LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa toán, thầy giáo cô giáo trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc em tới thầy giáo Phó giáo sư-Tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm, người tận tình giúp đỡ em suốt trình hoàn thành khoá luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế, cố gắng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khoá luận em hoàn thiện tốt có ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nộ, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Ngọc LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp hoàn thành nhờ hướng dẫn thầy giáo PGS-TS Nguyễn Năng Tâm, trình nghiên cứu có sử dụng sách tham khảo số tác giả, nhà nghiên cứu (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan khoá luận kết thân trình học tập bậc Đại học, kết đề tài bảo đảm xác, khách quan, trung thực Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương I GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN E n §1 Không gian vectơ Euclid n chiều §2 Hàm vectơ 2.1 Định nghĩa 2.2 Phép toán hàm vectơ 2.3 Giới hạn hàm vectơ 2.4 Hàm vectơ liên tục 11 §3 Đạo hàm hàm vectơ biến số 12 3.1 Định nghĩa 12 3.2 Tính chất 12 3.3 Đạo hàm cấp cao 17 3.4 Đổi biến số 17 3.5 Nguyên hàm, tích phân hàm vectơ biến số 19 3.6 Nhận xét 20 Chương ỨNG DỤNG 21 §1 Nghiên cứu đường E n 21 1.1 Vectơ tiếp xúc 21 1.2 Cung tham số 22 1.3 Cung E n 23 1.4 Cung quy 24 1.5 Cung định hướng trường vectơ tiếp xúc đơn vị 27 1.6 Cung song quy 28 1.7 Công thức Frenet 29 §2: Nghiên cứu mặt E 36 2.1 Mảnh tham số 36 2.2 Ánh xạ Weingarten 38 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn học nghiên cứu số, cấu trúc không gian phép biến đổi Nói cách khác người ta cho môn hoc “Hình Số” Bên cạnh phát triển “Số” “Hình” môn phần lớn phát triển đa dạng với nhiều môn học như: hình xạ ảnh, hình Euclid, hình học vi phân,…Trong hình học vi phân môn có tính hệ thống cao, chặt chẽ, tính logic trìu tượng cao Ở khái niệm: không gian vectơ Euclid n-chiều, hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ biến số,…là khái niệm Tuy nhiên vấn đề trình bày cách sơ lược chưa phân loại hệ thống cách chi tiết Xuất phát tư mong muốn niềm đam mê tìm hiểu sâu sắc vấn đề em định chọn đề tài “Giải tích vectơ không gian En Ứng dụng” làm khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức giải tích vectơ n chiều không gian E n ứng dụng chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức hàm vectơ, bán kính hàm vectơ, đạo hàm hàm vectơ n ứng dụng không gian E 3.2 Phạm vi nghiên cứu Khái niệm giải tích vectơ n chiều không gian E n Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp tài liệu Chương I GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN En §1 Không gian vectơ Euclid n chiều 1.1 Đ ịnh nghĩa (xem [1.1], tr.5) Không gian vectơ n-chiều trường số thực gọi không gian  n   vectơ Euclid n-chiều kí hiệu E với cặp có thứ tự ( a , b ) thuộc  n  n E  E xác định số thực gọi tích vô hướng hai vectơ      a , b Kí hiệu a b a b thỏa mãn tiên đề sau đây:      n Với a , b , c,  E ,  ta có:   i a.b  b.a      ii a.