0  ba 1 ) 1 5) Với x1 , x2 , x3 , , xn  X :  x1 x2 x3 xn   xn1 x31 x21 x11 1.1.2 Nhóm a) Định nghĩa Cho X nhóm, A phận ổn định X A gọi nhóm X A với phép toán cảm sinh lập thành nhóm b) Điều kiện tương đương Cho X nhóm, A  X A nhóm X điều kiện sau thỏa mãn: 1) Với x, y  A : xy  A 2) e  A với e phần tử đơn vị nhóm X 3) Với x  A x 1  A , với x 1 phần tử nghịch đảo phần tử x nhóm X c) Hệ Cho X nhóm A khác rỗng A  X Khi điều kiện sau tương đương: i) A nhóm nhóm X 1 ii) Với x, y  A xy  A x  A 1 iii) Với x, y  A xy  A d) Tính chất Giao họ nhóm nhóm X nhóm X Cao Thị Hiền K35B - sp Toán -3- Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt 1.1.3 Tập sinh nhóm a) Định nghĩa Cho X nhóm, U  X Giao tất nhóm X chứa U nhóm bé X chứa U , gọi nhóm sinh tập U , kí hiệu U Trong trường hợp U  X U gọi tập sinh nhóm X X sinh U  Nếu U hữu hạn, U  X X gọi nhóm hữu hạn sinh  Nếu U  a1 , a2 , , an  viết a1 , a2 , , an b) Nhận xét Giả sử X  U +) Các phần tử X viết (không nhất) dạng u1 u2 un với n  0, ui U (i  1, n),  i  1 n +)  e S  S S nhóm +) Nếu X không sinh tập thực U ta nói U tập sinh cực tiểu X +) Một nhóm có hai tập sinh cực tiểu với số phần tử khác Ví dụ:   2, 1.2 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp nhóm 1.2.1 Định nghĩa a) Tích trực tiếp, tổng trực tiếp nhóm Giả sử A, B nhóm với phép toán nhân Trên tập tích Đề Các A  B  (a, b) | a  A, b  B ta định nghĩa phép toán nhân sau:  a, b c, d    ac, bd  với  a, b  ,  c, d   A  B Cao Thị Hiền K35B - sp Toán -4- Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt i) Nhóm A  B với phép toán lập thành nhóm, gọi tích trực tiếp hai nhóm A B Kí hiệu A  B ii) Tích trực tiếp hai nhóm A B gọi tổng trực tiếp hai nhóm Kí hiệu A  B b) Tích trực tiếp, tổng trực tiếp nhiều nhóm b.1) Định nghĩa i) Giả sử Gi nhóm nhân với i  I Trên tập tích:  G  (a ) i i iI |  Gi , i  I  iI ta định nghĩa phép toán nhân sau (ai )iI (bi )iI  (aibi )iI Khi ta nhóm, gọi tích trực tiếp họ nhóm (Gi )iI Kí hiệu G i iI ii) Tổng trực tiếp họ nhóm (Gi )iI , kí hiệu G i nhóm iI nhóm  G , gồm tất phần tử (ai )iI i cho  ei ( ei đơn iI vị Gi) hầu hết, trừ số hữu hạn số i b.2) Chú ý Nếu tập số I hữu hạn tổng trực tiếp tích trực tiếp trùng nhau, tức G   G i iI i iI 1.2.2 Tính chất 1) A  B  B  A 2) ( A  B )  C  A  ( B  C ) 3) Có thể đồng A với nhóm A  eB  A  B nhờ đơn cấu sau: A  A B a  ( a , eB ) Cao Thị Hiền K35B - sp Toán -5- Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Tương tự, đồng B với nhóm eA   B nhờ đơn cấu B  A B sau: b  (e A , b ) 4) Do có tính chất nên phần tử A giao hoán với phần tử B A  B ab  (a, eB )(eA , b)  (a, b)  (eA , b)(a, eB )  ba 5) A  B  e A  B 6) Nhóm A  B sinh tập A  B Tức A  B  A  B 7) A, B nhóm chuẩn tắc A  B 8) A B A A B B B A 1.3 Lớp ghép trái, lớp ghép phải a) Định nghĩa Cho X nhóm, H nhóm X Trên X ta xây dựng hai quan hệ hai R R sau: Với x, y  X  xRy x 1 y  H 1  xRy yx  H Khi đó: +) R R