1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN TH BèNH MINH V CHIU NG IU LUN VN THC S TON HC VINH - 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN TH BèNH MINH V CHIU NG IU Chuyờn ngnh: I S V Lí THUYT S Mó s: 60.46.05 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS O TH THANH H VINH - 2012 MC LC Trang MC LC. LI NểI U Chng Kin thc c s Chng Chiu ng iu 14 2.1 Chiu x nh . 14 2.2 Chiu ni x .20 2.3 Chiu phng .25 2.4 Chiu ton th . 30 2.5 Chiu Tor.. 31 KT LUN ..34 TI LIU THAM KHO 35 LI NểI U Trong i s ng iu, chiu ng iu ca vnh R c ký hiu l gl.dimR l mt s nguyờn khụng õm hoc vụ hn, ú l mt bt bin ng iu ca vnh Nú c nh ngha l cn trờn ca chiu x nh ca mi R- mụun Chiu ng iu l mt khỏi nim quan trng lý thuyt chiu ca vnh Noether v nú cú nh hng i s giao hoỏn Chỳng ta bit rng, mi mụun u cú th nhỳng vo mụun ni x, ng thi mi mụun u l nh ca mụun x nh (vỡ nú l thng ca mụun x nh), ú ta cú th tỡm c li gii ni x hay x nh ca nú Tớnh ni x hay x nh cú th o phc ca mụun hay núi cỏch khỏc phc ca mụun ph thuc vo di ca gii ni x v x nh Nu nh chiu ton th c nh ngha qua chiu x nh hay chiu ni x thỡ chiu Tor c nh ngha thụng qua chiu phng Núi chung chiu Tor nh hn hoc bng chiu ton th Du bng xy vnh c s l Noether Lun trung nghiờn cu v trỡnh by li mt cỏch chi tit cỏc v chiu ng iu da vo [5] v [8] Trong sut lun luụn qui c R l vnh giao hoỏn cú n v l Lun gm chng: Chng Kin thc c s Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c s ca i s ng iu cú s dng lun nh: Mụun ni x, mụun x nh, cỏc hm t Ext, hm t Tor, hm t ng iu, Ngoi chỳng tụi cũn trớch dn mt s kt qu ó cú nhm phc v cho cỏc chng minh phn sau Chng Chiu ng iu Trỡnh by cỏc khỏi nim v cỏc tớnh cht ca chiu x nh, chiu ni x, chiu phng, chiu ton th v chiu Tor Lun c hon thnh ti Trng i hc Vinh, di s hng dn ca TS o Th Thanh H Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc ti cụ, ngi ó nh hng nghiờn cu, thng xuyờn quan tõm, to mi iu kin thun li, cựng vi nhng li ng viờn khớch l tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tỏc gi xin chõn thnh cm n quý thy cụ b mụn i s v Lý thuyt s khoa Toỏn Trng i hc Vinh v Trng i hc ng Thỏp ó giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu vit v hon thnh lun ny Mc dự ó cú nhiu c gng, song lun khụng trỏnh nhng thiu sút Chỳng tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v ng nghip Ngh An, thỏng 10 nm 2012 Tỏc gi CHNG KIN THC C S Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c s ca i s ng iu cú s dng lun nh: Mụun ni x, mụun x nh, cỏc hm t Ext, hm t Tor, hm t ng iu, Ngoi chỳng tụi cũn trớch dn mt s kt qu ó cú nhm phc v cho cỏc chng minh phn sau 1.1 Mụ un ni x 1.1.1 nh ngha Mt mụun E c gi l ni x nu vi mi n cu E u m rng thnh O A B v vi mi ng cu f : A E cho biu sau giao hoỏn ng cu g : B O A B f g E Tc l f = g. 1.1.2 nh ngha Cho M l R- mụun Mt dóy khp M E E1 E n c gi l mt gii ni x ca M nu cỏc mụun E i l mụun ni x vi mi i 1.1.3 nh lý Mi mụun M u cú gii ni x 1.1.4 Vớ d R l iờan chớnh Q l mt trng cỏc thng ca R, ta cú gii ni x sau: R Q Q R 1.1.5 nh lý Mt mụun E l ni x v ch Hom(, E ) l hm t khp 1.2 Mụun x nh 1.2.1 nh ngha Mt mụun P c gi l x nh nu vi ton cu tựy ý p N tn ti ng cu M N O v vi mi ng cu f : P g : P M cho biu sau giao hoỏn P g f p M N O Tc l f = p.g 1.2.2 nh ngha Cho M l R-mụun Mt dóy khp Pn Pn P1 P0 M c gi l mt gii x nh ca M nu cỏc mụun Pi l mụun x nh vi mi i 1.2.3 nh lý Mt mụun P l x nh v ch Hom( P, ) l hm t khp 1.3 Mụun phng 1.3.1 nh ngha Mt R-mụun M c gi l phng nu vi mi dóy khp cỏc R-mụun An +1 An An A: ta cú dóy khp cỏc R-mụun A R M : An +1 R M An R M An R M 1.3.2 Nhn xột (i) Mt R-mụun M l phng nu v ch nu t dóy khp ngn cỏc R-mụun A B C ta cú dóy khp cỏc R-mụun A R M B R M C R M (ii) Mt R-mụun M l phng nu v ch nu t n cu : A B ta cú n 1M B R M cu A R M 1.3.3 nh ngha Mt R-mụun M c gi l hon ton phng nu A l khp v ch A R M l khp R 1.3.4 nh lý Nu F l mụun phng thỡ Torn ( F , B) = 0, n R 1.3.5 Mnh Nu Tor1 ( F , B ) = 0, B thỡ F l mụun phng 1.3.6 Mnh Mi mụun x nh u l mụun phng Chng minh Gi s A l mụun x nh, ta cn chng minh A l phng Tht vy, ta ly mt dóy khp ngn tựy ý B ' B B '' ta cú dóy khp di TornR ( A, B ' ) TornR ( A, B ) TornR ( A, B '' ) Tor1R ( A, B ' ) Tor1R ( A, B ) Tor1R ( A, B '' ) A R B ' A R B A R B '' R Do A l x nh nờn Torn ( A, B ) = 0, n , vi mi mụun B Suy A R B ' A R B A R B '' l khp Vy A l phng 1.4 Hm t khp àR c gi l hm t khp nu nú bin mt 1.4.1 nh ngha T : àR dóy khp thnh mt dóy khp d n+1 dn d n1 : M n +1 M n M n l khp, thỡ Td n Td n1 T : TM n +1 TM n TM n Td n+1 cng l khp (vi T l hm t hip bin) Td n+1 Td n Td n1 T : TM n +1 TM n TM n cng l khp (vi T l hm t phn bin) 1.4.2 nh ngha Mt hm t hip bin F c gi l khp trỏi nu t dóy khp M N P kộo theo dóy khp F F FM FN FP Mt hm t hip bin F c gi l khp phi nu t dóy khp M N P kộo theo dóy khp F F FM FN FP 1.4.3 nh ngha Mt hm t phn bin F c gi l khp trỏi nu t dóy khp M N P kộo theo dóy khp F F FP FN FM Mt hm t hip bin F c gi l khp phi nu t dóy khp M N P kộo theo dóy khp F F FP FN FM 1.4.4 nh ngha Mt hm t (hip bin, phn bin) c gi l khp nu nú va khp trỏi va khp phi 1.4.5 Mnh Hom(M, ) l hm t hip bin, khp trỏi v Hom( , M) l hm t phn bin, khp trỏi 1.4.6 Mnh Hm t tenx M R v R M l hm t hip bin, khp phi 10 1.5 Hm t ng iu 1.5.1 nh ngha Cho dóy phc (C): Kớ hiu: H n (C ) = d n+1 dn d n M n +1 M n M n K er d n Imd