Lời cảm ơn Trước hết, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm Khoa toán Tổ hình học với quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô Đinh Thị Kim Thúy, người hướng dẫn tận tình thường xuyên động viên em trình hoàn thành đề tài Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận Do thời gian có hạn, kiến thức thân hạn chế nên nội dung khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến tiếp tục xây dựng đề tài quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Lệ Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành kết nghiên cứu tìm hiểu thân, với hướng dẫn tận tình cô Đinh Thị Kim Thúy Khóa luận với đề tài: Chéo hóa ma trận không trùng với kết công trình nghiên cứu khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Lệ Mục lục A mở đầu 1 Lý chn ti Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B nội dung Chương 1: kiến thức chuẩn bị 1.1.Ma trận 1.2 Ma trận đồng cấu tuyến tính 1.3 Cơ sở trực chuẩn 1.4 Vectơ riêng giá trị riêng 1.5 Các phương pháp tính giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu f 11 Chương 2: chéo hóa ma trận 23 2.1 Chéo hóa ma trận tự đồng cấu 23 2.2 Chéo hóa trực giao 29 2.3 Phương pháp chéo hóa ma trận 30 2.4 ứng dụng chéo hóa ma trận 46 2.7 Bài tập áp dụng 47 C kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip A mở đầu Lý chn ti Có thể nói Đại số tuyến tính môn học quan trọng sinh viên ngành Toán Nó coi môn học sở cho tất môn toán mà sinh viên học Trong ma trận toán liên quan đến ma trận phần kiến thức bản, gây nhiều hứng thú nội dung môn học Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận, chéo hóa ma trận vấn đề Do em muốn sâu vào tìm hiểu vấn đề Được hướng dẫn nhiệt tình cô Đinh Thị Kim Thúy với lòng yêu thích môn học em lựa chọn nghiên cứu đề tài Chéo hóa ma trận Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khắc sâu kiến thức ma trận chéo phương pháp chéo hóa ma trận Đối tượng nghiên cứu Các vấn đề chéo hóa ma trận Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số kiến thức liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận hai toán chéo hóa ma trận Phương pháp nghiên cứu Tìm tham khảo tài liệu, phân tích tổng hợp tập minh họa, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Trnh Th L K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip B nội dung Chương 1: kiến thức chuẩn bị 1.1.Ma trận 1.1.1 Định nghĩa Cho trường tùy ý Một bảng gồm mn phần tử aij có dạng: a11 a12 a 21 a22 am1 am a1n a2 n amn gọi ma trận kiểu (m,n) Mỗi aij gọi thành phần ma trận Vectơ dòng (hay hàng) ai1 ain gọi dòng (hay hàng) thứ i ma trận a1 j a 2j Vectơ cột gọi cột thứ j ma trận amj Ta thường kí hiệu ma trận chữ A,B,Ma trận kí hiệu đơn giản bởi: A=( aij )mn Ta nói A ma trận có m dòng, n cột Khi m = n ma trận ( aij )mn gọi ma trận vuông cấp n Kí hiệu A=( aij )nn A=( aij )n Tập hợp tất ma trận kiểu (m,n) với phần tử thuộc trường kí hiệu Mat(mn,) 1.1.2 Các kiểu ma trận a Ma trận đơn vị Trnh Th L K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Phần tử đơn vị vành Mat(nn,) ma trận: En = 0 Ta gọi En ma trận đơn vị cấp n b Ma trận chuyển vị Cho a11 a12 a 21 a22 A=( aij )mn = am1 am a1n a2 n amn Ma trận a11 a 12 ( aij )nm = a1n a21 am1 a22 am a2 n amn gọi ma trận chuyển vị ma trận A , kí hiệu At c Ma trận nghịch đảo Ta gọi ma trận vuông AMat(nn,) ma trận khả nghịch (hay ma trận không