Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***************** Trần thị ly Một số phương pháp giải phương trình bậc ba toán phổ thông KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành : Đại số Người hướng dẫn khoa học Nguyễn Thị Bình Hà NộI - 2008 -1- Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy giáo, cô giáo, em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể thầy, cô khoa Toán - người chăm lo, dìu dắt cho chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Nguyễn Thị Bình - người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Do trình độ thân nhiều hạn chế, cố gắng luận văn em tránh khỏi thiếu sót Vì em mong đóng góp ý kiến thầy, cô khoa bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên Trần Thị Ly -2- Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập, nghiên cứu bậc phổ thông trình học đại học Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy cô giáo tổ Đại số khoa toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình cô giáo Nguyễn Thị Bình Vì em xin khẳng định kết đề tài: ”Một số phương pháp giải phương trình bậc ba toán phổ thông” trùng lặp với kết đề tài khác Hà nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên Trần Thị Ly -3- Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Lời cảm ơn……………………………………………………………… Lời cam đoan……………………………………………………………… Mục lục…………………………………………………………………… Mở đầu…………………………………………………………………… Chương 1: Một số kiến thức liên quan…………………………………… 1.1 Đa thức…………………………………………………………… 1.2 Phương trình ẩn……………………………………………… Chương 2: Các phương pháp giải phương trình bậc ba toán phổ thông……………………………………………………………………… 2.1 Giải phương trình bậc ba phương pháp Cacnado…………… 2.2 Các phương pháp giải khác phương trình bậc ba…………… 18 2.3 Giải phương trình bậc ba máy tính điện tử…………………… 37 2.4 Tính chất nghiệm phương trình bậc ba……………………… 39 Chương 3: ứng dụng hệ thức Vieta cho phương trình bậc ba…………… 45 3.1 Kiến thức bản…………………………………………………… 45 3.2 Các ứng dụng ……………………………………………………… 45 Kết luận…………………………………………………………………… 59 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 60 -4- Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Mở đầu Trong nhà trường phổ thông môn toán giữ vị trí vô quan trọng Nó giúp học sinh học tốt hầu hết môn học công cụ nhiều ngành khoa học kĩ thuật, có nhiều ứng dụng to lớn đời sống Muốn học giỏi nói chung học giỏi toán nói riêng phải luyện tập, thực hành nhiều Nghĩa việc nắm rõ lý thuyết em phải làm nhiều tập Đối với học sinh tập nhiều đa dạng thời gian hạn hẹp đồng thời em khó có điều kiện chọn lọc toán hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập rèn luyện tư toán học Trong môn toán, phương trình giữ vị trí quan trọng đối tượng nghiên cứu Đại số mà công cụ đắc lực giải tích Nó giới thiệu từ năm đầu bậc phổ thông dạng đơn giản Đa phần em làm quen với phương trình bậc một, bậc hai phương trình bậc cao em làm quen Ngày phương trình bậc ba, bậc bốn giải thức Xong phổ thông số phức đưa vào mức giới thiệu, việc áp dụng cách giải cho em dễ hiểu dễ nắm bắt vấn đề Với lí thiết thực với niềm đam mê thân hướng dẫn nhiệt tình cô giáo Nguyễn Thị Bình em mạnh dạn thực luận văn với tiêu đề: ”Một số phương pháp giải phương trình bậc ba toán phổ thông” Đề tài em bao gồm nội dung sau: Chương 1: Một số kiến thức liên quan Chương 2: Các phương pháp giải phương