TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ******* ON TH LINH PH CA TON T TUYN TNH T LIấN HP B CHN KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Gii tớch Ngi hng dn khoa hc: ThS HONG NGC TUN H Ni - 2015 LI CM N Trc trỡnh by ni dung chớnh ca bi khúa lun ny, em xin by t lũng bit n sõu sc ti Thc s Hong Ngc Tun ngi ó tn tỡnh hng dn em cú th hon thnh ti ny Em cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti ton th cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, Trng i hc S phm H Ni ó dy bo em tn tỡnh sut quỏ trỡnh hc ti khoa Nhõn dp ny em cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn bờn em, ng viờn, giỳp em sut quỏ trỡnh hc v thc hin ti khúa lun ny LI CAM OAN Em xin cam oan ti khúa lun "Ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn" c hon thnh di s hng dn ca Thc s Hong Ngc Tun khụng trựng vi bt kỡ ti no khỏc Trong quỏ trỡnh hon thnh ti, em ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, ngy thỏng 05 nm 2015 Sinh viờn on Th Linh Mc lc Li M u Chng Mt s kin thc chun b 1.1 Khụng gian nh chun 1.2 Khụng gian Hilbert 1.2.1 nh ngha khụng gian Hilbert 1.2.2 Toỏn t liờn hp 1.2.3 Tớnh trc giao 4 1.3 Ph ca toỏn t tuyn tớnh Chng ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 2.1 Cỏc tớnh cht ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 2.1.1 nh lý giỏ tr riờng, vect riờng 2.1.2 nh lý gii thc 2.1.3 nh lớ ph 2.2 Mt s tớnh cht ph khỏc ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 10 2.2.1 nh lý ph 2.2.2 nh lý chun 2.2.3 nh lý (m v M l cỏc giỏ tr ph) 2.2.4 nh lý ph thng d 2.3 Toỏn t dng 2.3.1 nh lý tớch ca toỏn t dng 2.3.2 nh ngha dóy n iu 2.3.3 nh lý dóy n iu 10 11 11 12 13 13 15 16 2.4 Cn bc hai ca toỏn t dng 17 2.4.1 nh ngha cn bc hai dng 2.4.2 nh lý cn bc hai dng 17 18 2.5 Phộp chiu toỏn t 2.5.1 nh lý phộp chiu 2.5.2 nh lý tớnh dng, chun 2.5.3 nh lý tớch ca cỏc phộp chiu 2.5.4 nh lý tng ca cỏc phộp chiu 2.6 Cỏc tớnh cht khỏc ca phộp chiu 2.6.1 nh lý quan h th t riờng 2.6.2 nh lý hiu ca cỏc phộp chiu 2.6.3 nh lý dóy n iu tng 2.7 H ph ca mt toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 20 21 22 22 23 24 24 25 26 28 2.7.1 nh ngha h ph 2.7.2 H ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 2.7.3 Mnh toỏn t liờn hp vi T 2.7.4 B cỏc toỏn t liờn quan vi T 2.7.5 nh lý h ph liờn kt vi mt toỏn t 28 32 33 35 36 2.8 Biu din ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 39 2.8.1 nh lý ph cho toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 2.8.2 nh lý cỏc tớnh cht ca p(T ) 39 42 Kt lun 44 Ti liu tham kho 45 LI M U Lớ chn ti Lý thuyt toỏn t tuyn tớnh v lý thuyt ph úng vai trũ quan trng Gii tớch hm v nhiu ngnh toỏn hc khỏc, vỡ th nú c nhiu nh toỏn hc quan tõm Trong hc phn Gii tớch hm, sinh viờn ch mi c cung cp mt s kin thc c bn ca toỏn t tuyn tớnh liờn tc Mc ớch ca khoỏ lun l tỡm hiu, nghiờn cu cỏc tớnh cht ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Vi mc ớch ú, da vo cỏc ti liu tham kho, em tỡm hiu cỏc khỏi nim v cỏc tớnh cht c bn, chng minh chi tit mt s mnh nh lý cú cỏc ti liu Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu cỏc tớnh cht ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Phng phỏp nghiờn cu ti nghiờn cu da trờn s kt hp ca cỏc phng phỏp: nghiờn cu lý lun, phõn tớch, tng hp, ỏnh giỏ Phm vi nghiờn cu Do thi gian khụng nhiu nờn bi khúa lun ch tỡm hiu c mt s tớnh cht ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn B cc ti B cc ca ti bao gm : Chng 1: Mt s kin thc chun b Khụng gian nh chun Khụng gian Hilbert Chng 2: Ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Cỏc tớnh cht ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Mt s tớnh cht ph khỏc ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Toỏn t dng Cn bc hai ca toỏn t dng Phộp chiu toỏn t Cỏc tớnh cht ca phộp chiu H ph H ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Biu din ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Do thi gian thc hin ti khụng nhiu, kin thc cũn hn ch nờn bi khúa lun khụng trỏnh nhng sai sút Tỏc gi mong nhn c s gúp ý v nhng ý kin phn bin ca quý thy cụ v bn c Xin chõn thnh cm n! Chng Mt s kin thc chun b 1.1 Khụng gian nh chun nh ngha 1.1.1 Ta gi X l khụng gian nh chun (hay khụng gian tuyn tớnh nh chun) l khụng gian tuyn tớnh X trờn trng P (P = R hoc C) cựng vi ỏnh x || || : X R tha cỏc tiờn sau: x X, || x || 0, || x || = x = x X, P, || x || = || ã || x || x, y X, || x + y || || x || + || y || S || x || c gi l chun ca vect x Cỏc tiờn 1, 2, gi l cỏc tiờn chun nh ngha 1.1.2 Dóy im (xn ) khụng gian nh chun X gi l dóy c bn nu: lim || xn xm || = n,m nh ngha 1.1.3 Khụng gian nh chun X gi l khụng gian Banach, nu mi dóy c bn X u hi t nh ngha 1.1.4 Cho hai khụng gian tuyn tớnh bt kỡ X, Y trờn trng P (P = R hoc C) Mt ỏnh x T : X Y gi l ỏnh x tuyn tớnh hay toỏn t tuyn tớnh nu i) T (x1 + x2 ) = T (x1 ) + T (x2 ), x1 , x2 X ii) T (x) = T x, , x X iu kin tng ng T (1 x1 + ã ã ã + k xk ) = T x1 + ã ã ã + k T xk , vi mi x1 , ã ã ã , xk thuc X v vi mi , ã ã ã , k Nu X = Y thỡ ta núi T l mt toỏn t X nh ngha 1.1.5 Gi s X, Y l hai khụng gian nh chun Toỏn t T : X Y gi l liờn tc nu xn x0 thỡ T xn T x0 nh ngha 1.1.6 Toỏn t T : X Y gi l b chn nu cú mt hng s c > vi mi x X: () || T x || c || x || nh lý 1.1.1 Cho T l toỏn t tuyn tớnh t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Khi ú ba mnh sau tng ng T liờn tc T liờn tc ti im x0 no ú thuc X T b chn nh ngha 1.1.7 Cho T l toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Hng s c > nh nht tha h thc () gi l chun ca toỏn t T v kớ hiu l ||T || nh lý 1.1.2 Cho toỏn t tuyn tớnh T t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Nu toỏn t T b chn thỡ || T || = sup || T || , ||x|| hay, || T || = sup || T || ||x||=1 nh ngha 1.1.8 Toỏn t tuyn tớnh T : X Y (X, Y l hai khụng gian nh chun) gi l toỏn t compact nu T bin mt b chn bt kỡ X thnh compact tng i Y Toỏn t compact cũn gi l toỏn t hon ton liờn tc 1.2 Khụng gian Hilbert 1.2.1 nh ngha khụng gian Hilbert nh ngha 1.2.1 Cho khụng gian tuyn tớnh X trờn trng P (P = R hoc C) ta gi l tớch vụ hng trờn khụng gian X mi ỏnh x t tớch Descartes X x X vo trng P, kớ hiu , tha tiờn : x, y X, y, x = y, x x, y, z X : x + y, z = x, z + y, z x, y X, P : x, y = x, y x X, x, x 0, x, x = x = , x, y, z gi l cỏc nhõn t ca tớch vụ hng S x, y gi l tớch vụ hng ca hai nhõn t x, y Cỏc tiờn 1, 2, 3, gi l h tiờn tớch vụ hng nh ngha 1.2.2 Tp H = gm nhng phn t x, y, z, no ú l khụng gian Hilbert nu H tha cỏc iu kin sau H l khụng gian tuyn tớnh trờn trng P; H c trang b mt tớch vụ hng; H l khụng gian Banach vi chun || x || = x, x , x H Ta gi mi khụng gian úng ca khụng gian Hilbert H l khụng gian Hilbert ca khụng gian H 1.2.2 Toỏn t liờn hp nh ngha 1.2.3 Cho T : H1 H2 l mt toỏn t tuyn tớnh b chn, ú H1 v H2 l khụng gian Hilbert Khi ú toỏn t liờn hp T ca T l toỏn t T : H2 H1 cho vi mi x H1 v y H2 , T x, y = x, T y nh lý 1.2.1 Cho T l toỏn t tuyn tớnh b chn ỏnh x khụng gian Hilbert X vo khụng gian Hilbert Y Khi ú tn ti toỏn t T liờn hp vi toỏn t T ỏnh x khụng gian Y vo khụng gian X nh lý 1.2.2 Cho T l toỏn t tuyn tớnh b chn ỏnh x khụng gian Hilbert X vo khụng gian Hilbert Y Khi ú toỏn t liờn hp T vi toỏn t T cng l toỏn t tuyn tớnh b chn v || T || = || T || nh ngha 1.2.4 Toỏn t tuyn tớnh b chn T ỏnh x khụng gian Hilbert H vo chớnh nú gi l t liờn hp nu T x, y = x, Ty Toỏn t t liờn hp cũn c gi l toỏn t i xng nh lý 1.2.3 Cho toỏn t tuyn tớnh b chn T ỏnh x khụng gian Hilbert H vo chớnh nú Khi ú T l t liờn hp v ch tớch vụ hng T x, x l s thc vi mi x H nh lý 1.2.4 Tớch ca hai toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn S v T trờn khụng gian Hilbert H l t liờn hp v ch hai toỏn t ú giao hoỏn ST = TS 1.2.3 Tớnh trc giao nh ngha 1.2.5 Cho H l khụng gian Hilbert Ta núi hai phn t x, y H l trc giao vi nu x, y = 0, v c kớ hiu l x y Cho A l khỏc rng ca H, x H Khi ú, ta núi x trc giao vi A nu x trc giao vi mi phn t A, v c kớ hiu l x A nh ngha 1.2.6 Cho H l khụng gian Hilbert, E l khụng gian vect ca H Tp hp F H cỏc phn t trc giao vi E c gi l phn bự trc giao ca E H v c kớ hiu l: E Tớnh cht c bn x y, y H x = H Nu x A, A = {y1 , y2 , ã ã ã , yn } H thỡ x trc giao vi mi t hp tuyn tớnh cỏc phn t A Gi s x xn , n v ly dóy xn hi t n y n thỡ x y vi mi R cú tng ng mt phộp chiu E B(H, H), ú B(H, H) l khụng gian ca cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t H vo H Chỳ ý rng hai iu kin ca (7) l tng ng, bi 2.6.1 C c gi l h ph trờn mt on [a, b] nu (8 ) E = < a, vi E = I vi b Cỏc h nh th c bit thỳ v vỡ ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn nm trờn mt on hu hn trờn ng thng thc T (8 ) suy (8) Trong (9), + chng t rng, gii hn ta ch xột giỏ tr > v E l toỏn t mnh liờn tc phi Trong hai phn tip theo, ta s xem xột toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn bt kỡ cho trc trờn khụng gian Hilbert tựy ý cú th liờn kt vi mt h ph, nú c s dng cho vic biu din T bng mt tớch phõn Riemann-Stieltjes Nú c hiu nh mt phộp biu din ph c núi n t trc Khi ú ta cng thy rng, trng hp chiu hu hn c xột phn u ca mc ny, s biu din tớch phõn rỳt gn ti mt tng hu hn, ngha l, (5) c vit bng cỏc s hng ca h ph (6) n gin, chỳng ta ó gi s cỏc giỏ tr riờng , ã ã ã , n ca T l phõn bit, v < < ã ã ã < n Khi ú ta cú E1 = P1 E2 = P1 + P2 ããã ããã En = P1 + ã ã ã + Pn Do ú, Ngc li, P1 = E1 Pj = E j E j1 j = 2, ã ã ã , n Vỡ E cũn li ging vi na on [ j1 , j ), nú c vit Pj = E j E j (4) tr thnh n x= Pj x = j=1 n (E j E j )x j=1 31 v (5) tr thnh n Tx = n j Pj x = j (E j E j )x j=1 j=1 Nu ta gim thp x v vit E = E E T ú dn ti n (10) T= j E j j=1 ú l s biu din ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp T vi cỏc giỏ tr riờng < < ã ã ã < n trờn khụng gian Hilbert n-chiu H Biu din ú cho thy, vi x, y H bt kỡ ta cú n (11) T x, y = j E j x, y j=1 Ta chỳ ý rng, cụng thc (11) cú th c vit nh mt tớch phõn Riemann-Stieltjes + (12) T x, y = dw( ) ú, w( ) = E x, y Chỳng ta quan tõm n toỏn t tuyn tớnh t liờn hp trờn khụng gian hu hn chiu, chun b cho trng hp khụng gian Hilbert tựy ý c xột phn sau 2.7.2 H ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Vi mt toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn cho trc T : H H trờn khụng gian Hilbert phc H, ta cú th kt hp vi mt h ph C cho C c s dng biu din ph ca T (tỡm hiu phn sau) xỏc nh C ta xột toỏn t T = T I, (1) cn bc hai dng ca T2 , kớ hiu l B ; ú B = (T2 ) (2) v toỏn t T+ = (B + T ), (3) 32 c gi l phn dng ca T H ph C ca T c xỏc nh bi C = (E ) R , ú E l phộp chiu ca H lờn khụng gian khụng N (T+ ) ca T+ Trong phn cũn li ca mc ny, ta s i chng minh C thc s l mt h ph, tc l ta phi chng minh nú cú tt c cỏc tớnh cht ca mt h ph ó c núi phn 2.7.1 Vic chng minh ú s dn n mt cụng c c s (bt ng thc (18), di õy) cho ngun gc ca phộp biu din ph mc sau Chỳng ta tin hnh theo tng bc v u tiờn ta xột cỏc toỏn t B T+ T = (T ) = (B + T ) = (B T ) (cn bc hai dng caT ) (phn dng ca T) (phn õm ca T) v phộp chiu ca H lờn khụng gian khụng ca T + , c kớ hiu bi E, tc l, E : H Y = N (T + ) T ú ta cú: (4) T = T+ T (5) B = T + + T Hn na ta cú mnh sau 2.7.3 Mnh toỏn t liờn hp vi T Cỏc toỏn t xỏc nh cỏc tớnh cht di õy (a) B, T + v T l b chn v t liờn hp (b) B, T + v T giao hoỏn vi toỏn t tuyn tớnh b chn T; trng hp c bit, (6) BT = T B T T = T T T +T = T T + T +T = T T + (c) E giao hoỏn vi mi toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn T, trng hp c bit, (7) ET = T E EB = BE 33 (d) Hn na ta cú: T +T = (8) T T + = T E = ET = T T + E = ET + = (9) T E = T (10) (11) T+ T (I E) = T + T 0 Chng minh (a) l hin nhiờn vỡ T v B l b chn v t liờn hp (b) Gi s T S = ST Khi ú T S = T ST = ST , v BS = SB bi nh lý 2.4.1 ỏp dng cho T Do ú 1 T + S = (BS + T S) = (SB + ST ) = ST + 2 Chng minh T S = ST l tng t (c) Vi mi x H ta cú y = Ex Y = N (T + ) Do ú, T + y = v ST + y = S0 = T T S = ST v (b) ta cú ST + = T + S, v T + SEx = T + Sy = ST + y = Do ú SEx Y Vỡ E chiu H lờn Y, ta cú ESEx = SEx vi x H, ngha l ESE = SE Mt phộp chiu l t liờn hp bi 2.5.1 v S cng t liờn hp bi gi thit Do ú ta cú ES = E S = (SE) = (ESE) = E S E = ESE = SE (d) Ta chng minh (8)-(11) Chng minh (8): T B = (T ) ta cú B2 = T Theo (6) ta cng cú BT = T B Do ú, theo (6) ta cú 1 T + T = T T + = (B T ) (B + T ) = (B2 + BT T B T ) = 2 Chng minh (9): Theo nh ngha, Ex N (T + ), T + Ex = vi mi x H Vỡ T + l t liờn hp, nờn ta cú ET + x = T + Ex = bi (6) v (c), ngha l ET + = T + E = Hn na, T + T x = bi (8), T x N (T + ) Do ú ET x = T x Vỡ T l t liờn hp, nờn t (c) suy T Ex = ET x = T x vi mi x H, ngha l T E = ET = T 34 Chng minh (10): T (4) v (9) ta cú T E = (T + T )E = T v li theo (4) ta cú T (I E) = T T E = T + T = T + Chng minh (11): Theo (9) v (5) v nh lý 2.3.1 ta cú T = ET + ET + = E(T + T + ) = EB vỡ E v B l t liờn hp v giao hoỏn, nờn E Tng t bi nh lý 2.3.1 ta cú bi 2.5.2 v B T + = B T = B EB = (I E)B vỡ I E 0 bi nh ngha 0 bi 2.5.2 Trong bc hai, thay vỡ xột T ta xột T = T I Thay B, T + , T , v E ta ly B = (T2 ) , phn dng v phn õm ca T c xỏc nh bi T+ = (B + T ) T = (B T ) v phộp chiu E : H Y = N (T+ ) ca H lờn khụng gian khụng Y = N (T+ ) ca T+ Bõy gi ta cú b sau 2.7.4 B cỏc toỏn t liờn quan vi T B 2.7.1 Phn cũn li ca b trc ỳng nu ta thay th T, B, T + , T , E tng ng bi T , B , T+ , T , E , vi