TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN BÙI THỊ NHUNG ĐA TẠP HAI CHIỀU TRONG E VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Hình học, thầy cô bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm, thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Nhung LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em quan tâm thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Đa tạp hai chiều E ứng dụng” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Nhung Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclide 1.2 Hàm vectơ 1.2.1 Hàm vectơ 1.2.2 Một số phép toán đại số hàm vectơ 1.2.3 Giới hạn hàm vectơ 1.2.4 Đạo hàm hàm vectơ biến 1.3 Trường vectơ không gian Euclide E n 11 1.3.1 Vectơ tiếp xúc 11 1.3.2 Trường vectơ tiếp xúc 11 1.3.3 Trường mục tiêu 12 1.4 Cung tham số 12 1.5 Cung cung định hướng 15 1.5.1 Cung 15 1.5.2 Cung định hướng 15 1.6 Cung quy 16 1.6.1 Điểm quy, điểm kì dị 16 1.6.2 Cung quy, dìm 16 1.7 Cung song quy 17 1.8 Cung hình học 17 1.8.1 Cung hình học 17 1.8.2 Cung tham số kiểu đồ thị 18 1.9 Đường hình học 20 1.9.1 Đường hình học 20 1.9.2 Dấu hiệu nhận biết tập điểm đường hình học 21 1.10 Đường xác định phương trình ẩn 22 1.10.1 Đường xác định phương trình ẩn E 22 1.10.2 Đường xác định phương trình ẩn E 22 1.11 Mảnh tham số 23 1.11.1 Mảnh tham số 23 1.11.2 Điểm quy, điểm kì dị, mảnh quy 23 1.12 Mảnh hình học 24 1.12.1 Mảnh hình học 24 1.12.2 Mảnh tham số kiểu đồ thị 24 Chương Đa tạp hai chiều E 31 2.1 Đa tạp 31 2.2 Đa tạp hai chiều E 32 2.3 Dấu hiệu nhận biết tập điểm đa tạp hai chiều E3 Chương Ứng dụng đa tạp hai chiều E 3.1 Bài tập áp dụng dấu hiệu nhận biết 32 36 36 3.1.1 Áp dụng dấu hiệu 36 3.1.2 Áp dụng dấu hiệu 45 3.1.3 Áp dụng dấu hiệu 57 3.2 Bài tập áp dụng mảnh hình học đa tạp hai chiều 64 3.3 Một số tập khác 76 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đa tạp hai chiều E mảng kiến thức môn hình học vi phân, đóng vai trò quan trọng toán học Sau học xong chương trình toán dành cho cử nhân sư phạm, đặc biệt sau học xong môn hình học vi phân, em mong muốn học hỏi tìm hiểu sâu thêm đa tạp hai chiều E ứng dụng Từ đó, xây dựng hệ thống tập đa tạp hai chiều E đầy đủ cho thân theo dạng Đồng thời rèn luyện tư logic, tính xác cẩn thận cho Dưới góc độ sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp, đồng thời hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm em chọn đề tài “Đa tạp hai chiều E ứng dụng” Hy vọng, đề tài giúp em có hội học tập tốt Mục đích nghiên cứu đề tài Mục đích đề tài hệ thống lại lý thuyết phân dạng tập cách chi tiết đa tạp hai chiều E Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đa tạp hai chiều E Phạm vi nghiên cứu lý thuyết tập đa tạp hai chiều E Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Hệ thống lại lý thuyết đa tạp hai chiều E Hệ thống dạng tập đa tạp hai chiều E Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Đa tạp hai chiều E Chương Ứng dụng đa tạp hai chiều E Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số định nghĩa định lý: không gian Euclide, hàm vectơ, trường vectơ không gian Euclide E n , cung tham số, cung cung định hướng, cung quy, cung song quy, cung hình học, đường hình học, đường xác định phương trình ẩn, mảnh tham số, mảnh hình học 1.1 Không gian Euclide Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ n−chiều trường