n +1 c gi l mụun ng iu th n ca phc (C) Kớ hiu: Z n (C ) = Kerd n c gi l mụun cỏc chu trỡnh th n ca phc (C) Bn (C ) = Im d n +1 c gi l cỏc b (hay biờn) th n ca phc 1.5.2 nh ngha Cu x f : M N (C) l mt b f = ( f n +1 , f n , f n , ) cho biu sau giao hoỏn : d n+1 dn d n1 An +1 An An M f N f n +1 fn ' f n ' ' d n+1 dn d n1 An' +1 An' An' ú tớch cỏc cu x c nh ngha nh sau: f : M N, g :N P Thỡ ( g f ) n = g n f n , n  , f = ( f n +1 , f n , f n , ) c gi l mt chui ng cu A' l mt chui ng cu (trong ú A, A l 1.5.3 nh ngha Nu f : A cỏc phc) Khi ú ta cú cu x : H n ( f ) : H n ( A) H n ( A' ) Z n ( A) Bn ( A) a Z n ( A' ) Bn ( A' ) z + Bn ( A) a f n ( z ) + Bn ( A' ) 23 (2) Xột  l  -mụun Ta cú mt gii ni x ca  nh sau: i Â Ô Ô Â (trong ú i l ng cu t nhiờn, l phộp chiu t nhiờn) T õy, ta suy id ( ) = (3) Cho p l mt s nguyờn t Trờn vnh R =  p , ta cú A =  p l  p2 -mụun Khi ú, id ( p ) = Ta cú mt gii ni x ca  p nh sau: i p p p  p  p  p  p (trong ú i l ng cu t nhiờn, p l phộp phộp nhõn vi p ) Tip theo l cỏc mnh tng ng v chiu ni x 2.2.3 nh lý Gi s m l s nguyờn khụng õm Vi mt mụun tựy ý X trờn R v t ng cu ng nht i : X X , cỏc phỏt biu sau õy l tng ng: (i) id ( X ) m ; (ii) Ext m +1 (Y , X ) = vi mi mụun Y trờn R; (iii) Hm m : àR àR xỏc nh bi m (Y ) = Ext m (Y , X ), m ( f ) = Ext m ( f , i ) vi mi vt Y R v mi cu x f R l mt hm t phn bin khp phi; (iv) Vi mi dóy khp X E E1 E m A nhng mụun trờn R vi E i , i = 0, m ni x, mụun A l ni x Chng minh (i ) (ii ) Gi Y l mụun bt k trờn R Theo (i), tn ti mt gii ni x E ca X vi E n = 0, n > m iu ny kộo theo Hom(Y , E n ) = 0, n > m Vỡ vy ta c Ext n (Y , X ) H n [ Hom(Y , E )] = 0, n > m Ly n = m+1 ta c Ext m +1 (Y , X ) = 24 (ii ) (iii) Xột mt dóy khp ngn tựy ý cho trc f g U V W nhng mụun trờn R Theo nh lý 1.6.6 ta cú mt dóy khp sau: f* g* Ext n (W , X ) Ext n (V , X ) Ext n (U , X ) Ext n +1 (W , X ) ú f * = Ext n ( f , i ), g* = Ext n ( g , i ) v l ng cu ni Vỡ Ext m+1 (U , X ) = nờn ta c mt dóy khp f* g* Ext m (U , X ) Ext m (V , X ) Ext m (W , X ) v ú chớnh l m m (f) (g) m (U ) m (V ) m (W ) v ú m l mt hm t phn bin khp phi (iii ) (iv) Gi E l mt dóy khp (iv) n := 0, m , gi D n l mụun ca E n va l nh ca ng cu va l ht nhõn ca ng cu dóy E Khi ú ta c m dóy khp ngn: f X E D 0 D E1 D1 0 D1 E D D m E m D m g D m E m A 25 p dng nh lý 1.6.5 vo cỏc dóy khp trờn ta c cỏc dóy khp: m1 Ext m (Y , D ) Ext m (Y , X ) m2 Ext m (Y , D1 ) Ext m (Y , D ) m Ext m (Y , D ) Ext m (Y , D1 ) Ext (Y , D m ) Ext (Y , D m ) 0 Hom(Y , A) = Ext (Y , A) Ext (Y , D m ) Nh vy ta cú , , , m l cỏc ng cu cũn l ton cu Ext m (Y , X ) l mt ton cu v Ta cú = m m : Hom(Y , A) Ker ( ) = Ker ( ) Vỡ vy ta