suy biến) có ma trận vuông BMat(nn,) cho A.B B A En Khi B gọi ma trận nghịch đảo A kí hiệu B A1 d Ma trận chéo Trnh Th L K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Đường chéo chứa phần tử a11 , a22 , , ann ma trận vuông A=( aij )n gọi đường chéo ma trận A, đường chéo lại gọi đường chéo phụ Ma trận vuông A=( aij )n có tất phần tử nằm đường chéo gọi ma trận chéo e Ma trận đối xứng Ma trận A gọi đối xứng At A g Ma trận trực giao Ma trận thực A vuông cấp n gọi ma trận trực giao At A En , At ma trận chuyển vị A , hay nói cách khác hệ vectơ cột A hệ trực chuẩn n với tích vô hướng tắc A ma trận trực giao Ví dụ: Xét ma trận cos A= sin sin , cos cos sin Khi đó: At = sin cos cos At.A = sin sin cos cos sin sin = cos 0 = E2 Vậy A ma trận trực giao Nhận xét: Nếu A ma trận trực giao A khả nghịch At A1 h Ma trận đồng dạng Trnh Th L K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Cho hai ma trận A v A ' thuộc Mat(nn,) Hai ma trận A v A ' đồng dạng có ma trận khả nghịch CMat(nn,) cho: A ' C A.C 1.2 Ma trận đồng cấu tuyến tính Định nghĩa Giả sử V, W - không gian vectơ hữu hạn chiều, e e1 , e2 , , en sở V, , , , m sở W Mỗi đồng cấu tuyến tính f :V W xác định hệ vectơ f e1 , f e2 , , f en Các vectơ f e j lại biểu thị tuyến tính cách qua sở , , , m W: m f e j aij i , j=1,2,,n i Trong aij thuộc trường Nói tóm lại, đồng cấu tuyến tính f xác định cách hệ thống hệ thống vô hướng aij i m,1 j n Ta xếp chúng thành ma trận: a11 a 21 A= am1 a12 a22 am a1n a2 n amn Và gọi ma trận đồng cấu tuyến tính f :V W cặp sở e Khi f :V V tự đồng cấu tuyến tính, ma trận f sở e xác định sau: Cột thứ j ma trận tọa độ Trnh Th L K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip vectơ f e j , j = 1,2,,n sở e Ma trận phép biến đổi tuyến tính ma trận vuông 1.3 Cơ sở trực chuẩn 1.3.1 Cơ sở trực chuẩn Định nghĩa a) Cho sở gồm n vectơ e1 , e2 , , en không gian Euclid n chiều gọi sở trực giao vectơ sở đôi vuông góc với nhau, tức ei , e j ij b) Cho sở gồm n vectơ e1 , e2 , , en không gian Euclid n chiều gọi sở trực chuẩn sở trực giao chuẩn vectơ sở ei ,ej Nếu ij Nếu i=j 1.3.2 Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt Phương pháp trực giao hóa Schmidt phương pháp chuyển hệ n vectơ độc lập tuyến tính không gian vectơ Euclid sang hệ n vectơ không chứa vectơ , trực giao với đôi vectơ biểu diễn tuyến tính qua hệ cho Giả sử có sở e1 , e2 , , en không gian Euclid n chiều E Ta xây dựng hệ n vectơ trực giao , , , n sau: Đặt : e1 k b11 bk k ek , k 1, n ek , i đó: bi , i 1, k i ,i Thì nhận sở trực giao , , , n hệ e1 , e2 , , en E phương pháp trực giao hóa Schmidt Trnh Th L K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Chuẩn hóa cách đặt i i ta nhận hệ 1, , , n i sở trực chuẩn hệ e1 , e2 , , en E phương pháp trực chuẩn hóa Schmidt Ví dụ: Hãy trực giao, trực chuẩn hóa hệ ba vectơ sau không gian vectơ Euclid 4: 1,1,0,0 1,0,1,0 1,0,0,1 Lời giải: Dễ dàng chứng tỏ hệ vectơ , , hệ vectơ độc lập tuyến tính Xét hệ: e1 1,1,0,0 e1 , 1.1 1.0 0.1 0.0 e2 b1e1 , với b1 e1 , e1 11 1 e2 1,1,0,0 1,0,1,0 , ,1,0 2 e3 b1e1 b2e2 ,với: e1 , 1.(1) 1.0 0.0 0.1 b1 e1 , e1 11 (1) 1.0 0.1 e , b2 1 e2 , e2 4 1 1 1 e3 (1,1,0,0) ( , ,1,0) 1,0,0,1 , , ,1 2 3 Ta nhận sở trực giao e1 , e2 , e3 hệ , , Chuẩn hóa hệ e1 , e2 , e3 sau: Trnh Th L K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Với = 3, xét hệ: d1P1 3d1 d2 18d1 3d1 d1P2 3d2 d3 99d1 3d d P d 162d1 3d3 3 d2 d3 Chọn d1 = ta có: d2 = -15 , d3 = 54 Vậy vectơ riêng có dạng: = 1.C(2) + (-15).C(1) + 54.C(0) = (53,-26,4) 15(7,-2,0) + 54(1,0,0) = (2,4,4) 2 Chuẩn hóa được: e3 , , 3 Vậy ( e1 , e2 , e3 ) sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng A Ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A là: Q= 3 3 Ma trận chéo B là: 0 Ví dụ Cho ma trận A, tìm ma trận trực giao Q để đưa ma trận A dạng đường chéo B=Q-1.A.Q Trnh Th L 41 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip A= 2 2 Lời giải: Ta có: 24 12 A2 = 2 2 = 12 24 2 2 6 33 24 12 108 108 54 A3 = A.A2 = 2 12 24 = 108 108 54 2 6 33 54 54 189 S1 = Tr(A) = a ii = 2+2+5 = i S2 = Tr(A ) = a = 24+24+33 = 81 ii i 3 S3 = Tr(A ) = a = 108+108+189 = 405 ii i Ta có: P1 P2 P3 P1 S1 (81 9.9) ( S PS P2 1) 2 1 P3 (405 9.81 0.9) 108 ( S3 PS P2 S1 ) 3 Vậy P1 = -9 , P2 = , P3 = 108 Phương trình đặc trưng ma trận A là: 108 Trnh Th L 42 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Các giá trị riêng A nghiệm phương trình: 108 (bi 1) (bi 2) Với = -3 ta xét hệ phương trình tuyến tính nhất: a11 x1 a21x1 a x 31 a12 x2 a13 x3 a23 x3 a22 x2 a32 x2 (a33 1) x3 5x1 4x2 4x1 5x2 2x 2x Chọn 2, 2,1 2x3 2x3 x1 x2 x2 x3 8x3 vectơ riêng ứng với = -3, chuẩn hóa 2 , , 3 Với =3 = ta xét hệ phương trình tuyến tính : a11 x1 a21x1 a x 31 a12 x2 a22 x2 a32 x2 a13 x3 a23 x3 (a33 ) x3 4x1 4x2 2x3 4x1 4x2 2x3 2x 2x x x1 x2 x3 Hệ phương trình có nghiệm tổng quát x1 , x2 , x1 x2 , x1 , x2 tùy ý Để tìm sở trực chuẩn không gian riêng ứng với =3 = -1 ta tìm theo hai cách: Trnh Th L 43 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Cách 1: Chọn x1 0, x2 ta nghiệm: 0,1,2 Chọn x1 1, x2 ta nghiệm: 1,0, Như ta hệ gồm vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng =3 = Trực chuẩn hóa Schmidt hệ a2 , a3 e2 a2 0,1,2 ,e 1.0 0.1 ( 2).2 e3 b1.e2 , b1 e1 , e1 e3 0,1,2 1,0, 1, , 5 , , , Chuẩn hóa e2 , e3 : 0, , 5 5 Cách 2: Vectơ riêng có dạng x x1 , x2 , x1 x2 Chn a2 0,1,2 Chuẩn hóa a2 0,1,2 0, , 5 Tìm ,2 ,3 cho thỏa mãn hệ : , ,3 Giải (1) ta được: 2 (i) 5 5 Giải (2) ta được: 12 22 32 (ii) Từ (i) chọn Thế vào (ii) ta 3 , , Vậy ta 5 Vậy ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A là: Trnh Th L 44 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Q = 5 Ma trận chéo B là: B= 0 Chú ý: Ngoài phương pháp chéo hóa ma trận nêu phần trên, ta chéo hóa ma trận cho trước phương pháp Gauss sau Giả sử có ma trận A = (aij)nn Ta sử dụng phép biến đổi Gauss để biến đổi ma trận A, đưa A dạng ma trận chéo với phép biến đổi sau: a Cộng vào dòng tổ hợp tuyến tính dòng khác b Nhân dòng với vô hướng khác Ví dụ: Dùng phương pháp Gauss đưa ma trận sau dạng ma trận chéo: 1 A = Lời giải: 1 2D1-D2D2 4D1-D3D3 Trnh Th L 1 D2-D3D3 45 1 0 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn 8D2D2 D2+D3D2 Khúa lun tt nghip 1 16 4D1+D3D1 0 4 16 0 16 0 4D1-D2D1 1/8D1,1/8D2,1/8D3 16 0 0 0 0 Vậy dạng chéo ma trận A là: 0 2.4 ứng dụng chéo hóa ma trận Việc tính lũy thừa bậc n ma trận vuông A theo công thức nhân ma trận thông thường việc khó khăn Bây ta tìm công thức tính lũy thừa bậc n ma trận vuông dựa vào ma trận chéo Giả sử cho ma trận A Mat(nn,), A có ma trận chéo B với B C A.C ta có A C.B.C Sử dụng tính chất ta có: n An C.B.C C.B.C 1.C.B.C C.B.C , mà C 1.C En An C.B n C (6) Đây công thức cần tìm Ví dụ: Cho ma trận : 0 A Tính An cách chéo