ĐAO HUY BÍCH PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT ■ SỐ ỨNG DỤNG ■ TRONG C ơ HỌC, VẬT LỶ ■ J « NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI T * • ? • 1V L ời nói cl a u Trong toán học., vật lý học và nói riêng trong cơ học, ta thường gặp các loại đại lượng: có loại chỉ quan hệ với giá trị bằng số (như nhiệt độ, khối lượng, tỉ khối, năng lượng v.v...); có loại ngoài giá trị bằng số cần phải kể đến hướng của nó trong không gian (như chuyển dịch của chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực v.v...), có loại đặc trưng cho một trạng thái (như biến dạng, ứng suất của môi trirờng liên tục, năng xung lượng của trường điện từ, độ cong tại mỗi điểm của không gian phi Euclide v.v...) Các đại lượng thuộc loại thứ nhất được đặc trưng bời các vô hướng, loại thứ hai bời các vector và tổng quát hơn cả loại thứ ba được dặc trưng bồi các tenxơ. Dựa vào khái niệm tenxơ, ta có thể bao quát mọi đặc trưng của tất cả các đại lượng, xem c.hiing như những tenxơ hạng không (vô hướng), hạng nhất (vectơ) và hạng tùy ý. Tenxơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hộ tọa độ dùng để mô tả chúng, nghĩa là trong mồi hệ tọa độ có thể cho tenxơ bằng một hệ thống dại lượng nào dấy, gọi là các thành phần của tenxơ. Tenxơ là bất biến, CÒI1 các thành phần của nó thay đổi đối với cách chọn hệ tọa độ. Nếu các thành phần của tenxơ dà cho trong một hệ tọa độ, thì ta có thể xác định các thành phần của nó trong bất kỳ một hệ tọa độ nào khác, vì trong định nghĩa tenxơ đả bao hàm quy luật biến đổi các thành phần Iiày. Các quy luật vật lý và cơ học được biểu diên dưới dạng các hệ thức ten-xơ, viết các phương trình dưới dạng tenxơ cho phép thiết lập các quy luật bất biến, không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ. Do tính chất tuyến tính và đồng nhất của các phép biến đổi tenxơ, nẽn các phương trình tenxa đả đúng trong hệ tọa độ này, củng đúng trong hệ tọa dộ khác. Tính bất biến của các hệ thức tenxơ đối với phép biến dổi hệ tọa độ là một trong Iihửng nguyên Iihân cơ bản để sử dụng có hiệu quả phép tính tenxơ trong cơ học và vật lý. Cuốn sách này nhằm giới thiệu phép tính tenxơ và một số ứng dụng của nỏ trong cơ học và vật lý, giúp các bạn đọc làm quen với phép tính này dưới iv LỜI NÓI t)ẰU dạng đơn giản, chỉ cần dùng những kiến thức dã học trong đại số tuyến tính và giải tích toán học, đồng thời nêu ứng dụng cùa I1Ó trong viộc xây dựng các hệ thức cơ sờ của cơ học các môi trường liên tục, cơ học cổ điển (Newton), điện học và lý thuyết tương đối. Cuốn sách gồm hai phần: phần I, ngoài việc trình bày ngắn gọn phép tính tenxơ, chủ yếu là trong không gian Euclide và không gian Riemann (các khái niệm cơ bản về tenxơ, phép tính đại sổ và phép tính vi phân dối với tenxơ), còn trình bày riêng tenxơ trong hệ tọa độ Descart.es (không gian Euclide t hông thường), giúp bạn đọc không cần đi sâu vào phép tính tonxơ cùng có được khái niệm đơn giản và ứng dụng tenxơ trong các lĩnh vực cơ học thông thường. Phần II, trình bày một số ứng dụng phép tính tenxơ dể thiết lập các hệ thức cơ sờ của cơ học ưiôi trường liên tục (thủy khí động lực học, đàn hồi và dèo), cơ học cổ điển (Newton), diện học và lý thuyết tương đối. Cuối mỗi chương thuộc phần I có một lưạng bài tập thích đáng để người đọc tự kiềm tra kiến thức của mình. Đáp án hoặc chỉ dẫn giải các bài tập được trình bày ờ phần cuối sách. Các công thức, thí dụ, bài tập ờ các chương được đánh số bằng hai chừ số, số đầu chỉ chương, số sau chi thử tự. Kết thúc mổi thí dụ được ghi nhận bằng dấu • Sách có thể dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên các trường dại học, học viên cao