c dóy khp g* H om(Y , E m ) H om(Y , A) Ext m (Y , X ) vi mi mụun Y trờn R Vi mt n cu cho trc tựy ý h : Y Y ' , ta cú biu giao hoỏn sau: g* H om(Y , E m ) H om(Y , A) Ext m (Y , X ) g* H om(Y ', E m ) H om(Y ', A) Ext m (Y ', X ) Vỡ E m ni x f Hom(Y , E m ) g Hom(Y ', E m 26 ) : f = g h ton cu T dóy khp Y Y ' Ta cú dóy khp Ext m (Y ', X ) Ext m (Y , X ) ton cu Vy ton cu Nh vy ta ó chng minh rng, mi n cu h : Y Y ' v vi mi ng A cu k : Y A Hom(Y , A) , tn ti mt ng cu g : Y ' Hom(Y ', A) tha g.h = ( h) = k Theo nh ngha ca mụun ni x Ta suy A l ni x h O Y Y ' k g A (iv) (i ) Xột mt gii ni x tựy ý E ca mụun X trờn R Gi A l nh ca ng cu : E m E m E Khi ú ta c mt dóy khp X E E1 E m A Theo (iv), A l ni x Do ú ta c mt gii ni x E ca X vi E 'n 0( n >m) =A( n =m) E n ( n Do ú ta cú X E Tớnh cht khp ca dóy ny kộo theo rng : X E l mt ng cu Vỡ E l ni x, nờn X cng l ni x 2.3 Chiu phng 2.3.1 nh ngha Cho A l mt R-mụun Chiu phng ca A, kớ hiu: fd(A) l s nguyờn nh nht n cho tn ti mt gii phng ca A nh sau: Fn F1 F0 A Nu nh khụng tn ti s nguyờn n no nh th thỡ fd ( A) = 2.3.2 Vớ d (1) Ta bit rng, nu R l nguyờn thỡ trng cỏc thng Q ca nú l R-mụun phng (xem [7], H qu 3.48), vỡ vy, Ô l  -mụun phng khỏc khụng T ú, ta c mt gii phng ca Ô l: Ô Ô Do ú fd( Ô ) = 28 (2) Cho p l mt s nguyờn t Trờn vnh R =  p , ta cú A =  p l  p2 -mụun Khi ú, ta cú fd ( p ) = Ta cú mt gii phng ca  p nh sau: p p p  p2  p  p2  p (trong ú l ng cu t nhiờn, p l phộp phộp nhõn vi p ) (3) Cho p l mt s nguyờn t Trờn vnh R =  , ta cú A =  p l  -mụun Khi ú, ta cú mt gii phng ca A nh sau: p    p (trong ú l ton cu t nhiờn, p l phộp phộp nhõn vi p ) Do ú fd ( p ) = (4) Vỡ mi mụun x nh u l phng nờn fd ( A) pd ( A) vi mi A l R-mụun Chng hn trờn vnh  , ta cú fd (Ô ) = nhng pd (Ô ) = Sau õy l cỏc mnh tng ng v chiu phng 2.3.3 nh lý Gi s m l s nguyờn khụng õm Vi mt mụun tựy ý X trờn R v t ng cu ng nht i : X X , cỏc phỏt biu sau õy l tng ng: (i) fd ( X ) m ; R (ii) Torm +1 ( X , Y ) = vi mi mụun Y trờn R; (iii) Hm m : R R xỏc nh bi m (Y ) = Torm ( X , Y ), m ( f ) = Torm (i, f ) vi mi vt Y R v mi cu x f R l mt hm t hip bin khp trỏi; (iv) Vi mi dóy khp A Fm1 F1 F0 X nhng mụun trờn R vi Fi , i = 0, m l cỏc mụun phng, mụun A l mụun phng 29 Chng minh (i ) (ii ) Gi Y l mụun bt k trờn R Theo (i), tn ti mt gii phng F ca X vi Fn = 0, n > m iu ny kộo theo Fn R Y = 0, n > m Vỡ vy ta c Torn ( X , Y ) H n ( F R Y ) = 0, n > m Ly n = m+1 ta c Torm +1 ( X , Y ) = (ii ) (iii) Xột mt dóy khp ngn tựy ý cho trc f g U V W nhng mụun trờn R Theo nh lý 1.7.4(iii) ta cú mt dóy khp sau: f* g* Torn +1 ( X , W ) Torn ( X , U ) Torn ( X , V ) Torn ( X , W ) Torn ( X ,U ) * * ú f = Torn (i, f ), g = Torn (i , g ) v l ng cu ni Vỡ Torm+1 ( X ,U ) = nờn ta c mt dóy khp f* g* Torm ( X , U ) Torm ( X , V ) Torm ( X , W ) v ú chớnh l m m (f) (g) m (U ) m (V ) m (W ) Do ú m l mt hm t hip bin khp trỏi (iii ) (iv) Gi F l mt dóy khp (iv) n := 0, m , gi Dn l mụun ca Fn va l nh ca ng cu va l ht nhõn ca ng cu dóy F Khi ú ta c m dóy khp ngn: 30 A Fm Dm f Dm Fm Dm 0 Dm Fm Dm D1 F1 D0 g D0 F0 X p dng nh lý 1.7.4 (iii) vo dóy khp trờn ta c cỏc dóy khp: 0 Tor1 ( Dm , Y ) Tor0 ( A, Y ) Tor0 ( Fm , Y ) Tor2 ( Dm , Y ) Tor1 ( Dm , Y ) Tor3 ( Dm , Y ) Tor2 ( Dm , Y ) m Torm ( D0 , Y ) Torm ( D1 , Y ) ,m1 Torm ( X , Y ) Torm ( D0 , Y ) Ta thy , , , m l cỏc ng cu, n cu Tor0 ( A, Y ) = A R Y l mt n cu Vy = , , , m : Torm ( X , Y ) Do ú vi mi mụun Y ta cú ta dóy khp * g Torm ( X , Y ) A R Y Fm R Y 31 Vỡ hm t tenx khp phi nờn chng minh A l mụun phng ta ch cn chng minh vi mt n cu cho trc tựy ý h : Y Y ' , thỡ ng cu cm A R Y ' cng l n cu sinh A R Y Ta cú biu giao hoỏn sau: g* Torm ( X , Y ) A R Y Fm R Y g* Torm ( X , Y ') A R Y ' Fm R Y ' m Theo (iii), = Torm ( X , Y ) l hm t hip bin, khp trỏi nờn n cu Vỡ Fm l mụun phng nờn n cu Bõy gi ta ch cn chng minh n cu Gi x K er ( x) = T hỡnh vuụng th hai giao hoỏn g * ( x) = g * ( x) = M n cu , suy g * ( x) = , ú x Kerg * = Im , vỡ vy a Torm ( X , Y ) cho (a ) = x T hỡnh vuụng th nht giao hoỏn, ta cú (a) = (a) , suy ( x) = ( a) , suy (a ) = Mt khỏc , n cu , suy a = , ú x = (a ) = hay n cu Vy A l mụun phng (iv) (i ) Xột mt gii phng tựy ý F ca mụun X trờn R Fm F Gi A l nh ca ng cu : Fm Khi ú ta c mt dóy khp A Fm F1 F0 X Theo (iv), A l phng Do ú ta c mt gii phng F ca X vi 32 0(n > m) Fn ' = A(n = m) F (n < m) n Theo nh ngha chiu phng ca X , ta cú fd ( X ) m 2.4 Chiu ton th 2.4.1 Nhn xột Cỏc giỏ tr sau l nh trờn mi vnh R sup{ pd ( A) : A mod R} sup{id ( B ) : B mod R} sup{ pd ( R I ) : I l iờan ca R } d sup{d : Ext R ( A, B) vi mi A, B l R- mụun} 2.4.2 nh ngha Cỏc giỏ tr xỏc nh nh Nhn xột 1.4.1 c gi l chiu ton th ca R, kớ hiu: gl.dim(R) Ta cú mt c trng v chiu ton th nh sau 2.4.3 nh lý Vi mt s nguyờn tựy ý m Cỏc phỏt biu sau õy l tng ng: (i) gl.dim( R ) m ; (ii) pd ( X ) m vi mi mụun X trờn R; (iii) Ext m +1 ( X , Y ) = vi mi cp mụun X v Y trờn R Chng minh (i ) (ii ) T nh ngha 2.4.2 ta cú pd ( X ) gl dim( R ) vi mi mụun X trờn R T (i) ta suy pd ( X ) gl.dim( R) m (ii ) (iii) suy t nh lý 2.1.3 (iii) (i) theo (iii) ta cú Ext m +1 ( X , Y ) = vi mi cp mụun X v Y trờn R T nh lý 2.1.3 ta cú pd ( X ) m vi mi mụun X trờn R, v gl.dim( R ) = sup{ pd ( X ) : X mod R} = sup{ pd ( X ) m : X mod R} , nờn gl.dim( R ) m 33 2.4.4 Vớ d (1) Cho F l mt trng thỡ gl.dim(F) = Tht vy, vỡ mi mụun X trờn trng F l t v ú, X l x nh trờn F, nờn ta cú pd ( X ) = Vy gl.dim(F)= (2) Cho X, Y l  -mụun Khi ú, X l nh ca mt  -mụun t do, ngha l X , ú, F0 l  -mụun t t tn ti mt ton cu f : F0 F1 = ker( f ) Ta cú F1 l mụun ca F0 Do ú, F1 cng l  -mụun t Do ú, ta c mt gii t (hay x nh) ca X nh sau: i f F1 F0 X F0 l phộp nhỳng chớnh tc T õy, ta suy ra: ú, i : F1 ExtÂn ( X , Y ) = 0, n 2, n  Do ú, gl.dim( ) Mt khỏc, pd ( p ) = vi mi s nguyờn t p Do ú, gl.dim( ) Vỡ th, gl.dim( ) = (3) Nu R =  m ú p l c ca m thỡ chiu ton th ca  m l 2.4.5 nh lý Nu vnh giao hoỏn R cú chiu ton th l r thỡ vnh a thc R[X] cú chiu ton th l r+1 ( hoc l nu r = ) 2.4.6 H qu Nu K l trng thỡ chiu ton th ca vnh a thc K[X] l Chng minh T Vớ d 2.4.4 (1), K l trng nờn ta cú gl.dim(K) = p dng nh lý 2.4.5 suy gl.dim( K [ X ]) = 2.4.7 H qu Chiu ton th ca vnh Â[ x1 , x2 , , xn ] l n+ Chng minh T Vớ d 2.4.4 (2), ta cú gl.dim( ) = p dng nh lý 2.4.5 suy gl dim(Â[ x1 , x2 , , xn ]) = n +1 2.5 Chiu Tor 2.5.1 Nhn xột Cỏc giỏ tr sau l nh trờn mi vnh R sup{ fd ( A) : A l R- mụun} 34 sup{ fd ( R J ) : J l iờan ca R} R sup{d : Tord ( A, B) vi mi A, B l R- mụun} 2.5.2 nh ngha Cỏc giỏ tr xỏc nh nh Nhn xột 1.5.1 c gi l chiu Tor ca R, kớ hiu: Tor-dim(R) 2.5.3 Vớ d (1) Cho F l mt trng thỡ Tor-dim(F)=0 Tht vy, vỡ mi mụun X trờn trng F l t v ú, X l x nh trờn F, nờn ta cú pd ( X ) Vỡ mụun x nh u l phng nờn fd ( A) pd ( A) vi mi A l R-mụun, suy fd ( X ) pd ( X ) Hn na, iu ny xy vi mi mụun X trờn trng F, nờn ta cú Tor dim( F ) Mt khỏc, vỡ F l mt F-mụun v F , nờn suy Tor dim( F ) fd ( F ) Vy Tor-dim(F) = (2) Chiu Tor ca vnh  l Tht vy, cho X, Y l  -mụun Khi ú X l X , nh ca mt  -mụun t do, ngha l tn ti mt ton cu f : F0 ú, F0 l  -mụun t t F1 = ker( f ) Ta cú, F1 l mụun ca F0 Do ú F1 cng l  -mụun t Do ú, ta c mt gii t (hay phng) ca X nh sau: i f F1 F0 X F0 l phộp nhỳng chớnh tc T õy, ta suy ra: ú i : F1 ExtÂn ( X , Y ) = 0, n 2, n  Do ú, Tor dim( ) Mt khỏc, fd ( p ) = vi mi s nguyờn t p Do ú, Tor dim( ) Vỡ th, Tor dim( ) = (3) Nu p l c ca m thỡ Tor dim( m ) = Mnh sau õy cho ta mi liờn h gia chiu Tor v chiu ton th 2.5.4 Mnh Nu R l vnh Noether thỡ 35 (i) fd(A) = pd(A) vi mi A l R-mụun hu hn sinh (ii) Tor-dim(R) = gl.dim(R) Chng minh (i) Vỡ mi mụun x nh u l phng nờn fd ( A) pd ( A) vi mi A l R-mụun Ta ch cn chng minh pd ( A) fd ( A) Tht vy, ta gi s rng fd ( A) = n < ta cn chng minh pd ( A) n Vỡ R l Noether nờn ta cú gii cỏc mụun t hu hn sinh M Pn P1 P0 A ú Pi l cỏc mụun t hu hn sinh v M l biu din hu hn Theo nh lý 2.3.3 ta cú M l R-mụun phng Vỡ mi mụun phng biu din hu hn l x nh, ú M cng l x nh, nờn pd ( A) n