Lời cảm ơn Sau thời gian miệt mài nghiên cứu giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên đến khóa luận đà hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thạc Sỹ Phùng Đức Thắng đà hướng dẫn giúp đỡ em tận tình trình chuẩn bị hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán đà tạo điều kiện cho em có hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời em xin chân thành cám ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ giải tích, sư động viên giúp đỡ, đóng góp ý kiến bạn bè đà dành cho em trình học tập hoàn thành khóa luận Vì lần em làm quen với công việc nghiên cứu kiến thức thân hạn chế nên tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Tuyết Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu, em đà kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa công bố công trình khác Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Tuyết Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Nội dung Chương : Giải tích ma trận 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ 1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính .4 1.1.2.1 định nghĩa …… 1.1.2.2 mét sè tÝnh chÊt………………………………………… …5 1.1.3 Cơ sở số chiều không gian vectơ 1.2 Ma trận, định thức trận toán tử tuyến tính. 1.2.1 Ma trận 1.2.2 Định thức ma trận 11 1.2.3 To¸n tư tun tÝnh………………………………………… .13 1.2.4 Định lý lý thuyết ma trận .13 1.3 Không gian định chuẩn .16 1.3.1 Định nghĩa chuẩn không gian định chuẩn .16 1.3.2 Không gian định chuẩn ma trận vuông cấp n 17 1.3.3 C¸c tÝnh chÊt vỊ chn cđa ma trËn A ………………………… 19 1.3.4 Sù héi tơ kh«ng gian định chuẩn 20 1.3.4.1 hội tơ cđa mét d·y ®iĨm ………………………… …….20 1.3.4.2 chuỗi không gian định chuẩn 20 1.4 Sự hội tụ không gian định chuẩn Mat  n  n, K  …………… …21 1.4.1 Sù héi tơ cđa d·y ma trËn ………………………………… … .21 1.4.2 Sự hội tụ chuỗi không gian định chuẩn Mat n n, K  … 22 1.5 Ma trËn mò ……………………………………………………… 23 1.5.1 Định nghĩa ma trận mũ 23 1.5.2 Mét sè tÝnh chÊt ma trËn mò………………………… .28 1.6 Ma trËn logarit………………………………………………… 30 Chương : Giải tích ma trận ứng dụng lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính .34 2.1 Lý thut tỉng qu¸t vỊ hƯ phương trình vi phân tuyến tính 34 2.1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 34 2.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không 37 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 40 2.2.1 CÊu tróc cđa ma trËn c¬ 40 2.2.2 Công thức biến thiên số 42 2.2.3 công thức biến thiên số 2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn 45 2.3.1 Định nghĩa .45 2.3.2 Ma trận 46 2.3.3 Cấu trúc nghiệm hệ tuần hoàn 48 2.4 Các hệ khả quy ……………………………… ….50 2.4.1 Ma trËn Liapunop…………………………… .50 2.4.2 CÊu tróc nghiƯm cđa hƯ kh¶ quy …………… …51 KÕt luËn ……………… 53 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết hệ phương trình vi phân công cụ toán học Và hệ phương trình vi phân tuyến tính lý thuyết quan trọng lý thuyết phương trình vi phân Bởi lẽ phương trình vi phân bậc cao đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính Việc thể sử dụng ma trận ma trận mũ để trình bày lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính cho ta công thức biểu diễn nghiệm hệ, kết gọn, đẹp Với mong muốn hiểu lý thuyết phương trình vi phân nói chung lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính nói riêng để tiếp cận vấn đề này, hướng dẫn nhiệt tình thầy Phùng Đúc Thắng em đà chọn đề tài Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức : + Không gian vectơ, ma trận định thức ma trận, không gian định chuẩn, toán tử tuyến tính + Giải tích ma trận - Làm rõ giải tích ma trận ứng dụng lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : kiến thức giải tích ma trận hệ phương trình vi phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: kiến thức hệ phương trình vi phân tuyến tính nhất, không nhất, hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, với hệ số tuần hoàn, hệ khả quy Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết về giải tích ma trân hệ phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lý luận, công cụ toán học Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan Nghiên cứu lý luận tổng hơp đánh giá Cấu trúc khóa luận Gồm phần: Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Gồm chương Chương : Giải tích ma trận Chương : Giải tích ma trận ứng dụng lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính Phần III: Kết luận CHƯƠNG GIảI TíCH MA TRậN 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho V tập khác rỗng mà phần tử ta ký  hiƯu lµ  ,  ,  ….vµ K trường Giả sử V trang bị hai phÐp to¸n gåm: a) PhÐp céng  : V*V  V     ( ,  )   +  b) PhÐp nh©n * : K*V  V   ( , )    Tháa mÃn điều kiện (hoặc tiên đề ) sau ®©y :       T                   T2   0 V :         ' '   '  T3    V,    V :                T4         ,  ,   V    T         ,  ,   K  5          T6           ,   K ,  ,   V     T7      .  ,  ,   K ,   V    T8  1. ,   V        Khi V với hai phép toán đà cho gọi không gian vectơ trường K hay K không gian vectơ ( gọi tắt không gian vectơ) Các phần tử K gọi vô hướng , phần tử V gọi vectơ Phép cộng " " gọi phép cộng vectơ, phép nhân "* " gọi phép nhân vectơ với vô hướng Khi K V gọi không gian vectơ thực , K V gọi không gian vectơ phức 1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 1.1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.2 Cho K không gian vectơ V    a) Mét tỉ hỵp tun tÝnh cđa vectơ , ,, n V biểu n thức dạng:   i  i = 11 + 2 +…+ n n ®ã 1 , 2 , 3 ,…   K n i 1       b) Víi mäi    V, nÕu  = 11 + 2  +…+ n n ta nói vectơ biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ ( , ,, n ) đẳng thøc       = 11 + ++ n n gọi mét biĨu thÞ tun tÝnh cđa  qua   vectơ , ,, n Định nghĩa 1.1.3 ( Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính ) Trong không gian vectơ V   a) HƯ vect¬ ( 1 ,  ,, n ) ( n *) gọi độc lập tuyến tính hÖ thøc 11 + 2  +…+ n  n = chØ xÈy 1  2   n     b) HƯ vect¬ ( 1 ,  ,……,  n ) ( n *) gọi phụ thuộc tuyến tính không độc lập tuyến tính 1.1.2.2 Mét sè tÝnh chÊt    TÝnh chÊt HƯ vect¬ ( 1 ,  ,……,  n ) (n *) gọi phụ thuộc tuyến tính vô hướng , , , không đồng thời n cho     11 + 2  +…+ n  n =  TÝnh chÊt HƯ gåm mét vect¬ (  ) phơ thc tun tÝnh vµ chØ    =0    TÝnh chÊt Víi n >1, hƯ vect¬ ( 1 ,  ,……,  n ) ( n *, n >1) gọi lµ phơ thc tun tÝnh vµ chØ mét vectơ hệ biểu thị tuyến tính qua vectơ lại hệ Tính chất Mỗi hệ vectơ hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ độc lập tuyến tính Tính chất Mỗi hệ vectơ chứa hệ phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Nói riêng, hệ vectơ chứa vectơ phụ thuộc tuyến tính Tính chất Giả sử hệ vectơ ( ,  ,……,  n ) ( n  *) gọi độc lập tuyến tính Lúc đó,hệ vetơ ( , ,,  n ,  ) phô thuéc tuyÕn tÝnh  vectơ biểu thÞ tun tÝnh qua hƯ ( 1 ,  ,, n ) Trong trường hợp đó, biểu thị tuyến tính 1.1.3 Cơ sở số chiều không gian vectơ Định nghĩa 1.1.4 Một hệ vectơ V gọi hệ sinh V vectơ V biểu thị tuyến tính qua hệ Định nghĩa 1.1.5 Một hệ vectơ V gọi sở V vectơ V biểu thị tuyến tính qua hệ Định nghĩa 1.1.6 Không gian vectơ V gọi hữu hạn sinh có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử Định nghĩa 1.1.7 a) Số vectơ sở K - không gian vectơ hữu hạn sinh V gọi số chiều V trường K kí hiệu dim V hay rõ dim K V  NÕu V = 0 ta quy ­íc dim V  b) NÕu V kh«ng cã sở gồm hữu hạn phần tử gọi không gian vectơ vô hạn chiều 1.2 Ma trận ,định thức ma trận toán tử tuyến tính 1.2.1 Ma trận Định nghĩa 1.2.1 Cho K trường tùy ý Một bảng gồm m.n phần tư aij thc tr­êng K cã d¹ng  a11   a21    a m1  a12 a13 a1n   a 22 a 23 a2 n    am a m amn   i  1, m, j 1, n gọi a a a   i  1, m  gọi ma trận kiểu (m.n) Mỗi thành phần ma trận Vectơ dòng (1.1) ij i1 gọi dòng thứ i ma trận 12 im Phương pháp biến thiên hăng số Từ định lý 2.1.6 ta suy việc tìm nghiệm tổng quát hệ không ta đưa việc tìm nghiệm tổng quát hệ tương ứng nghiệm riêng hệ không Công thức sau cho ta tìm nghiệm riêng đà biết nghiệm hệ không tương ứng Định lý 2.1.9 Nếu ma trận phương trình sau: d A  t    t  , t   a, b  dt t   t     t    1  s  f  s  ds , t   a, b  t0 Lµ nghiƯm cđa hƯ tháa mÃn điêu kiện ban đầu: t0 0, t0 a, b Cũng định lý 2.1.6 công thức chứng tỏ hệ phương trình (2.5) với t a, b có nghiệm toán C tương ứng Ta có công thức nghiệm tổng quát hệ (2.5) Trong ®ã C   c1 , c2 , , cn vectơ tùy ý 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 ( Ma trận hệ ) Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số có dạng 40  dx1  dt  a11  t  x1  a12  t  x2   a1n  t  xn   dx2  a  t  x  a  t  x   a  t  x 21 22 2n n  dt    dxn  a  t  x  a  t  x   a  t  x n1 n2 nn n  dt ( 2.7) Hay hƯ viÕt d­íi dạng vectơ dX At X dt ( 2.8) Trong A aij ma trận vu«ng cÊp n víi aij   i, j  1, 2, , n Định lý 2.2.1 ( Về nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính với hÖ sè h»ng sè ) Ma trËn   t   etA  t    lµ mét ma trận ( 2.8) Nghiệm t hệ (2.8) thỏa mÃn điều kiện ban đầu   t0   x0 ;   t   et t  A x0 ;  t  ; x    Cã d¹ng  t   Chøng minh Theo tÝnh chÊt kh¶ vi cđa ma trËn mị ta cã d  t  d tA   e   AetA  A  t  dt dt Nªn ma trËn   t  lµ ma trËn nghiƯm cđa hƯ (2.8) Do     E nªn det   t   hay   t  lµ ma trận hệ (2.8) Khi  t     t  C lµ tổng quát hệ (2.8) với C vectơ tïy ý Do ®ã x0    t0     t0  C  et0 AC  C  x0e t0 A 41 VËy   t   etA e t A  e t t  A x0 0 2.2.2 CÊu tróc ma trận Giả sử J dạng tắc Jordan ma trận A P mét ma trËn vu«ng kh«ng suy biÕn cho AP  PJ 1 Khi ®ã etA  etPJP  PetJ P Vì J có dạng tắc Jordan nên  etJ 0  etJ1  tJ e    0       etJ s  (2.9) Trong ®ã etJ  et1    et2  0     t q  0 e   (2.10) MỈt khác J i q i Eri zi nªn etJi  e t q  i Eri etZi Nh­ vËy  1   t etJ  e q i     0  t t2 2! t t ri    ri  1!  t ri     ri  !     42 (2.11) Vậy ma trận hệ (2.8) viết dạng hiển thị nhờ c«ng thøc (2.9) , (2.10) , (2.11 ) Mét ma trận khác hệ t etA P P.etJ (2.12) Giả sử cột P vectơ p1 , p2 , , pn Các cột ma trận mà ta kí hiÖu  , , ,  n lËp nên n nghiệm độc lập tuyến tính hệ (2.7) Từ (2.12) dạng J ta có  t   et p1  t    t   et p2  t  ……………… tq  q  t   e pq  t   q 1  t   e tq 1 pq 1  t  t q 1 tp  t    t   p  t    q2  t   e q 1 q  ri q  ri …………………………………………  qr  t   e t q 1  t r1 1  pq 1  t    tpq ri 1  t   pq  ri  t      r1  1!  ………………………………………………  nr 1  t   e s t q  s pnrs 1  t  ………………………………………………  n t   e t q  s  t rs   pn1  t   pn  t      rs 1! Vì AP PJ nên vectơ p1 , p2 , , pn thỏa mÃn hÖ thøc : 43 Ap1  1 p1 , , Apq  q pq Apq 1  q 1 pq 1 Apq  ri  pq  ri 1  q1Pq  ri …………………… Apnrs 1  q  s pnrs 1 Apnrs   pnrs 1  q  s pnrs  ……………………… Apn  pn1 q s pn 2.2.3 Công thức biến thiên số Định lý 2.2.2 Nghiệm x hệ phương trình vi phân tuyến tính không víi hƯ sè h»ng sè dX  AX  F  t  dt (2.13) Tháa m·n ®iỊu kiƯn ban ®Çu   t0   0, t0   a, b biểu diễn công t thức   t   e tA e  sA f  s  ds , t   a, b t0 Chứng minh áp dụng công thức biến thiên số (2.11) định lý 2.1.9 cho hệ dX  AX  F  t  dt Víi A lµ ma trËn h»ng sè, f  t  hàm vectơ xác định liên tục a, b 44 Định lý 2.1.9 Nếu ma trận phương trình d A  t   t  , t  a, b dt khoảng a, b vectơ hàm t t   t    1  t  F  s ds , t   a, b t0 Là nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính không dX Ax F t dt thỏa mÃn điều kiện ban đầu:  t0   0, t0   a, b Do ma trận xác định bëi   t   etA  t    th× nghiƯm   t  cđa hƯ (2.13) thỏa mÃn điều kiện ban đầu t0   0, t0   a, b  , biểu diễn công thức t t  e tA e  sA F  s  ds , t   a, b  t0 Do ®ã nghiƯm   t  cđa hƯ (2.13) tháa mÃn điều kiện ban đầu t0 0, t0   a, b  2.3 HƯ ph­¬ng trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.3.1 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dX A t  X dt (   t   ) 45 ( 2.14) Trong ®ã A  t  ma trận mà phần tử hàm liên tục phức A t w   A  t  víi c lµ sè khác không Khi hệ (2.14) gọi hệ tuần hoàn c chu kỳ ma trận A t 2.3.2 Ma trân Định lý 2.3.1 ( Định lý Floquel) Nếu t ma trận hệ (2.1) th× ma trËn   t     t w ma trận hệ (2.1) Mỗi ma trận biểu diễn dạng t P t  etR (2.15) Trong ®ã P  t  ma trận không suy biến có chu kỳ  vµ R lµ mét ma trËn h»ng sè Chøng minh V× d  A  t   t  ,    t    dt Nªn d d  t  w    A  t  w   t  w   A  t   t  ,    t    dt dt VËy   t  lµ ma trËn nghiƯm cđa hƯ (2.14) Ma trận det t   det   t  w   0,    t    Do ®ã cã mét ma trËn h»ng sè kh«ng suy biÕn C cho   t  w    t C (2.16) Mặt khác theo lý thuyết gi¶i tÝch ma trËn, cã mét ma trËn h»ng sè R cho 46 C  e wR (2.17) Tõ (2.16) vµ (2.17) ta cã   t  w     t  e wR (2.18) Ta xác định ma trận A t công thøc: P  t     t  e tR (2.19) Khi ®ã (2.18) ta cã P  t  w     t  w  e  t  w  R    t  e wR e  t  w  R    t  e  tR P t Vì ma trận   t  vµ e tR víi   t không suy biến nên P  t  kh«ng suy biÕn ♦ Chó ý ý nghĩa định lý Floquel chỗ biết ma trận t khoảng có độ dài , chẳng hạn t w xác định t toàn trục thực Thật vậy, (2.16) vµ (2.17) ta cã C   1     w  ®ã R 1 ln C  ln  1    w   w w Khi ®ã P  t xác định khoảng 0; w công thức (2.19) P t có chu kỳ w nên xác định toàn khoảng ; Tiếp t xác đinh khoảng ; công thức (2.15) Nếu ma trận khác hệ (2.14) 1T Trong T ma trận số kh«ng suy biÕn 47 Tõ (2.18) suy 1  t  w  T  1  t  e wR hay 1  t  w   1  t  Te wRT 1 (2.20) 2.3.3 CÊu trúc nghiệm hệ tuần hoàn Giả sử T ma trËn h»ng sè kh«ng suy biÕn cho T 1RT J Trong J có dạng tắc Jordan ta đặt t T , A1  AT Khi ®ã tõ (2.15) ta suy 1  t   P1  t  etj ; P1  t  w   P1 t Vì j số riêng R ma trận e j có dạng et tj0 Trong đó: e    0    et 2    t e q  Vµ e t j e t q  i  1    0    0  t ri    ri  1!  t ri    t (ri  2)!     0  t2 t 2! s   i  1,2, ; q  ri  n    i 1   Râ rµng ta cã i  e wi víi i  1, 2, , s 48 (2.21) Tõ (2.21) ta suy r»ng c¸c cét 1 , ,  n cđa ma trận n vectơ độc lập tuyến tính hƯ (2.14) cã d¹ng: 1  t   et  p1  t  2  t   et  p2  t  3  t   et  p3  t  ……………… q  t   e tq q 1  t   e p1  t  t q 1 pq 1  t  t q 1   t   p  t   q   t   e q 1 q2 ……………………………… nr 1  t   e t q 1 s  t r1 1  pq1  t    t pq   t   pq  ri  t      r1  1!  ………………………………………………… nr 1  t   e t q  s s pnrs 1  t  ………………………………………………… n  t   e t q  s  t r1 1  pnrs  t    tpn1  t   pn  t    (rs 1)! Trong công thức p1 , p2 , , pn vectơ cột tuần hoàn ma trận P1 Từ (2.18) ta suy   w      e wR 49 V× vËy ta cã thĨ xem i số riêng ma trận w Đặc biệt   E th× e wR    w i số riêng ma trận  w  Khi ®ã   w  gọi ma trận đơn đạo hệ (2.22) 2.4 Các hệ khả quy Sau ta xét lớp hệ phương trình tuyến tính mà phép biến đổi tuyến tính có tính chất đặc biệt đưa hệ phương trình tuyến tính có hệ số số 2.4.1 Ma trận Liapunop Định nghÜa 2.4.1 Ma trËn L  t   C 1 víi t  t0 ;   nãi chung có giá trị phức, gọi ma trận Liapunnop nghiệm nghiệm sau : 1) L  t  vµ dL  t  giíi nội khoảng t0 ; tức dt Sup L  t    ; Sup t t0 ;  tt0 ;  dL t    dt 2) det L  t   m  Trong m số dương ®ã ♦ NhËn xÐt a) det L  t   M   b) Ma trËn L1  t  cịng lµ ma trËn Liaunop ThËt vËy NÕu L  t    lij  t   Lkjt phần phụ đại số l jk  t  th× L1  t   Lkj  t  det L  t  Tõ ®iỊu kiƯn 1), 2) ta suy 50 Sup L1  t    vµ râ rµng L1  t   C 1 tt0 ;  víi t  t0 ;   vµ d 1  L  t   giíi néi dt Ngoµi det L1  t   1  0 det L  t  M VËy L1  t  ma trận Liapunop Định nghĩa 2.4.2 Phép biến ®æi tuyÕn tÝnh y  L t  x (trong L t ma trận liapunop) gọi phép biến đổi Liapunop Định nghĩa 2.4.3 Hệ tuyến tính dx At x dt (2.23) gọi hệ khả quy phép biến ®ỉi Liapunop (2.22) ®­ỵc ®­a vỊ hƯ tun tÝnh dx  B y ( víi B lµ ma trËn h»ng sè ) dt 2.4.2 CÊu tróc nghiƯm cđa hƯ kh¶ quy Đối hệ khả quy ta có định lý sau tương tự định lý Floquel hệ tuần hoàn Định lý 2.4.1 ( Định lý N.P Êrugin) Hệ (2.23) tøc lµ hƯ tun tÝnh dx  A  t x hệ khả quy dt ma trận t biểu diễn d¹ng   t   L  t  etB (2.24) Trong L t ma trËn Liapunop vµ B lµ ma trËn h»ng sè 51 Chứng minh Giả sử hệ (2.23) khả quy Khi ®ã cã mét phÐp biÕn ®ỉi Liapunop lµ Y  L t  x ®­a hƯ ®ã vỊ hƯ tun tÝnh dx  B y dt ( víi B lµ ma trận số ) (2.25) Theo định lý 2.2.1 ta có ma trận số t  cđa hƯ (2.25) cã d¹ng   t etBC , C ma trận số không suy biến Do t   L  t  y  t  L t etBC ma trận hệ (2.23) Chọn C E ta (2.24) Do (2.24) nªn ta cã L  t     t  e tB Khi ®ã phÐp biÕn ®ỉi x    t  e tB phép biến đổi Liapunop Tiếp ta có dx dy d   t  tB    t  e tB  e y    t  e tB By  A  t    t  e tB y dt dt dt Nh­ng d  t  dy dy    t  e tB By hay  By  A  t    t  ®ã   t  e tB dt dt dt VËy hÖ ( 2.23) khả quy Hệ 2.4.1 Từ định lý Êrugin định lý Foquel ta suy hệ tuyến tính tuần hoàn hệ khả quy 52 Kết luận Trên toàn nội dung khóa luận Với đề tài em không mong muốn sâu vào phương pháp hay cách giải toán phương trình vi phân tuyến tính cụ thể mà em mong muốn đưa cách tiếp cận với lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính Đề tài đà đạt mục đích nhiệm vụ đề Khóa luận đà hoàn thành thời gian có hạn chưa có kinh nghiệm công tác làm nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô toàn thể bạn để đề tài hoàn chỉnh có tính ứng dơng cao h¬n Tr­íc kÕt thóc khãa ln em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy Phùng Đức Thắng người đà trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành đề tài Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Tuyết 53 Tài liệu tham khảo Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết hệ phương trình vi phân, NXBĐH THCN Nguyễn Thế Hoàn Phạm Thu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXBGD Nguyễn Thế Hoàn Trần Văn Nhung (1979), Bài tập phương trình vi phân, NXBĐH THCN PGS TS Nguyễn Phụ Hy, Giáo trình Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, NXBGD Phan Hồng Trường(2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP Hà Nội L.E.Elsogols(1979), Phương trình vi phân (tập 1), NXBGD V.V.STEPANOV (1960) Giáo trình phương 54 ... 2, ) Ch­¬ng GiảI tích ma trận ứng dụng lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.1 lý thuyết tổng quát hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa... Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết hệ phương trình vi phân công cụ toán học Và hệ phương trình vi phân tuyến tính lý thuyết quan trọng lý thuyết phương trình vi phân Bởi lẽ phương trình vi phân bậc... kiến thức giải tích ma trận hệ phương trình vi phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: kiến thức hệ phương trình vi phân tuyến tính nhất, không nhất, hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng,