BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BẠCH HỒNG NHUNG MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ CHUỖI ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BẠCH HỒNG NHUNG MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ CHUỖI ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ giải tích khoa Toán bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ để em có điều kiện tốt suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào định hướng chọn đề tài tận tình bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi hạn chế có thiếu sót định Em xin chân thành cảm ơn tiếp thu ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Bạch Hồng Nhung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp đại học "Một số nghiên cứu chuỗi điều hòa" hoàn thành theo nhận thức vấn đề riêng tác giả, không trùng với khóa luận khác Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Bạch Hồng Nhung Mục lục Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi số 1.1.1 Khái niệm chuỗi số 1.2 Dãy hàm 1.2.1 Miền hội tụ dãy hàm 1.2.2 Sự hội tụ dãy hàm 1.2.3 Tính chất hàm giới hạn 10 1.3 Chuỗi hàm số 11 1.3.1 Các khái niệm 11 1.3.2 Chuỗi hàm hội tụ 12 1.3.3 Tính chất tổng chuỗi hàm 16 1.4 Chuỗi lũy thừa 19 1.4.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa bán kính hội tụ 19 1.4.2 Tính chất tổng chuỗi lũy thừa 21 1.4.3 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 23 1.4.4 Khai triển thành chuỗi Taylor hàm sơ cấp 25 Chương Một số nghiên cứu chuỗi điều hòa 2.1 Chứng minh 27 28 2.1.1 Chứng minh [16] 28 2.1.2 Chứng minh [13] 29 2.1.3 Chứng minh 29 2.1.4 Chứng minh 30 2.1.5 Chứng minh [13] 31 2.1.6 Chứng minh [13] 31 2.1.7 Chứng minh [5] 32 2.1.8 Chứng minh [4] [9] 32 2.1.9 Chứng minh 33 2.1.10 Chứng minh 10 33 2.1.11 Chứng minh 11 34 2.1.12 Chứng minh 12 [3] [8] 34 2.1.13 Chứng minh 13 [6] [7] 35 2.1.14 Chứng minh 14 36 2.1.15 Chứng minh 15 36 2.2 Một số chứng minh khác 37 2.2.1 Chứng minh 16 37 2.2.2 Chứng minh 17 38 2.2.3 Chứng minh 18 38 2.2.4 Chứng minh 19 [15] 38 2.2.5 Chứng minh 20 [1] 39 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự hình thành khái niệm có tính manh nha số kết nghiên cứu chuỗi hàm xuất từ sớm Ngay từ kỷ thứ 14, nhà toán học Ấn Độ Madhava (1350 − 1425) vùng Sangamagramma (bang Kerala, miền tây - nam Ấn Độ ) biểu diễn số hàm lượng giác dạng chuỗi hàm Các viết toán học ông không nữa, số công trình chói lọi ông lại nhà toán học Nilakantha vùng Kerala lưu lại Madhava tìm chuỗi hàm vào khoảng năm 1400 Thời ấy, người ta miêu tả khái niệm ngôn ngữ phức tạp Tới năm kỷ 17, thuật ngữ "hội tụ" (convergence) "phân kỳ" (divergence) chuỗi hàm Gregory trình bày theo ngôn ngữ gần ngày Việc nghiên cứu chuỗi số chuỗi hàm đến chỉnh hóa theo ngôn ngữ toán học đại mẫu mực Một chuỗi số có tính điển hình việc trình bày hệ thống kiến thức chuỗi số chuỗi hàm người ta phải kể đến chuỗi điều hòa Bằng tiêu chuẩn Cauchy hội tụ chuỗi số, ta dễ dàng thấy điều kiện thiết yếu để chuỗi số hội tụ dãy số hạng tổng quát phải dần đến Tuy nhiên, với chuỗi điều hòa số hạng tổng quát chuỗi đảm bảo điều kiện cần tính hội tụ, chuỗi không hội tụ Ngoài việc chuỗi ghi nhận phản ví dụ kinh điển vi phạm điều kiện cần chuỗi hội tụ, chuỗi nghiên cứu liên quan đến nhiều lĩnh vực toán học nhiều ngành khoa học khác Trong khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành toán học, mong muốn thể rõ phần vai trò chuỗi điều hòa qua quan tâm giới toán học Để thực điều này, cố gắng trình bày cách chi tiết phép chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa Qua 20 phép chứng minh trình bày khóa luận, phần nói chưa nói hết tầm quan ý nghĩa vấn đề trình bày khóa luận Chuỗi điều hòa có dạng ∞ n=1 1 1 = + + + + + n Chuỗi số ∞ n=1 un gọi phân kỳ giới hạn dãy tổng riêng n k=1 uk vô hạn không tồn Chuỗi điều hòa chuỗi tiếng có nhiều ứng dụng toán học Các nhà khoa học tốn nhiều thời gian công sức để nghiên cứu chuỗi Những chứng minh không tuân theo thứ tự cụ thể Nhưng chúng làm bặt lên đơn giản, thông minh sâu sắc nhà khoa học Có hai cách chủ yếu thường dùng để chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa mà giới thiệu Được định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài "Một số nghiên cứu chuỗi điều hòa" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán giải tích Bố cục đề tài bao gồm hai chương Chương Đề tài trình bày kiến thức dãy hàm, chuỗi hàm, chuỗi hàm lũy thừa, miền hội tụ, tính chất tổng chuỗi lũy thừa Chương Đề tài vào trình bày chuỗi điều hòa, lịch sử chứng minh phân kỳ chuỗi số chứng minh nhà toán học phân kỳ chuỗi điều hòa Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày cách có hệ thống lịch sử chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa Tuy nhiên khuôn khổ yêu cầu khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Toán học, nên trình bày vấn đề phạm vi 20 chứng minh bật mà nhà Toán học đưa Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng hợp kiến thức xin ý kiến người hướng dẫn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi số 1.1.1 Khái niệm chuỗi số Cho dãy số {ak }∞ k=1 Tổng vô hạn ∞ ak = a1 + a2 + + ak + (1.1) k=1 gọi chuỗi số, ak số hạng thứ k hay số hạng tổng quát chuỗi (1.1) Đặt S1 = a1 ; S2 = a1 + a2 ; Sk = a1 + a2 + + ak ; Sk gọi tổng riêng thứ k chuỗi số (1.1) ∞ ak gọi hội tụ (hay phân kỳ ) Định nghĩa 1.1 Chuỗi số k=1 dãy tổng riêng Sk có giới hạn hữu hạn (tương ứng, không tồn giới hạn ±∞) Trong trường hợp hội tụ, lim Sk = s ta nói k→∞ 2.1 Chứng minh Mặc dù chứng minh không trình bày theo thứ tự cụ thể riêng biệt, chứng minh kinh điển Oresme thích hợp để bắt đầu nghiên cứu 2.1.1 Chứng minh [16] Những chứng minh phân kỳ dãy điều hòa xuất từ sau thời trung cổ Khi đó, nhà khoa học tốn nhiều thời gian công sức để nghiên cứu chúng Chứng minh Xét dãy {H2k }∞ k=0 H1 = = + 1 =1+1 2 1 + H4 = + + 1 >1+1 + + 4 1 H8 = + + + 1 >1+ + + 4 =1+3 · H2 = + =1+2 1 + 1 + + 8 + 1 + + + Tổng quát Từ dãy {H2k }∞ k=0 H2k ≥ + k · không bị chặn, dãy {Hn } phân kỳ 28 2.1.2 Chứng minh [13] Chứng minh Cho số có chữ số, từ đến 9, nghịch đảo chúng , lớn 10 H9 > · 10 Có 90 số có hai chữ số từ 10 đến 99, mà nghịch đảo chúng lớn , 100 99 9 + =2 · H99 > 10 100 10 Tiếp tục với lập luận trên, ta H10k −1 > k · 10 Từ dãy {H10k −1 } không bị chặn, ta suy dãy {Hn } phân kỳ 2.1.3 Chứng minh Nguồn gốc chứng minh Pietro Mengoli tìm Ông chứng minh từ kỷ 17 Chứng minh trình bày tương tự chứng minh [7] Chứng minh Đầu tiên, ý 1 2n 2n + = > = ; n = 2, 3, 4, , n−1 n+1 n −1 n n 1 1 1 + > ; + > ; + > 10 Giả sử rằng, chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi 1 + + + 3 > + + + + = + S S =1+ 1 + + 29 + 1 + + 10 + Mâu thuẫn S > + S Điều phải chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Mengoli + > ; n = 2, 3, 4, , n−1 n+1 n trường hợp đặc biệt số học Nghĩa là, bất đẳng thức n n i=1 xi −1 < x Dựa vào bất đẳng thức trên, ta thấy, với số nguyên dương k j 1 2j + + + + > ; k k+1 k+j j + 2k từ đó, ta suy số chứng minh khác Ví dụ, số hạng liên tiếp chuỗi điều hòa nhóm lại cho tổng nhóm nhỏ Từ suy dãy H 3n −1 ≥ n; n = 1, 2, 3, 2.1.4 Chứng minh Chứng minh sử dụng ví dụ dãy đơn điệu, bị chặn Ta biết rằng, dãy hội tụ tới ln 2, giới hạn không liên quan đến chứng minh Chứng minh Xét dãy {Sn }∞ n=1 , Sn = H2n − Hn = 1 + + + · n+1 n+2 2n Từ bất đẳng thức Sn+1 − Sn = 1 − > 0, 2n + 2n + {Sn } dãy tăng, 2n 2n n 1 = S1 ≤ Sn = ≤ = + x, với x = ∞ n=1 Chứng minh Xét dãy eHn eHn = exp + 1 1 + + + + n 1 = e1 · e · e · e · e n 1 1 1+ 1+ + n n+1 · · ··· n > (1 + 1) + = · = n + Từ eHn ∞ n=1 bị chặn, {Hn } bị chặn 2.1.6 Chứng minh [13] Chứng minh Giả sử rằng, chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi đó, 1 + + = 1+ + 1 > + + 2 S =1+ 1 1 + + + + + 1 1 + + + + 1 1 + + + + 4 = S 31 1 + + 1 + + 8 Vì S > S điều vô lý nên ta suy điều phải chứng minh 2.1.7 Chứng minh [5] Chứng minh Giả sử chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi 1 1 1 S = + + + + + + + + 1 1 1 = 1+ + + + + + + + 1 1 1 = 1+ + + + + + + + 2 12 30 56 suy 1 1 S=S+ + + + + 12 30 56 Điều vô lý, ta suy điều phải chứng minh Chứng minh có liên quan chặt chẽ với chứng minh trước Thật vậy, số hạng cạnh đối bất đẳng thức chứng minh 1 1 khác , , , , Cũng chứng minh 12 30 56 Gillman có biến thiên mà dựa vào nhóm tập hợp số hạng, nên có biến thiên chứng minh Cusumano Ví dụ, sau vị trí số hạng ba nhóm, ta thấy 14 23 32 + + + + S=S+ 120 504 1320 2.1.8 Chứng minh [4] [9] Chứng minh Giả sử chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi 1 1 + + + + = S 2n 1 Do đó, tổng số hạng lẻ + + + + , phải 2n − 1 nửa S Tuy nhiên, điều xảy > điều 2n − 2n mâu thuẫn Ta suy điều phải chứng minh 32 2.1.9 Chứng minh Chứng minh n+1 Hình 2.1: 1 1 dx = ln(n + 1) < + + + + x n Hình 2.1 minh họa cho chứng minh Chứng minh n+1 dx Sự biến thiên bao gồm tiêu chuẩn tích so sánh Hn x phân, chứng minh phổ biến phân kỳ chuỗi điều hòa 2.1.10 Chứng minh 10 Chứng minh không hoàn toàn chặt chẽ, lại xuyên suốt Chứng minh giúp sinh viên có toán hay để tìm sai sót bước chứng minh Chứng minh 1 1 + + + + + = n (1 + x + x2 + + xn−1 + )dx 33 ∞ xk dx = k=0 1 dx 1−x = = ∞ 2.1.11 Chứng minh 11 Chứng minh gần giống với chứng minh mà Euler đưa [10] Đầu tiên Euler lập chuỗi biểu diễn cho ln(1 − x): ln(1 − x) = −x − x2 x3 x4 x5 − − − − Làm vậy, chứng minh ông đơn giản nhiều, không đáp ứng tiêu chuẩn chặt chẽ Chứng minh Trước tiên, ta khai triển chuỗi x2 x3 x4 x5 ln(1 − x) = −x − − − − − , từ suy ln = − + 1 1 + + + + 2.1.12 Chứng minh 12 [3] [8] Chứng minh Trước tiên, ý c số nguyên c > 1, 1 1 + + + ≥ (c2 − c) = − , c+1 c+2 c c c 34 cộng vào bên phải bất đẳng thức ta c 1 1 + + + + ≥ c c+1 c+2 c Từ suy ∞ n=1 =1+ n 1 + + + 1 + + 25 + 1 + + 26 676 + > + + + + 2.1.13 Chứng minh 13 [6] [7] Các tác phẩm W Dunham thể giá trị tầm quan trọng chứng minh Đây chứng minh Bernoulli Chứng minh Xét chuỗi 1 1 + + + + + = 12 20 30 ∞ n=1 = n(n + 1) ∞ n=1 1 − n n+1 Chuỗi viết vế phải, hội tụ đến Chuỗi dùng để minh họa Chú ý ∞ n=1 = n(n + 1) ∞ n=1 1 − n n+1 = , k = 1, 2, 3, k Giả sử, chuỗi hội tụ với tổng S Khi 1 1 1 + + + + + + + =1+ + + + + + + + 12 20 30 42 56 1 1 1 =1+ + + + + + + + 12 12 20 1 + + + + + 12 20 30 S =1+ 35 ∞ ∞ ∞ 1 + + + =1+ n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) n=2 n=3 n=1 1 = + + + + = + S Mâu thuẫn S = S + Điều phải chứng minh 2.1.14 Chứng minh 14 Chứng minh Giả sử chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi đó, S phải lớn 25 2, suy H4 = Chú ý rằng, 12 1 1 1 + + + + + + 10 1 1 + + + + + + + 11 15 16 21 + + + >1+ + + 10 15 21 2 2 2 = + + + + + + ∞ =2 n n=2 S =1+ 1 + + = 2(S − 1) Bất đẳng thức S > 2(S − 1) hay S < Điều mâu thuẫn, ta suy điều phải chứng minh 2.1.15 Chứng minh 15 Một số chứng minh báo dựa vấn đề chung Nếu dãy {σn } tăng đủ nhanh, dãy tương ứng chuỗi điều hòa {Hσn } bị chặn hàm tuyến tính n Vấn đề tạo khác biệt chứng minh sau 36 Chứng minh Cho k số nguyên k > 1, 1 k! − (k − 1)! 1 + + + > =1− (k − 1)! + (k − 1)! + k! k! k Xét dãy {Hn! } n! Hn! = k=1 n =1+ k k=2 n >1+ 1− k 1− k k=2 n =1+ k=1 1 + + (k − 1)! + k! = + n − Hn Ta thấy 2Hn! > Hn! + Hn > n + Vì {Hn! } bị chặn chuỗi điều hòa phân kỳ 2.2 Một số chứng minh khác Sự phân kỳ chuỗi điều hòa chứng minh nhiều cách khác cho kết tổng quát Đây ví dụ phổ biến tiêu chuẩn tích phân hay kiểm tra p chuỗi Trong phần này, trình bày số kết thường bị bỏ sót, kết bao hàm phân kỳ chuỗi điều hòa 2.2.1 Chứng minh 16 Chứng minh Phép kiểm tra số hạng thứ n biến thiên nhanh chóng chứng tỏ chuỗi điều hòa hội tụ Giả sử {an } dãy dương giảm Nếu an hội tụ lim nan = n→∞ [12] Louis Oliver dùng kết tiêu chuẩn hội tụ Neils Abel phát lỗi sai Oliver cách khoảng 26 năm, trước Abel 37 2.2.2 Chứng minh 17 Chứng minh Sau học kiểm tra p chuỗi, sinh viên thường cho chuỗi điều hòa tạo thành loại biên chuỗi hội tụ chuỗi phân kỳ May mắn ta dễ tìm phản ví dụ [2] Sự phân kỳ chuỗi điều hòa thiết lập cách đặt dn = với n ∞ dn chuỗi phân kỳ với số dương Giả sử rằng, n=1 Nếu Sn = d1 + d2 + + dn ∞ dn phân kỳ n=2 Sn−1 2.2.3 Chứng minh 18 Chứng minh Mặc dù tích vô hạn đưa thảo luận Sinh viên thường đặt câu hỏi tồn hội tụ chúng Tương tự chứng minh 5, kết cho thấy tích tổng giữ vai trò vô quan trọng Giả sử, {an } dãy số hạng không âm Khi đó, an (1+an ) hội tụ phân kỳ 2.2.4 Chứng minh 19 [15] Kết đưa thay cho tiêu chuẩn tích phân Chứng minh Cho f dương không tăng [k, ∞), k số nguyên ∞ dương đặt g nguyên hàm f Khi đó, f (n) hội tụ n=k g bị chặn trên nửa đoạn [k, ∞) Kết chứng minh đem lại ứng dụng quan trọng vào định lý giá trị trung bình Lưu ý, tiêu chuẩn tích phân suy cách x đặt g(x) = f (t)dt k 38 2.2.5 Chứng minh 20 [1] Chứng minh Vì chứng minh khó hiểu nên không chứng minh chi tiết mà đưa kết Sự phân kỳ chuỗi điều hòa suy cách đặt f (x) = x ∞ d2 f Cho f hàm thực cho tồn với x = Khi f dx2 n n=k hội tụ tuyệt đối f (0) = f (0) = 39 Kết luận Trên toàn nội dung khóa luận :“ Một số nghiên cứu chuỗi điều hòa” Khóa luận giải vấn đề sau: Hệ thống hóa kiến thức dãy hàm, chuỗi hàm chuỗi lũy thừa Trình bày 20 chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa 40 Tài liệu tham khảo [1] Y S Abu - Mostafa, A differentiation test for absolute convergence, Mathematics Magazine 57 (4), 228 - 231, 1984 [2] J M Ash, Neither a worst convergent series nor a best divergent series exists, College Mathematics Journal 28(4), 296-297, 1997 [3] J Bernoulli, Tractatus de se-riebus infinitis, 1689 ∞ [4] T Cohen and W J Knight, Convergence and divergence of , p n=1 n Mathematics Magazine 52(3), 178, 1979 [5] A Cusumano, The harmonic series diverges, American Mathematical Monthly 105(7), 608, 1998 [6] W Dunham, The Bernoulli and the harmonic series, College Mathematics Journal 18(1), 18 - 23, 1987 [7] W Dunham, Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics John Wiley and Sons, 1990 [8] W Dunham, Euler: The Master of Us All, The mathmatical Asso ciation of American, 1999 [9] M W Ecker, Divergence of the harmonic series by rearrangement, College Mathematics Journal 28(3), 209 - 210, 1997 [10] Euler Introduction in analysin infinitorum, 1984 [11] J F Fleron, Gabriel’s wedding cake, College Mathematics Journal 30(1), 35 - 38, 1999 41 [12] M Goar, Olivier and Abel on series convergence: An episode from early 19th century analysis, Mathematics Magazine 72(5), 347 - 355, 1999 [13] R Honsberger, Mathmatical Gems II, The Mathematical Association of America, 1976 [14] P B Johnson, Leaning tower of lire, American Journal of Physics 23(4), 240, 1955 [15] G Jungck, An alternative to the integral test, Mathematics Magazine 56(4), 232 - 235, 1983 [16] Nicole Oresme, Quaestiones super Geometriam Euclidis, 1350 [17] Walter Rudin, Funcitonal Alalysis, Second Edition, International Editions, 1991 42 [...]... Chương 2 Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa Chuỗi điều hòa ∞ n=1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + n 2 3 4 5 là một chuỗi rất nổi tiếng và có nhiều ứng dụng trong toán học Các giáo trình đều nêu ra như một phản ví dụ mang tính kinh điển Với chuỗi điều hòa số hạng tổng quát của chuỗi đảm bảo điều kiện cần về tính hội tụ của chuỗi số, nhưng chuỗi này vẫn không hội tụ Có hai cách chứng minh phổ biến nhất về sự phân... chuỗi điều hòa Thật 1 vậy, chọn ε0 = thì với mọi k đều tồn tại một số p0 = k để 2 1 1 1 1 1 |ak+1 + ak+2 + + ak+p0 | = + + + >k = = ε0 k k+1 2k 2k 2 Theo hệ quả trên chuỗi điều hòa là chuỗi phân kỳ 7 1.2 Dãy hàm 1.2.1 Miền hội tụ của dãy hàm Trước khi trình bày các khái niệm cơ bản và cần thiết về chuỗi hàm phục vụ cho mục đính chính của khóa luận, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm căn bản về. .. là những số thực Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa bao giờ cũng hội tụ tại tâm của nó Do đó, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa khác rỗng Chuỗi (1.4) nhận được từ chuỗi (1.5) bằng phép đổi biến y = x − x0 , nên về mặt lý thuyết ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi (1.4) là đủ Định lý 1.15 (Abel) Cho chuỗi lũy thừa ∞ an xn = a0 + a1 (x) + a2 x2 + + an xn + n=0 khi đó tồn tại một số R ∈ [0,... Vậy ta có điều phải chứng minh 1−q ∞ ak Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để chuỗi số k=1 hội tụ là ∀ε > 0, ∃k0 = k0 (ε) sao cho ∀k > k0 , ∀p ∈ N∗ ta đều có |ak+1 + ak+2 + + ak+p | < ε ∞ ak phân kỳ là ∃ε0 > 0 Hệ quả 1.1 Điều kiện cần và đủ để chuỗi số k=1 sao cho ∀k đều tồn tại p0 = p0 (k) để |ak+1 + ak+2 + + ak+p0 | ≥ ε0 Ví dụ 1.2 Chuỗi số ∞ k=0 1 k là một chuỗi phân kỳ Chuỗi này... của chuỗi điều hòa Ta thấy được điều đó trong chứng minh đầu tiên của Oresme và sự so sánh n+1 1 ∞ 1 giữa và dx Trong khi những chứng minh này làm nổi bật sự k=1 k 1 x thông minh và đơn giản thì một số chứng minh khác cũng đơn giản và sâu sắc không kém Trong bài báo này, các tác giả đã giới thiệu một số chứng minh về sự phân kỳ Trong đó, Hn được sử dụng để biểu thị tổng riêng thứ n của chuỗi điều hòa. .. sử, chuỗi lũy thừa an xn có bán kính hội tụ n=0 R > 0 và chuỗi hội tụ tại đầu mút x = R (hoặc tại x = −R) Khi đó, tổng S(x) của nó là một hàm liên tục trái tại x = R (tương ứng liên tục phải tại x = R) 1.4.3 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa Định nghĩa 1.4 Ta nói hàm f (x) là một hàm khai triển được thành chuỗi lũy thừa quanh điểm x0 , nếu tồn tại một số R > 0, sao cho f (x) là tổng của một chuỗi. .. + un+p (x)| < ε ∞ Chứng minh Gọi Sn (x) là dãy tổng riêng của chuỗi hàm số un (x) n=1 Chuỗi hàm hội tụ đều trên X khi và chỉ khi dãy hàm Sn (x) hội tụ đều trên D Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một dãy hàm số, từ ∞ un (x) hội tụ đều trên D khi và chỉ khi với một số đó suy ra chuỗi hàm n=1 ε > 0 cho trước bất kỳ, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho ∀n, p ∈ N ∗ , n ≥ n0 ⇒ |Sn+p (x) − Sn (x)|... 1) 1−x Do đó chuỗi đang xét có miền hội tụ là khoảng (−1, 1) và ∞ xk = k=0 1 ; x |x| < 1 1.3.2 Chuỗi hàm hội tụ đều Để xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ta có một số tiêu chuẩn sau đây Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm ∞ un (x) hội tụ đều trên D là: với mỗi số ε > 0 cho trước bất kỳ, tồn tại n=1 một số tự nhiên n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n ≥ n0 , với mọi số nguyên dương... là một hàm khả vi vô hạn trong một lân cận (x0 − R; x0 + R) của điểm x0 Hơn nữa, tồn tại một số M > 0 sao cho |f (n) (x)| ≤ M ; ∀x ∈ (x0 − R; x0 + R), ∀n = 1, 2, Khi đó, hàm f (x) khai triển được thành chuỗi lũy thừa quanh điểm x0 1.4.4 Khai triển thành chuỗi Taylor của các hàm sơ cấp Để khai triển một hàm sơ cấp thành chuỗi lũy thừa, trước hết, ta tìm cách khai triển các hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi. .. (−1, 1) +∞ 1 là chuỗi phân kỳ Tại x = −1 chuỗi trở thành n=0 2n + 1 (−1)n xn Tại x = 1 chuỗi trở thành hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz n=0 2n + 1 Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là −1 < x ≤ 1 +∞ 1.4.2 Tính chất của tổng chuỗi lũy thừa Định lý 1.17 (Tính liên tục của tổng chuỗi hàm lũy thừa) Giả sử chuỗi ∞ lũy thừa an xn có bán kính hội tụ R > 0 Khi đó, tổng S(x) của chuỗi n=0 lũy thừa là một hàm liên ... Chương Một số nghiên cứu chuỗi điều hòa Chuỗi điều hòa ∞ n=1 1 1 = + + + + + n chuỗi tiếng có nhiều ứng dụng toán học Các giáo trình nêu phản ví dụ mang tính kinh điển Với chuỗi điều hòa số hạng... chuỗi điều hòa Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày cách có hệ thống lịch sử chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp chứng minh phân kỳ chuỗi điều. .. với chuỗi điều hòa số hạng tổng quát chuỗi đảm bảo điều kiện cần tính hội tụ, chuỗi không hội tụ Ngoài việc chuỗi ghi nhận phản ví dụ kinh điển vi phạm điều kiện cần chuỗi hội tụ, chuỗi nghiên cứu