trình bậc ba toán phổ thông Chương 3: ứng dụng hệ thức Vieta cho phương trình bậc ba -5- Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Chương 1: số kiến thức liên quan 1.1 Đa thức 1.1.1 Bậc nghiệm đa thức Cho đa thức f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn aixi - hạng tử thứ i - hệ tử a0 - hệ tử tự an  an hệ tử cao Đa thức không đa thức có tất hệ tử không * Bậc đa thức Bậc đa thức khác 0: f(x) = a0 + a1x + …+ an-1xn-1 + anxn với an  n Đối với đa thức không ta bảo bậc * Nghiệm đa thức Giả sử c phần tử tùy ý vành A f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn (an  0) đa thức tùy ý vành A[x] +) Phần tử f(c) = a0 + a1c + … + an-1cn-1 + ancn  A có cách thay x c gọi giá trị f(x) c +) Nếu f(c) = c nghiệm f(x) Tìm nghiệm f(x) A gọi giải phương trình Đại số bậc n có dạng: a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn = A +) Giả sử A trường c  A, f(x)  A[x], c nghiệm bội cấp m f(x) chia hết cho (x - c)m f(x) không chia hết cho (x - c)m+1 Nếu m = người ta gọi c nghiệm đơn m = c nghiệm kép -6- Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Người ta coi đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng 1.1.2 Một số kết định lí d ' Alembert: Mọi đa thức bậc khác không với hệ số phức có nghiệm phức Định lí Bezout: Giả sử A trường, c  A, f(x)  A[x] Dư phép chia f(x) cho (x – c) f(c) Chứng minh: Nếu ta chia f(x) cho (x – c) dư không đa thức bậc không Vì bậc (x - c) = Vậy dư phần tử r  A Ta có f(x) = (x - c).q(x) + r Thay x c ta f(c) = 0.q(c) + r = r Vậy r = f(c) Hệ : Phần tử c nghiệm f(x) A[x] f(x) chia hết cho (x - c) A[x] Công thức Vieta Cho f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an  K[x] Tồn trường A  K, f(x) có n nghiệm α 1, α 2, , α n-1, α n A thoả mãn a   α1  α   α n   α n  (-1) a   a  2 α α  α α   α α  (-1)  n 1 n a     a  α α α α  (-1) n n n 1 n  a  Bổ đề: Mọi đa thức với hệ số thực có bậc lẻ có nghiệm thực -7- Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp * Nghiệm hữu tỉ Cho f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0  Z[x] Nếu phân số tối giản p q p a nghiệm f(x)  q an Hệ Với số hữu tỉ α nghiệm đa thức: f(x) = xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = α số nguyên α ước a0 Phân số tối giản p nghiệm f(x)  p – mq f  m ,  m  Z q p  q | f(  1) Trường hợp đặc biệt:   p  q | f(1) 1.2 Phương trình ẩn Phương trình đa thức ẩn phương trình dạng: anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = (1) Trong đó: a i - hệ tử , i  1,n x i - ẩn, i  1,n + n = (1) có dạng a1x  a  + n = (1) có dạng a x  a1x  a  + n = (1) có dạng a 3x3  a x  a1x  a  -8- Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Chương 2: Các phương pháp giảI phương trình bậc ba toán phổ thông 2.1 Giải phương trình bậc ba phương pháp Cacnado Phương trình hàm bậc ba nghiên cứu kĩ chương trình phổ thông luyện thi đại học góc độ giải tích Tuy nhiên sách trình bày công thức nghiệm phương trình bậc ba, mục chứng minh công thức Cacnado cho việc giải phương trình bậc ba, công thức có ích việc chứng minh tính chất nghiệm phương trình bậc ba mục Trước tiên ta nhận xét với phương trình bậc ba tổng quát a1x3  b1x  c1x  d1  ( a1  ) Đều đưa dạng: x  ax  bx  c  Đặt x  y  (*) (1.1) a phương trình (1.1) trở thành: a a a (y  )3  a(y  )  b(y  )  c  3 Khai triển nhóm số hạng ta được: a2 2a ab y  (b  )y  (   c)  27 3  a2 p  