Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh – Người thầy tận tình bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy, cô trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy, cô khoa toán thầy, cô tổ Giải tích dạy em suốt thời gian qua Em xin bày tỏ lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Trong trình nghiên cứu, với hạn chế thời gian kiến thức thân, khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong bảo thầy, cô góp ý bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Nhung Nguyễn Thị Nhung K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 LỜI CAM ĐOAN Em xin khẳng định đề tài hoàn thành tìm tòi nỗ lực thân,cũng giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh – Người thầy trực tiếp hướng dẫn em Em xin cam đoan kết không trùng với tác giả khác.Nếu trùng em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Người cam đoan Nguyễn Thị Nhung Nguyễn Thị Nhung K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm giải tích hàm 1.2 Một số kiến thức sơ lược lý thuyết nội suy 1.2.1 Bài toán nội suy tổng quát 1.2.2 Đa thức nội suy Lagrange CHƯƠNG 2: XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG HÀM GHÉP TRƠN 11 2.1 Một số định nghĩa hàm ghép trơn 11 2.2 Ví dụ hàm ghép trơn bậc 2, hàm ghép trơn bậc 13 2.3 Đa thức nội suy ghép trơn bậc 13 2.3.1 Phương pháp luận 13 2.3.2 Mô hình toán 14 2.4 Ví dụ xác định hàm nội suy ghép trơn bậc 17 2.5 Tính chất hàm ghép trơn bậc 28 2.5.1 Tính chất 28 2.5.2 Định nghĩa 30 2.5.3 Định lý 30 2.6.Xấp xỉ hàm nhiều biến với độ trơn r 35 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA HÀM GHÉP TRƠN 37 3.1 Sử dụng hàm ghép trơn bậc để tìm đa thức nội suy 37 Nguyễn Thị Nhung K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 3.2 Sử dụng hàm ghép trơn bậc để tính gần giá trị hàm số 40 3.3 Sử dụng hàm ghép trơn để tính gần giá trị đạo hàm 44 3.4 Ý nghĩa hàm ghép trơn 47 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 Nguyễn Thị Nhung K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích số môn khoa học nghiên cứu cách giải gần chủ yếu giải phương trình, giải toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Và nhiệm vụ quan trọng “xấp xỉ hàm số” tức việc thay hàm số có dạng phức tạp hàm cho dạng bảng hàm số đơn giản thuận tiện tính toán Để giải nhiệm vụ sử dụng phương pháp nội suy Trong đa thực nội suy thông thường đa thức Lagrange, đa thức Newton tồn hạn chế tăng mốc nội suy bậc đa thức nội suy tăng lên Cũng tức gặp khó khăn việc tính toán cụ thể Để khắc phục hạn chế người ta sử dụng hàm phép trơn (spline) Kết cho thấy phương pháp có nhiều ưu điểm tiện lợi Vì lí chọn đề tài: “Xấp xỉ hàm số hàm ghép trơn” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu: - Bước đầu làm quen với nghiện cứu khóa học dẫn đến hình thành tư logic - Nắm vững tìm hiểu sâu phương pháp xấp xỉ hàm số