hóa ma trận A? Lời giải: Bằng phương pháp chéo hóa ma trận phần trước ta tìm ma trận làm chéo hóa ma trận A là: Trnh Th L 46 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip 0 C 0 1 Khi ma trận chéo ma trận A : 0 B=C-1.A.C= 0 áp dụng công thức (6) ta tính : An C.B nC n 0 0 2n 1 0 2n 0 3n 3n 2n 2n 3n 1 2.7 Bài tập áp dụng Bài 1: Trong ma trận sau ma trận chéo hóa được? Nếu đưa dạng chéo? 0 A= ; 0 1 B= 1 0 C= 0 D= Trnh Th L 0 0 ; 0 47 0 0 0 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Đáp số: 0 Ma trận A có dạng chéo hóa là: 0 0 Ma trận B có dạng chéo hóa là: 0 Ma trận C có dạng chéo hóa là: 0 0 0 0 Ma trận D không chéo hóa không tồn sở gồm vectơ riêng Bài 2: Giả sử f tự đồng cấu - không gian vectơ V, có ma trận A Hãy tìm sở V để ma trận f sở ma trận chéo : A= 2 ; B= Trnh Th L 2 C= 0 0 0 2 D= 0 0 1 1 0 ; 48 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Đáp số: Đối với ma trận A:{(2,2,1);(-2,1,2);(1,-2,2)} B:{(1,0,1);(-1,0,1);(1,1,0)} C:{(0,0,0,1);(1,1,0,0);(0,0,1,1);(0,1,0,0)} D:{(0,-1,-1,2);(0,0,-1.-1);(-2,3,7,0);(0,1,1,1)} Bài 3: Cho ma trận vuông cấp hai thực hay phức: a b A= Tìm điều kiện cần đủ a, b, c, d để ma trận A c d chéo hóa Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng ma trận A: A E2 a b c d a d ad bc a d ad bc Trường hợp 1: A ma trận thực + Nếu > A có hai giá trị riêng phân biệt, A chéo hóa + Nếu = A có giá trị riêng Để A chéo hóa A phải có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính: x1 x1 , x2 ; y1 , y2 , y1 a x1 bx2 a y1 by2 Trnh Th L Khi ta có: y2 cx1 d x2 cy1 d y2 , Hai hệ phương trình có a c d Hay: b0 x2 ; x1 x2 y1 y2 nên a b d Suy a = d b = c = c0 49 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Từ điều ta dễ dàng suy điều kiện cần đủ để ma trận thực A chéo hóa >0 a = d b = c = Trường hợp 2: A ma trận phức Tương tự trường hợp thực ta suy ra: Điều kiện cần đủ để ma trận phức A chéo hóa hoặc a = d v b = c = Bài 4: Cho ma trận thực A, tìm ma trận Q để Q-1.A.Q có dạng chéo? 0 A = 0 0 0 Hướng dẫn: Trường hợp 1: n chẵn (n = 2k) Đa thức đặc trưng A là: det(A - .En) = 0 =(2 - 1).D2(k-1) Quy nạp theo k ta suy ra: D2k = (2 - 1)k Khi đó: A có hai giá trị riêng = (bi k), = -1 (bội k) Với = ta dễ dàng tìm sở trực chuẩn: Trnh Th L 50 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip 1 u1 ,0, ,0, 1 u2 0, , , ,0 2 1 uk 0, , , , ,0 2 Với = -1 ta tìm sở trực chuẩn: 1 uk 0, , , , ,0 2 1 u2 k 0, , , ,0 2 u2 k ,0, , ,0 2 Ma trận trực giao Q cần tìm là: 2 1 2 Q= 1 2 1 Trường hợp 2: n lẻ ( n = 2k+1) Khai triển theo dòng thứ k+1và sau tính trường hợp 1, ta được: Trnh Th L 51 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip det(A - .En) = D2k+1 = (1 - ).(2 1)k Vậy A có hai giá trị riêng = (bội k+1), = -1 (bội k) Từ suy ma trận trực giao C trường hợp giống trường hợp chẵn Bài 5: Chứng minh rằng: Hai ma trận đồng dạng có đa thức đặc trưng, có giá trị riêng? Hướng dẫn: Giả sử A, B hai ma trận đồng dạng, tồn ma trận khả nghịch T cho B=T-1.A.T Khi đó: B E T AT E T A E T A .E Bài 6: Cho ma trận a a a , với a số thực khác Hãy tính An A= a a a với n số tự nhiên Gợi ý: Ma trận A chéo hóa thành ma trận B= 0 a2 sở gồm hai vectơ (1,a);(-1,1) Ma trận chuyển từ sở cho sang sở gồm hai vectơ riêng nói T = a An (T B.T ) n T B.T 1.T B.T T B.T n T B T 1 a n a a a n 1 a 2n a a2n Bài 7: Cho ma trận A Tính A2011 Trnh Th L 52 