l s thc Hn na, vi cỏc s thc bt kỡ , , à, , , cỏc toỏn t di õy u giao hoỏn T B Tà+ T E 35 Chng minh Mnh u l hin nhiờn cú c mnh th hai, ta chỳ rng IS = SI v T = T I = T àI +(à )I = Tà +(à )I (12) Do ú ST = T S = STà = Tà S = ST = T S = SB = B S, SBà = Bà S Chng minh tng t Vi S = T ta cú T B = B T , ã ã ã Vi s chun b trờn ta cú th chng minh rng mt toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn cho trc T, mt h ph C = (E ) c gi l h ph liờn kt vi toỏn t T s c núi n phn tip theo sau õy V h ph ú s giỳp ta biu din ph ca T 2.7.5 nh lý h ph liờn kt vi mt toỏn t nh lý 2.7.1 Cho T : H H l toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn trờn khụng gian Hilbert phc H Hn na cho E ( l s thc) l phộp chiu ca H lờn khụng gian khụng Y = N (T+ ) ca phn dng T+ ca T = T I Khi ú C = (E ) R l h ph trờn on [m, M] R, ú m, M c cho bi (1) phn 2.2 Chng minh Ta s chng minh (13) iu ú mõu thun vi gi thit T E = T 0, nú c suy t (10*) v (11*) Chng minh (15): Gi s rng > M nhng E = I, I E = Khi ú, (I E )x = x cho || x || = Do ú T (I E )x, x = T x, x = T x, x sup T x, x ||x||=1 = M < iu ny mõu thun vi T (I E ) = T+ cú EM = I bi tớnh liờn tc bờn phi 37 0, nú cú c t (10*) v (11*) Cng Chng minh (16): Vi na on = ( , à] ta liờn kt vi toỏn t E() = Eà E Vỡ < nờn ta cú E Eà bi (13), ú E (H) Eà (H) bi 2.6.1, v E() l phộp chiu bi 2.6.2 Cng cú E() bi 2.5.2 Theo 2.6.1 ta cú Eà E() = Eà2 Eà E = Eà E = E() (17) (I E )E() = E() E (Eà E ) = E() Vỡ E(), Tà v T+ l dng v giao hoỏn bi 2.8.2, nờn tớch Tà E() v T+ E() l dng bi 2.3.1 Do ú, theo (17) v (10*) ta cú Tà E() = Tà Eà E() = Tà E T E() = T (I E )E() = T+ E() iu ú suy T E() (18) àE() v T E() E() T E() 0 E() ng thi àE() E() = Eà E Cho c nh v t bờn phi Khi ú, E()x P( )x bi s tng t ca nh lý 2.3.3 vi mt dóy tng Trong ú P( ) l b chn v t liờn hp Vỡ E() l ly ng, nờn P( ) cng ly ng Do ú P( ) l phộp chiu Ta cng cú P( ) = T P( ) bi (18), tc l T P( ) = T ú, (10*) v 2.8.2 ta cú T+ P( ) = T (I E )P( ) = (I E )T P( ) = Do ú T+ P( )x = vi mi x H suy P( )x N (T+ ) Theo nh ngha, E chiu H lờn N (T+ ) Vỡ vy, ta cú E P( )x = P( )x, tc l, E P( ) = P( ) Mt khỏc, nu ta cho + (17) thỡ (I E )P( ) = P( ) ng thi, P( ) = Nh rng E()x P( )x, ta cú iu chng minh (16), ngha l C liờn tc phi Vy C = (E ) c cho nh lý cú tt c cỏc tớnh cht ca mt h ph trờn [m, M] 38 2.8 Biu din ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn T phn trc chỳng ta thy rng vi mt toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn T trờn mt khụng gian Hilbert phc H chỳng ta cú th liờn kt vi h ph C = (E ) Ta cú th s dng C biu din ph ca T; nú l mt s biu din tớch phõn (1) (di), nú bao gm C v tha T x, y c biu din bi tớch phõn RiemannStieltjes Kớ hiu m - xy nh lý s c gii thớch phn cui nh lý, ó c chng minh trc ú 2.8.1 nh lý ph cho toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn nh lý 2.8.1 Cho T : H H vi mt toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn trờn mt khụng gian Hilbert phc H ú: (a) T cú biu din ph M (1) T= dE m0 ú C = (E ) l h ph liờn hp vi T (2.8.3); tớch phõn c hiu l toỏn t hi t u [tớnh hi t chun trờn B( H, H)], vi mi x, y H, M (1 ) T x, y = dw( ), m0 w( ) = E x, y ú tớch phõn l tớch phõn Riemann-Stieltjes thụng thng (b) tng quỏt hn, nu p l mt a thc n cú cỏc h s thc, ta cú p( ) = n n + n1 n1 + ã ã ã + , thỡ toỏn t p(T) c xỏc nh bi p(T ) = n T n + n1 T n1 + ã ã ã + I cú biu din ph M (2) p(T ) = p( ) dE m0 39 v vi mi x, y H ta cú, M (2 ) p(T )x, y = p( ) dw( ), w( ) = E x, y m0 Chỳ ý m - c vit ch rng phi a vo xem xột = m xy nu Em = (v m = 0); vỡ vy s dng bt kỡ a < m, ta cú th vit M M M dE = a dE = mEm + dE m m0 Tng t, M M p( ) dE = a M p( ) dE = p(m)Em + p( ) dE m m0 Chng minh (a) Chỳng ta chn mt dóy (Pn ) ca phộp phõn hoch (a, b] ú a < m v M < b õy Pn l mt phõn hoch ca (a, b] trờn cỏc na on j = 1, ã ã ã , n n j = (n j , àn j ], ca chiu di l(n j ) = àn j n j Chỳ ý rng àn j = n, j+1 vi j = 1, , n Ta gi s dóy (Pn ) tha (Pn ) = max l(n j ) (3) j n Ta s dng (18) mc 2.8 vi = n j , ngha l, n j E(n j ) T E(n j ) àn j E(n j ) Theo phộp ly tng j t ti n, vi mi n ta cú n (4) n n j E(n j ) j=1 T E(n j ) j=1 n àn j E(n j ) j=1 Vỡ àn j = n, j+1 vi j = 1, ã ã ã , n 1, nờn s dng (14) v (15) mc 2.8 ta cú n T n E(n j ) = T (Eàn j En j ) = T (I 0) = T j=1 j=1 40 Cụng thc (3) suy rng vi mi > cú mt n cho (Pn ) < ; ú t (4) ta suy n n n àn j E(n j ) n j E(n j ) = (àn j n j )E(n j ) < I j=1 j=1 j=1 T ú v (4) suy rng, cho > bt kỡ, cú N cho vi mi n > N v mi cỏch chn n j n j ta cú n T n j E(n j ) < (5) j=1 Vỡ E l hng s vi < m v M, nờn ta chn mt s c bit a < m v b > M thớch hp iu ú chng minh (1), ú (5) cho thy tớch phõn c hiu l toỏn t hi t u Tớch l liờn tc v tng (5) l loi Stieltjes Do ú (1) suy (1 ) vi mi cỏch chn x, y H (b) Chỳng ta chng minh nh lý i vi a thc, bt u vi p( ) = r , ú r N Vi bt kỡ < < t (7) 2.7 ta cú (E E )(Eà E ) = E Eà E E E Eà + E E = E E E + E = iu ú cho thy E(n j )E(n ) = vi j = k Vỡ E(n j ) l mt phộp chiu, nờn E(n j )s = E(n j ) vi mi s = 1, 2, ã ã ã Ta cú kt qu sau n (6) r n j E(n j ) n = j=1 r n j E(n j ) j=1 Nu tng (5) l úng ti T, v trỏi ca (6) s l úng ti T r vỡ tớch ca cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn l liờn tc Do ú, theo (6) cho trc > cú mt N cho vi mi n > N ta cú n r T n j E(n j ) < r j=1 iu ú chng minh cho (2) v (2 )vi p( ) = r Ta cng cụng thc (2) v (2 ) suy a thc tựy ý cú cỏc h s thc Chỳng ta cp ti s xỏc nh h ph vi toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn cho trc nhỡn chung l khụng d Trong mt s trng hp n gin, h ú c phng oỏn t (1) Ta kt lun phn ny bng mt s tớnh cht ca toỏn t p(T ) nú liờn quan n s m rng ca nh lý ph ti cỏc hm liờn lc tng quỏt 41 2.8.2 nh lý cỏc tớnh cht ca p(T ) nh lý 2.8.2 Cho T nh nh lý trc, v p, p1 v p2 l cỏc a thc vi cỏc h s thc Khi ú: (a) p(T ) l t liờn hp (b) Nu p( ) = p1 ( ) + p2 ( ), thỡ p(T ) = p1 (T ) + p2 (T ) (c) Nu p( ) = p1 ( )p2 ( ), thỡ p(T ) = p1 (T )p2 (T ) (d) Nu p( ) vi mi [m, M], thỡ p(T ) (e) Nu p1 ( ) p2 ( ) vi mi [m, M], thỡ p1 (T ) p2 (T ) (f) || p(T ) || max J |p( )|, ú J = [m, M] (g) Nu mt toỏn t tuyn tớnh b chn giao hoỏn vi T, thỡ nú cng giao hoỏn vi p(T ) Chng minh (a) ỳng vỡ T l t liờn hp v p cú cỏc h s thc, cho ( j T j ) = jT j (b) l hin nhiờn ỳng t nh ngha (c) l hin nhiờn ỳng t nh ngha (d) Vỡ p cú cỏc h s thc, nờn cỏc s khụng phc phi xy cỏc cp liờn hp nu chỳng xy tt c Vỡ p thay i kớ hiu nờn nu vt quỏ mt s khụng ca s bi l v p( ) trờn [m, M], nờn cỏc s khụng ca p (m, M) phi l s bi chn Do ú ta cú th vit (7) p( ) = j ( j )k (k )l [( àl )2 + l2 ] ú j m, k M v cỏc nhõn t bc hai tng ng vi cỏc s khụng liờn hp phc v vi cỏc s khụng