số thực → − gọi không gian vectơ Euclide n−chiều, kí hiệu E n với → − → − → − − cặp có thứ tự → a , b thuộc E n × E n xác định số thực gọi → − → − → − − − − tích vô hướng hai vectơ → a , b Kí hiệu → a b → a, b thỏa mãn tiên đề sau: → − − → − − Với → a, b, → c ∈ E n , ∀λ ∈ R ta có: → − → − − − (i) → a b = b → a, → − − → − − → − − (ii) → a b +→ c =→ a b +→ a −c , → − → − − − (iii) (λ→ a ) b = λ( b → a ), − − − (iv) → a → a ≥ 0, dấu xảy → a vectơ không Định nghĩa 1.2 Không gian Euclide n−chiều E n không gian → − afin liên kết với không gian vectơ Euclide n−chiều E n → − − Nhận xét 1.1 Với điểm M thuộc E n , vectơ → x thuộc → −n → − −−→ − E ta tìm điểm N E n cho M N = → x −−→ − − Nếu M N = → x viết N = M + → x → − Định nghĩa 1.3 Cho không gian vectơ Euclide n−chiều E n , √ → − − α ∈ E n , ta gọi số α2 độ dài (chuẩn/mođun) vectơ → α −−→ Khoảng cách hai điểm M , N ∈ E n giá trị M N Kí hiệu d(M, N ) khoảng cách hai điểm M , N Khi −−→ d(M, N ) = M N − Định nghĩa 1.4 Hệ {→ ei }i=1,n gọi hệ vectơ trực chuẩn   0 i = j → − → − e i e j =  1 i = j − − Mục tiêu (0, → ei )n1 , {→ ei }i=1,n sở trực chuẩn → − không gian E n gọi mục tiêu trực chuẩn không gian Euclide E n thường gọi hệ tọa độ Descartes vuông góc Ta có r : D → E , (u, v) → r(u, v) = (u2 , uv, v ) Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = x = u2 , y = uv, z = v Khi r(D) = (x, y, z) ∈ E : x > 0, y > 0, z > Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ D nên r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ D r liên tục ∀(u, v) ∈ D Ta có r(D) = (S) (1) Lại có ru = (2u, v, 0), rv = (0, u, 2v) Xét ma trận   2u v  A= u 2v Ta thấy 2u v = 2u2 = 0, (do u>0) u Suy rankA = Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ D Tiếp theo ta chứng minh r : D → r(D) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) ⇒(u2 , uv, v ) = (u2o , uo vo , vo2 ) 67 (2)   u2 = u2o     u = uo ⇔ uv = uo vo ⇔ v = v   o   v2 = v2 o Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : D → r(D) toàn ánh r(D) ảnh r Do r song ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ D (*) Xét ánh xạ ngược: r−1 : r(D) → D, (x, y, z) → (u, v) Trong đó,    x = u2    u = √ x (vì x, z > 0) y = uv ⇒   v = √z    z = v2 √ √ Vì u = x, v = z hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ r(D) nên r−1 hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ r(D) Từ (*), (**) suy r : D → E đồng phôi lên ảnh (**) (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.35 Trong E với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt (S) có tham số hóa r : R2 → E , (u, v) → r(u, v) = (u, v, u2 + v ) Chứng minh (S) đa tạp hai chiều E Lời giải Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = x = u, y = v, z = u2 + v 68 Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 nên r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 r liên tục ∀(u, v) ∈ R2 Ta có r(R2 ) = E = (S) (1) Lại có ru = (1, 0, 2u), rv = (0, 1, 2v) Xét ma trận   2u  A= 2v Ta thấy = = 0 Suy rankA = Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ R2 (2) Tiếp theo ta chứng minh r : R2 → r(R2 ) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) ⇒ (u, v, u2 + v ) = (uo , vo , u2o + vo2 )    u = uo   u = uo  ⇔ ⇔ v = vo v = v   o  u2 + v = u2 + v o o Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : R2 → r(R2 ) toàn ánh r(R2 ) ảnh r Do r song ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ R2 69 (*) Xét ánh xạ ngược: r−1 : E → R2 , (x, y, z) → (u, v) Trong đó,    x=u    u = x ⇒ y=v    v=y  z = u2 + v Vì u = x, v = y hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E nên r−1 hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E (**) Từ (*), (**) suy r : R2 → E đồng phôi lên ảnh (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.36 Trong E với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt (S) = x2 − y (x, y, z) ∈ E : = 2z Chứng minh (S) đa tạp hai chiều Lời giải Tham số hóa mặt (S)  x = u + v (u + v)2 − (u − v)2 = 2uv ⇒ z = uv ⇒ 2z = y = u − v Khi mặt (S) có tham số hóa r : R2 → E , (u, v) → r(u, v) = (u + v, u − v, uv) Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = (x = u + v, y = u − v, z = uv) Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 nên r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 r liên tục ∀(u, v) ∈ R2 70 Ta có r(R2 ) = E = (S) (1) Lại có ru = (1, 1, v), rv = (1, −1, u) Xét ma trận   1 v  A= −1 u Ta thấy 1 = −2 = −1 Suy rankA = Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ R2 (2) Tiếp theo ta chứng minh r : R2 → r(R2 ) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) ⇒ (u + v, u − v, uv) = (uo + vo , uo + vo , uo vo )    u + v = uo + vo   u = uo  ⇔ u − v = uo − vo ⇔ v = v   o   uv = u v o o Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : R2 → r(R2 ) toàn ánh r(R2 ) ảnh r Do r đơn ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ R2 71 (*) Xét ánh xạ ngược: r−1 : E → R2 , (x, y, z) → (u, v) Trong đó,   x y    u = +  x = u + v    2   y =u−v ⇒       x y   z = uv v = − 2 x y x y + , v = − hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E 2 2 hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E (**) Vì u = nên r−1 Từ (*), (**) suy r : R2 → E phép đồng phôi lên ảnh (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.37 Trong E với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt (S) = (x, y, z) ∈ E : 2z = x2 + y + Chứng minh (S) đa tạp hai chiều Lời giải       x=u y=v    u2 + v +  z = Khi (S) có tham số hóa Tham số hóa mặt (S) r : R → E , (u, v) → r(u, v) = u2 + v + u, v, Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = x = u, y = v, z = 72 u2 + v + Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 r liên tục ∀(u, v) ∈ R2 Ta có r(R2 ) = E = (S) (1) Lại có ru = (1, 0, u), rv = (0, 1, v) Xét ma trận   u  A= v Ta thấy = = 0 Suy rankA = Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ R2 (2) Tiếp theo ta chứng minh r : R2 → r(R2 ) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) u2 + v + u2 + vo2 + ⇒(u; v; ) = (uo ; vo ; o ) 2     u = uo    u = uo v = vo ⇔ ⇔    v = vo  u2 + v + u2o + vo2 +   = 2 Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : R2 → r(R2 ) toàn ánh r(R2 ) ảnh r Do r song ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ R2 73 (*) Xét ánh xạ ngược r−1 : E → R2 , (x, y, z) → (u, v) Trong đó,     x=u    u = x y=v ⇒  v = y   u2 + v +  z = Vì u = x, v = y hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E nên r−1 hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E Từ (*), (**) suy r : R2 → E đồng phôi lên ảnh (**) (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.38 TrongE với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt (S) x2 = z quanh trục đối xứng Chứng tạo parabol P : y =0 minh (S) đa tạp hai chiều E Lời giải Tham số hóa mặt (S) :   x=u    y=0,    z = u2 trục đối xứng (P) Oz nên u =    x = ucosv   Quay (S) quanh trục Oz: y = usinv     z = u2 Kí hiệu J = (u, v) ∈ R2 : u = 0, v = Khi (S) có tham số hóa r : J → E , (u, v) → r(u, v) = (ucosv, usinv, u2 ) 74 Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = x = ucosv, y = usinv, z = u2 Khi r(J) = (x, y, z) ∈ E : y = 0, z > Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ J nên r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ J r liên tục ∀(u, v) ∈ J Ta có r(J) = (S) (1) Lại có ru = (cosv, sinv, 2u), rv = (−usinv, ucosv, 0) Xét ma trận   cosv sinv 2u  A= −usinv ucosvu Ta thấy cosv sinv = ucos2 v+usin2 v = u = 0, ∀(u, v) ∈ J −usinv ucosv Suy rankA = Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ J Tiếp theo ta chứng minh r : J → r(J) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) ⇒(ucosv, usinv, u2 ) = (uo cosvo , uo sinvo , u2o )     ucosv = uo cosvo   u = uo ⇔ usinv = uo sinvo ⇔  v = v  o   2 u = uo 75 (2) Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : J → r(J) toàn ánh r(J) ảnh r Do r song ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ J (*) Xét ánh xạ ngược: r−1 : r(J) → J, (x, y, z) → (u, v) Trong đó,    x = ucosv  √     u= z y = usinv ⇒ x , (vì y = 0, z > 0)   v = arccot     z = u2 y r−1 √ x hàm liên tục ∀(x, y, z) ∈ r(J) nên y hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ r(J) (**) Vì u = z, v = arccot Từ (*), (**) suy r : J → E phép đồng phôi lên ảnh (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E 3.3 Một số tập khác Bài tập 3.39 Hãy chứng tỏ mặt (S) E cho phương trình ẩn ϕ(x, y, z) = đa tạp hai chiều điểm điểm quy Chứng minh Với ∀p = (xo , yo , zo ) ∈ S ((S) đa tạp hai chiều), nên tồn lân cận mở U ∈ E cho U ∩ S đồ thị hàm số z = Ψ(x, y) với Ψ hàm khả vi 76 Đặt ϕ(x, y, z) = z − ψ(x, y), ∀(x, y, z) ∈ U Vì ϕx , ϕy , ϕz p = −ψx , −ψy , nên rank ϕx , ϕy , ϕz = (0, 0, 0) p = p Suy p điểm quy Do p điểm kì dị nên điểm (S) điểm quy Ngược lại, với ∀p ∈ (S) : p = ϕ(xo , yo , zo ) Do p điểm quy nên ϕx (xo , yo , zo ), ϕy (xo , yo , zo ), ϕz (xo , yo , zo ) = (0, 0, 0) Giả sử ϕz (p) = Theo định lí hàm ẩn tồn lân cận Uxo × Vyo (xo , yo ) lân cận Wzo zo cho (Uxo × Vyo × Wzo ) ∩ (S) = {(x, y, z) ∈ (Uxo × Vyo × Wzo ) : z = ψ(x, y)} Suy (Uxo × Vyo × Wzo ) ∩ (S) đồ thị hàm số z = ψ(x, y) Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.40 Xét ánh xạ r : R2 → E , (u, v) → (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) đó: x(u, v) = (a + bcos2πu)cos2πv, y(u, v) = (a + bcos2πu)sin2πv, z(u, v) = bsin2πu, 77 (a b số a > b > 0, (x, y, z) tọa độ Descartes vuông góc E ) Chứng minh r R2 đa tạp hai chiều T E , có quay đường tròn quanh trục nằm mặt phẳng chứa đường tròn không cắt (mặt xuyến) Chứng minh Chứng minh r R2 xuyến T Thật vậy, cho đường tròn (tâm (a, 0, 0), bán kính b, nằm mặt phẳng xOz) phương trình   x = a + bcos2πu    y=0     z = bsin2u quay quanh Oz xuyến T (theo định nghĩa xuyến), lập phương trình tham số xuyến (xem mặt tròn xoay) phương trình thu xuyến trùng với phương trình xác định r R2 cho đề toán Kí hiệu hệ phương trình (1) Lập phương trình ẩn xuyến T Từ hệ (1) suy 2 2 2 x + y + z = a + b + 2abcos2πu = a + b + 2ab (do a > b > nên a + bcos2πu > 0, từ x2 + y − a b x2 + y = a + bcos2πu) Vậy x2 + y + z − 2a x2 + y + a2 − b2 = (2) Ngược lại, cho điểm có tọa độ (x, y, z) thỏa mãn (2) có u ∈ R, v ∈ R để xảy (1) 78 Vậy (2) phương trình ẩn xuyến T Từ suy T phủ mười mảnh hình học đồ thị hàm số sau đây: (x, y) → ± b2 − a2 − x2 − y + 2a x2 + y (2 hàm), √ (y, z) → ± a2 + b2 − y − z ± 2a b2 − z (4 hàm), √ (z, x) → ± a2 + b2 − x2 − z ± 2a b2 − z (4 hàm) Vậy T đa tạp hai chiều E Cũng chứng minh T đa tạp cách nhận xét F (x, y, z) = x2 + y + z − 2a x2 + y + a2 − b2 = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = = = (x, y, z) = (0, 0, 0) mà điểm ∂x ∂y ∂z không thuộc T có Kết luận: Chương trình bày số tập đa tạp hai chiều E theo dấu hiệu số tập khác 79 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu để hoàn thành khoá luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em hệ thống lại lý thuyết phân dạng tập cách chi tiết đa tạp hai chiều E Khóa luận xem tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến đa tạp hai chiều E nói riêng môn hình học vi phân nói chung, đồng thời thấy phong phú toán học Đó mong muốn em Như nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Hình học, thầy cô khoa Toán, đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình, hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Mặc dù em có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến để khoá luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 80 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Bình Đô (2010), Hình học vi phân, NXB Đại Học Sư Phạm, Hà Nội [2] Đoàn Quỳnh (2009), Hình học vi phân, NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh, Trần Đình Việt, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] http://daitudien.net/toan-hoc/toan-hoc-ve-da-tap.html [5] http://dangtrungkien.wordpress.com/2012/06/19/tieu-chuannhan-biet-da-tap-hai-chieu-trong-en/ 81 [...]... này trình bày định nghĩa và dấu hiệu nhận biết của đa tạp hai chiều trong E 3 2.1 Đa tạp Khái niệm đa tạp mở rộng khái niệm đường và mặt Đa tạp tôpô n chiều là một không gian tôpô tách mà mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với một hình cầu mở trong không gian Euclide n chiều Để đưa vào khái niệm độ trơn của một đa tạp, người ta thường dùng định nghĩa sau: Đa tạp (tôpô) n chiều là một không gian... mảnh hình học là một đa tạp hai chiều 2) Một hợp của những mảnh hình học rời nhau (tức là đôi một không giao nhau) là một đa tạp hai chiều 2.3 Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đa tạp hai chiều trong E 3 Định lý 2.1 (Dấu hiệu 1) Cho tọa độ afin (x1 , x2 , x3 ) trong E 3 thì tập con không rỗng S của E 3 là một đa tạp hai chiều trong E 3 khi và chỉ khi mỗi điểm p ∈ S có lân cận mở (trong S) là một mảnh... thì ta nói đa tạp khả vi k lần Ví dụ 2.1 1) Đường thẳng, đường tròn, đường elip là đa tạp một chiều 2) Mặt phẳng, mặt cầu, mặt xuyến là đa tạp hai chiều 2.2 Đa tạp hai chiều trong E 3 Định nghĩa 2.1 Cho tập S = ∅ của E 3 Nếu với mỗi điểm p ∈ S có lân cận mở V trong E 3 của p sao cho S ∩ V là một mảnh hình học thì S được gọi là một đa tạp hai chiều (còn gọi tắt là mặt hình học hay mặt) trong E 3 Mỗi... = ∅ của E 3 là một đa tạp hai chiều khi và chỉ khi với mỗi điểm p ∈ S có một lân cận V trong E 3 của điểm p và một hàm số khả vi ϕ : V → R, (x1 , x2 , x3 ) → ϕ(x1 , x2 , x3 ) đối với một hệ tọa độ afin trong E 3 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ sao cho ∀p ∈ V , rank (p), (p), (p) = 1, và nếu đặt ∂x1 ∂x2 ∂x3 ϕ(p) = a thì S ∩ V = ϕ−1 (a) Chứng minh Giả sử S là đa tạp hai chiều và p ∈ S thì có lân cận mở V trong E 3 của p sao... nghĩa và định lý: không gian Euclide, hàm vectơ, trường vectơ trên không gian Euclide E n , cung tham số, cung và cung định hướng, cung chính quy, cung song chính quy, cung hình học, đường hình học, đường xác định bởi phương trình ẩn, mảnh tham số, mảnh hình học Đây là một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để xây dựng khái niệm đa tạp hai chiều trong E 3 ở chương sau 30 Chương 2 Đa tạp hai chiều trong. .. trục đối xứng vì ρ(t) và ρ(−t) đối xứng với nhau qua trục hoành 14 Với x = a không có t tương ứng với x Do đó dễ thấy ρ(J) có tiệm cận ứng x = a và nằm trong giải −a x a 1.5 Cung và cung định hướng 1.5.1 Cung Định nghĩa 1.17 Cho hai cung tham số ρ : J → E n , γ : I → E n Nếu có một vi phôi λ : J → I (tức λ là song ánh khả vi mà λ−1 cũng khả vi) sao cho ρ = γ ◦ λ thì ta nói ρ tương đương với γ và viết... (X1 , X2 )) ˜ Định lý được chứng Vậy r˜ là tham số hóa kiểu đồ thị của S minh 27 Định lý 1.8 Hai tham số hóa của cùng một mảnh hình học luôn luôn tương đương Chứng minh Cho hai tham số hóa r : U → S ⊂ E n và r∗ : U∗ → S ⊂ E n của cùng một mảnh hình học S Khi đó r : U → S và r∗ : U∗ → S là hai ánh xạ đồng phôi Do đó tích λ = r∗−1 ◦ r : U → U∗ là một ánh xạ đồng phôi Ta sẽ chứng minh λ khả vi, λ−1 khả... = ρ ◦ g chứng tỏ rằng ρ˜ và ρ hạn chế trên I là tương đương bởi phép đổi tham số g : A → I = g(A) Định lý 1.5 Hai tham số hóa bất kì của một cung hình học luôn luôn tương đương Chứng minh Cho hai tham số hóa ρ : J → E n , t → ρ(t) và r : I → E n , u → r(u) của cùng một cung hình học Γ ⊂ E n thì ρ(J) = r(I) = Γ Vì ρ và r là những đồng phôi nên có thể lập ánh xạ λ = ρ−1 ◦ r : I → J, λ(u) = t và λ là một... đếm được {Ui }, trong đó mỗi Ui đồng phôi với một hình cầu mở Bi của không gian Euclide n chiều (tức là tập hợp các điểm x = (x1 , x2 , , xn ) = Rn n thỏa mãn x2k < ri Khi đó phép đồng phôi ϕi : Ui → Bi sinh ra k=1 một hệ tọa độ trên Ui Trên Ui ∩ Uj có hai tọa độ (x1 , x2 , , xn ) và (y1 , y2 , , yn ) tương ứng với ϕi và ϕj Khi đó các xi là hàm số liên 31 tục của (y1 , y2 , , yn ) và các yi là hàm... là những hàm khả vi nên λ = x1 là hàm khả vi tại uo ∈ λ−1 (V ) Một cách tương tự ta cũng chứng minh được λ−1 là hàm khả vi tại to ∈ V 1.9 Đường hình học 1.9.1 Đường hình học Định nghĩa 1.25 Tập điểm γ của E n được gọi là một đường hình học hay một đa tạp một chiều (sau này gọi tắt là đường hay là đa tạp một chiều) nếu với mỗi điểm M ∈ γ có một tập mở U của E n chứa M sao cho U ∩ γ là một cung hình ... niệm đa tạp hai chiều E chương sau 30 Chương Đa tạp hai chiều E Chương trình bày định nghĩa dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều E 2.1 Đa tạp Khái niệm đa tạp mở rộng khái niệm đường mặt Đa tạp. .. kì dị} = đa tạp hai chiều E Kết luận: Chương trình bày định nghĩa dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều E Từ có sở để phân dạng tập đa tạp hai chiều E 35 Chương Ứng dụng đa tạp hai chiều E 3.1... nghiên cứu đa tạp hai chiều E Phạm vi nghiên cứu lý thuyết tập đa tạp hai chiều E Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Hệ thống lại lý thuyết đa tạp hai chiều E Hệ thống dạng tập đa tạp hai chiều E Phương