quan hệ tương đương tập X +) Lớp tương đương R  x  R  x  phần tử x  X tính sau: R  x    y  X | x 1 y  H    y | h  H : y  xh  xH R  x    y  X | yx 1  H    y | h  H : y  hx  Hx Cao Thị Hiền K35B - sp Toán -6- Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Tập hợp xH gọi lớp ghép trái H X tập hợp Hx gọi lớp ghép phải H X Một phần tử lớp ghép gọi đại diện lớp ghép b) Nhận xét Hai lớp ghép trái A trùng phần tử chung, lớp ghép phải Như nhóm X phân hoạch thành hợp rời lớp ghép trái (tương ứng lớp ghép phải) 1.4 Nhóm chuẩn tắc điều kiện tương đương a) Định nghĩa i) Cho X nhóm, A nhóm nhóm X Khi A gọi nhóm chuẩn tắc nhóm X với x  X với a  A x 1 ax  A ii) Nhóm X gọi nhóm đơn nhóm khác e X b) Điều kiện tương đương Cho A nhóm nhóm X Khi ta nói A nhóm chuẩn tắc nhóm X xA  Ax , với x  X c) Nhận xét  Cho A nhóm nhóm X , x  A xA  Ax  A  Mỗi nhóm X có hai nhóm chuẩn tắc tầm thường e X  Nếu X nhóm Abel nhóm chuẩn tắc 1.5 Nhóm thương a) Xây dựng nhóm thương Cho X nhóm, A nhóm chuẩn tắc X Trên tập X A   xA | x  X  trang bị phép toán hai sau  xA yA  xyA Cao Thị Hiền K35B - sp Toán -7- Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt f (G ) G 2) f : N  N xN  f ( x ) N  đồng cấu nhóm 3) Nếu N  f 1  N   f đẳng cấu Chứng minh 1) a  f  a   f  N  , a  N x  f  x   f  G  , x  G Ta có x 1ax  f  x 1  f  a  f  x   f  x 1ax   f  N   x 1ax  N  Vậy N   f  N  nhóm chuẩn tắc f  G  1 2) xN  yN x 1 y  N Do  f  x   f  y   f  x 1 y   N  Điều kéo theo f  x  N   f  y  N  hay f  xN   f  yN  Vậy f ánh xạ f  xN yN   f  xyN   f  xy  N   f  x  f  y  N   f  x  N  f  y  N   f  xN  f  yN  Suy f đồng cấu nhóm Ta có Im f  f G  N nên f toàn cấu 3) Ker f  f 1  N    N  nên f cấu Do f đẳng cấu b) Định lý H nhóm G K nhóm chuẩn tắc G K nhóm chuẩn tắc HK H  K nhóm chuẩn tắc H Đồng thời ta có HK K H Cao Thị Hiền K35B - sp Toán H  K  - 39 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Chứng minh Trước hết ta chứng minh H  K nhóm chuẩn tắc H Thật vậy, ta có a  H  K , x  H , x 1ax  H Vì a  K , K chuẩn tắc nên x 1ax  H  K Vậy H  K nhóm chuẩn tắc H HK   xy : x  H , y  K  nhóm G Thật vậy, e  HK Mặt khác x1 , x2  H y1 , y2  K x y  1 1 x2 y2  y11 x11 x2 y2 Vì K nhóm chuẩn tắc nên HK  KH Do y11 x11 x2  KH  HK y11 x11 x2  ab , với a  H b  K Suy x y  1 1 x2 y2  aby2  HK Vậy HK nhóm G, K nhóm chuẩn tắc HK hiển nhiên Xét toàn cấu f : H  HK K x  xK Có Kerf   x  H | xK  K   H  K Suy H  K nhóm chuẩn tắc H Hơn ta lại có đẳng cấu HK K H H K 2.4.2 Định nghĩa nhóm giải Nhóm G gọi nhóm giải tồn dây chuyền giảm nhóm con: G  G0  G1   Gn  e cho Gi nhóm chuẩn tắc Gi 1 (1) Gi 1 Abel, với i  1, n Tháp (1) gọi tháp Abel Nhận xét: Các nhóm Abel nhóm giải Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 40 - Gi nhóm Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt 2.4.3 Một số tính chất a) Định lý Mọi nhóm nhóm giải giải Ảnh đồng cấu (và nhóm thương) nhóm giải nhóm giải Chứng minh Giả sử ta