thc trờn (m, M) Ta thy rng > nu p = Vi mi ln, ta núi, vi mi , ta cú sgn p( ) = sgn n n = sgn n , ú n l bc ca p Do ú n > suy p(0 ) > v cỏc s ca k (c tớnh theo nhõn t ca nú) phi l chn, p( ) (m, M) Khi ú c ba tớch cụng thc (7) u dng ti , ú ta cú > p(0 ) > Nu n < 0, thỡ p(0 ) < 0, cỏc s ca k l l, p( ) trờn (m, M) Do ú tớch th hai cụng thc (7) l õm ti , v > Ta thay bi T Khi ú, tng nhõn t (7) l toỏn t dng Vi mi x = 0, 42 t = || x ||1 x, ta cú x = || x || v vỡ j (T j I)x, x = m nờn T x, x j x, x || x ||2 T , m || x ||2 || x ||2 inf ||||=1 m || x ||2 = 0, T , ngha l, T j I Tng t, k I T Cng cú T àl I l t liờn hp, bỡnh phng l dng v (T àl I)2 + l2 I Vỡ cỏc toỏn t ú giao hoỏn, nờn tớch ca chỳng l dng bi 2.3.1, v p(T ) vỡ > (e) c suy trc tip t (d) (f) Cho k l kớ hiu cho cn trờn ỳng ca |p( )| trờn J Khi ú p( )2 k2 vi J Do ú (e) cú p(T )2 k2 I, ngha l, vỡ p(T ) l t liờn hp, nờn vi mi x ta cú p(T )x, p(T )x = p(T )2 x, x k2 x, x Bt ng thc (f) suy nu ta a cn bc hai v ú cn trờn ỳng ln hn mi x ca chun (1) (g) c suy t nh ngha ca p(T ) 43 KT LUN Khúa lun ó trỡnh by mt s v ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Hn na, sau mt thi gian tỡm hiu v phn mm son tho bn Latex, bỏo cỏo ó c trỡnh by v hon thin bng phn mm ny Vi phm vi v thi gian cú hn chc chn khúa lun khụng trỏnh thiu xút Mong quý thy cụ v cỏc bn gúp ý kin khúa lun ca em c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n! 44 TI LIU THAM KHO [A] Ti liu ting vit u Th Cp (2003), Gii tớch hm, NXB Giỏo dc, H Ni Dng Minh c (2000), Gii tớch hm, NXB i Hc Quc Gia, TP HCM Nguyn Ph Hy (2006), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut [B] Ti liu ting anh Erwin Kreyszig (1989), Introductory functional analysis with applications, Jonh Wile and Sons, Inc 45 [...]... là số thực 2.2 Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn Phổ σ (T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực Điều đó đã được chứng minh trong mục trước Ở mục này, phổ của toán tử như thế được mô tả chi tiết hơn vì nó có một số tính chất chung quan trọng 2.2.1 Định lý phổ Định lý 2.2.1 Phổ của σ (T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H −→ H trên... cho toán tử tuyến tinh tự liên hợp bị chặn trong chương này Tổng của các toán tử dương là dương Ta đã biết tích của các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn là tự liên hợp khi và chỉ khi các toán tử giao hoán và ta sẽ nhận thấy trong trường hợp này, tính dương được bảo toàn 2.3.1 Định lý tích của toán tử dương Định lý 2.3.1 Nếu hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn S và T trên không gian Hilbert... Chương 2 phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 2.1 Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 2.1.1 Định lý giá trị riêng, vectơ riêng Định lý 2.1.1 Cho T : H → H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên một không gian Hilbert phức H Khi đó (a) Tất cả các giá trị riêng của T (nếu tồn tại) là số thực (b) Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của T... ta có một toán tử tuyến tính T : H −→ H T là tự liên hợp vì Tn là tự liên hợp và tích trong là liên tục Vì (Tn x) hội tụ, nên nó là bị chặn với x ∈ H Định lý sự bị chặn đều cho thấy T là bị chặn Cuối cùng, T K suy ra từ Tn K 2.4 Căn bậc hai của toán tử dương Nếu T là tự liên hợp, thì T 2 là dương vì T 2 x, x = T x, T x 0 Ta xét bài toán hội tụ: cho toán tử dương T, tìm một toán tử tự liên hợp A sao... tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert trong điều kiện toán tử đơn giản (phép chiếu), các tính chất của chúng được nghiên cứu để có được thông tin về các toán tử phức tạp hơn Một phép biểu diễn như thế được gọi là một phép biểu diễn phổ của toán tử Toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H −→ H cho trước, ta sẽ biểu diễn phổ của T bằng cách sử dụng một họ thích hợp của phép chiếu, nó... y = 0, nó là cơ sở trực giao của x và y Thậm chí, phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực Kết quả chú ý này sẽ có được từ những đặc trưng dưới đây của tập giải thức ρ(T ) của T 2.1.2 Định lý tập giải thức Định lý 2.1.2 Cho T : H −→ H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức H Khi đó, một số λ thuộc tập giải thức ρ(T ) của T khi và chỉ khi tồn tại... đã biết ở mục 2.1 Do đó ta có thể xét tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức H và đưa vào tập này một quan hệ thứ tự bởi định nghĩa (1) T1 ⇐⇒ T2 T1 x, x T2 x, x với mọi x ∈ H Thay vì T1 T2 ta cũng viết T2 T1 Một trường hợp đặc biệt quan trọng là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H −→ H được gọi là toán tử dương, kí hiệu (2) T 0 khi và chỉ khi... tăng có những tính chất đáng chú ý dưới đây (một định lý tương tự đúng cho dãy đơn điệu giảm) 2.3.3 Định lý dãy đơn điệu Định lý 2.3.2 Cho (Tn ) là một dãy của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức H sao cho (7) T1 T2 · · · Tn ··· K ở đó K là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên H Giả sử rằng T j bất kì giao hoán với K và với mỗi Tm Khi đó (Tn ) là toán tử hội tụ mạnh... họ phổ liên kết với T Trong phần này chúng ta tìm hiểu khái niệm của một họ phổ nói chung, nghĩa là, không liên kết với toán tử T cho trước Sự liên kết của một họ phổ thích hợp với một toán tử T cho trước sẽ được xét riêng trong phần sau, và kết quả biểu diễn phổ của T trong phần 2.9 Định nghĩa họ phổ có thể có được cả trong trường hợp chiều hữu hạn như sau Cho T : H −→ H là toán tử tuyến tính tự liên. .. gợi ý đến khái niệm dưới đây Nó sẽ là cơ sở trong sự liên hệ với phép biểu diễn phổ 2.4.1 Định nghĩa căn bậc hai dương Cho T : H −→ H là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương trên không gian Hilbert phức H Khi đó toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn A được gọi là một căn bậc hai của T nếu (1) A2 = T Nếu A 0 thì A gọi là căn bậc hai dương của T, và được kí hiệu bởi 1 A = T 2 1 T 2 tồn tại duy ... tuyến tính tự liên hợp bị chặn Các tính chất phổ toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn Một số tính chất phổ khác toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn Toán tử dương Căn bậc hai toán tử dương... phổ cho toán tử tuyến tinh tự liên hợp bị chặn chương Tổng toán tử dương dương Ta biết tích toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn tự liên hợp toán tử giao hoán ta nhận thấy trường hợp này, tính. .. số tính chất phổ khác toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn Phổ σ (T ) toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T số thực Điều chứng minh mục trước Ở mục này, phổ toán tử mô tả chi tiết có số tính