1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC……………………………………………………………………1 LỜI NÓI ĐẦU …………………………………………………………… Chương I.LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA ……………………………………… 1.1 1.2 Liên thông tuyến tính ……………………………………………… Liên thông Lêvi-Sivita ………… …………………………………11 Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN…………………………….…16 2.1 Đạo hàm Lie hàm số khả vi…………………………………… 16 2.2 Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính…………………….……… 19 2.3 Mối liên hệ LX ∇ ………………………………………… 27 KẾT LUẬN………………………………………………………………… 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 35 LỜI NÓI ĐẦU Hình học Riemann đời từ kỷ 19 Hình học đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học như: giải tích, lý thuyết hệ động lực; vật lý, nghành khoa học kỹ thuật, Đến năm cuối kỷ 19 , với phát triển tôpô với công trình tiếng Hausdoff, Poincaré hình học đa tạp phát triển mạnh mẽ Chính tôpô trở thành công cụ hữu hiệu việc xây dựng cấu trúc hình học liên thông công cụ hữu hiệu để xác định hàm: độ cong, độ xoắn Đạo hàm có nhiều ứng dụng thực tế khoa học, nghiên cứu đạo hàm nghiên cứu điểm cực trị, nghiên cứu tính chất hình học Trong vài thập niên gần nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đạo hàm Lie đại số, đại số Lie Chính vậy, chọn đề tài: ” Một số tính chất đạo hàm Lie đa tạp Riemann” Luận văn trình bày chương: CHƯƠNG I LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA Trong chương này, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi – Sivita Đây kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I chia làm phần 1.1 Liên thông tuyến tính 1.2 Liên thông Lêvi-Sivita CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đạo hàm Lie: Đạo hàm Lie hàm số khả vi, liên thông tuyến tính mối liên hệ LX YChương nội dung luận văn Chương II chia làm phần 2.1 Đạo hàm Lie hàm số khả vi 2.2 Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính 2.3 Mối liên hệ LX Y Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 Khoa Sau đại học, Trường Đại Học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đặt toán dẫn cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại Học Vinh nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ cho tác giả trình hoàn thành luận văn Vinh, tháng 10 năm 2013 Tác giả CHƯƠNG I LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA Trong luận văn này, ta giả thiết M đa tạp Riemann với cấu trúc khả vi { , } cấu trúc Riemann g • ℬ( ) ={ X / X khả vi M }, với X trường véc tơ • ℱ( ) ={ f : M →R, khả vi } ={không gian vec tơ tiếp xúc với M p ∈M } • • [X,Y] tích Lie trường vectơ X,Y ∈ ℬ( ) 1.1 Liên thông tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa ([6]) Ánh xạ ∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M) (X,Y) ⟼ ∇ Y, gọi liên thông tuyến tính M ∇ thỏa mãn điều kiện sau : T , ∇ (Y + Z) = ∇ Y + ∇ Z ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M); T ,∇ T ,∇ Y = φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M); Z = ∇ Z + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M); T , ∇ φY = X[φ] Y + φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M) ∇ Y gọi đạo hàm trường véc tơ Y dọc theo X ∇ Từ điều kiện T1, T2 , T4 ta có nhận xét: Với X ∈ ℬ (M), ta ký hiệu: ∇ : ℬ(M) ⟶ ℬ(M) Y ⟼ ∇ Y Khi ∇ ánh xạ tuyến tính có tính chất đạo hàm 1.1.2 Ví dụ (Xem[4]) a) M=R ,với trường mục tiêu tự nhiên, xét ánh xạ ∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M) (X,Y) ⟼ ∇ Y = D Y =(X[Y ],…, X[Y ] ).Trong Y= (Y ,…, Y ) Khi ∇ liên thông tuyến tính M Thật vậy, ta kiểm tra D thỏa mãn điều kiện định nghĩa liên thông tuyến tính: T , ∇ (Y + Z) = D (Y + Z) = D Y + D Z = ∇ Y + ∇ Z ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M); T ,∇ T ,∇ Z=D Y=D Z = D Z + D Z = ∇ Z + ∇ Z ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M); Y = φD Y = φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M); T , ∇ φY = D φY = X[φ] Y + φD Y = X[φ] Y + φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M) , ∀φ ∈ ℱ(M) b) (M,g) ⊂ R3; g: tích vô hướng cảm sinh từ tích vô hướng R3, ∀ X,Y∈ ℬ (M) Giả sử DX Y= (D Y) +(D Y) , ta đặt ∇ Y = (D Y) Khi đó, ∇ Y liên thông tuyến tính M Chứng minh ∀ , , liên thông tuyến tính: ∈ ℬ ( ), ta kiểm tra điều kiện định nghĩa T , ∇ (Y + Z) = [D (Y + Z)] = (D Y + D Z) = (D Y) +(D Z) = ∇ Y + ∇ Z; ∀ X,Y,Z ∈ ℬ (M); T ,∇ Z = (D Z) = (D Z + D Z) = (D Z) +(D Z) = ∇ Z + ∇ Z ; ∀ X,Y,Z ∈ ℬ (M); T ,∇ Y = D Y = (φD Y) = φ(D Y) = φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M); T , ∇ φY = (D φY) =( X[φ] Y + φD Y ) = X[φ] Y+φ ( D Y ) = X[φ] Y + φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M) Bây ta cố định Y, với X, X ∈ ℬ (M) p ∈ M: Xp =Xp, liên thông tuyến tính, ta có mệnh đề sau : 1.1.3 Mệnh đề (Xem[6]) Với Y∈ ℬ ( ), giá trị ( )p phụ thuộc vào giá trị Xp , tức X, ∈ ℬ ( )và với p ∈ M: Xp = p ( )p = ( )p Chứng minh Ta xét ánh xạ : Xp ⟼( ∇ )p.Từ định nghĩa liên thông tuyến tính ta suy ánh xạ tuyến tính từ TpM đến TpM Từ ta có: p(0)=0 ⟹ ⟹ (∇ −∇ )p =0 hay (∇ phụ thuộc vào giá trị Xp (Xp)p = ( ∇ p)=0 )p Chứng tỏ giá trị (∇ )p Ta tiếp tục cho X cố định, với Y, Y ∈ ℬ (M): Y| = | , U lân cận p, ta có mệnh đề sau: 1.1.4 Mệnh đề (Xem[6]) Giá trị ( lân cận Up điểm p )p phụ thuộc vào giá trị Y Chứng minh Tại điểm p ∈M có lân cân Up p hàm khả vi φ thỏa mãn φ|Up =1 φ|M∕ =0 (Với U tập mở mà U ⊃Up) Ta giả sử có hai trường véc tơ Y, Y cho Y| = Y| Đặt Z= Y-Y, trường véc tơ φZ| =0 Ta có: ∀ p∈ U (∇ φZ)| =0 hay (X[φ] Z + φ∇ Z)| = ⟹ X[φ]| Zp + φ(p) ( ∇ Z)p = (1) Mặt khác Z| = ⟹Z| = , ∀p∈ U Nên từ (1) ta suy φ(p)( ∇ Z)p = ⟹( ∇ Z)p = ( Vì φ|Up =1) ⟹ (∇ Y − ∇ Y )p = Nghĩa (∇ Y)p =(∇ Y)p 1.1.5 Mệnh đề (Xem[6]) Trên M tồn liên thông tuyến tính Chứng minh Trước hết ta chứng minh U tồn liên thông tuyến tính ∇ Thật vậy, giả sử X, Y ∈ ℬ(U ) Ta ý tới vi phôi φ : U ⟶ V , (V tập mở Rn) Ta đặt, ∇ (X,Y) = (φ )∗ (D Y), X = (φ )∗(X) Y = (φ )∗(Y) Khi ∇ liên thông tuyến tính U Giả sử {g } phân hoạch đơn vị liên kết với {U } Ta đặt, ∇ =∑ ∈ g ∇ , ∇ liên thông tuyến tính M 1.1.6 Định lý (Xem[3]) Giả sử Khi đó, với , = + ℱ( ) hai liên thông tuyến tính M liên thông tuyến tính M + =1 Chứng minh Điều kiện cần Giả sử ∇ ∇ hai liên thông tuyến tính M ∇ =φ∇ +ψ∇ liên thông tuyến tính M Ta cần chứng minh φ+ ψ=1, ∀ φ, ψϵ ℱ(M) Thật vậy, ∀X, Y ∈ ℬ(M), ∀ φ, ψ , fϵ ℱ(M), ta có : ∇ fY =φ∇ fY+ψ∇ fY = φ( X[f] Y+f∇ Y ) + ψ (X[f] Y+f∇ Y ) = φf∇ Y + ψf∇ Y +( φ + ψ) X[f] Y = f(φ∇ Y + ψ∇ Y) +( φ + ψ) X[f] Y = f∇ Y +( φ + ψ) X[f] Y Mặt khác ∇ liên thông tuyến tính nên ∇ fY= f∇ Y + X[f] Y Từ (2) (3) ta suy φ+ ψ=1 Điều kiện đủ Giả sử ∇ ∇ hai liên thông tuyến tính M φ+ ψ=1, ∀ φ, ψ ϵ ℱ(M) Ta chứng minh ∇ =φ∇ +ψ∇ liên thông tuyến tính Thật vậy, ∇ thỏa mãn điều kiện định nghĩa liên thông tuyến tính : T1, ∇ (Y+Z) = φ∇ (Y + Z)+ψ∇ (Y + Z) = φ(∇ Y + ∇ Z)+ψ(∇ Y + ∇ Z) = φ∇ Y + φ∇ Z+ψ∇ Y + ψ∇ Z =(φ∇ Y+ψ∇ Y)+ (φ∇ Z+ψ∇ Z) = ∇ Y + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M); (2) (3) T2 , ∇ Z = φ∇ Z+ψ∇ Z = φ(∇ Z + ∇ Z)+ψ(∇ Z + ∇ Z) = φ∇ Z + φ∇ Z+ψ∇ Z + ψ∇ Z = (φ∇ Z+ψ∇ Z)+ (φ∇ Z+ψ∇ Z) = ∇ Z + ∇ Z; ∀ X, Y , Z ∈ ℬ (M); T3, ∇ Y = φ∇ Y+ψ∇ Y = φ(f∇ Y)+ψ(f∇ Z) = f (φ∇ Y+ψ∇ Z) = f∇ Y; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M) ; ∀f ∈ ℱ(M); T4, ∇ fY = φ∇ fY+ψ∇ fY = φ(X[f] Y + f∇ Y)+ψ(X[f] Y + f∇ Y) = (φX[f] Y + ψX[f] Y)+(φf∇ Y + ψf∇ Y) = (φ + ψ) X[f] Y +f(φ∇ Y + ψ∇ Y) = X[f] Y + f∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀f ∈ ℱ(M) Từ định lý 1.1.6 ta có nhận xét tổng hai liên thông tuyến tính liên thông tuyến tính Bây ta ý tới ánh xạ song tuyến tính S: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M), với liên thông tuyến tính ∇, ta tạo liên thông tuyến tính mới, định lý sau chứng minh điều 1.1.7 Định lý Giả sử = + , với S ánh xạ song tuyến tính Khi liên thông tuyến tính M liên thông tuyến tính M Thật vậy, S ánh xạ song tuyến tính nên: + S (X ,Y+Z)= S (X ,Y) + S (X ,Z); ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M); + S (X +Y,Z)= S (X ,Z) + S (Y ,Z); ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M); + S (φ X ,Y)= φS (X ,Y); ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M); + S (X,φY)= φS (X ,Y); ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M) Ta kiểm tra ∇ thỏa mãn điều kiện định nghĩa liên thông tuyến tính: T , ∇ (Y + Z) = ∇ (Y + Z) + S (X ,Y+Z) = ∇ Y + ∇ Z + S (X ,Y) + S (X ,Z) = ∇ Y + S (X ,Y) + ∇ Z+ S(X ,Z) = ∇ Y + ∇ Z ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M); T ,∇ Z = ∇ Z + S (X +Y,Z) = ∇ Z + ∇ Z + S (X ,Z) + S (Y ,Z) = ∇ Z + S (X ,Z) + ∇ Z+ S (Y ,Z) = ∇ Z + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M); T , ∇ φ Y = ∇φ Y + S (φ X , Y) = φ∇ Y + φS (X , Y) = φ [∇ Y + S (X , Y) ] = φ∇ Y;∀ X, Y ∈ ℬ (R ), ∀φ ∈ ℱ(M); T , ∇ φY = ∇ φY + S (X, φY) = X[φ] Y + φ∇ Y + φS (X , Y) = X[φ] Y + φ [∇ Y + S (X , Y) ] = X[φ] Y + φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M),∀φ ∈ ℱ(M) Vậy ∇ liên thông tuyến tính M Từ mệnh đề 1.1.5 định lý 1.1.7 ta có nhận xét: Liên thông tuyến tính M tồn không 1.1.8 Hệ Với M=R3, ∇=D Khi ∇ Y = DXY + X∧Y liên thông tuyến tính Với X,Y ∈ ℬ (M), ta xét tích Lie ∇X ∇Y, ký hiệu [∇X , ∇Y] xác định sau: [∇X , ∇Y]= ∇Xº∇Y – ∇Yº∇X Khi ta có nhận xét: 1.1.9 Nhận xét Giả sử X,Y ∈ ℬ ( ) đó: a) Với cặp (X,Y), ta đặt R(X,Y): ℬ(M) ⟶ ℬ(M) Z ⟼ R(X,Y,Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[ , ]Z Thì R(X,Y) ánh xạ tuyến tính (Xem [4] ) b) [∇X , ∇Y](Z)= ∇[X,Y] +R(X,Y,Z); ∀ Z ∈ ℬ(M) Với R (X,Y,Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[ Thật vậy: [∇X , ∇Y](Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z , ]Z độ cong đa tạp Riemann M 10 = ∇[X,Y]Z +R(X,Y,Z); ∀ Z ∈ ℬ(M) c) [∇X , ∇Y] ánh xạ tuyến tính Ta ký hiệu ∇ = { ∇X : ℬ(M) ⟶ ℬ(M) | phép toán sau: ∈ ℬ ( ) } Ta đưa vào ∇ 1) ∇ +∇ : ℬ(M) ⟶ ℬ(M); (∇ +∇ )(Z)= ∇ Z+∇ Z; ∀Z ∈ ℬ (M); 2) λ∇ : Rx ℬ(M) ⟶ ℬ(M); (λ∇ )(Z) = λ∇ Z; ∀Z ∈ ℬ (M), ∀λ ∈ R; 3) [∇X , ∇Y]: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M) (∇X , ∇Y)⟼ [∇X , ∇Y ]= ∇Xº∇Y – ∇Yº∇X Khi ta có mệnh đề sau: 1.1.10 Mệnh đề đại số Lie R Thật vậy: +) Dễ dàng kiểm tra tra ∇ không gian vec tơ R với hai phép toán 1) 2) +)Ta chứng minh ∇ song tuyến tính: [∇X +∇Y, ∇Z] đại số R Tức phép toán 3) có tính chất = (∇X +∇Y) º ∇Z – ∇Z º(∇X +∇Y) = ∇X º ∇Z + ∇Y º ∇ Z – ∇Z º ∇X – ∇Z º ∇Y = ∇X º ∇Z– ∇Z º ∇X + ∇Y º ∇Z – ∇Z º ∇Y = [∇X , ∇Z]+ [∇Y, ∇Z]; ∀ ∇X , ∇Y, ∇Z ∈ ∇ ; [λ ∇X, ∇Y] = (λ ∇X) º ∇Y – ∇Y º(λ ∇X) = λ(∇X º ∇Y )– λ(∇Y º ∇X ) = λ(∇X º ∇Y – ∇Y º ∇X ) = λ [∇X , ∇Y]; ∀ ∇X , ∇Y ∈ ∇ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: ∙[ ∇X , ∇Y+∇Z] = [∇X , ∇Y]+ [∇X , ∇Z]; ∀ ∇X , ∇Y, ∇Z ∈ ∇ ; ∙[ ∇X, λ ∇Y] = λ [∇X, ∇Y]; ∀ ∇X , ∇Y ∈ ∇ , λ∈K 21 ⟹ D ([X, Z]) = (-2x2 z - x2yz2 ,2xyz-2x +2x2 y2z+2xy2 z2 , 2x2- xz2 -2xyz3) Vậy (L D)(Y,Z) = [X, D Z] − D[ , ]Z − D ([X, Z]) = (x2z +x2y2, -xyz, x2y3+2x2+ xyz3) 2.2.3 Mệnh đề M = Rn,  = D Y(Yi), Z(Zi) LXD(Y,Z) = (∑ , ) Chứng minh Để chứng minh mệnh đề trước tiên ta chứng minh hai bổ đề sau: Bổ đề ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (R ), ta có: D (D Z) - D = (∑ , Z Y X ) E Thậy vậy: ∀ X, Y ∈ ℬ (R ), ta có: D Y = (X[Y1], ,X[Yn]) ⟹D Z = ∑ , ,∑ X[Y ] X[Y ] D Z = (Y[Z1], ,Y[Zn]) =(∑ ⟹ D (D Z) = (X[∑ Y = (∑ = ∑ = ∑ (X[Y ] X[Y ] ⟹ D (D Z) = D Y , , ∑ Y ] , ,X[∑ Y ]) (X[Y ], , ∑ + Y X[ ]), , ∑ , ,∑ Z + ∑ X[Y ] Y X[ + ∑ ], ,∑ ) (X[Y (X[Y ] Y X[ Y X[ ]) + Y X[ ], ,∑ ] ]) Y X[ ] 22 ⟹ D (D Z) - D =D Z +(∑ , Z = (∑ , Y X Y X ) E ) E Bổ đề Với M=Rn , ∇ = D ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[ , ]Z= 0; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (R ) Thật vậy: D Z = (Y[Z1], ,Y[Zn]): = X’ ⟹ D (D Z) = (X[X ], ,X[X ] ) = (X[Y[Z ]], ,X[Y[Z ]] ) Tương tự ta có: D Z = (X[Z1], ,X[Zn]): = Y’ ⟹ D (D Z) = (Y[Y ], ,Y[Y ] ) = (Y[X[Z ]], ,Y[X[Z ]] ⟹ D D Z - D D Z = (X[Y[Z ]]- Y[X[Z ]] , ,X[Y[Z ]]- Y[X[Z ]] ) = ([X,Y][ Z ], , [X,Y][ Z ]) = D[ ⟹ ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[ , ]Z , ]Z = D D Z - D D Z - D[ , ]Z = Bây ta chứng minh mệnh đề: Áp dụng bổ đề 2: D D Z - D D Z - D[ = D[ , ] Z Do (LX D)(Y, Z) = [X, D Z] − D[ = D (D Z) − D , ]Z , ]Z = ta có D D Z - D D Z − D ([X, Z]) X − D (D Z − D X) − D[ = D (D Z) − D (D Z) − D = D (D X) - D X = (∑ , , ]Z X + D (D X) − D[ Z Y , ]Z ) E (Theo bổ đề 1) 23 Để xét tính tuyến tính tính chất đạo hàm LX ta có định lý sau: 2.2.4 Định lý ([4]) Giả sử X ∈ ℬ (M) Khi ta có: i)(LX)(Y+Y’, Z) = (LX)(Y, Z) + (LX)(Y’,Z); Y, Y’, Z ∈ ℬ (M); ii) (LX)(fY, Z) = f (LX)(Y, Z); Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ( ); iii) (LX)(Y, Z+ Z’) = (LX)(Y, Z) + (LX)(Y, Z’); Y, Z, Z’ ∈ ℬ (M); iv) (LX)(Y, fZ) = f (LX)(Y, Z); Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ( ) Chứng minh i) Y, Y’, Z ∈ ℬ (M), ta có (LX)(Y+Y’, Z) = LX(Y+Y’Z) - Y+Y’(LXZ) - [X,Y+Y’]Z = LX(YZ+Y’Z) - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z = [X, YZ+Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z =[X, YZ] + [X,Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z = LX(YZ) + LX(Y’Z)- Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z = LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y’Z) - Y’(LXZ) -[X,Y’]Z = (LX)(Y, Z) + (LX)(Y’,Z) ii) Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ(M), ta có (LX)(fY, Z) = LX(fYZ) - fY(LXZ) -  [X, fY]Z = LX(fYZ) - fY(LXZ) - f [X,Y]+ X[f].Y Z = [X, fYZ] - fY(LXZ) - f [X,Y]Z - X[f].Y Z = f [X, YZ] + X[f] YZ - fY(LXZ) - f [X,Y]Z - X[f].Y Z = f([X, YZ] -Y(LXZ)-  [X,Y]Z) 24 = f (LX)(Y, Z) iii)Y, Z, Z’ ∈ ℬ (M), ta có (LX)(Y, Z+ Z’) = LX(Y( Z+ Z’)) - Y(LX( Z+ Z’)) - [X,Y](Z+Z’) = LX(YZ+Y Z’) - Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’ = [X, YZ+Y Z’] - Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’ = [X, YZ] + [X,Y Z’] - Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’ = LX(YZ) + LX(Y Z’)- Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’ = LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y Z’) - Y(LX Z’) -[X,Y] Z’ = (LX)(Y, Z) + (LX)(Y, Z’) iv) Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ(M), ta có (LX)(Y, fZ) = LX(Y fZ) - Y(LX fZ) -  [X, Y] fZ = LX(fYZ+ Y[f] Z) - Y(f [X,Z]+ X[f].Z) - f[X,Y]Z – [X,Y][f].Z = [X, fYZ] + [X, Y[f] Z]- Y(f [X,Z]) - Y (X[f].Z) - f[X,Y]Z – [X,Y][f].Z = f [X, YZ] + X[f].YZ + [X, Y[f] Z]- fY([X,Z]) - Y[f] [X,Z] - X[f].Y Z - Y[X[f]] Z - f[X,Y]Z – [X,Y][f] Z = f([X, YZ] -Y(LXZ)-  [X,Y]Z) + [X, Y[f] Z]- Y[f] [X,Z] - Y[X[f]] Z – [X,Y][f] Z = f (LX)(Y, Z) + Y[f] [X, Z] + X[Y[f]] Z- Y[f] [X,Z] - Y[X[f]] Z – [X,Y][f] Z = f (LX)(Y, Z) + X[Y[f]] Z- Y[X[f]] Z – [X,Y][f] Z 25 = f (LX)(Y, Z) Như đạo hàm Lie (LX)(Y,Z) tuyến tính  Y, Z ∈ ℬ (M), từ tính chất thứ iv) ta suy LX tính chất đạo hàm 2.2.5 Mềnh đề Giả sử liên thông Lêvi-Sivita M, LX có tính (Y,Z) = chất đối xứng, nghĩa là: (Z,Y) Chứng minh Do ∇ liên thông Lêvi-Sivita M nên ta có: T(X,Y) =0;  X, Y ∈ ℬ (M) ⟹ ∇ Y − ∇ X = [X,Y] ;  X, Y ∈ ℬ (M) L ∇(Y,Z) − L ∇(Z,Y) = L (∇ Z) − ∇[ , ]Z = L (∇ Z − ∇ Y)– ∇[ = L ([Y, Z]) – ∇[ , ]Z − ∇ L Z - L (∇ Y) − ∇[ , ]Z , ]Y - ∇ [X,Z] + ∇ [X,Y] + ∇[ + ∇ [X,Y] - ∇ [X,Z] + ∇[ −∇ L Y , ]Y , ]Y = [X,[Y,Z]] – [X, Y], Z + [X, Z], Y = – [X, Y], Z - [[Y,Z],Z] - [Z, X], Y = 2.2.6 Mệnh đề ([7]) Giả sử X,Y∈ ℬ ( ), [ , ] = ( )- ( liên thông M Khi đó: ) Chứng minh Ta có: L (L ∇)(Z,U) = L (L ∇(Z,U)) - L ∇(L Z,U) - L ∇(Z, L U) = L (L (∇ U)) - L (∇ (L U)) - L (∇[ +∇ , ] U)- L (∇[ , ]U)+ U - L (∇ L U))+ ∇ L (L U) +∇[ ∇[ , ] [X,U] , ][Y,U] 26 = L (L (∇ U)) – [ L (∇[ + L (∇ L U))] + (∇[ , ][Y,U] , ]U) +∇[ + L (∇[ , ][X,U] , ]U)]- [L )+∇ )U ( Tương tự ta có: L (L ∇)(Z,U) = L (L (∇ U)) – [ L (∇[ -[L (∇ (L U)) + L (∇ L U))] + (∇[ , ] [X,U] + ∇[ (∇ (L U)) + ∇ L (L U) , ]U) , ][Y,U]) + L (∇[ +∇ ( , ]U)] )U + ∇ L (L U) Do L (L ∇)(Z,U) - L (L ∇)(Z,U) = L (L (∇ U)) - L (L (∇ U)) +∇ )U ( + ∇ L (L U) -∇ = L (L (∇ U))−L (L (∇ U))+∇ )U−∇ ( )U ( - ∇ L (L U) )U ( +∇ L (L U) −∇ L (L U) = (L ° L −L ° L )(∇ U) – (∇ = L[ , ] (∇ U) – (∇ ,[ , ] = L[ , ] (∇ U) – ∇ [ , ], Mà (L[ = L[ , ] ∇)(Z,U) , ] (∇ = L[ U) − ∇ [ , ], )U ( U −∇ ,[ , ] U – ∇ (L[ , ] (∇ −∇ , ]∇ )U)– ∇ U) – ∇ (L[ L (L U) − L (L U) , ] U) , ] U) U) − ∇ U − ∇ L[ [ , ] U − ∇ L[ , ]U , ]U ⟹ L (L ∇)(Z,U) - L (L ∇)(Z,U) =(L[ ⟹ L[ ( , ] ∇)(Z,U) , ∀ Z,U∈ ℬ (M); = L (L ∇)- L (L ∇) Như biết với X, Y ∈ ℬ (M), LX ∇Y ánh xạ tuyến tính, xét mối liên hệ chúng 27 2.3 Mối liên hệ LX 2.3.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử X, Y ∈ ℬ ( ), tích Lie LX hiệu [LX, ], ánh xạ: [LX, ]: ℱ( ) ⟶ ℱ( ) f ⟼ [LX, ánh xạ: [LX, ký ]f = LX( ( )− ); ∀ f∈ ℱ( ) ]: ℬ ( ) ⟶ ℬ ( ) Z⟼ [LX, ](Z) = LX ( )− ( ); ∀ Z∈ ℬ ( ) 2.3.2 Ví dụ a) Với M= R3, cho trường véctơ X(xy,2,yz), Y(1,xy2,yz), f(x,y,z) = xy2z Khi ta tính [LX, D ]f Ta có: D f = Y[f] = y2z + xy2.2xyz+ yz xy2 = y2z+ 2x2y3z+xy3z ⟹ LX(D f) = xy.(4xy3z +y3z) + 2.(2yz+6x2y2z + 3xy2z) + yz.( y2+2x2y3+ xy3) = 4x2y4z +xy4z + 4yz+12x2y2z + 6xy2z+ y3z+2 x2y4z+ xy4z = 6x2y4z +2xy4z + 4yz+12x2y2z + 6xy2z+ y3z L f = X[f] = xy y2z + 2.2xyz+ yz xy2 = xy3z+ 4xyz ⟹ D (L f) = 1.