Chöông 1: ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑAÏO HAØM §1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ A. Toùm taét lí thuyeát: 1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh treân (a;b) - f(x) ñoàng bieán (taêng) treân khoaûng (a;b) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) - f(x) nghòch bieán (giaûm) treân khoaûng (a;b) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Haøm soá taêng hoaëc giaûm ñöôïc goïi chung laø haøm soá ñôn ñieäu. Moät caùch khaùc, f ( x + ∆x ) − f ( x ) > 0, ∀∆x ≠ 0, x + ∆x ∈ (a; b) f(x) taêng treân (a;b) khi vaø chæ khi ∀x ∈ (a; b) ta coù ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) < 0, ∀∆x ≠ 0, x + ∆x ∈ (a; b) f(x) giaûm treân (a;b) khi vaø chæ khi ∀x ∈ (a; b) ta coù ∆x 2. Ñieàu kieän ñuû ñeå haøm soá ñôn ñieäu: Ñònh lí 1: Cho f(x) coù ñaïo haøm treân (a;b) thì - Neáu f'(x) >0,∀x ∈ (a;b) thì f(x) taêng treân (a;b) - Neáu f'(x) 0, ∀x > 2 2 x +1 2 x + 3 2x −1 1 ⇒ f(x) taêng treân ( ; +∞) 2 Do ñoù ∀x > 1 ⇒ f ( x ) > f (1) hay f(x) > 3 + 2 ∀x < 1 ⇒ f ( x ) < f (1) hay f(x) < 3 + 2 Hôn nöõa f(1) = 3 + 2 . Vaäy pt ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát x =1. Baøi taäp: WWW.ToancapBa.Net Trang 2 10. CMR ∀x > 0 ta coù sin x > x − x3 6 π x2 11. CMR ∀x ∈ [0; ] ta coù cos x ≥ 1 − 2 2 2− n π 12. CMR ∀x ∈ (0; ), ∀n ∈ ¥ ta coù sin n x + cos n x ≥ 2 2 2 1 13. CMR ∀x > 1 ta coù x − 1 > ln x > 1 − x x +1 x 14. Giaûi pt 2 − 4 = x − 1 15. CMR pt x 2 + 15 = 3 x + 2 + x 2 + 8 co nghieäm duy nhaát 2− n π 16. Giaûi pt sin n x + cos n x = 2 2 , n ∈ ¥ , 0 < x < 2 x −x 2 e +e x = 1+ 17. CMR pt vôùi x ≥ 0 coù nghieäm duy nhaát. 2 2 18. So saùnh caùc soá sau ñaây: a) eπ vaø π e ln x , ( x > 0) ) b) 2007 2008 vaø 20082007 (HD: Xeùt haøm f(x) = x 2 101 2x ,x ≥0) c) vaø ln ( HD: Xeùt haøm soá f(x) = ln( x + 1) − 201 100 x+2 D. ÑÒNH LÍ LAGRANGE VAØ ÖÙNG DUÏNG Ñònh lí Lagrange: Neáu f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø coù ñaïo haøm treân (a;b) thì toàn taïi c ∈ (a; b) sao cho y f (b) − f (a ) f’(c) = b−a B f (b) YÙ nghóa hình hoïc: Treân cung trôn AB bkyø, luoân toàn taïi ñieåm C thuoäc cung AB (C ≠ A;B) sao cho tieáp tuyeán taïi C song song vôùi caùt tuyeán AB. C f (a) A x O a c b Heä quaû1: (Ñlí Rolle) Neáu f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø coù ñaïo haøm treân (a;b) vaø f(a) = f(b) thì ∃c ∈ (a; b) : f '(c) = 0 f (b) − f (a ) f (a ) − f (a ) = =0 CM: Theo ñlí Lagrange thì toàn taïi c ∈ (a; b) : f '(c ) = b−a b−a Heä quaû 2: Neáu f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø f’(x) = 0 ∀x ∈ ( a; b) thì f ( x) ≡ const , ∀x ∈  a; b ] CM: Vôùi baát kì x ∈ [ a; b) vì f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø coù ñaïo haøm treân (a;b) neân f(x) lieân tuïc treân [x;b] vaø coù ñaïo haøm treân (x;b), do ñoù aùp duïng Ñlí Lagrange treân [x;b] ta coù : ∃c ∈ ( x; b) : f (b) − f ( x ) = f '(c)(b − x) Vì ∃c ∈ ( x; b) neân f '(c) = 0 . Do ñoù f(b) – f(x) = 0. Hay f(x) = f(b) , ∀x ∈ [ a; b) Vaäy: f ( x) ≡ const , ∀x ∈  a; b ] . Heä quaû 3: Neáu f(x) coù ñaïo