Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH Ch II: Phơng trình bậc hai ẩn - - Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax2+ bx = + Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , giải phơng trình tích + Ví dụ: giải phơng trình: x x x( x 2) = 3x = x = x2=0 x =2 Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax2+ c = + Phơng pháp: -Biến đổi dạng x = m x = m - Hoặc x m = ( x + m )( x m ) = x+ m =0 x= m x m =0 x= m + Ví dụ: Giải phơng trình: 4x = x = x = Bài tập luyện tập Gii cỏc phng trỡnh bc hai khuyt sau: a) 7x2 - 5x = ; b) 3x2 +9x = ; c) 5x2 20x = 2 d) -3x + 15 = ; e) 3x - = ; f) 3x2 + = 2 g) 4x - 16x = h) -7x - 21 = h) 4x2 + = Cách giải phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a 0) công thức nghiệm: công thức nghiệm: Phơng trình: ax2 + bx + c = = b 4ac * Nếu > phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -b - ; x2 = -b + 2a 2a * Nếu = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = * Nếu < phơng trình vô nghiệm ví dụ giải p.t công thức nghiệm: Giải phơng trình: x 3x = ( a =1; b = - 3; c = - 4) -b 2a Ta có: = (3) 4.1.(4) = + 16 = 25 = 25 = > Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = (3) + =4 2.1 x2 = (3) = 2.1 Bài tập luyện tập Dựng cụng thc nghim tng quỏt gii cỏc phng trỡnh sau: Bài 1: 1.a) 2x2 - 7x + = ; b) y2 8y + 16 = ; c) 6x2 + x - = 2 d) 6x + x + = ; e) 4x + 4x +1 = ; f) -3x2 + 2x +8 = 2.a)3x2 + 12x - 66 = b) 9x2 - 30x + 225 = Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - c) x2 + 3x - 10 = d) 3x2 - 7x + = e) 3x - 7x + = f) 4x2 - 12x + = g) 3x + 7x + = h) x2 - 4x + = Bài 2: a/ 2x2 - 5x + = b/ 5x2- x + = c/ -3x2 + 2x + = 2 d/ 4x - 4x + = e/ - 2x - 3x + = f/ 5x2 - 4x + = 2 g/ 7x - 9x + = h/ 23x - 9x - 32 = i/ 2x2 + 9x + = k/ 2x2 - 7x + = l/ x2 - 6x + = m/ x2 + 6x + = Bi 3: a) 5x2 - 6x - = ; b) -3x2 +14x = ; c) 4x2 + 4x + = 2 d) 13x - 12x +1 = ; e) 3x - 2x - = ; f) 16x - 8x +1 = Bài 4: a/ (x + 2)2 - 3x - = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1)2 - x + = (x - 1)(x - 2) Bài 5: a/ 10x2 + 17x + = 2(2x - 1) - 15 b/ x2 + 7x - = x(x - 1) - d/ 2x - 5x - = (x+ 1)(x - 1) + e/ 5x2 - x - = 2x(x - 1) - + x2 Bài 6: a, 2x2 - 2 x + = b, 2x2 - (1-2 )x - = c, 2 x - 2x - = 3 d, 3x2 - 2 x = Cách giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a 0) P2đặc biệt: Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có a + b + c = phơng trình có c nghiệm x = x = a Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có a - b + c = phơng trình có c nghiệm x = - x2 = a Ví dụ: Giải phơng trình: x x + = Ta có: a + b + c = + (5) + = x1 = 1; x = Giải phơng trình: x 3x = Ta có: a b + c = (3) + (4) = x1 = 1; x2 = (4) =4 Bài tập luyện tập Giải phơng trình sau phơng pháp đặc biệt: a) 7x2 - 9x + = ; b) 23x2 - 9x - 32 = ; c) x - 39x - 40 = ; d) 24x2 - 29x + = ; Các dạng toán biện luận phơng trình bậc hai: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt: + Điều kiện: > ; (hoặc / > ) + Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 + 2x 2m = (1) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt? Giải: (a = 1; b = 2; c = 2m) = 2 4.1.(2m) = + 8m Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt > + 8m > 8m > m > Bài tập luyện tập Bi Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - a/ x2 + 3x + 3m + = b/ x2 - 2x + 4m - = c/ - x + 4x + m + = d/ x2 + (2m + 1)x + m2 + = Bài 2: Cho phơng trình : x + 4mx + 4m - = a) Giải phơng trình với m = -2 b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 3: Cho phng trỡnh: x2 + kx + = 1/Tỡm k phng trỡnh cú hai nghim phân biệt? 2/Tỡm k phng trỡnh cú nghim bng Tớnh nghim cũn li? Bài 4: Cho phơng trình : x2 - 2(m - ) x + 2m2 + = a) Giải phơng trình với m = - b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 5: Cho phơng trình : (m 4)x2 2mx + m = a) Giải phơng trình với m = - b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 6: Cho phơng trình : kx2 +(2k+1)x +k -1 = a) Giải phơng trình với k = b) Với giá trị k phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm kép: + Điều kiện: = ; (hoặc / = ) + Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 + 2x k = (1) Tìm giá trị kđể phơng trình có nghiệm kép ? Giải: (a = 1; b = 2; c = k ) = 2 4.1.( k ) = + 4k Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt = + 4k = 4k = m = Bài tập luyện tập Bi Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim kộp a/ x2 4x + k = b/ x2 + 5x + 8m + = c/ - x2 - 5x + 3m + = d/ x2 (k + 2)x + k2 + = Bài 2: Cho phng trỡnh: 5x + 2x 2m = 1/Gii phng trỡnh m = 2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp Bài 3:: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phơng trình với m = -2 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Bài 4:: Cho phơng trình: x2 + (m + 1)x + m2 = a) Giải phơng trình với m = - b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Bài 5: Cho phng trỡnh: kx2 (2k-1)x + k + = 1/Gii phng trỡnh m = 2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp Tỡm nghim kộp ú ? Tìm điều kiện tham số để phơng trình vô nghiệm : + Điều kiện: < ; (hoặc ' < ) + Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 + 2x +n = (1) Tìm giá trị n để phơng trình vô nghiệm? Giải: (a = 1; b = 2; c = n) = 2 4.1.n = 4n Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt = 4n < 4n < n > Bài tập luyện tập Tỡm m mi phng trỡnh sau vụ nghim ? a/ x2 + 2x + m + = b/ - x2 - 3x + 2m - = c/ mx2 (2m 1)x + m + = d/ mx2 2(m+2)x + m-1 = 4.Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc Tìm nghiệm thứ Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - Cách tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc +) Ta thay x = x1 vào phơng trình cho, tìm giá trị tham số Cách tìm nghiệm thứ Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 x + 2m = (1) a/ Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x1 = b/ Tìm nghiêm lại Giải: a/ Thay x1 = vào phơng trình (1) ta đợc: 12 + 2m = 2m = m = Vậy với m = Thì phơng trình (1) có nghiệm x1 = b/ Thay m = vào PT (1) ta có: x x + 2.3 = x x = x( x 1) = x=0 x =1 Vậy nghiệm thứ hai Pt (1) x = Bài tập luyện tập Bài 1: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + m + = a) Giải phơng trình với m = -3 b) Với giá trị m phơng trình có nghiệm x = - Bài 2: Biết phơng trình : x2 - 2x + 5m - = ( Với m tham số ) có nghiệm x = Tìm nghiệm lại Bài 3: Biết phơng trình : x2 - (3m + )x - 2m - = ( Với m tham số ) có nghiệm x = -1 Tìm nghiệm lại Bài 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - = Tìm m để phơng trình có nghiệm x = Tìm nghiệm lại Bài 5: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = (Có thể dùng Định lý Vi ét: Tổng tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai phơng trình Trình bày mục 61) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm : Phơng pháp: - Lập biểu thức - Biện luận cho với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức dạng: = ( A B) + m với m Ví dụ: Cho phơng trình x (m 2) x + m = Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Giải: Ta có: a = 1; b = (m 2); c = m = [ (m 2)] 4.1.(m 5) = (m 4m + 4) 4m + 20 = m 8m + 24 = m 2.m.4 + + = (m 4) + > Vì > với giá trị m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài tập luyện tập Bi Cho phng trỡnh: 2x2 mx + m = Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - Chng minh rng phng trỡnh cú nghim vi mi m Bài 2: Cho phng trỡnh: x2 (k 1)x + k = 1/Gii phng trỡnh k = 2/Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k Bài 3: Cho phng trỡnh: x2 + (m 1)x 2m = Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m LOI TON RẩN K NNG SUY LUN (Phng trỡnh bc hai cha tham s) Bi 1: (Bi toỏn tng quỏt) Tỡm iu kin tng quỏt phng trỡnh ax2+bx+c = (a 0) cú: Cú nghim (cú hai nghim) Vụ nghim < Nghim nht (nghim kộp, hai nghim bng nhau) = Cú hai nghim phõn bit (khỏc nhau) > Hai nghim cựng du v P > Hai nghim trỏi du > v P < a.c < Hai nghim dng(ln hn 0) 0; S > v P > Hai nghim õm(nh hn 0) 0; S < v P > Hai nghim i v S = 10.Hai nghim nghch o v P = 11 Hai nghim trỏi du v nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < v S < 12 Hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < v S > ( ú: S = x1+ x2 = b c ; P = x1.x2 = ) a a * Giỏo viờn cn cho hc sinh t suy lun tỡm iu kin tng quỏt, giỳp hc sinh ch ng gii loi toỏn ny Bi 2: Gii phng trỡnh (gii v bin lun): x2- 2x+k = ( tham s k) Gii = (-1)2- 1.k = k Nu < 1- k < k > phng trỡnh vụ nghim Nu = 1- k = k = phng trỡnh cú nghim kộp x1= x2=1 Nu > 1- k > k < phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x = 1- k ; x2 = 1+ k Kt lun: Nu k > thỡ phng trỡnh vụ nghim Nu k = thỡ phng trỡnh cú nghim x=1 Nu k < thỡ phng trỡnh cú nghim x1 = 1- k ; x2 = 1+ k Bi 3: Cho phng trỡnh (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham s m) a) Tỡm m (1) cú nghim Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - b) Tỡm m (1) cú nghim nht? tỡm nghim nht ú? c) Tỡm m (1) cú nghim bng 2? ú hóy tỡm nghim cũn li(nu cú)? Gii a) + Nu m-1 = m = thỡ (1) cú dng 2x - = x = (l nghim) + Nu m Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai cú: =12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cú nghim = 3m-2 m thỡ phng trỡnh cú nghim 3 b) + Nu m-1 = m = thỡ (1) cú dng 2x - = x = (l nghim) + Kt hp hai trng hp trờn ta cú: Vi m + Nu m Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai cú: = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cú nghim nht = 3m-2 = m = Khi ú x = (tho m 1) 1 = =3 m 1 +Vy vi m = thỡ phng trỡnh cú nghim nht x = vi m = 2 thỡ phng trỡnh cú nghim nht x = 3 c) Do phng trỡnh cú nghim x1 = nờn ta cú: (m-1)22 + 2.2 - = 4m = m = Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai (do m -1 = -1= 0) 4 3 = = 12 x = Theo inh lớ Viet ta cú: x1.x2 = m Vy m = v nghim cũn li l x2 = * Giỏo viờn cn khc sõu trng hp h s a cú cha tham s (khi ú bi toỏn tr nờn phc vhc sinh thng hay sai sút) Bi 4: Cho phng trỡnh: x2 -2(m-1)x m = ( n s x) a) Chng t rng phng trỡnh cú nghim x1, x2 vi mi m b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng õm d) Tỡm m cho nghim s x1, x2 ca phng trỡnh tho x12+x22 10 e) Tỡm h thc liờn h gia x1 v x2 khụng ph thuc vo m f) Hóy biu th x1 qua x2 Gii Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH 15 a) Ta cú: = (m-1) ( m ) = m + 2 Do m vi mi m; 15 > > vi mi m Phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit Hay phng trỡnh luụn cú hai nghim (pcm) b) Phng trỡnh cú hai nghim trỏi du a.c < m < m > -3 Vy m > -3 c) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) v P = x1.x2 = - (m+3) Khi ú phng trỡnh cú hai nghim õm S < v P > 2(m 1) < m < m < (m + 3) > m < Vy m < -3 d) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim Theo nh lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) v P = x1.x2 = - (m+3) Khi ú A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 6m + 10 Theo bi A 10 4m2 6m 2m(2m-3) m m m m m m m m 2m m Vy m hoc