BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THUỲ LINH ĐỊNH LÝ MASON VÀ CÁC TƯƠNG TỰ SỐ HỌC TRÊN ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THUỲ LINH ĐỊNH LÝ MASON VÀ CÁC TƯƠNG TỰ SỐ HỌC TRÊN ĐA THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN THÀNH QUANG Nghệ An - 2013 MỤC LỤC Mục lục Một số kí hiệu dùng luận văn Mở đầu Định lý Mason tương tự số học đa thức 1.1 Các tương tự số học trường đóng đại số, đặc số 1.2 Định lý Mason 1.3 Ứng dụng Định lý Mason vào nghiên cứu đa thức 15 Một kiểu suy rộng Định lý Mason cho đa thức nhiều biến 32 2.1 Định thức Wronskian 32 2.2 Một kiểu suy rộng Định lý Mason cho đa thức nhiều biến 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN rad(a) số nguyên a (a, b) ước chung lớn hai số nguyên a b gcd(a, b, c) ước chung lớn ba số nguyên a, b, c f (n) đạo hàm cấp n hàm số f W (f1 , , fn ) định thức Wronskian f1 , , fn µaf bậc f a MỞ ĐẦU Định lý cuối Fermat (hay gọi Định lý Fermat lớn) phát biểu vào năm 1637 "Phương trình xn +y n = z n nghiệm nguyên dương với số nguyên n ≥ 3" chứng minh Andrew Wiles vào năm 1995, đăng Annals of Mathematics lại dùng lý thuyết hoàn toàn không sơ cấp Trong năm gần phát triển Số học chịu ảnh hưởng lớn tương tự số nguyên đa thức Để nghiên cứu tính chất số nguyên, trước hết người ta kiểm tra tính chất vành đa thức Nhờ đó, tương tự Định lý Fermat lớn đa thức suy từ Định lý Mason Giả sử F trường đóng đại số với đặc số Định lý Mason [2] Cho A, B, C đa thức biến t trường F , nguyên tố nhau, không đồng thời đa thức thoả mãn hệ thức A + B = C , ta có max {deg A, deg B, deg C} ≤ n0 (ABC) − 1, n0 (f ) số nghiệm phân biệt đa thức f Nội dung luận văn gồm chương, phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo Trong chương 1, giới thiệu Định lý Mason hệ Bằng cách áp dụng Định lý này, giải hệ thống tập gồm tương tự đa thức vài giả thuyết số học phương trình Diophantine Trong chương 2, diễn đạt chứng minh tương tự Định lý Mason cho đa thức nhiều biến Kết luận văn giới thiệu báo: A generalization of Mason’s theorem for functions of several variables, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Vinh, năm 2013 Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Thành Quang Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Toán học Phòng Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Vinh tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè quan tâm động viên thời gian học tập Luận văn tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp Tác giả CHƯƠNG ĐỊNH LÝ MASON VÀ CÁC TƯƠNG TỰ SỐ HỌC TRÊN ĐA THỨC 1.1 Các tương tự số học trường đóng đại số, đặc số Sự phát triển Số học, đặc biệt thời gian gần đây, chịu ảnh hưởng lớn tương tự số nguyên đa thức Nói khác đi, có giả thuyết chưa chứng minh với số nguyên, người ta thường cố gắng chứng minh kiện tương tự cho đa thức Điều thường dễ làm hơn, nguyên nhân chủ yếu đa thức trường đóng đại số có đặc số 0, ta có phép tính đạo hàm Trên tập hợp số nguyên tập hợp đa thức có nhiều tính chất giống sau đây: 1) Các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hoàn toàn cho hai tập hợp 2) Nếu số nguyên, ta có số nguyên tố, với đa thức, ta có đa thức bất khả quy Hơn nữa, số nguyên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố, đa thức có bậc lớn phân tích thành tích đa thức bất khả quy 3) Đối với hai số nguyên, hai đa thức, ta định nghĩa ước chung lớn Hơn nữa, hai trường hợp, ước chung lớn tìm thuật toán Euclid Cú pháp tìm ước chung lớn số nguyên đa thức phần mềm Maple là: [> gcd(a, b); [> gcd(f, g); 4) Khái niệm giá trị tuyệt đối số nguyên tương tự khái niệm bậc đa thức 5) Các số hữu tỉ tương tự với hàm số hữu tỉ (phân thức) Để thấy rõ tương tự số nguyên đa thức, ta xét ví dụ sau: 1.1.1 Ví dụ (1) Chứng minh ước chung lớn (UCLN) đa thức xm − xn − xd − 1, d UCLN số nguyên dương m, n Chứng minh Trước hết, tìm UCLN số nguyên dương m, n Thuật toán Euclid (giả sử m > n): m = nq0 + r0 , < r0 ≤ n − n = r0 q1 + r1 , < r1 ≤ r0 − r0 = r1 q2 + r2 , < r2 ≤ r1 − rk−2 = rk−1 qk + rk , < rk ≤ rk−1 − rk−1 = rk qk+1 , rk+1 = Theo Thuật toán Euclid ta có UCLN m, n d = rk Chuyển qua thuật toán Euclid đa thức, ta có: xm − = (xn − 1)q0 (x) + (xr0 − 1), < r0 ≤ n − xn − = (xr0 − 1)q1 (x) + (xr1 − 1), < r1 ≤ r0 − xr0 − = (xr1 − 1)q2 (x) + (xr2 − 1), < r2 ≤ r1 − xrk−2 − = (xrk−1 − 1)qk (x) + (xrk − 1), < rk ≤ rk−1 − xrk−1 − = (xrk − 1)qk+1 (x), rk+1 = Do đó, ta có UCLN (xm − 1) (xn − 1) xd − (2) Dùng đa thức chứng minh tập hợp số nguyên tố tập hợp vô hạn Chứng minh Chọn đa thức f (x) có hệ số nguyên cho f (1) = 1, f (0) = (chẳng hạn chọn f (x) = x2013 − x + 1) Ký hiệu fn (x) = f (f ( (f (x)) ) n Khi đó, hệ tử tự fn (x) fn (0) = f (f (f (0)) ) = Do n đó, với số nguyên m > 1, ta có fn (m) ≡ (mod m) hay fn (m) m nguyên tố Từ ta thu dãy vô hạn số nguyên dương nguyên tố đôi một: m, f1 (m), f2 (m), f3 (m), Từ dãy trích dãy vô hạn số nguyên tố phân biệt: p, p1 , p2 , p3 , ước nguyên tố số hạng tương ứng dãy Ta để ý đến tương tự phân tích thừa số nguyên tố phân tích đa thức bất khả qui Mỗi đa thức f (x) có bậc nguyên dương trường đóng đại số F phân tích dạng tích nhân tử tuyến tính sau: f (x) = (x − x1 )k1 (x − x2 )k2 (x − xm )km , xi ∈ F nghiệm với bội ki f (x) Như vậy, ta thấy rằng, tương tự phân tích thành nhân tử phân tích thừa số nguyên tố: nghiệm đa thức tương ứng với ước nguyên tố số nguyên Do đó, số n0 (f ) nghiệm phân biệt đa thức f có vai trò số ước nguyên tố số nguyên Từ nhận xét ta đến định nghĩa sau 1.1.2 Căn số nguyên Cho a số nguyên, ta định nghĩa a, kí hiệu rad(a) tích ước nguyên tố phân biệt a: rad(a) = p p\a Sự tương tự với tính chất đa thức gợi ý đường nhiều hy vọng đến chứng minh Định lý sau Fermat Năm 1983, R C Mason chứng minh định lí đa thức trường đóng đại số F với đặc số 1.1.3 Căn đa thức Giả sử f đa thức trường F có phân tích theo nghiệm sau: f (x) = a(x − α1 )m1 (x − αn )mn , mi ∈ N∗ , αi ∈ F, a ∈ F Ta định nghĩa f , kí hiệu rad(f ) xác định sau: rad(f ) = a(x − α1 ) (x − αn ) 1.1.4 Số nghiệm phân biệt đa thức Giả sử f đa thức trường F f (x) = a(x − α1 )m1 (x − αn )mn , mi ∈ N∗ , αi ∈ F, a ∈ F 27 Như mn−m−n deg(g) + m ≥ mà deg(f m − g n ) = deg(a) = nên bất thức (1.36) không xảy Vì vậy, đa thức f g đa thức Bài toán 8: Không tồn đa thức f (t) g(t) nguyên tố C[t] thoả mãn phương trình (f + g)3 + g = f Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết (f, g) = 1, ta suy gcd(f, g, f +g) = Do áp dụng Định lý Mason toán cho p = 3, q = 4, r = phương trình vô nghiệm Bài toán 9: Tìm đa thức biến f (t) g(t) C[t] thoả mãn phương trình (f + g)3 = g + f Ta giải toán theo đẳng thức sau: (f + g)3 = g + f =⇒3f g + 3f g = =⇒f g(f + g) = =⇒f = g = f = −g Tuy nhiên việc giải toán cho số mũ tổng quát khó khăn dùng đẳng thức Bài toán 10: Cho n số nguyên lớn Tìm đa thức biến với hệ số phức f (t) g(t) C[t] thoả mãn phương trình (f + g)n = g n + f n Xét trường hợp n số lẻ (1.37) 28 Giả sử (f, g) = gcd(f, g, f + g) = Khi đó, áp dụng Định lý Mason Định lý Fermat cho đa thức, ta suy không tồn hai đa thức f (t) g(t) C[t] thoả mãn phương trình (f + g)n = g n + f n Ta thấy rằng, f (t) = −g(t) f g đa thức thoả mãn phương trình (1.37) Trường hợp (f, g) = h Khi đó, tồn đa thức u, v cho f = h.u, g = h.v Phương trình (f + g)n = g n + f n =⇒ (u + v)n = un + v n (1.38) Hiển nhiên (u, v) = nên theo Định lý Fermat cho đa thức ta suy phương trình (1.38) vô nghiệm Như vậy, n số lẻ phương trình cho có nghiệm f (t) = −g(t) f g đa thức Xét trường hợp n số chẵn Giả sử (f, g) = gcd(f, g, f + g) = Khi đó, áp dụng Định lý Mason Định lý Fermat cho đa thức, ta suy không tồn hai đa thức f (t) g(t) C[t] thoả mãn phương trình (f + g)n = g n + f n Ta thấy f g đa thức thoả mãn phương trình (1.37) Trường hợp (f, g) = h Khi tồn đa thức u, v cho f = hu g = hv Phương trình (f + g)n = g n + f n =⇒ (u + v)n = un + v n Hiển nhiên (u, v) = nên theo Định lý Fermat cho đa thức ta suy phương trình vô nghiệm Như vậy, n số chẵn phương trình cho có nghiệm f g đa thức 29 Bài toán 11: Tìm số nghiệm nguyên x phương trình (2x − 4)3 + (4x − 2)3 = (4x + 2x − 6)3 Theo toán ta kết luận 2x − = 4x − = 4x + 2x − = Vậy phương trình cho có hai nghiệm nguyên x = x = Bài toán 12: Tồn hay không đa thức P với hệ số phức cho nghiệm P P + nghiệm bội lớn Giả sử tồn đa thức P với hệ số phức cho nghiệm phức P P + nghiệm bội Do nghiệm P nghiệm bội nên n0 (P ) ≤ 12 deg(P ) Tương tự nghiệm P + nghiệm bội nên ta có n0 (P + 1) ≤ deg(P + 1) Từ đó, ta suy n0 (P ) + n0 (P + 1) ≤ (deg(P ) + deg(P + 1)) Hay ta có deg(P ) + deg(P + 1) ≥ 2[n0 (P ) + n0 (P + 1)] (1.39) Ta có phân tích (P + 1) − P = (P, P + 1) = (vì ngược lại tồn đa thức h khác ước chung lớn P P + Gọi a nghiệm đa thức h, a nghiệm P P + Khi P (a) = 0, P (a) + = 0, điều suy = (vô lý)) Như (P, P + 1) = 1, áp dụng Định lý Mason cho đa thức P P + ta có max {deg(P ), deg(P + 1)} ≤ n0 (P.(P + 1)) − 30 Từ ta suy ra: deg(P ) ≤ n0 (P ) + n0 (P + 1) − 1, deg(P + 1) ≤ n0 (P ) + n0 (P + 1) − Cộng vế theo vế ta deg(P ) + deg(P + 1) ≤ 2[n0 (P ) + n0 (P + 1)] − (1.40) Kết hợp (1.39) (1.40) ta 2[n0 (P ) + n0 (P + 1)] ≤ deg(P ) + deg(P + 1) ≤ 2[n0 (P ) + n0 (P + 1)] − =⇒ ≤ −2 vô lý Vậy tìm đa thức P thoả mãn yêu cầu toán Vào năm 1956, William Lowell đưa toán đa thức sau toán trình bày theo Định lý Mason Bài toán 13: Cho hai đa thức biến với hệ số phức P Q có chung tập hợp nghiệm hai đa thức P + Q + có chung tập nghiệm Chứng minh hai đa thức P Q trùng Chứng minh Thật vậy, giả sử α1 , α2 , , αn n nghiệm phân biệt P hiển nhiên nghiệm Q Giả sử β1 , β2 , , βm m nghiệm phân biệt P + hiển nhiên nghiệm phân biệt Q + Do vai trò bậc đa thức P Q nên ta giả sử deg(P ) ≥ deg(Q) Ta có phân tích (P + 1) − P = (P, P + 1) = Theo Định lý Mason cho đa thức P, P + ta có max {deg(P ), deg(P + 1)} ≤ n0 (P (P + 1)) − 31 Từ ta suy deg(P ) ≤ n0 (P ) + n0 (P + 1) − =⇒m + n ≥ deg(P ) + ≥ deg(P − Q) + =⇒m + n > deg(P − Q) (1.41) Mặt khác, (P + 1) − (Q + 1) = P − Q nên nghiệm P P + nghiệm P − Q Do đa thức P − Q có m + n nghiệm phân biệt Ta biết rằng, đa thức có số nghiệm phân biệt lớn bậc đa thức đa thức đa thức Vì vậy, theo (1.41) ta suy P − Q đa thức 0, tức hai đa thức P Q trùng 32 CHƯƠNG MỘT KIỂU SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ MASON CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN Ta biết Định lý Mason phát biểu cho ba đa thức nguyên tố cặp, không đồng thời số Vậy Định lý Mason áp dụng cho n hàm số n ≥ hay không? Khi bất đẳng thức Định lý Mason thể nào? Ta biết đến cách chứng minh khác định lý dùng định thức Đại số tuyến tính Trong năm gần đây, kỹ thuật Wronskian mở rộng Định lý Mason cho nhiều đa thức biến mở rộng cho hàm nhiều biến Giả sử F trường đóng đại số có đặc số f đa thức khác với hệ tử F 2.1 Định thức Wronskian 2.1.1 Định nghĩa Cho hai hàm số f (x), g(x) có đạo hàm khoảng (a, b) Khi định thức Wronskian f g xác định sau: f g W (f, g) = det f g = f g − f g 2.1.2 Định lý Nếu hai hàm số f (x), g(x) có đạo hàm khoảng (a, b) phụ thuộc tuyến tính W (f, g) = 2.1.3 Định nghĩa Cho n + đa thức nhiều biến vành F [x1 , x2 , , xl ] trường F khả vi đến cấp n Khi định thức Wronskian f0 , f1 , , fn 33 xác định sau f0 f1 f0 f1 W (f0 , f1 , , fn ) = (n) f0 f1 (n) fn fn fn (n) Trong [9], suy rộng Định lý Mason, đẳng thức a + b = c thay f0 + · · · + fn+1 = fi đa thức nhiều biến, nguyên tố đôi Trong phần này, ta đưa mở rộng Định lý Mason cho trường hợp đa thức có gcd(fi , fj , fk ) = 1; ∀i, j, k đôi khác i, j, k ∈ {0, , n + 1} Giả sử f đa thức nhiều biến với hệ số F , có phân tích: s pαi i , f= i=1 đa thức pi bất khả quy, phân biệt αi > số nguyên Định nghĩa s n0 (f ) = deg( pi ) i=1 Giả sử f hàm hữu tỉ nhiều biến, ta viết f dạng f1 f= , f2 f1 , f2 đa thức khác không nguyên tố vành đa thức F [x1 , , xl ] Bậc f , ký hiệu deg f , định nghĩa deg f1 − deg f2 Giả sử p đa thức bất khả quy, viết f dạng: g1 f = pα , g2 cho p không ước g1 g2 , g1 , g2 đa thức, α gọi bậc f p kí hiệu µpf Chúng ta có tính chất µpf 34 2.1.4 Bổ đề Giả sử f, g hai đa thức p ∈ F [x1 , , xl ] đa thức bất khả quy, ta có (a) µpf +g ≥ min(µpf , µpg ), (b) µpf g = µpf + µpg , (c) µpf = µpf − µpg g Cho ∆ toán tử vi phân dạng −1 ∆ = (µ1 · · · µm ) ∂ µ1 ∂ µm · · · µm , ∂xµ1 ∂xm µi ≥ số nguyên, định nghĩa hạng ∆ sau m ρ(∆) = µi i=1 Chú ý định nghĩa µi = quy ước bỏ qua µi xét toán tử ∂ µi µ ∂x1 i toán tử đồng 2.1.5 Bổ đề Giả sử ϕ đa thức nhiều biến thỏa mãn ∆ϕ ≡ 0, p đa thức bất khả quy Khi µp∆ϕ ≥ −ρ(∆) + µpϕ Chứng minh Giả sử µpϕ = m, tồn đa thức f cho ϕ = pm f Ta có ∂ϕ ∂f ∂p = pm−1 (p + mf ) ∂xi ∂xi ∂xi Từ ta có µp∂ϕ ≥ m − ∂xi Do µp∂ϕ ≥ −1 + µpϕ ∂xi 35 Từ ta thu µp∆ϕ ≥ −ρ(∆) + µpϕ Đưa vào ∆0 , , ∆s cho ρ(∆i ) ≤ i đa thức h0 , , hs vành F [x1 , , xl ], Wonskian suy rộng có dạng W [h0 , , hs ] = det |∆i hj |0≤i,j≤s (2.1) Một kết ([8]) khẳng định hàm hi độc lập tuyến tính F tồn Wronskian suy rộng, không triệt tiêu 2.2 Một kiểu suy rộng Định lý Mason cho đa thức nhiều biến 2.2.1 Định lý Giả sử f0 , , fn+1 n+2 đa thức nhiều biến F [x1 , , xl ], cho f0 , , fn độc lập tuyến tính gcd(fi , fj , fk ) = Trong i, j, k đôi khác ∀i, j, k ∈ {0, , n + 1} Giả sử f0 + · · · + fn+1 = (2.2) Khi max deg fi ≤ (2n − 1)(n0 (f0 · · · fn+1 ) − 1) 0≤i≤n+1 Nếu l = 1, n = 1, Định lý Định lý Mason Chứng minh Giả sử f0 , , fn độc lập tuyến tính, tồn Wronskian suy rộng W f0 , , fn không bị triệt tiêu Ta đặt P = W (f0 , , fn ) , f0 fn Q= f0 fn+1 W (f0 , , fn ) 36 Từ ta có fn+1 = P Q (2.3) Đầu tiên ta chứng minh deg Q ≤ ρn0 (f0 · · · fn+1 ) n ρ(∆j ) ρ = j=0 Giả sử p ước f0 f1 · · · fn+1 p đa thức bất khả quy Từ giả thiết này, suy tồn số ν, ≤ ν ≤ n + cho p không ước fν Từ phương trình f0 + · · · + fn + fn+1 = 0, ta có µp f0 ···fn+1 = µp f0 ···fν−1 fν+1 ···fn+1 W (f0 , ,fν−1 ,fν+1 , ,fn+1 ) W (f0 , ,fn ) n+1 µpfj − µpW (f0 , ,fν−1 ,fν+1 , ,fn+1 ) = j=0 W (f0 , , fν−1 , fν+1 , , fn+1 ) tổng số hạng δ∆0 fα0 ∆1 fα1 · · · ∆n fαn , αi ∈ {0, n + 1}\{ν}, δ = ±1 Từ Bổ đề 2.1.4, 2.1.5 ta có µp∆0 fα n ∆1 fα1 ···∆n fαn n µpfα − ≥ ρ(∆j ) j j=0 p = µ n j=0 j=0 fαj − ρ Theo Bổ đề 2.1.4 ta có µpW (f0 , ,fν−1 ,fν+1 , fn+1 ) ≥ µp n j=0 Do µp f0 ···fn+1 ≤ ρ W (f0 , ,fn ) fαj − ρ 37 Theo định nghĩa bậc hàm hữu tỉ, ta có: deg Q ≤ ρn0 (f0 · · · fn+1 ) (2.4) Bây ta giả thiết tồn q đa thức fi , ≤ j ≤ n + cho p ước fi Từ giả thiết đa thức fi , fj , fk không đồng thời ∀i, j, k ∈ {0, , n + 1} ta có q ≤ Chú ý ρ(∆i ) ≤ i, từ Bổ đề 2.1.4, 2.1.5 ta có µp∆0 fα ∆1 fα1 ···∆n fαn n µpfα − (n + (n − 1)) ≥ j j=0 p = µ n j=0 fαj − (2n − 1) Theo Bổ đề 2.1.4 ta có µpW (f0 , ,fν−1 ,fν+1 , fn+1 ) ≥ µp n j=0 fαj − (2n − 1) Do µp f0 ···fn+1 ≤ 2n − W (f0 , ,fn ) Theo định nghĩa bậc hàm hữu tỉ, ta có deg Q ≤ (2n − 1)n0 (f0 · · · fn+1 ) Tiếp theo, chứng minh deg P ≤ −ρ Ta có định thức P tổng số hạng sau δ ∆0 fβ0 ∆1 fβ1 ∆2 fβ2 ∆n fβn fβ0 fβ1 fβ2 fβn (2.5) 38 Với số hạng, ta có: ∆0 fβO ∆1 fβ1 ∆2 fβ2 ∆n fβn fβ0 fβ1 fβ2 fβn ∆0 fβO ∆1 fβ1 ∆n fβn = deg + deg + · · · + deg f β0 f β1 f βn ≤ −ρ(∆0 ) − ρ(∆1 ) − · · · − ρ(∆n ) deg = −ρ Do deg P ≤ −ρ (2.6) Từ (2.3), (2.4), (2.5), (2.6) ta có deg fn+1 = deg P + deg Q ≤ ρ (n0 (f0 · · · fn+1 ) − 1) , (2.7) deg fn+1 = deg P + deg Q ≤ (2n − 1)n0 (f0 · · · fn+1 ) − ρ (2.8) Nếu ρ ≤ 2n − 1, từ (2.7), ta có: deg fn+1 ≤ (2n − 1)(n0 (f0 · · · fn+1 ) − 1) Nếu ρ ≥ 2n − 1, từ (2.8), ta có deg fn+1 ≤ (2n − 1)(n0 (f0 · · · fn+1 ) − 1) Từ đó, có bất đẳng thức sau deg fn+1 ≤ (2n − 1)(n0 (f0 · · · fn+1 ) − 1) Tương tự áp dụng cho đa thức f0 , f1 , , fn , ta có max deg fi ≤ (2n − 1)(n0 (f0 · · · fn+1 ) − 1) 0≤i≤n+1 Định lý 2.2.1 chứng minh 39 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành nội dung sau: Giới thiệu phương pháp chứng minh chi tiết Định lý Mason hệ nó: Định lý Fermat cho đa thức, Định lý Davenport Diễn đạt số giả thuyết số học hàm đa thức hệ số phức Bằng kỹ thuật Wronskian, diễn đạt chứng minh kiểu suy rộng Định lý Mason cho đa thức nhiều biến Kết luận văn giới thiệu báo: A generalization of Mason’s theorem for functions of several variables, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Vinh, năm 2013 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A D Aczel (2000), Câu chuyện hấp dẫn toán Phecma, Trần văn Nhung, Đỗ Trung Hậu, Nguyễn Kim Chi dịch, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội [2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Trường Đại học Vinh [4] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] R C Mason (1984), Equations over function fields, Lecture Notes in Math, Springer [6] R C Mason (1984),Diophantine equations over function fields, London Math Soc Lecture Note Ser 96, Cambridge Univ Press, Cambridge [7] Nguyen Thanh Quang, Dang Thuy Linh and Phung Thi Thuy Phuong (2013), A generalization of Mason’s theorem for functions of several variables, Tạp chí Khoa học - Đại học Vinh, Tập 42, số 2A, 64 - 69 41 [8] K F Roth (1955), Rational approximation to algebraic numbers, Mathematika, 1-20 [9] H.N Shapiro and G.H Sparer (1994), Extension of a Theorem of Mason, Commm Pure and Appl Math., 47, 711-718 [10] N Snyder (2000), An alternate proof of Mason’s theorem, Elem Math., 55(3), 93-94 [...]... rằng bất đẳng thức trên không đúng Không mất tính tổng quát, giả sử deg(A) ≥ deg(rad(ABC)) Theo Định lý N Schneider thì A = B = C = 0 Điều này trái với giả thiết không đồng thời là hằng số của các đa thức A, B, C 1.3 Ứng dụng Định lý Mason vào nghiên cứu đa thức Giả sử F là một trường đóng đại số với đặc số 0 Các đa thức được giả thiết có hệ tử trên F Tương tự cho đa thức của Định lý sau cùng của... nếu có số nghiệm phân biệt lớn hơn bậc của đa thức thì đa thức đó là đa thức 0 Vì vậy, theo (1.41) ta suy ra P − Q là đa thức 0, tức là hai đa thức P và Q trùng nhau 32 CHƯƠNG 2 MỘT KIỂU SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ MASON CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN Ta đã biết rằng Định lý Mason phát biểu cho ba đa thức nguyên tố cùng nhau từng cặp, không đồng thời là hằng số Vậy Định lý Mason có thể áp dụng cho n hàm số n ≥ 3... toán trên vẫn còn đúng khi m và n là các số nguyên dương bất kì Bài toán 7: Cho a là một số phức khác 0 Khi đó, nếu tồn tại các đa thức một biến với hệ số phức f (t), g(t) thoả mãn phương trình f m (t) = g n (t) + a với m, n ≥ 2 là các số nguyên dương tuỳ ý, thì f và g là các đa thức hằng Chứng minh Thật vậy, giả sử các đa thức f và g không là các đa thức hằng Theo Định lý Davenport tổng quát ta có... đẳng thức trong Định lý Mason sẽ được thể hiện như thế nào? Ta đã biết đến một cách chứng minh khác của định lý này là dùng định thức của Đại số tuyến tính Trong những năm gần đây, bằng kỹ thuật Wronskian chúng ta có thể mở rộng Định lý Mason cho nhiều đa thức một biến cũng như mở rộng cho hàm nhiều biến Giả sử F là trường đóng đại số có đặc số 0 và f là một đa thức khác hằng với hệ tử trong F 2.1 Định. .. (1.39) và (1.40) ta được 2[n0 (P ) + n0 (P + 1)] ≤ deg(P ) + deg(P + 1) ≤ 2[n0 (P ) + n0 (P + 1)] − 2 =⇒ 0 ≤ −2 vô lý Vậy không thể tìm ra được đa thức P thoả mãn yêu cầu bài toán Vào năm 1956, William Lowell đã đưa ra bài toán về đa thức sau và bài toán được trình bày theo Định lý Mason Bài toán 13: Cho hai đa thức một biến với hệ số phức P và Q có chung tập hợp nghiệm và hai đa thức P + 1 và Q +... và (1.35) ta được rk ≤ m + n + k − 1 ≤ 2(n + k − 1) ≤ 6(k − 6) suy ra r < 6 Mà 3 = q ≤ r nên ta có (p, q, r) = (2, 3, r) với 3 ≤ r ≤ 5 26 Các bài toán về tồn tại đa thức Bài toán 6: Cho a là một số phức khác 0 Khi đó, nếu tồn tại các đa thức một biến với hệ số phức f (t), g(t) thoả mãn phương trình f 2 (t) = g 3 (t) + a thì f và g là các đa thức hằng Chứng minh Giả sử các đa thức f và g không là các. .. )2 (x − αn ) Như vậy các số hạng của f đều chia hết cho f rad(f ) Do đó, f rad(f ) là ước của f 1.2 Định lý Mason 1.2.1 Định lý Cho A, B, C là các đa thức của biến t trên trường F , nguyên tố cùng nhau, không đồng thời là các đa thức hằng và thoả mãn hệ thức A + B = C , khi đó ta có max {deg A, deg B, deg C} ≤ n0 (ABC) − 1, trong đó n0 (f ) là số nghiệm phân biệt của đa thức f trong F Chứng minh... dụng Định lý Mason hoặc Định lý Fermat cho đa thức, ta suy ra được không tồn tại hai đa thức f (t) và g(t) trong C[t] thoả mãn phương trình (f + g)n = g n + f n Ta thấy rằng ít nhất f và g là đa thức 0 thoả mãn phương trình (1.37) Trường hợp (f, g) = h Khi đó tồn tại các đa thức u, v sao cho f = hu và g = hv Phương trình (f + g)n = g n + f n =⇒ (u + v)n = un + v n Hiển nhiên (u, v) = 1 nên theo Định. .. các đa thức hằng Theo giả thiết f 2 (t) − g 3 (t) = a = 0 Khi đó, áp dụng Định lý Mason hoặc Định lý Davenport tổng quát ta kết luận được bài toán Thật vậy, theo công thức (1.21), ứng với m = 2, n = 3 ta được 1 1 deg(f 2 − g 3 ) ≥ deg(f ) + 1 ⇐⇒ deg(a) ≥ deg(f ) + 1 3 3 Do deg(a) = 0 và deg(f ) > 0 nên bất đẳng thức trên không xảy ra Vậy f và g là các đa thức hằng Lập luận tương tự thì bài toán trên. .. Fermat được biết đến từ thế kỷ 19 và đã được chứng minh dựa vào phương pháp của Hình học đại số Tuy nhiên, sử dụng Định lý Mason, ta có cách chứng minh đơn giản hơn nhiều 16 1.3.1 Định lý cuối cùng của Fermat cho đa thức Phương trình An (t) + B n (t) = C n (t) (1.10) vô nghiệm với mọi số nguyên n ≥ 3, trong đó các đa thức A(t), B(t), C(t) không đồng thời là hằng số, nguyên tố cùng nhau Chứng minh ... CHƯƠNG ĐỊNH LÝ MASON VÀ CÁC TƯƠNG TỰ SỐ HỌC TRÊN ĐA THỨC 1.1 Các tương tự số học trường đóng đại số, đặc số Sự phát triển Số học, đặc biệt thời gian gần đây, chịu ảnh hưởng lớn tương tự số nguyên đa. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THUỲ LINH ĐỊNH LÝ MASON VÀ CÁC TƯƠNG TỰ SỐ HỌC TRÊN ĐA THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người... khoa học PGS TS NGUYỄN THÀNH QUANG Nghệ An - 2013 MỤC LỤC Mục lục Một số kí hiệu dùng luận văn Mở đầu Định lý Mason tương tự số học đa thức 1.1 Các tương tự số học trường đóng đại số, đặc số