TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: CƠ SỞ SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN BANACH Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI KIÊN CƯỜNG Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ HẢI Tổ: Giải tích, Khoa: Toán Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Bùi Kiên Cường - người thầy đã luôn quan tâm, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo trong khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích đã trang bị cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt quãng thời gian 4 năm tôi học đại học. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến bố mẹ, các em và những người thân trong đại gia đình của tôi, những người đã luôn bên cạnh, động viên và tiếp thêm sức mạnh cho tôi để tôi có thể học tập và hoàn thành khóa luận một cách tốt nhất. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hải LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Bùi Kiên Cường. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu rõ trong phần Tài liệu tham khảo. Các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực, nếu sai tôi xin chịu mọi kỷ luật của khoa và nhà trường đề ra. Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả nào của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian Banach và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Một số khái niệm và định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Không gian tiền Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4. Một số tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Cơ sở Schauder trong không gian Banach . . . . . . . . . . 12 2.1. Sự tồn tại của cơ sở và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Cơ sở Schauder và đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Các cơ sở vô điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Các ví dụ của không gian không có cơ sở vô điều kiện . . . . . . 45 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán học cơ bản và toán học ứng dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng. Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó có thể đi sâu nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường, tôi xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đề tài: "Cơ sở Schauder trong không gian Banach". 2. Mục đích nghiên cứu Quá trình thực hiện đề tài đã giúp tôi bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn về cơ sở Schauder, cơ sở vô điều kiện trong không gian Banach tổng quát. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật những tính chất đặc trưng của cơ sở Schauder, cơ sở vô điều kiện trong không gian Banach. 4. Phương pháp nghiên cứu Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên cứu lý thuyết, phương pháp giải tích hàm. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm 2 chương • Kiến thức chuẩn bị. • Cơ sở Schauder trong không gian Banach. Trong suốt quá trình nghiên cứu, được thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, tôi đã hoàn thành khóa luận này. Một lần nữa cho tôi được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy. Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hải 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Banach 1.1.1. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian véc tơ trên trường số K (K là trường số thực R hoặc trường số phức C). Một ánh xạ · : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn 4 tiên đề: 1. x 0 với mọi x ∈ X. 2. x = 0 khi và chỉ khi x = 0. 3. λ x = |λ | x với mọi vô hướng λ , với mọi x ∈ X. 4. x + y x + y với mọi x, y ∈ X. Không gian véc tơ X cùng với chuẩn · trong nó, được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn hay không gian định chuẩn. Kí hiệu (X, · ) hay đơn giản là X. Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian định chuẩn. a) Một dãy các véc tơ {xn } trong X hội tụ tới x ∈ X nếu lim xn − x = 0, n→∞ 3 nghĩa là, nếu: ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n N, xn − x < ε. Trong trường hợp này, ta viết xn → x hoặc lim xn = x. n→∞ b) Một dãy các véc tơ {xn } trong X là dãy Cauchy nếu lim m,n→∞ xn − xm = 0, nghĩa là, nếu: ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n N, xn − xm < ε. Dễ thấy mọi dãy hội tụ trong không gian định chuẩn đều là dãy Cauchy. Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng. Ta nói không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu nó thỏa mãn mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.3. Dãy {xn } trong không gian Banach X được gọi là: a) Bị chặn dưới nếu inf xn > 0. b) Bị chặn trên nếu sup xn < ∞. c) Chuẩn hóa nếu xn = 1, ∀n. Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian véc tơ X và · 1 , · X. Hai chuẩn · 1 và · 2 2 là hai chuẩn trên gọi là tương đương nếu tồn tại hai số dương α, β sao cho α x 1 x β x 1 , ∀x ∈ X. 2 1.1.2. Không gian Banach và một số ví dụ Ví dụ 1.1.1. Cho f là hàm giá trị phức xác định trên tập E ⊂ R. Khi đó với 1 p < ∞, đặt L p (E) =     f : E −→ C :  E 4 | f (x)| p dx < ∞ .  1/p Đây là không gian Banach với chuẩn f Lp p | f (x)| dx = . E Ví dụ 1.1.2. Đặt C(E) là tập gồm các phiếm hàm đi từ tập E vào tập số phức C. Nếu E là tập compact trong R thì mọi phiếm hàm liên tục trên E đều bị chặn. Trong trường hợp này, C(E) là không gian Banach với chuẩn sup: f L∞ = sup | f (x)| x∈E p < ∞, đặt l p = c = (cn ) : ∑ |cn | p < ∞ . Đây là Ví dụ 1.1.3. Với 1 n∈Z một không gian Banach với chuẩn 1/p c lp = cn lp ∑ |cn| p = . n∈Z Ví dụ 1.1.4. Cho không gian véc tơ l 2 . Đối với vectơ bất kì x = (xn ) ∈ l 2 ta đặt ∞ ∑ |xn|2. x = n=1 Khi đó l 2 là một không gian Banach. 1.1.3. Một số khái niệm và định lý cơ bản Định lý 1.1.1. (Bất đẳng thức H¨older) 1 Với 1 p < ∞ và xác định p thỏa mãn hệ thức 1p + p1 = 1. Đặt = ∞ và 0 1 = 0. ∞ Nếu f ∈ L p (E) và g ∈ L p (E) thì f g ∈ L1 (E) và fg L1 f Lp g Lp . Với 1 < p < ∞, bất đẳng thức này tương đương với  1/p  | f (x) g (x)| dx E  | f (x)| p  E  E 5 1/p |g (x)| p  . Định nghĩa 1.1.5. Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không gian tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X. Ví dụ 1.1.5. Với 1 p < ∞ thì các không gian l p , L p (E) là tách được. Định nghĩa 1.1.6. Cho {xn } là một dãy tùy ý trong không gian định chuẩn X. a) Bao tuyến tính hữu hạn của dãy {xn } là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử của dãy {xn }. Kí hiệu N span {xn } = ∑ anxn, ∀N > 0, ∀a1, a2, ..., an ∈ K . n=1 b) Bao đóng tuyến tính của {xn } là bao đóng của bao tuyến tính hữu hạn và được kí hiệu là span {xn }. c) {xn } là đầy trong X nếu span {xn } = X hay span {xn } trù mật trong X. Định nghĩa 1.1.7. (Toán tử tuyến tính) Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên trường K. Một ánh xạ A : X → Y được gọi là toán tử. Nếu Y = K thì toán tử A : X → K là một phiếm hàm trên X. A là tuyến tính nếu A (ax + by) = aAx + bAy, ∀a, b ∈ K, ∀x, y ∈ X A là đơn ánh hoặc 1-1 nếu Ax = Ay ⇔ x = y. Ảnh hay miền giá trị của A là Rang (A) = A (X) = {Ax : x ∈ X}. A là toàn ánh hoặc lên nếu Rang (A) = Y . Ánh xạ tuyến tính A được gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho Ax ≤ M x Chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn (chuẩn của toán tử) A là: A = sup T x . x =1 A được gọi là bảo toàn chuẩn hoặc đẳng cự nếu Ax 6 Y = x X , ∀x ∈ X. Định nghĩa 1.1.8. (Không gian liên hợp) Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K. Ta gọi không gian X ∗ các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X. Định lý 1.1.2. Không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là không gian Banach với chuẩn x∗ X∗ = sup | x, x∗ |. x X =1 Định lý 1.1.3. Nếu không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là tách được, thì không gian X là tách được. Định nghĩa 1.1.9. Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X, kí hiệu X ∗∗ . Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa không gian định chuẩn X và không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của không gian X. Định lý 1.1.4. Tồn tại một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của không gian X. Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu X = X ∗∗ . Nhận xét: Không gian phản xạ là không gian Banach. Sự hội tụ theo chuẩn trong không gian định chuẩn X còn được gọi là hội tụ mạnh. Ngoài ra, còn một số khái niệm về hội tụ, chẳng hạn: Định nghĩa 1.1.11. Giả sử X là không gian Banach. 1. Dãy {xn } các phần tử của X hội tụ yếu tới điểm x ∈ X nếu : ∀x∗ ∈ X ∗ , lim xn , x∗ = x, x∗ . n→∞ Khi đó ta viết xn → x yếu. 7 2. Dãy {xn∗ } các phiếm hàm của X ∗ hội tụ yếu* tới điểm x∗ ∈ X ∗ nếu ∀x ∈ X, lim xn∗ , x = x∗ , x . n→∞ Trong trường hợp này ta viết xn∗ → x∗ yếu* . Chú ý rằng nếu X là không gian phản xạ thì X = X ∗∗ , do đó xn∗ → x∗ yếu trong X ∗ khi và chỉ khi xn∗ → x∗ yếu* trong X ∗ . 1.2. Không gian Hilbert 1.2.1. Không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.2.1. Cho H là không gian tuyến tính trên trường K (K là trường số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian H mọi ánh xạ từ tích Descartes H × H vào trường K, kí hiệu ·, · , thỏa mãn các tiên đề: 1. ∀x, y ∈ H, y, x = x, y . 