Vy fd(A) = pd(A) vi mi R-mụun hu hn sinh A (ii) T nh ngha ta cú Tor-dim(R)= sup{ fd ( R I ) : I l iờan ca R} gl.dim(R)= sup{ pd ( R I ) : I l iờan ca R} T (i) ta cú fd ( R I ) = pd ( R I ) suy Tor-dim(R)=gl.dim(R) KT LUN 36 Lun ó trỡnh by c cỏc v chiu ng iu (chiu x nh, chiu ni x, chiu phng, chiu ton th v chiu Tor) Trỡnh by v chng minh chi tit hn cỏc kt qu v chiu ng iu ti liu [8] Kt qu chớnh v chiu x nh (nh lý 2.1.3), chiu ni x (nh lý 2.2.3), chiu phng (nh lý 2.3.3), chiu ton th (nh lý 2.4.3) v mi liờn h gia chiu Tor v chiu ton th (Mnh 2.5.4) TI LIU THAM KHO 37 Ting Vit [1] Sze - Tsen Hu (1973), Nhp mụn i s ng iu, Bn dch ting Vit Ting Anh [2] H Cartan and S Eilenberg (1956), Homological algebra, Princeton University Press [3] C Faith (1976), Algebra II Ring theory, Berlin, Heidelberg, New York, Springer Verlag [4] S Lang (1965), Algebra, Reading, Mass Addison-Wesley [5] S MacLane (1963), Homology, Academic Press, New York [6] B Osofsky (1973), Homological dimensions of modules, CBMS.Regional Conf Ser Math 12 Providence R I AMS [7] J J Rotman (1979), An introduction to homological algebra, Academic Press [8] Charles A Weibel (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge University Press [...]... LUẬN 36 Luận văn đã trình bày được các vấn đề về chiều đồng điều (chiều xạ ảnh, chiều nội xạ, chiều phẳng, chiều toàn thể và chiều Tor) Trình bày và chứng minh chi tiết hơn các kết quả về chiều đồng điều trong tài liệu [8] Kết quả chính về chiều xạ ảnh (Định lý 2.1.3), chiều nội xạ (Định lý 2.2.3), chiều phẳng (Định lý 2.3.3), chiều toàn thể (Định lý 2.4.3) và mối liên hệ giữa chiều Tor và chiều toàn... một giải nội xạ của ¢ p như sau: i p p p 0  → ¢ p  → ¢ p 2  → ¢ p 2  → ¢ p 2  → (trong đó i là đồng cấu tự nhiên, p• là phép phép nhân với p ) Tiếp theo là các mệnh đề tương đương về chiều nội xạ 2.2.3 Định lý Giả sử m là số nguyên không âm Với một môđun tùy ý X trên R và tự đồng cấu đồng nhất i : X  → X , các phát biểu sau đây là tương đương: (i) id ( X ) ≤ m ; (ii) Ext m +1 (Y , X ) =... là ước của m thì chiều toàn thể của ¢ m là ∞ 2.4.5 Định lý Nếu vành giao hoán R có chiều toàn thể là r ≤ ∞ thì vành đa thức R[X] có chiều toàn thể là r+1 ( hoặc là ∞ nếu r = ∞ ) 2.4.6 Hệ quả Nếu K là trường thì chiều toàn thể của vành đa thức K[X] là 1 Chứng minh Từ Ví dụ 2.4.4 (1), do K là trường nên ta có gl.dim(K) = 0 Áp dụng Định lý 2.4.5 suy ra gl.dim( K [ X ]) = 1 2.4.7 Hệ quả Chiều toàn thể của...  →Tor1R ( A, B )  →Tor1R ( A, B '' )  →  → A ⊗R B '  → A ⊗R B  → A ⊗R B ''  →0 R (vi) Torn ( P, B ) = 0, ∀n ≥ 1, n ∈¢ , P là môđun xạ ảnh 15 CHƯƠNG 2 CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU 2.1 Chiều xạ ảnh 2.1.1 Định nghĩa Cho A là một R-môđun Chiều xạ ảnh của A, kí hiệu: pd(A) là số nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại một giải xạ ảnh của A như sau: 0  → Pn  →  → P1  → P0  → A  →0 Nếu như không... là phẳng nên fd ( A) ≤ pd ( A) với mỗi A là R-môđun Chẳng hạn trên vành ¢ , ta có fd (¤ ) = 0 nhưng pd (¤ ) = 1 Sau đây là các mệnh đề tương đương về chiều phẳng 2.3.3 Định lý Giả sử m là số nguyên không âm Với một môđun tùy ý X trên R và tự đồng cấu đồng nhất i : X  → X , các phát biểu sau đây là tương đương: (i) fd ( X ) ≤ m ; R (ii) Torm +1 ( X , Y ) = 0 với mọi môđun Y trên R; (iii) Hàm φ m... vậy ta đã chứng minh rằng, mọi đơn cấu h : Y  → Y ' và với mọi đồng →A cấu k : Y  → A trong Hom(Y , A) , tồn tại một đồng cấu g : Y '  trong Hom(Y ', A) thỏa mãn g.h = β ( h) = k Theo định nghĩa của môđun nội xạ Ta suy ra A là nội xạ h O  →Y  →Y ' k g A (iv) ⇒ (i ) Xét một giải nội xạ tùy ý E của môđun X trên R Gọi A là ảnh của đồng cấu σ : E m −1  → E m trong E Khi đó ta được một dãy khớp... chứng minh rằng, mọi toàn cấu h : Y  →Y ' và với mọi đồng → Y trong cấu k : A  → Y ' trong Hom( A, Y ') , tồn tại một đồng cấu g : A  Hom( A, Y ) thỏa mãn h.g = β ( g ) = k Theo định nghĩa của môđun xạ ảnh Ta suy ra A là xạ ảnh A g k h Y  →Y '  →O (iv) ⇒ (i ) Xét một giải xạ ảnh tùy ý P của môđun X trên R → Pm −1 trong P Gọi A là ảnh của đồng cấu σ : Pm  Khi đó ta được một dãy khớp 0  →... là đồng cấu nối Vì Torm+1 ( X ,U ) = 0 nên ta được một dãy khớp f* g* 0  → Torm ( X , U )  → Torm ( X , V )  → Torm ( X , W )  → và đó chính là m m φ (f) φ (g) 0  → φ m (U )  → φ m (V )  → φ m (W )  → Do đó φ m là một hàm tử hiệp biến khớp trái (iii ) ⇒ (iv) Gọi F là một dãy khớp trong (iv) ∀n := 0, m − 2 , gọi Dn là môđun con của Fn vừa là ảnh của đồng cấu vừa là hạt nhân của đồng. .. phẳng tùy ý F của môđun X trên R → Fm −1 trong F Gọi A là ảnh của đồng cấu σ : Fm  Khi đó ta được một dãy khớp 0  → A  → Fm −1  →  → F1  → F0  → X  →0 Theo (iv), A là phẳng Do đó ta được một giải phẳng F ’ của X với 32 0(n > m)  Fn ' = A(n = m) F (n < m)  n Theo định nghĩa chiều phẳng của X , ta có fd ( X ) ≤ m 2.4 Chiều toàn thể 2.4.1 Nhận xét Các giá trị sau là như nhau trên... sup{ pd ( R I ) : I là iđêan của R } d 4 sup{d : Ext R ( A, B) ≠ 0 với mọi A, B là R- môđun} 2.4.2 Định nghĩa Các giá trị xác định như trong Nhận xét 1.4.1 được gọi là chiều toàn thể của R, kí hiệu: gl.dim(R) Ta có một đặc trưng về chiều toàn thể như sau 2.4.3 Định lý Với một số nguyên tùy ý m ≥ 0 Các phát biểu sau đây là tương đương: (i) gl.dim( R ) ≤ m ; (ii) pd ( X ) ≤ m với mọi môđun X trên R;