có G nhóm giải H nhóm G Vì G nhóm giải nên tồn tháp Abel G  G0  G1   Gn  e Vì H nhóm G, đặt H i  H  Gi Khi đó: H i 1  Gi  H  Gi 1  Gi  H  Gi Vì Gi 1 Gi Abel nên H i 1 H i 1  Gi  H i 1 Hi nhóm Abel Tóm lại ta có tháp Abel H  H  H1   H n  e Vậy H giải Giả sử f : G  G đồng cấu Đồng cấu cảm sinh toàn cấu: Abel nên Gi 1 f  Gi 1  Gi  f  Gi  f  Gi 1  f  Gi  Theo 2.4.1 (b), kết hợp Gi 1 Gi là Abel Ta nhận tháp Abel: f  G   f  G0   f  G1    f  Gm    f  e  Do f  G  nhóm giải b) Định lý Nếu nhóm có cấp lũy thừa số nguyên tố giải Chứng minh Gọi nhóm có cấp m Giả sử m = pn Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 41 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt - Nếu n  kết tầm thường - Nếu n  m  p , mà p nguyên tố nên nhóm nhóm xyclic, giải - Giả sử kết với k  n  Ta chứng minh kết với k = n +) Giả sử G có cấp G  p n  n   +) Với aG ta xét tập Ta   xax 1 | x  G Dễ kiểm tra tập Ta rời trùng Gọi C  a  G | ax  xa, x  G C tâm G nhóm giao hoán, chuẩn tắc G Vì tập Ta có phần tử a nằm C nên dễ dàng thấy G  C   Ta , với Ta  Đặt N a   x  G | ax  xa +) N a nhóm G (dễ thấy) s +) Giả sử G phân tích thành yN i a lớp ghép trái i 1 N a không giao Với yi ta thấy tập  y x   a   y x  i 1 i  | x  N a   yi ayi 1 (chỉ gồm phần tử) 1 1 1 Vì xax  yay y x  N a Do Ta bao gồm s phần tử Kết chứng tỏ Ta  s  G : N a  số N a n k Vậy Ta ước p hay C  p 1  k  n  nk Vì nhóm thương G C có cấp p  n  k  n  nên theo giả thiết quy nạp giải ta có tháp Abel: G C  G0 C  G1 C Cao Thị Hiền K35B - sp Toán  G2 C - 42 -   Gs C C C Khóa luận tốt nghiệp Vì  Gi 1   C    Gi   C    Gi 1 Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Gi nên ta có tháp Abel: G  G0  G1  G2   Gs  C  e Vậy G nhóm giải 2.5 Một số tập Bài 1: Tìm nhóm nhóm S3 phép bậc Giải Các phần tử S3 là: S3  e, f1   3 , f  1 3 , f3  1  , f  1 3 , f5  1  e đơn vị S3 Trước tiên ta tìm cấp phần tử S3 +) Cấp f1 , ta có f12  e   f f1   f1k | k  qr  | r  0,1  e q f1r  f1r Mà r  0,1, r  Suy f1  e, f1 Do cấp f1 +) Tương tự : Vì f 2  e nên cấp f  Vì f32  e nên cấp f  +) Vì e1  e nên cấp e  +) Vì f  e nên cấp f  f   f 4k | k  f 3qr  | r  0,2  e q f 4r  f 4r Mà r  0, 2, r  Suy f  e, f , f  +) Vì f53  e nên cấp f  f   f 5k | k   f Cao Thị Hiền K35B - sp Toán 3qr  | r  0,2  e q  f 5r  f 5r - 43 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Mà r  0, 2, r  Suy f  e, f , f  Do đó: 24   4  6q  r   24   x  24 | x  4k    | q, r  , r  0,5   4r  24 | r  , r  0,5  24 ,  24 ,  24 , 12  24 , 16  24 , 20  24 15   3  5q  r   15   x  15 | x  3k     | q , r  , r  0,   3r  15 | r  , r  0,  15 ,  15 ,  15 ,  15 , 12  15 Bài 2: Tìm nhóm thương , ,  Giải Ta có    0, 1, 2, , +) Tìm cấp Cấp số nguyên dương m bé để m2  Suy m = Vậy cấp  Tương tự, cấp  , cấp  +) Nhóm thương Số lớp kề trái  8  Suy  ,1   0, 2, 4,6,1,3,5,7 +) Nhóm thương Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 44 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Số