b  Đặt  ta có phương trình sau: y3  py  q  q  2a  ab  c  27 Dùng phép Vieta y  z  (z  p vào phương trình (1.2) ta được: 3z p p )  p(z  )  q  3z 3z -9- (1.2) Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp p3 q0  z  27z 3 p3  qz   z  27 Đặt t  z ta phương trình t  qt  p3 0 27 (1.3) Phương trình (1.3) có nghiệm (thực phức) q q p3 t1,2     27 q q p3 Suy z     27 Ta biết có giá trị (kể giá trị phức) là: ek  cos 2k 2k  isin 3 với k = 0,1,2 3 Nghĩa e0  1; e1    i ; e2    i 2 2 Trong i đơn vị ảo i2  1 hay i  1 Dễ thấy rằng: 3 e1e  (  i )(  i )  2 2 Tổng quát t có giá trị là: t1 , t1e1 , t1e2 t1 giá trị thực Như giá trị z ứng với giá trị t sau: Giả sử z  t1 cho giá trị là: q q p3 ; z11  z10e1 ; z12  z10e2 z10     27 - 10 - t Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Có ba nghiệm phân biệt biết số nghiệm số có hai nghiệm đối Lời giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x , x x1  x3  x1  x  x3  m   x  m  Với x  m  thay vào (2) ta được: (m  1)3  (m  1)3  (m  1)  2m   m  Với m = thay vào (2) ta được:  x1  (2)  x  2x  x    (x  1)(x  x  2)    x   x  1 Ta có x1  x3  thoả mãn điều kiện Vậy với m = thoả mãn điều kiện đầu 3.2.2 ứng dụng Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng K nghiệm Phương pháp chung Bước 1: Thiết lập hệ thức Vieta nghiệm phương trình (I) Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I) Ví dụ 3: Giả sử phương trình 2x3  x  m  (3) có ba nghiệm phân biệt x1, x , x Tính tổng A  x12  x 22  x 32 Lời giải:  x  x  x    Theo giả thiết ta có:  x1x  x x  x 3x1   m  x1 x x   - 48 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp A  x12  x 2  x 32  (x1  x  x )  2(x1x  x x  x 3x1 )  Chú ý 1: Nếu A  x1n  x 2n  x3n , n  * việc tính biểu thức A lời giải ví dụ khó khăn Khi ta làm toán theo bước sau: + Bước 1: Đặt g(x)  x n , f (x)  ax  bx  cx  d + Bước 2: Chia g(x) cho f(x) ta g(x) = f(x)h(x) + r(x)  g(xi n )  r(x i ) , i = 1, 2, (Vì x i nghiệm phương trình f(x) = 0) + Bước 3: Tính biểu thức A theo cách làm ví dụ 3.2.3 ứng dụng Bài toán 3: Tìm tham số m để phương trình f(x, m) = có nghiệm thoả mãn K Phương pháp chung Bài toán thường giải phương pháp điều kiện cần đủ, ta thực theo bước sau: Bước 1: Điều kiện cần Giả sử phương trình có ba nghiệm, ta có hệ thức Vieta nghiệm Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua phương trình f(x, m) = ta suy điều kiện cho tham số Bước 3: Điều kiện đủ Ví dụ 4: Xác định m để phương trình x3  3mx  3x  3m   (4) có ba nghiệm phân biệt x1, x , x thoả mãn x12  x 2  x 32  15 Lời giải: Cách 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x , x đó: - 49 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp  x1  x  x  3m   x1x  x x  x x1  3  x x x  3m   Khi đó: 15  x12  x 22  x32  (x1  x  x3 )2  2(x1x  x x  x 3x1)  9m2   m2   m  Điều kiện đủ: Viết lại phương trình dạng: x  (x  1)[x  (3m  1)x  3m  2]    g(x)  x  (3m  1)x  3m   (*) Ta phải chứng minh với m  (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức chứng minh:  g  9m  6m    với m    m  g(1)    Vậy với m  thoả mãn điều kiện đầu Cách 2: Viết lại phương trình dạng x  (x  1)[x  (3m  1)x  3m  2]    g(x)  x  (3m  1)x  3m   (*) Trước hết (4) có ba nghiệm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt x   g  9m  6m      m  (**) g(1)  m  Với điều kiện (4) có ba nghiệm phân biệt x1, x , x thoả mãn:  x1  x  x  3m   x1x  x