học, nghiên cứu sinh và tài liệu tham khảo cho các cán bộ khoa học, kỹ thuật liên quan đến cơ học. Sách được hoàn thành nhờ sự quan tâm và tạo điều kiện của lánh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, lảnh dạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, lãnh đạo Đại học Quốc gia Hà Nội, dã dược Hội dồng thẩm định sách chuyên khảo cấp Đại học Quốc gia Hà Nội thông qua và Đại học Quốc gia Hà Nội cho phép ấn hành, tác già bày tỏ lời cảm ơn chân thành. Mong nhận được đóng góp ý kiến của bạn đọc về nội dung và cách trình bày cuốn sách. Tác giả M ụ• c l ụ• c Trang Lừi nói dầu i P h ầ n I. P h é p t í n h t e n x ơ C hương I. M ôt số khái niệm trong dai số tu y ến tín h 1 3 1.1. Khái niệm về tập hợp, nhóm, vành, trường 3 1.2. Khái niệm về không gian tuyến tính 5 1.3. Hộ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 7 1.4. Hệ vectơ cơ sờ (rêpe). Không gian apphin. Tọa độ apphin 8 1.5. Không gian Euclide và khái niệm về không gian inêtric 9 1.6. Toán tử, ma trận, định thức 17 1.7. Hệ phương trình tuyến tính 32 1.8. Dạng toàn phương 37 1.9. Bài tập chương I 42 C hương II. T en x ơ trong hê toa đô D escartes vu ôn g góc 49 2.1. Khái niệm về hệ thống. Quy tắc chì số 49 2.2. Tenxơ 51 2.3. Các phép tính dại số đối với tenxơ 59 2.4. Tenxơ phản đối xứng và tenxơ đổi xửng 65 2.5. Trường tenxơ. Vi phân trường tenxơ 76 2.6. Bài tập chương II 90 V MỤC LUC Vì C h ư ơ n g III. T en xơ trong không gian apphin 97 3.1. Phép biến đổi hệ tọa độ (hệ vectơ cơ sờ) apphin. Khái niệm vò phản biến và hiệp biến 97 3.2. Tenxơ 105 3.3. Các phép tính đối với tenxơ 111 3.4. Tenxơ đối xứng và tenxa phản đổi xứng. Tích ngoài của các vectơ 115 3.5. Giả tenxơ và mật độ tenxơ 120 3.6. Bài tập chương III 126 C hư ơ ng IV . T enxơ trong không gian E uclide 129 4.1. Định nghĩa tích vô hướng, tenxa mêtric. Hệ vector cơ sờ trực chuẩn 129 4.2. Không gian Euclide thực sự. Không gian giả Eucliđe. Không gian đối ngẫu của không gian Eucliđe 137 4.3. Đại số tenxơ trong không gian Euclide 142 4.4. Dạng chính tắc của tenxơ đối xứng hạng hai 145 4.5. Thể tích trong không gian Euclide thực. Các giả tenxơ quan trọng của không gian Euclide 147 4.6. Các hệ tọa độ cong trong không gian apphin và không gian Euclide. Định nghĩa tenxa trong các hệ tọa độ đó. Tenxơ mêtric trong hệ tọa độ cong của không gian Euclide 149 4.7. Dịch chuyển song song. Hệ số liên thông 165 4.8. Vi phản tuyệt đối và đạo hàm hiệp biến 174 4.9. Các toán tir vi phân bất biến: grad, div, rot. Công thức Stokes, công thức Gauss-Ostrogradsky 4.10. Bài tập chương IV 185 190 C hư ơng V . K hông gian apphin liên thôn g Ln và không gian R ieinann vn 5.1. Đa tạp ca bản. Không gian apphin tiếp tuyến 193 193 vii PHÉP TÍNH TEN X ơ 5.2. Không gian apphin liên thông L n. Không gian liên thông không xoắn L„ 198 5.3. Không gian Riemann v n. Tcnxơ mẽtric, hộ số liôn thông trong không gian Riemann 201 5.4. Không gian Euclide là trường hợp riêng của không gian Riemann 208 5.5. Giải tích tenxơ trong không gian liên thông L n và không gian Riemann Vn 211 5.6. Đường trong không gian Riemann. Đường trắc địa trong không gian L n và Vn 216 5.7. Độ cong trong không gian Ln và v n. Tenxơ độ cong Riemann Christoffel. Tenxơ Ricci - Einstein. Đồng nhất thức Bianchi 5.8. Bài tập chương V 227 237 P h ầ n II. M ô t số ứ n g d u n g p h é p t í n h t e n x ơ t r o n g C ơ h o c v à V â t lý C hư ơ ng V I. C ư hoc các m ôi trư ờ n g liên tụ c 241 243 A - ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG L ự c HỌC CÁC MÒI TRƯỜNG LIÊN TỤC 6.1. Nghiên cứu chuyển động theo Lagrange và Euler 244 6.2. Tenxơ biến dạng. Tenxơ tốc độ biến ciạng 254 6.3. Tenxor ứng suất 266 6.4. Các định luật cơ bần của cơ học môi tnrờng liên tục 272 B - LÝ THUYẾT ĐÀN HÒI TUYẾN TÍNH 6.5. Định luật Hooke mờ rộng 286 G.6. Cách đặt bài toán của lý thuyết đàn hồi 290 6.7. Cách đặt bài toán phằng của lý thuyết đàn hồi 293 6.8. Nhiệt đàn hồi tuyến tính 296 viii MỤ C’ LỤC c - c ơ HỌC CHẤT LÒNG 6.9. Phương trình xác định của chất lỏng nhớt. Chất lỏng nhớt tuyến tính Newton 299 6.10. Cách đặt bài toán của chất lỏng Newton (nhớt tuyến tính) 301 6.11. Chất lòng và chất khi lý tường 305 6.12. Khái niệm về dòng chảy dừng, dòng không xoáy, dòng chảy có thế 309 D - LÝ THUYẾT DẺO 6.13. Những hiệu ứng xuất hiện khi vật rắn biến dạng không mô tà được trong phạm vi lý thuyết đàn hồi 310 6.14. Nhừng định luật biến dạng dỏo đơn giản 313 6.15. Một vài nét về lý thuyết dẻo hiện nay 321 6.16. Cách đặt bài toán trong lý thuyết dèo 331 C h ư ơ n g V II. D ông lire hoc cổ điển (N ew to n ) 333 7.1. Động lực học điểm 333 7.2. Động lực học của hệ chất điểm với các liên kết hôlônôm vô thời 348 7.3. Động lực học của vật rắn tuyệt đối C h ư ơ n g V III. Đ iên hoc 363 371 8.1. Trường tĩnh diện 371 8.2. Dòng điện không dổi 376 8.3. Từ trường 379 8.4. TVường điện từ 384 C h ư ơ n g IX. Lý th u y ết tư ơ n g đối hep 393 9.1. Những nguyên lý vật lý cơ bản ¿93 9.2. Động học tương đối ¿96 9.3. Động lực học tương dối 408 9.4. Tenxơ năng - xung lượng của dòng khối lưạng 414 PHÉP TÍNH TENXO Chương X. Lý th u y ế t trư ờng ix 421 10.1. Hạt tích điện trong trường điện từ. Tenxơ trường điện từ 421 10.2. Thế 4 chiều. Vectơ mật độ dòng 4 chiều 426 .0.3. Dạng tenxơ của phương trình Maxwell 429 10.4. Tenxơ năng xung lượng của trường điện từ 434 10.5. Trường hấp dẫn. Nguyên lý tương dương 438 10.6. Hình học Riemann của không thời gian cong 4 chiều trong lý thuyết tương đối 440 10.7. Chuyển động của hạt trong trọng trường 444 10.8. Tenxơ năng - xung lượng trong lý thuyết tương đối rộng 446 10.9. Phương trình Einstein của trường hấp dần 447 Đáp án và chỉ dẫn 459 Tài liệu tham khảo 491 Bảng chỉ dẫn 493 Phần I P h é p tín h te n x ơ 1 CHƯƠNG 1 Một số khái niệm trong dai số tuyến tính Trong chương này nhắc lại một cách sơ lược những khái niệm chính và một số định lý quan trọng (không chứng minh) của đại số tuyến tính, được sử dụng trong cuốn sách. 1.1 1 .1.1 K h á i n iê m về t ậ p h ợ p , n h ó m , v à n h , t r ư ờ n g T âp h ap Hệ thống các đối tuợng, liên kết với nhau bằng dấu hiệu chung gọi là tập hựp, bản thân những đối tượng đó là phần từ cùa tập hợp. Người ta biều diễn tập hợp bằng cách cho đầy đủ các phần tứ của nó. Số phần tứ này hữu han thì tập hợp là hữu /lạn, ngược lại ta có ỉập hợp vô hạn. Đối với tập hợp vô hạnì thường người ta chỉ ra các tính chất đặc trưng của nó. Tập hợp trống là tập hợp không chứa một phần tử nào cà. Phần tử X thuộc tập hợp A có thể ký hiệu một cách đơn giản X € A. Trên tập hợp ta thực hiện các phép toán đại số, đó là quy luật dặt tương ứng hai phần từ nào dấy của tập hạp theo một thứ tự xác định, sẽ cho duy nhất một phần tử thứ ba cũng thuộc tập hợp đó. Ký hiệu một cách tirợng trưng phép tính tổng quát trên tập hợp bằng dấu * (có thể là tổng, tích...) a E Ay b€ A a*b = c E A . 3 4 Chương I. MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐAI s ố TUYỂN TÍNH Phép toán có tính chất giao hoán, nếu a *b = b*a và có tính kết hợp, nếu (a * b) * c = a * (b * c). Quan hệ tư ơ n g dư ơ ng của các phần từ thuộc tập hợp thể hiện như sau: với mọi a€ A, thì a /V (X' nếu a ~ 6, thì ò ~ a; nếu a ~ 6, b ~ c, thì a~ Với quan hệ tương đương là quan hệ đương là bằng nhau. c. “bằng nhau”,ta có hai phần tử tưang T h í du 1.1. Tập hợp các số thực, tập hợp các vectơ trong không gian 3 chiều, v.v... • 1 .1 .2 N hóm Nhóm N là một tập hợp với một phép tính có tính chất kết hợp (không nhất thiết giao hoán), với phép toán đó tôn tại phép to á n Iighich đào. Nhóm Abel là nhóm với phép toán có tính chất giao hoán. Chú ý rằng, không nên xem phép toán nghịch đảo là một phép toán dộc lập của nhóm, vì nó có thể xác định qua phép toán chính. Chẳng hạn nhóm với phép cộng phép toán nghịch dào là phép trừ, phần từ nghịch đảo của a là ( - a ) và tồn tại phần từ không duy nhất sao cho a 4- 0 = a; còn nhóm với phép nhân, từ phép toán nghịch đảo suy ra tôn tại phần tử dơn vị e, sao cho với mọi a € Ny thì ae = a. Do đó đối với phần tử bất kỳ a, có p h ầ n t ừ n g h ỉ c h đ ả o a ” 1 th ỏ a m ã n a a “ 1 = a “ 1« = V. T h í du 1.2. Tập hợp các số nguyên với phép cộng, tập hợp các số hữu tỷ dương với phép nhân v.v... đều lập thành nhóm. • 1 .1 .3 V à n h , tr ư ờ n g Tập hợp gọi là vành V, nếu nhu trong đó xác định hai phép toán cộng và nhãn, cả hai đều có tính chất kết hợp, và liên kết với nhau bằng quy luật phân lT ừ đây ta ký hiệu các phép toán (*) bằng các ký hiệu thòng thường: chẳng hạn phép cộng ỉà (+ ), phép nhản là (•) hoặc viết liền với phần tử được nhân, v.v... 1.2. KHÁI NIỆM VÈ KHÔNG GIAN TUYỂN TÍNH 5 bố, trong đó phép cộng có tính chất giao hoán và có phép toán nghịch đào. Vành giao hoán nếu như phép nhân có tính chất giao hoán, ngược lại là vành không giao hoán. Tính chất phán bổ thể hiện như sau, với mọi a,byc E V (a 4- b)c = ac 4- òc7 a(ò + c) = aò + ac. Trường T là vành giao hoán, trong đó tồn tại phần tử đơn vị, và mọi phần tủ khác không đều có phần tử nghịch đảo. Như vậy, đối với các phần tử của trường T phải thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Với mỏi cặp a ,6 có tương ứng phần từ a 4- b (tổng cùa a và 6), trong đỏ - tổng có tính chất giao hoán: a -f b = b 4- a, - tổng có tính chất kết hợp: a 4- (ò 4- c) = (a 4- b) + c, - có phần tử không: a + 0 = a, - có phần tử nghịch đảo - a của phần từ a: a + (—a) = 0. 2. Với mỏi cặp a,6, có tương ứng phần từ ab (tích của a và b), trong đó: - tích có tính chất giao hoán ab = bay - tích có tính chtất kết hợp a(bc) = (aò)c, - tồn tại phần tử đơn vị e sao cho ae = ea = a với mọi a, - với mọi a khác không, tồn tại phần tử nghịch đảo a“ 1, sao cho aa~l — a~ l a = e. 3. Phép cộng và phép nhân có tính chất phân bố (a + b)c = ac 4- bc. T h í du 1.3. Vành số nguyên với phép cộng và nhân. Trường số thực với phép cộng và nhân,... • 1.2 K h ái n iê m về k h ô n g gian t u y ế n tín h Ta xét tập hợp mà phần tử cùa nó là những vectơ (chẳng hạn tập hợp các vectơ trén một trục, tập hợp các vectơ trong mặt phẳng, tập hợp các vectơ trong không gian), thổa mãn nhừng điều sau đây: 1. Với cặp vecta X, y có tương ứng vectơ tổng X *f y, trong đó: 6 Chương I. MỘT s ó KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI s ố TUYỂN TÍNH - tổng giao hoán: X + y = y + X, tổng kết hợp: x + ( y + z) = ( x - f y ) f z , tồn tại vectơ 0 sao cho: X + 0 = X, với mọi vectơ X tồn tại vectơ đối —X, sao cho: X + (—x) = 0. 2. Với cặp a , X, trong đó a là số thực, còn X là vectơ, có tương ứng QX là một vectơ, trong đó phép nhân với một số có tính chất kết hợp: a(/?x) = (a/?)x, ex = X với mọi X. 3. Phép cộng và phép nhản liên hệ với nhau bằng hệ thức phản bố: a (x + y) = a x + a y , ( a + ¡ 3 ) x = Q X + /? x . Từ tính chất 1), ta thấy tập hợp các vectơ là nhóm Abel với phép cộng. Tập hợp vectơ có các tính chất ờ trôn là không gian tuyến tính trên trường số thục. Từ dây ta có thể mỏr rộng để định nghĩa không gian tuyến tính với tập hợp K và trường T tùy ý. Ta gọi tập hạp K là không gian tuyến tính trên trường 7\ nếu tồn tại phép cộng và phép nhân mọi phần tử của K với số của trường T, trong đó thỏa mản các tiên đề 1-3 nêu trên. Nếu T là trường số phức ta có không gian tuyến tính phức. Phần tiV của không gian tuyến tính bất kỳ ta cũng gọi là vectơ. T h í dụ 1.4. Tập hợp các vectơ nằm trên một đường thẳng lập thành khỏng gian tuyến tính, vì cộng các vectơ hoặc nhân các vectơ này với một số thực đều cho ta các vectơ nằm trên đường thẳng đỏ và các tiên đề 1 - 3 thỏa mãn. • T h í du 1.5. Tập hạp các vectơ nằm trên một mặt phẳng lập thành không gian tuyến tính. Tưcnig tự tập hợp các vecta không gian cũng lập thành không gian tuyến tính. • T h í dvi 1.6. Tập hợp các đa thức bậc không lớn hơn n lập thành không gian tuyến tính, vì cộng các đa thức hoặc nhân các đa thức này với một số thực đều cho ta đa thức có bậc không lớn hơn Tì và thòa mãn các tiên đề 1 - 3. • T h í du 1.7. Tập hạp các hàm liên tục trên đoạn [a, 6] lập thành không gian tuyến tính C Ịa,6]. • 1.3. 1.3 HỆ VECTƠ ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 7 H ê v e c tơ đôc lâp t u y ê n t í n h v à p h u th u ô c t u y ế n tín h Hệ vectơ gọi là độc lập tuyến tính, nếu nó hoặc chì gồm một vector khác không, hoặc là không một vector nào trong hệ có thể biểu dièn tuyến tính qua các vectơ còn lại. Hệ vectơ độc lập tuyến tính thỏa mản: Dinh lý 1.1. Hệ vectơ Xj,X'2 , . .. ,x n dôc lâp tu y ến tín h khi và chỉ khi tủ đẳng thức a\X \ + a 2x 2 H-------h a nx n = 0, suy ra mọi hệ sổ của tô hợp tuyến tính nảy bằng không. Hệ vectơ x i,X 2 ,...,X n gọi là phu thưôc tu y ến tín h , nếu có thể chọn dược các số ữ ỉ , . . . , a n> sao cho aiXỊ + «2X2 H-----+ ùfnx n =5 0, trong đó có ít nhất một otị khác không. T hí du 1.8* Vecta 0 là phụ thuộc tuyến tính, vì ta có oO = 0 với mọi a Mọi vcctơ a Ỷ 0 là độc lập tuyến tính, vì aa = 0 chỉ khi a = 0. • 0. T h í du 1.9. Hệ hai vectơ a và b đồng phương là hộ phụ thuộc tuyến tính. Quà vậy, nếu a Ỷ 0 thì b = Aa hay là Aa + ( —l)b = 0. Hai vectơ a và b không đồng phương là độc lập tuyến tính. Quả vậy, già thiết ngược lại oa + ß b = 0 với ß 0, suy ra b = - —a dần đến a và b đồng phương. • r T hí dụ 1.10. Ba vectơ a, b, c thuộc không gian ba chiều đồng phang là phụ thuộc tuyến tính, vì ta có thể biểu dien c = A a-f//b (quy tắc hình bình hành). Ba vectơ không đồng phằng luôn luôn là độc lập tuyến tính. • T h í dụ 1.11. Ba vector Xi = {1 ,3 ,0 }, X2 = {1, - 3 ,4 } , X3 = {2, —3,6} là phụ thuộc tuyến tính vì ta có Xi 4- 3X2 —2X3 = 0. • T h í dự 1.12. Năm phần từ ( “vector”) của không gian tuyến tính C[a,6] = sin2 t, (x,0 ) = | | x - 0 || = ||x|| = 7 • fc=i 1.6 T oán t ử , m a t r â n , định t h ứ c 1 .0 .1 T oán t ử Ta dà biết khái niệm về hàm: cho hai tập hợp các số thực X , Y và thiết lập quy luật cứ mổis ố X € X đặt tương ứng duy nhất mộts ố y € Y . Quy luật đó biểu thị hàm dơn trị của biến thực X cho trên tập hợp X . Bâygiờ xem X , V là những tập hợp bất kỳ. Quy luật cứ với mỗi phần từ X thuộc tập hợp không trống X đặt tương ứng duy nhất phần tử y thuộc tập không trống Y gọi là toán tủ. Ký hiệu y = Ax (1*12) và ta nói toán tử A ánh xạ X vào Y . Tập hựp X là m i ề n xác đ i n h của toán từ A. Phần từ y là ả n h của phần tử X, còn X là n g u y ê n ả n h của y. Tập hợp Ta tất cả các ảnh gọi là miền giá trị của toán tử A. Trường hợp mỗi phần tử y € Y chỉ có một nguyên ảnh, quy luật (1.12) là tương ứng một một. Toán tử còn gọi là tác dụng của ánh xạ. Toán tử A cũng có thể chỉ tác dụng trong tập X , điều đó có nghĩa là với mỏi phần từ X € X đặt tương ứng với phần tử y = A x cũng thuộc tập X . Trong tnrờng hợp này ta còn gọi là phép biến đổi Sau này ta chi quan tâm đến các toán t ử tu y ế n tín h , nó thỏa mãn tính chất sau: Cho không gian tuyến tính X , Y trên cùng trường T, xét toán từ A có miền xác định là X , còn miền ảnh là Y , T oán từ A là tu y ế n tín h, nếu A(au -f /3v) = q A u 4- jỡAv, vói mọi vectơ U, V 6 X và với mọi số a , / Î 6 T. Toán từ không là toán tử đặt tương ứng mọi vectơ khòng cùa Y : (1-13) X của X với vectơ 0 = Ox. X Toán tử dồng nhất E hay toán từ đơn vị đặt tương ứng mỗi vectơ ¿ X với chính nó X = Ex. 18 Chương I. MỘT s ố KHẢI NIỆM TRONG f)ẠI s ố TUYẾN TÍNH Toán tử IB là toán tử đối của toán tử Â, khi B x = —Ax. Mọi toán từ đều dira vectơ không về vectơ không 0 = AO. Gọi Uỉxy là tập hợp mọi toán từ tác dụng từ X vào Y , trong đó hai toán từ b ằn g nhau, nếu thỏa mản Ax = Bx với mọi X 6 X y ký hiệu là A = B. Toán tử c là tổng cùa hai toán tử A và B ánh xạ X vào y , nếu có Cx = Ax 4- Bx với mọi X (E X, ký hiệu là c = A + B. Phép cộng toán từ là phép toán đại só, nó có tính chất kết hợp, tức là ((A + B )-f C)x = (A + B)x 4- Cx = Ax -f Bx 4- Cx = Ax + (Bx 4- Cx) = Ax + (B + C)x = (A + (B + C))x. nghĩa là: (A + B) + C = A + (B + C) và có tính giao hoán: (A 4- B )x = A x + B x = B x + A x = (B 4- A )x, tức là: Â -j- IB = IB “f- A. 1.6. 19 TOÁN TỬ, MA TRẬN. ĐINH THỨC Toán tử D là tích của toán tứ A, ánh xạ X vào V, với số A trong trường T. nếu như Dx = AAx với mọi X E X, ký hiệu là E5 — AA. Bây giờ xét ba không gian tuyến tính vY, Yy z cùng trên trường T. Gọi A là toán tử ánh xạ X vào y , B là toán tử ánh xạ Y vào z . Khi đó toán tủ c ánh xạ X vào z là tích của toán tủ B vói toán tử A: Cx = ®(Ax) với mọi X 6 X, ký hiệu là c = BA. Tích của hai toán tử tuyến tính cũng là toán từ tuyến tính, nói chung tích này không giao hoán. Tích hai toán tử không phải là phéptoán đại số, vì nó không xácđịnh vớimọi cặp toán tử tùy ý, nhưng nó thỏa màn các tínhchất sau đảy: (AB)C = A(BC), A(BA) = (AB)A = B(AA), (A 4- B)C = AC 4- BC, A(B + C) = AB + AC. Toán tử A“ 1 gọi là toán tử nghịch đảo của A (với Á là toán từ không suy biến), nếu A - 1 A = A Á ' 1 = E. Tóm lại, tập hạp các toán tử không suy biến lập thành nhóm với phép nhân. 1 .6.2 M a tr â n c ủ a to á n t ử . C á c p h é p to á n đối v ớ i m a trâ n 1.6.2.1. Ma t r ậ n của t o á n t ử 1. Xét một cách tổng quát toán từ tuyến tính ánh xạ từ không gian m chiều X vào không gian TI chiều Y . Tồn tại và duy nhất toán từ tuyến tính A, ánh xạ mỏi vectơ cơ sớ efe của X vào vectơ của Y. Ae* = Chương /. MỘT s ổ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI s ó TUYẾN TÍNH 20 Toán từ tuyến tính A ánh xạ từ X vào Y hoàn toàn dược xác định bang tập hợp các ảnh rn cùa hệ vectơ cơ sờ cố định bất kỳ e i , e 2, . . . , e m của không gian X. Cố định hệ cơ sờ e i , e 2, . . . , e m của không gian X và hệ cơ sờ q i , q 2, . . . , q n của không gian V. Khi đó, ta có Aei = ữnCỊi -f Ữ2iq 2 4* • • • + ữniqn, Ae2 = ai2qi + a22q 2 + • • • + an2qn, hay là n Áej = y (1.14) ã ị j CỊ t . i=l Hệ sổ atj của các hệ thức này xác định ma trận n hàng, 771 cột (ma trận chủ nhật) trong hệ cơ sờ đã cho < Ol l Ỡ12 ... ^lm ^ 021 ¿*22 .•• m (A) = — (o -i;) \& n l ^ n rn y ữfi2 Ta còn gọi là ma trận cở n X m với các thành phần dịj. Xét vectơ X £ X và ành của nó y = Ax. Nếu m n X= j=l y = Y ^ V i qti 1=1 tính đén (1.14) và A tuyến tính, thì từ y = Ax, ta có n m 771 Y2 y.q. = a ( i= l 71 771 Xjej)J = ] T Xj Aej = j= l ;= 1 xi ai j ^ i= l j= l suy ra m w = ay xj j= 1 (* = 1 .2 ,...,n ) . (1.15) 1.6. 21 TOÁN TỬ, MA TRẬN, ĐINH THỨC 2. Trường hạp toán tử tuyến tính tác dụng trong không gian n chiều X, vứi mổi vectơ X G Ầ đặt tương ứng vectơ y = Ax cũng thuộc X . Ta còn nói là đà thực hiện một phép biến đổi tuyến tính. Trong không gian X chọn hộ cơ sử e], e 2, . . . ,e„, nên vectơ X biểu diền tuyến tính qua hệ này n X = Xiei 4- X2&2 H-----+ x ne n = ) X j e j , vrctơ y cũng nằm trong X nên n y = yiei + ĩ/2®2 + ■• • + yn^n = yte t. i=l Vì toán tử A tuyến tính, nên n n Ax = A ^ Xjej = ^ X jẤ e jy >=1 j= 1 AGj cũng nằm trong X ta cổ biểu diễn n. A Cj — ỵ ^ ữịjQịy ¿=1 do đó n n n n Ax = ^ Xj ^ ãijei = ^ ^ j=\ i *2 i=l (XijXjel. Nhưng y = Ax, tọa độ của vecttt y có dạng n n n n Y 2 yiei = 1=1 i=l j = l =* y* = Ỵ 2 aiix j' >= 1 ờ đây ta có ma trận của toán tử có số hàng và số cột bằng nhau (ma trận vuông) 'a n 021 (A) = a i2 ữ22 ữn2 ... . •• & ln ^ n Qnn/ — (aij) 22 Chương /. MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐAI s ố TUYẾN rÌNH Ma trận (A )7 nhận được từ ma trận (A) bằng cách thay hàng bằng cột và thay cột bẳng hàng gọi là ma trận chuyền vị /a n 021 (í n 1 «12 022 &n2 Ữ2n • • • ^nn/ (A)T = \ữln 1.6.2.2. Các phép toán đối với ma trận Hai ma trận (A) và (®) cùng cờ n X m với các thành phần là b ằ n g n hau , nếu atj = òjj (i = 1 ,2 ,..., n; j = 1 , 2 ,. .. , m) và ký hiệu là (A) - (®). T ổng hoặc hiệu hai ma trận (A) và (B) cùng cờ n X m có các thành phần ai;, òỹ là ma trận (C) cùng cở có các thành phần Cij, trong đó d j = a,j ± bij {i = 1 , 2 , . . . ,n; j = và ký hiệu là (1.16) (C) = (A )± (B ). T ích ma trận (A) cờ n X m có các thành phần a*j Ươi .số A là ma trận (C) cùng cơ C.Ó các thành phần C tj, trong đó Cịj — A(Iịj (1.17) và ký hiệu là (C) = A(Â). T ích ma trận (B) c ờ p X n có các thành phần btJ với ma trận (A) cờ n X ra có thành phần aXJ là ma trận (C) cờ p X 771 có các thành phần ct;, trong đó n d j = Ỵ ^ b iaaaj 5=1 {i = 1 ,2 ,... ,p; j = 1,2, ...,r n ) và ký hiệu là (C) = (B)(A). Tích hai ma trận nói chung không giao hoán. Thí du 1.26. Toán tử đồng nhất y = Ex = (\ 0 X có ma trận dưới dạng 0 ... 1 ... 0\ 0 0 \) (E) = ^0 (1.18) 1 0- 23 TOÁN TỬ. MA THẢN. ĐỊNH THỨC hay là ma trận đơn vị (E) = (Sij). T lìí dụ 1.27. Toán tử đồng dạng y = Ax =? Ax, tọa độ của y và với nhau bằng hệ thức X liên hệ Vi = và ma t rận của toán tử này có dạng (A 0 . 0 A . 0\ 0 (A) = = (Aốy). 0 0 . T hí dụ 1.28. Toán từ làm dãn (nón) hình học mặt phẳng theo hướng vectơ eọ, đặt tương ứng vectơ X = X i e i + £2e 2 với vectơ y = Xiei 4- Ax2®2> do đó y 1 = x ìt 2/2 = Ax2ì ma trận của toán tử có dạng Với A - 0 ta có phép chiếu vectơ X len trục X\ song song với vectơ e\. Có thể mờ rộng xét phép dãn (nén) theo hai hướng trực giao. • T hí dụ 1.29. Phép quay trong mặt phẳng đặt tương ứng vectơ X của mặt phang với vectơ y nhặn được bằng phép quay vector X một góc Ö. Ta. chọn cơ sờ trực chuẩn e 2. Toán từ A thực hiện phép quay một góc a thì Aei = 01 cosa + e 2 sin a, Ae 2 = —C\ sinQ -f* 02 cosa. Từ y = Ax dẫn đến y 1 = X\ cos a —X2 sin a, XJ2 = X\ sin a 4- X2 COS a. Chương /. MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐAI s ố T ư YẾN TÍNH 24 Ma trận của toán từ trong cơ sờ trực chuẩii có dạng COSQ —s in a \ sin Q cos Q (A) = T h í dụ 1.30. Phép trượt cùa mặt phẳng theo hướng vectơ Gỵ đặt tương ứng vectơ X = Xiei -f X2 e -2 với vectơ y = (xi + k x 2 )ei + X2©2'» do đó ỉ/1 = *1 + k x 2) 2/2 = X2> ma trận của phép trượt có dạng '1 k' 0 1 (A) = T h í dụ 1.31. Nhân hai ma trận 11 \ a 21 Gi2\ fb \\ d22/ \ h l b\2\ ^22/ /an& n + a i 2&2i Va 21^11 + a 22&21 Gn 6i 2 + a i 2&22\ ^21612 -f « 22^22/ T h í du 1.32. Tìm ma trận (A)n, trong đó (A) = Ta rá '»■-(;;)(: í)-(ĩ ¥)‘ già sử đúng cho (A )” ” 1 0 A Ta chứng minh đối với (A)n: (A)" = ( A f - '( A ) = ( f x n nAn-1\ lo An A" - 1 0 ■ (n — l)An~2\ / A r An 1 j lo A # 1.6. TOÁN TỬ, MA THẢN, ĐỊNH THỨC 1 .0 .3 25 Đ ịn h th ứ c Định thức cấp n của ma trận vuông (A) là tổng đại sổ n! số hạng, mỗi số hạng là tích có thề của n phần tử của ma trận lấy ờ mỗi hàng và mỗi cột. Số hạng có dấu dương nếu các chỉ số cột của những phần tử của số hạng này lập thành hoán vị chẵn với điều kiện các phần tử sắp xếp theo thứ tự tăng của hàng. Ta ký hiệu định thức của (A) là Det A = |A| = d. Định thức của một ma trận không thay đổi khi ta chuyển vị nó, tức là Det A = Det A7 . Ta gọi d i n h t h ứ c con M cấp k (hay là mino cấp k) là định thức có các phan tử là giao của k hàng và k cột nào đấy. Nếu định thức con ờ k hàng và k cột đầu tiên thì gọi là d i n h t h ứ c con c h í n h hay định thức con góc. Nếu trong d ta bò k hàng, k cột của định thức con My ta được định thức con N có n - k hàng và n - k cột và gọi là định thức con phụ. Nếu định thức con M ờ hàng và cột j i, j 2, - . •, jk, thì đại lượng k gọi là phần phụ dai số của định thức con M. Khi đó, để tìm giá trị Det A ta có Đinh lý Laplace. Trong (tịnh thríc cấp n ta lấy k hàng (cột) bất kỳ (1 ^ k. é n —1), tổng các tích mọi định thức con cấp k chứa các hàng (cột) đó với phàn phụ đại sổ của chúng cho giá trị định thức d. Chẳng hạn, có thể lấy k = 1 (lẩy hàng thử i nào đấy), ta có khai triền định thức theo hàng thứ i: Det A = di\Ai\ CL\2 -Aị2 -+-••• 4- c L ị n A i r — d, (1.19) trong đó Aij là phần phụ đại số của phần từ Oịj. Tương tự có thể khai triển định thức theo cột thứ j chẳng hạn. Đưa vào khái niệm định thức ta có thể nghiên cứu tính chất của toán tử tuyến tính. Toán tủ trong không gian tuyến tỉnh là không suy biến khi và chí khi đpih thức ma trận của nó khác không. Ta cũng còn nói, khi đó ma trận của toán tử là không suy biến. Mối ma trận không suy biến đều có duy nhất một ma trận nghich đào (A)"1 sao cho Chxiơng I. MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI s ố TUYẾN TÍNH 26 Nhờ công thức (1.19), ta có thể xác định ma trận nghịch đảo của ma trận ( A): (A n d Ả21 d A\2 d Mi d d -4 ln ^2n ^nn d d d (A )-1 = V ^n l \ d / Ma trận (A) là m a trận trư c giao, nếu ma trận chuyển vị bằng ma trận nghịch dào cúa nó: ( A f = (A )-\ Định thức của ma trận trực giao luôn luôn có giá trị ±1, khi đó: 71 71 m = l 171=1 Phép biến đổi có ma trận (À) như vậy gọi là phép biến đổi trục giao. Ma trận trực giao lập thành nhóm với phép nhân, vì (A) (B) là ma trận trực giao, hơn nửa (AB)C = A(BC) và tồn tại (A)” 1 trực giao. T h í dụ 1.33. Cho hai ma trận vuông cùng cấp (A) và (B), ký hiệu (C) là tích của hai ma trận (C) = (A)(B), hãy chỉ ra định thức của rna trận tích bằng tích các định thức của các ma trận thành phần |C| = |A||B|. Để chi ra điều này ta sừ dụng các tính chất của định thức. Không mất tính chất tổng quát ta xét tích hai ma trận cấp hai (A) = [...]... ai2ĩ 21 a ilỉ 12 + a n b ™) Va 2 lOll + ° 22" 21 » 210 12 + « 22022/ 1. 0 27 TOÁN TỬ, MA TRẬN, ĐỊNH THỨC |C| = 011 611 + 012 6 21 G 21 &II + a 22^ 21 + aii&ii a n ò ii 0 21^ 11 « 11 ^12 + « 12 ^22 « 21^ 12 + 022^22 an6i2 ÍI 21& 12 12 ^ 21 22 - h\t>n) 022 an 0 21 12 i>n a 22 h l an a2i ^12 = |Â| B| f>22 T hí dụ 1. 34 Ta có ma trận nghịch đào cùa ma trận tích 1- 1 = Quà vậy (B -1 A -1 )(AB) = B ~ 1( A '1A)B = B-1EB = B_1B = E T hí dụ 1. 35 Giải phương trình ma trận A X = B, trong đó A= 2 -3 5 6 '4 1' X Zi ■(;,*3 x2 *4, Nhân bên trái hai vế với A 1 dẫn đến X = A 1B 6 3 = 27, A - 1 Tính |A| , do đó 6 27 X3 1. .. NIỆM TRONG ĐẠI s ó TUYKN TÍNH 12 3 3 Tích vô hướng của vectơ X = Ỵ2 x *e t với vcctơ y = ]T y je* j =1 1 =1 x - y = £ x.e* •yjej = Ĩ 2 Y s x ... 011 611 + 012 6 21 G 21 &II + a 22^ 21 + aii&ii a n ũ ii 0 21^ 11 ô 11 ^12 + ô 12 ^22 ô 21^ 12 + 022^22 an6i2 I 21& 12 12 ^ 21