Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em nhận dìu dắt, bảo tạo điều kiện giúp đỡ thầy cô khoa Toán nói chung tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt hướng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình thầy giáo TS.Khuất Văn Ninh Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS.Khuất Văn Ninh Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Giải tích, thầy cô giáo khoa Toán, cảm ơn gia đình, bạn bè bạn sinh viên quan tâm đóng góp ý kiến cho đề tài em Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng LỜI CAM ĐOAN Kết đề tài nỗ lực cố gắng tìm tòi thân Em xin cam đoan kết nghiên cứu em không trùng với kết tác giả khác Hà Nội ngày 18/5/2009 Sinh viên: Phạm Thị Hoa Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU NỘI DUNG KHOÁ LUẬN Chƣơng 1: Kiến thức sở I Các khái niệm Số gần Sai số Sai phân II Khái quát phương trình vi phân Một số khái niệm Bài toán Cauchy phương trình vi phân thường cấp Bài toán Cauchy hệ phương trình vi phân thường cấp 10 Điều kiện Lipschitz 10 Chƣong 2: Các phƣơng pháp giải gần toán Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng 11 I Các phương pháp giải tích 11 Phương pháp lặp đơn 11 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard 13 Phương pháp chuỗi số nguyên 15 II Các phương pháp số 16 Phương pháp Euler 16 Phương pháp Euler Cauchy 18 Phương pháp Runge Kutta 20 Phương pháp Adams 25 III.Ứng dụng tin học để giải phương trình vi phân thường Phạm Thị Hoa K31E-SPToán 29 Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng Ứng dụng chương trình MapleV 29 Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal 30 Chƣơng 3: Các tập ứng dụng 38 I Các tập ứng dụng phương pháp giải tích 38 II Các tập ứng dụng phương pháp số 45 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng LỜI NÓI ĐẦU Thế kỷ XXI kỷ bùng nổ công nghệ thông tin, ứng dụng công nghệ thông tin có đóng góp to lớn hiệu mặt đời sống Và từ lâu tin học ứng dụng vào môn Toán Có số liệu tính toán cồng kềnh toán phức tạp giải tay dùng lập trình máy vi tính có kết nhanh gọn xác Các bạn sinh viên học môn phương trình vi phân từ kì II năm thứ ba, bạn quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm toán Cauchy phương trình vi phân thường Thế có nhiều trường hợp nghiệm phương trình vi phân tìm Bởi để tìm nghiệm chúng, ta phải áp dụng phương pháp gần khác Ở phương pháp dùng lập trình Pascal hay sử dụng thuật toán MapleV để giải toán Với mong muốn học hỏi tích luỹ thêm cho kỹ kinh nghiệm tiếp cận với ứng dụng công nghệ thông tin váo việc giải toán đồng thời để hiểu sâu phương trình vi phân em mạnh dạn chọn đề tài là: “Các phương pháp giải toán Cauchy phương trình vi phân thường” Nội dung khoá luận gồm chương: Chƣơng 1: Kiến thức sở Chương nhằm trình bày khái niệm định lý vấn đề có liên quan đến nội dung chương trình bày Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng Chƣơng 2: Các phƣơng pháp giải gần toán Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng I Các phương pháp giải tích Phương pháp lặp đơn Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard Phương pháp chuỗi số nguyên II Các phương pháp số Phương pháp Euler Phương pháp Euler-Cauchy Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Adams III Ứng dụng tin học để giải phương trình vi phân thường Ứng dụng chương trình MapleV Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal Chƣơng 3: Các tập ứng dụng I Các tập ứng dụng phương pháp giải tích II Các tập ứng dụng phương pháp số Mặc dù có nhiều cố gắng song thời gian có hạn điều kiện nghiên cứu hạn chế đồng thời kiến thức thân người làm khoá luận chưa vững nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận quan tâm góp ý thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc quan tâm đến vấn đề để khoá luận hoàn thiện Hà Nội 18/5/2009 Sinh viên: Phạm Thị Hoa Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ I Các khái niệm: Số gần Trong tính toán, ta thường phải việc với giá trị gần đại lượng Ta nói a số gần a * , a không sai khác a * nhiều Sai số a) Sai số tuyệt đối, sai số tương đối +) Sai số tuyệt đối: Đại lượng  : a  a* gọi sai số thật a Do a * nên ta  Tuy nhiên ta tìm a  , gọi sai số tuyệt đối a , thoả mãn điều kiện: a  a*  a hay a  a  a*  a  a +) Sai số tương đối: đại lượng  a : a a b) Sai số thu gọn: Một số thập phân a có dạng tổng quát sau: a     p10 p   p110 p1    ps10 ps  ≤  i ≤  i  p  s, , p  1 ;  p  số nguyên Nếu s  , a số thập phân vô hạn Thu gọn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số a ngắn gọn gần với a c) Sai số tính toán: Các số vốn có sai số, thêm sai số thu gọn nên tính toán xuất sai số tính toán Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng Sai phân +) Sai phân: Giả sử f : R  R hàm số cho trước h  const  Ta gọi sai phân cấp f  x đại lượng f  x   f  x  h   f ( x) +) Tỷ sai phân cấp f  x  f(x) h Một cách tổng quát n f ( x)    n1 f ( x)  ,  n  1 , 0 f ( x) : f ( x) II Khái quát phƣơng trình vi phân: Một số khái niệm: a) Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát: F ( x, y, y ')  (a) hàm F xác định miền D   Nếu miền D , từ phương trình (a) ta giải y ' : y '  f ( x, y ) ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm b) Phương trình vi phân cấp n: Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát F ( x, y, y ', , y ( n) )  (b) Hàm F xác định miền G không gian  n2 Trong phương trình (b) vắng số biến x, y, y ', , y ( n1) y ( n ) thiết phải có mặt Nếu từ (b) ta giải đạo hàm cấp cao nhất, tức phương trình (b) có dạng: y ( n)  f ( x, y, y ', , y( n1) ) thf ta phương trình vi phân cấp n giải đạo hàm cấp cao Bài toán Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng cấp Xét toán Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng t, x   R  0,T    x0  r, x0  r  Trong x (t ) hàm biến xác định  0,T  với  0,T  cho trước, hàm f (t , x) x0 cho trước gọi toán Cauchy phương trình vi phân thường cấp 1, điều kiện (2) gọi điều kiện Cauchy hay điều kiện ban đầu a) Định lý 1(định lý tồn nghiệm) Xét toán (1-2),  t , x   R  0,T    x0  r , x0  r  Nếu f (t , x) hàm liên tục hình chữ nhật R(r  cố định) tồn nghiệm x (t ) phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (2) tức x (t ) nghiệm toán (1-2) b) Định lý 2(định lý nghiệm) Xét toán (1-2) Nếu f (t , x) hàm liên tục hình chữ nhật R(r  cố định) f (t , x) thoả mãn điều kiện Lipschitz tho biến x hình chữ nhật R tức là: Trong N số (gọi số Lipschitz) nghiệm toán (1-2) xác định c) Định lý (định lý tồn nghiệm) Xét toán (1-2),  t , x   R  0,T    x0  r , x0  r  Hàm f (t , x) xác định R(r  cố định) thoả mãn điều kiện : a f (t , x) liên tục R R đóng ới M  max f (t , x)  t , x R Phạm Thị Hoa K31E-SPToán bị chặn Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 10 b f (t , x) thoả mãn điều kiện Lipchitz số tồn nghiệm x (t ) toán (1-2) xác định [0,T] Bài toán Cauchy với hệ hai phƣơng trình vi phân: Điều kiện Lipschitz Ta nói miền G hàm f ( x, y ) thoả mãn điều kiện Lipschitz   theo biến y tồn số L > cho hai diểm x, y  G,  x, y   G bất kì, ta có bất đẳng thức Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 40 Hướng dẫn a) y’= ; y(0)=0 (1.5) xác định liên tục toàn mặt phẳng (x,y) nên Hàm f(x,y)= a, b chọn tuỳ ý Đặt b=ka Khi  b h =  a,  M    ak ak   = a ,  =  a,   2    a (1  k )   a(1  k )  Nếu k cố định GTLN h đạt h= =>a= k 1 k2 k 1 k2 Khi k thay đổi ta thấy giá trị h dạt cực dại với k=1 =>h= Vậy trình xáp xỉ liên tiếp để tìm nghiệm (1.5) hội tụ đoạn Với ta có Lipschitz k dây đánh sau: L= max , = , = Áp dụng (1.2) ta có: (x) =0 = = Phạm Thị Hoa K31E-SPToán (vì k=1) Hằng số Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng = = = = Với giá trị gần Cụ thể: 11 15  2  2 y3  y2       < 0,000022 2079   59535   Vì lấy nghiệm gần đúng: y(x) (x)= Nếu áp dụng công thức sai số (1.4) ta dược: = = 0,03 b)…tương tự ta tính được: x x t2 dt y3 ( x)  y0 ( x)   f (t , y2 (t ))dt    t3  0  ln Đặt ln  t3  t3   ln   1 =y; 3  t3   e y  t dt  e y dy ; t=0y=0; Phạm Thị Hoa K31E-SPToán 41 Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng  x3  t= x y=ln   1  y3 ( x)     c) y1 ( x)  y (0) x x 0 ln(1  x3 ) 42 ey dy 1 y    t  y1 y2 dt     t  y1 y2 dt ; x y2 ( x )  y (0) x    t  y dt    t  y12 dt 2 0 Lấy y1(0)  1; y2(0)  áp dụng liên tiếp công thức: x yn ( x)  y0   f  t , yn1 (t ) dt Cho y1 ( x) y2 ( x) ta nhận dãy nghiệm gần sau: x x2    tdt   (1) y x x3 y    t  1 dt   x  (1) 2   t  t   x4 x6    t  1    t   dt       24 36  0 x (2) y   t  x5   t  1  t    dt   x   20  0 x y (2)   t t  t  x6 x8 x10 x12    t  1    t    dt      24 36 20 720 288 4500 8640    0 x (3) y Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 43 d) y’=y2+2 x ; y(0)=0; Ta thấy hàm số f ( x, y)  y  x toàn mặt phẳng thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến y yo(x)=y(0)=0; x y1( x )=yo+  2tdt  x ;  t  x x5 y2( x )=yo+   2t  t dt    t    x ; 5 0 x  t10 2t  x11 x8 x5 y3( x )=yo+   2t    t dt     x2 25 275 20  0 x Bài Bằng phương pháp chuỗi số nguyên giải gần phương trình sau a) y’= ; y(0)=0 b)y’=x-y; y(0)=1 c)y”+xy’+y=0; y(0)=0; y’(0)=1 Hướng dẫn a) y’= ; y(0)=0 y’(0)=0; y”(x)=2x+2yy’; y”’= 2+2yy”+ ; Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng … Thế x=0 vào biểu thức ta được: y”(0)=0, y”’(0)=2, = 80 Ta thấy từ y(n)(0)= ,n ≥8 Vậy y(x)= b) y '  x  y; y (0)  Ta có: y’(0)  1 ; y”   y '  y”(0)=2; y’”   y "  y”’(0)  2 … y(n)(0)  (1)n n Vậy y( x ) =  k 0 y ( k ) (0) k x3 (1)n n x   x  x    x k! n! c)y”+xy’+y=0; y(0)=0, y’(0)=1 Ta có: y”   xy ' y  y”(0)=0; Phạm Thị Hoa K31E-SPToán 44 Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 45 y’”  2 y ' xy "  y’”(0)  2; y(4)  3 y '' xy "'  y(4)(0)=0; y(5)  4y (3)  xy (4)  y(5)(0)=8 y(6)  5y (4)  xy(5)  y(6)(0)=0; y(7)  6y (5)  xy(6)  y(7)(0)  48; … y(2m)(0)=0; y(2m+1)(0)  (1)m (2m)!!; m1 x3 x Vậy y ( x)  x     (1)m  2m !! x 15 (2m  1)! II Các tập ứng dụng phƣơng pháp số Bài Bằng phương pháp Euler giải toán Cauchy sau: a) y’=y+(1+x) b) y’= , y(1)  1 , h=0,1, a=1, b=1,5 ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y '  x2  y  2; y(1)  3; h  0,1; a  1; b  Hướng dẫn Thay liệu tương ứng với phần vào lập trình mục III chương ta có bảng sau: Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng a) y’=y+(1+x) b) y’= 46 , y(1)  1 , h=0,1, a=1, b=1,5 ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y '  x2  y  2; y(1)  3; h  0,1; a  1; b  Bài Bằng phương pháp Euler cải tiến tìm nghiêm gần toán sau: a) y’=y+(1+x) b)y’= , y(1)=-1, h=0,1, a=1, b=1,5 ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y '  x2  y  2; y(1)  3; h  0,1; a  1; b  Hướng dẫn Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 47 Thay liệu tương ứng với phần vào lập trình mục III chương ta có bảng sau: a) y’=y+(1+x) b) y’= , y(1)  1 , h=0,1, a=1, b=1,5 ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y '  x2  y  2; y(1)  3; h  0,1; a  1; b  Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 48 Bài Bằng phương pháp Runge-Cutta tìm nghiệm gần toán sau a)y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] b)y’= , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5 c)y’= , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 d)y’=y+(1+x) , y(1)=-1, h=0,1, a=1, b=1,5 e)y’   