x  x x1  3  x x x  3m   - 50 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Khi đó: 15  x12  x 22  x32  (x1  x  x3 )2  2(x1x  x x  x 3x1)  9m2   m   m  thoả mãn (**) Vậy với m  thoả mãn điều kiện dầu 3.2.4 ứng dụng Bài toán 4: Cho phương trình ax3  bx  cx  d  (a  0) (5) có ba nghiệm x1, x , x Tìm điều kiện cần đủ để x1, x , x lập thành cấp số cộng Phương pháp chung Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng, đó: x1  x3  2x b b b Ta có: x1  x  x    3x    x   a a 3a Với x   a( b thay vào (5) ta được: 3a b b b )  b( )  c( )  d   2b3  9abc  27a 2d  (6) 3a 3a 3a Đó điều kiện cần để (5) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Điều kiện đủ: Từ (6) suy phương trình có nghiệm x   b Khi đó: 3a b b b 2b x  x  x    x1  x     x1  x    2x a 3a a 3a  x1,x ,x lập thành cấp số cộng Vậy điều kiện cần đủ để (5) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng là: 2b3  9abc  27a 2d  - 51 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 5: Xác định m để phương trình x3  3x  9x  m  (7) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng, đó: x1  x3  2x (*) x1  x  x3   3x   x  Với x  thay vào (7) ta được: 11 – m =  m  11 Đó điều kiện cần để (7) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Điều kiện đủ: Với m = 11  x1   12  (7)  x  3x  9x  11   (x  1)(x  2x  11)    x    x   12 Thoả mãn (*) Vậy với m = 11 thoả mãn điều kiện đầu Bài toán 5: Cho phương trình ax3  bx  cx  d  (a  0) (8) có ba nghiệm x1, x , x Tìm điều kiện cần đủ để x1, x , x lập thành cấp số nhân Phương pháp chung Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, đó: x1x  x 2 , x1  x  x   x1x  x x  x x  b a c a - 52 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp  x 1x  x x  x 2   x (x1  x  x )  Với x   c a c c  x2   a b c thay vào (8) ta được: b c c c a( )3  b( )  c( )  d   ac3  b 3d (**) Đó điều kiện b b b cần để (8) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Điều kiện đủ: c Từ (**) suy phương trình có nghiệm x   Khi đó: b c b c x (x1  x  x )  ( )( )   x1x  x x  x 3x1  x1x  x 2 b a a  x1,x ,x lập thành cấp số nhân Vậy điều kiện cần đủ để (8) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân ac3  b3d Ví dụ 6: Xác định m để phương trình x3  2x  (m  1)x  2(m  1)  (9) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, đó: x1x3  x 22 , x1  x  x3  2 - 53 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp x1 x  x x  x x  m   x1 x  x x  x 2  m   x (x1  x  x )  m   x2   Với x   m 1 m 1 thay vào (9) ta được: m 1 m 1 m 1 )  2( )  (m  1)( )  2(m  1)  2  m  1  (m  1)(m  2m  15)   m    m  5 ( Đó điều kiện cần để (9) có ba nghiêm lập thành cấp số nhân Điều kiện đủ: + m = - x  không thoả mãn (9)  x  2x    x    + m = (9)  x3  2x  4x    (x  2)(x  4)   x  2 không thoả mãn + m = - (9)  x3  2x  4x    x  2(x  4)   x  không thoả mãn Vậy không tồn m thoả mãn điều kiện đầu 3.2.5 ứng dụng (ứng dụng giải hệ phương trình) Bài toán 6: Giải hệ phương trình Phương pháp chung Chuyển hệ cho dạng: - 54 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp x  y  z  A   xy  yz  zx  B  xyz  C  Khi x, y, z nghiệm phương trình u  Au  Bu  C  (10) áp dụng phương pháp giải biết phương trình bậc ba để giải (10) Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  x  y  z     xy  yz  zx     xyz   (*) Lời giải Giả sử x, y, z nghiệm phương trình hệ (*) Theo hệ thức Vieta cho phương trình bậc ba ta có x, y, z nghiệm phương trình: b c d X3  X  X   a a a  X3  0X  X  ( )   X3  X    4X3  3X  (1) Đặt X  cos t, X  (1)  4cos3 t  3cos t   cos3t  Ta có 2    cos  cos(  2) 3 - 55 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Từ ta thấy phương trình (1) có nghiệm là:  5 7 X1  cos , X  cos , X  cos 9  5 7 Vậy hệ phương trình (*) có hệ nghiệm (cos ,cos ,cos ) (hệ nghiệm 9 hoán vị) Chú ý 2: x  y  z  a  Nếu hệ cho có dạng  x  y  z  b (a, b, c   , n  3, n   ) ta thực x n  yn  z n  c  toán theo bước sau: Bước 1: Từ x  y2  z  b ta tính xy + yz + zx = d x  y  z  a  Đặt xyz = k suy  xy  yz  zx  d  xyz  k  Bước 2: Xác định k theo bước ý Bước 3: Giải hệ phương trình với k tìm 3.2.6 Sử dụng định lí Viet cho điểm cực trị Cho hàm số y = f(x) = ax3  bx2  cx  d (a  0) Ta có: y'  f ' (x)  3ax2  2bx  c Hàm số y = f(x) có cực trị  y = f(x) có cực đại, cực tiểu  f ' (x)  có nghiệm phân biệt  '  b2  3ac  Giả sử x1,2 nghiệm phương trình f ' (x)  - 56 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp b  b2  3ac  x1,2  3a Khi hàm số đạt cực trị x1,x2 Theo định nghĩa ta có cực trị hàm số  b  y1  f (x1 )  f (   b   y  f (x )  f ( b2  3ac ) 3a b2  3ac ) 3a Trong trường hợp x1,x2 nghiệm vô tỉ cực trị f (x1),f (x2 ) cần phải tính theo thuật toán sau: Bước 1: Thực phép chia f(x) cho f ' (x) ta được: b b bc f (x)  ( x  )f ' (x)  (c  )x  (d  ) 9a 3a 9a Tức là: f (x)  q(x)f ' (x)  r(x) b bc  y  f (x )  r(x )  (c  )x  (d  ) 1  f (x1 )  3a 9a Bước 2: Do  ' nên  f (x )   y  f (x )  r(x )  (c  b )x  (d  bc ) 2 2  3a 9a ' Hay phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu có dạng: b bc y = f(x) tức y  (c  )x  (d  ) 3a 9a Ví dụ 8: Cho f (x)  x  (cosa  3sin a)x  8(1  cos 2a)x  a Chứng minh rằng: Hàm số có cực đại, cực tiểu b Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x Chứng minh rằng: x12  x 2  18 Lời giải - 57 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp a Xét phương trình: f ' (x)  2x  2(cosa  3sin a)x  8(1  cos2a)  Ta có: '  (cosa  3sin a)  16(1  cos 2a) '  (cosa  3sin a)  32cos a  0, a cosa  cosa  Nếu  '  0, a   cosa  3sin a  sin a  Suy  cos a  sin a  (vô lí) Từ suy ra: '  0, a  f ' (x)  có nghiệm phân biệt x1 , x hàm số đạt cực trị x1 , x  x  x  3sin a  cosa b Theo định lí Vieta ta có   x1x  4(1  cos 2a)  x12  x 22  (x1  x )2  2x1x  (3sin a  cosa)2  8(1  cos2a)  (9sin a  6sin a cosa  cos a)  8(2cos a)  9sin a  6sin a cosa  17cos a Khi bất đẳng thức: x12  x 2  18  9sin a  6sina cosa  17cos a  18(sin a  cos a)   (3sin a  cosa)2 (*) Bất đẳng thức (*) nên toán chứng minh Ví dụ 9: Tìm m để hàm số f (x)  x  mx  x  m  có khoảng cách điểm cực đại cực tiểu nhỏ Lời giải - 58 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Do f ' (x)  x  2mx   có nghiệm phân biệt x1 , x hàm số đạt cực trị x1 , x với điểm cực trị A(x1, y1 ), B(x , y2 ) Thực phép chia 2 f (x) cho f ' (x) ta có: f (x)  (x  m)f ' (x)  (m  1)x  ( m  1) 3 f (x )  Do  ' nên f (x )   ' 2  y  f (x )   (m  1)x  ( m  1) 1  3   y  f (x )   (m  1)x  ( m  1) 2  3 Ta có AB2  (x  x1 )2  (y2  y1)2 =(x -x1 )2 + (m2 +1)2 (x -x1)2   = (x +x1 )2 -4x 2x1  1+ (m2 +1)2      =  4m2 +4 1+ (m2 +1)2  ³4(1+ )    AB  13 Vậy AB  13 xảy m=0 Bài tập đề nghị x  y  z  a  Bài 1: Giải hệ phương trình  x  y  z  a  x  y3  z  a   x  y  z  a(x  y)  a x  a  Bài 2: Giải hệ phương trình  x  y  z  b(x  y)  b x  b3 (a,b,c đôi  