m e) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim x1 + x = 2(m 1) x + x = 2m x1 x = (m + 3) x1 x = 2m Theo nh lớ Viet ta cú: x1 + x2+2x1x2 = - Vy x1+x2+2x1x2+ = l h thc liờn h gia x1 v x2 khụng ph thuc m f) T ý e) ta cú: x1 + x2+2x1x2 = - x1(1+2x2) = - ( +x2) x1 = Vy x1 = + x2 + x2 + x2 + x2 ( x2 ) Bi 5: Cho phng trỡnh: x2 + 2x + m-1= ( m l tham s) a) Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 tho 3x1+2x2 = Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH 1 c) Lp phng trỡnh n y tho y1 = x1 + ; y = x + vi x1; x2 l nghim ca x2 x1 phng trỡnh trờn Gii a) Ta cú = 12 (m-1) = m Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca ' m m m=2 m = m = P = Vy m = b) Ta cú = 12 (m-1) = m Phng trỡnh cú nghim m m (*) Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m (2) Theo bi: 3x1+2x2 = (3) x1 + x2 = T (1) v (3) ta cú: x1 + x2 = x1 + x2 = x1 = x1 = x1 + x2 = x1 + x2 = x2 = Th vo (2) ta cú: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho (*)) Vy m = -34 l giỏ tr cn tỡm d) Vi m thỡ phng trỡnh ó cho cú hai nghim Theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m (2) + y2 = x1 + x2 + Khi ú: y y y = (x + 1 x )( x + 2 x1 x + x2 = x1 + x2 + )=xx + xx x1 + x2 x1 x2 = + + = m 1+ y1; y2 l nghim ca phng trỡnh: y2 - m m +2= = 2m m m (m1) m (m1) 2m m2 y + = (m1) m m Phng trỡnh n y cn lp l: (m-1)y2 + 2my + m2 = *Yờu cu: + HS nm vng phng phỏp + HS cn thn tớnh toỏn v bin i + Gv: cn chỳ ý sa cha nhng thiu sút ca hc sinh, cỏch trỡnh by bi v khai thỏc nhiu cỏch gii khỏc * Bi tng t: 1) Cho phng trỡnh: (m 1)x2 + 2(m 1)x m = ( n x) a) nh m phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ny b) nh m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit u õm 2) Cho phng trỡnh : x2 4x + m + = a) Tỡm m phng trỡnh cú nghim b) Tỡm m cho phng trỡnh cú nghim x1, x2 tho món: x12 + x22 = 10 3) Cho phng trỡnh: x2 (2m 3)x + m2 3m = a) C/m , phng trỡnh luụn luụn cú hai nghim m thay i b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x1, x2 tho món: < x1 < x2 x1 8) Cho phng trỡnh : (m 1)x2 2(m + 1)x + m = (1) a) Gii v bin lun phng trỡnh (1) theo m b) Khi phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit x1, x2: * Tỡm mt h thc gia x1, x2 c lp i vi m * Tỡm m cho x1 x Dng: Tỡm m phng trỡnh ax2 + bx + c = cú nghim x1, x2 tho ng thc cho trc Bi 1: Tỡm m phng trỡnh : x 2( m ) x + m m = cú nghim x1, x2 tho x12 + x22 = Bi 2: Tỡm m phng trỡnh : x ( m ) x m = cú nghim x1, x2 tho x12 + x22 = 10 Bi 3: Tỡm m phng trỡnh : ( m ) x 2( m + ) x + m + = cú nghim x1,x2 tho x 12 + x 22 = x x + 16 Bi 4: Tỡm m phng trỡnh: ( m ) x mx + m + = cú nghim x1, x2 tho x1 x2 + + = x x1 Bi 5: Tỡm m phng trỡnh: mx ( m ) x + m = cú nghim x1,x2 tho 2( x 12 + x 22 ) x x = Bi 6: Tỡm m phng trỡnh : x ( m ) x + m + = cú nghim x1,x2 tho x 12 + x 22 = 10 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH Bi 7: Tỡm m phng trỡnh : x ( m ) x m = cú nghim x1,x2 tho x 12 + x 22 = Bi 8: Tỡm m phng trỡnh : x ( m + ) x + 3m = cú nghim x1,x2 tho x 12 + x 22 = 10 Bi 9: Tỡm m phng trỡnh : x 2( m ) x m + = cú nghim x1,x2 tho x1 x2 + = x2 x1 Bi 10: Tỡm m phng trỡnh : ( m + ) x ( m ) x + m = cú nghim x1, x2 tho x1 = 2x2 Bi 11: Tỡm m phng trỡnh : x 2( m + ) x + m = cú nghim x1, x2 tho 2x1 + x2 = DNG : lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m Bi 1: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m + ) x 2( m ) x + m = Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m Bi 2: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: x 2( m ) x + m = Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m Bi 3: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m ) x 2( m ) x + m = Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m Bi 4: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m ) x 3( m + ) x + m + = Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m Bi 5: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: x ( m + ) x + m + m = Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m Bi 6: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m ) x 2( m + ) x + m = Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m Định lý Vi-et hệ quả: 1.Định lý Vi ét: Nu x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) thỡ S = x1 + x = p = x1x2 = b a c a * o lại: Nu cú hai s x1,x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p hai số l nghiệm (nếu có)của pt bậc hai: x2 S x + p = Toán ứng dụng định lý Viét: a)Tìm nghiệm thứ 2; biết phơng trình có nghiệm x = x1 : Phơng pháp: +Thay giá tị tham số tìm đợc vào công thức tổng nghiệm để tính nghiêm thứ hai Hoặc thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ tìm đợc nghiệm thứ 10 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc sau: 1 1 + ; B = x12 + x22 ; C = + ; A= D = x13 + x23 x2 x2 x2 x2 Gii Do phng trỡnh cú nghim l x1 v x2 nờn theo nh lớ Viet ta cú: x1 + x2 = ; x1.x2 = A= x + x2 1 + = = = 15 ; x2 x2 x1 x 5 B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( ) 2( ) = + x12 + x 22 + = (3 + ) ; C= 2 = x1 x ( ) D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( )[3 + ( )] = (3 + 15 ) * Bi tng t: Cho phng trỡnh x2 + 2x - = cú nghim l x1 v x2 Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc sau: 1 1 + ; B = x12 + x22 ; C = + ; A= D = x13 + x23 x2 x2 x2 x2 E= x12 + 10 x1 x + x 22 x12 + x1 x + x 22 ; F = x1 x 23 + x13 x x1 x 22 + x12 x Bài tập luyện tập: Bài 1: Cho phng trỡnh: x2 2x + m = Tỡm m bit rng phng trỡnh cú nghim bng Tớnh nghim cũn li Bài Biết phơng trình : x2 - 2x + 5m - = ( Với m tham số ) có nghiệm x = Tìm nghiệm lại Bài 3: Biết phơng trình : x2 - (3m + )x - 2m - = ( Với m tham số ) có nghiệm x = -1 Tìm nghiệm lại b).LP PHNG TRèNH BC HAI biết hai nghiệm x1;x2 Vớ d : Cho x1 = ; x2 = lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn Giải: S = x1 + x2 = P = x1 x2 = Theo h thc VI-ẫT ta cú Vy x1 ; x2 l nghim ca phng trỡnh cú dng: x Sx + P = x x + = Bài tập luyện tập: Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm: 1/ x1 = x2 = -3 2/ x1 = 36 x2 = -104 13 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - Chủ đề III đồ thị tơng quan đồ thị y = a ' x ( a ' 0) y = ax + b đồ thị y = a ' x (a ' 0) I/Tìm hệ số a - Vẽ đồ thị hàm số y = a ' x ( a ' 0) iểm thuc hay không thuộc đồ thị: Hệ số a đợc tính theo công thức: a = y x2 Để vẽ đồ thị hàm số y = a ' x ( a ' 0) ta lập bảng giá trị ( thờng cho x giá trị tuỳ ý) im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x) yA = f(xA) Vớ d : a/Tỡm h s a ca hm s: y = ax2 bit th hm s ca nú i qua im A(2;4) b/ Đồ thị hàm số có qua điểm B(3; 9) không? C(3; -9) không? Gii: a/ Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: = a.22 a=1 b/ Vì a =1 nên ta có hàm số y = x + Thay x = vào hàm số ta đợc Y = 32 = = Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x2 + Thay x = vào hàm số ta đợc Y = 32 = Vậy C không thuộc đồ thị hàm số y = x2 II/Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = ax2 (a 0) 1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P) Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh: ax2 = ax + b ax2- ax b = (1) Bc 2: Ly nghim ú thay vo hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax tỡm tung giao im Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (1) l s giao im ca (d) v (P) 2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau: Từ phơng trình (1) ta có: a ' x ax b = = (a ) + 4a ' b phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit > a) (d) v (P) ct b) (d) v (P) tip xỳc vi phng trỡnh (1) cú nghim kộp = c) (d) v (P) khụng giao phng trỡnh (1) vụ nghim < 3.Chứng minh (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt với giá trị tham số: + Phơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: ax2 = ax + b có : + > với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức dạng: = ( A B) + m với m > đờng thẳng cắt pa bol + = với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức dạng: = ( A B) đờng thẳng cắt pa bol + < với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức dạng: = ( A B ) + m với m > đờng thẳng không cắt pa bol [ ] 14 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - I.Bài tập luyện tập: Bài cho parabol (p): y = 2x2 1.Vẽ đồ thị hàm số (p) 2.Tìm giao điểm (p) với đờng thẳng y = 2x +1 Bài 2: Cho (P): y = x đờng thẳng (d): y = ax + b Xác định a b để đờng thẳng (d) qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 3: Cho (P) y = x đờng thẳng (d) y = 2x + m Vẽ (P) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 4: Cho (P) y = x (d): y = x + m Vẽ (P) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B Bài 5: Cho hàm số (P): y = x hàm số(d): y = x + m 1.Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) m = Bài 6: Cho điểm A(-2;2) đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x+1) Điểm A có thuộc ( d1 ) không ? Vì ? Tìm a để hàm số (P): y = a.x qua A Bài 7: Cho hàm số (P): y = x đờng thẳng (d): y = mx 2m 1 Vẽ (P) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm II Bài tập mẫu- VN: Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + (d) a Tìm giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến b Tìm giá trị m, biết đờng thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm đợc m c Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ d Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ e Chứng minh m thay đổi đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + (d 1) y = (2k + 1)x + k + (d2) Tìm giá trị k để: a (d1) (d2) cắt b (d1) (d2) cắt điểm trục tung c (d1) (d2) song song với d (d1) (d2) vuông góc với e (d1) (d2) trùng Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị đờng thẳng d Tìm giá trị m để : 15 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH a Góc tạo (d) trục Ox góc nhọn, góc tù ( hàm số đồng biến , b c d e f g nghịch biến) (d) qua điểm (2;-1) (d)// với đờng thẳng y =3x-4 (d) // với đờng thẳng 3x+2y = (d) cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0 (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 điểm có hoành độ -2 Chứng tỏ (d) qua điểm cố định trục tung Bài 4: cho (p) y = 2x2 đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m2-9 Tìm m để : a Đờng thẳng(d) cắt (P) hai điểm phân biệt b (d) tiếp xúc với (P) c (d) (P) không giao Bi 5: Cho hm s: y = x cú th (P) a) Tỡm cỏc im A, B thuc (P) cú honh ln lt bng v b) Vit phng trỡnh ng thng AB c) Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P) Tỡm ta tip im Bi 6: Cho hm s: y = (m + 1)x2 cú th (P) a) Tỡm m hm s ng bin x > b) Vi m = Tỡm to giao im ca (P) vi ng thng (d): y = 2x c) Tỡm m (P) tip xỳc vi (d): y = 2x Tỡm ta tip im Bi 7: Chng t ng thng (d) luụn tip xỳc vi Parabol (P) bit: a) (d): y = 4x 4; (P): y = x2 b) (d): y = 2x 1; (P): y = x2 Bi 8: 8.1) Chng t rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti im phõn bit: a) (d): y = 3x + 4; (P): y = x2 b) (d): y = 4x + 3; (P): y = 4x2 8.2) Tỡm ta giao im ca (d) v (P) cỏc trng hp trờn Bi 9: Cho Parabol (P) cú phng trỡnh: y = ax2 v hai ng thng sau: (d1): y = x a) b) c) d) (d2): 4x + 5y 11 = Tỡm a bit (P), (d1), (d2) ng quy V (P), (d1), (d2) trờn cựng h trc ta vi a va tỡm c Tỡm ta giao im cũn li ca (P) v (d2) Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc vi (P) v vuụng gúc vi (d1) Bi 10: Cho Parabol (P): y = x v ng thng (d): y = 2x + m + a) Tỡm m (d) i qua im A thuc (P) cú honh bng b) Tỡm m (d) tip xỳc vi (P) Tỡm ta tip im c) Tỡm m (d) ct (P) ti hai im cú honh cựng dng 16 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - d) Tỡm m cho (d) ct th (P) ti hai im cú honh x x2 tha món: 1 + = x12 x22 Bi 11: Cho hm s: y = ax2 cú th (P) v hm s: y = mx + 2m + 1cú th (d) a) Chng minh (d) luụn i qua mt im M c nh b) Tỡm a (P) i qua im c nh ú c) Vit phng trỡnh ng thng qua M v tip xỳc vi Parabol (P) Ch IV Giải toán cách lập phơng trình I, Lí thuyết cần nhớ: * Bớc 1: + Lập PT hệ phơng trình; - Chọn ẩn, tìm đơn vị ĐK cho ẩn - Biểu diễn mối quan hệ lại qua ẩn đại lợng biết - Lập PT.hoặc HPT * Bớc 2: Giải PT HPT * Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình A Các bớc giải toán cách lập hệ phơng trình: Bớc : Lập hệ phơng trình(phơng trình) 1) Chọn ẩn tìm điều kiện ẩn (thông thờng ẩn đại lợng mà toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết 3) Lập hệ phơng trình, (phơng trình)biểu thị mối quan hệ lợng Bớc : Giải hệ phơng trình, (phơng trình) Bớc : Kết luận toán b Bài toán: Dạng toán qui đơn vị Bài tập 1: Hai vòi nớc chảy đầy bẻ nớc 3h 45ph Nếu chảy riêng rẽ , vòi phải chảy đầy bể ? biết vòi chảy sau lâu vòi trớc h Giải Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy đầy bể x ( x > , x tính ) Gọi thời gian vòiớau chảy chảy đầy bể y ( y > , y tính ) ( bể ) x 1 vòi sau chảy đợc ( bể ) y 1 hai vòi chảy đợc + ( bể ) y x vòi đầu chảy đợc (1) Hai vòi chảy đầy bể 3h 45ph = 15 h 17 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH 15 Vậy hai vòi chảy đợc 1: = ( bể ) ( 2) 15 1 Từ (1) (2) ta có phơng trình + = y 15 x Mt khác ta biết chảy vòi sau chảy lâu vòi trớc tức y x=4 Vậy ta có hệ phơng trình 1 4 x 14 x 60 = x x 30 = + = x y 15 y = x + y = x + y x = x = (a) x = y = 10 x = 2,5 x = 2,5 y = x + (b) y = 1,5 Hệ (a) thoả mãn đk ẩn Hệ (b) bị loại x < Vậy Vòi đầu chảy đầy bể h Vòi sau chảy đầy bể 10 h Bài tập 2: Hai ngời thợ làm công việc Nếu làm riêng rẽ , ngời nửa việc tổng số làm việc 12h 30ph Nếu hai ngời làm hai ngời làm việc Nh , làm việc riêng rẽ công việc ngời thời gian ? Giải Gọi thời gian ngời thứ làm riêng rẽ để xong nửa công việc x ( x > ) Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng l; để xong nửa công việc y ( y > ) Ta có pt : x + y = 12 (1) thời gian ngời thứ làm riêng l để xong công việc 2x => ngời thứ làm đợc công việc 2x Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng l để xong công việc 2y => ngời thứ hai làm đợc công việc 2y 1 1 công việc nên ta có pt : + = 2x y 15 x = x + y = 12 x = Từ (1) (2) ta có hệ pt : 15 + =1 y = y = x y hai ngời làm đợc (2) Vậy làm việc riêng rẽ công việc ngời làm 10 ngời làm Bài tập 3: Hai tổ niên tình nguyện sửa đờng vào xong Nếu làm riêng tổ làm nhanh tổ Hỏi đội làm xong việc ? Giải -18 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - Gọi thời gian tổ 1sửa xong đờng x( ) ( x > ) Thời gian tổ sửa xong đờng x + ( ) ( đờng ) x Trong tổ sửa đợc (con đờng ) x+6 Trong hai tổ sửa đợc (con đờng ) 1 Vậy ta có pt: + = 4( x + 6) + x = x ( x + 6) x x 24 = x1= 6; x2 = x x+6 Trong tổ sửa đợc -4 X2 = - < , không thoả mãn điều kiện ẩn Vậy tổ sửa xong đờng hết ngày tổ sửa xong đờng hết 12 ngày Bài tập 4: Hai đội công nhân làm đoạn đờng Đội làm xong nửa đoạn đờng đội đến làm tiếp nửa lại với thời gian dài thời gian đội đã làm 30 ngày Nếu hai đội làm 72 ngày xong đoạn đờng Hỏi đội làm ngày đoạn đờng ? Giải Gọi thời gian đội làm x ngày ( x > ) thời gian đội làm việc x + 30 ( ngày ) ( đoạn đờng ) 2x Mỗi ngày đội làm đợc ( đoạn đờng ) 2( x + 30) Mỗi ngày hai đội làm đợc ( đoạn đờng ) 72 1 Vậy ta có pt : + = x 2( x + 30) 72 Mỗi ngày đội làm đợc Hay x2 - 42x - 1080 = ' = 212 + 1080 = 1521 = 392 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < không thoả mãn đk ẩn Vậy đội làm 60 ngày , đội làm 90 ngày Bài 5: Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch thời gian Đội phải trồng 40 , đội phải trồng 90 Đội hoàn thành công việc sớm ngày so với kế hoạch Đội hoàn thành muộn ngày so với kế hoạch Nếu đội làm công việc thời gian thời gian đội làm đội làm trông thời gian đội làm diện tích trồng đợc hai đội Tính thời gian đội phải làm theo kế hoạch ? Giải Gọi thời gian đội phải làm theo kế hoạch x ( ngày ) , x > Thời gian đội làm x - ( ngày ) Thời gian đội làm x + ( ngày ) 19 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH 40 Mỗi ngày đội trồng đợc (ha) x2 90 Mỗi ngày đội trồng đợc (ha) x+2 40 Nếu đội làm x + ngày trồng đợc (x + 2) (ha) x2 90 Nếu đội làm x - ngày trồng đợc (x - 2) (ha) x+2 Theo đầu diện tích rừng trồng dợc hai đội trờng nên ta có pt: Hay x1 = 40 90 (x + 2) = (x - 2) x2 x+2 5x2 52x + 20 = / = 262 5.20 = 576 , / = 24 26 + 24 26 24 = 10 ; x2 = = 5 x2 < , không thoả mãn đk ẩn Vậy theo kế hoạch đội phải làm việc 10 ngày Bài 6: Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm công việc xong Giải: Gọi x , y lần lợt số ngời thứ ngời thứ hai làm xong công việc (x>0,y>0) 1 x + y = 16 x = 24 Ta có hệ pt y = 28 + = x y Bài Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy , vòi thứ chảy đợc bể Hỏi vòi chảy đầy bể ? Giải : Gọi x , y lần lợt số vòi thứ , vòi thứ hai chảy đày bể ( x > , y >0) x + Ta có hệ pt + x 1 3 = x + y = y x = 10 y = 15 + = = x y y x = 10 , y = 15 thoả mãn đk ẩn Vậy vòi thứ chảy 10 , vòi thứ hai chảy 15 Bài tập Hai ngời dự định làm công việc 12 xong Họ làm với đợc ngời thứ nghỉ , ngời thứ hai tiếp tục làm Do cố gắng tăng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai làm xong công việc lại 3giờ 20 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - 20phút Hỏi ngời thợ làm với suất dự định ban đầu xong công việc nói ? Gii Gọi x , y lần lợt thời gian ngời thợ thứ ngời thợ thứ hai làm xong công việc với suất dự định ban đầu (công việc ) x Một ngời thứ hai làm đợc (công việc ) y Một hai ngời làm đợc (công việc ) 12 1 Nên ta có pt : + = (1) y 12 x hai ngời làm đợc = (công việc ) 12 Công việc lại - = ( công việc ) 3 Một ngời thứ làm đợc y (Công việc ) y 10 Mà thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc lại (giờ) nên ta có pt 10 y 10 : = hay = (2) y Năng suất ngời thứ hai làm = Từ (1) (2) ta có hệ pt : 1 + = x y 12 y = 10 x = 30 y = 20 Vậy theo dự định ngời thứ làm xong công việc hết 30giờ ngời thứ hai hết 20 Bài tập 9: Hai ngời A B làm xong công việc trông 72 , ngời A C làm xong công việc trong 63 ngơoì B C làm xong công việc 56 Hỏi ngời làm trong làm xong công việc >Nếu ba ngời làm hoàn thành công việc ? Giải : Gọi ngời A làm xong công việc x (giờ ), x > làm đợc x ( công việc).Ngời B làm xong công việc y (giờ ), y > ( công việc)Ngời C làm xong công việc z (giờ ), z > y làm đợc ( công việc) z làm đợc 21 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH 1 504 x + y = 72 x = = 168 504 1 = 126 Ta có hpt : + = y = x z 63 504 1 y + z = 56 z = = 100 1 12 + + = ( công việc ) y x z 504 504 Vậy ba ngòi làm hoàn thành cong việc = 42 (giờ ) 12 Nếu ba ngời làm yhì làm đợc Bài tập 10: Hai đội công nhân làm chung công việc Thời gian để đội I làm xong công việc thời gian để đội II làm xong công việc Tổng thời gian gấp 4,5 lần thời gian hai đội làm chung để xong công việc Hỏi đội làm phải xong Giải : Gọi thời gian đội I làm xong công việc x ( x > ) Suy thời gian đội II làm xong công việc x + 1 2x + + = ( công việc ) x x + x ( x + 4) x ( x + 4) Thời gian để hai đội làm chung xong công việc (giờ) 2x + x ( x + 4) Vậy ta có pt : 2x + = 4,5 hay x2 + 4x 32 = x1 = - ( loại ) x2 = 2x + Trong hai đội làm chung đợc : ( thoả mãn điều kiện ẩn ) Vậy Đội I làm xong công việc hết , đội hai hết Dng toỏn chuyn ng Bài : Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đờng, sau hai xe gặp Nếu chiều xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe đạp ô tô HD : Gọi vận tốc xe đạp x (km/h), vận tốc ô tô y (km/h) x + y = 156 x = 12 y x = 28 y = 40 ta có hệ phơng trình : Vậy vận tốc xe đạp 12 (km/h), vận tốc ô tô 40 (km/h) Bài : Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB thời gian dự định từ A đến B HD : Gọi quãng đờng AB x(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B y (giờ) (x > ; y > 1) 22 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH x 35 = y x = 350 Ta có hệ phơng trình : y = y x = 50 Vậy quãng đờng AB 350(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B (giờ) Bài : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85 km ngợc chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô, biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng km/h vận tốc dòng nớc 3km/h HD : Gọi vận tốc thật ca nô xuôi dòng x(km/h), vận tốc ca nô ng ợc dòng y (km/h) (x,y > 3) x + ( y 3) = x = 27 Theo ta có phơng trình : 5 ( x + 3) + ( y 3) = 85 y = 24 Vậy vận tốc thật ca nô xuôi dòng 27(km/h), vận tốc ca nô ngợc dòng 24 (km/h) Bài : Hai đội công nhân làm công việc 16 ngày xong Nếu đội thứ làm ngày, đội thứ hai làm ngày hoàn thành đợc công việc Hỏi làm đội hoàn thành công việc ? HD : Gọi thời gian đội thứ hoàn thành công việc x ( ngày) Thời gian đội thứ hai hoàn thành công việc y ( ngày) x + + x 1 = y 16 x = 24 Vậy thời gian đội thứ hoàn thành công việc y = 48 = y 24 ( ngày) Thời gian đội thứ hai hoàn thành công việc 48 ( ngày) Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 20 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 10 phút, vòi thứ hai 12 phút đợc bể nớc Hỏi chảy 15 vòi chảy đầy bể ? HD : Gọi thời gian vòi chảy đầy bể x (phút), thời gian vòi chảy đầy bể y (phút) 80 80 x + y =1 x = 120 Vậy thời gian vòi chảy đầy bể 120 (phút), y = 240 10 + 12 = x y 15 thời gian vòi chảy đầy bể 240 (phút) Bài 6: Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45 m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lên lần chu vi ruộng không thay đổi HD : Gọi chiều rộng ruộng x (m), chiều dài ruộng y (m) ( x> 0, y > 0) -23 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH y x = 45 x = 15 Diện tích ruộng : 900 m2 y y = 60 ( x + y ) = ( x + ) Bài : Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho tăng thêm 27 đơn vị HD : Gọi số tự nhiên có hai chữ số ab ( < a 9,0 b ) a + b = 11 a = Vậy số cần tìm 47 ba ab = 27 b = C Bài tập luyện tập: Bài : Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc định vận tốc tăng thêm 20 km/h thời gian giảm giờ, vận tốc giảm bớt 10 km/h thời gian tăng lên Tính vận tốc thời gian dự định ô tô Bài : Hai ngời hai địa điểm A B cách 3,6 km, khởi hành lúc , ngợc chiều gặp địa điểm cách A km Nếu hai giữ nguyên vận tốc, nhng ngời chậm xuất phát trớc ngời phút họ sễ gặp quãng đờng Tính vận tốc ngời Bài : Quãng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài 5km Một ngời xe đạp từ A đến B hết 40 phút, từ B A hết 41 phút ( vận tốc lên dốc xuống dốc lúc lúc nh nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc vận tốc lúc xuống dốc Bài : Hai đội lao động làm chung sau ngày sễ hoàn thành công việc nhng lúc đầu, đội làm đợc ngày đội hai tới hai đội làm ngày công việc hoàn thành Hỏi đội làm sau xong công việc ? Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 30 phút đày bể Nếu vòi chảy riêng vòi I chảy băng nớc vòi II chảy vào bể Hỏi chảy vòi chảy đầy bể ? Bài : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đơn vị Nếu đổi hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho giảm 27 đơn vị Bài 7: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu B Bài tập bản: Bài : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85km ngợc chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô (vận tốc ca nô nớc yên lặng không đổi) biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng 9km/h vận tốc dòng nớc 3km/h HD : Gọi x (km/h) vận tốc ca nô xuôi dòng, x > 5 x + (x - 9) = 85 x = 30 Vậy vận tốc thật ca nô xuôi dòng : 27 3 km/h Vận tốc thật ca nô ngợc dòng 24km/h Bài : Khoảng cách hai bến sông A B 45 km Một ca nô từ A đến B nghỉ B 30 phút quay trở lại A Thời gian kể từ lúc đến lúc trở đến bến A 24 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - 30 phút Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc km/h HD : Gọi x(km/h) vận tốc ca nô nớc yên lặng (x > 6) 45 45 1 + + = x 45 x 72 = , phơng trình có Ta có phơng trình : x6 x+6 2 nghiệm x = 24 (TM) Vậy vận tốc ca nô dòng nớc yên lặng 24 km/h Bài : Một ngời dự định làm 120 sản phẩm thời gian định Khi làm mối thêm sản phẩm nên ngời làm xong trớc dự định mà làm thêm sản phẩm Hỏi ngời dự định làm đợc sản phẩm ? HD : Gọi x số sản phẩm ngời dự định làm ( x > 0) 120 126 = x + x 240 = , phơng trình có nghiệm x = 12 (TM) Vậy dự x x+2 định làm đợc 12 sản phẩm Bi 4: Hai đội đào mơng Nếu đội làm mơng thời gian tổng cộng hai đội phải làm 25 Nếu hai đội làm chung công việc hoàn thành Tính xem đội làm xong m ơng bao lâu? HD: Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc x (giờ) 25 > x > Thời gian đội hai hoàn thành công việc 25 x ngày 1 + = x 25 x + 150 = x1 = 10; x = 15 Thời gian đội I hoàn thành công x 25 x việc 10 (giờ) Thời gian đội II hoàn thành công việc 15 (giờ) Hoặc thời gian đội I hoàn thành công việc 15 (giờ) Thời gian đội II hoàn thành công việc 10 (giờ) Bài 5: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 55 phút đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy nhanh vòi thứ hai Nếu mở riêng vòi vòi chảy đầy bể? HD: Gọi x ( giờ) thời gian vòi I chảy đầy bể x + ( giờ) thời gian vòi II chảy đầy bể Ta có phơng trình: 1 12 + = x 23x 35 = x x + 35 Bài 6: Trong phòng họp có 80 ngời, đợc xếp ngồi ghế Nếu ta bớt dãy ghế dãy ghế lại phải xếp thêm ngời đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy đợc xếp chỗ ngồi? HD: Gọi x số dãy ghế phòng họp, x N*, chỗ ngồi dãy + Nếu bớt hai ghế số chỗ ngồi dãy : + Theo ta có phơng trình: 80 x 80 x2 80 80 = x1 = 9; x2 = - Vậy số dãy ghế x2 x phòng họp 10 dãy, dãy đợc xếp chỗ ngồi C Bài tập luyện tập: Bài : Quãng sông từ A đến B dài 36 km Một ca nô xuôi dòng từ A đến B ngợc dòng từ B trở A hết tổng cộng Tính vận tốc thực ca nô biết vận tốc dòng nớc km/h 25 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - Bài : Lúc ô tô từ A đến B Lúc 30 phút xe máy từ B đến A với vận tốc vận tốc ô tô 24 km/h Ô tô đến B đợc 20 phút xe máy đến A Tính vận tốc xe, biết quãng đờng AB dài 120 km Bài 3: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 20 phút ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 Km Hỏi vận tốc thuyền , biết ca nô chạy nhanh thuyền 12 Km/h Bài : Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đờng dài 120 km thời gian định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa quãng đờng lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng Bài : Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do , để đến B hạn , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô Bài : Một đôi công nhân dự định hoàn thành công việc với 500 ngày công thợ Hãy tín số ngời đội, biết bổ sung thêm công nhân số ngày hoàn thành công việc giảm ngày Bài : Hai đội công nhân làm công việc làm xong Nếu đội làm để làm xong công việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong công việc bao lâu? Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trớc làm việc đội xe đợc bổ xung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng Bài 9: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? Bài 10: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng , vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? tập luyện tập: 1) Toán chuyển động: S = v.t Bài Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ôtô từ B Bài 2: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h Khi từ B A ngời đờng khác dài km, với vận tốc 12km/h nên thời gian thời gian đI 20 phút Tính quãng đờng AB? Bài Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 km , ngợc chiều gặp sau 40 phút.Tính vận tốc riêng ca nô biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng km/h (có vận tốc dòng nớc) vận tốc dòng nớc km/h 2) Toán thêm bớt lợng Bài 4: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ có 120 lít,thùng thứ hai có 90 lít Sau kấy thùng thứ nhát lợng dầu gấp ba lợng dầu lấy thùng thứ hai, lợng dầu lại thùng thứ hai gấp đôi lợng dầu lại thùng thứ Hỏi lấy lít dầu thùng? 3) Toán phần trăm: 26 Trng THCS Thanh An - I S -ễN TP THEO CH - Bài Hai trờng A, B có 250 HS lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 HS trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90% Hỏi trờng có HS lớp dự thi vào lớp 10 4) Toán làm chung làm riêng: Bài Hai vòi nớc chảy vào bể nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ cần thời gian vòi thứ hai Tính thời gian để vòi chảy riêng đầy bể Bài Hai tổ làm chung công việc hoàn thành sau 15 tổ làm giờ, tổ hai làm đợc 30% công việc Hỏi làm riêng tổ hoàn thành 5)Các dạng toán khác: Bài 12 Một ruộng có chu vi 200m tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng 5m diện tích giảm 75 m Tính diện tích ruộng Bài 13 Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhng số ngời đến họp 400 nên phải kê thêm hàng hàng phải kê thêm ghế đủ chỗ Tính xem lúc đầu phòng họp có hàng ghế hàng có 27 [...]... và C làm xong công việc trong đó trong 63 giờ và ngơoì B và C làm xong công việc ấy trong 56 giờ Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì trong bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong công việc >Nếu ba ngời cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong mấy giờ ? Giải : Gọi ngời A một mình làm xong công việc trong x (giờ ), x > 0 thì mỗi giờ làm đợc 1 x ( công việc).Ngời B một mình làm xong công việc trong y (giờ... 1sửa xong con đờng là x( giờ ) ( x > 4 ) Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ ) 1 ( con đờng ) x 1 Trong 1 giờ tổ 2 sửa đợc (con đờng ) x+6 1 Trong 1 giờ cả hai tổ sửa đợc (con đờng ) 4 1 1 1 Vậy ta có pt: + = 4( x + 6) + 4 x = x ( x + 6) x 2 2 x 24 = 0 x1= 6; x2 = x x+6 4 Trong 1 giờ tổ 1 sửa đợc -4 X2 = - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn Vậy một mình tổ 1 sửa xong con... đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày Bài 6: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong Giải: Gọi x , y lần lợt là số giờ ngời thứ nhất ngời thứ hai một mình làm xong công việc đó (x>0,y>0) 1 1 1 x + y = 16 x = 24... 2 y 6 1 giờ cả hai ngời làm đợc (2) Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một ngời làm trong 10 giờ còn ngời kia làm trong 5 giờ Bài tập 3: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng vào bản trong 4 giờ thì xong Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ? Giải -18 Trng THCS Thanh An ... hoàn thành cong việc trong = 42 (giờ ) 12 Nếu cả ba ngời cùng làm yhì mỗi giờ làm đợc Bài tập 10: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian để đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới xong Giải... Bi 4: Hai đội cùng đào một con mơng Nếu mỗi đội làm một mình cả con mơng thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc hoàn thành trong 6 giờ Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con m ơng trong bao lâu? HD: Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là x (giờ) 25 > x > 0 Thời gian đội hai hoàn thành công việc một mình trong 25 x ngày 1 1 1 + =... 2 (Công việc ) y 10 Mà thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc còn lại là (giờ) nên ta có pt 3 1 2 10 y 10 : = hay = (2) 3 y 3 6 3 Năng suất của ngời thứ hai khi làm một mình là 2 = Từ (1) và (2) ta có hệ pt : 1 1 1 + = x y 12 y = 10 6 3 x = 30 y = 20 Vậy theo dự định ngời thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và ngời thứ hai hết 20 giờ Bài tập 9: Hai ngời A và B làm xong công việc trông... nhất chảy trong 2 giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đợc 2 bể Hỏi mỗi vòi 5 chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ? Giải : Gọi x , y lần lợt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y >0) 1 x + Ta có hệ pt 2 + x 1 1 3 3 1 = x + y = 2 y 6 x = 10 3 2 y = 15 2 + 3 = 2 = x y 5 y 5 x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi... 6 (a) x = 6 y = 10 x = 2,5 x = 2,5 y = x + 4 (b) y = 1,5 Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn Hệ (b) bị loại vì x < 0 Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h Bài tập 2: Hai ngời thợ cùng làm một công việc Nếu làm riêng rẽ , mỗi ngời nửa việc thì tổng số giờ làm việc là 12h 30ph Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó trong 6 giờ Nh vậy , làm... điều kiện của ẩn Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày Bài tập 4: Hai đội công nhân làm một đoạn đờng Đội 1 làm xong một nửa đoạn đờng thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày xong cả đoạn đờng Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đờng này ? Giải Gọi ... - Gọi thời gian tổ 1sửa xong đờng x( ) ( x > ) Thời gian tổ sửa xong đờng x + ( ) ( đờng ) x Trong tổ sửa đợc (con đờng ) x+6 Trong hai tổ sửa đợc (con đờng ) 1 Vậy ta có pt: + = 4(... làm xong công việc hết 30giờ ngời thứ hai hết 20 Bài tập 9: Hai ngời A B làm xong công việc trông 72 , ngời A C làm xong công việc trong 63 ngơoì B C làm xong công việc 56 Hỏi ngời làm trong... làm xong công việc thời gian để đội II làm xong công việc Tổng thời gian gấp 4,5 lần thời gian hai đội làm chung để xong công việc Hỏi đội làm phải xong Giải : Gọi thời gian đội I làm xong