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Hướng dẫn: Ma trận A chéo hóa thành ma trận D Ma trận làm chéo hóa ma trận A P 12011 Do ta có: A2011 P.D 2011.P 2011 32011 2011 2.3 Trnh Th L 53 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip C kết luận Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài Chéo hóa ma trận em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Ma trận ma trận đồng cấu tuyến tính, vectơ riêng giá trị riêng, số phương pháp tính giá trị riêng vectơ riêng, chéo hóa ma trận, phương pháp chéo hóa ma trận, ứng dụng ma trận chéo Trong khóa luận tốt nghiệp em nêu số nhận xét, ý ví dụ cụ thể để hiểu rõ nội dung khóa luận đề cập đến Mong tài liệu bổ ích cho bạn đọc quan tâm tới vấn đề chéo hóa ma trận Qua việc thực nghiên cứu đề tài này, em mở rộng tầm hiểu biết vấn đề chéo hóa ma trận làm quen với việc nghiên cứu khoa học Do thời gian có hạn, lần làm quen với nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên khóa luận em nhiều thiếu sót Em hy vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc Trnh Th L 54 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Tài liệu tham khảo Khu Quốc Anh Nguyễn Anh Kiệt Tạ Mẫn Nguyễn Doãn Tuấn (2001), Bài tập đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Bùi Thanh Hải Trịnh Thanh Đèo Thái Minh Đường Trần Ngọc Hội, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Trần Trọng Huệ, Giáo trình đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh (1996), Giáo trình đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Lương Hữu Thành (1998), Hướng dẫn giải tập đại số tuyến tính, Trường Đại học Giao thông vận tải Nguyễn Duy Thuận, Bài tập đại số tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm Phan Hồng Trường (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặng Văn Vinh (2008),Bài giảng môn toán ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh Trnh Th L 55 K35C SP Toỏn [...]... thì f chéo hóa được khi và chỉ khi ma trận A của f đồng dạng với ma trận chéo Định nghĩa 2 Ma trận AMat(nn,) đồng dạng với ma trận chéo B Mat(nn,) thì A được gọi là ma trận chéo hóa được Nếu A chéo hóa được thì mọi ma trận đồng dạng với nó cũng chéo hóa được Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có) để C-1.A.C là một ma trận chéo gọi là việc chéo hóa ma trận Trnh Th L 23 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn... là ma trận trực giao Khi đó ma trận A làm chéo hóa trực giao được 2.3 Phương pháp chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận A cho trước là việc ta đi tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có) để C-1.A.C là một ma trận chéo Làm thế nào để tìm ra ma trận C và ma trận C có tính chất đặc biệt gì phụ thuộc vào kiểu của ma trận A mà nó làm chéo hóa Trnh Th L 30 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Nếu A là ma. .. những vectơ cột của ma trận C độc lập tuyến tính nên C là ma trận khả nghịch Từ A.C = C.B B = C-1.A.C Hay A chéo hóa được 2.2 Chéo hóa trực giao Định nghĩa 1 Cho ma trận vuông A, nếu tồn tại ma trận trực giao C sao cho C-1.A.C là ma trận chéo thì A gọi là chéo hóa trực giao được, và C gọi là ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận A Định lý 1 Nếu ma trận vuông A đối xứng thì các vectơ riêng tương ứng với... Nếu A là ma trận bất kì, A không đối xứng thì C là ma trận có các vectơ cột là các vectơ riêng của A Nếu A là ma