2. ∀x, y, z ∈ H, x + y, z = x, z + y, z . 3. ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ P, αx, y = α x, y . 4. ∀x ∈ H, x, x > 0 nếu x = θ (kí hiệu θ là phần tử không), x, x = 0 nếu x = θ . Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y. Cặp (H, ·, · ) được gọi là không gian tiền Hilbert. Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu K là thực thì tích vô hướng ·, · chính là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là không gian tiền Hilbert thực. Định lý 1.2.1. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó x = định một chuẩn trên H. 8 x, x xác Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn trên. 1.2.2. Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert, xem như không gian định chuẩn, có thể đầy đủ hoặc không đầy đủ. Định nghĩa 1.2.2. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert. Cũng tương tự như trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường R thì ta có không gian Hilbert thực. 1.2.3. Các ví dụ Ví dụ 1.2.1. Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng: n x, y = ∑ xi yi trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . i=1 Ví dụ 1.2.2. Kí hiệu l 2 là không gian vectơ các dãy số phức x = (xn ) sao ∞ cho chuỗi số ∑ |xn |2 hội tụ. ∀x = (xn ) ∈ l 2 , ∀y = (yn ) ∈ l 2 , đặt : n=1 ∞ x, y = ∑ xn yn n=1 thì không gian vectơ l 2 cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.2.3. L p (E) là không gian Hilbert khi p = 2 và tích vô hướng được xác định bởi : f (x)g (x)dx. f,g = E Khi p = 2 thì L p (E) không là không gian Hilbert. 9 1.2.4. Một số tính chất cơ bản Định lý 1.2.2. Cho H là một không gian Hilbert và x, y ∈ H. Ta có các bất đẳng thức sau: 1. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) | x, y | x y . 2. x = sup | x, y |. y =1 3. (Đẳng thức hình bình hành) x+y 2 + x−y 2 =2 x 2 + y 2 . Mệnh đề 1.2.1. Hai phần tử x, y trong không gian tiền Hilbert H được gọi là trực giao nếu x, y = 0, kí hiệu x⊥y. Mệnh đề 1.2.2. Một tập hợp S = {xi }i∈T trong không gian tiền Hilbert H được gọi là hệ trực giao nếu các phần tử thuộc S trực giao với nhau từng đôi một. Nếu mọi phần tử của hệ trực giao S có chuẩn bằng 1 thì S được gọi là hệ trực chuẩn. Định lý 1.2.3. (Đẳng thức Pythagore) Nếu {x1 , x2 , ..., xn } là một hệ trực giao trong H thì n ∑ xi i=1 2 n = ∑ xi 2 i=1 Định lý 1.2.4. Giả sử {xn }n∈T là một hệ trực giao trong không gian Hilbert ∞ ∞ H. Khi đó, chuỗi ∑ xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi ∑ xn ∞ và ∑ xn n=1 2 n=1 ∞ n=1 = ∑ xn 2 . n=1 Chú ý: Nếu {en }∞ n=1 là hệ trực chuẩn ta có ∞ ∑ αnen 2 ∞ = n=1 ∑ n=1 10 αn 2 . 2 hội tụ Mệnh đề 1.2.3. Hệ trực chuẩn {en }∞ n=1 trong không gian Hilbert được gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu không gian con sinh bởi hệ này là trù mật trong H. Ví dụ 1.2.4. Các ví dụ: 1. Tập hợp {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)} là một cơ sở trực chuẩn trong R3 . 2. Dãy { fn : n ∈ Z} với fn (x) = exp (2πsinx) tạo thành hệ cơ sở trực giao cho không gian các hàm phức L2 ([0, 1]) . Mệnh đề 1.2.4. Cho H là một không gian Hilbert. Dãy điểm {xn } trong H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x trong H nếu với mọi y ∈ H ta có lim xn , y = x, y . n→∞ ω Kí hiệu: xn − → x. Định lý 1.2.5. Cho không gian Hilbert H. Dãy điểm {xn } ⊂ H hội tụ yếu khi và chỉ khi dãy đó thỏa mãn các điều kiện: 1. Dãy điểm {xn } bị chặn theo chuẩn trong không gian H. 2. Dãy số xn , y (n = 1, 2, ...) hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp nơi trong không gian H. 11 Chương 2 Cơ sở Schauder trong không gian Banach 2.1. Sự tồn tại của cơ sở và ví dụ Định nghĩa 2.1.1. Một dãy {xn }∞ n=1 trong không gian Banach X được gọi là cơ sở Schauder của X nếu với mọi x ∈ X có duy nhất một dãy các ∞ ∞ vô hướng {an }∞ n=1 sao cho x = ∑ an xn . Dãy {xn }n=1 mà là một cơ sở n=1 Schauder của bao tuyến tính đóng của nó thì được gọi là một dãy cơ sở. Trong đây chúng ta sẽ không quan tâm tới bất kỳ kiểu cơ sở nào trong không gian Banach vô hạn chiều bên cạnh cơ sở Schauder. Vì vậy chúng ta sẽ thường xuyên bỏ qua từ Schauder. Bên cạnh cơ sở Schauder ta sẽ chỉ bắt gặp cơ sở đại số trong không gian hữu hạn chiều. Điều này không gây nên bất kỳ sự nhầm lẫn nào, bởi các khái niệm số liên quan trực tiếp tới cơ sở Schauder (giống như hằng số cơ sở được định nghĩa ở dưới) đều có ý nghĩa và cũng sẽ được sử dụng trong phạm vi của cơ sở đại số trong các không gian hữu hạn chiều. Rõ ràng, một không gian X với một cơ sở Schauder {xn }∞ n=1 có thể được xem như một không gian dãy bởi đồng nhất ∞ mỗi x = ∑ an xn với duy nhất dãy các hệ số (a1 , a2 , a3 , ...). Điều quan trọng n=1 12 là phải chú ý rằng để mô tả một cơ sở Schauder ta phải xác định các véctơ cơ sở không chỉ như một tập mà còn là một dãy được sắp. Cho (X, · ) là không gian Banach với một cơ sở {xn }∞ n=1 . Với mỗi n ∞ x = ∑ an xn trong X, biểu thức |||x||| = sup ∑ ai xi là hữu hạn. Rõ ràng, n n=1 |||·||| là một chuẩn trên X và x i=1 |x| , ∀x ∈ X. Ta cũng thấy rằng X cũng là đủ đối với chuẩn |||·||| và như vậy, bằng nguyên lý định lý ánh xạ mở, chuẩn · và |||·||| là tương đương. Những chú ý này chứng minh cho mệnh đề sau đây. Mệnh đề 2.1.1. Cho (X, · ) là không gian Banach với một cơ sở Schauder ∗ {xn }∞ n=1 . Khi đó với mọi n ∈ N , các phép chiếu Pn : X −→ X xác định bởi n ∞ Pn ∑ ai xi = ∑ ai xi là các toán tử tuyến tính bị chặn và sup Pn 1: xn = en−1 Khai triển của x = (a1 , a2 , ...) ∈ c đối với cơ sở này là x = (lim an )x1 + (a1 − lim an )x2 + (a2 − lim an )x3 + · · · n n n 14 Ví dụ quan trọng của cơ sở Schauder là hệ Haar trong L p (0, 1), với 1 p < ∞. Định nghĩa 2.1.2. Dãy các hàm {χn (t)}∞ n=1 xác định bởi χ1 (t) ≡ 1 và với k = 0, 1, 2, ..., l = 1, 2, ..., 2k ,    1, nếu t ∈ (2l − 2) 2−k−1 , (2l − 1)·2−k−1 .    χ2k +l (t) = −1, nếu t ∈ (2l − 1) 2−k−1 , 2l·2−k−1 .      0, nếu trái lại. được gọi là hệ Haar. Hệ Haar (theo thứ tự đã cho) là một cơ sở đơn điệu (nhưng rõ ràng không chuẩn hóa) của L p (0, 1) với mọi 1 p < ∞. Thật vậy, vì bao tuyến tính của hệ Haar gồm tất cả các hàm đặc trưng của các khoảng nhị nguyên (tức là, các khoảng có dạng l·2−k , (l + 1)·2−k ), dễ thấy (iii) được thỏa mãn. Ta chỉ cần kiểm tra (ii) thỏa mãn với K bằng 1. Cho {ai }∞ i=1 là dãy các n vô hướng bất kì, cho n là số nguyên và cho f (t) = ∑ a.χi (t) và g(t) = i=1 n+1 ∑ a.χi (t). Sự khác biệt duy nhất giữa f và g là trên một vài khoảng nhị i=1 nguyên I, khi f có giá trị hằng b, thì g có giá trị b + an+1 trên nửa thứ nhất của I và b − an+1 trên nửa thứ hai. Khi đó, với mọi p |b − an+1 | p 2|b| p , ta nhận được f 1, |b + an+1 | p + g . Bằng cách lấy tích phân hệ Haar hay chính xác hơn bằng cách đặt: t ϕ1 (t) ≡ 1; ϕn (t) = χn−1 (u)du, n>1 0 chúng ta thu được cơ sở nổi tiếng và quan trọng khác. Dãy {ϕn }∞ n=1 được gọi là hệ Schauder. Hệ Schauder là một cơ sở đơn điệu của C(0, 1). Thật vậy, bao tuyến tính của {ϕn }∞ n=1 gồm chính xác các hàm tuyến tính liên tục từng khúc trên [0,1] mà các điểm nút là các điểm nhị nguyên. Điều này cho thấy (iii) của Mệnh đề 2.1.2 được thỏa mãn. Từ đó, với mỗi số nguyên n, 15 khoảng mà trên đó hàm ϕn+1 (t) khác 0 cũng như tất cả các hàm {ϕi (t)}ni=1 là tuyến tính, suy ra (ii) của Mệnh đề 2.1.2 với K = 1. Cơ sở Schauder được xây dựng trong nhiều không gian Banach quan trọng khác xuất hiện trong giải tích. Điều quan tâm đặc biệt theo hướng này là kết quả của Z.Ciesielski và J.Domsta và S.Schonefeld người đã chứng minh được sự tồn tại của cơ sở trong Ck (I n ) (không gian của tất cả các hàm thực f (t1 ,t2 , ...,tn ),ti ∈ [0, 1] có đạo hàm cấp k khả vi liên tục, với chuẩn tự nhiên) và kết quả của S.V.Botschkariev người đã chứng minh được sự tồn tại của cơ sở trong đại số đĩa A (không gian bao hàm tất cả các hàm f (z) giải tích trên |z| < 1, với chuẩn sup). Trong những bài báo này, vai trò quan trọng là hệ Franklin. Hệ Franklin gồm các dãy hàm { fn (t)}∞ n=1 trên [0,1], thu được từ hệ Schauder {ϕn }∞ n=1 bằng phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt (với quan hệ độ đo Lesbegue trên [0,1]). Hệ Franklin (theo định nghĩa) là dãy trực chuẩn mà được sinh ra từ cơ sở Schauder của C(0, 1). Câu hỏi liệu mọi không gian Banach vô hạn chiều có chứa một dãy cơ sở đã có một câu trả lời tích cực. Thực tế đơn giản này đã được biết đến với Banach. Định lý 2.1.1. Mọi không gian Banach vô hạn chiều đều chứa một dãy cơ sở. Chứng minh dựa trên bổ đề sau. Bổ đề 2.1.1. Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều. Cho B ⊂ X là không gian con hữu hạn chiều và số ε > 0. Khi đó tồn tại x ∈ X với x = 1 sao cho y (1 + ε) y + λ x với mọi y ∈ B và với mọi vô hướng λ . Chứng minh. Giả sử ε < 1. Lấy {yi }m i=1 là các phần tử có chuẩn 1 trong B sao cho ∀y ∈ B mà y = 1, tồn tại i để y − yi < ε/2. Lấy {y∗i }m i=1 là 16 các phần tử có chuẩn 1 trong X ∗ sao cho y∗i (yi ) = 1, ∀i. Lấy x ∈ X sao cho x = 1 và y∗i (x) = 0, ∀i. Véc tơ x này có tính chất đòi hỏi. Thật vậy, lấy y ∈ Y, y = 1 và lấy i sao cho y − yi ε/2 và một vô hướng λ . Thì yi + λ x − ε 2 y+λx y∗i (yi + λ x) − ε 2 = 1 − ε 2 y /(1 + ε) Chứng minh định lý 2.1.1. Lấy ε là số dương tùy ý và {εn }∞ n=1 là các số ∞ dương sao cho ∏ (1 + εn ) 1 + ε. n=1 Lấy x1 là phần tử bất kì trong X có chuẩn 1. Từ Bổ đề 2.1.1 ta có thể quy nạp một dãy các véc tơ đơn vị {xn }∞ n=2 sao cho với mọi n y 1 (1 + εn ) y + λ xn+1 , ∀y ∈ span {x1 , ..., xn }, với mọi vô hướng λ . Dãy {xn }∞ n=1 là một dãy cơ sở trong X mà hằng số cơ sở 1+ε ∞ (nhận xét rằng Pn ∏ (1 + εi ), n = 1, 2, ...). i=n Định lý được chứng minh. Chú ý: Lưu ý rằng chứng minh của Bổ đề 2.1.1 là đủ để lấy một véc tơ x có x = 1 và |y∗i (x)| < ε 4 với i = 1, ..., m. Thật vậy, nếu y = 1 và |λ | 2 thì y + λ x y , trong khi nếu |λ | < 2 thì tính toán trong chứng minh của Bổ đề 2.1.1 cho ra y + λ x > (1 − ε) y . Nhận xét này và chứng minh của Định lý 2.1.1 cho thấy nếu ω {xn }∞ →0 n=1 là một dãy các véc tơ trong X sao cho lim inf xn > 0 và xn − n thì {xn }∞ n=1 có một dãy con {xnk }∞ k=1 là dãy cơ sở. Một khi biết rằng mọi không gian Banach đều có cơ sở Schauder, nó là tự nhiên để nâng cao câu hỏi về tính duy nhất của cơ sở. Để nghiên cứu vấn đề này tôi giới thiệu trước hết khái niệm tính tương đương của các cơ sở. ∞ Định nghĩa 2.1.3. Hai cơ sở {xn }∞ n=1 của X và {yn }n=1 của Y được gọi là 17 ∞ ∞ tương đương nếu chuỗi ∑ an xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi ∑ an yn hội tụ. n=1 n=1 Như vậy các cơ sở là tương đương nếu không gian dãy liên kết với X ∞ bởi {xn }∞ n=1 là đồng nhất với không gian dãy liên kết với Y bởi {yn }n=1 . Từ ∞ nguyên lý đồ thị đóng, suy ra {xn }∞ n=1 tương đương với {yn }n=1 khi và chỉ khi có một phép đẳng cấu T từ X lên Y mà T xn = yn , ∀n. Định lý 2.1.2. Cho X là không gian Banach vô hạn chiều với một cơ sở Schauder. Khi đó có không đếm được các cơ sở chuẩn hóa không tương đương với nhau trong X. Các cơ sở Schauder có các tính chất ổn định nào đó. Nếu chúng ta xáo trộn mỗi phần tử của một cơ sở bởi một véctơ đủ nhỏ ta vẫn có được một cơ sở. Cơ sở bị xáo trộn là tương đương với cơ sở ban đầu. Kết quả đơn giản trong hướng này là mệnh đề hữu dụng sau. Mệnh đề 2.1.3. (i) Cho {xn }∞ n=1 là một cơ sở chuẩn hóa của không gian Banach X với hằng số cơ sở K. Cho {yn }∞ n=1 là một dãy các véctơ trong ∞ X với ∑ xn − yn < 1 2K. Khi đó, {yn }∞ n=1 là một cơ sở của X tương n=1 ∞ ∞ đương với {xn }∞ n=1 (nếu {xn }n=1 là một dãy cơ sở thì {yn }n=1 cũng sẽ là một dãy cơ sở mà tương đương với {xn }∞ n=1 ). (ii) Cho {xn }∞ n=1 là một dãy cơ sở chuẩn hóa trong một không gian Banach X với hằng số cơ sở K. Giả sử có một phép chiếu P từ X lên ∞ ∞ [xn ]∞ n=1 . Cho {yn }n=1 là một dãy các véc tơ trong X sao cho ∑ xn − yn n=1 1 8K P . Khi đó Y = [yn ]∞ n=1 là có phần bù trong X. ∞ ∞ n=1 n=1 Chứng minh. Với x = ∑ an xn ∈ X, định nghĩa T x = ∑ an yn . Chuỗi này 18 hội tụ và ∞ (∗) ||x − T x|| ∞ ∑ |an|||xn − yn|| max |an | ∑ ||xn − yn || n n=1 n=1 ∞ 2K||x|| ∑ ||xn − yn ||. n=1 Để chứng minh (i) ta có nhận xét chính xác rằng với các giả thiết của nó I − T < 1 và do đó T là tự đẳng cấu của X. Để chứng minh (ii) ta có nhận xét rằng nếu ta đặt y = T x, thì y − x < 4 và đặc biệt x < 2 y và T < 2. Như vậy x ∞ ∞ T Py − y = T P ∑ an (yn − xn) < 8K P y ∑ xn − yn = δ y n=1 n=1 với δ < 1. Như vậy S = T P|Y là toán tử khả nghịch trên Y và S−1 T P là một phép chiếu từ X lên Y . Một phương pháp rất hữu dụng để thu được dãy cơ sở mới, bắt đầu từ một cơ sở đã cho hoặc dãy cơ sở, là xem xét các cơ sở khối. Định nghĩa 2.1.4. Cho {xn }∞ n=1 là một dãy cơ sở trong không gian Banach X. Một dãy các véctơ khác không u j p j+1 ∑ n=p j +1 ∞ j=1 trong X có dạng u j = an xn với {an }∞ n=1 là dãy các vô hướng và p1 < p2 < · · · là dãy tăng của các số nguyên, được gọi là một dãy cơ sở khối, hoặc ngắn gọn là cơ sở khối của {xn }∞ n=1 . Rõ ràng, cơ sở khối u j ∞ j=1 của {xn }∞ n=1 là một dãy cơ sở mà hằng số cơ sở không vượt quá hằng số cơ sở của {xn }∞ n=1 . Tính hữu dụng của khái niệm cơ sở khối dựa rất nhiều vào nhận xét đơn giản sau đây. Mệnh đề 2.1.4. Cho X là một không gian Banach với cơ sở Schauder {xn }∞ n=1 . Cho Y là không gian con đóng vô hạn chiều của X. Khi đó tồn 19 tại không gian con Z của Y có một cơ sở tương đương với cơ sở khối của {xn }∞ n=1 . Chứng minh. Vì Y là không gian vô hạn chiều nên với mọi số nguyên p, ∞ phần tử y ∈ Y với y = 1 có dạng y = ∑ an xn . Ta xây dựng cơ sở khối n=p+1 của {xn }∞ n=1 bằng quy nạp. ∞ Chọn bất kì y1 = ∑ an,1 xn ∈ Y với ||y|| = 1. n=1 p1 Lấy p1 là số nguyên sao cho ||y1 − u1 || < 1/4K, ở đó u1 = ∑ an,1 xn và K n=1 là hằng số cơ sở của {xn }∞ n=1 . ∞ Tiếp theo, lấy y2 = ∑ an,2 xn n=p1 +1 ||y2 − u2 || < 1/42 K, ∈ Y với y2 = 1 và số nguyên p2 sao cho p2 ở đó u2 = Cứ tiếp tục như thế. Dãy ∞ khối của {xn }∞ n=1 . Vì ∑ ∑ an,2 xn . n=p1 +1 ∞ u j j=1 thu được theo cách này là một cơ sở y j − u j < 1/3K, từ Mệnh đề 2.1.3 suy ra ngay j=1 yj ∞ j=1 là một dãy cơ sở tương đương với u j Không gian Z = y j ∞ j=1 ∞ . j=1 có tính chất đòi hỏi. Trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.4, ta đã sử dụng các véc tơ y j ∈ Y mà khai triển với phần bù của cơ sở {xn }∞ n=1 bắt đầu xa tùy ý. Trong một vài trường hợp cụ thể, điều này là quan trọng để có thể chọn một dãy cơ sở sinh bởi tập con Y của X mà không phải là một không gian con. Nhận xét thú vị mà chúng ta cần trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.4 là điều sau ∞ đây: Với mọi ε > 0 và với mọi số nguyên p, tồn tại y = ∑ an xn trong Y n=1 p với ||y|| 1 và ∑ an xn ε. n=1 Mệnh đề 2.1.5. Cho {xn }∞ n=1 là một cơ sở Schauder của không gian Ba∞ nach X. Cho yk = ∑ an,k xn , k = 1, 2, ..., là một dãy các vectơ sao cho n=1 20 lim sup yk > 0 và lim an,k = 0 với mọi n (đây là trường hợp đặc biệt nếu k k ω yn − → 0 nhưng ||yk || ∞ j=1 0). Khi đó tồn tại một dãy con yk j của {yk }∞ k=1 tương đương với cơ sở khối của {xn }∞ n=1 . Mệnh đề 2.1.4 cho phép chúng ta cung cấp một sự thay thế chứng minh của Định lý 2.1.1. Nó rõ ràng là đủ để chứng minh Định lý 2.1.1 đối với không gian Banach tách được X. Mỗi không gian như vậy là đẳng cự với một không gian con của C (0, 1). Vì thế, từ Mệnh đề 2.1.4, X có một không gian con với một cơ sở tương đương với cơ sở khối của Hệ Schauder trong C (0, 1). 2.2. Cơ sở Schauder và đối ngẫu Cho X là một không gian Banach với một cơ sở Schauder {xn }∞ n=1 . Với mọi số nguyên n, phiếm hàm tuyến tính xn∗ trên X, xác định bởi xn∗ ∞ ∑ ai xi = an , theo Mệnh đề 2.1.1, là phiếm hàm tuyến tính bị chặn. i=1 Thật vậy, xn∗ 2K xn ở đó K là hằng số cơ sở của {xn }∞ n=1 . Các m ∗ phiếm hàm {xn∗ }∞ n=1 này mà đặc trưng bởi quan hệ xn (xm ) = δn , được gọi ∞ là các phiếm hàm song trực giao liên kết với cơ sở {xn }∞ n=1 . Giả sử {Pn }n=1 ∞ n là các phép chiếu tự nhiên liên kết với cơ sở, tức là Pn ( ∑ ai xi ) = ∑ ai xi . i=1 i=1 Với mọi cách chọn các vô hướng {ai }∞ i=1 và với tất cả các số nguyên n < m, m n i=1 i=1 ta có Pn∗ ( ∑ ai xi∗ ) = ∑ ai xi∗ . Như vậy từ Mệnh đề 2.1.2, dãy {xn∗ }∞ n=1 là một dãy cơ sở trong không gian X ∗ mà hằng số cơ sở trùng với hằng số cơ sở của dãy {xn }∞ n=1 . Vì lim Pn x − x = 0 ∀x ∈ X, ta nhận được theo nghĩa của sự hội tụ trong topo n ∞ yếu* x∗ = ∑ x∗ (xn )xn∗ với mọi x∗ ∈ X ∗ . Một cách tổng quát, sự khai triển n=1 này là không hội tụ theo chuẩn. Ta có sự hội tụ theo chuẩn với mọi x∗ ∈ X ∗ 21 ∗ khi và chỉ khi dãy {xn∗ }∞ n=1 là một cơ sở của X , tức là, (từ Mệnh đề 2.1.2) ∗ khi và chỉ khi bao đóng tuyến tính của {xn∗ }∞ n=1 là X . Để điều này xảy ra, X ∗ đặc biệt phải tách được. Như vậy, với X = l1 hoặc X = C(0, 1) điều này không thể xảy ra với bất kỳ cơ sở nào. Mặt khác, điều này là luôn xảy ra nếu X là phản xạ. Mệnh đề sau đưa ra một tiêu chuẩn rất đơn giản nhưng ∗ hữu ích cho việc kiểm tra khi nào {xn∗ }∞ n=1 là một cơ sở của X . Mệnh đề 2.2.1. Cho {xn }∞ n=1 là một cơ sở của không gian Banach X. Các ∗ phiếm hàm song trực giao {xn∗ }∞ n=1 tạo thành một cơ sở của X khi và chỉ ∗ khi với mọi x∗ ∈ X ∗ , chuẩn của x|[x (x∗ hạn chế trên bao của {xi }∞ ∞ i=1 ) i] i=1 tiến đến 0 khi n → ∞. Một cơ sở {xn }∞ n=1 mà có tính chất này được gọi là cơ sở co lại. ∗ Chứng minh. Nếu {xn∗ }∞ n=1 là một cơ sở của X thì ∗ x∗ ) = 0 suy ra ngay Pn∗ x∗ − x∗ → 0, với mỗi x∗ ∈ X ∗ . Vì (Pn−1 |[xi ]∞ i=n lim x∗ |[xi ]∞i=n = 0. n Ngược lại, giả sử x∗ |[xi ]∞i=n → 0 và lấy x ∈ X là phần tử bất kì có chuẩn 1. Thì: (x∗ − Pn∗ x∗ ) (x) = x∗ ((I − Pn )x) ≤ x∗ |[xi ]∞i=n+1 (K + 1) ∗ ∗ ∗ ở đó K là hằng số cơ sở của {xn }∞ n=1 . Do đó Pn x − x → 0 . Nếu X có một cơ sở co lại, nó có thể cho một phép biểu diễn thích hợp X ∗∗ bởi sử dụng cơ sở. Mệnh đề 2.2.2. Cho {xn }∞ n=1 là cơ sở co lại của không gian Banach X. Khi đó X ∗∗ có thể được đồng nhất với không gian của tất cả dãy các các vô n ∗∗ hướng {an }∞ n=1 sao cho sup ∑ ai xi < ∞. Sự tương ứng này cho bởi x ↔ (x∗∗ (x1∗ ), x∗∗ (x2∗ ), ...). n i=1 Chuẩn của x∗∗ là tương đương (và trong trường hợp n hằng số cơ sở là 1 thậm chí bằng nhau) với sup ∑ x∗∗ (xi∗ )xi . n 22 i=1 ∗∗ ∗∗ và Chứng minh. Giả sử hằng số cơ sở của {xn }∞ n=1 là 1. Nếu x ∈ X {Pn }∞ n=1 là các phép chiếu trên X liên kết được với cơ sở thì: n