haøm treân [a;b] vaø pt f’(x) = 0 coù nghieäm duy nhaát treân ñoaïn aáy thì treân [a;b] pt f(x) =0 khoâng theå coù quaù 2 nghieäm CM: Vì f(x) coù ñaïo haøm treân [a;b] neân lieân tuïc treân ñoaïn aáy. Giaû söû x0 ∈ [a;b] laø nghieäm duy nhaát cuûa pt f’(x) = 0 WWW.ToancapBa.Net Trang 3 - Neáu x0 = a hoaëc x0 =b thì khi ñoù f’(x) khoâng ñoåi daáu treân [a;b] neân f(x) taêng hoaëc giaûm treân [a;b] do ñoù pt f(x) = 0 coù khoâng quaù 1 nghieäm - Neáu x0 ∈ (a; b) khi ñoù x0 chia ñoaïn [a;b] thaønh 2 nöõa ñoaïn [a;x0) vaø (x0;b]. Trong moãi nöõa ñoaïn naøy f’(x) giöõ nguyeân moät daáu neân pt f(x) = 0 coù khoâng quaù 1 nghieäm thuoäc [a;x 0) vaø khoâng quaù 1 nghieäm thuoäc (x0;b]. Nhö vaäy pt f(x) = 0 coù khoâng quaù 2 nghieäm treân [a;b] ÖÙng duïng ñònh lí Lagrange: Coù theå chöùng minh moät soá daïng toaùn sau ñaây: 1/ Chöùng minh baát ñaúng thöùc: α −β α −β π < tan α − tan β < Vd1: CMR : vôùi 0 < β < α < 2 2 cos β cos α 2 β ; α Giaûi: Ñaët f(x) = tanx. Roõ raøng f(x) lieân tuïc treân [ ] vaø coù ñaïo haøm treân ( β ; α ) vaø f’(x) = 1 cos 2 x Aùp duïng ñònh lí Lagrange cho haøm f(x) treân ñoaïn [ β ; α ] thì toàn taïi c ∈ ( β ; α ) sao cho α −β f (α ) − f ( β ) = f '(c)(α − β ) hay tan α − tan β = (1) cos 2 c α −β α −β α −β π < < Vì 0 < β < α < neân (2) cos 2 β cos 2 c cos 2 α 2 α −β α −β < tan α − tan β < Töø (1) vaø (2) suy ra 2 cos β cos 2 α Vd2: Cho a < b < c. CMR 3a < a + b + c − a 2 + b2 + c 2 − ab − ac − bc < a + b + c + a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc < 3c 3 2 Giaûi: Xeùt haøm soá f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)=x − (a + b + c) x + (ab + bc + ca ) x − abc Ta coù f(a) = f(b) = f(c). Theo ñònh lí Lagrange toàn taïi a < x1 < b < x2 < c sao cho f(b) – f(a) = f’(x1)(b-a); f(c) – f(c) = f’(x2)(c-b) Töø ñoù suy ra f’(x1) = f’(x2) = 0 Maët khaùc f’(x) = 3x2 – 2x(a+b+c) + ab+bc+ca  a + b + c − a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca  x1 = 3  Suy ra  2 2 2  x = a + b + c + a + b + c − ab − bc − ca  2 3 Do ñoù a< x1 < x2 < c. Neân ta coù 3a < a + b + c − a 2 + b2 + c 2 − ab − ac − bc < a + b + c + a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc < 3c Baøi taäp: 1 1 1 < arctan 2 < 2 , n ∈ ¥ (HD: Xeùt hsoá f(x) = arctanx ) 19. CMR: 2 n + 2n + 2 n + n +1 n +1 a −b a a −b < ln < 20. CMR: Vôùi 0 < b < a thì ( HD: Xeùt haøm soá f(x) = lnx vôùi x > 0 ) a b b 1 1 1 1 1 1 1 21. Cho n ∈ ¥ , n > 1 . CMR + + + ... + < ln n < 1 + + + ... + (HD: Xeùt f(x) = lnx ) 2 3 4 n 2 3 n −1 §2 CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ A. Toùm taét lí thuyeát: 1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá f xaùc ñònh treân D, x0 ∈ D WWW.ToancapBa.Net Trang 4 x0 ñgl ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá f neáu toàn taïi khoaûng (a;b) chöùa x0 sao cho (a;b) ⊂ D vaø thoaõ maõn f(x) < f(x0), ∀x ∈ (a; b) \ { x0 } . Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc ñaïi cuûa haøm soá f x0 ñgl ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá f neáu toàn taïi khoaûng (a;b) chöùa x0 sao cho (a;b) ⊂ D vaø thoaõ maõn f(x) > f(x0), ∀x ∈ (a; b) \ { x0 } . Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc tieåu cuûa haøm soá f Ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu ñg chung laø ñieåm cöïc trò, GTCÑ, GTCT ñg chung laø cöïc trò. Chuù yù: 1/ GTCÑ, GTCT f(x0) cuûa moät haøm soá khoâng phaûi laø GTLN, GTNN cuûa noù treân D, maø chæ laø GTLN, GTNN cuûa haøm soá ñoù treân moät khoaûng naøo ñoù chöùa x0 2/ Moät haøm soá coù theå ñaït cöïc ñaïi, cöïc tieåu taïi nhieàu ñieåm treân D, nhöng chæ coù duy nhaát moät GTLN vaø moät GTNN. 2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò: a) Ñieàu kieän caàn: (Ñònh lí Fecma) Neáu haøm soá f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñoù thì f’(x0) = 0. Nhö vaäy moïi ñieåm cöïc trò ñeàu laø ñieåm tôùi haïn cuûa haøm soá. Töø ñoù ta thaáy muoán tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá ta chæ caàn tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng toàn taïi. b) Ñieàu kieän ñuû: Daáu hieäu I: Cho haøm soá f(x) coù ñaïo haøm trong (a;b) vaø f’(x0) = 0 vôùi x0 ∈ (a; b) - Neáu f’(x) < 0 khi x < x0 vaø f’(x) > 0 khi x > x0 thì x0 laø ñieåm cöïc tieåu cuûa cuûa haøm soá - Neáu f’(x) > 0 khi x < x0 vaø f’(x) < 0 khi x > x0 thì x0 laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa cuûa haøm soá Chuù yù1: * Ñònh lí vaãn ñuùng khi f khoâng coù ñaïo haøm taïi x0 nhöng lieân tuïc taïi x0 * Noùi moät caùch deã hieåu, neáu f’(x) ñoåi töø + sang – khi x qua x0 thì x0 laø ñieåm cöïc ñaïi neáu f’(x) ñoåi töø – sang + khi x qua x0 thì x0 laø ñieåm cöïc tieåu Quy taéc1: Muoán tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá ta laøm nhö sau: B1: Tính f’(x), giaûi pt f’(x) = 0 B2: Xeùt daáu ñaïo haøm f’(x) B3: Laäp BBT suy ra caùc ñieåm cöïc trò Daáu hieäu II: Cho haøm soá f(x) coù ñaïo haøm caáp 2 lieân tuïc taïi x0 vaø f’(x0) = 0 - Neáu f’’(x0) > 0 thì x0 laø ñieåm cöïc tieåu - Neáu f’’(x0) < 0 thì x0 laø ñieåm cöïc ñaïi Quy taéc2: Muoán tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá ta laøm nhö sau: B1: Tính f’(x) vaø giaûi pt f’(x) = 0 tìm caùc nghieäm xi cuûa noù B2: Tính f’’(x) vaø f’’(xi) B3: Töø daáu cuûa f’’(xi) suy ra caùc ñieåm cöïc trò Chuù yù2: Keát hôïp ñk caàn vaø ñk ñuû ta coù keát quaû sau:  f '( x0 ) = 0 - x0 laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa f(x) ⇔   f ''( x0 ) < 0  f '( x0 ) = 0 - x0 laø ñieåm cöïc tieåu cuûa f(x) ⇔   f ''( x0 ) > 0 Vd1: Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá: y = x + 1 x Giaûi: D = R Ta coù y’ = 1 − 1 , y’ = 0 ⇔ x = ±1 x2 BBT x y’ −∞ -1 1 + 0 0 CÑ WWW.ToancapBa.Net +∞ + Trang 5 y CT Töø BBT suy ra x = -1 laø ñieåm cöïc ñaïi; x = 1 laø ñieåm cöïc tieåu Caùch khaùc: Tính f’’(-1) = -2 < 0 neân x = -1 laø ñieåm cöïc ñaïi Tính f’’(1) = 2 > 0 neân x = 1 laø ñieåm cöïc tieåu B. Baøi taäp: Coù caùc daïng baøi taäp sau ñaây: 1/ Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá. Caùch giaûi: AÙp duïng daáu hieäu I vaø II 2/ Tìm tham soá m ñeå haøm soá nhaän x0 laø ñieåm cöïc ñaïi; cöïc tieåu. Caùch giaûi: Döïa vaøo chuù yù 2 3/ Cm haøm soá luoân coù cöïc trò( hoaëc c/m haøm soá coù 1,2,3,… cöïc trò). Caùch giaûi: Ta c/m pt y’ = 0 coù 1,2,3,… nghieäm 4/ Tìm tham soá m ñeå haøm soá coù 1,2,3,… cöïc trò Caùch giaûi: Döïa vaøo tam thöùc baäc 2 ñeå ñònh tham soá ñeå pt y’ = 0 coù 1,2,3,… nghieäm 5/ Tìm tham soá m ñeå haøm soá coù cöïc trò vaø caùc ñieåm cöïc trò thoaõ maõn 1 ñaúng thöùc naøo ñoù. Caùch giaûi: Döïa vaøo tam thöùc baäc 2 vaø ñònh lí Vi-et cho pt baäc 2 Ñeà baøi taäp: 22. Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá baèng ñaïo haøm caáp 1: 3 a) y = x3. b) y = 3x + x + 5. c) y = x.e−x. d) y = 23. Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá baèng ñaïo haøm caáp 2: a) y = sin2x vôùi x∈[0; π ] 24. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá : 1 a) y = x + x . b) y = x2lnx. ln x x . c) y = ex x . x4 + 2x 2 + 6 . c) y = 3 x − 1 + 2 4 x3 = −mx2+(m+3)x−5m+1 ñaït cöïc ñaïi taïi 3 b) y = − 25. Ñònh m ñeå haøm soá : y = f(x) x=1 Keát quaû: m = 4 26. Xaùc ñònh tham soá m ñeå haøm soá y=x3−3mx2+(m2−1)x+2 ñaït cöïc ñaïi taïi x=2. ( Ñeà thi TNTHPT 2004−2005) Keát quaû : m=11 3 2 27. Ñònh m ñeå haøm soá y = f(x) = x −3x +3mx+3m+4 a.Khoâng coù cöïc trò. Keát quaû : m ≥1 b.Coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu. Keát quaû : m [...]... 2 Các phương pháp giải phương trình mũ và logarit: Cơ sở lí thuyết để giải 1 phương trình mũ và phương trình logarit là dựa vào tính chất: x y Với a > 0 và a ≠ 1 và x,y là 2 số thực ta có: a = a ⇔ x = y Với a > 0 và a ≠ 1 và x,y là 2 số thực ta có: loga x = log a y ⇔ x = y Từ đó ta suy ra các phương pháp giải pt mũ và pt logarit sau đây: a) Phương pháp đưa về cùng cơ số: 2x VD1: giải pt: (2 + 3) =... đồ thò của hàm số y = x3-3x2+2 có 1 tâm đối xứng Chỉ ra tâm đối xứng đó Y= §8 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 Bài toán tương giao giữa hai đường cong: 2 Bài toán về họ đường cong tiếp xúc đường thẳng cố đònh, qua điểm cố đònh 3 Bài toán tìm toạ độ nguyên 4 Bài tập tổng hợp Chương2 HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT §1 MỞ RỘNG KHÁI NIỆM LUỸ THỪA 1 Luỹ thừa với số mũ nguyên: Cho... ln(1+t) – t , t > -1 Ta có f’(t) = 1+ t 1+ t (-1;0) và giảm trên (0; +∞) Do đó (3) ⇔ f ( x ) = f ( y ) Khi đó x = y hoặc xy < 0( nếu x;y thuộc cùng 1 khoảng đơn điệu thì x = y , trong trường hợp ngược lại thì x.y < 0) Nếu x.y < 0 thì VT của (2) luôn dương nên không thoã Vậy x = y thay y = x vào pt (2) ta được nghiệm của hệ đã cho là (0;0) Bài tập: Bài1 : Giải các pt sau đây: 1 (2 − 3) x + (2 + 3) x = 4... điểm uốn: B1: Tính y’, y’’ và giải pt y’’ = 0 B2: Xét dấu y’’ B3: Dựa vào dấu y’’ kết luận khoảng lồi lõm điểm uốn của đồ thò Nhận xét:  f ''( x0 ) = 0 1/ U(x0; f(x0)) là điểm uốn ⇒  Nhưng ngược lại không đúng  y0 = f ( x 0 ) 2/ Nếu y'' ≤ 0,∀x ∈ (a;b) (hoặc y'' ≥ 0,∀x ∈ (a;b) ) và dấu bằmg chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm thì đồ thò hsố lồi( tng ứng lõm) trên (a;b) Bài tập: 81 Tìm a,b để đồ thò... có thể chuyển bài toán về bài toán đơn giản hơn rất nhiều so với bài toán ban đầu, có dạng quen thuộc đã biết cách giải VD1: giải pt: 3x+1 +18.3-x = 29 18 x G: pt ⇔ 3.3 + x = 29 3 18 3t + = 29 x t Đặt t = 3 , t > 0 ta được pt ⇔ 3t 2 − 29t + 18 = 0 3 x = 9 t = 9 x = 2 ⇔ 2⇔ x 2⇔ 3 = t =  x = log3 2 / 3   3 3 * Có thể đặt ẩn phụ để chuyển 1 pt về 1 hệ phương trình đại số VD2: Giải phương trình:... 1 Chú ý: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải pt mũ và logarit thường được sử dụng để giải các dạng pt sau: u( x ) 1/ a = P( x ) 2/ loga u( x ) = Q( x ) 3/ a u ( x ) + b v( x ) = c w ( x ) ( Trong đó P(x), Q(x) là các đa thức ) * Đôi khi ta còn ứng dụng việc khảo sát sự biến thiên của hàm số để giải pt và hệ phương trình VD2: Giải pt: 3x + 4x = 5x 3 x 4 x G: Chia 2 vế của pt cho 5x... nhất (2;2) 3 Hệ phương trình mũ và logarit: Nói chung việc giải hệ pt không có 1 phương pháp chung nào, tuỳ theo từng bài cụ thể mà ta chọn 1 pp cho thích hợp Thông thường ta hay sử dụng các pp sau đây: 1/ phương pháp cộng đại số 2/ phương pháp thế 3/ phương pháp đặt ẩn phụ đểeb đưa về hệ quen thuộc 4/ phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số, 2 x.3y = 12 (1) VD1: Giải hệ pt sau:  x y 3 2... dương thay đổi thoã mãn 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 4 Tìm GTLN của biểu thức sau A = (3 − x )(4 − y )(2 x + 3y ) KQ: Maxy = 36 khi x = 0; y = 2 ỨNG DỤNG CỦA GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Có thể ứng dụng việc tìm GTLN và GTNN của hàm số để giải một số dạng toán sau đây: 1/ Chứng minh các bất đẳng thức: f ( x) và chứng tỏ Min f ( x) ≥ m a) Để CM bđt: f(x) ≥ m, ∀x ∈ D ta tìm Min D D 66 Cho hàm số y = f ( x ) và chứng... a 6/ Tính chất bất đẳng thức: Cho a ∈ ¡ , n, m ∈ ¢ Khi a >1 thì a m > a n ⇔ m > n Khi 0< a a n ⇔ m < n 7/ Cho a > 0 và a ≠ 1 và m,n là 2 số nguyên ta có: a m = a n ⇔ m = n Chú ý: các tính chất 6 và 7 được sử dụng thường xuyên trong việc giải các phương trình và bất phương trình mũ Đây là các tính chất quan trọng nhất 2 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a) Căn bậc n: Cho n nguyên dương, căn bậc... 1 Thay (3) vào (2) ta được 3 2 = 18 ⇔ ( ) = 2 8 2 Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm (2;1) 5log2 x − 3log 4 y = −8 VD2: Giải hệ pt:  2 10 log2 x − log 4 y = −9 WWW.ToancapBa.Net Trang 22 G: Đk: x > 0;y > 0 5 log2 x − 3log 4 y = −8 Hệ pt ⇔  20 log2 x − log 4 y = −9 Đặt u = log2x; v = log4y ta được hệ pt bậc nhất hai ẩn u,v quen thuộc đã biết cách giải! !!  ln( x + 1) − ln(1 + y ) = x − y (1) VD3: Giải ... điểm cực tiểu B Bài tập: Có dạng tập sau đây: 1/ Tìm điểm cực trò hàm số Cách giải: Áp dụng dấu hiệu I II 2/ Tìm tham số m để hàm số nhận x0 điểm cực đại; cực tiểu Cách giải: Dựa vào ý 3/ Cm hàm... §8 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài toán tương giao hai đường cong: Bài toán họ đường cong tiếp xúc đường thẳng cố đònh, qua điểm cố đònh Bài toán tìm toạ độ nguyên Bài tập tổng... ngược lại x.y < 0) Nếu x.y < VT (2) dương nên không thoã Vậy x = y thay y = x vào pt (2) ta nghiệm hệ cho (0;0) Bài tập: Bài1 : Giải pt sau đây: (2 − 3) x + (2 + 3) x = ( − ) x + ( + ) x = (2 +