trận đối xứng thì C là một ma trận trực giao, với các vectơ cột là một cơ sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng của A Sau đây ta đi nghiên cứu hai dạng bài toán chéo hóa ma trận cơ bản như sau: 2.3.1 Bài toán 1 Cho ma trận AMat(nn,), hãy tìm ma trận khả nghịch CMat(nn,) và ma trận B Mat(nn,)... sử ma trận A làm chéo hóa trực giao được và tồn tại ma trận trực giao C sao cho C-1.A.C = B, trong đó B là ma trận chéo ma n vectơ cột của C là các vectơ riêng của A Mặt khác, C là ma trận trực giao nên theo định nghĩa các vectơ cột của C là hệ trực chuẩn Ngược lại, giả sử A có n vectơ riêng trực chuẩn c1,,cn Kí hiệu C=[c1,,cn] là ma trận vuông gồm các vectơ cột c1,,cn Ma trận C-1.A.C là ma trận chéo. .. Nói cách khác f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V mà ma trận của f đối với cơ sở đó là ma trận chéo Gọi AMat(nn,) là ma trận của f trong một cơ sở bất kì của V Từ định nghĩa ta suy ra rằng f chéo hóa được nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận CMat(nn,), C không suy biến (det C 0) và C-1.A.C có dạng chéo, nghĩa là: 1 0 0 2 C-1.A.C = 0 0 0 0 n Nhận xét: Giả sử A là một ma trận trong một... = 2 là: 3 (3, 2,2) Vậy ma trận A có các giá trị riêng là 1=3, 2=1, 3=2 và các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng là: 1 = (1,3,4) , 2 = (1,1,1), 3 = (3,2,2) Trnh Th L 22 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Chương 2: chéo hóa ma trận 2.1 Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu Định nghĩa 1 Tự đồng cấu f của - không gian vectơ hữu hạn chiều V được gọi là chéo hóa được nếu ta tìm được một... vectơ riêng của f Vậy f chéo hóa được Hệ quả: Nếu k là nghiệm bội mk của phương trình đặc trưng của ma trận A vuông cấp n và nếu Rank(A-k.En)= n-mk thì A có mk vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với gia trị riêng k Trnh Th L 27 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Định lý 4 (Điều kiện cần và đủ để một ma trận chéo hóa được) Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là A có n vectơ... minh: Giả sử f chéo hóa được Khi đó ta có thể tìm được một cơ sở của V sao cho đối với cơ sở này f có ma trận chéo là A với mi phần tử nằm trên đường chéo 1,2,,k, trong đó n m1 mk và các 1,2,,k đôi một khác nhau Ta có: Trnh Th L 26 K35C SP Toỏn Chộo húa ma trn Khúa lun tt nghip Pf X Pf X (1 X ) m1 (k X ) mk n m 1 X 1 1 X k mk Nhận xét rằng ma trận (A-i.En) là một ma trận chéo với mi... tuyến tính trong 2 Vậy { 1 =(1,-2) , 2 = (1,1)} là một cơ sở của 2 để trong cơ sở đó ma trận A của f có dạng chéo, ma trận đó là: 1 0 0 13 B= Ví dụ 2 Cho tự đồng cấu f : VV có ma trận A: 5 0 0 0 5 0 A= 1 4 3 1 2 0 0 0 0 3 Đưa ma trận A về dạng đường chéo nếu được? Lời giải: Phương trình đặc trưng của ma trận A là: Trnh Th L 33 K35C SP Toỏn ... ma trận sở V f chéo hóa ma trận A f đồng dạng với ma trận chéo Định nghĩa Ma trận AMat(nn,) đồng dạng với ma trận chéo B Mat(nn,) A gọi ma trận chéo hóa Nếu A chéo hóa ma trận đồng dạng với chéo. .. Chương 2: chéo hóa ma trận 23 2.1 Chéo hóa ma trận tự đồng cấu 23 2.2 Chéo hóa trực giao 29 2.3 Phương pháp chéo hóa ma trận 30 2.4 ứng dụng chéo hóa ma trận ... C-1.A.C ma trận chéo Do vectơ cột C n vectơ trực chuẩn nên C ma trận trực giao Khi ma trận A làm chéo hóa trực giao 2.3 Phương pháp chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận A cho trước việc ta tìm ma trận