hàm ghép trơn Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cách xấp xỉ hàm số hàm ghép trơn - Biết vài tính chất ứng dụng hàm ghép trơn Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc, phân tích Nguyễn Thị Nhung K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 - Phương pháp tổng hợp - Phương pháp so sánh, đánh giá Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Xấp xỉ hàm số hàm ghép trơn Chương 3: Ứng dụng ý nghĩa hàm ghép trơn Nguyễn Thị Nhung K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm giải tích hàm a) Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ Cho tập hợp E mà phần tử kí hiệu  ,  ,  , trường K mà phần tử kí hiệu x, y, z , Giả sử E có hai phép toán: E×E→E - Phép toán cộng (+) : ( ,  ) →    K× E → E - Phép toán nhân (.) : ( x, ) → x. Thỏa mãn tiên đề sau: 1) (   )      (    ) ,  ,  ,   E 2) Tồn   E cho          , 3) Với  , tồn  '  E cho    '   '    4)       ,  ,   E 5) ( x  y ).  x.  y , x, y  K ;   E   E 6) x.(   )  x.  x. , x  K ;  ,   E 7) x.( y. )  ( x y ). ,   E ; x, y  K 8) 1.   , phần tử đơn vị trường K Khi E phép toán gọi không gian vectơ trường K hay gọi K– không gian vectơ Khi K = ℝ thì E gọi không gian vectơ thực (hay không gian tuyến tính thực), K  Nguyễn Thị Nhung E gọi không gian vectơ phức K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp b) Trường ĐHSPHN2 Định nghĩa 1.2 Không gian metric Cho X tập khác rỗng Khi hàm thực f : X  X → ℝ gọi khoảng cách hay metric X tính chất sau thỏa mãn: 1) , x, y  X f ( x, y )  f ( x, y )  x  y 2) f ( x, y )  f ( y , x ) , x, y  X 3) f ( x, z )  f ( x, y )  f ( y , z ) , x, y, z  X Cặp ( X , f ) gọi không gian metric Trong X tập khác rỗng f khoảng cách X gọi không gian metric Ta viết tắt X thay cho ( X , f ) f cố định c) Định nghĩa 1.3 Phiếm hàm tuyến tính Giả sử X Y hai không gian tuyến tính trường K Ánh xạ f : X Y gọi toán tử tuyến tính nếu: 1) f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 ) , x1 , x2  X ,   K ; x  X 2) f ( x)   f ( x) Khi X không gian tuyến tính trường K toán tử tuyến tính f : X  K xác định X lấy giá trị K gọi phiếm hàm tuyến tính X d) Định nghĩa 1.4 Hàm số liên tục Nguyễn Thị Nhung K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Cho hàm số y  f ( x) xác định khoảng (a,b) điểm x0  (a,b) Hàm số gọi hàm số liên tục điểm x0 nếu: lim → ( )= ( ) Điều kiện có đủ để hàm số y  f ( x) liên tục điểm x0 là: lim y  x0 (với ∆ = x  x0 ; ∆ = f ( x0  x)  f ( x0 ) ) Hàm số f gọi hàm số liên tục khoảng (a,b) liên tục điểm khoảng (a,b) e) Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P ( P = ℝ P = ) với ánh xạ từ tập X vào tập số thực ℝ , kí hiệu ∥∙∥ (chuẩn) thỏa mãn ba tiên đề sau: 1) ∥ ∥ = x = 2) ∥ + 3) ∥  Khi ∥ ∥  ∥ ∥ = | | ∥ ∥+∥ , với  x  X ∥ , với  x, y  X , với    ∥ , xX ∥ gọi chuẩn phần tử x X gọi không gian định chuẩn ( X , ∥∙∥) gọi không gian Banach f) Định