lớp kề trái +) Nhóm thương Số lớp kề trái  Suy 8    Suy Bài 3: Tìm nhóm thương n    4,14, 4,34 theo nhóm chuẩn tắc Giải Ta có n  nk | k  Với m  *  , n / m , ta chứng minh m nhóm chuẩn tắc n Thật vậy: +) Do n / m nên tồn q  : m  nq    m  n +) Với mk1 , mk2  m ta có : mk1  mk2  m  k1  k2   m (do k1 , k2  nên k1  k2  ) mk1  mk2  m  k1  k2   m (do k1 , k2  nên k1  k2  ) Suy m nhóm n +) Với mk1  m , nk  n ta có :  nk    mk    nk    nk   mk Suy m nhóm chuẩn tắc n Như nhóm thương n n m  nk  mk1  m với n / m m, n  * theo nhóm chuẩn tắc Bài 4: Chứng minh nhóm đối xứng Sn sinh xích sau: 1  , 1 3 , , 1 n  Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 45 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Giải Ta biết nhóm Sn sinh phép sơ cấp nó, với n  Do ta cần chứng minh phép sơ cấp dạng  k , l  , k  1, l  tích phép sơ cấp dạng 1,i  , với i  2,3, , n Thật vậy,  k , l   1, k 1, l 1, k   k , l   1, l 1, k 1, l  Vậy nhóm đối xứng Sn sinh hệ xích 1  , 1 3 , , 1 n  Bài 5: a) Chứng minh nhóm nhóm xyclic nhóm xyclic b) Chứng minh nhóm thương nhóm xyclic nhóm xyclic Chứng minh a) Giả sử X  x nhóm xyclic sinh phần tử x A nhóm X +) Nếu A=e, e phần tử đơn vị nhóm X A  e nhóm xyclic sinh phần tử e +) Nếu A  e có phần tử x n  A Khi n  Vì A nhóm X nên x  n  A , n -n có số nguyên dương x A Gọi x m lũy thừa nguyên dương bé x A Khi A  x m Thật vậy, x m  A nên x m  A Giả sử x k phần tử tùy ý A Chia k cho m ta k  mq  r (với  r  m ) Do q x k  x mq  r   x m  x r Suy q x r  x k  x m   A chứng tỏ r  q x k   x m   x m hay A  x m b) Giả sử H nhóm nhóm xyclic X Xét phép chiếu tắc p : X  X H x  xH Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 46 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Khi p đồng cấu từ nhóm X đến nhóm X H Thật vậy, p  xy   xyH  xH yH  p  x  p  y  Đồng cấu toàn cấu nên Im p  X Vậy nhóm thương X H H Theo 2.2.2 (a) Im p nhóm xyclic nhóm xyclic Bài : Chứng minh m  n nhóm xyclic m, n nguyên tố Chứng minh  Điều kiện đủ   Giả sử m, n hai số nguyên tố Khi 1,  m  n            có cấp mn Thật vậy, mn 1,1  mn1, mn1  n m1 , m n1  0,         Giả sử k 1,  0, Khi k1, k1  0, k1  1  m Hay  k1  1  n m n k  m Suy  Vì  m, n   nên k  mn k  n  Vậy m  n   nhóm xyclic sinh 1,  Điều kiện cần Giả sử m  n nhóm xyclic Khi tồn a, b m  n có cấp mn Mặt khác  m, n bội chung nhỏ m, n  m, n a, b    m, n a,  m, nb    0, 0 Từ suy  m, n mn Vậy m, n nguyên tố Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 47 - chia hết cho Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Bài 7: Chứng minh nhóm xyclic cấp 15 nhóm xyclic Giải Giả sử nhóm X có cấp 15 Theo 2.2.2 (c) ta có: X  Do , 15   (do 15=3.5 mà (3, 5) = 1) nhóm có cấp 3, số nguyên tố, theo 2.1.2 (hệ 3) suy , nhóm xyclic Vì X   nên X nhóm xyclic (điều phải chứng minh) Bài 8: Tìm tất nhóm nhóm xyclic cấp nhóm xyclic cấp 12 Giải +) Giả sử X nhóm xyclic cấp x phần tử sinh X Ta có bảng