ycosx+sinxcosx; y(0)  1 , h=0,1, a=0, b=1 Hướng dẫn Thay liệu tương ứng với phần vào lập trình mục III chương ta có bảng sau: Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] Chọn n=10 K1 K2 b) y’= K3 K4 y y y y y y , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5 Chọn n=10 K1 c) y’= K2 K3 K4 , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 Chọn n=7 K1 K2 K3 K4 Phạm Thị Hoa K31E-SPToán 49 Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng d) y’=y+(1+x) 50 , y(1)  1 , h=0,1, a=1, b=1,5 Chọn n=5 K1 K2 K3 K4 y y y y d) y’   ycosx+sinxcosx; y(0)  1 , h=0,1 Chọn n=10 K1 K2 K3 K4 Bài Bằng phương pháp Adams tìm nghiệm gần toán sau a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] b) y’= , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5 c) y’= , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 d) y’=y+(1+x) , y(0)   1, h=0,1, a=1; b=1,5 e) y’   ycosx+sinxcosx; y(0)  1 , h=0,1 Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 51 Hướng dẫn Thay liệu tương ứng với phần vào lập trình mục III chương ta có bảng sau: a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] Chọn n=10 x y b) y’= y* , y(1)=0, h=0,1, a=1, b=1,5 Chọn n=10 x c) y’= y y* , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 Chọn n=10 x y y* Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng d) y’=y+(1+x) , y(0)   1, h=0,1, a=1; b=1,5 Chọn n=10 x y y* e) y’   ycosx+sinxcosx; y(0)  1 , h=0,1 Chọn n=10 x y y* Phạm Thị Hoa K31E-SPToán 52 Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 53 KẾT LUẬN Giải gần toán Cauchy phương trình vi phân thường dạng toán phức tạp, việc nghiên cứu tìm hiểu cách sâu sắc không đơn giản Do điều kiện nghiên cứu hạn chế nên khoá luận không đưa tất phương pháp để giải toán Cauchy phương trình vi phân thường việc đưa ứng dụng tin học vào giải toán chưa hoàn thiện Song nội dung khoá luận đưa phương pháp quan trọng dùng ngôn ngữ Pascal để lập trình kết hợp với chương trình MapleV để giải toán Do kiến thức thân người làm khoá luận hạn chế đồng thời chưa có kinh nghiệm nghiên cứu đề tài khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Em hy vọng nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên để nâng cao thêm chất lượng khoá luận Em mong đề tài tiếp tục người quan tâm hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh(2005), “Giải tích số”, NXB ĐHQG Hà Nội(Tái lần thứ 7) Nguyễn Minh Chương-Nguyễn Văn Khải-Khuất Văn Ninh-Nguyễn văn Tuấn-Nguyễn Tường(2001), “Giải tích số”, NXB Giáo Dục Phạm Huy Điển(2002), “Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple”, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Nguyễn Thế Hoàn-Phạm Phu, “Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định”, NXB Giáo Dục Phạm Thị Hoa K31E-SPToán [...]...Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải bài toán Cauchy đối với ptvp thƣờng 11 CHƢƠNG 2 CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Các phương pháp giải phương trình vi phân chia làm 2 nhóm: *Nhóm các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức giải tích *Nhóm các phương pháp số cho phép tìm nghiệm dưới dạng bảng... ptvp thường ta khởi động chương trình Maple và nạp gói công cụ cho phép giải bằng các lệnh sau: [ > restart; [ > with (DEtools); b) Bài tập(phần bài tập này đưa ra mục đích để tìm nghệm đúng của các phương trình vi phân phục vụ cho bài tập giải phương trình vi phân bằng phưong pháp Euler và phương pháp Euler -Cauchy dưới đây) Dùng thuật toán MapleV giải các phương trình vi phân sau: 1.y’ = y+(1+x)y2, y(1)... Phƣơng pháp xấp xỉ liên tiếp Picard a) Nội dung phương pháp *) Tìm nghiệm của bài toán Cauchy (1-2) là phương pháp xấp xỉ liên tiếp Gỉả sử các điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm được thoả mãn Vi c giải bài toán tương đương với vi c tìm nghiệm của phương trình tích phân sau: y ( x) = + Vì ẩn y ( x ) tham gia vào dưới dấu tích phân nên gọi (1.1) là phương trình tích phân *) Nội dung của phương pháp: Thay... k 0 4 (4) II Các phƣơng pháp số 1 Phƣơng pháp Euler a) Nội dung phương pháp Xét bài toán Cauchy: y '  f ( x, y ), a  x  b (1) y(a)  y0 (2) Phạm Thị Hoa K31E-SPToán 16 Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải bài toán Cauchy đối với ptvp thƣờng 17 Chia đoạn  a, b thành các đoạn nhỏ bởi các điểm chia xi (i=0, 1, …, N) sao cho: a  x0  x1   xN  b Giả sử hàm f ( x, y ) có các đạo hàm riêng... ta tính được các đại lượng ( ), (k=0, 1, ,…,N) Để tính y ' ( )= f ( ( ) ta xuất phát từ bài toán (1-2), ta có: ) Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải bài toán Cauchy đối với ptvp thƣờng Lấy đạo hàm các cấp cả 2 vế (1) rồi thế x = giá trị vào ta được lần lượt các ( ), (k=0, 1, ,… b) Ví dụ Bằng phương pháp chuỗi hàm nguyên giải bài toán sau: x( )=2; y (1)=0 Giải 2 y'= ... dsolve({diff_eq4,init_con},{y(x)}); Kết quả: y(x)= e 1 x 2 Phạm Thị Hoa K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải bài toán Cauchy đối với ptvp thƣờng 2.Ứng dụng của ngôn ngữ lập trình Pascal Ví dụ: Giải phương trình sau: y’=xy/2, y(0)=1 trên [0; 0,5] 2.1) Phƣơng pháp Euler Lập trình để giải bài toán bằng phương pháp này như sau: uses crt; var mx, my, ms: array[0 100] of real; h, xi,yi,z,... K31E-SPToán 0,234211 0,234211 Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải bài toán Cauchy đối với ptvp thƣờng 25 1,45 0,776580 2,521146 0,252115 0,504229 1,45 0,785532 2,533493 0,253349 0,506700 1,50 0,912824 2,717099 0,271710 0,271711 0,252808 5 1,5 0,912283 2,716377 4 Phƣơng pháp Adams a) Nội dung phương pháp Năm 1855, nhà toán học người Anh Adams đề xuất một phương pháp đa bước giải bài toán Cauchy. .. 1,7320 2 Phƣơng pháp Euler -Cauchy a) Nội dung của phương pháp Xét bài toán Cauchy (1-2) Ta cũng phân hoạch  a, b bởi các điểm N chia {xi }i 0 ( a  x0  x1   xN  b ) Phương pháp Euler đã trình bày ở trên tính giá trị gần đúng yi  y( xi ) tuy đơn giản nhưng độ chính xác chưa cao Để khắc phục nhược điểm này chúng ta sử dụng phương pháp Euler -Cauchy Sơ đồ tính toán của phương pháp này như sau:... Sau đây, ở mỗi nhóm chúng ta sẽ xét một vài phương pháp cụ thể I Các phƣơng pháp giải tích 1 Phƣơng pháp lặp đơn a) Nội dung phương pháp Xét bài toán giá trị ban đầu sau đây: y'  dy  f ( x, y ) dx (1) y '( ) = (2) Giả sử f ( x, y ) là hàm liên tục trên R= ] Khi đó bài toán (1), (2) tương đương với phương trình tích phân y ( x) = + (3) Nghiệm của phương trình (3) được xác định bằng dãy x   yn (... + + -+') ; readln end Cho chạy chương trình ta có kết quả sau: 2.2) Phƣơng pháp Euler -Cauchy Lập trình để giải bài toán bằng phương pháp này như sau: uses crt; var mx, my: array[0 100] of real; h, xi,yi,z, a, b:real;i,j,n:integer; function ham(x,y:real):real; Phạm Thị Hoa K31E-SPToán 32 Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải bài toán Cauchy đối với ptvp thƣờng 33 var f:real; begin f:=(x*y)/2; ... thức sở I Các khái niệm Số gần Sai số Sai phân II Khái quát phương trình vi phân Một số khái niệm Bài toán Cauchy phương trình vi phân thường cấp Bài toán Cauchy hệ phương trình vi phân thường cấp... K31E-SPToán Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng 11 CHƢƠNG CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Các phương pháp giải phương. .. giải tích Phương pháp lặp đơn Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard Phương pháp chuỗi số nguyên II Các phương pháp số Phương pháp Euler Phương pháp Euler -Cauchy Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp