TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  VŨ THỊ HUỆ ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP NEWTON VÀ PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2015 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  VŨ THỊ HUỆ ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP NEWTON VÀ PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh HÀ NỘI – 2015 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập, nghiên cứu khoa Toán Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2, đƣợc dạy dỗ bảo tận tình thầy cô, em tiếp thu đƣợc nhiều kiến thức khoa học, kinh nghiệm phƣơng pháp học tập mới, bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc toàn thể thầy cô khoa Toán trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội – ngƣời chăm lo, dìu dắt chúng em trƣởng thành nhƣ ngày hôm Đặc biệt em xin cảm ơn thầy giáo PGS.TS KHUẤT VĂN NINH, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực Vũ Thị Huệ LỜI CAM ĐOAN Khóa luận đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS KHUẤT VĂN NINH với cố gắng thân em Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với khóa luận tác giả Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên thực Vũ Thị Huệ MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU NỘI DUNG CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối 1.1.1 Số gần 1.1.2 Sai số tuyệt đối 1.1.3 Sai số tƣơng đối 1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn số 1.2.1 Làm tròn số 1.2.2 Sai số phép làm tròn số 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số 1.3.2 Chữ số đáng tin 1.3.3 Cách viết số xấp xỉ 1.4 Sự tồn nghiệm thực khoảng tách nghiệm phƣơng trình 1.4.1 Sự tồn nghiệm thực phƣơng trình 1.4.2 Khoảng tách nghiệm (khoảng phân li nghiệm) 1.5 Đạo hàm vi phân toán tử CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP NEWTON 2.1 Mô tả phƣơng pháp 2.2 Mô tả phƣơng pháp hình học 11 2.3 Bậc hội tụ 12 2.4 Tốc độ hội tụ phƣơng pháp Newton 12 2.5 Sai số phƣơng pháp Newton 14 2.6 Một số ví dụ 14 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG 32 3.1 Mô tả phƣơng pháp 32 3.2 Mô tả phƣơng pháp hình học 34 3.3 Tốc độ hội tụ phƣơng pháp dây cung 34 3.4 Sai số phƣơng pháp dây cung 36 3.5 Một số ví dụ 37 KẾT LUẬN………………………………………………………………….57 TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, Toán học ngày phát triển chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết Toán ứng dụng Nói đến Toán học ứng dụng không nói đến Giải tích số, môn khoa học nghiên cứu cách giải gần phƣơng trình, toán xấp xỉ, toán tối ƣu Việc giải phƣơng trình phi tuyến f(x) = 0, nhiều trƣờng hợp công thức giải xác nên hầu hết phƣơng trình cần giải gần Do vậy, vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần phƣơng trình Phƣơng pháp Newton Phƣơng pháp dây cung công cụ hữu hiệu để giải gần phƣơng trình f(x) = Vì nhờ hai phƣơng pháp phƣơng trình phi tuyến f(x) = đƣợc thay phƣơng trình tuyến tính xấp xỉ nghiệm gần phƣơng trình tuyến tính thay hội tụ đến nghiệm phƣơng trình phi tuyến nói Dƣới góc độ sinh viên sƣ phạm chuyên ngành Toán phạm vi khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết vấn đề: “Ứng dụng phƣơng pháp Newton phƣơng pháp dây cung giải gần phƣơng trình phi tuyến” Mục đích nghiên cứu Hiểu vững hai phƣơng pháp giải gần phƣơng trình phi tuyến, tìm nghiệm phƣơng trình với độ xác cần thiết sai số cho phép Áp dụng phần mềm Toán học nhƣ: Maple Pascal vào để giải số toán Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu Phƣơng pháp Newton phƣơng pháp dây cung giải phƣơng trình f(x) = 0, f hàm số biến số thực; ứng dụng phƣơng pháp giải số phƣơng trình phi tuyến cụ thể Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng trình phi tuyến tính Các cách giải tập áp dụng Giải toán Maple Pascal Phƣơng pháp nghiên cứu Tra cứu tham khảo tài liệu Viết thuật toán chạy chƣơng trình Đƣa giải ví dụ minh họa cho phƣơng pháp NỘI DUNG CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Trong chƣơng trình bày số kiến thức số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối, làm tròn số sai số phép làm tròn số, cách viết số xấp xỉ, tồn nghiệm thực khoảng tách nghiệm phƣơng trình, đạo hàm vi phân toán tử 1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối 1.1.1 Số gần Ta nói q số gần q* q không sai khác q* nhiều, hiệu số  = q* - q gọi sai số thực q Nếu  > q giá trị gần thiếu q* Nếu  < q giá trị gần thừa q* 1.1.2 Sai số tuyệt đối Trong tính toán, thƣờng ta số q* mà biết số gần q Khi ta nói “q xấp xỉ q* ” viết “q xấp xỉ q* ” Độ lệch h = q* - q đƣợc gọi sai số thực q* Do q* nên ta h Tuy nhiên, ta tìm đƣợc số dƣơng q ≥ 𝑕 cho: q - q  q*  q +q Số q bé mà ta xác định đƣợc gọi sai số tuyệt đối q Nếu số xấp xỉ q* có sai số tuyệt đối q ta viết: q* = q ± q (1.1.1) với nghĩa: q - q  q*  q +q 1.1.3 Sai số tương đối Tỷ số 𝛿 q = qq (1.1.2) gọi sai số tƣơng đối q Ta suy q = q 𝛿 q (1.1.3) Do (1.1.1) viết thành: q* = q(1 ± 𝛿 q) Công thức (1.1.2) (1.1.3) cho ta hệ thức liên hệ sai số tuyệt đối sai số tƣơng đối Nhận xét: Độ xác phép đo thƣờng đƣợc phản ánh qua sai số tƣơng đối 1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn số 1.2.1 Làm tròn số Xét số thập phân dạng tổng quát: q = ± (qp.10p +…+ qi.10i +…+ qp-s.10p-s) (1.2.1) Với qj  ℕ, j , qp  0,  qj  Nếu p - s  q số nguyên Nếu p - s = -k (k > 0) q có phần lẻ gồm k chữ số Nếu p – s  q số thập phân vô hạn Làm tròn số q bỏ số chữ số bên phải q để đƣợc 𝑞 gọn gần với số q Quy tắc làm tròn số nhƣ sau: Xét số q dạng (1.2.1) ta giữ lại đến bậc thứ i, phần bỏ  : 𝑞 = ±(qp.10p +… + qi+1.10i+1 +…+ 𝑞i.10i) Trong đó: 𝑞i = 𝑞𝑖 ,   < 10𝑖 𝑞𝑖 + 1,  > 10𝑖 Nếu  = 10𝑖 𝑞i = 𝑞𝑖 𝑛ế𝑢 𝑞𝑖 = 2𝑙 (𝑙 ℕ) 𝑞𝑖 + 𝑛ế𝑢 𝑞𝑖 = 2𝑙 + (𝑙 ℕ) end; Begin Write(' nhap a, b : '); readln(a, b); Write(' nhap m = '); readln(m); Write(' nhap sai so w = '); readln(w); Write(' chon x0 = '); readln(x0); Writeln(' cac xap xi tiep theo la: '); i: = 1; e: = 0; repeat if f(a) > then x1:= x0 - f(x0)*(x0 – a)/(f(x0) – f(a)) else x1:= x0 - f(x0)*(b – x0)/(f(b) – f(x0)) writeln (' x', i ,' = ', x1: 2: 3); e: = abs(x1 - x0); x0: = x1; i: = i + 1; until (e < w); writeln(' vay nghiem xap xi cua phuong trinh la: ', x i : 2: 3);readln; End Kết quả: Nhap a, b : Nhap m = -2.28 Nhap sai so w = 0.0005 Chon x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.304718427 x[2] = 0.26103454 x[3] = 0.259245694 45 x[4] = 0.259174085 x[5] = 0.259171221 x[6] = 0.259171106 x[7] = 0.259171101 Vay nghiem xap xi cua phuong trinh la : 0.259171101 c) Ví dụ 3.5.3 Tìm nghiệm dƣơng phƣơng trình phƣơng pháp dây cung với độ xác = 0.03: (x – 1)2 -1/2.ex = (3.5.3) Giải Đặt f(x) = (x – 1)2 -1/2.ex Có f(0) = 1/2 > 0, f(1) = -1/2e <  f(0).f(1) <  (3.5.3) có nghiệm x* (0, 1) Dễ thấy f '(x) = 2(x – 1) – 1/2 ex , f‘'(x) =2 – 1/2 ex > x  (0, 1) Vì f(a) = f(0) > nên nghiệm (3.5.3) đƣợc xây dựng theo công thức (3.1.2) Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = Ta tính đƣợc: x1  x0   1 f ( x0 ) (x  a) f (x )  f (a) f (1) (1  0)  0.2689414214 f (1)  f (0) x2 = x1  f ( x1) ( x  0)  0.216759117 f (x1)  f (0) x3 = x2  f ( x2 ) (x  0)  0.213532151 f (x )  f (0) 46 x4 = x3  f ( x3 ) ( x  0)  0.213323105 f (x3 )  f (0) x5 = x4  f ( x4 ) ( x  0)  0.213309571 f (x )  f (0) x6  x5  f  x5   x5    0.213308695 f  x5   f   x7  x6  f  x6   x6    0.213308638 f  x6   f   x8  x7  f  x7   x7    0.2133086376 f  x7   f   x9  x8  f  x8   x8    0.213308634 f  x8   f   x10  x9  f  x9   x9    0.213308633 f  x9   f   Ta có f(x10)  1.192.10-9 Vậy nghiệm dƣơng gần (3.5.3) với độ xác  = 0.03 x10  0.213308633 Giải ví dụ 3.5.3 Maple: [>fsolve((x-1)^2-1/2*exp(x),{x}); {x = 0.2133086343} Đồ thị phƣơng trình là: 47 Bảng đánh giá sai số ví dụ 3.5.3 với nghiệm: x* 0.2133086343 n xn 0.268941421 0.216759117 0.213532151 0.786691365 0.055632786 3.450482.10-3 2.235167.10-4 n xn 0.213323105 0.213309571 0.213308695 0.213308638 n = |xn - x*| 1.44707.10-5 9.367.10-7 6.07.10-8 3.7.10-9 n = |xn - x*| n 48 10 xn n = |xn - x*| 0.2133086376 0.213308634 0.213308633 3.3.10-9 3.10-10 1.3.10-9 Giải ví dụ 3.5.3 chương trình Pascal: Progam Giaividu3.5.3; Uses crt; Var x0, x1, w, e, a, b, m : real; i: byte; x: array 1 10 of real; functionf (x: real): real; begin f: = 2*(x – 1) – 1/2*exp(x); end; Begin Write(' nhap a, b : '); readln(a, b); Write(' nhap sai so w = '); readln(w); Write(' chon x0 = '); readln(x0); Writeln(' cac xap xi tiep theo la: '); i: = 1; e: = 0; repeat if f(a) > then x1:= x0 - f(x0)*(x0 – a)/(f(x0) – f(a)) else x1:= x0 - f(x0)*(b – x0)/(f(b) – f(x0)) writeln (' x', i ,' = ', x1: 2: 3); e: = abs(x1 - x0); x0: = x1; i: = i + 1; 49 until (e < w); writeln(' vay nghiem xap xi cua phuong trinh la: ', x i : 2: 3);readln; End Kết quả: Nhap a, b : Nhap sai so w = 0.03 Chon x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.268941421 x[2] = 0.216759117 x[3] = 0.213532151 x[4] = 0.213323105 x[5] = 0.213309571 x[6] =0.213308695 x[7] =0.213308638 x[8] =0.2133086376 x[9] =0.213308634 x[10] =0.213308633 Vay nghiem xap xi cua phuong trinh la : 0.213308633 d) Ví dụ 3.5.4 Giải phƣơng trình sau phƣơng pháp dây cung: x4 - 6x + = (3.5.4) Giải Đặt f(x) = x4 - 6x + Có f(0) = > 0, f(1) = - <  f(0).f(1) <  (3.5.4) có nghiệm x* (0, 1) 50 Dễ thấy f '(x) = 4x3 - 6, f ‘'(x) = 12x2 > x  (0, 1) Vì f(a) = f(0) > nên nghiệm (3.5.4) đƣợc xây dựng theo công thức (3.1.2) Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = Ta tính đƣợc: x1  x0   1 f ( x0 ) (x  a) f (x )  f (a) f (1) (1  0)  0.8 f (1)  f (0) x2 = x1  f ( x1) ( x  0)  0.7288629738 f (x1)  f (0) x3 = x2  f ( x2 ) (x  0)  0.7126570468 f (x )  f (0) x4 = x3  f ( x3 ) (x  0)  0.7094644357 f (x3 )  f (0) x5 = x4  f ( x4 ) (x  0)  0.7088555864 f (x )  f (0) x6 = x5  f ( x5 ) (x  0)  0.70877402134 f (x5 )  f (0) x7 = x6  f ( x6 ) (x  0)  0.7087183775 f (x )  f (0) x8 = x7  f ( x7 ) (x  0)  0.7087142457 f (x )  f (0) x9 = x8  f ( x8 ) (x  0)  0.7087134639 f (x8 )  f (0) x10 = x9  f ( x9 ) (x  0)  0.708713316 f (x9 )  f (0) 51 x11 = x10  f ( x10 ) (x  0)  0.708713288 f (x10 )  f (0) 10 x12 = x11  f ( x11) (x  0)  0.7087132827 f (x11)  f (0) 11 x13 = x12  f ( x12 ) (x  0)  0.7087132817 f (x12 )  f (0) 12 x14 = x13  f ( x13 ) (x  0)  0.7087132815 f (x13 )  f (0) 13 Vậy nghiệm gần phƣơng trình (3.5.4) là: x14  0.7087132815 Giải ví dụ 3.5.4 Maple: [> fsolve(x^4-6*x+4,{x}); {x = 7087132815}, {x = 1.491538269} Đồ thị phƣơng trình là: Bảng đánh giá sai số ví dụ 3.5.4 với nghiệm: x* 0.7087132815 n 52 xn n = |xn - x*| 0.8 0.7288629738 0.7126570468 0.291286718 0.09128678 0.020149692 3.943765.10-3 n xn 0.7094644357 0.7088555864 0.708774021 0.708718377 n = |xn - x*| 7.511547.10-4 1.423049.10-4 6.07398.10-5 5.096.10-6 n 10 11 xn 0.7087142457 0.7087134638 0.708713316 0.708713288 n 12 13 14 xn 0.7087132827 0.7087132817 0.708713281 1.2.10-10 2.10-3 0.0000000 n = |xn - x*| n = |xn - x*| 9.642.10-7 1.824.10-7 Giải ví dụ 3.5.4 chương trình Pascal: Progam Giaividu3.5.4; Uses crt; Var x0, x1, w, e, a, b, m : real; i: byte; x: array 1 10 of real; functionf (x: real): real; begin 53 3.45.10-8 6.5.10-9 f: = x*x*x*x – 6*x + 4; end; Begin Write(' nhap a, b : '); readln(a, b); Write(' nhap m = '); readln(m); Write(' nhap sai so w = '); readln(w); Write(' chon x0 = '); readln(x0); Writeln(' cac xap xi tiep theo la: ') i: = 1; e: = 0; repeat if f(a) > then x1:= x0 - f(x0)*(x0 – a)/(f(x0) – f(a)) else x1:= x0 - f(x0)*(b – x0)/(f(b) – f(x0)) writeln (' x', i ,' = ', x1: 2: 3); e: = abs(x1 - x0); x0: = x1; i: = i + 1; until (e < w); writeln(' vay nghiem xap xi cua phuong trinh la: ', x i : 2: 3);readln; End Kết quả: Nhap a, b : Nhap m = Nhap sai so w = 0.001 Chon x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.8 x[2] = 0.7288629738 54 x[3] = 0.7126570468 x[4] = 0.7094644357 x[5] = 0.7088555864 x[6] = 0.70877402134 x[7] = 0.7087183775 x[8] = 0.7087142457 x[9] = 0.7087134638 x[10] = 0.708713316 x[11] = 0.708713288 x[12] = 0.7087132827 x[13] = 0.7087132817 x[14] = 0.7087132815 Vay nghiem xap xi cua phuong trinh la : 0.7087132815  Giải ví dụ 3.5.4 phƣơng pháp Newton Đặt f(x) = x4 – 6x +4 = '  f ( x) = 4x3 – Ta có: f(1) = -1 < 0, f(0) = 4>  f(1).f(0) < Do phƣơng trình f(x) = có nghiệm x* (0;1) Theo phƣơng pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp đƣợc xây dựng nhƣ sau: 𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ; 𝑛 = 0,1, 2, … 𝑓 ′ 𝑥𝑛 Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(1) = − ≈ 0.5 𝑓 ′ (𝑥0 ) 𝑓 ′ (1) 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1 ) ≈ 0.693181818 𝑓 ′ (𝑥1 ) 55 𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓(𝑥2 ) ≈ 0.708562049 𝑓 ′ (𝑥2 ) 𝑥4 = 𝑥3 − 𝑓(𝑥3 ) ≈ 0.708713265 𝑓 ′ (𝑥3 ) 𝑥5 = 𝑥4 − 𝑓(𝑥 ) 𝑓 ′ (𝑥 ) ≈ 0.7087132815 Ta có f(x5)  0.00002 Vậy nghiệm gần (3.5.4) x5  0.7087132815 Bảng đánh giá sai số với nghiệm x* ≈ 0.7087132815 n xn 0.5 0.693181818 0.291256718 0.208713281 0.015531463 n xn 0.708562049 0.708713265 0.7087132815 1.5.10-4 1.65.10-8 0.0000000 n = |xn - x*| n = |xn - x*| Nhận xét: Ta biết phƣơng pháp dây cung có bậc hội tụ p = 1.618 phƣơng pháp Newton có bậc hội tụ p = 2, nên phƣơng pháp Newton hội tụ đến nghiệm nhanh phƣơng pháp dây cung, ví dụ chứng tỏ điều Để đạt sai số n = 0.0000000, phƣơng pháp dây cung cần 14 bƣớc phƣơng pháp Newton cần bƣớc * Bài tập: 56 Bài tập 3.6.1: Bằng phƣơng pháp dây cung tìm nghiệm gần phƣơng trình với độ xác  = 10-3 a) x4  x3  6x2  20x 16  b) x3  sin x  12 x   c) x5  x  0.2  d ) x  tanx=0;x  [0,  / 2] Bài tập 3.6.2: Hãy tách nghiệm đồ thị tìm nghiệm phƣơng pháp dây cung với độ xác   103 a ) x  x  10 x  10  0 x c) x  x  0.5 x   b) x   57 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, em thu đƣợc số kết sau - Trình bày đƣợc phƣơng pháp Newton phƣơng pháp dây cung để giải gần phƣơng trình f(x) = - Trình bày phƣơng pháp tính tốc độ hội tụ phƣơng pháp - Vận dụng hai phƣơng pháp vào giải tập cụ thể Em giải mẫu số ví dụ lập trình Maple Pascal tìm nghiệm gần phƣơng trình phi tuyến để từ vận dụng giải tập tƣơng tự cách dễ dàng Mặc dù cố gắng nhƣng thời gian có hạn bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót Em mong đƣợc đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đọc để khóa luận em đƣợc hoàn chỉnh 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chƣơng, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Khải, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tƣờng (2001), Giải tích số, NXB Giáo Dục [3] Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2002), Phương pháp tính thuật toán, NXB Giáo Dục [4] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [5] Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, NXB Giáo Dục B Tiếng Anh [1] Jeffrey R Chasnou (2012), Introduction to Numerical Methods, Lecture note for MATH 3312, The Hong Kong University of Science and Technology [...]... (2 .1.3) và (2 .1.4) gọi là phƣơng pháp Newton Chú ý: Phƣơng trình (2 .1.2) dùng để thay cho phƣơng trình (2 .1.1) là tuyến tính đối với x và là phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng cong y = f(x) tại điểm (x0,f(x0)) nên phƣơng pháp Newton cũng là phƣơng pháp tuyến tính hóa và là phƣơng pháp tiếp tuyến Nhìn vào (2 .1.3), (2 .1.4) ta thấy phƣơng pháp Newton thuộc loại phƣơng pháp lặp với hàm lặp là: 10 𝑓 𝑥 (x) =... CHƢƠNG 2 PHƢƠNG PHÁP NEWTON Trong chƣơng này, em trình bày phƣơng pháp Newton giải gần đúng phƣơng trình phi tuyến Đồng thời em cũng giải mẫu một số ví dụ bằng phƣơng pháp Newton, lập trình trên Maple, trên Pascal và đƣa ra các bài tập áp dụng 2.1 Mô tả phƣơng pháp Xét phƣơng trình: f(x) = 0 (2 .1.1) với giả thiết f  C2 𝑎, 𝑏 và thỏa mãn: i) f(a).f(b) < 0 ' '' ii) Các đạo hàm f ( x) , f ( x) không đổi... 𝑏 và f(a).f(b) < 0 thì 𝑎, 𝑏 là khoảng tách nghiệm của phương trình (1 .4.1) Định lí (1 .4.3) ' Hàm f(x) xác định trên 𝑎, 𝑏 có f ( x) không đổi dấu trên 𝑎, 𝑏 và f(a).f(b) < 0 thì (a, b) là khoảng tách nghiệm của phương trình (1 .4.1) Ví dụ Cho phƣơng trình: x3 - x – 2 = 0, chứng tỏ phƣơng trình có nghiệm thực và tìm khoảng tách nghiệm của phƣơng trình Giải Đặt f(x) = x3 – x - 2 ' Ta có f(x) xác định và. .. f(x) nếu f(x0) f ( x) > 0 Ý chủ đạo của phƣơng pháp Newton là tìm cách thay phƣơng trình (2 .1.1), phi tuyến đối với x, bằng một phƣơng trình gần đúng, tuyến tính đối với x Ta có công thức Taylor Cho hàm P(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n + 1 tại x0 và lân cận x0 Khi đó công thức sau đây gọi là khai triển Taylor bậc n của P(x) tại x0: P( x)  P( x0 )  ( x  x0 ).P ' ( x0) )  P ( n ) ( x0 )  (. .. f ' (r )   n 2 f '' (r )  ; 2 1 f ' ( xn )  f ' (r )  ( xn  r ) f '' (r )  ( xn  r )2 f ''' (r )  , 2 1  f ' (r )   n f '' (r )   n 2 f ''' (r )  , 2 Ta sử dụng công thức khai triển Maclaurin của hàm 1  1     2  , 1  (2 .4.2) 1 , ta đƣợc: 1  (2 .4.3) Với khoảng hội tụ là   1 Từ (2 .4.1), (2 .4.2) và sử dụng (2 .4.3) ta đƣợc:  n1 n  f ( xn ) f '( x ) n n 1  n f ' (r )... ′ 𝑥0 1! (x – x0) + 𝑓 ′′ 𝑐 2! (x – x0)2 x  (a, b), c = x0 + (x – x0)  (a, b) Nhƣ vậy phƣơng trình (2 .1.1) viết lại đƣợc: 0 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 1! (x – x0) + 𝑓 ′′ 𝑥 0 2! (x – x0)2, với x đủ gần x0 thì x – x0 là một đại lƣợng nhỏ nên (x – x0)2 rất nhỏ, bỏ qua số hạng cuối cùng ta đƣợc phƣơng trình: ' f(x0) + (x – x0) f ( x0 ) = 0 (2 .1.2) Nhƣ vậy, ta đã thay phƣơng trình (2 .1.1) bằng phƣơng trình (2 .1.2)... ' (r )   n 2 f '' (r )  2  1 f ' (r )   n f '' (r )   n 2 f ''' (r )  2 1 f '' (r )  n   n 2  ' 2 f (r ) n  f '' (r ) 1  n  f ' (r ) 13   1 f '' (r ) f '' (r )   n    n   n2   (1   n  ) ' '   2 f (r ) f (r )     ''  f '' (r )  2  1 f (r )    n   n   n    '  2 f ' (r )    f (r )     1 f '' (r )   n 2  2 f ' (r ) Do đó:  n1 ... phƣơng pháp bằng p, p càng lớn thì dãy xn hội tụ càng nhanh đến r Theo phƣơng pháp Newton ta có: xn1  xn  f ( xn ) f '( x ) n Lấy r trừ cả hai vế của phƣơng trình ta có: 12 r  xn1  r  xn  f ( xn ) f '( x ) n hay  n1   n  f ( xn ) f '( x ) (2 .4.1) n Ta sử dụng khai triển Taylor trong lân cận của nghiệm r, f(r) = 0 Ta có: 1 f ( xn )  f (r )   xn  r  f ' (r )  ( xn  r )2 f '' (r ) ... -1.147757548 x[5] = -1.1477575632 Vay nghiem xap xi cua (2 .6.1) la : -1.147757632 Ví dụ 2.6.2: Giải phƣơng trình sau bằng phƣơng pháp Newton, với độ chính xác là 10-4: x5 – x – 1=0 (2 .6.2) Giải Đặt f(x) = x5 – x – 1  f „(x) = 5x4 – 1 Ta có: f(1) = -1 < 0, f(3/2) = 5.09375 > 0  f(1).f(3/2) < 0 Do đó phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm x* (1 ;3/2) Theo phƣơng pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp đƣợc xây dựng nhƣ... 2.6.4: Giải phƣơng trình sau bằng phƣơng pháp Newton, với độ chính xác là 10-5 2x3 + 3x2 – 3 =0 (2 .6.4) Giải ' Đặt f(x) = 2x3 + 3x2–3  f ( x) = 6x2+ 6x Ta có: f(0) = -3 < 0, f(1) = 2 > 0  f(0).f(1) < 0 Do đó phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm x* (0 ;1) Theo phƣơng pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp đƣợc xây dựng nhƣ sau: 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑓 ′ 𝑥𝑛 ; 𝑛 = 0, 1, 2, … Chọn xấp xỉ ban đầu là x0 = 0.5 𝑥1 = 𝑥0 − ( 0 ... vấn đề: Ứng dụng phƣơng pháp Newton phƣơng pháp dây cung giải gần phƣơng trình phi tuyến Mục đích nghiên cứu Hiểu vững hai phƣơng pháp giải gần phƣơng trình phi tuyến, tìm nghiệm phƣơng trình. .. nghiệm gần phƣơng trình Phƣơng pháp Newton Phƣơng pháp dây cung công cụ hữu hiệu để giải gần phƣơng trình f(x) = Vì nhờ hai phƣơng pháp phƣơng trình phi tuyến f(x) = đƣợc thay phƣơng trình tuyến. .. phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng cong y = f(x) điểm (x0,f(x0)) nên phƣơng pháp Newton phƣơng pháp tuyến tính hóa phƣơng pháp tiếp tuyến Nhìn vào (2 .1.3), (2 .1.4) ta thấy phƣơng pháp Newton thuộc