x  y  z  c(x  y)  c x  c3  khác nhau) - 59 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Bài 3: Chứng minh rằng: 2 sin  3 sin Bài 4: Tính giá trị biểu thức M  cos  6 sin 8 2 4 8  cos  cos 7 Bài 5: Tìm phần nguyên S xác định S  tg 3 2 3 2  tg  2(tg  tg ) 7 7 Bài 6: Tính giá trị biểu thức S  tg6100  tg6 500  tg6 700 Bài 7: Tìm m để hàm số f (x)  x  mx  mx  Đạt cực trị x1 , x thỏa mãn x1  x  Bài 8: Tìm m để hàm số f (x)  x  3m x m có điểm cực đại cực tiểu nằm phía đường thẳng y = x Bài 9: Gọi x1, x , x ba nghiệm phương trình x  3x   Hãy tính A  x18  x 28  x 38  x sin   ysin 2  zsin 3  sin 4  Bài 10: Giải hệ phương trình  x sin   ysin 2  zsin 3  sin 4  x sin   ysin   zsin 3  sin   Với xsin .xsin   cos ,cos ,cos  đôi khác - 60 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Kết luận Chúng ta biết toán liên quan đến phương trình bậc ba, hàm bậc ba toán đa dạng Tuy khó để tìm lời giải hay ngắn gọn đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức thật kỹ tính toán thành thạo Trong khoá luận em đưa kiến thức phương trình bậc ba hàm bậc ba, ứng dụng phương trình bậc ba toán học Mặc dù toán đưa có nhiều phương pháp giải khuân khổ khoá luận lực thân nhiều hạn chế nên khoá luận em chưa nêu hết đầy đủ hệ thống phương pháp giải chúng Hơn lần em làm quen với nghiên cứu khoa học nên trình thực đề tài em không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy, cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khoá luận em hoàn thiện - 61 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Nguyễn Văn Mậu (2001), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, Nxb Giáo dục 2- Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2002), Phương pháp giải tích, Nxb Giáo dục 3- TS Tạ Duy Phượng (2004), Phương trình bậc ba hệ thức tam giác, Nxb Giáo dục 4- Trần Phương (2002), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn Toán hàm số, Nxb Hà Nội 5- Báo toán học tuổi trẻ - 62 - [...]... sử dụng để giải phương trình bậc ba 1 Sử dụng phương trình bậc hai để giải và biện luận phương trình bậc ba (phương pháp phân tích thành nhân tử) 2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 3 Sử dụng phương pháp đồ thị để giải và biện luận phương trình bậc ba 2.2.1 Sử dụng phương trình bậc hai để giải và biện luận phương trình bậc ba Phương pháp chung Cho phương trình: ax 3  bx 2  cx  d  0 Ta thực hiện theo... một phương trình bậc ba nào đó ta nên tìm ra những lời giải hay và ngắn gọn nhất Sau đây là một số phương pháp được coi là tối ưu nhất để giải các dạng của phương trình bậc ba Tuy nhiên trong sách giáo khoa phổ thông hiện nay kiến thức về số phức mới chỉ đựơc giới thiệu sơ qua trong chương trình toán lớp 12 nên học sinh chưa thể làm thành thạo tất cả các bài toán liên quan đến phương trình bậc ba trên... trường số phức được Vì vậy để cho người đọc nắm được 1 cách nhanh nhất mục đích yêu cầu của bài toán ta chỉ giải những bài toán này trên trường số thực, từ đó sẽ tự vận dụng và mở rộng những kiến thức đó và giải bài toán trên trường số phức 2.2 Các phương pháp giải khác của phương trình bậc ba Trong chủ đề này chúng ta sẽ quan tâm tới 3 phương pháp chủ yếu được sử dụng để giải phương trình bậc ba 1 Sử... Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp  7 5 x1  cos ; x 2  cos ; x 3  cos 9 9 9 (*) Chú ý Đối với phương trình bậc ba tổng quát hay phương trình bậc ba khuyết thì ngoài cách giải bằng phương pháp Cacnado ta còn có thể giải chúng bằng cách đưa về phương trình chuẩn tắc đã biết cách giải như trên Cụ thể ta đi xét các bài toán sau: Bài toán 4: Giải phương trình x3  px  q  0 (*) Phương pháp chung... Bài toán 5: Giải phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 Phương pháp chung Xét 2 khả năng: a Nếu a  0 thì phương trình có dạng bx 2  cx  d  0 Đây chính là phương trình bậc hai quen thuộc b Nếu a  0 Đặt t  x  b thì phương trình trở thành t 3  pt  q  0 3a Đây chính là phương trình trong bài toán 4 Ví dụ 5: Giải phương trình x3  3x2  2x  1  0 Lời giải: Đặt t = x+1  x  t  1 Khi đó phương trình. .. Giải phương trình a) 8x3  24x2  6x  1  0 b) x 3  19x  30  0 Bài 5: Giải phương trình a) x3  6x  4  0 b) x3  3x  6  0 2.2.3 Sử dụng phương pháp đồ thị để giải và biện luận phương trình bậc ba Bài toán: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình F(x,m) = 0 (1) với F(x,m) là hàm bậc ba có chứa tham số m Phương pháp chung Giả sử ta đã có đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số (C): y = f(x),... phương trình 64x 6  96x 4  36x 2  3  0 Bài 3 Giải phương trình sau biết rằng phương trình có 1 nghiệm không phụ thuộc vào a,b x3  (2a  1)x 2  (a 2  2a  b)x  (a 2  b)  0 Bài 4 Cho phương trình x3  (2m  1)x 2  3(m  4)x  m  12  0 a Giải phương trình với m = -12 b Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt Bài 5 Cho phương trình x 3  2mx 2  m2 x  m  1  0 Xác định m để: a Phương. .. định m để: a Phương trình có đúng 1 nghiệm - 25 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp b Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt c Phương trình có 3 nghiệm phân biệt Bài 6 Cho phương trình x3  2mx 2  (2m2  1)x  m(m2  1)  0 Xác định m để: a Phương trình có 3 nghiệm phân biệt b Phương trình có 2 nghiệm dương c Phương trình có đúng 1 nghiệm âm Bài 7 Xác định m để phương trình x3  (m  1)x... p   z 21  y21 3z12 3z 21 Vậy phương trình bậc ba (1.2) có 3 nghiệm là y10  z10  p  z10  z 20 3z10 y11  z11  p  z11  z 22 3z11 y12  z12  p  z12  z 21 3z12 Bây giờ ta xét kĩ hơn về số nghiệm thực của phương trình bậc ba (1.2) dựa theo số nghiệm thực của phương trình bậc hai (1.3) 3 p q2 p Trường hợp 1:   q  4( )3  0 hay  0 3 4 27 2 Phương trình bậc hai (1.3) có 2 nghiệm thực phân... của phương trình 4x 3  3x  m Bước3: Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất 1 x  ( 3 m  m2  1  3 m  m2  1) 2 Ví dụ 1: Giải phương trình 4x 3  3x  1 Lời giải + Dễ chứng minh được phương trình trên có nghiệm duy nhất - 27 - Trần Thị Ly - K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp 1 + Đặt a  3 1  2 và   ( 3 1  2  3 1  2 ) ta được 2 43  3  1  x   là nghiệm của phương trình 1 Vậy phương trình ... K30C Toán Khoá luận tốt nghiệp Chương 2: Các phương pháp giảI phương trình bậc ba toán phổ thông 2.1 Giải phương trình bậc ba phương pháp Cacnado Phương trình hàm bậc ba nghiên cứu kĩ chương trình. .. pháp giải khác phương trình bậc ba Trong chủ đề quan tâm tới phương pháp chủ yếu sử dụng để giải phương trình bậc ba Sử dụng phương trình bậc hai để giải biện luận phương trình bậc ba (phương pháp. .. phương pháp đặt ẩn phụ Sử dụng phương pháp đồ thị để giải biện luận phương trình bậc ba 2.2.1 Sử dụng phương trình bậc hai để giải biện luận phương trình bậc ba Phương pháp chung Cho phương trình: