Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH LỜI CẢM ƠN Trong thời gian hoàn thành khóa luận, bên cạnh nỗ lực miệt mài nghiên cứu thân đónggóp quý báu bạn bè thầy cô tổ hình học khoa Toán, đặc biệt thầy Đinh Văn Thủy – người trực tiếp hướng dẫn tận tình, chu em hoàn thành khóa luận Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo Đinh VănThủy, quý thầy cô, bạn bè cổ vũ, động viên em suốt thời gian hoàn thành khóa luận Một lần em xin gửi lời cảm ơn kính chúc sức khỏe tới thầy cô! Hà Nội, tháng 5năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hiền SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan trước hội đồng khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Toán: Khóa luận “Mô hình xạ ảnh không gian afin không gian ơclit” viết, kết tìm tòi, tổng hợp từ tài liệu tham khảo hướng dẫn thầy Đinh Văn Thủy, trích dẫn khóa luận trung thực Khóa luận không trùng với khóa luận tác giả khác Hà Nội, tháng 5năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hiền SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương I: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN 1.1.Xây dựng mô hình 1.2.Một số khái niệm hình học afin thể mô hình 1.2.1 Tọa độ afin mục tiêu afin 1.2.2 Các m – phẳng afin 1.2.3 Sự phương phẳng afin 1.2.4 Phép biến đổi afin 1.2.5 Tỉ số kép 10 1.2.6 Siêu mặt bậc hai afin An = Pn \ Pn-1 12 1.3 Mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin 13 1.3.1 Mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin 13 1.3.2 Thể afin đường conic A2 13 Chương 15 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT 15 2.1 Xây dựng mô hình 15 2.1.1 Cái tuyệt đối không gian xạ ảnh Pn 16 2.2.Một số khái niệm hình học ơclit thể mô hình 16 2.2.1 Sự vuông góc hai đường thẳng 16 2.2.2 Siêu cầu 17 2.2.3 Phép đồng dạng 18 2.3 Mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơclit 20 2.3.1 Mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơclit 20 2.3.2 Một số thể mô hình 20 SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Chương 3: BÀI TẬP 23 Dạng 1: Áp dụng mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin vào giải toán 23 Dạng 2: Áp dụng mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơlit vào giải toán sơ cấp 35 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp ĐH Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học xạ ảnh môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành toán trường đại học sư phạm nước Mục đích môn học cung cấp cho sinh viên nhìn tổng quan hình học mối quan hệ chúng Đồng thời hình học xạ ảnh giúp có phương pháp suy luận, phương pháp giải sáng tạo số toán trường trung học phổ thông Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải sáng tạo toán hình học afin hình học ơclit vấn đề bảnvà mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho sinh viên học môn hình học xạ ảnh Nhằm tìm hiểu rõ hình học xạ ảnh đồng thời ứng dụng vào việc giải toán hình học afin hình học ơclittôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: “Mô hình xạ ảnh không gian afin không gian ơclit” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu mô hình xạ ảnh không gian afin không gian ơclit Đối tượng nghiên cứu Mô hình xạ ảnh không gian xạ ảnh An En Mức độ phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan mô hình xạ ảnh không gian afin không gian ơclit Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu cách xây dựng mô hình xạ ảnh không gian afin không gian ơclit SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền1K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội  Khóa luận tốt nghiệp ĐH Tìm hiểu số khái niệm hình học afin hình học ơclit thể mô hình  Tìm hiểu mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin mặt phẳng  Một số toán chọn lọc áp dụng mô hình xạ ảnh hình học ơclit A2, E2 SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền2K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH NỘI DUNG Chương I: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN 1.1.Xây dựng mô hình Trong Pnchọn siêu phẳngPn-1nào gọi An= Pn\ Pn-1là tập hợp điểm Pn mà không thuộc Pn-1 Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Ai;E} Pn cho đỉnh A1, A2, , An thuộc Pn-1 đỉnh An+1 không thuộcPn-1 Đối với mục tiêu chọn siêu phẳng Pn-1 có phương trình xn+1=0 Bởi điểm X thuộc An có tọa độ xạ ảnh (x1, x2, , xn+1) xn+1≠0 có tọa độ xạ ảnh không (X1, X2, ,Xn) Xi = Khi có song ánh từ tập An vào Rnbằng cách ta cho điểm thuộc An tương ứng với tọa độ không Gọi Vn không gian vectơ n chiều trường số thực R với sở{ , } ta xét ánh xạ: φ : An x AnVn (X,Y)φ(X,Y) = =(Y1 – X1, Y2 – X2, ,Yn – Xn )∕ { } Thì ánh xạ φ thõa mãn tiên đề không gian afin, thật vậy: +)  X An : X= ( X1, X2, , Xn ) =(v1,v2, ,vn)  Vn Khi có điểm Y=(Y1,Y2, ,Yn) vớiY1= X1+ v1; Y2= X2+ v2; ; Yn= Xn+ φ(X,Y) = +)  X, Y,Z An : X= ( X1, X2, , Xn ), Y=(Y1,Y2, ,Yn), Z=( Z1, Z2, , Zn ) Ta có φ(X,Z) = = (Z1 – X1, Z2 – X2, ,Zn – Xn) =(Z1 – Y1, Z2 – Y2, ,Zn – Yn )+ (Y1 – X1, Y2 – X2, ,Yn – Xn ) = + = φ(X,Y)+ φ(Y,Z) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền3K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Vậy Anđược gọi mô hình xạ ảnh không gian afin 1.2.Một số khái niệm hình học afin thể mô hình 1.2.1 Tọa độ afin mục tiêu afin Ta xét mục tiêu xạ ảnh {Ai; E}của không gian xạ ảnh Pn Gọi Ei giaocủa đường thẳng AiAn+1 với E siêu X An+1 phẳngchứa đỉnh Ai lại Xi mục tiêuvà điểm E, Xi giao điểm củađường thẳng Ei với siêu phẳngchứa Ai điểm Ai lại điểm X Hình Ta có tỉ số kép (H.1): (AiAn+1EiXi)= (AiAn+1EiEi)=1 Do điểm Ei có tọa độ xạ ảnh là: Ei =(0, ,0,1,0, ,0,1) (số thứ cột thứ i) Do ta tính tọa độ xạ ảnh điểm E1,E2, ,En là: E1= (1,0, ,0,1) E2= (0,1,0, ,0,1) En= (0, , 1,1) Ta suy tọa độ xạ ảnh không điểm là: E1= (1,0, ,0) E2= (0,1,0, ,0) En= (0, ,0,1) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền4K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Điểm An+1(0,0, ,0,1) có tọa độ xạ ảnh không là: An+1=(0,0, ,0) Do cách đặt tương ứng xây dựng mô hình ta có: = (1,0, ,0) = = (0,1,0, ,0) = = (0, ,0,1) = Ta nhận thấy vectơ vectơ sở không gian vectơ Vn Do ta có thểdùng điểm{An+1; E1,E2, , En} làm mục tiêu afin không gian afin An= Pn\ Pn-1 Mục tiêu afin sinh mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} cho Nếu điểm XAn= Pn\ Pn-1có tọa độ xạ ảnh không (X1, X2, , Xn ) vectơ có tọa độ là: = (X1 – , X2 – 0, ,Xn – 0) = (X1, X2, , Xn) Điều chứng tỏ (X1, X2, , Xn) tọa độ afin điểm X mục tiêu afin {An+1; Ei}, i = 1,2, ,n Vậy : Kết luận: Tọa độ xạ ảnh không điểm X thuộc An mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} tọa độ afin điểm X mục tiêu afin {An+1; Ei}, i= 1,2, ,n, mục tiêu afin {An+1; Ei} gọi sinh mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} cho trước Ví dụ: Trong mặt phẳng afin A2 = P2\P1, ta thấy mục tiêu afin {A3; E1,E2} sinh mục tiêu xạ ảnh {A1, A2,A3; E} Trong trường hợp đường thẳngP1 = A1A2 đường thẳng vô tận có phương trình x3 =0 nên mặt phẳng mặt afin Các đường thẳng SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền5K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH +) Cách chuyển 2:Chọn ∆ đường thẳng qua MN ta có AB//A’B’, BC//B’C’ Định lí Đơdác trở thành: ∆ ABC &∆ A’B’C’ có AA’, BB’, CC’ đồng quy AB//A’B’, BC//B’C’ CA//C’A’ +) Cách chuyển 3: Chọn ∆ đường thẳng không điểm hình vẽ Định lí Đơdác trở thành: Nếu tam giác ABC tam giác A’B’C’ có A’A, B’B, C’C đồng quy M = AB  A’B’, N = BC B’C’, P = CA  C’A’ thẳng hàng ●Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học xạ ảnh Bài 8: Chứng minh định lí Papuýt P2bằng hình học afin Định lí Papuýt: Cho ba điểm phân biệt A, B, C nằm đường thẳng d ba điểm phân biệt A’, B’, C’ nằm đường thẳng d’ Nếu ta gọi P=AB’ BA’, M=AC’CA’, N=BC’CB’thì ba điểm M, N, P thẳng hàng A C B M P N I B’ C’ A’ Chuyển toán afin: +) Chọn ∆ đường MN xét A2 =P2\ MN +) Khi ta xét A2 BC’// CB’ AC’//CA định lí Papuýt trở thành định lí sau: SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền29K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH +) Cho điểm phân biệt A, B,C, A’, B’, C’ Trong A,B,C thuộc đường thẳng d, A’, B’, C’ thuộc đường thẳng d’ Nếu BC’//CB’, AC’//CA’ AB’//BA’ Chứng minh: +)Trường hợp 1: d d’= I Ta có: BC’// CB’  Hay = A (2) C CA’//AC’  = B = C’ A’ (4) Từ (1),(3)  I =  Từ (2), (4)  - = (3) = Do = (1) = Hay = =  = ( - ) hay =  Mà A,B,A’, B’ phân biệt nên AB’//A’B (đpcm) +) Trường hợp 2: d//d’ Từ giả thiết BC’//B’C d//d’ BC = C’B’  = Tương tự Nên + = = + hay = Mà A,B,A’,B’ phân biệt nên AB’//A’B C B A’ = hay (đpcm) A C’ SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền30K35G – SP Toán B’ B’ Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Vậy định lí Papuýt chứng minh A2  Định lí Pa puýt chứng minh P2 Bài 9: Chứng minh định lí Mênêlauýt định lí Xêva P2 hình học afin ● Định lí Mênêlauýt: Trong P2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3 đường thẳng d không qua điểm cắt đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2 tương ứng K1, K2, K3 Gọi L1, L2, L3 điểm tương ứng đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2 (khác A1, A2, A3) Điều kiện cần đủ để3 điểm L1,L2,L3 thẳng hàng :[A2A3K1L1][A3A1K2L2][A1A2K3L3]= K1 Chuyển toán afin: +) Ta chọn d đường thẳng vô tậnvà xét A2= P2\d +) Lúc A2 K1, K2, K3 điểm vô tận ta có: SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền31K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH [A2A3K1L1]= = [A3A1K2L2]= = [A1A2K3L3]= = Định lí Mênêlauýt hình học sơ cấp phát biểu lại sau: +) Định lí: Cho tam giác ABC điểm M, N, P thuộc cạnh BC, CA, AB Ba điểm M, N, P thẳng hàng =1 A Q Chứng minh:  Điều kiện cần: ∆ ABC, MBC, N NCA, PAB M, N, P thẳng hàng Chứng minh: =1 P M C B Từ A kẻ AQ// BC, Q MN ta có   = = = = =1 (đpcm)  Điều kiện đủ: ∆ ABC, MBC, NCA, PAB Cmr M, N, P thẳng hàng Giả sử PN BC= M’, theo định lí Mênêlauýt phần thuận ta có: =1 Theo giả thiết phần đảo ta có =1 SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền32K35G – SP Toán =1 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH  M’ M hay M, N, P thẳng hàng Vậy định lí chứng minh A2  Định lí Mênêlauýt chứng minh P2 ● Định lí Xêva: Trong P2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3 đường thẳng d không qua điểm cắt đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2 tương ứng K1, K2, K3 Gọi L1, L2, L3 điểm tương ứng đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2 (khác A1, A2, A3) Điều kiện cần đủ để đường thẳng A1L1, A2L2, A3L3 đồng quy là: [A2A3K1L1][A3A1K2L2][A1A2K3L3]= - Chuyển toán afin +) Ta chọn d đường thẳng vô tận L1 xét A2 = P2\ d A3 K +) Lúc A2 K1, K2, A2 K3là điểm vô tận ta có: K2 L2 [A2A3K1L1]= = A1 [A3A1K2L2]= = [A1A2K3L3]= = K3 L3 Định lí Xêva hình học sơ cấp phát biểu sau: +) Định lí: Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G thuộc cạnh BC, CA, AB Khi đường thẳng AE, BF, CG đồng quy khi: =-1 Chứng minh : Ta chứng minh định lí phương pháp đại số: +) Điều kiện cần:Cho tam giác ABC, EBC, FCA, GAB AE, BF, CG đồng qui SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền33K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Chứng minh Khóa luận tốt nghiệp ĐH =-1 Giả sử AE, BF, CG đồng qui O Áp dụng định lí Mênêlauýt cho tam A giác BEA với điểm O, G, C G thẳng hàng tam giác CEAvới F điểm B, O, F thẳng hàng O =1 (1) =1 (2) B C E =1 Nhân hai vế (1) (2) ta được:  = - (đpcm) +) Điều kiện đủ: Cho tam giác ABC, EBC, FCA, GAB = - Chứng minh AE, BF, CG đồng qui Gọi O= BF  CG ta có AO  BC giả sử AO//BC, áp dụng (3) định lí Talét ta có: (4) Nhân vế (3) (4) ta = Thay (5) vào =-1 = - ta có (5) =1 BC Mâu thuẫn với B≠ C nên AOBC=E’BC Áp dụng điều kiện cần với AE’, BF, CG đồng quy ta có =-1 SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền34K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Mà =-1  Khóa luận tốt nghiệp ĐH =  E’  E Vậy AE, BF, CG đồng qui O (đpcm) Vậy định lí Xêva chứng minh A2  Định lí Xêva chứng minh P2 Dạng 2: Áp dụng mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơlit vào giải toán sơ cấp ● Dùng hình học xạ ảnh để nghiên cứu hình học Ơclit Bài 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a b điểm A thuộc a, điểm D không thuộc a, b , đường thẳng biến thiên qua D, cắt a M cắt b N Tìm quỹ tích đường thẳng qua M thẳng góc với AN Chứng minh: Gọi ∆ đương thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic A D không thuộc ∆, a b không trùng với ∆ Đặt P=AN ∆ Đường thẳng qua M, thẳng góc với AN, thể đường thẳng xạ ảnh qua M, cắt ∆ điểm Q thỏa mãn [PQIJ]= - Tìm quỹ tích đường thẳng MQ sau: có ánh xạ f: a∆ biến M thành Q theo quy tắc: cho Ma, nối MD cắt b N, nối NA cắt ∆ P, lấy Q∆ cho [PQIJ]= -1, đặt f(M)= Q Dễ dàng thấy f ánh xạ xạ ảnh tích f=k◦h◦g; : g: M  N phép chiếu xuyên tâm h: N  P phép chiếu xuyên tâm k: P Q biến đổi xạ ảnh đối hợp ∆ nhận I, J làm hai điểm bất động Đặt E = a ∆, B = ED  b, H = AB∆ Khi f(E) = E  [HEIJ] = -1 SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền35K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Vậy [HEIJ] = -1 f phép chiếu xuyên tâm quỹ tích đường thẳng MQ chùm đường thẳng có tâm tâm chiếu Nếu [HEIJ] ≠ -1 theo định lí Steiner đối ngẫu, quỹ tích đường thẳng MQ hình bao ngoại tiếp đường ôvan tiếp xúc với A ∆  Ta có lời giải toán Ơclit sau : ● Nếu đường thẳng qua D, song song với a, cắt b điểm B mà AB  a đường thẳng qua M vuông góc với AN lập thành chùm ● Nếu đường thẳng qua D, song song với a, không cắt b hay cắt b điểm  AB không vuông góc với a quỹ tích đường thẳng qua M vuông góc với AN tập tiếp tuyến parabol mà a làm tiếp tuyến cho trước I P ● Q ● ● E ● a b J ● ● (∆) ● M A ● ● N ● D Bài 2: Chứng minh quỹ tích chân đường vuông góc hạ từ tiêu điểm parabol đến tiếp tuyến thay đổi parabol tiếp tuyến đỉnh parabol Chứng minh: Gọi ∆ đường thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic Parabol (G) thể đường ôvan tiếp xúc với ∆ P Gọi Q điểm ∆ cho [PQIJ]= -1; tiếp tuyến xuất phát từ Q đến (G) (mà khác ∆) tiếp tuyến đỉnh A parabol Hai tiếp tuyến xuất phát từ I, J cắt điểm F F tiêu điểm parabol SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền36K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Ta cần chứng minh QA thể quỹ tích chân đường vuông góc hạ từ tiêu điểm đến tiếp tuyến biến thiên parabol Lấy điểm M QA mà M≠ Q , tiếp tuyến (m) xuất phát từ M (mà khác với QA) cắt ∆ N Khi tiếp tuyến biến thiên ta có ánh xạ xạ ảnh f: hg{QA}  hg {∆}, MN (theo định lí Steiner) Do đặt N’ = FM∆ có biến đổi xạ ảnh g: ∆∆, NN’ Dễ thấy g(Q) = P Vì [QPIJ]= -1 nên [NN’IJ]=-1 Điều có nghĩa mặt phẳng Ơclit M chân đường vuông góc hạ từ tiêu điểm M đến tiếp tuyến (m) parabol Ngược lại, giả sử M điểm mà tiếp tuyến từ M cắt ∆ N,đường thẳng FM cắt ∆ N’, thỏa mãn [NN’IJ]=-1 Đặt NMQA=M1, N1’=FM1∆ Theo phần thuận ta có [NN1’IJ]= -1 Do N’1N’ Suy M1M Vậy M nằm QA Điều có nghĩa Ơclit M chân đường vuông góc hạ từ tiêu điểm đến tiếp tuyến parabol M phải nằm tiếp tuyến đỉnh củaparabol Q ● I ● N’ ● N P ● ● J ● (∆) m M ● ● A● ● F Bài 3: Chứng minh từ điểm M đường chuẩn (d) ứng với tiêu điểm F đường cônic(G) ta dựng tiếp SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền37K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH tuyến MT (G) với T tiêu điểm F nhìn đoạn [MT] góc vuông Chứng minh: Đường thẳng vô tận ∆, hai điểm xyclic I, J Cônic (G) đường ôvan Tiêu điểm F giao hai tiếp tuyến IA, JB với A, B hai tiếp điểm Đường chuẩn ứng với F AB Giả sử M điểm thực thuộc AB mà M ∆ Xét tiếp tuyến MT với (G) (tại tiếp điểm T) Đặt m= FT∆ Rõ ràng M cực FT FT liên hợp với (G) Do [mtIJ]= -1 Điều có nghĩa Ơclit F nhìn [MT] góc vuông (∆) I ● m ● T t ● J ● ● (G) ● M A ● ● B ● F Bài 4:Cho hai hypebol vuông cắt bốn điểm A, B, C, D Chứng minh đường bậc hai suy biến qua A, B, C, D cặp đường thẳng vuông góc, đường conic qua A, B, C, D hypebol vuông elip không tròn Chứng minh: Gọi ∆ đường thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic.Bốnđiểm A, B, C, D nằm ∆ tạo thành hình bốn đỉnh Đường bậc hai Ơclit qua A, B, C, D thể đường bậc hai xạ ảnh (G) qua A, B, C, D Theo định lí Desargues thứ hai, giả sử (G) cắt ∆ hai điểm P, Q có biến đổi đối hợp f: ∆∆, PQ SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền38K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Có hai đường hypebol vuông (G1), (G2) qua A, B, C, D có hai cặpđiểm (P1, Q1), (P2, Q2) thỏa mãn [P1Q1IJ]=-1, [P2Q2IJ]=-1 Do với cặp giao điểm (P,Q) ta có [PQIJJ]=-1 Nếu (G) đường ôvan (P, Q) thực (G) thể hypebol vuông Nếu (G) đường ôvan (P, Q) ảo liên hợp (G) thể elip mà đường tròn Nếu G suy biến thành cặp đường thẳng (đi qua A, B, C, D) (G) thể cặp đường thẳng Ơclit vuông góc (đi qua A, B, C, D) Bài 5: Cho đường tròn (G), dây cung [AB], trung điểm H [AB] hai dây cung [CD], [EF] qua H Đặt P=CEAB, Q=DFAB, R=CFAB, T=DEAB Chứng minh H trung điểm [PQ] [RT] Chứng minh: Gọi ∆ đường thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic Đường tròn (G) thể đường ôvan qua I, J Các điểm A, B, H nằm bên ∆ đặt K = AB∆ [ABHK]= -1 Áp dụng định lí Desargues thứ hai vào chùm đường bậc hai qua C, D, E, F ( cụ thể (G) đường bậc hai suy biến) (CE, FD) (CF, DE) với cát tuyến AB, ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f: hg{AB}hg{AB} mà f(A) = B, f(P) = Q, f(R) = T, f(H) = H Vì [ABHK] =-1, f(H) = H nên f(K) = K Do [ PQHK ] = -1, [BTHK]=-1 Vì K điểm vô tận AB nên điều có nghĩa Ơclit H trung điểm [PQ] [RT] K ● C ● A ● R ● E ● M ● ●● T B ● P ● Q ● D I ● ● F ● J (∆) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền39K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Bài 6: Cho đường tròn (G)và tiếp tuyến (d) điểm T Lấy hai điểm phân biệt A, B thuộc (d) đối xứng với qua T, đường thẳng qua A cắt (G) hai điểm P, Q đường thẳng qua B cắt (G) hai điểm V, W Đặt M=dPV, = d QW, N = d  PW, = d  QV Chứng minh T trung điểm đoạn [ M ], [ N ] Chứng minh: Đường thẳng vô tận ∆, hai điểm xyclic I, J Đường tròn đường ôvan (G) qua I, J tiếp xúc với (d) T Đặt S= (d)∆ [ABTS]=-1 Áp dụng định lí Desargues thứ hai vào bốn đường bậc hai qua P, Q, V, W (G), (PQ, VW), (PV, QW), (PW, QV) với đường thẳng (d) ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f đường thẳng (d) mà f(A) = B, f(M) = [ABTS] =-1 nên f(S) = S Do [ M , f(N)= TS] = -1,[ N , f(T) = T Vì TS]=-1 Vì S điểm vô tận (d) nên điều có nghĩa Ơclit T trung điểm đoạn [ M ] [N ] ( G) (∆) V ● ● J Q ● ● I P● ● N ● S ● ● ● M A ● W ● T SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền40K35G – SP Toán ● B (d) ● Trường ĐHSP Hà Nội ●Dùng Khóa luận tốt nghiệp ĐH hình học Ơclit để nghiên cứu hình học xạ ảnh Bài 7: Trong P2 cho hai điểm A, B nằm ∆, hai điểm I, J ∈∆ Với M thuộc ∆ xét N cho (IJMN) = -1 Tìm tập hợp điểm K với K = AM⋂BN K B  A  (∆)  I  M  J  N Chứng minh: Chuyển toán ơclit: Chọn ∆ đường thẳng vô tận với hai điểm xyclic I, J Ta có AM ⋂ BN = K ⇒ KA  KB Nên quỹ tích K đường tròn đường kính AB Vậy quỹ tích điểm K toán xạ ảnh ban đầu đường ôvan qua A, B, I, J SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền41K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa nội dung liên quan đến mô hình xạ ảnh không gian Afin không gian Ơclit Nội dung khóa luận bao gồm: Mô hình xạ ảnh không gian Afin Mô hình xạ ảnh không gian Ơclit Bài tập ứng dụng Qua khóa luận thân em lĩnh hội thêm tri thức môn hình học xạ ảnh, việc nghiên cứu sâu “ Mô hình xạ ảnh không gian afin không gian Ơclit” góp phần bổ sung thêm vào kết quan trọng môn hình học xạ ảnh, môn có tầm quan trọng toán học Tuy nhiên thời gian thực không nhiều kiến thức hạn chế nên không tránh khỏi sai sót, em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin chân thành cám ơn thầy cô khoa toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em suốt trình hoàn thành khóa luận, đặc biệt giúp đỡ bảo tận tình thầy Đinh Văn Thủy giúp em hoàn thành khóa luận SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền42K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương (2006), “Hình học xạ ảnh”, nhà xuất Đại học Sư Phạm Hà Nội Phạm Đình Đô (2002), “ Bài tập hình học xạ ảnh”, nhà xuất Đại học Sư Phạm Hà Nội Nguyễn Mộng Hy ( 2009), “ Hình học cao cấp”, nhà xuất giáo dục Việt Nam SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền43K35G – SP Toán [...]... 2 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT 2.1.Xây dựng mô hình Xét không gian xạ ảnh thực Pn, một siêu phẳng Pn-1 của Pn, thì có mô hình xạ ảnh An = Pn \ Pn-1 của không gian afin thực n chiều Ta chọn trong không gian En đó một mục tiêu trực chuẩn {An+1; Ei} tức là: = với i,j = 1,2, ,n Ta hãy gọi {Ai; E} là một mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu trực chuẩn{An+1; Ei} Điều đó có nghĩa là: Ai là giao điểm của. .. thẳng afin đi qua I có phương là đường tiệm cận của (S’) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền12K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp ĐH 1.3 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin 1.3.1 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin Từ xây dựng trên với n = 2 ta có A2 = P2 \ ∆ là mô hình xạ ảnh của mặt của mặt phẳng afin 1.3.2.Thể hiện afin của các đường conic trong A2 Nếu (S) là đường ôvan trong mặt phẳng xạ ảnh. .. trở thành một không gian Ơclit n- chiều và gọi là mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit n chiều SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền15K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp ĐH 2.1.1.Cái tuyệt đối của không gian xạ ảnh Pn Trong Pn với mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} ta chọn siêu phẳng Pn-1 có phương trình xn+1=0 Trong siêu phẳng Pn-1 ta lấy mục tiêu (A1,A2, ,An ; E’) trong đó E’ là giao của đường thẳng An+1E... các bài toán ●Dùng hình học xạ ảnh để nghiên cứu hình học afin Ta có thể giải một số bài toán của hình học afin bằng cách đưa vào mô hình để có bài toán xạ ảnh rồi giải chúng bằng hình học xạ ảnh Bài 1: Chứng minh rằng nếu một hình bình hành có các cạnh tiếp xúc với một elip thì tâm của một hình bình hành trùng với tâm của elip Chứng minh: Gọi ∆ là đường thẳng vô tận và xét A2 = P2\ ∆ Lúc đó trong... một phép đồng dạng 2.3 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit 2.3.1 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit Ta chọn trong mặt phẳng xạ ảnh P2 một đường thẳng ∆ làm đường thẳng vô tận Chọn mục tiêu xạ ảnh sao cho ∆ có phương trình x3 = 0 Đường thẳng ∆ như vậy sẽ đi qua A1, A2 của mục tiêu (H.7) Cái tuyệt đối T trên ∆ là hai cặp điểm ảo I, J liên hợp thỏa mãn hệ phương trình : A2 ∆ =0 E Hình 7 Ta có I(1,i,0) ,... biệt nếu (ABCD) = -1 và D là điểm vô tận thì khi đó C là trung điểm của đoạn AB (ABCD∞) = (ABC) = -1 1.2.6 Siêu mặt bậc hai afin trong An = Pn\ Pn-1 Trong mô hình xạ ảnh của không gian afin An = Pn\ Pn-1, siêu mặt bậc hai afin (S’) sinh ra bởi siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S): (S’) = (S) \ Pn-1là tập hợp những điểm thuộc siêu mặt xạ ảnh (S) mà không thuộc siêu phẳng Pn-1 a) Hai điểm của An được gọi là liên... dạng: A= Khi đó phép biến đổi xạ ảnh nói trên của Pnsẽ sinh ra trên không gian afin An một phép biến đổi afin Thật vậy ta hãy lấy một điểm X An có tọa xạ ảnh là (x1,x2, , xn+1) trong đó xn+1 ≠ 0 Qua phép biến đổi xạ ảnh nói trên điểm X biến thành diểm X’ có tọa độ xạ ảnh là (x’1,x’2, ,x’n+1) và tất nhiên x’n+1 ≠ 0 Chuyển tọa độ xạ ảnh của X và X’ sang tọa độ afin ta có phép biến đổi: Trong đó ma trận... cấp n không suy biến và như vậy ta có phép biến đổi afin Kết luận: Mỗi phép biến đổi xạ ảnh của Pn biến Pn-1 thành chính nó sẽ sinh ra trên An một phép biến đổi afin Ngược lại mỗi phép biến đổi afin của không gian afin An đều có thể xem như được sinh ra bởi một phép biến đổi xạ ảnh của Pn biến siêu phẳng Pn-1 thành chính nó Thật vậy nếu ta có một phép biến đổi afin thì bằng cách chuyển từ tọa độ afin. .. siêu mặt trái xoan không T có phương trình đối với mục tiêu (A1,A2, ,An ; E’) là: n 2 i [x]*[x] =  x i 1 =0 Siêu mặt trái xoan không T gọi là cái tuyệt đối của không gian xạ ảnh Pn 2.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học ơclit thể hiện trên mô hình 2.2.1 Sự vuông góc của hai đường thẳng Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau là hai điểm vô tận của chúng liên hợp... = 0 và nếu xn+1 ≠ 0 thì x’n+1 ≠ 0 Muốn vậy trong phương trình của phép biến đổi xạ nh cần có phương trình x’n+1 = xn+1 Do đó phương trình của phép biến đổi xạ ảnh có dạng : SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền8K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp ĐH i =1,2, ,n Trong đó ma trận A của phếp biến đổi xạ ảnh là một ma trận vuông cấp n+1 không suy biến và có dạng: A= Khi đó phép biến đổi xạ ảnh ... em đưa nội dung liên quan đến mô hình xạ ảnh không gian Afin không gian Ơclit Nội dung khóa luận bao gồm: Mô hình xạ ảnh không gian Afin Mô hình xạ ảnh không gian Ơclit Bài tập ứng dụng Qua khóa... Chương MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT 2.1.Xây dựng mô hình Xét không gian xạ ảnh thực Pn, siêu phẳng Pn-1 Pn, có mô hình xạ ảnh An = Pn Pn-1 không gian afin thực n chiều Ta chọn không gian. .. xạ ảnh không gian afin không gian ơclit Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu mô hình xạ ảnh không gian afin không gian ơclit Đối tượng nghiên cứu Mô hình xạ ảnh không gian xạ ảnh An En Mức độ phạm vi