tính toán X sau  e x x2 x3 x4 x5 e e x x2 x3 x4 x5 x x x2 x3 x4 x5 e x2 x2 x3 x4 x5 e x x3 x3 x4 x5 e x x2 x4 x4 x5 e x x2 x3 x5 x5 e x x2 x3 x4 Từ bảng ta suy nhóm X là: A1  e A2  e, x  A4  X Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 48 - A3  e, x , x  Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt +) Giả sử X nhóm xyclic cấp 12 x phần tử sinh X Bằng phương pháp tương tự ta có nhóm X là: A2  e, x  A1  e A3  e, x , x8  A4  e, x , x , x  A5  e, x , x , x , x8 , x10  A6  X Bài 9: Chứng minh X nhóm có nhóm e X X nhóm xyclic, hữu hạn Chứng minh Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: “Nhóm cấp vô hạn có vô hạn nhóm con” Thật vậy, +) Nếu X nhóm xyclic Giả sử X  x nhóm xyclic cấp vô hạn với số tự nhiên k ta có x k nhóm xyclic X k  l x k  x l Do X có vô hạn nhóm +) Giả sử X nhóm cấp vô hạn (không phải nhóm xyclic)  Nếu X có phần tử x0 có cấp vô hạn A  x0 nhóm xyclic cấp vô hạn Nhóm có vô hạn nhóm con, nhóm lại nhóm X Vậy X có vô hạn nhóm  Nếu phần tử X có cấp hữu hạn số nhóm xyclic sinh phần tử X vô hạn Vì  x  X x X tập vô hạn, mà x hữu hạn Bổ đề chứng minh Từ bổ đề vừa chứng minh ta suy X nhóm cấp hữu hạn Nếu X nhóm xyclic tồn a  X , ord  a   nhỏ cấp X Suy a  e a  X (trái giả thiết) Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 49 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Vậy X nhóm xyclic sinh phần tử a  e Bài 10: Chứng minh nhóm ảnh đồng cấu nhóm tự đẳng câu với nhóm thương nhóm tự Chứng minh Giả sử X nhóm tùy ý Gọi  F , f  nhóm tự sinh X Với ánh xạ đồng cấu X id X : X  X tồn đồng cấu h : F  X cho id X  hf Vì id X toàn ánh nên h toàn cấu Vì X  h  F  Theo định lý đồng cấu ta có X  H Kerh Bài 11: Chứng minh rằng: a) Với n  S n nhóm giải b) Với n  Sn không giải Chứng minh a) +) Với n  hiển nhiên 1  +) Với n  ta lấy f    A3  g  e, f , g   Ta kiểm tra A3 nhóm chuẩn tắc S3 tháp S3  A3  e Abel Do S3 giải +) Với n  , đặt: t1  1   t2  1 3  t3  1  3 S1  1 3 S2  1  S3  1  S  1  S5  1  S6  1 3 S7    Cao Thị Hiền K35B - sp Toán S8    - 50 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt A4   t1 , t2 , t3 , S1 , S , , S8 , e  B4   t1 , t2 , t3 , e  C4   t1 , e  Ta kiểm tra S4  A4  B4  C4  e tháp Abel Do S nhóm giải Vậy n  Sn nhóm giải b) Giả sử trái lại S n giải Khi tồn tháp Abel: G1  G2   Gm  e Vì Gi G Gi 1 tháp Abel chứa tất vòng xích kéo theo tất Gi  i  0,1, , m  chứa vòng xích Điều mâu thuẫn với Gm  e Suy điều giả sử sai Vậy n  Sn không giải Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 51 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt KẾT LUẬN Lý thuyết nhóm lý thuyết quan trọng đại số kiến thức sở để xây dựng cấu trúc đại số đại số đại Khóa luận “Một số cấu trúc nhóm đặc biệt” em trình bày cấu trúc số nhóm đặc biệt nhóm hữu hạn, nhóm xyclic, nhóm tự do, nhóm giải Khóa luận đưa số tập nhóm trình bày Vấn đề nghiên cứu nhiều điều lý thú bổ ích Tuy nhiên hạn chế thời gian kinh nghiệm nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy, cô giáo bạn sinh viên bảo tận tình, đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện tốt Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Đại số, đặc biệt cô giáo Th S Nguyễn Thị Kiều Nga - người tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Cao Thị Hiền Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 52 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Tự Cường (2003), Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Trọng Huệ (2001), Đại số đại cương, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Ngô Thúc Lanh (1996), Đại số số học (tập 2), NXB Giáo dục Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết modun vành, NXB Giáo dục Dương Quốc Việt (2006), số cấu trúc Đại số đại, NXB Đại học sư phạm Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 53 - [...]... A Một số cấu trúc nhóm đặc biệt cùng với phép toán hai ngôi trên lập thành một nhóm, gọi là nhóm thương của nhóm X trên nhóm con chuẩn tắc A b) Chỉ số của nhóm con Giả sử S là nhóm con (không nhất thiết chuẩn tắc) của nhóm X Lực lượng của tập X S các lớp ghép trái của S trong X được gọi là chỉ số của nhóm con S trong nhóm X và được kí hiệu là  X : S  1.6 Đồng cấu nhóm 1.6.1 Định nghĩa đồng cấu nhóm. .. 2.1.5 Nhóm con Sylow a) Định nghĩa Giả sử p là số nguyên tố i) Nhóm H được gọi là một p - nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p Tức H  p n ii) Nhóm H được gọi là một p - nhóm con của nhóm X nếu H vừa là một nhóm con của X , vừa là một p - nhóm iii) Nhóm H được gọi là một p - nhóm con Sylow của X nếu H vừa là một p - nhóm con của X và H  p n là lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của X b) Một số. .. cấp của phân tử a là vô hạn m +) Nếu tồn tại số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho a  e thì m được gọi là cấp của a Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 10 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Chương 2 MỘT SỐ CẤU TRÚC NHÓM ĐẶC BIỆT 2.1 Nhóm hữu hạn 2.1.1 Định nghĩa  Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử  Nhóm X được gọi là nhóm vô hạn nếu nó có vô hạn phần tử 2.1.2 Định... một tự đẳng cấu của X Áp dụng 2.2.2 (a),  n thì Im    a   | n   là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử   a  Mà  là một đẳng cấu nên Im   X Do vậy tự đẳng cấu  biến a thành một phần tử sinh b nào đó của X Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 29 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt c) Định lý 2 i) Mọi nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhau và đẳng cấu với nhóm cộng các số. .. các nhóm con của nhóm X Nếu H được chứa trong nhóm chuẩn hóa của K trong X thì H  K là một nhóm con Cao Thị Hiền K35B - sp Toán -9- Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt chuẩn tắc của H và HK  KH là một nhóm con của X Hơn nữa HK H H H  K  Chú ý: Những bài toán yêu cầu tìm tất cả các ảnh đồng cấu của nhóm X (chính xác tới một đẳng cấu) thường được quy về việc tìm tất cả các nhóm. .. -8- Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt c) Tính chất 3 Giả sử  : X  H là một đồng câu nhóm, K là một nhóm con chuẩn tắc của X và  : X  X K là phép chiếu chính tắc Điều kiện cần và đủ để có một đồng cấu nhóm   : X  H sao cho      K là K K  Ker Khi đó   được xác định duy nhất d) Tính chất 4 Giả sử  : X  X  là một đồng cấu nhóm, còn K  là một nhóm con chuẩn tắc của X... Do đó X  - 30 - n hay X  n Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt d) Định lý 3 i) Mọi nhóm xyclic cấp vô hạn có hai phần tử sinh ii) Mọi nhóm xyclic cấp vô hạn có vô hạn tự đồng cấu nhưng có đúng hai tự đẳng cấu iii) Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm xyclic cấp vô hạn là một nhóm xyclic cấp hữu hạn Chứng minh i) Giả sử X  a là một nhóm xyclic cấp vô hạn với phép nhân Khi đó X có hai... điều phải chứng minh Hệ quả 2: Cấp của một nhóm hữu hạn X là một số mũ của nó Hệ quả 3: Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic Ch ứng minh Giả sử nhóm X có X  p là một số nguyên tố Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 12 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Vì p  1 nên có phần tử a  e trong X Nhóm xyclic a có cấp n  1 (vì a  e ) Suy ra n là một ước của p Nhưng p nguyên tố nên n... là nhóm Abel b) Ví dụ 1) Nhóm cộng 2) Cho n  là một nhóm xyclic với phần tử sinh là 1 hoặc -1 * , nhóm cộng n các số nguyên modun n, cũng là một nhóm xyclic với một phần tử sinh là 1 2.2.2 Một số tính chất a) Bổ đề 1 Ảnh đồng cấu của một nhóm xyclic là nhóm xyclic Chứng minh Giả sử X là một nhóm xyclic với phần tử sinh là a thì X  a n , n   Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ X đến Y Do n a ... đẳng cấu nhóm K H  K  Do đó K  H K   pp n 1  p n Vậy K chính là một p - nhóm con Sylow của X Định lý sau đây phát biểu không cần chứng minh b.3) Định lý Giả sử X là một nhóm hữu hạn Khi đó mọi p - nhóm con của X đều được chứa trong một p - nhóm con Sylow Mọi p - nhóm con Sylow của X đều liên hợp với nhau trong X Cao Thị Hiền K35B - sp Toán - 27 - Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt ... luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt Chương MỘT SỐ CẤU TRÚC NHÓM ĐẶC BIỆT 2.1 Nhóm hữu hạn 2.1.1 Định nghĩa  Nhóm X gọi nhóm hữu hạn có hữu hạn phần tử  Nhóm X gọi nhóm vô hạn có vô... nhóm Khóa luận tốt nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt 2.4.3 Một số tính chất a) Định lý Mọi nhóm nhóm giải giải Ảnh đồng cấu (và nhóm thương) nhóm giải nhóm giải Chứng minh Giả sử ta có G nhóm. .. nghiệp Một số cấu trúc nhóm đặc biệt c) Định lý i) Mọi nhóm xyclic cấp vô hạn đẳng cấu với đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên ii) Mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp n đẳng cấu với đẳng cấu với n , nhóm