(b  c)  a.b  a.c    iii ( a).b  .(b.a)    iv a.a  dấu (  ) xảy a      v   .  dấu (  ) xảy  1.2 Đ ịnh nghĩa (xem [1.1], tr.5) Trong không gian Euclid n-chiều E n không gian afin liên kết với  n không gian Euclid n-chiều E   n Lưu ý rằng: với điểm M E n , x  E ta tìm      điểm N E n cho MN  x Nếu MN  x viết: N  M  x 1.3 Đ ịnh nghĩa (xem [1.1], tr.5)   n Hệ {ei }i 1,n E gọi hệ trực chuẩn nếu:  ei e j   Nếu {ei }i 1,n sở trực chuẩn không gian Euclid E n , điểm    O  E n hệ {O,e1 ,e , ,e n } gọi hệ toạ độ trực chuẩn không gian Euclid E n thường gọi hệ tọa độ Đề vuông góc    Nếu {O,e1 ,e , ,e n } hệ toạ độ trực chuẩn không gian  n   n   n   n   n Euclid E x  E , y  E với x   x i ei , y   yi ei ta có: i 1   n x.y   x i yi , || x ||  i 1 i 1 n  xi2 i 1 Giả sử M(x1 , x , , x n ), N(y1 , y , , y n ) ta có:  || MN || (x1  y1 )  (x  y )    (x n  y n ) 1.4 Định nghĩa (xem [1.1], tr.5)  n Cho không gian vectơ Euclid E , , ta gọi số  độ dài  n  (chuẩn/môđun) vectơ  Khoảng cách điểm M,N E giá trị  MN Ta kí hiệu d(M,N) khoảng cách điểm M,N  Khi d(M,N)  MN §2 Hàm vectơ 2.1 Định nghĩa (xem [1.2], tr.6)   Trong E n cho U tập hợp tùy ý Ánh xạ X : U  E n , u  X  u   n hàm vectơ ( xác định U, giá trị E )      Cho X hàm vectơ tập hợp U, X : U  E n (e1,e , ,e n )  n sở không gian vectơ E Khi ta có: x i : U  R , u  x i (u) i=1,2,…,n cho u  U :    X(u)  x1 (u).e1      x n (u).e n  gọi hàm toạ độ hàm vectơ X 2.2 Phép toán hàm vectơ (xem [1.3], tr.7)    n Cho tập hợp U E n cho hàm vectơ X,Y : U  V  E hàm số  : U  R Ta định nghĩa: a Tổng hai hàm vectơ xác định    n     X  Y : U  E , u  (X  Y)(u)  X(u)  Y(u) b Tích hàm số với với hàm vectơ   n   X : U  E , u  (X)(u)  (u).X(u) c Tích vô hướng hai hàm vectơ    n     X.Y : U  E , u  (X.Y)(u)  X(u).Y(u) d Chuẩn hàm vectơ     n || X ||: U  E , u || X ||  u  || X(u) || e Khi n   E có hướng ta định nghĩa tích có hướng hai hàm vectơ:   X  Y : U  En     u  (X  Y)(u)  X(u)  Y(u) Sử dụng biểu thức toạ độ ta có: n n     X(u)   x i (u).ei , Y(u)   yi (u).ei i1 i1 a Ta có: n n n      i i i (X  Y)(u)   (x (u)  y (u)).ei   x (u).ei   yi (u).ei i 1 i 1 i 1    X(u)  Y(u) b Ta có:   X  (x1 , x , , x n ) suy X  (x1 , x , , x n ) n n     i suy (X)(u)   (u).x (u).ei  (u). x i (u).ei  (u).X(u) i1 i 1   (X)(u)  (u).X(u) c Ta có:   X  (x1 , x , , x n ) , Y  (y1 , y , , y n )   X.Y  x1.y1  x y      x n y n   Suy (X.Y)(u)  (x1.y1 )(u)  (x y )(u)      (x n y n )(u)  x1 (u).y1 (u)  x (u).y (u)      x n (u).y n (u) Mặt khác: n    X(u)   x i (u).ei suy X(u)  (x1 (u), x (u), , x n (u)) i 1 (1) n    Y(u)   yi (u).ei suy Y(u)  (y1 (u), y (u), , y n (u)) i 1 Khi đó:   X(u).Y(u)  x1 (u).y1 (u)  x (u).y (u)      x n (u).y n (u) (2)     Từ (1) (2) suy ra: (X.Y)(u)  X(u).Y(u)    d Với n=3, E có hướng ta có: X  (x1 , x , x ), Y  (y1 , y , y3 ) Ta có:    x XY  y2  x3 x3 , y3 y3 x1 x1 , y1 y1 x2    y   (x y3  x y , x y1  x1.y3 , x1.y  x y1 )   (X  Y)(u)  (x y3  x 3.y )(u),(x 3.y1  x1.y3 )(u),(x1.y  x y1 )(u)    (x (u).y3 (u)  x (u).y (u), x (u).y1 (u)  x1 (u).y3 (u), x1 (u).y (u)  x (u).y1 (u)) (3)    Mặt khác: X(u)   x i (u).ei suy X(u)  (x1 (u), x (u), x (u)) i 1    Tương tự: Y(u)   yi (u).ei suy Y(u)  (y1 (u), y (u), y3 (u)) i 1 Ta có:  x (u) x (u) x (u) x1 (u) x1 (u) x (u)     X(u)  Y(u)   , ,  y (u) y3 (u) y3 (u) y1 (u) y1 (u) y (u)     (x (u).y3 (u)  x (u).y (u), x (u).y1 (u)  x1 (u).y3 (u), x1 (u).y (u)  x (u).y1 (u)) (4) b Độ cong, độ xoắn cung song quy định hướng Định nghĩa Cho  cung song quy định hướng E Trường mục tiêu Frenet {T, N,B} dọc  ta có: DT DT N  ds , k  DT ds ds Nên T '  k.N Ta tính B’ Ta có: || B || || B |||| T  N |||| T || || N || sin(T, N)  1.1.1  Nên B2  ta suy ra: B.B'  Vậy B'  x.T  y.N Khi nhân vế phương trình với T ta B'T  x.T.T  y.N.T Vì {T, N,B} trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc  nên ta có: T.T  N.T  Vậy B'.T  x.1  y.0 Từ ta suy ra: x=B’.T Lại có: B.T=0 Đạo hàm hai vế ta B’.T+B.T’=0 Thay x=B’.T với T’=k.N vào ta x+ B.k.N=0 Từ ta suy x=0 Do B’=y.N Giả sử B'  .N  gọi độ xoắn cung  t Khi t thay đổi ta có hàm độ xoắn cung  Công thức Frenet {T, N,B} trường mục tiêu Frenet dọc cung song quy định hướng  E (có hướng) Ta có: 33 DT  kN ds DB  N ds Trong k,  theo thứ tự độ cong, độ xoắn  Ta tính DN ds Từ N.N=1 ta suy DN DN khai triển theo T B .N  nên ds ds Từ T.N=0 suy T DN DT  N  k ds ds Từ N.B=0 suy Vậy DN DN B   N   ds ds DN  kT  B ds Tóm lại ta có công thức: DT  kN ds DN  kT  B ds DB  N ds Và có dạng ma trận:  T   k  T   d  N     k    N   B     B       gọi công thức Frenet *Nhận xét: Khi đổi hướng cung định hướng E (có hướng) T đổi hướng,N đổi hướng, B đổi hướng 34 Vì độ cong k độ xoắn  không đổi dấu (vì Công thức tính độ cong, độ xoắn Cung  có tham số hóa: t  (t) Độ cong cung  là: k(t)  ||  '(t)   ''(t) || ||  '(t) ||3 Độ xoắn cung  là: k(t)  ( '(t)   ''(t)). '''(t) ||  '(t)   ''(t) ||2 35 DB  N ) ds §2: Nghiên cứu mặt E 2.1 Mảnh tham số (xem [1.1], tr.141) 2.1.1 Định nghĩa: Mỗi ánh xạ khả vi r : U  E n , (u, v)  r(u, v) ; U mở R gọi mảnh tham số E n *Các đường toạ độ a) Cố định v cho u thay đổi cung tham số: u  r(u, v ) gọi toạ độ u qua (u , v ) : v  v b) Cố định u cho v thay đổi, cung tham số : v  r(u , v) gọi đường toạ độ v qua (u , v ) : u  u c) Có trường vectơ tiếp xúc dọc đường toạ độ: u  r 'u (u, v ) v  r 'v (u , v) Và cho u , v thay đổi ta được: u  r 'u (u, v) v  r 'v (u, v) trường vectơ dọc r 2.1.2 Mảnh tham số quy a Định nghĩa   a) Điểm (u , v ) mảnh tham số r mà r 'u (u , v0 ), r 'v (u , v ) độc lập   tuyến tính gọi điểm quy (r dìm (u , v ) ) Trái lại, điểm (u , v ) gọi điểm kì dị b) Mảnh tham số r mà điểm quy gọi mảnh tham số quy 36 b Mặt phẳng tiếp xúc Tại điểm quy (u , v ) mảnh tham số r Mặt phẳng qua   r(u , v ) có không gian vectơ phương r 'u (u , v ),r 'v (u , v ) gọi mặt phẳng tiếp xúc (hay tiếp diện) mảnh tham số r mảnh cho Khi n  đường thẳng qua r(u , v ) vuông góc với tiếp diện gọi pháp tuyến mảnh tham số r điểm 2.1.3 Mảnh En a Hai mảnh tham số tương đương Cho hai mảnh tham số E n : r : U  En   En r : U có vi phôi (vi phôi bảo toàn hướng):  cho r  r :U  U hai mảnh tham số cho gọi hai mảnh tham số tương đương (tương đương định hướng) b Mảnh, mảnh định hướng Mỗi lớp tương đương theo quan hệ tương đương hai mảnh tham số tương đương (hai mảnh tham số tươnng đương định hướng) tương ứng gọi mảnh (mảnh định hướng) E n c Chú ý: Khi n  mảnh S mảnh quy định hướng E có hướng xác định tham số hoá r : (u, v)  r(u, v) xác định trường vectơ: n(u, v)  r 'u  r ' v (u, v) r 'u  r ' v 37 trường vectơ đơn vị hoàn toàn xác định vectơ phương pháp tuyến S 2.2 Ánh xạ Weingarten 2.2.1 Cơ sở lí thuyết ánh xạ Weingarten 1) Đa tạp 2-chiều (xem [2.2], tr.152) Định nghĩa Cho tập mở U  R Khi ánh xạ r : U  E n , (u, v)  r(u, v) khả vi gọi mảnh tham số Định nghĩa Tập S E n gọi mảnh hình học ảnh dìm, đồng phôi lên ảnh r : U  E n từ tập mở U  R vào E n Khi r gọi tham số hoá mảnh hình học S Định nghĩa Giả sử E với hệ toạ độ afin (x1 , x , x ) cho tập mở U  R , ánh xạ f : U  R , (u, v)  f (u, v) khả vi   Khi tập S   u, v,f (u, v)   E | (u, v)  U mảnh hình học ứng với tham số hoá r : U  E , (u, v)   u, v,f (u, v)  r gọi tham số hoá kiểu đồ thị mảnh hình học S Định nghĩa S tập E n , tập S gọi mở S giao S với tập mở E n Với p  S , tập S chứa tập mở S chứa p gọi lân cận p S Tập không rỗng S E n gọi đa tạp 2-chiều E n với p  S có lân cận mở (của p S) mảnh hình học 38 Khi tham số hoá mảnh hình học gọi tham số hoá địa phương đa tạp 2-chiều S 2) Phép tính vi phân đa tạp 2-chiều a Ánh xạ khả vi (xem [3.1], tr.157) Định nghĩa Cho S đa tạp 2-chiều E Khi ánh xạ j: S  E , p  p gọi phép nhúng tắc Định nghĩa Cho tập mở V E Khi ánh xạ f : V  S gọi khả vi j  f : V  E ánh xạ khả vi Định nghĩa Cho tập mở W E , ánh xạ g :S  W gọi ánh xạ khả vi tham số hoá địa phương r : U  S ta có g  r : U  W ánh xạ khả vi Định nghĩa Cho S1 ,S2 đa tạp E , ánh xạ h : S1  S2 gọi ánh xạ khả vi thoả mãn: i h ánh xạ liên tục ii Với tham số hoá địa phương r1 : U1  S1 , r2 : U  S2 mà h  r1  U1    r2  U2  r21  h  r1 : U1  U ánh xạ khả vi Định nghĩa Ánh xạ khả vi f : S1  S2 gọi vi phôi có ánh xạ khả vi g : S2  S1 cho g  f  idS1 f  g  id S2 39 Ví dụ i id S : S  S vi phôi pp ii Nếu f : S1  S2 , g : S2  S3 ánh xạ khả vi g  f : S1  S3 khả vi b Trường vectơ trường vectơ tiếp xúc đa tạp (xem [3.2], tr.159) Định nghĩa  Cho S đa tạp 2-chiều E Với  vectơ không gian vectơ phương mặt phẳng tiếp xúc S p  Ta định nghĩa TpS   p  (p, ) không gian vectơ tiếp xúc S   p Việc đặt tương ứng p  S với vectơ X(p)  Tp E3 gọi trường vectơ X S Trường vectơ X hoàn toàn xác định hàm vectơ S,    X : S  E , p  X(p) mà X(p)  (p, X(p)) Hàm vectơ gọi hàm vectơ khả vi với tham số hoá địa phương r : U  S ta có  X  r : U  E hàm vectơ khả vi  Trường vectơ X gọi khả vi X khả vi Định nghĩa Cho J khoảng mở R S đa tạp 2-chiều S Khi j ta gọi ánh xạ khả vi  : J  S  E cung tham số S t  (t)  (t) 40 Ta kí hiệu ( j  ) '(t ) cách đơn giản  '(t ) TpS gồm tất    cung tham số nói thoả mãn {(t )  p  '(t )  } (  '(t ) nằm mặt phẳng tiếp xúc)  Nói cách khác  p  (p, )  TpS tồn cung tham số  : J  S với J khoảng mở R, t  J {(t )  p    '(t )  } Định nghĩa Trường vectơ X gọi trường vectơ tiếp xúc S với p  S X(p)  TpS c Đa tạp 2-chiều định hướng E3 (xem [3.4], tr.165) Định nghĩa Một hướng đa tạp 2-chiều E việc đặt tương ứng điểm p  S hướng không gian vectơ thực chiều cho p  S tồn tham số hoá địa phương r : U  S , p  r(u) với (u, v)  U Ánh xạ tiếp xúc r (u,v) biến hướng tắc R thành hướng không gian vectơ TpS với p  (u, v) Tức hướng TpS xác định sở {R(u),R(v)} Nhận xét: Một đa tạp 2-chiều S E định hướng tồn pháp tuyến khả vi S Cụ thể tham số hoá địa phương r : U  S tương thích với định hướng vectơ pháp tuyến đơn vị 41 Ru  Rv Ru  Rv 2.2.2 Ánh xạ Weingarten (Vain-Gác-Ten) a Định nghĩa (xem [5.1], tr.181) Cho S đa tạp 2-chiều E , S định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n S Khi với   TpS , p  S ,   p  (p, ) ta xét cung tham số  : J  S , t  (t) thoả mãn (t)  p    '(t )  , t  J Ta gọi D  n  (n  ) ' đạo hàm n theo phương  Đặt  p tương ứng  với vectơ (p, (n  )'(t ))  TpS ta ánh xạ Weingarten kí hiệu h p h p : TpS  TpS   p  D n  (p, (n  )'(t )) Nhận xét: h p tự đồng cấu TpS ' ' Thật vậy, cho   TpS ta   (r. )'(t )  r u u '(t )  r v v '(t ) r:U S tham số hoá địa phương S p  : J  U , t  (u(t), v(t)) mà r(u(t ), v(t ))  p ' ' Đẳng thức   r u u '(t )  r v v '(t )  chứng tỏ  ' ' (u '(t ), v '(t )) sở (r u ,r v ) TpS Theo định nghĩa : h p ()   D n  (n.r. )'(t )  [(n.r). ]'(t )  (n.r)'u u '(t )  (n.r)'v u '(t ) (n.r)'u (n.r)'v hai vectơ cố định TpS 42 có toạ độ Nên từ h p ()  (n.r)'u u '(t )  (n.r)'v v'(t ) dễ thấy h p () tự đồng cấu tuyến tính TpS Chú ý Khi p thay đổi, kí hiệu chung h p h Ánh xạ đóng vai trò quan trọng nghiên cứu hình dạng S E nên gọi ánh xạ dạng b Tính chất (xem [5.2], tr.181) Tính chất bản: Ánh xạ h p : TpS  TpS tự đồng cấu đối xứng TpS Nghĩa là: với ,  TpS h p ()  h p () c Một số định nghĩa Mỗi giá trị riêng h p gọi độ cong S p Mỗi vectơ riêng h p xác định phương gọi phương Định thức tự đồng cấu h p gọi độ cong Gauss p S kí hiệu K(p) Nửa vết h p gọi độ cong trung bình p S Kí hiệu H(p) Nhận xét: Vì h p tự đồng cấu đối xứng không gian vectơ 2-chiều nên xảy trường hợp sau: Khả h p có giá tri riêng phân biệt k1,k , (k1  k )     Gọi e1,e vectơ riêng đơn vị ứng với k1,k e1,e  sở trực chuẩn TpS    h p (e1 )  k1.e1 Khi    h p (e2 )  k1.e2 43  Định thức h p là: k1 0    k1.k k Suy ra: K(p)  k1.k H(p)  (k1  k ) Khả h p có giá trị riêng thực k1  k  k   Gọi e1,e sở trực chuẩn TpS gồm vectơ riêng ứng với   giá trị riêng k   TpS ,   a.e1  b.e ; a,b  R ta có:   b.k.e  h p ()  h p (a.e1  b.e2 )  a.h p (e1 )  b.h p (e2 )  a.k.e    k.(a.e  b.e )  k. k độ cong S p Mọi phương phương    k  Ma trận h p sở e1,e2   k      Suy K(p)  k H(p)  k Hay K(p)  [H(p)]2 Định nghĩa Điểm p  S mà K(p)>0 gọi điểm eliptic Điểm p  S mà K(p)[...]... với vectơ nhiều biến số chẳng hạn hai biến số X :U→ E ,  (u,v)↦ X (u,v) (U mở ⊂ ) ta có thể nói tới các đạo hàm riêng      X X 2 X 2 X 2 X tồn tại và liên tục thì ; ; ; và cũng có kết quả ; u v u.v u.v v.u chúng bằng nhau 20 Chương 2 ỨNG DỤNG Trong chương này ta tìm hiểu về một số ứng dụng của hàm vectơ trong nghiên cứu đường và mặt trong E n §1 Nghiên cứu đường trong En 1.1... trong En 1.1 Vectơ tiếp xúc (xem [2.1], tr.11) Nhắc lại rằng không gian Euclid E n là một không gian afin liên kết với  n không gian vectơ Euclid E Hai điểm p,q của E n xác định một vectơ   n     E mà ta viết pq   hay p  q   Ta xét tập tích:  n T.E n  E n  E  Ta gọi mỗi phần tử  p  (p, )  T.E n là một vectơ tiếp xúc của E n tại p TE n được gọi là tập các vectơ tiếp xúc... hiệu và gọi nó là không gian vec tơ tiếp xúc của U tại p 21 1.2 Cung tham số (xem [2.4], tr.16) Để nghiên cứu cung tham số người ta sử dụng hàm vectơ a Định nghĩa Mỗi ánh xạ  : J  E n , t  (t) từ J  R vào E n được gọi là cung tham số trong E n b Bán kính vectơ Lấy O cố định thuộc E n thì với mỗi ánh xạ có hàm vectơ tương ứng;   n =  : J→ E , t↦  đối với gốc O (t) được gọi là bán kính vectơ. .. E } là tập các vectơ tiếp xúc    n với E n tại p thì có song ánh E  Tp E n ,    p  (p, )  n Từ đó đưa được cấu trúc không gian vectơ Euclid từ E lên Tp E n và gọi Tp E n là không gian vectơ tiếp xúc của E n tại p   Ta định nghĩa với mọi  p  (p, ) , p  (p, )  Tp E n    p p  .  n Chú ý Giả sử U là tập mở trong E n Ta có TU  U  E được gọi là tập các vectơ tiếp xúc... hạn của hàm vectơ) 2.4 Hàm vectơ liên tục (xem [3.5], tr.12) a) Định nghĩa   n Hàm vectơ X từ tập hợp U trong E m đến E gọi là liên tục tại điểm   u 0  U nếu có lim X(u)  X(u 0 ) u u 0  Hàm vectơ X từ tập hợp U trong E m đến E n gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi u  U b) Tính chất   n Hàm vectơ X từ tập hợp U trong E m đến E có các hàm toạ độ    n x1, , x n trong cơ sở... trường mục tiêu Frenet dọc  ; với N là trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc  *Nhận xét: Phương của N tại mỗi điểm là phương của pháp tuyến của  tại điểm đó Công thức Frenet Cho  là cung chính quy định hướng trong E 2 , {T,N} là trường mục tiêu Frenet dọc cung  Khi đó công thức Frenet DT   kN ds DN  kT ds Gọi là công thức Frenet của  , trong đó k là (hàm) độ cong của  Ta đi chứng minh sự tồn... ''(t) là hai véctơ độc lập tuyến tính trong E 3 nên  là một cung song chính quy d Trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị Giả sử T là trường vectơ pháp tiếp xúc đơn vị dọc với  , trong tham số   hoá tự nhiên s  r(s) của  , T(s)  r '(s) Xét trường vectơ N DT ds DT dọc cung song chính quy  trong E n , đặt ds DT thì được trường vectơ N dọc  gọi là trường vectơ pháp ds tuyến chính đơn vị dọc ... E và điểm  u 0  E m là điểm tới hạn của tập hợp U Hàm vectơ X có giới hạn là     n e  e1.e1    en en  E khi và chỉ khi các hàm số x i : U  R có giới hạn là ei khi u dần tới u 0 với mọi i  1, ,n : 7  lim x i (u)  ei   lim X(u)  e  uu 0 u u 0 i  1, ,n Chứng minh Giả sử :    lim X(u)  e với mỗi i  1, ,n , xét vectơ đơn vị n i trực u u 0        giao với các vectơ. .. mục tiêu Frenet trong E3 (xem [3.4], tr.95) a Định nghĩa Cho  là một cung song chính quy định hướng trong E 3 có trường   vectơ tiếp xúc đơn vị T, tham số hoá tự nhiên s  r(s) của  , T(s)  r '(s) (xác định hướng) và trùng vectơ pháp tuyến chính đơn vị N dọc  Vậy cung song chính quy định hướng  trong E 3 , có trường mục tiêu trực chuẩn thuộc {T, N,B} dọc  gọi là trường mục tiêu Frenet dọc... ds e Trường vectơ trùng pháp tuyến chính đơn vị  là một cung song chính quy định hướng trong E n thì ta có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T (xác định hướng) có tham số hoá tự nhiên s  r(s)   của  , T(s)  r '(s) và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị N dọc  ,   trong tham số hoá tự nhiên s  r(s) của  , T(s)  r '(s)  3 Khi n=3, khi đó E đã có hướng thì xác định được trường vectơ đơn vị ... liệu Chương I GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN En §1 Không gian vectơ Euclid n chiều 1.1 Đ ịnh nghĩa (xem [1.1], tr.5) Không gian vectơ n-chiều trường số thực gọi không gian  n   vectơ Euclid... chọn đề tài Giải tích vectơ không gian En Ứng dụng làm khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức giải tích vectơ n chiều không gian E n ứng dụng chúng... Kiến thức hàm vectơ, bán kính hàm vectơ, đạo hàm hàm vectơ n ứng dụng không gian E 3.2 Phạm vi nghiên cứu Khái niệm giải tích vectơ n chiều không gian E n Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng