BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ LÀI NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG SỢI QUANG PHI TUYẾN BẬC CAO Chuyên ngành: Quang học Mã số: 60.44.01.09 LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Vũ Ngọc Sáu Vinh 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành khoa Sau Đại học – Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, PGS TS Vũ Ngọc Sáu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo hướng dẫn giúp đỡ mà thầy giành cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, PGS TS Hồ Quang Quý, TS Nguyễn Văn Phú, thầy, cô giáo khoa Vật lý, khoa đào tạo Sau đại học, cán tham gia giảng dạy lớp cao học bạn học viên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ hoàn thành luận văn Tác giả cảm ơn quan tâm, chăm sóc động viên gia đình suốt trình học tập nghiên cứu qua Cuối xin gửi đến thầy giáo, bạn hữu người thân lòng biết ơn chân thành lời chúc sức khỏe thành công sống Vinh, Tháng 6, năm 2013 Lê Thị Lài MỤC LỤC Trang MỘT SỐ CỤM TỪ VIẾT TẮT NLSE Nonlinear Schrodinger Phương trình Schrodinger phi GNLSE Equation Generalized Nonlinear tuyến Phương trình Schrodinger phi GVD SPM TOD SS SRS FWHW Schrodinger Group Velocity Dispersion Self Phase Modulation Third-Order Dispersion Self- Steppening Stimulated Raman Scatering Full Width at Half Maximum tuyến suy rộng Tán sắc vận tốc nhóm Tự biến điệu pha Tán sắc bậc ba Tự dựng xung Tán xạ Raman cưỡng Độ rộng toàn phần Root-mean-square nửa cực đại xung Độ rộng quân phương RMS LỜI MỞ ĐẦU Nghiên cứu trình lan truyền xung ánh sáng môi trường vật chất vấn đề ngành Quang học Kể từ laser đời vào năm 1960, quang học phi tuyến có phát triển vượt bậc có nhiều ứng dụng quan trọng khoa học công nghệ, có thông tin quang Trong lĩnh vực này, truyền tải xử lý thông tin đối tượng trực tiếp trình nghiên cứu Sự đời cải tạo mạng lưới thông tin toàn giới Nhờ đó, số lượng tín hiệu hình, tín hiệu âm truyền cách nhanh chóng có hiệu tốc độ truyền thông tin lớn, tổn hao trình lan truyền thấp Đặc biệt, tính ổn định tín hiệu truyền cao không bị méo Tính chất tạo cách sử dụng Soliton quang học để truyền thông tin Soliton quang học đối tượng nhiều nghiên cứu mặt lý thuyết thực nghiệm suốt ba thập kỷ qua ứng dụng mạnh mẽ, tiềm tàng truyền đạt thông tin đường dài toàn thiết bị chuyển mạch quang cực nhanh Soliton quang học sợi điện môi đề xuất lần vào năm 1973 Hasegawa Tappert [4], làm thí nghiệm kiểm tra Moollenauer vào năm 1980 [5] Sự tồn dạng xung Soltion sợi quang nội dung quan trọng nghiên cứu trình lan truyền xung ánh sáng môi trường phi tuyến nói chung sợi quang đơn mode nói riêng Vì giới hạn khai triển bậc thấp nên phương trình Schrodinger phi tuyến mô tả gần biến đổi hàm bao xung laser ngắn (có độ rộng phổ cỡ ps) lớn hơn, xung cực ngắn (độ rộng phổ cỡ fs) có sai lệch mô tả phương trình Schrodinger phi tuyến Do đó, xung cực ngắn, ta cần phải kể đến khai triển bậc cao Lúc này, lan truyền xung cực ngắn mô tả phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng Trong phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, ta đưa vào hiệu ứng phi tuyến bậc cao : tán sắc bậc ba, tự dựng xung , tán xạ Raman cưỡng Mỗi hiệu ứng ảnh hưởng lên xung lan truyền sợi quang, đóng vai trò nhiễu ta xem xét chúng độc lập Tuy nhiên, xét đồng thời ảnh hưởng hiệu ứng kể trên, lời giải phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng cho ta dạng Soltion lan truyền sợi quang, điều kiện để có lời giải Soliton có phần khác Vì vậy, mục đích đề tài phương pháp giải tích- khai triển Jacobian, giải phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, phương pháp sử dụng ansatz biên độ phức , giải phương trình Schrodinger phi tuyến bậc cao, tìm lời giải Soltion xét đồng thời số hiệu ứng bậc cao Xuất phát từ lí chọn đề tài: “Nghiên cứu điều kiện tồn Soliton môi trường sợi Quang phi tuyến bậc cao” Cấu trúc luận văn trình bày sau: Phần mở đầu Phần nội dung Chương 1: Sử dụng hàm jacobien phương trình Schrodinger phi tuyến để tìm nghiệm soliton Trình bày tổng quan soliton quang học, hàm jacobien tổng quát phương trình Schrodinger điều kiện tồn soliton quang học Chương 2: Nghiên cứu ảnh hưởng hiệu ứng phi tuyến bậc cao lên trình lan truyền soliton Nghiên cứu ảnh hưởng hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên trình lan truyền Soliton khảo sát ảnh hưởng đồng thời hiệu ứng tán sắc phi tuyến bậc cao lên lan truyền soliton sợi quang CHƯƠNG 1: SỬ DỤNG HÀM JACOBIEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN ĐỂ TÌM NGHIỆM SOLITON 1.1 Soliton quang học 1.1.1 Cơ sở xuất Soliton quang học Khi xung quang học lan truyền môi trường tán sắc hình dạng liên tục thay đổi thành phần tần số khác lan truyền với vận tốc nhóm khác Khi môi trường phi tuyến trình tự biến điệu pha làm pha tần số xung thay đổi Quan hệ hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm hiệu ứng tự biến điệu pha làm cho xung giãn rộng co ngắn lại tùy thuộc vào độ lớn chiều dài hai hiệu ứng nói trên.Trong điều kiện định hình dạng ban đầu xung giữ nguyên không đổi trình xung lan truyền Điều xảy hai hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm hiệu ứng tự biến điệu pha tự bù trừ lẫn Các xung ổn định gọi sóng cô đơn hay gọi Soliton Chúng sóng trực giao theo nghĩa hai sóng lan truyền qua môi trường đường bao biên độ không đổi mà có dịch pha trình tương tác Do vậy, tiếp tục lan truyền thực độc lập Xét xung vào dạng Gauss không chirp với tần số dao động ω0 tần số giữ nguyên toàn xung Nếu xung lan truyền qua sợi quang chế độ tán sắc dị thường Khi tần số phần đầu xung lớn tần số phần đuôi xung Các thành phần tần số lớn lan truyền với vận tốc nhanh so với thành phần tần số nhỏ Kết tín hiệu ta nhận rộng tín hiệu ban đầu xung bị dịch tần Bây ta giả sử xung lan truyền sợi quang phi tuyến không tán sắc, xung chịu ảnh hưởng hiệu ứng tự biến điệu pha Độ dịch tần có giá trị âm phần đầu xung có giá trị dương phần cuối xung Do đó, tần số phần đầu xung bé tần số phần đuôi xung Sự lan truyền xung chịu ảnh hưởng độc lập hiệu ứng mô tả hình H 1.1 Trong hình xung vào ban đầu xung dạng Gauss không chirp, lan truyền môi trường tuyến tính, xung chịu ảnh hưởng hiệu ứng GVD bị mở rộng Ở chế độ tán sắc dị thường xung bị nén lại phần cạnh trước (tần số dịch phía sóng xanh) giãn phần cạnh sau (tần số dịch phía sóng đỏ) Nhưng xung lan truyền môi trường phi tuyến không tán sắc, ảnh hưởng hiệu ứng SPM, làm mở rộng xung, lúc xung bị nén lại phần sau giãn phần trước xung Khi xung lan truyền sợi quang chịu ảnh hưởng đồng thời hai hiệu ứng nói trên, với ảnh hưởng có tính trái ngược nhau, kết điều kiện định tạo xung cho hai hiệu ứng GDV SPM tự cân Tổng hợp hai hiệu ứng làm cho xung không thay đổi H 1.1 1.1.2 Lời giải Soliton ( Soliton bậc một) Một phương pháp áp dụng để giải phương trình Schrodinger phi tuyến phương pháp tán xạ ngược Phương pháp Zakharov Shabat giải vào năm 1971 [3] Phương pháp tương tự phép biến đổi Fourier sử dụng để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính Sự tương tự tìm toán tán xạ thích hợp mà nghệm Trường tới z=0 dùng để tìm liệu tán xạ ban đầu, tiến triển chúng theo z xác định việc giải toán tán xạ tuyến tính Sự lan truyền trường xây dựng lại từ tiến triển liệu tán xạ Ta phi thứ nguyên hóa cách đưa vào đại lượng không thứ nguyên: U= A z T , ξ= , τ= P0 LD T0 (1.1) Trong đó, P0 đỉnh công suất xung, T0 độ rộng xung, LD chiều dài tán sắc Sử dụng biến (1.1), ta dễ dàng đưa phương trình NLS phi thứ nguyên sau: ∂U ∂2U i = sgn(β2 ) − N2 U U ∂ξ ∂τ với L D γP0T0 N = = L NL β2 (1.2) (1.3) Ta khử thông số cách đưa vào biến: u = NU = γL D A (1.4) Phương trình (1.2) đưa dạng phương trình NLS tắc không thứ nguyên i ∂u ∂ u + + u u=0 ∂ξ ∂τ (1.5) Trong (1.5) ta chọn sgn( β )=-1 (xung lan truyền chế độ tán sắc dị thường) Từ phương trình (1.5) ta có hệ thức tỉ lệ quan trọng, u (ξ ,τ ) nghiệm phương trình εu(ε 2ξ, ετ) nghiệm phương trình, với ε thừa số tỉ lệ tùy ý Trong phương pháp tán xạ ngược toán tán xạ liên quan với phương trình (1.5) là: i ∂ν1 + uν = ζν1 ∂τ (1.6) i ∂ν + u*ν1 = ζν ∂τ (1.7) đó, ν1 , ν biên độ hai sóng tán xạ u(ξ, τ) Giá trị riêng ζ có vai trò tương tự vai trò tần số giải tích Fourier, ngoại trừ ζ nhận giá trị phức u ≠ Đặc trưng nhận ý trường hợp u=0 ν ,ν biến thiên theo exp(±iζτ) Phương trình (1.6), (1.7) áp dụng cho giá trị ξ Trong phương pháp tán xạ ngược, chúng giải ξ =0 Từ dạng ban đầu u (0,τ ) , giải hệ hai phương trình để tìm liệu tán xạ ban đầu Bài toán tán xạ chiều đặc trưng hệ số tán xạ r (ζ ) , có vai trò tương tự hệ số khai triển Fourier Sự kết hợp trạng thái liên kết (Soliton) tương ứng với cực r (ζ ) mặt phẳng phức ζ Bởi vậy, liệu tán xạ ban đầu bao gồm hệ số tán xạ r (ζ ) , cực phức ζ j , thặng dư cj , đó, j=1 đến N có N tồn Mặc dầu thông số N không thiết phải số nguyên, kí hiệu tương tự nhằm nhấn mạnh giá trị nguyên xác định số cực Sự tiến triển liệu tán xạ dọc theo chiều dài ống xác định kĩ thuật quen biết Nghiệm mong muốn u (ξ ,τ ) xây dựng lại từ tiến triển liệu tán xạ sử dụng phương pháp tán xạ ngược Bước đòi hỏi nhiều tính toán phức tạp Tuy nhiên trường hợp đặc biệt, r (ζ ) triệt tiêu với ban đầu u (0,τ ) nghiệm u (ξ ,τ ) xác định cách giải hệ phương trình đại số Trường hợp tương ứng với Soliton Bậc Soliton đặc trưng số cực N, giá trị riêng ζ j , (j=1,N) Nghiệm tổng quát có dạng: 10 N u(ξ, τ) = −2∑ λ j*ψ j* (1.8) j=1 λ j = c j exp(iζτ + iζ 2ξ) , với (1.9) ψ j* xác định giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau: N λ j*λ k k =1 ζ j* − ζ k N λ j*λ k k =1 ζ j* − ζ k ψ1j + ∑ ψ * 2j +∑ ψ2 j = (1.10) ψ1j = (1.11) Giá trị riêng ζ j nói chung số phức ( 2ζ j = δ j + iη j ) Về ý nghĩa vật lí, phần thực δ j đưa tới thay đổi vận tốc nhóm thành phần thứ j Soliton Đối với Soliton bậc N thành phần phải chuyển động với vận tốc, giá trị riêng ζ j cần nằm đường thẳng song song với trục ảo, nghĩa δ j = δ; ∀j Soliton bậc tương ứng với trường hợp có cực ζ j (N=1) Nó cho Soliton dạng không thay đổi trình lan truyền Sử dụng phương trình (1.8)-(1.11) với j=k=1 ta có: N λ j*λ k k =1 ζ j* − ζ k N λ j*λ k k =1 ζ j* − ζ k ψ11 + ∑ ψ * 21 +∑ ψ 21 = (1.12) ψ11 = (1.13) 2ζ1 = δ + iη ⇒ ζ1 − ζ1* = iη Để ý: Giải hệ (1.12)-(1.13) tìm ψ 21* = λ*1 (1 + λ1 / η2 ) −1 thay vào (1.8) tìm được: u(ξ, τ) = −2(λ1* ) (1 + λ1 / η2 ) −1 (1.14) 31 i ∂A  ∂P  = i − kP eiϕ ∂z  ∂t  β2 ∂2 A  β2 ∂2 P ∂P β 2ω P  iϕ  e = − i ωβ − 2 ∂t  ∂t ∂t  β ∂ A  β ∂ P iωβ ∂ P β 3ω ∂P iβ 3ω  iϕ = − − + P e ∂t  ∂t ∂t 2 ∂t  β ∂ A  β ∂ P iωβ ∂ P β 4ω ∂ P iω β ∂P ω β  iϕ = − − + − P e 24 ∂t  24 ∂t ∂t ∂t ∂t 24  A = A A* = P.eiϕ P*.e − iϕ = P.P* = P 2 γ A A = γ P P.eiϕ 4 γ A A = γ P P.eiϕ α1 ∂ ∂P* 2 ∂P ( A A) = 2α1 P + α1 P − iωα1 P P ∂t ∂t ∂t α2 A ∂ ∂P * 2 ∂P ( A ) = α2 P + α2P2 ∂t ∂t ∂t Thay phương trình vào (2.27), loại bỏ số hạng mũ ta có phương trình: i ∂P  β β  ∂P + i β 2ω + ω − ω  + ∂z   ∂t β β3 β4 ∂ 2P + (− − ω + ω ) + (γ − α1ω ) P P − 2 ∂t ∂P * ∂P − i (2α1 + α ) P − i (α1 + α ) P ∂t ∂t β β β − (k − ω − ω + ω ) P 24 β β ∂ P β ∂4P − i( − ω ) − 4 + γ P P = 6 ∂t 24 ∂t Đặt a1 = β 2ω + a2 = − β3 β ω − ω β β3 β − ω + ω2 2 a3 = γ − α1ω (2.29) 32 a4 = 2α1 + α a5 = α1 + α a6 = k − β 2 β3 β 4 ω − ω + ω 24 a7 = β3 β − ω 6 a8 = β4 24 Ta viết lại phương trình (2.29) dạng: ∂P ∂P ∂2 P ∂P* 2 ∂P + ia1 + a2 + a3 P P − ia4 P − ia5 P ∂z ∂t ∂t ∂t ∂t ∂P ∂ P − a6 P − ia7 − a8 + γ P P = ∂t ∂t i (2.30) Bằng việc chấp nhận ansatz biên độ phức viết dạng P ( z , t ) = iβ + λ tanh[η (t − χz )] + iρ sec h[η (t − χz )] (2.31) η χ tương ứng độ rộng xung nghịch đảo vận tốc nhóm Các tham số β , λ , ρ cho phép ansatz (2.31) miêu tả đặc tính siliton sáng tối Trong đó, tham số η , χ , k , ω có giá trị thực β , λ , ρ số thực số phức Từ (2.31) ta có độ lớn biên độ là: λ + β + βρ sec h[η (t − χz )] +  P( z, t ) =   + ( ρ − λ2 ).sec h [η (t − χz )]  2 (2.32) Và tương ứng với độ dịch chuyển pha phi tuyến là:  β + ρ sec h[η (t − χz )]   ϕ ( z , t ) = arctan  λ tanh[η (t − χz )]  (2.33) Thay (2.31) vào (2.32) sử dụng (2.33), đồng thời cân hệ số tương ứng hàm sech hàm tới Ta thu hệ phương trình tham số độc lập sau: [ ρη [6a η ] − λ )] + βγ λρ ( ρ λη 6a7η − ( a4 + a5 ) ( ρ − λ2 ) + βγ (5 ρ − λ2 )( ρ − λ2 ) = − ( a4 + a5 ) ( ρ 2 2 − λ2 ) = (2.34) (2.35) 33 − 2a2η + a3 ( ρ − λ2 ) − 2a4 βλη + 20a8η +  ρ =0 2 2 2 + γ (10 ρ β + ρ λ − 6λ β − 2λ )  [ ] [ (2.36) ] λ − 2a2η + a3 ( ρ − λ2 ) − βη a4 ρ + a5 ( ρ − λ2 ) + [ ( )] (2.37) + λ 8a8η + γ ρ β + ρ 2λ2 − 2λ2 β − 2λ4 = [ λ − ηχ + a1η − 4a7η − a4η (λ2 + β ) − a5η (λ2 − β − ρ ) [ ] ] + a3 β (3ρ − λ2 ) + βγ 10 ρ β + ρ 2λ2 − 2λ2 β − 2λ4 = (2.38) ηχ − a1η + a7η − 2a3λβ + (a4 − a5 )ηλ2 +  ρ =0 2 (a4 + a5 )ηβ − 4γ βλ (λ + β )  (2.39) a2η + a3 (λ2 + 3β ) + 2a5 βλη − a6  ρ =0 2 2 2 − a8η + 4γ β (λ + β ) + γ (λ + β )  (2.40) [ β [ a (λ ] ) ]=0 λ a3 (λ2 + β ) − a6 + γ (λ2 + β ) = + β ) − a6 + γ (λ2 + β 2 ρ  −24a8η + γ ( ρ − λ )  =   [ ] λ − 24a8η + γ ( ρ − λ2 ) = (2.41) (2.42) (2.43) (2.44) Để đơn giản ta xét trường hợp sau Trường hợp 1: β = λ = lời giải tương ứng cho ta nghiệm soliton sáng có dạng A( z , t ) = iρ sec h[η (t − χz )]e1( kz −ωt +θ ) (2.45) Với giả thiết từ hệ phương trình (2.34)-(2.44) thay β = λ = ta hệ phương trình sau: − 2a2η + a3 ρ + 20a8η = 6a η2 − (a + a )ρ2 = χ − a1 + a7η = (2.46) a2η − a6 − a8η = − 24a8η + γ ρ = Kết hợp với hệ phương trình (2.31) ta viết lại phương trình (2.46) : ( β − β 4ω )η − (3α1 + 2α ) ρ = 34 ( β + β 3ω − χ − β 2ω − (− β4 2 ω )η + (γ − α1ω ) ρ + β 4η = β3 β β3 β ω + ω + ( − ω )η = 6 (2.47) β β3 β β β β β − ω + ω )η − k + ω + ω − ω − η = 2 24 24 − β 4η + γ ρ = Giải hệ phương trình (2.47) ta tìm tham số: ω= β3 − (3α1 + 2α2 ) β4 γ β4  − 6( β + β3ω ) ( β − β 4ω )  η2 =  + 3ω + 6(−γ + α1ω ) 5 β4 β (3α1 + 2α )  ρ2 = β3 − β 4ω η = 3α1 + 2α  − 6( β + β 3ω ) β − β 4ω β − β 4ω  ( + 3ω ) + 6(−γ + α1ω ) ( )  5 β4 (3α1 + 2α ) β 3α1 + 2α  χ = β 2ω + k = (− β3 β ω − ω − ( β − β 4ω )η 2 6 β β3 β β β β β − ω + ω )η + ω + ω − ω − η 2 24 24 (2.48) (2.49) (2.50) (2.51) (2.52) Và ta có biên độ xung đó: P ( z , t ) = ρ sec h [η (t − χz )] Từ (2.38) ta thấy nghiệm soliton tồn α β > (2.53) từ (2.43) ta thấy tham số xác định nhờ (2.38)-(2.42) tương ứng với soliton sáng ( ρ > ) Trường hợp 2: Xét ρ = , ta viết lại hệ phương trình (2.24)(2.34) với ρ = 6a7η − ( a4 + a5 )ηλ2 + γ βλ3 = − 2a2η − a3λ2 + 2a5 βηλ + 8a8η − 2γ β 2λ2 − 2γ 2λ4 = − χη + a1η − 4a7η − a4η (λ + β ) − a5η (λ − β ) −a3 βλ − 2γ β λ − 2γ βλ = (2.54) 35 a3 (λ2 + β ) − a6 + γ (λ2 + β ) = − 24a8η − γ 2λ4 = Thay từ hệ phương trình (2.29) vào phương trình (2.54) ta được: ( β − β 4ω )η − (3α1 + 2α )ηλ2 + γ βλ3 = ( β + β 3ω − β4 2 β ω )η − (γ − α1ω )λ2 + 2(α1 + α ) βηλ + η − 2γ β 2λ2 − 2γ 2λ4 = β3 β ω − ω )η − ( β3 − β 4ω )η − (2α1 + α )η (λ2 + β ) 2 − (α1 + α )η (λ − β ) − (γ − α1ω ) βλ − 2γ β 2λ − 2γ βλ3 = − χη + ( β 2ω + (γ − α1ω )(λ + β ) − k + (2.55) β 2 β3 β 4 ω + ω − ω + γ (λ + β ) = 24 − β 4η − γ λ = Giải hệ phương trình (2.55) ta nhận tham số  β 4 ( 3α1 + 2α )  − ÷ − ( β3 − β4ω )  γ2  β=  β4  γ2 − ÷  γ2  (2.56)     β β 2  − β − β ω + ω + (γ − α ω + 2γ β ) −   ÷ 1 2 γ2       η = 7β4    −2β (α + α )  − β   ÷     γ2  (2.57)     β β 2  ω + (γ − α ω + 2γ β ) −  1  ÷ 1  γ  β      β4   λ = − ÷ η =  − ÷ 7β4    γ2   γ2   −2β (α + α )  − β  − β − β ω  ÷     γ2  (2.58) k = (λ + β )(γ − α1ω + γ 2λ + γ β ) + β2 β3 β 4 ω + ω − ω 24 (2.59) 36 β3 β4 ω − ω − ( β3 − β 4ω )η − (2α1 + α )(λ + β ) βλ −(α1 + α )(λ − β ) − (γ − α1ω + 2γ β + 2γ 2λ ) η χ = β 2ω + (2.60) Và biên độ xung có độ lớn thỏa mãn: P ( z , t ) = λ + β − λ sec h η ( t − χ z )  (2.61) Vậy, nghiệm phương trình có dạng: { } A( z , t ) = i β + λ η ( t − χ z )  exp ( kz − ωt + θ ) (2.62) Với tham số xác định (2.54)-(2.60) biên độ xác định (2.61) soliton tối (−λ < 0) Tuy nhiên từ phương trình (2.57), (3.58) ta thấy nghiệm soliton tồn γ β < Bằng phương pháp sử dụng ansatz biên độ để tìm lời giải chi tiết phương trình HNLS xét ảnh hưởng đồng thời hiệu ứng tán sắc phi tuyến bậc cao Kết thu nghiệm soliton 2.2.2 Soliton quang học ảnh hưởng đồng thời tự dựng xung tán sắc bậc ba Thông thường ta xem xét hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm cân với hiệu ứng tự biến điệu pha cho ta soliton dùng truyền thông Trong hiệu ứng bậc cao khác (TOD, SS, SFS )chỉ xem nhiễu loạn Vì xét lan truyền xung ngắn, phương trình lan truyền mô tả gần dạng phương trình Schrodinger phi tuyến (NLSE) ∂A ∂2 A = i (α1 + α A A) ∂z ∂t (2.63) α1 , α tương ứng hệ số GVD SPM phương trình (2.63) có nghiệm soliton sáng phạm vi tán sắc dị thường (α1 > 0) soliton tối điều kiện tán sắc thường ( α1 < 0) Nghiệm soliton sáng tối có dạng tương ứng sau: 37 A= 2α1 i α1 ( Ω2 −ω )( z − z0 ) −ωt Ωe sec h { Ω [ 2α1ω ( z − z1 ) + t ] } α2 Và A = exp i(4α1 α c1Ω − α1ω )( z − z0 ) − iωt  A1 (2.64) (2.65) Với A1 = −c1 + c 2c −1 + (c + ic1 ) (2Ωωα1 + cc1α + α c 3c −1 )( z − z1 ) + Ωt  Trong (2.66) c = −α 2−1 (2α1Ω + α1c12 ) Từ (2.64) (2.65) ta thấy có cân GVD SPM tồn soliton sáng ổn định trường hợp tán sắc dị thường, soliton tối tồn trường hợp tán sắc thường Khi xét lan truyền xung cực ngắn (fs), ảnh hưởng đồng thời TOD SS đưa vào tính toán ta viết lại phương trình lan truyền xung dạng đơn giản: ∂A ∂2 A ∂3 A ∂ 2 = i (α1 + α A A) + α 3 + α ( A A) ∂z ∂t ∂t ∂t (2.67) α , α tương ứng với tán sắc bậc ba tự dựng xung Ta biết TOD làm mở rộng xung lan truyền hiệu ứng SS làm dốc xung Vì xảy khả dạng xung có hình dạng không đổi có cân TOD SS Để tìm nghiệm soliton cho phương trình (2.67) ta dùng phương trình mở rộng hàm sech Khi nghiệm phương trình (2.67) có dạng tổng quát:  a + ia1 + (b + ib1 ) × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt ) +  A = e i ( k ( z − z ) −ω t )    (c + c1 ) × tanh( K ( z − z1 ) + Ωt )  (2.68) Với k , ω , a, a1 , b, b1 , c, c1 số thực; z0 , z1 số tùy ý phụ thuộc pha ban đầu vị trí ban đầu xung Trường hợp 1: Để đơn giản ta xét a = a1 = c = c1 = nghiệm (2.68) viết lại: A = ei ( k ( z − z0 )−ωt ) [ (b + ib1 ).sec h( K ( z − z1 ) + Ω) ] (2.69) 38 Ta có: ∂A = [ bk × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt ) + bk × tanh( K ( z − z1 ) + Ωt ) ] ei ( k ( z − z0 ) −ωt ) + ∂z i [ b1k × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt ) + b1k × tanh( K ( z − z1 ) + Ωt ) ] e i ( k ( z − z0 )−ωt ) A = A A* = ei ( k ( z − z0 )−ωt ) (b + ib1 ) × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt )ei ( k ( z − z0 )−ωt ) (b − ib1 ) × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt ) = (b + b12 ) × sec h ( K ( z − z1 ) + Ωt ) ∂A = [ b1ω × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt ) + bΩ × tanh( K ( z − z1 ) + Ωt ) ] ei ( k ( z − z0 )−ωt ) + ∂t i [ b1Ω × tanh( K ( z − z1 ) + Ωt ) − bω × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt ) ] ei ( k ( z − z0 ) −ωt ) iα1 2 ∂ A α1b1ω × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt ) − α1b1Ω × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt ) +  i ( k ( z − z0 ) −ωt ) = +  e ∂t  2α1ωΩb × tanh( K ( z − z1 ) + Ωt )   −α1ω 2b × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt ) + 2ωα1Ωb1 × tan h( K ( z − z1 ) + Ωt ) +  i ( k ( z − z0 )−ωt ) i e α1Ω b × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt )  iα A A = −b1α (b + b12 )ei ( k ( z − z0 ) −ωt ) × sec h3 ( K ( z − z1 ) + Ωt ) + ibα (b + b12 )ei ( k ( z − z0 ) −ωt ) × sec h ( K ( z − z1 ) + Ωt ) 2 ∂ A (Ω bα − 3α 3Ωω b) × tan h( K ( z − z1 ) + Ωt ) + (3α 3b1ωΩ − α 3b1ω )  i ( k ( z − z0 )−ωt ) α3 =  + e ∂t × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt )  (α 3b1Ω3 − 3α 3b1Ωω ) × tan h( K ( z − z1 ) + Ωt ) + (α 3bω − 3α 3bΩ 2ω )  i ( k ( z − z0 )−ωt ) i e × sec h( K ( z − z1 ) + Ωt )  (3b3α Ω + 3bb12α Ω) × sec h ( K ( z − z1 ) + Ωt )  i ( k ( z − z0 )−ωt ) ∂ α ( A A) =  + e 2 ∂t  −(ω b α + ω bb1 α ) × sec h ( K ( z − z1 ) + Ωt )  (3b 2b1α Ω + 3b13α Ω) × sec h ( K ( z − z1 ) + Ωt )  i ( k ( z − z0 ) −ωt ) i e 3  −(b b1α 4ω + b1 α 4ω ) × sec h ( K ( z − z1 ) + Ωt )  Thế phương trình vào phương trình (2.66) Triệt tiêu hệ số sechi tanhi , tách phần thực, phần ảo ta phương trình xác định tham số sau: −2α 3Ω + bα = , b1 = (2.70) ωb 2α − 6ωΩ 2α + 2Ω 2α1 − b 2α = (2.71) 2ωΩα1 − 3ω Ωα + Ω3α − K = (2.72) ω 2α1 − ω 3α + 3σΩ 2α − Ω 2α1 + k = (2.73) 39 Giải hệ phương trình (2.70)-(2.73) ta tìm được: α 4ω + (α 4ω + α )Ω − α 2ω k= α 3α 2α Ω , α4 b= b1 = K= Ωα (ω α − 2ωα + Ω 2α ) α4 ω= α 2α − α1α 2α 3α z0 , z1 , Ω số tùy ý Cuối ta nghiệm soliton sáng có dạng: A( z , t ) = 2α 3α 4−1 Ω × sec h α 3α 4−1Ω(ω 2α − 2ωα + Ω 2α )( z − z1 ) + Ωt  × { } exp i α 3α 4−1 ω 3α + (ωα + α )Ω − ω 2α  ( z − z1 ) − ωt  (2.74) Với biên độ A = b2 sec h ( K ( z − z1 ) + Ωt ) Ta thấy nghiệm soliton sáng (2.74) tồn α 3α > Trường hợp 2: Xét b = b1 = phân bố trường có dạng: A = ei ( k ( z − z0 )−ωt ) [ a + ia1 + (c + ic1 ).tan h( K ( z − z1 ) + Ωt ) ] (2.75) Tương tự trên, ta thay (2.74) vào (2.67) cân phần thực, phần ảo triệt tiêu hệ số sechi tanhi ta thu phương trình sau: c12α + 3Ω 2α + c 2α = −(c12 + c )(α − ωα ) + (6ωα − 2α1 )Ω = 8Ω3α +  2(− a12 − a + c12 + c )α + 3ω 2α − 2ωα1  Ω + (ac1 − ca1 )(α − σα ) + K = −c1ω 3α + c1ω 2α1 + (3c1α12 + 2aca1 + a c1 )α − 6c1Ω 2α  ω + (2Ω 2α1 + k )c1 −(3c1α12 + 2aca1 + a 2c1 )α = cω 3α − cω 2α1 + (−cα12 − 2aa1c1 − 3a c)α + 6cΩ 2α  ω − c(2Ω 2α1 + k ) +(2aa1c1 + ca12 + 3a 2c )α = 40 aω3α − (aα1 + 3c1Ωα )ω + c1 (2ωΩα1 − 2Ω3α − K ) − ka + (a + a )(aα − aωα + 2c1Ωα ) = aω3α + (3cΩα − aα1 ) − c(2ωΩα1 − 2Ω3α − K ) − ka + (a + a12 )(a1α − aωα − 2cΩα ) = Giải hệ phương trình ta tìm tham số sau: a1 = a.c c1 K= Ω  −2α 3α (c12 + 3a )Ω + 3ac1α (α − ωα )Ω + c1ωα (2α1 − 3ωα )  c α4 ω= (−3α 2α + 2α1α ) 3α 3α c = −(c12α + 3Ω 2α ) α4 a, c1 , Ω ba số tùy ý Cuối ta có nghiệm soliton tối với dạng: A( z , t ) = ei ( k ( z − z0 )−ωt )  a − iacc1−1 + (c + ic1 ) × tan h( K ( z − z1 ) + Ωt )  (2.76) Suy A = −3Ω 2α 3α 4−1c1−2 c × tan h [ K ( z − z1 ) + Ωt ] + a  (2.77) Qua ta thấy soliton tối tồn α 3α < Đồng thời từ phương trình (2.77) ta có : i ( k ( z − z ) −ω t ) Với a=0, A( z, t ) = [ (c + ic1 ).tan h( K ( z − z1 ) + Ωt ) ] e Trong c, k , K , ω xác định với a=0, gọi soliton sáng Với a ≠ ta có dạng soliton tối Mặt khác từ biểu thức nghiệm soliton sáng (2.74)và soliton tối (2.76) ta dể dàng thấy rằng: hiệu ứng TOD bỏ qua ( α → ) ( ) soliton sáng tối biến A → , hiệu ứng SS không ( ) tính đến ( α → ) soliton sáng tối bị phá hủy A → ∞ Khi có cân TOD SS với α , α nhận giá trị hữu hạn ta 41 thu xung dạng soliton sáng α 3α > xung dạng soliton tối α 3α < Kết luận chương Trong chương trình bày ảnh hưởng hiệu ứng phi tuyến bậc cao lên trình lan truyền Soliton khảo sát số trường hợp đặc biệt: + Khảo sát ảnh hưởng hiệu ứng tán sắc phi tuyến bậc cao ( bậc 3, 4) lên lan truyền Soliton sợi Quang + Khảo sát Soliton quang học ảnh hưởng đồng thời tự dưng xung tán sắc bậc ba Ở sử dụng ansatz biên độ phức tìm lời giải soliton cho phương trinh Schrodinger phi tuyến bậc cao điều kiện tồn soliton Ta thấy cân hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm tự biến điệu pha cho ta xung lan truyền dạng soliton, mà tác dụng hiệu ứng tán sắc bậc ba cân với tự dựng xung ta thu xung có hình dạng không đổi trình lan truyền Đặc biệt soliton ứng với tán sắc bậc ba tự dựng xung tồn sợi quang tán sắc thường sợi quang tán sắc dị thường 42 KẾT LUẬN CHUNG Trong đề tài trình bày sở lý thuyết vấn đề lan truyền xung môi trường tán sắc phi tuyến, thực tính toán giải tích sử dụng phương pháp khai triển Jacôbiên eliptic để giải phương trình GNLS xét đến ảnh hưởng số hiệu ứng phi tuyến bậc cao, đặc biệt hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng lên xung Từ tìm điều kiện tồn nghiệm Soliton quang học Những kết thu tóm tắt sau: Đối với xung ngắn lan truyền sợi quang đơn mode, xét trình lan truyền miền có ảnh hưởng tán sắc phi tuyến tác dụng hiệu ứng lên xung vào dạng Gauss Kết thu phù hợp với thực nghiệm mở rộng thời gian xung tán sắc mở rộng phổ hiệu ứng phi tuyến • Bằng tính toán giải tích- sử dụng phương pháp khai triển Jacôbiên eliptic, giải chi tiết phương trình GNLS xét ảnh hưởng đồng thời số hiệu ứng bậc cao, có tham gia hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng kết thu nghiệm Soliton Lời giải thu xét trường hợp đơn giản cho thấy điều kiện tồn Soliton phù hợp với kết giải trước Tuy nhiên, xét đến ảnh hưởng thời hiệu ứng bậc cao, đặc biệt xét đến hiệu ứng tán xạ Raman xung lời giải soliton có phần khác với lời giải soliton có hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm hiệu ứng tự biến điệu pha 43 • Bằng phương pháp sử dụng ansatz biên độ phức tìm lời giải soliton cho phương trình Schrodinger phi tuyến bậc cao điều kiện tồn soliton • Trong phạm vi đề tài khảo sát ảnh hưởng hiệu ứng tán sắc phi tuyến bậc cao ( bậc 3, 4) lên lan truyền Soliton sợi Quang.và khảo sát Soliton quang học ảnh hưởng đồng thời tự dưng xung tán sắc bậc ba • Hướng mở rộng đề tài Trong phạm vi luận văn này, thực giải phương trình GNLS xét đến ảnh hưởng hiệu ứng phi tuyến liên quan đến độ cảm phi tuyến bậc ba, tìm lời giải Soliton lan truyền sợi quang Vấn đề mở rộng xét đến hiệu ứng phi tuyến liên quan đến độ cảm phi tuyến bậc cao Ngoài luận văn trình bày tính toán lý thuyết, kết thu thực nghiệm chưa tiến hành 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồ Quang Quý,2007,"Quang phi tuyến ứng dụng" NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Cao Long Vân, M.Trppenbach, Đinh Xuân Khoa, 2003, "Nhập môn Quang học phi tuyến" tủ sách trường Đại học Vinh [3] Govind P Agrawal, Nonlinear Fiber Optic, Academic Press 2001 [4] Hasegawa, A., Tappert, F.D.: Appl Phys Lett 23, 142 (1973) [5] Mollenauer, L.F., Stolen, R.H., Gordon, J.P.: Phys Rev Lett 45, 1095 (1980) [6] Handbook of Mathematical Functions, Abramowitz and Stegun (ed), NewYork: Dover 196 [7] Nguyễn Việt Hưng, "Lan truyền xung ánh sáng môi trường tán sắc phi tuyến" (Luận văn cao học), Đại học Vinh 2005 [8] Đoàn Thế Ngô Vinh, "Nghiên cứu ảnh hưởng nhiễu loạn nhỏ lên trình lan truyền soliton sợi quang" (Luận văn cao học), Đại học Vinh 2007 [9] Konar, S., Sen, P.K., Kumar, J., J Nonlinear Opt Phys Mater.8, 492 (1999) [10] Malomed, B.A., Prog Opt 43, 71 (2003) [11] LOU Sen-Yue, “Self-Steepening and Third-Order Dispersion Induced Optical Solitons in Fiber” Commun Theor Phys (Beijing, China) 35 (2001) pp 589–592 (2001) 45 [12] Artigas, D., Torner, L., Torres, J.P., Akhmediev, N.: Opt Commun 143, 322 (1997) [13] Li Z, Li Lu, Tian H, Zhou G, Phys Rev Lett, (2000) “ New types of solitary wave solutions for the higher order nonlinear Schrodinger equation, 2000” [...]... nghiên cứu trước rằng Soliton sáng chỉ tồn tại trong sợi quang trong trường hợp tán sắc dị thường ( α1 > 0 ) và Soliton tối chỉ tồn tại trong sợi quang với trường hợp tán sắc thuờng ( α1 < 0 ) Kết luận chương 1 -Trong chương này chúng tôi đã trình bày tổng quan về Soliton quang học Bao gồm cơ sở xuất hiện Soliton quang học, Phương pháp tán xạ ngược, nghiệm các Soliton cơ bản và Soliton bậc cao, Soliton. .. Schrodinger phi tuyến bậc cao mô tả sự lan truyền xung ánh sáng trong sợi quang Và với các giả thiết ta nhận được các soliton sáng và tối 2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời của các hiệu ứng tán sắc và phi tuyến bậc cao lên sự lan truyền soliton trong sợi quang 2.2.1 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời của một số hiệu ứng bậc cao lên sự lan truyền soliton trong sợi quang 30 Trên cơ sở kết quả của những đề tài đã nghiên. .. những đề tài đã nghiên cứu về sự lan truyền xung và ảnh hưởng của các hiệu ứng lên sự hình thành và lan truyền soliton trong sợi quang Trong phần này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu điều kiện tồn tại soliton sáng, tối khi xét ảnh hưởng đồng thời của các hiệu ứng bậc cao: Tán sắc bậc ba, Tán sắc bậc bốn, Tự dựng xung, Tự dịch chuyển tần số, và cả sự có mặt của hiệu ứng phi tuyến bậc năm Sự lan truyền... các soliton tối và 24 sáng Mặt khác, trường hợp tính đến ảnh hưởng của hiệu ứng SRS lên xung, Soliton sáng có thể tồn tại trong trường hợp sợi quang tán sắc thông thường α 3 nếu 3α + 2α > 0 và Soliton tối thể tồn tại trong trường hợp sợi quang tán sắc 4 5 α 3 dị thường nếu 3α + 2α < 0 Điều này khác với kết quả thu được khi chỉ xét 4 5 đến ảnh hưởng của hai hiệu ứng GVD và SPM đã được biết đến ở các nghiên. .. bức, lời giải soliton thu được có phần khác với lời giải soliton khi chỉ xét đến ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha hoặc sự hình thành soliton gây ra khi xét đến sự có mặt của hai hiệu ứng tán sắc bậc ba và tự dựng xung 25 CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG PHI TUYẾN BẬC CAO LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON 2.1 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên quá... là Soliton tối Còn trường hợp B=1 gọi là Soliton sáng H 1.3 Dạng của Soliton tối không đổi trong quá trình lan truyền 17 1.2 Hàm jacobien tổng quát của phương trình Schrodinger Sự lan truyền của xung femto giây trong các sợi quang được mô tả thông qua phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, trong đó bao hàm các hiệu ứng bậc cao như tán sắc bậc hai và bậc ba, Sự tự biến điệu pha bậc hai và bậc. .. phát từ phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng và xem xét một số hiệu ứng phi tuyến, các biểu thức mô tả Soliton sáng, tối đã được dẫn giải Từ kết quả thu được, điều kiện tồn tại Soliton đã được bình luận Như vậy, khi xét đồng thời ảnh hưởng của các hiệu ứng bậc cao như tán sắc bậc ba, tự dựng xung, tán xạ Raman cưỡng bức, vẫn thu được Soliton lan truyền trong sợi quang Đặc biệt, khi xét đến sự... Khi m → 1 bậc thấp nhất, lời giải tương ứng trở thành một lời giải có dạng Soliton tối: U( z , t ) = a1 tanh(kz + ct + δ1 )expi(pz+qt+δ 2 ) (1.63) 23 1.4 Các điều kiện tồn tại Soliton quang học Từ các biểu thức mô tả lời giải Soliton sáng, Soliton tối (1.53) và (1.63) ta xét điều kiện tạo thành soliton ứng với khi có mặt và khi không có mặt tán xạ Raman cưỡng bức, nhận thấy rằng: * Trong trường hợp... → ∞ ) 2 Soliton sáng và Soliton tối cũng đều bị phá huỷ Vì vậy, để tạo thành soliton thì phải có sự cân bằng giữa TOD (được đặc trưng bởi α3) và sự tự dựng xung (đặc trưng bởi α4) Điều này đã được xác định trong các nghiên cứu trước đây * Trường hợp xét đến hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức ( α 5 ≠ 0 ): -Hai điều kiện để tồn tại Soliton sáng, tối (1.64), (1.65) sẽ không còn cần thiết Và trong trường hợp... hiệu ứng SRS ( α 5 = 0 ): - Soliton sáng chỉ tồn tại khi tồn tại đồng thời hai hiệu ứng TOD, SS và α 3α 4 > 0 thỏa mãn (1.64) Soliton tối chỉ tồn tại khi tồn tại đồng thời hai hiệu ứng TOD,SS và thỏa α 3α 4 < 0 mãn (1.65) -Nếu hiệu ứng tán sắc bậc ba không đáng kể, có thể bỏ qua ( α 3 → 0 ); 2 a1=b1=0 => E → 0 , dễ thấy rằng cả Soliton sáng và Soliton tối đều biến mất -Trường hợp hiệu ứng SS không ... giải soliton cho phương trình Schrodinger phi tuyến bậc cao điều kiện tồn soliton • Trong phạm vi đề tài khảo sát ảnh hưởng hiệu ứng tán sắc phi tuyến bậc cao ( bậc 3, 4) lên lan truyền Soliton sợi. .. ứng phi tuyến bậc cao lên trình lan truyền soliton Nghiên cứu ảnh hưởng hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên trình lan truyền Soliton khảo sát ảnh hưởng đồng thời hiệu ứng tán sắc phi tuyến bậc cao lên... hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên trình lan truyền Soliton Chúng ta tìm nghiệm soliton phương trình Schrodinger phi tuyến bậc cao mô tả trình lan truyền sóng ánh sáng môi trường quang học phi tuyến