nghĩa 1.6 Tích vô hướng Cho H không gian tuyến tính K Khi đó: Tích vô hướng H quy tắc cho tương ứng cặp phần tử x, y thuộc H với vô hướng ( x, y ) thuộc K thỏa mãn tiên đề: Nguyễn Thị Nhung K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp 1) Trường ĐHSPHN2 ( x, x)  x = 0; ( x, x) > x ≠ 2) ( x, y )   ( x, y ) , với x  H , với   K ; x, y  H 3) ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ) , với x, y, z  H 4) ( y, x ) = ( , ) Khi : g) , với x, y  H ( x, y ) kí hiệu tích vô hướng x với y Định nghĩa 1.7 Giới hạn dãy số không gian metric Cho dãy phần tử xn  X , với n  phần tử y  X với X không gian metric Khi : y gọi giới hạn dãy { xn } lim d ( xn , y )  n Kí hiệu: lim xn  y d metric xác định X n  1.2 Một số kiến thức sơ lược lý thuyết nội suy 1.2.1 Bài toán nội suy tổng quát a) Bài toán: Giả sử có hàm số y  f ( x) biết giá trị điểm: x0  a  x1  x2   xn  b ; yi  f ( xi ) , với i = ,…, n Hãy tìm đa thức g ( x) đủ đơn giản [a,b] cho : y  f ( x)  g ( x) g ( xi )  yi , i = 0, 1,…, n + Về mặt hình học, toán nội suy diễn đạt sau: Tìm hàm g ( x) có đồ thị qua điểm ( xi , f ( xi )) , y  f ( x) b) Phương pháp: Ta tìm cách xây dựng đa thức : Pn ( x)  a0 x n  a1 x n 1   an1 x  an Nguyễn Thị Nhung K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Vậy định lý chứng minh 2.6.Xấp xỉ hàm nhiều biến với độ trơn r a) Định nghĩa Cho V tập mở Ta định nghĩa dãy  i   C r (V ) dãy phân chia đơn vị thỏa mãn điều kiện sau : +  i   ( x)  với x V + i i a) Mệnh đề Cho hàm số f :   Đồng thời cho chuỗi hàm số fi : V  , fi  C r (V ) thỏa mãn hàm số từ chuỗi fi “xấp xỉ” với f Vi Trong V  Vi V i Nghĩa : ( f  f i ) |Vi   Khi hàm số p xác định đẳng thức: p ( x)   fi ( x ) i ( x ) , x i xấp xỉ với f  Chứng minh Thật vậy, ta đồng f ( x)   f i ( x ) i ( x ) i Nguyễn Thị Nhung 35 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Khi x   ta nhận : = f ( x)  p ( x)  f ( x)  f ( x) ( x) i i i    f p  max sup f ( x)  f i ( x) i i ( x) xVi   Do ta có điều phải chứng minh c ) Bài toán Cho hàm số f :   Giả sử biết giá trị hàm f điểm nút x ( i ) , i  1, n Với độ xác định ε, ta cần tìm hàm số p  C r cho thỏa mãn điều kiện phép xấp xỉ: f  p  max f ( x (i ) )  p ( x (i ) ) 1i  n Nguyễn Thị Nhung 36 ≤ ε K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA HÀM GHÉP TRƠN 3.1 Sử dụng hàm ghép trơn bậc để tìm đa thức nội suy a, Ví dụ 3.1 Hàm y  f ( x) cho bảng sau: xi 10 f i  f ( xi ) 13 14 25 148 Tìm đa thức nội suy Giải Cách 1: Theo công thức nội suy Lagrange ta có: ( L(x) = +8 +14 )( ( ).( )( )( ).( ).( )( ) ).( ) ( )( )( )( ) ( ).( ).( ).( ) ( )( )( )( ) ( ).( ).( ).( + 13 ( )( ( ).( )( ).( )( ) ).( ) −2 −4 −6 −10 25 + 8−2 8−4 8−6 8−10 ) + 148 ( ( )( )( ).( ).( )( ) ).( ) Qua trình tính toán ta có L(x) đa thức bậc Cách 2: Việc sử dụng công thức nội suy Lagrange toán với nhiều mốc nội suy dẫn đến phức tạp dễ nhầm lẫn tính toán Thay việc tìm đa thức nội suy có bậc ta xây dựng hàm ghép trơn bậc Khi việc tính toán trở lên đơn giản Nguyễn Thị Nhung 37 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Ta xây dựng hàm ghép trơn g ( x) đoạn [0,2] ; [2,4] ; [2,6] ; [6,8] ; [8,10] Chẳng hạn ta xây dựng hàm g ( x) đoạn [8,10] sau: Ta có : x0 = ; x1 = ; x2 = x3 = ; x4 = ; x5 = 10 f = f (0) = ; f3 = f (6) = 14 f1 = f (2) = ; ; f = f (8) = 25 f = f (4) = 13 ; f5 = f (10) = 148 d1 = d = d = d = d = Theo công thức (7) ta có: A = 1 3  0   0   0  3 3 0 3 0  0  0   0  1  3 Theo công thức (8) ta có: D = 1 2  0   0   0  1 0  0  1 0   1 1 0 2  1 1  2 0 Theo công thức (9) ta có : Nguyễn Thị Nhung 38 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2  m0     m1   m2  m =   =  m3  m     m5  f          = 0  m   1  m2     m3  m    0  f0  9   8  f1    13  f2   =   f3  14   25  f4     148 f5    Do theo (6) m1 , m2 , m3 , m4 nghiệm hệ phương trình: 4  m1  m2  1 m  m  m 3 3  1 m  m  m 3 3 1  m3  m4 3 ⇒ m1  486 ; 209 m3   Khi với x  [8,10] Nguyễn Thị Nhung 1488 209 ; m4  3  2 5  56 m2   m4  63 209 9150 209 9150 , m5  , d5  209 39 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Theo công thức (3) ta có hàm ghép trơn bậc g(x) đoạn [8,10] sau: ( x5  x)3 ( x  x4 )3 d52 ( x5  x) g ( x)  m4  m5  ( f  m4 ) 6d 6d5 d5 + ( f5  m5 d52 ( x  x4 ) ) d5 9150 1 9150 (10  x ) (10  x)3  ( x  8)3  (25  ) 209 12 12 209 = ( x  8) + (148  ) 1525 3050 (10  x )3  (10  x)  74( x  8) 418 209 = =  1525 22875 11386 x  x  x  3202,26 418 209 11 Tương tự cho đoạn lại 3.2 Sử dụng hàm ghép trơn bậc để tính gần giá trị hàm số a) Ví dụ 3.2 Cho hàm y  f ( x) dạng bảng sau: xi -3 -1 f i  f ( xi ) 39 54 Hãy tính f (2) ; f (2) Giải Nguyễn Thị Nhung 40 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Ta giải cách xấp xỉ hàm f ( x) nhờ hàm ghép trơn bậc g ( x) Ta thấy -2 ∈ [-3,-1] ; ∈ [1,3] Vì ta xác định hàm ghép trơn g ( x) đoạn [-3,-1] [1,3] Ta có: x0 = -3 ; x1 = -1 x2 = ; x3 = f = 39 ; f1 = f2 = ; f = 54 d1 = d2 = d = 2; Theo (7) ta có: A = 1 3  0   = 1 2  0   3  0  1  3 Theo (8) ta có: D 1 2  0  1 1  2 Theo (9) ta có: 0  m  m =  1  m2    0   39  8  f =   5     54  Từ hệ (6) ta có m1, m2 nghiệm hệ phương trình: Nguyễn Thị Nhung 41 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 3  m1  m2  1 m  m    m1   m2  14  26 6  18 + Với x  [-3, -1] ta có m0  , m1  , d1  Khi theo (3) ta được: g ( x)  m0 ( x1  x)3 ( x  x0 )3 d ( x  x)  m1  ( f  m0 ) 6d1 6d1 d1 d12 ( x  x0 ) + ( f1  m1 ) d1 (1  x)3 ( x  3)3 (1  x) ( x  3) =   (39  )  (8  ) 12 12 3 = 39 ( x  3)3  (1  x)  2( x  3) 2 Suy : f (2)  g ( 2) = + + = 22 + Với x  [1,3] m2  18 , m3  , d3  Khi đó: ( x3  x)3 ( x  x2 )3 d32 ( x3  x) g ( x)  m2  m3  ( f  m2 ) 6d 6d d3 + ( f  m3 = d32 ( x  x2 ) ) d3 18 (3  x) ( x  1) (3  x)3   (5  18 )  (54  0) 12 2 Nguyễn Thị Nhung 42 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 (3  x)3  ( x  3)  27.( x  1) 2 = Suy :   27  25 2 f (2)  g (2) = b) Ví dụ 3.3 Hàm y  f ( x) cho bảng sau: xi f i  f ( xi ) Hãy tính f (3) Giải Vì  [2,4] nên ta xác định hàm ghép trơn g ( x) đoạn [2,4] Từ giả thiết theo công thức (6) , (7) , (8) , (9) ta tìm m1 , m2 từ hệ phương trình sau: 2  m1  m2     m m   + Với x  [2,4] , ta có m2   123  m1  23  m   78  23 78 , m3  , d3  23 Khi : Nguyễn Thị Nhung 43 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp g ( x)  m2 Trường ĐHSPHN2 ( x3  x)3 ( x  x2 )3 d ( x  x)  m3  ( f  m2 ) 6d 6d d3 + =  d32 ( x  x2 ) ( f3  m3 ) d3 13 49 (4  x )3  (4  x )  ( x  2) 46 23 Suy : f (3)  g (3) =  13 49 54    46 23 23 c) Bài tập áp dụng Cho f ( x) = cos x  0,    3 Hãy tính gần giá trị f ( ) ; f ( ) với phân hoạch  0,   4    0, ,   theo cách   3.3 Sử dụng hàm ghép trơn để tính gần giá trị đạo hàm a) Ví dụ 3.4 Hàm y  f ( x) cho bảng sau: xi f i  f ( xi ) 64 Hãy tính f '(3) , f "(3) Giải Ta xấp xỉ hàm y  f ( x) hàm ghép trơn bậc g ( x) Nguyễn Thị Nhung 44 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Khi đó: f '(3)  g '(3) f "(3)  g "(3) Vì  [2,4] nên ta cần tìm g ( x) [2,4] Theo giả thiết áp dụng công thức (6) ; (7) ; (8) ; (9) ta tìm m1 , m2 nghiệm hệ phương trình: 2  m1  m2  1 m  m   6  21 90  m1  23  m  468  23 +Với x  [2,4] m2  468 , m3  , d  23 Theo (3) ta có hàm g ( x) đoạn [2,4] sau: g ( x)  m2 ( x3  x)3 ( x  x2 )3 d ( x  x)  m3  ( f  m2 ) 6d3 6d d3 d32 ( x  x2 ) + ( f3  m3 ) d3 = 468 468 (4  x ) ( x  2) (4  x )3   (8  )  (64  0) 23.12 23 2 = 39 64 (4  x )3  ( x  4)  32.( x  2) 23 23 Nguyễn Thị Nhung 45 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 ⇒ g '( x)   ⇒ g "( x)  117 800 (4  x)  23 23 234 (4  x) 23 Khi ta tìm : f '(3)  g '(3)  683 23 f "(3)  g "(3)  234 23 b)Ví dụ 3.5 Hãy tính f '( 2) , f "(2) hàm y  f ( x) Ví dụ 3.2 Giải Theo ví dụ 3.2 ta tìm hàm g ( x) đoạn [-3,-1] sau: g ( x) 39 ( x  3)3  (1  x)  2.( x  3) 2 =  g '( x) = 35 ( x  3)2  2 Vì -2  [-3,-1] ta suy ra: f '( 2)  g '(2)  16 Tương tự theo Ví dụ 3.2 ta có hàm g ( x) đoạn [1,3] sau: g ( x) = ⇒ g '( x)  g "( x) = = 3 (3  x)3  ( x  3)  27.( x  1) 2 61  (3  x )  2 9.(3  x) Vì  [1,3] ta suy ra: f "(2)  g "(2)  Nguyễn Thị Nhung 46 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Vậy : f '( 2)  16 ; f "(2)  b) Bài tập áp dụng Hàm y  f ( x) cho dạng bảng sau: xi −2 f i  f ( xi ) − 4 2 Hãy tính f '(  ) , f "(1) 3.4 Ý nghĩa hàm ghép trơn - Thay việc tìm đa thức nội suy có bậc cao đoạn ta xây dựng hàm ghép trơn bậc Khi việc tính toán trở lên đơn giản nhiều - Làm đồ thị hàm số trở lên đơn giản - Hàm ghép trơn có ứng dụng cao gần với thực tế Những kĩ sư chuyên vẽ sơ đồ thiết kế dùng thiết bị học gọi spline để vẽ đường cong đẹp, có thẩm mĩ Họ xác định tập hơp điểm nút bẻ cong giải plastic hay gõ linh hoạt (spline) quanh chúng Kết vết chúng tạo thành đường cong Tiến trình tương đương với nội suy spline mặt toán học Nguyễn Thị Nhung 47 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 KẾT LUẬN Hàm ghép trơn mang lại thuận lợi định cho việc xấp xỉ hàm số Mức độ phức tạp việc tính toán giảm xuống mức đáng kể Sai sót giảm bớt.Vì khóa luận em trình bày số khái niệm , cách xây dựng hàm ghép trơn, cách xấp xỉ hàm số hàm ghép trơn để người thấy ưu điểm Cuối em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Giải tích khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh giúp đỡ , bảo, hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thân em nỗ lực cố gắng song có hạn chế trình độ chuyên môn thời gian có hạn nên chắn khóa luận tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện Nguyễn Thị Nhung 48 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (2005) , Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội Nguồn tài liệu trang web Math.vn, Violet.vn Nguyễn Thị Nhung 49 K35A – CN Toán [...]... một điểm c thuộc (a,b) Nhưng khi đó hàm số f ( x) đạt cực trị tại điểm này và theo định lí Fermat ta có f '(c )  0 Như vậy định lí được chứng minh Nguyễn Thị Nhung 10 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 CHƯƠNG 2: XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG HÀM GHÉP TRƠN 2.1 Một số định nghĩa về hàm ghép trơn a) Định nghĩa 2.1 Hàm ghép trơn là những đa thức từng khúc được ghép nối với nhau b) Định nghĩa 2.2... tuyến ngoài;  : là biên của D 2.2 Ví dụ về hàm ghép trơn bậc 2, hàm ghép trơn bậc 3 a) Ví dụ 2.1 Hàm ghép trơn bậc 2 2 (t  1)  1 S(t) =  2 1  (t  1) , 2  t  0 ,0  t  2 Ta thấy : + S(t) là hàm thuộc lớp C[-2,2] + S(t) là đa thức bậc 2 trên các đoạn con [-2,0] và [0,2] Theo định nghĩa 2.2 ta có S(t) là hàm ghép trơn bậc 2 b) Ví dụ 2.2 Hàm ghép trơn bậc 3 57  3 3 27 2 89  10 x  20 x... nội suy nhờ những hàm ghép trơn 2.3.2 Mô hình bài toán a) Bài toán Giả sử f ( x) xác định trên đoạn [a,b] Với yi  f ( xi ) và yi '  f '( xi ) là các giá trị của hàm số và giá trị đạo hàm của hàm y  f ( x) tại các mốc xi (i = 0,1,…, n) là đã cho Hãy tìm hàm nội suy ghép trơn bậc 3 g ( x) sao cho: g ( xi )  yi và g '( xi )  yi ' với mọi i = 0, 1,…, n b) Cách giải bài toán Vì đạo hàm bậc 2 của g (... CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2  ={ a  x0  x1   xn  b } và { } lần lượt là các giá trị của hàm số f ( x) tại các điểm { } Khi đó hàm ghép trơn bậc 3 một biến số là hàm g ( x) thỏa mãn 4 điều kiện sau: 1) g ( x) thuộc C2[a,b] , tức g ( x) là hàm số liên tục và có các đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên đoạn [a,b] 2) g ( x) là một đa thức bậc 3 trên mỗi đoạn con [ xk 1 , xk ], k  0,...  182  ,3  x  5 ,5  x  6 ,6  x  8 Ta có : + k ( x) là hàm thuộc lớp [ , ] + Trên ba đoạn con [3,5] ; [5,6] ; [6,8] ta thấy k ( x) đều là các đa thức bậc 3 Như vậy theo định nghĩa 2.2 ta có k ( x) là hàm ghép trơn bậc 3 2.3 Đa thức nội suy ghép trơn bậc 3 2.3.1 Phương pháp luận - Phương pháp nội suy bằng đa thức có nhược điểm là nếu số mốc nội suy tăng lên thì bậc của đa thức cũng tăng lên Điều... được (n-1) giá trị m1 , m2 , m3 , , mn1 Sau đó thay m0  mn  0 và (n-1) giá trị này vào (3) ta thu được hàm g ( x) cần tìm 2.4 Ví dụ về xác định hàm nội suy ghép trơn bậc 3 a) Ví dụ 2.3 Cho hàm y  f ( x) được xác định bởi bảng sau: xi 1 2 3 4 f i  f ( xi ) 2 1 3 2 Hãy tìm hàm nội suy ghép trơn bậc g ( x) Giải Nguyễn Thị Nhung 17 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Ta có: x0 = 1... ta định nghĩa hàm ghép trơn bậc 3 hai biến số g ( x, y ) là hàm thỏa mãn : 1) g ( x, y ) thuộc C2(D) 2) Mọi ( x, y ) thuộc D, g ( x, y ) là một đa thức bậc 3 theo 2 biến có dạng: 3 g ( x, y ) = gk ,l ( x, y ) = k ,l i, j a ( xk  x)i ( yl  y ) j i , j 0 Trong đó : k = 0,n và l = 0, m 3) Trên Dh , g ( x, y ) sẽ có những giá trị cụ thể: g ( xk , yl )  f kl với k = 0,n ; l = 0, m 4) Hàm số g ( x, y... 2  46 x  54 Vậy hàm nội suy ghép trơn bậc 3 g ( x) được xác định như sau :  x3  3x 2  x  3  g ( x) = 2 x3  15 x 2  35 x  27  x3  12 x 2  46 x  54  ,1  x  2 ,2  x  3 ,3  x  4 b) Ví dụ 2.4 Cho hàm y  f ( x) dưới dạng bảng sau: xi f i  f ( xi ) Nguyễn Thị Nhung -2 -1 1 3 -36 -7 3 34 20 K35A – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Hãy tìm hàm nội suy ghép trơn bậc 3 h( x)...  x 88 88 88 88 Vậy hàm nội suy ghép trơn bậc 3 h( x) cần tìm là : 155  213 3 639 2 97  44 x  22 x  4 x  22  153 2 29 65  81 h( x)   x 3  x  x 44 22 44  22 565  111 3 999 2 1189  x  x  x   88 88 88 88 , 2  x  1 , 1  x  1 ,1  x  3 c)Ví dụ 2.5 Hàm y  f ( x) cho dưới dạng bảng sau: xi -3 -2 1 3 f i  f ( xi ) 58 19 4 -11 Hãy tìm hàm nội suy ghép trơn bậc 3 k ( x) Giải... Trường ĐHSPHN2  ( g )   (u )   (u  g )   (u ) với mọi hàm u thuộc W [a,b], Hay : u ( xk )  uk với mọi k = 0,1,…,n Đồng thời ta suy ra tính duy nhất của g ( x) làm cho phiếm hàm đạt cực tiểu 2.5.2 Định nghĩa Hàm ghép trơn bậc 3 từng khúc là hàm thuộc lớp W [a,b] nhận giá trị cho trước tại các điểm mốc nội suy làm cực tiểu phiếm hàm: b 2  (u )   u "( x )  dx a 2.5.3 Định lý Nếu f ∈ Ck[a,b] ... vững tìm hiểu sâu phương pháp xấp xỉ hàm số hàm ghép trơn Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cách xấp xỉ hàm số hàm ghép trơn - Biết vài tính chất ứng dụng hàm ghép trơn Phương pháp nghiên cứu -... luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 CHƯƠNG 2: XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG HÀM GHÉP TRƠN 2.1 Một số định nghĩa hàm ghép trơn a) Định nghĩa 2.1 Hàm ghép trơn đa thức khúc ghép nối với b) Định nghĩa 2.2 Trên phân... CHƯƠNG 2: XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG HÀM GHÉP TRƠN 11 2.1 Một số định nghĩa hàm ghép trơn 11 2.2 Ví dụ hàm ghép trơn bậc 2, hàm ghép trơn bậc 13 2.3 Đa thức nội suy ghép trơn bậc 13 2.3.1