Pn∗∗ x∗∗ = ∑ x∗∗ (xi∗ )xi và x∗∗ = lim Pn∗∗ x∗∗ = sup Pn∗∗ x∗∗ . n i=1 n Ngược lại, nếu {an }∞ n=1 cũng có sup n hạn yếu* x∗∗ của tập bị chặn n ∞ n ∑ ai xi < ∞ thì mọi điểm giới i=1 thỏa mãn x∗∗ (xi∗ ) = ai với mọi ∑ ai xi i=1 n=1 i. (Trường hợp đặc biệt, tính duy nhất của x∗∗ ∞ n suy ra rằng: hội ∑ ai xi i=1 tụ yếu* đến x∗∗ ). n=1 Nhận xét rằng ảnh chính tắc của X trong X ∗∗ tương ứng với các dãy {an }∞ n=1 ∞ n mà không chỉ bị chặn mà còn hội tụ theo chuẩn. ∑ ai xi i=1 n=1 Một khái niệm quan trọng khác liên quan tới cơ sở, mà có nghĩa đối ngẫu với "co lại", là "hoàn toàn bị chặn". Định nghĩa 2.2.1. Một cơ sở {xn }∞ n=1 của không gian Banach được gọi là n hoàn toàn bị chặn nếu với mọi dãy vô hướng {an }∞ n=1 mà sup ∑ ai xi < ∞, n i=1 ∞ chuỗi ∑ an xn hội tụ. n=1 Một ví dụ điển hình của cơ sở không hoàn toàn bị chặn là cơ sở véc tơ đơn vị của c0 . Cơ sở véc tơ đơn vị là hoàn toàn bị chặn trong tất cả các không gian l p , 1 p < ∞. ∗ ∞ Nếu {xn }∞ n=1 là cơ sở co lại trong X thì {xn }n=1 là cơ sở hoàn toàn bị chặn trong X ∗. điểm giới hạn n Thật vậy, nếu sup ∑ ai xi∗ < ∞ thì khai triển yếu* của x∗ n của ∑ i=1 n ∞ ai xi∗ i=1 ∞ ∗ đối với cơ sở {xn∗ }∞ n=1 phải là ∑ an xn . n=1 n=1 Điều ngược lại của chú ý này cũng có đúng: Mệnh đề 2.2.3. Không gian Banach X với một cơ sở hoàn toàn bị chặn 23 {xn }∞ n=1 là đẳng cấu với một không gian liên hợp. Rõ hơn là, X là đẳng ∗ cấu với đối ngẫu của không gian con [xn∗ ]∞ n=1 của X . ∗ Chứng minh. Lấy Z = [xn∗ ]∞ n=1 và J là ánh xạ chính tắc từ X tới Z được định nghĩa bởi Jx(z) = z(x). Ta sẽ chứng minh J là đẳng cấu lên. ∗ ∗ Thật vậy, lấy x ∈ span {xi }∞ n=1 , với số nguyên n nào đó và x ∈ X sao cho x∗ = 1 và x∗ (x) = x thì: Pn∗ x∗ (x) = x∗ (x), Pn∗ x∗ ∈ Z và Pn∗ x∗ K. ở đó K là hằng số cơ sở của {xn }∞ n=1 . Do đó x /K x và điều này chỉ ra rằng J là phép đẳng cấu. Jx Để chỉ ra rằng J là lên, nhận xét rằng {Jxn }∞ n=1 là các phiếm hàm song ∗ trực giao với {xn∗ }∞ n=1 trong Z . Lấy z∗ ∈ Z ∗ . Dãy và như vậy, vì n ∑ ∞ z∗ (xi∗ )Jxi i=1 ∞ {xn }n=1 là hoàn là bị chặn theo chuẩn (bởi K z∗ ) n=1 toàn bị chặn, nên chuỗi ∞ ∑ z∗ (xn∗ )xn hội tụ đến phần tử x trong X. Rõ ràng z∗ = Jx. n=1 Bằng sự kết hợp các khái niệm cơ sở co lại và hoàn toàn bị chặn, ta nhận được đặc tính của tính phản xạ trong các không gian nhờ cơ sở. Định lý 2.2.1. Cho X là không gian Banach với một cơ sở Schauder {xn }∞ n=1 . Khi đó X là phản xạ khi và chỉ khi cơ sở {xn }∞ n=1 là co lại và hoàn toàn bị chặn. Chứng minh. Giả sử X là phản xạ. Ta đã được quan sát ở trên rằng {xn }∞ n=1 n phải co lại. Mặc dù nếu sup ∑ ai xi < ∞ thì bất kỳ điểm giới hạn yếu x n của ∞ i=1 ∞ phải có dạng ∑ an xn và đặc biệt chuỗi này hội tụ. ∑ ai xi i=1 n n=1 n=1 24 Khẳng định đảo được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.2.2. Ta sẽ đưa ra thêm chứng minh của khẳng định đảo vì nó có phần sử dụng thuận tiện hơn trong các tình huống tổng quát hơn. Lấy {yk }∞ k=1 là một dãy các véc tơ có chuẩn 1 trong X. Bằng thủ tục chéo hóa ta có thể tìm một dãy con yk j ∞ j=1 ∗ của {yk }∞ k=1 sao cho an = lim xn (yk j ) tồn tại với mọi n. Ta có j n ∑ ai xi = lim Pn yk j và từ đó, j i=1 n sup n ∑ aixi K. i=1 ∞ Vì {xn }∞ n=1 là hoàn toàn bị chặn, tồn tại y = ∑ an xn và từ định nghĩa, n=1 ∗ ∗ ∞ lim xn∗ (yk j ) = xn∗ (y), với mọi n. Vì cơ sở {xn }∞ n=1 co lại [xn ]n=1 = X và do j đó w lim yk j = y. Điều này chứng tỏ X là phản xạ. j Bây giờ ta chuyển qua các câu hỏi liên quan tới sự tồn tại của các cơ sở và đối ngẫu. Các câu hỏi này là không tầm thường với các không gian Banach không phản xạ. Nếu một không gian Banach X có cơ sở, đối ngẫu X ∗ của nó không nhất thiết có một cơ sở dù X ∗ là tách được. Ngược lại, ta có: Định lý 2.2.2. Cho X là một không gian Banach mà X ∗ có một cơ sở. Khi đó X có một cơ sở co lại và như vậy X ∗ có một cơ sở hoàn toàn bị chặn. Chứng minh của định lý này vượt quá khả năng kiến thức giải tích hàm cơ bản, nên không được trình bày ở đây. Định lý 2.2.3. Mọi không gian Banach vô hạn chiều tách được đều có một không gian thương vô hạn chiều có cơ sở. Để chứng minh Định lý 2.2.3 ta giới thiệu khái niệm sau: 25 ∗ Định nghĩa 2.2.2. Một dãy cơ sở {xn∗ }∞ n=1 trong đối ngẫu X của không gian Banach X được gọi là một dãy cơ sở yếu* nếu tồn tại một dãy {xn }∞ n=1 trong X mà xn∗ (xm ) = δnm và sao cho, với mỗi x∗ trong bao đóng yếu* của span {xn∗ }∞ n=1 , ta có n x∗ = w∗ lim ∑ x∗ (xi )xi∗ . n i=1 Mệnh đề tiếp theo làm rõ ý nghĩa của khái niệm dãy cơ sở yếu* và quan hệ của nó với Định lý 2.2.3. ∗ Mệnh đề 2.2.4. Một dãy {xn∗ }∞ n=1 ∈ X là một dãy cơ sở yếu* khi và chỉ T ∗ ∞ ∗ ∗ ∗ khi có một cơ sở {yn }∞ n=1 của Y = X/([xn ]n=1 ) sao cho xn = T yn , n = 1, 2, ...,; T : X → Y là ánh xạ thương và {y∗n }∞ n=1 là các phiếm hàm song trực giao với {yn }∞ n=1 . Mệnh đề này được chứng minh bởi phép kiểm tra trực tiếp. Chú ý rằng ∗ T ∗ là đẳng cự từ Y ∗ lên bao đóng yếu* của [xn∗ ]∞ n=1 vì T là liên tục yếu*. Trong chứng minh Định lý 2.2.3 ta sẽ sử dụng hệ quả trực tiếp tính trù mật yếu* của hình cầu đơn vị của không gian Banach X trong hình cầu đơn vị của X ∗∗ . Lấy B là một không gian con hữu hạn chiều của X ∗ và lấy ε > 0. Thì, tồn tại một tập hữu hạn F các phần tử có chuẩn 1 trong X sao cho, với mọi f ∈ B∗ , f = 1, tồn tại x ∈ F thỏa mãn | f (x∗ ) − x∗ (x)| ε x∗ , với mọi x∗ ∈ B. Chứng minh. Với mỗi không gian Banach vô hạn chiều X, tập {x∗ ∈ X ∗ ; ||x∗ || = 1} là trù mật yếu* trong hình cầu đơn vị của X ∗ . Vì X là tách được, hình cầu đơn vị trong X ∗ là metric hóa yếu* và vì vậy, tồn tại một dãy xk∗ ∞ k=1 trong X ∗ sao cho xk∗ = 1 với mọi k và giới hạn yếu* lim xk∗ = 0. Ta sẽ xây dựng một dãy con của xk∗ này sẽ kết thúc chứng minh Mệnh đề 2.2.4). 26 ∞ k=1 mà là cơ sở yếu* (điều ∞ Lấy {εn }∞ n=1 là dãy các số sao cho 0 < εn < 1 và ∑ εn < ∞. Từ chú ý n=1 ở trên và tính tách được của X, ta có thể chọn phép quy nạp một dãy các số nguyên k1 < k2 < ... và một dãy các tập hữu hạn F1 ⊂ F2 ⊂ · · · của các phần tử có chuẩn 1 trong X sao cho: ∞ (i) X = span Fn . n=1 xk∗i (ii) Với mọi f ∈ i=1 | f (x∗ ) − x∗ (x)| < ε (iii) xk∗n+1 (x) ∗ n n x∗ mà f = 1, tồn tại x ∈ Fn sao cho: /3 , với mọi x∗ ∈ n ∗ xki . i=1 εn /3, ∀x ∈ Fn . Ta thấy rằng xk∗n ∞ n=1 là dãy cơ sở yếu*. Chú ý đầu tiên rằng, từ chứng minh của Định lý 2.1.1 (và lưu ý theo sau nó) xk∗n ∞ n=1 là một dãy cơ sở. ∗ Hơn nữa, nếu {Pn }∞ n=1 kí hiệu các phép chiếu tự nhiên (trên xkn ∞ n=1 ) liên kết với dãy cơ sở này thì: ∞ Pn ≤ ∏ 1 − ε j (*) Lấy {yn }∞ n=1 ⊂ với xk∗n bởi ∞ xk∗n j=n ∞ −1 n→∞ −−−→ 1. ∗ n=1 là các phiếm hàm song trực giao . Theo Mệnh đề 2.2.4, toán tử T : X → n=1 ∗ T x(x ) = x∗ (x), x∗ ∈ xk∗n ∞ xk∗n ∞ n=1 ∗ xác định ánh xạ X lên [yn ]∞ n=1 là một ánh xạ n=1 thương. (chú ý rằng hạt nhân của T là xk∗n Ta sẽ chỉ ra đầu tiên rằng T X ⊂ ∞ T n=1 [yn ]∞ n=1 . ∞ ). Điều này được suy ra từ (i) và (iii) vì nếu x ∈ Fn với n nào đó thì ∑ xk∗i (x) < ∞ và do đó T x = i=1 ∞ ∑ i=1 xk∗i (x)yi ∈ [yn ]∞ n=1 . Để chứng minh T X vét kiệt tất cả [yn ]∞ n=1 , nó là đủ để chỉ ra rằng, với 27 mọi y ∈ span {yn }∞ n=1 có chuẩn 1 và với mọi ε > 0, tồn tại x ∈ X, x = 1 và T x − y < 4ε (kết quả mong muốn sẽ được suy ra bởi xấp xỉ liên tiếp). ∞ Chúng ta có thể giả định rằng y ∈ span {yi }ni=1 và n rất lớn để ε > ∑ εi i=n n (sử dụng (*)). Với u ∈ span {yi }ni=1 , ta kí hiệu và Pm < 1 + ε, với m u n | xk∗ bằng u 1 . Nhận xét rằng, với mỗi u như vậy: i i=1 u u 1 Pn u (1 + ε) u 1 . 1 Chọn x ∈ Fn thỏa mãn (ii) với z = y/ ||y||1 . Ta nhận được: n ∑ xk∗ (x)yi − z < εn /3 < ε/3 i i=1 1 n Do đó ∑ xk∗i (x)yi − z < 2ε/3 i=1 Vì yi = Pi − Pi−1 n, ta suy ra từ (iii) rằng 4 với i ∞ ∑ xk∗i (x)yi < 4ε 3. i=n+1 Như vậy : ∞ ||T x − y|| ||T x − z|| + ||y − z|| ∑ xk∗i (x)yi − z + 2ε i=n+1 n ∑ xk∗i (x)yi − z i=n ∞ + ∑ xk∗i (x)yi + 2ε i=n+1 2ε/3 + 4ε/3 + 2ε 4ε Điều này kết thúc chứng minh Định lý 2.2.3. Một bài toán mở phát sinh một cách tự nhiên theo quan điểm của Định lý 2.1.1 và Định lý 2.2.3 như sau: Bài toán 2.2.1. Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều tách được. Liệu có tồn tại một không gian con Y của X để cả Y và X Y có một cơ sở Schauder? 28 Mệnh đề 2.2.5. Cho X là một không gian Banach tách được và Y là một không gian con tách được của X ∗ . Khi đó tồn tại một chuẩn tương ω∗ ∗ ∗ đương |||·||| trên X sao cho, mỗi khi xn∗ −→ x∗ với {xn∗ }∞ n=1 ⊂ X , x ∈ Y và |||xn∗ ||| → |||x∗ ||| , ta cũng có |||xn∗ − x∗ ||| → 0. (|||·||| ở đây kí hiệu chuẩn mới trong X cũng như trong X ∗ ). Chứng minh. Lấy B1 ⊂ B2 ⊂ · · · là một dãy các không gian con hữu hạn chiều của Y mà hợp là trù mật trong Y . Định nghĩa một chuẩn mới trên X ∗ bằng cách đặt: ∗ |||x ||| = x ∗ ∞ + ∑ 2−nd(x∗, Bn) n=1 ở đó d(x∗ , Bn ) kí hiệu khoảng cách từ x∗ tới Bn với quan hệ · (tức là, chuẩn của ảnh chính tắc của x∗ trong không gian thương X ∗ Bn . Rõ ràng |||·||| là chuẩn tương đương trên X ∗ và vì hình cầu đơn vị của X ∗ là đóng yếu* (nhận xét rằng mỗi Bn là đóng yếu*) nó cảm sinh một chuẩn tương đương trong X cũng được kí hiệu bởi |||·|||. ω∗ ∗ Bây giờ ta giả sử xn∗ −→ x∗ với x ∈ Y và |||xn∗ ||| → |||x∗ |||. Vì lim inf d (xn∗ , Bk ) n d(x∗ , Bk ), ∀k và lim inf xn∗ n x∗ , ta nhận được d (x∗ , Bk ) = lim d(xn∗ , Bk ). Từ điều này và lim d (x∗ , Bk ) = 0 suy ra với mỗi n k ε > 0, tồn tại một số nguyên k và các phần tử u∗n ∈ Bk , n = 1, 2, ..., sao cho ||xn∗ − u∗n || < ε/4 với n đủ lớn. Vì Bk là hữu hạn chiều, bằng cách chuyển qua một dãy con nếu cần thiết, ta có thể giả sử u∗n → u∗ với u∗ ∈ Bk . Như vậy, với n đủ lớn, xn∗ − u∗ < ε 2, bằng cách lấy giới hạn yếu*, được x∗ − u∗ ε 2, tức là, x∗ − xn∗ ε. Điều này chứng tỏ xn∗ − x∗ → 0 hoặc tương đương, |||xn∗ − x∗ ||| → 0. Nếu X ∗ là tách được ta có thể lấy Y = X ∗ . Trong trường hợp này ta thu được một chuẩn mới của X sao cho trong X ∗ , hội tụ yếu* trên biên của hình cầu đơn vị mới là tương đương với sự hội tụ chuẩn. 