( 2y3z+ 4yz) + xy2(6xy2z+4xz)+ yz (2xy3+ 4xy) = 2y3z+ 4yz+ 6x2y4z+4x2y2z+ 2xy4z+ xy2z ⟹ [LX, D ]f = LX(D f) − D (L f) = (6x2y4z +2xy4z + 4yz+12x2y2z + 6xy2z+ y3z) - (2y3z+ 4yz+ 6x2y4z+4x2y2z+ 2xy4z+ xy2z) 28 = x2y2z +2 xy2z - y3z b) Giả sử M= R3, cho trường véctơ X(x,2xy,yz), Y(1,y2,yz2), Z(x,yz,2) Khi [LX, D ](Z) = LX(D Z) − D (L Z) Ta có: LX(D Z) = [X, D Z ] = D (D Z) − D X D (L Z) = D ([X, Z]) D Z = (Y[Z1], Y[Z2], Y[Z3]) = (1, y2z+y2z2, 0) ⟹ D (D Z) = X[D Z] = (0, 4xy2z+4xy2z2+y2z+2y3z2, 0) X = (D Z) [X] = (2y, 2xy2z +2xy2z2, 0) D ⟹ LX(D Z) = (-2y, 2xy2z+2xy2z2+y2z+2y3z2, 0) L Z = [X,Z] = D Z − D X D Z = (X[Z1], X[Z2], X[Z3]) = (1, 2xyz+y2z, 0) D X = (Z[X1], Z[X2], Z[X3]) = (x, 2xy+2xyz, yz2+2y) ⟹ L Z = (1-x, y2z-2xy, -yz2-2y) ⟹ D ([X, Z]) = (-1,-2y+2y3z-2xy2+y3z2, -y2z2-2y2-2y2z3) Vậy [LX, D ](Z) = LX(D Z) − D (L Z) = (-2y, 2xy2z+2xy2z2+y2z+2y3z2, 0) - (-1,-2y+2y3z-2xy2+y3z2, -y2z2-2y2-2y2z3) = (1-2y, 2xy2z+2xy2z2+y2z+y3z2, y2z2+2y2+2y2z3) 2.3.3 Mệnh đề M = Rn,  = D [LX, ](Z) =((∑ [ ] -∑ [ ] ) +∑ , ) 29 )−D ( Chứng minh [LX, D ](Z) = LX(D = [X, D ) ] = D (D Z) − D X −D ([X, Z]) = D (D Z) − D X −D (D Z − D X) = D (D Z) − D X −D (D Z) + D (D X) Áp dụng bổ đề chứng minh mệnh đề 2.2.3 Ta có: Z =(∑ , D (D Z)- D X = (∑ , ⟹ D (D X)- D Z Y D (D Z) = ∑ + ∑ Mà ( ∑ Y X[ X Y[ ⟹ D (D Z) - D (D Z) = ∑ =(∑ ⟹ [LX, D ](Z) = ∑ = (∑ Y[X ] , ,∑ (X[Y ] -∑ Y[X ] ) ], ,∑ X Y[ X[Y ] Y[X ] Y[X ] ) Y[X ] ) ] X Y[ , ,∑ X[Y ] -∑ (X[Y ] -∑ Y[X ] X Y[ ]) = ( ∑ X[Y ] ] , ,∑ ], ,∑ Y X[ X[Y ] Y X[ Y[X ] ], ,∑ - ∑ , ,∑ ], ,∑ D (D Z) = ∑ ) E ) E X[Y ] Y X[ + ∑ Y X Ej Ej + ∑ , +∑ , (Z Y Z Y ) E ).E ]) 30 2.3.4 Mệnh đề ([7]) Giả sử X,Y ∈ ℬ (M) Khi đó: i [LX, ∇ ]f= ∇[ , ]f; ii [LX, ∇ ](Z) = ∇[ ∀ f ∈ ℱ(M); , ] + ∇( , ); ∀ Z∈ ℬ ( ) Chứng minh i [LX, ∇ ]f = LX(∇ f) − ∇ (L f) = X Y[f] − Y X[f] = [X,Y][f] = ∇[ Vậy [LX, ∇ ]f= ∇[ , ] f; ∀ f ∈ ℱ(M); , ]f ii Ta có: L ∇(Y, Z)= LX(∇ Z) − ∇ (L Z) -∇[ ⟹ LX(∇ Z) − ∇ (L Z) = L ∇(Y, Z) +∇[ , ]Z , ]Z Mà [LX, ∇ ](Z) = LX(∇ Z) − ∇ (L Z), từ suy [LX, ∇ ](Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z); ∀ Z∈ ℬ (M) 2.3.5 Mệnh đề Giả sử X,Y ∈ ℬ (M) Khi đó: i [LX, ∇ ](Z+Z’) = [LX, ∇ ]Z+[LX, ∇ ]Z’; ∀Z, Z ∈ ℬ (M); ii [LX, ∇ ](fZ) = f[LX, ∇ ]Z + Z [LX, ∇ ]f ; ∀Z ∈ ℬ (M), ∀ f ∈ ℱ(M) Chứng minh Giả sử X,Y ∈ ℬ (M) i)[LX, ∇ ](Z+Z’) = ∇[ , ] (Z + Z ) + L ∇(Y, Z + Z ) , ]Z + L ∇(Y, Z) + L ∇(Y, Z ) = ∇[ , ]Z + ∇[ = ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z) + ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z ) = [LX, ∇ ]Z+[LX, ∇ ]Z’; ∀Z, Z ∈ ℬ (M) 31 ii) [LX, ∇ ](fZ) = ∇[ , ] (fZ) = f ∇[ = f ∇[ + L ∇(Y, fZ) , ]Z + Z [X, Y][f] + fL ∇(Y, Z) , ]Z + L ∇(Y, Z) + Z [X, Y][f] = f [LX, ∇ ](Z) + Z ∇[ , ]f = f [LX, ∇ ](Z) +Z [LX, ∇ ]f; ∀Z ∈ ℬ (M), ∀ f ∈ ℱ(M) Từ mệnh đề ta thấy [LX, ∇ ] tuyến tính thực với Z ∈ ℬ (M) [LX, ∇ ] có tính chất đạo hàm 2.3.6 Mệnh đề Giả sử X, X’,Y, Y’ ∈ ℬ (M) Khi đó: i.[LX+X’, ∇ ]= [LX, ∇ ] +[LX’, ∇ ]; ii [ ,∇ ] = [ iii.[LX, ∇ , ∇ ]; ∀ ∈ R; ] =[LX, ∇ ] +[LX, ∇ ] ; iv [LX, ∇ ]Z = f [LX, ∇ ](Z) + [ ] ∇ ; ∀ f ∈ ℱ(M) Chứng minh Giả sử X,Y, X’, Y ∈ ℬ (M) i [LX+X’, ∇ ](Z) = ∇[ = ∇[ , ]Z +L , ]Z , ] [ ∇(Y, Z) + L (∇ Z) + L ∇(Y, Z) = ∇[ , ]Z + ∇[ , ] Z+L (∇ Z) + L ∇(Y, Z) = ∇[ , ]Z + L (∇ Z) +∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z) = [LX, ∇ ]Z +[LX’, ∇ ](Z) = ([LX, ∇ ] +[LX’, ∇ ])(Z); ∀ Z∈ ℬ (M) Vậy [LX+X’, ∇ ]= [LX, ∇ ] +[LX’, ∇ ]; ii [L , ∇ ]( Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z).Ta có: 32 (L )(Y,Z) = L (YZ) - Y(L Z) - ∇[ = [λX, YZ] - Y[λX,Z] - ∇ , ]Z [ , ]Z = λ [X, YZ] - λY[X,Z]- λ∇[ = λ ([X, YZ] - Y[X,Z]- ∇[ , ]Z , ] Z) = λ (L )(Y,Z) Từ ta suy được: [L , ∇ ](Z) = ∇ [ , ]Z + λ (L )(Y,Z) = λ ∇[ , ]Z + λ (L )(Y,Z) = λ.( ∇[ , ]Z + (L )(Y,Z) = λ[L , ∇ ]Z; ∀ Z∈ ℬ (M); Vậy [L , ∇ ]= λ[L , ∇ ]; ∀ λ ∈ R iii [LX, ∇ ] (Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(Y + Y , Z) ]Z + L (∇ Z) + L ∇(Y , Z) = ∇[ , ] [ , = ∇[ , ]Z + ∇[ = ∇[ , ]Z + L (∇ Z) +∇[ , ] Z+L (∇ Z) + L ∇(Y , Z) , ]Z + L ∇(Y , Z) = [LX, ∇ ]Z +[LX, ∇ ](Z) = ([LX, ∇ ] +[LX, ∇ ])(Z); ∀ Z∈ ℬ (M) Vậy [LX, ∇ ] = [LX, ∇ ] +[LX, ∇ ]; iv) [LX, ∇ ](Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(fY, Z) = ∇[ , ] [ ] = ∇[ , ]Z +∇ Z + f.L (∇ Z) [ ] Z + f.L (∇ Z) 33 = f∇[ = ( f∇[ , ]Z , ]Z + X[f] ∇ Z + f.L (∇ Z) + f.L (∇ Z)) + X[f] ∇ Z = f [LX, ∇ ](Z) + X[f] ∇ Z; ∀ Z∈ ℬ (M) ⟹ [LX, ∇ ]Z = f [LX, ∇ ](Z) + X[f] ∇ Z; ∀ f ∈ ℱ(M); 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày nội dung sau đây: Trình bày cách có hệ thống định nghĩa liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi-Sivita , đạo hàm Lie hàm số khả vi, đạo hàm Lie liên thông tuyến tính Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất liên thông tuyến tính liên thông Lêvi-Sivita ( Định lý 1.1.6; 1.1.7; 1.2.3) Trình bày chứng minh số tính chất đạo hàm Lie hàm số khả vi, đạo Lie liên thông tuyến tính (Định lý 2.2.4; mệnh đề 2.2.6) Trình bày chứng minh số tính chất mối liên hệ LX ∇ (mệnh đề 2.2.4) Phát biểu chứng minh số mệnh đề : Mênh đề 1.1.10; mênh đề 2.1.3; mệnh đề 2.1.5; mệnh đề 2.2.3; mệnh đề 2.2.5; mệnh đề 2.3.3; mệnh đề 2.3.5; mệnh đề 2.3.6; 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khu Quốc Anh , Nguyễn Doãn Tuấn(2003), Lý thuyết liên thông hình học Riemann, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Thị Dung(2001), Mối liên hệ liên thông Lêvi-sivita độ cong trung bình siêu mặt đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [3] Trần Thị Lan Hương (2007), Về liên thông Lêvi-Sivita đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [4] Tạ Thị Thanh Liên (2011), Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [5] Đoàn Quỳnh (2001), Hình học vi phân, NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [7] A Ya Sultanov (2010), Derivations of linear algebras and linear connections, Journal of Mathematical Science, Vol 169, No.3 ,2010 pp 362- 412 [8] Paolo Piccione and Daniel V.Táuk (2006), Connections compatible with tensors and characterization of left- invariant Levi- Civita connections in Lie groups, Revista de la Unión Matemática Argentina, Vol 47 No.1 [...]... tính duy nhất được chứng minh 16 CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của đạo hàm Lie của hàm số khả vi, của liên thông tuyến tính trên đa tạp Riemann M và mối liên hệ giữa LX và Y 2.1 Đạo hàm Lie của hàm số khả vi 2.1.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử ∈ ℬ ( ) và ∈ ℱ( ), ánh xạ LX: ℱ( ) ⟶ ℱ( ) ⟼ LX = X[f] được gọi là đạo hàm. .. Trình bày một cách có hệ thống các định nghĩa về liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi-Sivita , đạo hàm Lie của hàm số khả vi, đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính 2 Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính và liên thông Lêvi-Sivita ( Định lý 1.1.6; 1.1.7; 1.2.3) 3 Trình bày và chứng minh một số tính chất cơ bản của đạo hàm Lie của hàm số khả vi, đạo Lie của liên... LX, LY là đạo hàm Lie của các hàm số khả vi thì L[X,Y] cũng là đạo hàm Lie của hàm số khả vi Ta ký hiệu ℒ = {LX : ℱ(M) ⟶ ℱ(M) | phép toán sau: ∈ ℬ ( ) } Ta đưa vào ℒ các 1) L +L : ℱ(M) ⟶ ℱ(M); (L +L )f = L f +L f; ∀f ∈ ℬ (M) 2)λL : Rx ℱ(M) ⟶ ℱ(M); (λL )f = λL f; ∀f ∈ ℱ(M), ∀λ ∈ R 3)[LX ,LY]: ℒ x ℒ ⟶ ℒ (LX,LY)⟼ [LX ,LY]= LXºLY – LYºLX Khi đó ta có mệnh đề sau: 2.1.5 Mệnh đề ℒ là đại số Lie trên R Thật... + X[Y[f]] Z- Y[X[f]] Z – [X,Y][f] Z 25 = f (LX)(Y, Z) Như vậy đạo hàm Lie (LX)(Y,Z) tuyến tính đối với  Y, Z ∈ ℬ (M), và từ tính chất thứ iv) ta suy ra LX không có tính chất đạo hàm 2.2.5 Mềnh đề Giả sử là liên thông Lêvi-Sivita trên M, khi đó LX có tính (Y,Z) = chất đối xứng, nghĩa là: (Z,Y) Chứng minh Do ∇ là liên thông Lêvi-Sivita trên M nên ta có: T(X,Y) =0;  X, Y ∈ ℬ (M) ⟹ ∇ Y − ∇ X = [X,Y]... Dung(2001), Mối liên hệ giữa liên thông Lêvi-sivita và độ cong trung bình của một siêu mặt trong đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [3] Trần Thị Lan Hương (2007), Về liên thông Lêvi-Sivita trên đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [4] Tạ Thị Thanh Liên (2011), Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [5] Đoàn Quỳnh (2001), Hình... –LX(LZLYf) – LY (LZLXf)+LY(LXLZf) Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được: [[LX ,LY], LZ] + [[LY ,LZ], LX] +[[LZ ,LX], LY] =0; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒℱ 2.2 Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính 2.2.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử M Ánh xạ: ∈ ℬ ( ) và là liên thông tuyến tính trên ∶ ℬ ( )xℬ ( ) ⟶ ℬ ( ); (Y,Z) ⟼ ( )(Y,Z) được gọi là 20 đạo hàm Lie của liên thông theo trường véc tơ X, trong đó được xác định bởi:... ∑ X E 13 = (∇ X) Y + X (∇ Y) Vậy Z[X.Y] = (∇ X) Y + X (∇ Y) b) Cho M là đa tạp Riemann, ∇ là liên thông Lêvi-Sivita trên M, M là đa tạp con Giả sử ∇ Y= ∇ Y + ∇ Y ; ∀ X,Y∈ ℬ (M), ta đặt ∇ Y = ∇ Y Khi đó, ∇ Y là liên thông Lêvi-Sivita của M Thật vậy: - Dễ dàng kiểm tra được ∇ là liên thông tuyến tính - Ta kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Lêvi-Sivita: i ∇ Y-∇ X–[X,Y]= ∇ Y - ∇ X =∇ Y- ∇ Y = ∇ X -... Z).Y=X[Z.Y]+Z[Y.X]-Y[X.Z]+Y.[X,Z]+Z.[Y,X]-X.[Z,Y] (6) Cộng vế theo vế của (5) và (6) ta được: 2[(∇ Y).Z+(∇ Z).Y]=2 X[Y.Z] Suy ra X[Y.Z] = (∇ Y).Z + (∇ Z)Y Suy ra  là một liên thông Lêvi- Sivita trên M Vậy luôn tồn tại liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp Riemann M (7) 15 Để chứng minh tính duy nhất, ta chứng tỏ rằng nếu  thỏa mãn 2 điều kiện của liên thông Lêvi-Sivita thì nó thỏa mãn phương trình (4) Thật... − ) –[ , ] = 0 ; ∀ , + ( );∀ , , ∈ ℬ ( )) ; ∈ ℬ ( )) 1.2.2 Ví dụ a)Giả sử M là đa tạp khả song( nghĩa là trên M luôn có trường mục tiêu khả vi) với trường mục tiêu { , … , } và X= ∑ , Y= ∑ Ta đặt ∇ Y = ∑ X[Y ] E Khi đó,  là một liên thông Lêvi- Sivita trên M Thật vậy: -Trước hết ta kiểm tra tính liên thông tuyến tính của ∇: 12 T , ∇ (Y + Z) = ∑ =∑ X[Y + Z ] E = ∑ X[Y ] E + ∑ (X[Y ]E + X[Z ] E )... +)[ LX ,LY+LZ] = [LX ,LY]+ [LX ,LZ]; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒ ; +)[ LX, λ LY] = λ [LX, LY]; ∀ LX ,LY ∈ ℒ , λ∈R Do đó ℒ là một đại số Rõ ràng phép toán tích trong xác định ở trên có tính chất phản xứng, tức là: [LX ,LY] = -[ LY ,LX] ; ∀ LX ,LY ∈ ℒ Mặt khác phép toán tích trong xác định ở trên có tính chất Jacobi, tức là: [[LX ,LY], LZ] + [[LY ,LZ], LX] +[[LZ ,LX], LY] =0; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒ Thật vậy: Ta có: [[LX ... (4) Vậy tính chứng minh 16 CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, trình bày số tính chất đạo hàm Lie hàm số khả vi, liên thông tuyến tính đa tạp Riemann. .. tuyến tính 1.2 Liên thông Lêvi-Sivita CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đạo hàm Lie: Đạo hàm Lie hàm số khả... minh số tính chất đạo hàm Lie hàm số khả vi, đạo Lie liên thông tuyến tính (Định lý 2.2.4; mệnh đề 2.2.6) Trình bày chứng minh số tính chất mối liên hệ LX ∇ (mệnh đề 2.2.4) Phát biểu chứng minh số