29 Mệnh đề 2.2.6. Cho X là một không gian Banach mà đối ngẫu X ∗ là tách được. Khi đó mọi dãy xk∗ có một dãy cơ sở con ∞ k=1 ∞ xk∗n n=1 ω∗ trong X ∗ mà xk∗ −→ 0 và lim sup xk∗ > 0 k hoàn toàn bị chặn. Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.2.5, không giảm tổng quát, giả sử trong X ∗ , ω∗ y∗n −→ y∗ và y∗n → y∗ ⇒ y∗n − y∗ → 0. Trong chứng minh của Định lý 2.2.3 ta đã chỉ ra rằng xk∗ ∞ k=1 có một dãy cơ sở con yếu* xk∗n n ∞ n=1 để Pn → 1 (xem (*)). Như vậy, nếu y∗n = ∑ ai xk∗i , n = 1, 2, ..., là dãy bị chặn thì từ ∞ xk∗n n=1 y∗ i=1 là cơ sở yếu* suy ra rằng y∗n hội tụ yếu* tới giới hạn y∗ . Vì lim inf y∗n n lim sup y∗n = lim sup Pn∗ y∗ n y∗ n ∞ suy ra y∗n − y∗ → 0, tức là ∑ an xk∗n hội tụ. n=1 Kết quả đối ngẫu của Mệnh đề 2.2.6 cũng đúng. Mệnh đề 2.2.7. Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều có đối ngẫu tách được. Khi đó X chứa một dãy cơ sở co lại. Chứng minh. Lấy y∗k ∞ k=1 là một dãy chuẩn hóa và trù mật trong hình cầu đơn vị của X ∗ . Từ cách xây dựng dãy {xn }∞ n=1 trong chứng minh Định lý 2.1.1 có thể dễ dàng đưa đến y∗k (xn ) = 0 với n > k. Dãy cơ sở {xn }∞ n=1 thu được theo cách này rõ ràng là co lại. Các mệnh đề trước dẫn tới một kết quả thú vị mà phát biểu của nó không có gì để thực hiện với các cơ sở. Kết quả này, được phát biểu bởi V.D.Milman và lần đầu tiên được chứng minh bởi W.B.Johnson và H.P.Rosenthal là một minh họa rất tốt cho việc sử dụng các cơ sở trong nghiên cứu các tính chất topo tuyến tính của các không gian Banach. 30 Định lý 2.2.4. (i) Cho X là một không gian Banach mà đối ngẫu X ∗ là tách được. Giả sử Y là một không gian con vô hạn chiều của X ∗ có đối ngẫu Y ∗ tách được. Khi đó Y có một không gian con vô hạn chiều phản xạ . (ii) Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều mà đối ngẫu thứ hai X ∗∗ là tách được. Khi đó mọi không gian con vô hạn chiều của X hoặc X ∗ chứa một không gian con vô hạn chiều phản xạ . Chứng minh. (i). Từ Mệnh đề 2.2.7, Y có một dãy cơ sở co lại {yk }∞ k=1 với ω∗ ω yk = 1, ∀k. Rõ ràng, yk − → 0 và như vậy yk −→ 0 (cũng như phần tử của X ∗ ). ∞ Từ Mệnh đề 2.2.5, có một dãy con {ykn }∞ n=1 của {yk }k=1 là dãy cơ sở hoàn toàn bị chặn. Vì {ykn }∞ n=1 tất nhiên cũng là co lại ta nhận được từ Định lý 2.2.1 rằng [ykn ]∞ n=1 là phản xạ. (ii). Cả hai khẳng định trên là hệ quả trực tiếp của (i). Ví dụ như, lấy Y là không gian con vô hạn chiều của X. Thì Y ∗ là tách được và Y là một không gian con của không gian liên hợp tách được X ∗∗ bởi áp dụng (i) với Y. Ta kết thúc mục này bởi kết quả sau. Định lý 2.2.5. Cho X là một không gian Banach mà đối ngẫu X ∗ là tách được. Khi đó có một không gian Banach Y với một cơ sở co lại mà có X như một không gian thương. Đặc biệt, X ∗ là đẳng cấu với một không gian con của không gian có cơ sở hoàn toàn bị chặn, tức là Y ∗ . Chứng minh định lý này là khá dài. Vì định lý sẽ không được sử dụng trong các phần tiếp theo nên chúng ta bỏ qua chứng minh của nó. Lưu ý rằng mỗi không gian Banach tách được là một không gian thương của l1 mà có một cơ sở hoàn toàn bị chặn. Như vậy, theo một nghĩa nào đó, 31 đối ngẫu của Định lý 2.2.5 là tầm thường đúng. Theo một nghĩa khác đối ngẫu của Định lý 2.2.5 dẫn đến bài toán mở sau. Bài toán 2.2.2. Cho X là một không gian Banach với một đối ngẫu tách được. Liệu X có đẳng cấu với một không gian con nào của không gian mà có một cơ sở co lại? 2.3. Các cơ sở vô điều kiện Sự tồn tại của cơ sở Schauder trong không gian Banach không đưa ra nhiều thông tin về cấu trúc của không gian. Nếu muốn nghiên cứu chi tiết hơn về cấu trúc của một không gian Banach bằng cách sử dụng các cơ sở, thì phải xem xét các cơ sở có nhiều tính chất hơn. Trong mục 2, chúng ta đã nghiên cứu hai loại cơ sở, cụ thể là cơ sở co và hoàn toàn bị chặn. Chắc chắn, hữu dụng nhất và được mở rộng nghiên cứu nhiều lớp đặc biệt của các cơ sở là cơ sở vô điều kiện. Trước khi nghiên cứu các cơ sở vô điều kiện, chúng ta xét một số thông tin chung liên quan tới sự hội tụ tuyệt đối. Mệnh đề 2.3.1. Cho {xn }∞ n=1 là một dãy các véc tơ trong không gian Banach X. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ∞ (i) Chuỗi ∑ xπ(n) hội tụ với mọi hoán vị π của các số nguyên. n=1 ∞ (ii) Chuỗi ∑ xni hội tụ với mọi cách chọn n1 < n2 < n3 · · · i=1 ∞ (iii) Chuỗi ∑ θn xn hội tụ với mọi cách chọn dấu θn . n=1 (tức là θn = ±1). (iv) Với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên n sao cho ∑ xi < ε với mỗi tập i∈σ hữu hạn các số nguyên σ mà thỏa mãn min {i ∈ σ } > n. 32 ∞ Chuỗi ∑ xn mà thỏa mãn một, và như vậy thỏa mãn tất cả các điều kiện ở n=1 trên, được gọi là chuỗi hội tụ vô điều kiện. Chứng minh. Sự tương đương của (ii) và (iii) là hiển nhiên. Nếu (iv) được thỏa mãn thì nửa tổng của chuỗi xuất hiện trong (i) và trong (ii) thỏa mãn điều kiện Cauchy và như vậy (iv) ⇒ (i) và (iv) ⇒ (ii). Giả sử (iv) không được thỏa mãn. Thì có ε > 0 và các tập hữu hạn {σn }∞ n=1 của các số nguyên sao cho qn = max {i, i ∈ σn } < pn+1 = min {i; i ∈ σn+1 } và ∑ xi ε, ∀n. Rõ ràng, σ = i∈σn ∞ σn là một dãy con các số nguyên mà n=1 ∑ xi không hội tụ (do đó (ii) ⇒ (iv))). Còn nếu π là một hoán vị của các i∈σ số nguyên đó, với mọi n, ánh xạ tập {i; pn qn } lên chính nó theo cách i tác động π −1 (σn ) = {pn , pn + 1, ..., pn + kn }, ở đó kn là lực lượng của σn , ∞ thì ∑ xπ(i) không hội tụ (và do đó (i) ⇒ (iv)). i=1 ∞ Dễ dàng kiểm tra lại rằng nếu ∑ xn hội tụ vô điều kiện thì tổng của n=1 ∞ ∑ xπ(n) không phụ thuộc vào hoán vị π. Tập hợp các véc tơ có dạng n=1 ∞ ∑ θn xn , θn = ±1 hình thành một tập compact chuẩn (do (iv) các ánh xạ từ n=1 N {−1, 1} vào X mà gán cho {θn }∞ n=1 ∞ điểm ∑ θn xn là liên tục). Dễ dàng n=1 ∞ kiểm tra lại rằng nếu ∑ xn hội tụ vô điều kiện, thì với mỗi dãy vô hướng n=1 ∞ bị chặn {an }∞ n=1 , chuỗi ∑ an xn hội tụ và toán tử T : l∞ → X xác định bởi n=1 ∞ T (a1 , a2 , ...) = ∑ an xn là một toán tử tuyến tính bị chặn. n=1 ∞ Trong các không gian hữu hạn chiều, chuỗi ∑ xn hội tụ vô điều kiện n=1 33 ∞ khi và chỉ khi nó hội tụ tuyệt đối, tức là ∑ xn < ∞. Trong mọi không n=1 ∞ gian vô hạn chiều, tồn tại một chuỗi ∑ xn hội tụ vô điều kiện nhưng không n=1 hội tụ tuyệt đối. Chính xác hơn, chúng ta có kết quả sau của Dvoretzky và Rogers. Định lý 2.3.1. Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều và {λn }∞ n=1 ∞ là dãy các số dương sao cho ∑ λn2 < ∞. Khi đó tồn tại chuỗi hội tụ vô điều n=1 ∞ kiện ∑ xn trong X sao cho xn = λn với mọi n. n=1 Để chứng minh Định lý 2.3.1 chúng ta cần kết quả sau. Mệnh đề 2.3.2. Nếu B là một không gian Banach n chiều thì tồn tại n vectơ {xi }ni=1 có chuẩn 1 trong B và n vectơ {xi∗ }ni=1 có chuẩn 1 trong X ∗ sao cho j x∗j (xi ) = δi . Chứng minh. Đưa một hệ toạ độ vào trong B, và y1 , ..., yn trong hình cầu đơn vị của B. lấy V (y1 , y2 ..., yn ) là định thức của ai, j hiệu tọa độ của yi , 1 i n , i, j=1 ở đó ai,1 , ai,2 , ..., ai,n kí n. Hàm V đạt được cực đại tại vectơ {x1 , x2 , ..., xn } có chuẩn 1. Đặt: xi∗ (x) = V (x1 , x2 , ..., xi−1 , x, xi+1 , ..., xn )/V (x1 , x2 , ..., xn ). n vectơ {xi }ni=1 và {xi∗ }ni=1 có tính chất đòi hỏi. n vectơ {xi }ni=1 mà sự tồn tại được đảm bảo bởi Mệnh đề 2.3.2, được gọi là hệ Auerbach. Các bước chính trong chứng minh của Định lý 2.3.1 dựa vào bổ đề tiếp theo. Bổ đề 2.3.1. Cho B là không gian Banach có số chiều n2 và chuẩn · . Khi đó có một không gian con n chiều C của B và chuẩn tích vô hướng |||·||| 34 |||y|||, ∀y ∈ C và một cơ sở trực chuẩn {yi }ni=1 (với trên C sao cho ||y|| quan hệ |||·|||) của C với yi n2 j=1 Chứng minh. Lấy x j 1/8, với mọi i. là một hệ Auerbach trong B. 1/2 n2 2 ∑ x∗j (x) Đặt |||x|||1 = n j=1 . Thì, |||·|||1 là chuẩn tích vô hướng trên B và : 2 |||x|||1 /n max j n2 x∗j (x) x ∑ x∗j (x) |||x|||1 . j=1 Xem xét các phát biểu sau đây: (*) Mỗi không gian con C của B với dimC > dim B/2 chứa một véc tơ y với |||y|||1 = 1 và y > 1/8. Nếu (*) là đúng, ta có thể xây dựng quy nạp ít nhất n2 /2 − 1 phần tử yi trực chuẩn với quan hệ |||·|||1 và thỏa mãn yi 1/8 với mọi i. Trong trường hợp này không có gì nhiều để chứng minh. Nếu (*) không được thỏa mãn, có một không gian con B2 của B với dim B2 > dim B/2 và chuẩn tích vô hướng |||·|||2 = |||·|||1 /8 trên B2 sao cho: 8|||x|||2 /n2 ||x|| |||x|||2 , với mọi x ∈ B2 . Bây giờ xem xét các phát biểu thu được từ (*) bằng cách thay thế B bởi B2 và |||·|||1 bởi |||·|||2 . Nếu phát biểu nhận được là đúng thì không có gì phải chứng minh thêm. Nếu nó sai, thì có một không gian con B3 của B2 với dim B3 > dim B2 /2 và chuẩn tích vô hướng |||·|||3 trên B3 sao cho 82 |||·|||3 /n2 x |||·|||3 , với mọi x ∈ B3 . Ta cứ tiếp tục như thế. Quá trình này phải kết thúc sau l − 1 bước, với l là số nguyên sao cho 8l n2 . Không gian Bi sẽ có số chiều n2 /2l−1 . Trong không gian này, chúng ta có thể tìm thấy ít nhất dim Bl /2 − 1 vectơ yi 35 trực chuẩn với quan hệ |||·|||l và thỏa mãn yi > 1/8 với mọi i. Vì n2 8l ta nhận được n2 · 2−l − 1 > n và điều này kết thúc chứng minh. Nhận xét rằng các véc tơ đơn vị ui = yi / yi , 1 n, mà sự tồn tại i đã được chứng minh trong Bổ đề 2.3.1, thỏa mãn: ∑ aiui i=1 1/2 n n n ∑ |ai|2 · |||ui|||2 = ∑ aiui 8 n=1 i=1 1/2 n ∑ |ai|2 i=1 với mọi cách chọn các vô hướng {ai }ni=1 . Chứng minh Định lý 2.3.1. ∞ Lấy λi là các số dương sao cho ∑ λi 2 < ∞. Chọn một dãy tăng các số nguyên {nk }∞ k=1 ∞ sao cho ∑ λi i=1 2−2k , k 2 = 1, 2, · · · . i=nk Từ bổ đề trước chúng ta có thể tìm thấy trong bất kỳ không gian Banach nào có số chiều (nk+1 − nk )2 (và do đó trong mỗi không gian Banach vô n −1 k+1 hạn chiều) các vectơ đơn vị {ui }i=n k sao cho nếu ta đặt xi = λi ui thì với mỗi cách chọn dấu θi , nk+1 −1 ∑ 1/2 nk+1 −1 θi xi 8 i=nk ∑ λi 2 8 · 2−k . i=nk ∞ Với i < n1 ta lấy véc tơ bất kì xi trong X với chuẩn λi . Chuỗi ∑ xi hội tụ vô i=1 điều kiện và rõ ràng xi = λi với mọi i. Định lý được chứng minh. Định lý 2.3.1 là kết quả tổng quát nhất có thể có theo hướng này. Nó được suy ra từ đẳng thức bình hành trong không gian Hilbert, rằng nếu {xi }ni=1 2 n là n vectơ bất kỳ trong l2 , thì trung bình của n lấy trên 2n ∑ θi xi i=1 ∞ các cách chọn dấu {θi }ni=1 là bằng với ∑ xi 2 . Do đó, nếu ∑ xi là chuỗi ∞ hội tụ vô điều kiện trong l2 thì ∑ xi i=1 36 i=1 2 < ∞. i=1 Bây giờ ta chuyển qua các cơ sở vô điều kiện. Định nghĩa 2.3.1. Một cơ sở {xn }∞ n=1 của không gian Banach X được gọi là cơ sở vô điều kiện nếu với mọi x ∈ X, khai triển của x qua cơ sở là chuỗi ∞ ∑ an xn , hội tụ vô điều kiện. n=1 Mệnh đề sau là hệ quả trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.1. Mệnh đề 2.3.3. Một dãy cơ sở {xn }∞ n=1 là vô điều kiện khi và chỉ khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: ∞ (i) Với mỗi hoán vị π của các số nguyên, dãy xπ(n) n=1 là một dãy cơ sở. ∞ (ii) Với mỗi tập con σ của tập các số nguyên, sự hội tụ của ∑ an xn kéo n=1 theo sự hội tụ của ∑ an xn . n∈σ ∞ ∞ n=1 n=1 (iii) ∑ an xn hội tụ kéo theo ∑ bn xn hội tụ, khi |bn | |an | , ∀n. Từ (ii) và nguyên lý đồ thị đóng suy ra rằng nếu {xn }∞ n=1 là dãy cơ sở vô điều kiện và σ là một tập con của các số nguyên thì có một phép chiếu tuyến tính bị chặn Pσ xác định trên [xn ]∞ n=1 bởi Pσ ∞ ∑ an xn n=1 = ∑ an xn . n∈σ Phép chiếu này được gọi là phép chiếu tự nhiên liên kết với dãy cơ sở vô điều kiện. Với các tập σ , σ = {1, 2, ..., n} ta nhận được phép chiếu Pσ trùng với phép chiếu Pn là phép chiếu tự nhiên liên kết với dãy cơ sở {xn }∞ n=1 . Tương tự, với mỗi cách chọn signsθ = {θn }∞ n=1 , ta có một toán tử tuyến tính bị chặn Mθ trên [xn ]∞ n=1 xác định bởi: Mθ ∞ ∞ ∑ an xn n=1 = ∑ an θn xn . n=1 Nhận xét rằng, nếu σ = {n; θn = 1} thì Pσ = (I + Mσ )/2, và nếu η = {ηn }∞ n=1 là một dãy khác của các dấu thì Mθ Mη = Mθ η , ở đó (θ η)n = θn ηn . Nguyên lí bị chặn đều cho thấy rằng sup Pσ và sup Mθ hữu hạn. σ 37 σ Các con số này là liên quan bởi bất đẳng thức sau: sup Pσ sup Mθ σ 2 sup Pσ . σ θ Số sup Mθ được gọi là hằng số vô điều kiện của {xn }∞ n=1 . Nhận xét rằng, θ hằng số vô điều kiện của một cơ sở là luôn lớn hơn hoặc bằng hằng số cơ sở. Nếu {xn }∞ n=1 là cơ sở vô điều kiện của X, ta luôn luôn có thể xác định trên X chuẩn tương đương sao cho hằng số vô điều kiện trở thành 1. Ta dễ dàng nhận được một chuẩn mới qua biểu thức |||x||| = sup Mθ x . Mỗi cơ θ sở khối của cơ sở vô điều kiện cũng là cơ sở vô điều kiện. Hằng số vô điều kiện của một cơ sở khối là nhỏ hơn hoặc bằng hằng số vô điều kiện của cơ sở ban đầu. Nếu {xn }∞ n=1 là cơ sở vô điều kiện của X thì các phiếm hàm ∗ song trực giao {xn∗ }∞ n=1 là dãy cơ sở vô điều kiện trong X mà hằng số vô điều kiện bằng với hằng số vô điều kiện của {xn }∞ n=1 . Nhận xét tầm thường khác thường xuyên được sử dụng liên quan tới hằng số vô điều kiện là mệnh đề sau đây. Mệnh đề 2.3.4. Cho {xn }∞ n=1 là dãy cơ sở vô điều kiện có hằng số vô điều kiện K. Khi đó với mỗi cách chọn các vô hướng {an }∞ n=1 sao cho chuỗi ∞ ∞ ∑ an xn hội tụ và với mọi cách chọn dãy vô hướng bị chặn {λn }n=1 , ta có: n=1 ∞ ∞ ∑ λnanxn 2K sup |λn | n n=1 ∑ anxn . n=1 (trong thực tế ta có thể lấy K thay cho 2K). Chứng minh. Giả sử các vô hướng là thực và lấy x∗ ∈ X ∗ , với x∗ = 1 ∞ sao cho ∑ λn an x∗ (xn ) = Lấy n=1 {θn }∞ n=1 ∞ ∑ λn an xn . n=1 xác định bởi θn = 1, −1, nếu an x∗ (xn ) 0 nếu an x∗ (xn ) < 0 38 ∞ ∞ thì ∑ |λn | |an x∗ (xn )| ∑ λn an xn n n=1 n=1 sup |λn | x ∗ n ∞ sup |λn | ∑ θn an x∗ (xn ) n=1 ∞ Mθ ∞ sup |λn | · K ∑ anxn n n=1 ∑ anxn . n=1 Nếu các vô hướng là phức ta nhận được kết quả đòi hỏi bằng cách xem xét ∞ riêng phần thực và phần ảo của ∑ an x∗ (xn ). n=1 Ví dụ đơn giản nhất của các cơ sở vô điều kiện là cơ sở các vectơ đơn vị trong c0 hoặc trong l p , 1 p < ∞. Một ví dụ thú vị hơn nhiều của cơ sở vô điều kiện là hệ Haar trong L p (0, 1), 1 < p < ∞. Có một phương pháp chung đơn giản để xây dựng một cơ sở vô điều kiện. Cho {xn }∞ n=1 là một dãy các véc tơ khác không trong không gian Banach X. Cho X0 là bao đầy đủ của tất cả dãy các vô hướng y = (a1 , a2 , ...) tận cùng 0, đối với chuẩn: ∞ y = sup ∑ θnanxn , θn = ±1, n = 1, 2, ... . n=1 Các véc tơ đơn vị là cơ sở vô điều kiện của X0 với hằng số vô điều kiện là 1. ∞ Rõ ràng cơ sở này là tương đương với {xn }∞ n=1 khi và chỉ khi {xn }n=1 tự nó là dãy cơ sở vô điều kiện. Một ví dụ quan trọng và đơn giản về một cơ sở không phải là cơ sở vô điều kiện được lấy trong c. Nó bao gồm các véc tơ:   n−1 xn = 0, 0, ..., 0, 1, 1, ... , m n Chuẩn của ∑ an xn là sup n=1 n = 1, 2, 3, .... ∞ ∑ ai . Cơ sở {xn }n=1 là cơ sở đơn điệu và 1 n m i=1 n chuẩn hóa của c nhưng không phải cơ sở vô điều kiện vì ∑ xi = n trong i=1 39 n khi i ∑ (−1) xi = 1 với mọi n. Từ đó, nếu ta áp dụng phương pháp chung i=1 xây dựng cơ sở vô điều kiện được mô tả trước đây với dãy {xn }∞ n=1 trong c ta nhận được X0 như không gian l1 . Ngoài ra, ta sẽ thấy hệ Schauder trong C (0, 1) và cơ sở Haar của L1 (0, 1) không là cơ sở vô điều kiện. Các toán tử tuyến tính bị chặn mà ánh xạ một không gian dãy này vào không gian dãy khác có biểu diễn tự nhiên bởi một ma trận vô hạn. Nếu {xi }∞ i=1 là một cơ sở của X và y j ∞ j=1 là một cơ sở của Y , ma trận A = αi, j tương ứng với một toán tử tuyến tính bị chặn T : X → Y được xác ∞ định bởi quan hệ: T xi = ∑ αi, j y j . Biểu diễn này là đặc biệt hữu ích trong j=1 trường hợp cả hai cơ sở là vô điều kiện. Ta sẽ chứng minh tại đây một thực tế đơn giản liên quan tới ma trận biểu diễn sẽ tiếp tục được áp dụng. Mệnh đề 2.3.5. Cho ma trận A = αi, j biểu diễn một toán tử tuyến tính bị chặn T từ không gian Banach X vào không gian Banach Y với các cơ sở vô điều kiện {xi }∞ i=1 và y j ∞ j=1 tương ứng. Khi đó, ma trận đường chéo của A (tức là ma trận δ ji αi, j ) cũng biểu diễn một toán tử tuyến tính bị chặn D từ X vào Y . Nếu hằng số vô điều kiện của {xi }∞ i=1 và y j thì D ∞ j=1 là 1 T . Chứng minh. Rõ ràng đủ để chứng minh chỉ phần thứ hai của phát biểu. Giả sử hằng số vô điều kiện là 1. Lưu ý rằng các ma trận:   −α1,1 −α1,2 −α1,3 . . .    α α2,2 α2,3 . . .   2,1  A1 =    α3,1  α α . . . 3,2 3,3   .. .. .. . . . . . . 40  −α1,1 α1,2 α1,3   −α 2,1 α2,2 α2,3  A2 =   −α3,1 α3,2 α3,3  .. .. .. . . . ...   ...    ...   ... biểu diễn cho các toán tử có cùng chuẩn với T . Do đó, ma trận (A1 + A2 ) /2 là:  −α1,1    A3 =    0  α2,2 α2,3 . . .    α3,2 α3,3 . . .   ... ... ... 0 0 ... biểu diễn cho toán tử có chuẩn ... 0  T . Áp dụng phương pháp tương tự với ma trận này cho hàng 2 và cột 2 ta có:  −α1,1 0 0 −α2,2 0 0 0 0 ... ...     A4 =     0 0 ...   ...    α3,3 α3,4 . . .   α4,3 α4,4 . . .   ... ... ... 0 0 cũng biểu diễn toán tử có chuẩn ≤ T . Tiếp tục quy nạp, ta thu được kết quả đòi hỏi. Chú ý 1. Phương pháp như vậy trong chứng minh cho thấy Mệnh đề 2.3.5 cũng đúng với ma trận "đường chéo khối". Đặc biệt hơn, nếu {mk }∞ k=1 và {nk }∞ k=1 là dãy tăng của các số nguyên và di, j = αi, j , 0, với mk i < mk+1 , nk còn lại. 41 j < nk+1 , k = 1, 2, ... thì di, j biểu diễn một toán tử tuyến tính bị chặn (mà chuẩn của nó không vượt quá chuẩn của T nếu hằng số vô điều kiện là 1). 2. Một biến đổi của Mệnh đề 2.3.5 đúng ngay cả khi chỉ có một không gian có cơ sở vô điều kiện cũng sẽ được sử dụng như trên. Cho Z là không ∞ gian Banach với cơ sở {zn }∞ n=1 vô điều kiện và cho {yn }n=1 là dãy các véc tơ khác không trong Z. Cho V là không gian đầy đủ của tất cả các dãy vô hướng hữu hạn υ = (a1 , a2 , ...), tận cùng 0, được trang bị chuẩn: ∞ |||υ||| = sup ∑ anθnyn , θn = ±1, n = 1, 2, ... . n=1 ∞ Đặt yi = ∑ αi, j z j và nhận xét rằng toán tử T : V −→ Z xác định bởi T υ = j=1 ∞ ∑ an yn có chuẩn 1. Vì các vectơ đơn vị là cơ sở vô điều kiện của V , n=1 từ Mệnh đề 2.3.5 suy ra rằng ma trận đường chéo αi, j ∞ i, j=1 xác định một toán tử bị chặn từ V vào Z. Đặc biệt hơn, với mỗi dãy vô hướng {an }∞ n=1 , ta có: ∞ ∞ ∑ anαn,nzn n=1 ở đó K là hằng số vô điều kiện của K sup ∑ anθnyn , θn =±1 n=1 {zn }∞ n=1 . Với không gian Banach có cơ sở vô điều kiện, có hai định lý cấu trúc cơ bản được phát biểu bởi R.C.James. Định lý 2.3.2. Cho X là không gian Banach với cơ sở vô điều kiện {xn }∞ n=1 . Khi đó {xn }∞ n=1 là co lại khi và chỉ khi X không có một không gian con nào đẳng cấu với l1 . Chứng minh. Nếu l1 là đẳng cấu với một không gian con của X thì X ∗ là không tách được và như vậy không có cơ sở nào của X có thể co lại. ∗ ∗ ∗ Ngược lại, nếu {xn }∞ n=1 là không co lại thì tồn tại x ∈ X , với x = 1, một số ε > 0 và một cơ sở khối chuẩn hóa u j 42 ∞ j=1 của {xn }∞ n=1 sao cho x∗ u j ε với mọi j. Do đó, với mỗi cách chọn dãy số dương a j m x ∑ a ju j ∗ m m ∑ a ju j ε j=1 j=1 Suy ra, với mỗi cách chọn các vô hướng ở đó K là hằng số vô điều kiện của m , j=1 ∑ a j. j=1 {xn }∞ n=1 , m m m a j j=1 , ε ∑ a j /K, ∑ a ju j j=1 j=1 dãy ∞ u j j=1 là tương đương với cơ sở vectơ đơn vị của l1 . Định lý 2.3.3. Cho X là không gian Banach với cơ sở vô điều kiện {xn }∞ n=1 . Thì ba mệnh đề sau là tương đương: (i) {xn }∞ n=1 là hoàn toàn bị chặn. ∗ (ii) X là đầy đủ dãy yếu (tức là nếu {yi }∞ i=1 ⊂ X sao cho lim x (yi ) tồn tại với mọi x∗ ∈ X∗ thì có một y ∈ X sao cho i ∗ ∗ x (y) = lim x (yi ) , ∀x∗ i ∈ X ∗ ). (iii) X không có một không gian con nào đẳng cấu với c0 . Chứng minh. Giả sử hằng số vô điều kiện của {xn }∞ n=1 là 1. Vì c0 không là dãy đầy đủ yếu nên dễ dàng thấy (ii) ⇒ (iii). Ta sẽ chứng minh (iii) ⇒ (i). Giả sử rằng cơ sở {xn }∞ n=1 là không hoàn toàn bị chặn. Thì tồn tại các n vô hướng {an }∞ n=1 sao cho ∞ 1, ∀n, nhưng ∑ an xn không hội tụ. ∑ ai xi i=1 n=1 Suy ra rằng tồn tại ε > 0 và dãy các số nguyên p1 < q1 < p2 < q2 · · · qj ε, ∀ j. Từ Mệnh đề 2.3.4 suy ra với sao cho nếu u j = ∑ ai xi thì u j mỗi cách chọn i=p j m λ j j=1 , ta có: m m 2 sup λ j ∑ λ ju j j j=1 ∑ uj ∑ λ ju j j=1 j j=1 m Mặt khác, 2 sup λ j . ε sup λ j và do đó u j j sở véc tơ đơn vị của c0 . Để chứng minh (i) ⇒ (ii) ta cần bổ đề sau. 43 ∞ j=1 là tương đương với cơ Bổ đề 2.3.2. Cho {xn }∞ n=1 là cơ sở vô điều kiện của không gian Banach X ∞ với các phiếm hàm song trực giao {xn∗ }∞ n=1 . Cho {yi }i=1 là một dãy bị chặn trong X sao cho lim x∗ (yi ) tồn tại với mọi x∗ ∈ X ∗ , và lim xn∗ (yi ) = 0 với mọi n, thì i ∗ lim x (yi ) = 0, ∀x∗ i i ∈ X ∗. Chứng minh. Giả sử, với x∗ ∈ X ∗ và ε > 0, x∗ (yi ) ε, ∀i. ∞ Vì lim xn∗ (yi ) = 0, với mọi n, tồn tại một dãy con {yik }∞ k=1 của {yi }i=1 i ∞ sao cho yik − uk < 2−k , với {uk }∞ k=1 là cơ sở khối của {xn }n=1 . Vì x∗ (uk ) > ε 2, với k đủ lớn, chứng minh của Định lý 2.3.2 chỉ ra rằng ∞ {uk }∞ k=1 và từ đó {yik }k=1 là tương đương với cơ sở véc tơ đơn vị của l1 . Như vậy, tồn tại phần tử y∗ ∈ X ∗ sao cho y∗ (yik ) = (−1)k , ∀k. Điều này mâu thuẫn với giả thiết lim y∗ (yi ) tồn tại. i Bây giờ ta chứng minh (i) ⇒ (ii) trong Định lý 2.3.3. ∗ ∗ ∗ Giả sử {xn }∞ n=1 là hoàn toàn bị chặn và lim x (yi ) tồn tại với mọi x ∈ X . i Đặt an = lim xn∗ (yi ) , n = 1, 2, .... Với mỗi số nguyên m i m ∑ a n xn = lim Pm yi i n=1 sup yi . i ∞ Do đó, chuỗi ∑ an xn hội tụ đến phần tử y ∈ X. Bằng cách áp dụng Bổ đề n=1 ω → y. 2.3.2 cho {yi − y}∞ i=1 ta được yi − Định lý sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3 và các kết quả của Mệnh đề 2.2.3, Định lý 2.2.1 ở mục 2. Định lý 2.3.4. (a) Một không gian Banach X có cơ sở vô điều kiện mà không có không gian con nào đẳng cấu với c0 hoặc l1 phải là phản xạ. Đặc biệt, nếu X có cơ sở vô điều kiện và X ∗∗ tách được thì X là phản xạ. (b) Một không gian Banach đầy đủ dãy yếu với cơ sở vô điều kiện là đẳng cấu với một không gian liên hợp. 44 (c) Nếu X có một cơ sở vô điều kiện và X ∗ là tách được thì X ∗ có một cơ sở vô điều kiện. (c) ở trên và Định lý 2.2.2 là đáng lưu ý sự tồn tại của cơ sở vô điều kiện trong X ∗ không chỉ đơn giản là X có cơ sở vô điều kiện. Ví dụ như, lấy K là tập các số thứ tự ω ω với thứ tự topo thông thường của chúng, ta sẽ thấy rằng C (K) không có cơ sở vô điều kiện. Mặt khác, C(K)∗ mà đẳng cự với l1 thì có cơ sở vô điều kiện. Các kết quả trước đã được tổng quát hóa bởi Bessaga và Pelczynski như sau: Định lý 2.3.5. Cho Y là không gian con đóng của không gian Banach X với cơ sở vô điều kiện. Khi đó: (a) Y là đầy đủ dãy yếu khi và chỉ khi Y không chứa không gian con nào đẳng cấu với c0 . (b) Mỗi tập trong Y có chuẩn bị chặn là compact có điều kiện yếu (tức là mỗi dãy bị chặn trong Y chứa một dãy con mà là dãy Cauchy theo nghĩa yếu) khi và chỉ khi Y không chứa không gian con nào đẳng cấu với l1 . (c) Y là phản xạ khi và chỉ khi Y không chứa không gian con nào đẳng cấu với c0 hoặc l1 . 2.4. Các ví dụ của không gian không có cơ sở vô điều kiện Mệnh đề 2.4.1. Không gian L1 (0, 1) là không đẳng cấu với một không gian con nào của không gian có cơ sở vô điều kiện. Chứng minh. Lấy {rn (t)}∞ n=1 là các hàm Rademacher trên [0, 1] xác định bởi rn (t) = sign sin 2n πt, thì với mỗi x ∈ L1 (0, 1), ta có: 45 ω x (t) rn (t) − →0; x (t) + x (t) rn (t) → x (t) (Để kiểm tra, phát biểu thứ 2 nhận xét rằng nếu x là hàm đặc trưng trên đoạn k2−n , (k + 1) 2−n thì x + rm x = x với m > n). Bây giờ giả sử L1 (0, 1) ⊂ Y và Y có cơ sở vô điều kiện {yi }∞ i=1 . Chọn bất kì x1 ∈ L1 (0, 1) với x1 = 1. Từ nhận xét ở trên ta có thể xác định quy nạp các véc tơ {xn }∞ n=2 trong L1 (0, 1) dạng: x2 = x1 · rk1 , n−1 x3 = (x1 + x2 ) · rk2 , · · · , xn = ∑ x j · rkn−1 , · · · j=1 sao cho: 1 2 xn = x1 + x2 + ... + xn−1 2, ∀n và xn − un 2−n ∞ ở đó {un }∞ n=1 là cơ sở khối thích hợp của {yi }i=1 . ∞ Như vậy, {un }∞ n=1 và do đó {xn }n=1 là tương đương với cơ sở véc tơ đơn vị của c0 . Điều này là không thể vì L1 (0, 1) là dãy đầy đủ yếu. Vì mỗi không gian Banach tách được là đẳng cự với một không gian con của C (0, 1), từ Mệnh đề 2.4.1 suy ra rằng, C (0, 1) cũng không thể nhúng được trong một không gian có cơ sở vô điều kiện. Bây giờ ta sẽ đến một ví dụ khác của không gian Banach tách được mà không thể nhúng được trong một không gian với cơ sở vô điều kiện. Ví dụ này được đưa ra bởi R.C.James có một vai trò quan trọng trong sự phát triển của định lý về không gian Banach. Ví dụ 2.4.1. Không gian Banach J có một cơ sở Schauder mà ảnh chính tắc có số đối chiều 1 trong đối ngẫu thứ hai J ∗∗ và J là đẳng cự với J ∗∗ . Dù J là đẳng cự với J ∗∗ , không gian J là không phản xạ. Vì J ∗∗ là tách được, nó không thể có một không gian con nào đẳng cấu với c0 hoặc l1 . Từ Định lý 2.3.5, J là không đẳng cấu với không gian con nào của một không 46 gian có cơ sở vô điều kiện. Không gian J gồm các dãy vô hướng x = (a1 , a2 , ..., an , ...) mà: 1 ||x|| = sup √ [(a p1 − a p2 )2 + (a p2 − a p3 )2 + (i) 2 ... + (a pm−1 − a pm )2 + (a pm − a p1 )2 ]1/2 < ∞ và (ii) lim an = 0. n Cận trên đúng trong (i) là lấy được với mọi cách chọn m và p1 < p2 < ... < pm . Chú ý rằng: |||x||| = sup (a p1 − a p2 )2 + (a p2 − a p3 )2 + ... + a pm−1 − a pm 2 1/2 là chuẩn tương đương trên J (dạng đặc biệt của · chỉ quan trọng khi chứng minh rằng J ∗∗ là đẳng cự và không chỉ đơn thuần đẳng cấu với J). Dễ dàng kiểm tra rằng J là một không gian Banach và các véc tơ đơn vị {en }∞ n=1 là một cơ sở đơn điệu đối với cả hai chuẩn. Các véc tơ {e1 + e2 + ... + en }∞ n=1 đều có chuẩn 1 nhưng chúng không có điểm giới hạn yếu trong J; vì vậy, J là không phản xạ. Cơ sở véc tơ đơn vị là cơ sở co lại của J. Thật vậy, giả sử với x∗ ∈ J ∗ , ∞ với ε > 0 nào đó và một cơ sở khối chuẩn hóa {uk }∞ k=1 của {en }n=1 ta có x∗ (uk ) ∞ ε, ∀k. Dễ dàng kiểm tra (sử dụng |||·|||) rằng ∑ uk /k hội tụ trong k=1 ∞ J. Vì ∑ x∗ (uk ) /k không hội tụ, ta dẫn đến mâu thuẫn. Từ Mệnh đề 2.2.2, k=1 n không gian J ∗∗ gồm tất cả các dãy (a1 , a2 , ..., an , ...) mà sup ∑ ai ei < ∞, n i=1 tức là tất cả các dãy trong (i) ở định nghĩa không gian J là thỏa mãn. Vì (i) kéo theo sự tồn tại của lim an ta kết luận rằng J ∗∗ bao đóng tuyến tính của n J (hoặc, đặc biệt hơn, của ảnh chính tắc của J trong J ∗∗ ) và phiếm hàm x0∗ ∗ xác định bởi x0∗ ∗ (e∗n ) = 1, với mọi n (tức là phiếm hàm mà tương ứng với dãy (1, 1, 1, ...)), thì ánh xạ U : J ∗∗ → J xác định bởi: Ux∗∗ = (−λ , x∗∗ (e∗1 ) − λ , x∗∗ (e∗2 ) − λ , ...) , 47 ở đó λ = lim x∗∗ (e∗n ) là ánh xạ đẳng cự từ J ∗∗ lên J. n n (Nhớ lại rằng chuẩn trong J ∗∗ cho bởi x∗∗ = sup ∑ x∗∗ (e∗i ) ei .) Lưu ý rằng cơ sở {e∗n }∞ n=1 của J ∗ n ∞ có tính chất ∑ n=1 i=1 cn e∗n ∞ = ∑ cn với tất n=1 cả cn đều không âm. Vì J ∗ không chứa không gian con nào đẳng cấu với l1 , không dãy con nào của {e∗n }∞ n=1 có thể vô điều kiện. Định lý 2.4.1. Cho X là không gian Banach tách được. Khi đó tồn tại một không gian Banach tách được Z sao cho Z ∗∗ có một cơ sở hoàn toàn bị chặn và Z ∗∗ /Z đẳng cấu với X. Lấy {xn }∞ n=1 là một dãy mà trù mật trên biên của hình cầu đơn vị của X. Không gian Z gồm tất cả các dãy vô hướng z = (a1 , a2 , ...) mà  1/2 (i) m pj z = sup  ∑ ∑ 2 ai xi j=1 i=p j−1 +1  ε > 0 và lấy M = {mn }∞ n=1 là dãy tăng các số nguyên từ m1 = 1 sao cho: ∞ ∑ ∑ inf i=1 j=i mi mj mj mi ε 2 Ta sẽ xây dựng một tập hợp ∆ của các dãy δ = {σn }∞ n=1 với σn là tập con hữu hạn của tập các số tự nhiên N có các tính chất cơ bản là: 1. Nếu δ = {σn }∞ n=1 ∈ ∆ thì, với mọi n, số nguyên lớn nhất trong σn nhỏ hơn số nguyên nhỏ nhất trong σn + 1 (tức là max σn < min σn+1 ). 50 2. Với δ = {σn }∞ n=1 ∈ ∆ lực lượng σ n của tập σn thỏa mãn 1 = σ 1 < σ 2 < σ 3 < ... và σ n ∈ M, n = 1, 2, .... 3. Nếu với một cặp của các dãy δ 1 = σ1n 1 2 ∞ n=1 và δ 2 = σ2n ∞ n=1 trong ∆, ta có σ j+1 = σ k+1 với một vài số nguyên j và k, thì cần thiết j = k và 1 2 σi = σi ,1 i k. 4. Với mỗi tập con vô hạn N1 của tập số nguyên, có δ = {σn }∞ n=1 trong ∆ sao cho σn ⊂ N1 , ∀n. Họ ∆ được xác định như sau: Chọn một ánh xạ 1-1 ψ từ tập của tất cả các tập con hữu hạn của tập số nguyên vào M mà thỏa mãn ψ (σ ) > σ , ∀σ và lấy họ ∆ gồm tất cả δ = {σn }∞ n=1 mà thỏa mãn 1 ở trên và sao cho: 1 1 σ 1 = 1, σ n+1 = ψ(σ1 ∪ σ2 ∪ ... ∪ σn , n = 1, 2, ... Với định nghĩa này của ∆ dễ dàng thấy rằng 1, 2 và 4 được thỏa mãn. Ta thử lại 3 cũng thỏa mãn. Ta nhận xét đầu tiên là tăng điều kiện (*) trên {mn }∞ n=1 thì vẫn đúng. Nếu: mn1 + mn2 + ... + mnk = ms1 + ms2 + ... + msn với cách chọn n1 < n2 < ... < nk và s1 < s2 < ... < sh thì k = h và ni = si , với mọi 1 i k. Bây giờ giả sử, cũng như trong 3: 1 j Từ định nghĩa của ∆ và ψ là 1-1, suy ra i=1 k 2 σ j+1 = σ k+1 . σi1 = k i=1 j 1 σi2 và do đó ∑ σ i = i=1 2 ∑ σ i với 1 ≤ i ≤ k. Từ điều này và từ thực tế ψ là 1-1 ta nhận được i=1 σi1 = σi2 , 1 i k như đòi hỏi. Bây giờ ta chuyển đến cách xây dựng không gian E của Maurey và Rosenthal. Đó là không gian đầy đủ của các dãy vô hướng x = (a1 , a2 , ...), 51 mà tận cùng 0, với quan hệ chuẩn: ∞ x = sup −1/2 ∑ ∑ ai σn i∈σn n=1 với cận trên đúng lấy được trên tất cả các dãy δ = {σn }∞ n=1 trong ∆. Dễ thấy, các vectơ đơn vị {en }∞ n=1 có dạng một cơ sở đơn điệu của E. Lấy δ = σ j ∞ c j j=1 ∞ j=1 (δ ) ∈ ∆ và đặt u j = i∈σ j là các vô hướng và lấy n là số nguyên. Bằng việc sử dụng định ∞ nghĩa của · các phần tử η k = τ kj 1 j 1/2 σ j , j = 1, 2, .... Lấy ∑ ei k và k min τk+1 j=1 ∈ ∆, 1 k n, với τ kj = σ j nếu > max σn , được: n ∑ k (δ ) c ju j sup ∑ cj 1 k n j=1 j=1 Từ (*) và điều kiện 3 trên ∆, bằng tính toán đơn giản, được: n (δ ) ∑ c ju j k (1 + ε) sup 1 k n j=1 j=1 (δ ) ∞ Như vậy, u j j=1 ∑ cj là tương đương với cơ sở tổng trong c. Ngược lại, từ 4, mọi dãy con của {en }∞ n=1 có một cơ sở khối mà tương đương với cơ sở tổng và như vậy, không có dãy con nào của {en }∞ n=1 có thể vô điều kiện. Ta còn thấy rằng {en }∞ n=1 hội tụ yếu tới 0. Điều này theo sau thực tế rằng, với mọi dãy tăng {nk }∞ k=1 của các số nguyên, ta có: lim en1 + en2 + ... + enk /k = 0 k→∞ Thật vậy, từ 2 và định nghĩa · , ta thu được: k en1 + en2 + ... + enk j−1 khi ∑ mη < i η=1 −1/2 ∑ αi với αi = m j j k ∑ mη . Rõ ràng, lim η=1 . i=1 k 52 ∑ αi /k = 0. i=1 KẾT LUẬN Khóa luận " Cơ sở Schauder trong không gian Banach " nghiên cứu tổng quan các vấn đề: 1. Sự tồn tại của cơ sở Schauder trong không gian Banach, một số ví dụ, tính chất của các không gian Banach có cơ sở Schauder. 2. Cơ sở Schauder và tác động tới không gian đối ngẫu, đưa ra khái niệm dãy cơ sở, cơ sở co, hoàn toàn bị chặn 3. Cơ sở vô điều kiện, định nghĩa, tiêu chuẩn kiểm tra, các tính chất. 4. Các ví dụ của không gian không có cơ sở vô điều kiện. Qua khóa luận này, bản thân tôi không chỉ được lĩnh hội thêm những tri thức mới của giải tích hàm mà còn có được những hiểu biết nhất định trong phương pháp nghiên cứu khoa học. Việc nghiên cứu sâu lý thuyết cơ sở Schauder trong không gian Banach góp phần bổ sung thêm những kết quả quan trọng vào trong lý thuyết hàm và giải tích hàm, bộ môn có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán học cơ bản và toán học ứng dụng. Do thời gian nghiên cứu có hạn và khả năng bản thân còn hạn chế nên đề tài này không tránh khỏi những sai sót nhất định. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa để tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 53 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập I, II, Nxb Giáo dục Hà Nội. [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [4] Lindenstrauss, J., Tzafriri, L.(1996), Classical Banach spaces I and II, Berlin Heidelberg-New York, Spinger-Verbg 54 [...]... xn Dãy {xn }n=1 mà là một cơ sở n=1 Schauder của bao tuyến tính đóng của nó thì được gọi là một dãy cơ sở Trong đây chúng ta sẽ không quan tâm tới bất kỳ kiểu cơ sở nào trong không gian Banach vô hạn chiều bên cạnh cơ sở Schauder Vì vậy chúng ta sẽ thường xuyên bỏ qua từ Schauder Bên cạnh cơ sở Schauder ta sẽ chỉ bắt gặp cơ sở đại số trong không gian hữu hạn chiều Điều này không gây nên bất kỳ sự nhầm... ràng, cơ sở khối u j ∞ j=1 của {xn }∞ n=1 là một dãy cơ sở mà hằng số cơ sở không vượt quá hằng số cơ sở của {xn }∞ n=1 Tính hữu dụng của khái niệm cơ sở khối dựa rất nhiều vào nhận xét đơn giản sau đây Mệnh đề 2.1.4 Cho X là một không gian Banach với cơ sở Schauder {xn }∞ n=1 Cho Y là không gian con đóng vô hạn chiều của X Khi đó tồn 19 tại không gian con Z của Y có một cơ sở tương đương với cơ sở. .. , ∀n Định lý 2.1.2 Cho X là không gian Banach vô hạn chiều với một cơ sở Schauder Khi đó có không đếm được các cơ sở chuẩn hóa không tương đương với nhau trong X Các cơ sở Schauder có các tính chất ổn định nào đó Nếu chúng ta xáo trộn mỗi phần tử của một cơ sở bởi một véctơ đủ nhỏ ta vẫn có được một cơ sở Cơ sở bị xáo trộn là tương đương với cơ sở ban đầu Kết quả đơn giản trong hướng này là mệnh đề... nghĩa 1.1.8 (Không gian liên hợp) Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K Ta gọi không gian X ∗ các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X Định lý 1.1.2 Không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là không gian Banach với chuẩn x∗ X∗ = sup | x, x∗ | x X =1 Định lý 1.1.3 Nếu không gian liên hợp X ∗ của không gian định... một cơ sở chuẩn hóa của không gian Banach X với hằng số cơ sở K Cho {yn }∞ n=1 là một dãy các véctơ trong ∞ X với ∑ xn − yn < 1 2K Khi đó, {yn }∞ n=1 là một cơ sở của X tương n=1 ∞ ∞ đương với {xn }∞ n=1 (nếu {xn }n=1 là một dãy cơ sở thì {yn }n=1 cũng sẽ là một dãy cơ sở mà tương đương với {xn }∞ n=1 ) (ii) Cho {xn }∞ n=1 là một dãy cơ sở chuẩn hóa trong một không gian Banach X với hằng số cơ sở K... đó thỏa mãn các điều kiện: 1 Dãy điểm {xn } bị chặn theo chuẩn trong không gian H 2 Dãy số xn , y (n = 1, 2, ) hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp nơi trong không gian H 11 Chương 2 Cơ sở Schauder trong không gian Banach 2.1 Sự tồn tại của cơ sở và ví dụ Định nghĩa 2.1.1 Một dãy {xn }∞ n=1 trong không gian Banach X được gọi là cơ sở Schauder của X nếu với mọi x ∈ X có duy nhất một dãy các ∞ ∞ vô... lại? 2.3 Các cơ sở vô điều kiện Sự tồn tại của cơ sở Schauder trong không gian Banach không đưa ra nhiều thông tin về cấu trúc của không gian Nếu muốn nghiên cứu chi tiết hơn về cấu trúc của một không gian Banach bằng cách sử dụng các cơ sở, thì phải xem xét các cơ sở có nhiều tính chất hơn Trong mục 2, chúng ta đã nghiên cứu hai loại cơ sở, cụ thể là cơ sở co và hoàn toàn bị chặn Chắc chắn, hữu dụng... một không gian Banach mà đối ngẫu X ∗ là tách được Khi đó có một không gian Banach Y với một cơ sở co lại mà có X như một không gian thương Đặc biệt, X ∗ là đẳng cấu với một không gian con của không gian có cơ sở hoàn toàn bị chặn, tức là Y ∗ Chứng minh định lý này là khá dài Vì định lý sẽ không được sử dụng trong các phần tiếp theo nên chúng ta bỏ qua chứng minh của nó Lưu ý rằng mỗi không gian Banach. .. thì không gian X là tách được Định nghĩa 1.1.9 Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X, kí hiệu X ∗∗ Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa không gian định chuẩn X và không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của không gian X Định lý 1.1.4 Tồn tại một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của không. .. với cơ sở khối của {xn }∞ n=1 Mệnh đề 2.1.4 cho phép chúng ta cung cấp một sự thay thế chứng minh của Định lý 2.1.1 Nó rõ ràng là đủ để chứng minh Định lý 2.1.1 đối với không gian Banach tách được X Mỗi không gian như vậy là đẳng cự với một không gian con của C (0, 1) Vì thế, từ Mệnh đề 2.1.4, X có một không gian con với một cơ sở tương đương với cơ sở khối của Hệ Schauder trong C (0, 1) 2.2 Cơ sở Schauder ... toán 2.2.2 Cho X không gian Banach với đối ngẫu tách Liệu X có đẳng cấu với không gian không gian mà có sở co lại? 2.3 Các sở vô điều kiện Sự tồn sở Schauder không gian Banach không đưa nhiều... X không gian Banach vô hạn chiều với sở Schauder Khi có không đếm sở chuẩn hóa không tương đương với X Các sở Schauder có tính chất ổn định Nếu xáo trộn phần tử sở véctơ đủ nhỏ ta có sở Cơ sở. .. }n=1 mà sở n=1 Schauder bao tuyến tính đóng gọi dãy sở Trong không quan tâm tới kiểu sở không gian Banach vô hạn chiều bên cạnh sở Schauder Vì thường xuyên bỏ qua từ Schauder Bên cạnh sở Schauder