Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O). Điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn cố định.Bài 2. Cho tam giác ABC có sđỉnh A cố định, góc không đổi và không đổi. Tìm tập hợp điểm B. Bài 3. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên (O), một điểm B di động trên (O). Các tiêp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. Tìm quỹ tích trực tâm của tam giác ABC.Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;5), B(4;1) và C(5;2).Tìm ảnh của trực tâm H của tam giác ABC qua phép tịnh tiến vectơ .Viết phương trình đường thẳng (d) là ảnh của đường thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ Viết phương trình đường tròn (I’) là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ Bài 5. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là BAE và CÀ. Gọi I, M và J lần lượt là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh rằng: tam giác IMJ vuông cân.Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d:3x5y+3=0 và d’:3x5y+24=0. Tìm tọa độ vectơ biết và .Bài 7. Cho đoạn thẳng AB cố định và một đường tròn cố định (O). Gọi C là điểm di động trên (O). Vẽ hình bình hành ABCD.Tìm tập hợp những điểm D. Vẽ hình tập hợp này.Vẽ tam giác đều CDE. Tìm tập hợp những điểm E này và vẽ tập hợp này.Bài 8. Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD. Giả sử . Chứng minh rằng Bài 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm. Gọi A là một giao điểm. Một đường thẳng (d) di động qua A và gặp lại hai đường tròn trên tại M và N. Trên hai tia AM và AN lấy hai điểm B và C sao cho . Tìm tập hợp các điểm B và C.Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P, trên tia đối của tia CD lấy điểm Q. Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MNCD và PN+QM nhỏ nhất.Bài 11. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn(O,r) nằm về một phía của AB. Lấy M trên (O). Dựng ABMM’ là hình bình hành. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (O).Bài 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R) và AD=R. Dựng các hình bình hành DABM, DACM. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm trên đường tròn (O,R).Bài 13. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’, lấy hai điểm A và B không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song song với d và d’. Hãy tìm M trên d và M’ trên d’ sao cho tứ giác ABMM’ là hình bình hành.Bài 14. Biết rằng tồn tại một phép tịnh tiến biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) với và . Tìm m để có phép tịnh tiến đó.Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm P thay đổi trên BC vẽ . Tìm tập hợp điểm M sao cho .Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2), đường tròn (C) có tâm I(1;2), bán kính R=3 và đường tròn (C’):x2+y22x4=0. Tìm các điểm M và N lần lượt trên (C) và (C’) sao cho .Bài 17. Cho hai địa điểm A và B ở hai bên bờ của một dòng song có hai bờ song song với nhau. Hãy dựng cây cầu MN vuông góc với bờ song sao cho quãng đường từ A đến B là ngắn nhất.Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho d:3xy9=0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có giá song song hoặc trùng với trục hoành để biến d thành d’ đi qua gốc tọa độ. Viết phương trình d’.Bài 19. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác một hình chữ nhật BCDE. Các đường cao xuất phát từ D và E lần lượt vuông góc với AB và AC và cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI và BC vuông góc nhau.Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi A1, B2 và C3 lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và I1, I2, I3 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác AB1C1, BA1C1, CA1B1. Chứng minh rằng hai tam giác O1O2O3 và I1I2I3 bằng nhau.Bài 21. Cho hai đương tròn (O,R), (O’,R’) và đường thẳng . Dựng d cắt (O) tại B vàC, cắt (O’) tại B’ và C’ sao cho ( cho trước và có giá song song với ).Bài 22. Cho tam giác tam giác ABC có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE. Gọi D1, E1 lần lượt là hình chiếu của D, E lên AB, AC. Gọi M là giao điểm của DD1 và EE1.a.Chứng minh rằng: không đổi.b.Tìm tập hợp điểm M.Bài 23. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B không đổi. Điểm M chạy trên (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho .Bài 24. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi .Bài 25. Cho hình bình hành ABCD, biết . Dựng tam giác đều MBC. Tìm quỹ tích M biết:a.C chạy trên một đường thẳng cố định.b.C chạy trên một đường tròn.Bài 26. Cho hai đường tròn bằng nhau (O,R) và (O’,R) và cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d vuông góc với AB , cắt (O) tại C, D, cắt (O’) tại E, F với và cùng phương.a.Chứng minh rằng độ lớn của không phụ thuộc vào vị trí của d.b.Tính độ dài đoạn CE theo R. Bài 27. Cho đường thẳng d cố định, hai điểm B và C cố định nằm cùng phía của d và không thuộc d. Tìm quỹ tích điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành với A di động trên d.Bài 28. Cho hai đường thẳng d:x+y+6=0 và d’:x+y4=0. Biết rẳng tồn tại một phép tịnh tiến có giá của vectơ tịnh tiến song song hoặc trùng với đường thẳng m:xy=0. Tìm véctơ tịnh tiến đó.B. Bài tập: Phép quay:Bài 1. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép quay có cùng tâm quay là một phép quay.Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi P và Q là hai điểm di động trên AB và AC sao cho AP=CQ.a.Xác phép quay biến thành .b.Chứng minh rằng đường tròn (APQ) luôn đi qua một điểm cố định khác A.Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Cho biết BC cố định, A di động trên cung lớn BC. Trên tia CA lấy đoạn CH=BA. Tìm tập hợp điểm M.Bài 4. Cho đường tròn tâm A bán kính R và một điểm cố định O. Ứng với mỗi điểm M lưu động trên (A,R) ta dựng tam giác đều OMN theo chiều thuận. Tìm tập hợp điểm N.Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(a;0) và B(0;a) với a>0 cho trước. Trên tia Ox lấy điểm M, trên tia Oy lấy điểm N sao cho OM+ON=2a.a.So sánh AM và BN.b.Chứng minh rằng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định I. Tam giác IMN là tam giác gì? Vì sao?Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(a;0) và B(0;a) với a>0 cho trước. Một đường thẳng lưu động song song với AB cắt Oy tại N và cắt đường thẳng có phương trình y=a tại M. Chứng minh rằng đường cao xuất phát từ M trong tam giác AMN đi qua một điểm cố định. Bài 7. Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M thuộc miền trong của tam giác này kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC và cắt các cạnh tại P, L, N, Q, H, K với PLAB, P AC, L BC, QHAC, Q AB, H BC, NKBC, N AC, K AB.a. Chứng minh rằng QL=KHb. Gọi I=QL HK. Chứng minh rằng tứ giác BKIL nội tiếp đường tròn.Bài 8. Cho tam giác giác ABC có các đỉnh được kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngoài tam giác này hai hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm cạnh AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm đoạn FH.a.Xác định ảnh của hai vectơ và qua phép quay tâm B góc quay 900.b.Chứng minh rằng DF=2BP và DF vuông góc với BP.Bài 9. Cho hai đường thẳng d1 và d2, hai điểm A và G không thuộc d1, d2. Hãy dựng tam giác ABC có trọng tâm G và hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên d1, d2.Bài 10. Về phía ngoài hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần lượt là AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của hình vuông đó là bốn đỉh của một hình vuông.Bài 11. Cho hai đường tròn (O1,R) và (O2,R). M và N lưu động lần lượt trên (O1,R) và (O2,R) sao cho (theo chiều dương). Chứng minh rằng trung trực MN qua một điểm cố định.Bài 12. Cho tam giác ABC đều. Lấy E trên cạnh AB, F trên cạnh AC sao cho AE=CF. Hãy dùng phép quay biến AE thành CF. Chứng minh rằng trung trực của EF luôn đi qua một điểm cố định.Bài 13. Cho tam giác ABC. Vẽ phía ngoài tam giác này hai tam giác vuông cân tại A là ABE và ACF. Gọi M là trung điểm của BC và AM cắt È tại H. Chứng minh rằng AH là đường cao của tam giác AEF.Bài 14. Cho đường tròn (O), đường thẳng d và điểm I. Tìm điểm A trên (O) và điểm B trên d sao cho I là trung điểm AB.Bài 15. Cho tam giác ABC. Dựng bên ngoài tam giác này hai hình vuông ABDE và ACMN. Kẻ trung tuyến À của tam giác ABC. Chuwnga minh rằng:a.AF MNb.NE=2AFBài 16. Cho hai tam giác vuông cân là OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng GOG’ là tam giác vuông cân.Bài 17. Cho hai tam giác OAB và OA’B’ vuông cân tại O. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng OG=OG’.Bài 18. Trên các cạnh của tam giác ABC dựng các tam giác đều BAC’ và CAB’ nằm ngoài của tam giác ABC. Chứng minh rằng:a.AA’=BB’=CC’b.Ba đường AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O.Bài 19. Cho ba điểm thẳng hang A, B, C với điểm B nằm giữa A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.a.Chứng minh rằng AF=EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC là 600.b.Goij M và N lần lượt là trung điểm của AE và FC. Chứng minh rằng tam giác BMN đều.Bài 20. Cho nữa đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường tròn này. Dựng phía ngoài tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nữa đường tròn cố định.Bài 21. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ABEF, ACMN và gọi O, P, Q lần lượt là tâm của chúng. Gọi D là trung điểm AB. a.Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh Db.Chứng minh rằng AO PQ và AO=PQBài 21. Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác ABC có trọng tâm G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a.Bài 22. Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, C MN =M’N’. Định lí 2 : Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó. Hệ quả : Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó. Biểu thức tọa độ của Phép tịnh tiến : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Phép tịnh tiến theo vectơ Ta có M(x, y) và M’(x’, y’), T ==================== BÀI TẬP BÀI 1 (M) = M’ ta có : . Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ Giải. . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ biến D thành A. Xác định ảnh của tam giác ABC : T (A) = A’ ta có : Hay A’ trùng G. T (B) = B’ ta có : T (C) = C’ ta có : Vậy : T (ABC) = A’B’C’ T (D) = A ta có : Hay A là trung điểm của DG. BÀI 2 Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ 2y + 3 = 0 a) , hai điểm A(3; 5) B(-1; 1) và đường thẳng d : x – Tìm tọa độ A’, B’ lần lược là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ b) Tìm tọa độ C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ . c) Tìm phương trình d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $latex. Giải. a) T (A) = A’ ta có : Vậy A’(2; 7). Tương tự tìm B’ . b) T (C) = A ta có : Vậy C(4;3) c) T (d) = d’ Lấy M(x; y) thuộc d. T (M) = M’thuộc d’ ta có : Thế vào d ta được : (x’ + 1) – 2(y’ – 2) + 3 = 0 x’ -2y’ + 8 = 0 Vậy : d’ có phương trình : x – 2y +8 = 0 Bài 3 Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O, R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tân H của tam giác ABC nằn trên đường tròn cố định. Giải. Kẽ đường kính BD. Xét tứ giác AHCD ta có : AH // DC (cùng vuông góc BC) CH // DA (cùng vuông góc BA) => tứ giác AHCD hình bình hành. => => H = T (A) MÀ : A thay đổi trên đường tròn (O; R) nên H nằm trên đường tròn (O’, R) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến Bài 4: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . Giải - Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo - Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm . Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi . Giải : - Theo tính chất hình bình hành : BA=DC . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O - Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ . Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D. Bài 6. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho . Giải a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’). b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho . A. Bài tập: Phép tịnh tiến: Bài 1. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O). Điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn cố định. Bài 2. Cho tam giác ABC có sđỉnh A cố định, góc tập hợp điểm B. · BAC =α không đổi và uuur r BC = v không đổi. Tìm Bài 3. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên (O), một điểm B di động trên (O). Các tiêp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. Tìm quỹ tích trực tâm của tam giác ABC. Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;5), B(-4;1) và C(5;-2). uuur AB Tìm ảnh của trực tâm H của tam giác ABC qua phép tịnh tiến vectơ . Viết phương trình đường thẳng (d) là ảnh của đường thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ r uuur uuur v = AB + 2 AC Viết phương trình đường tròn (I’) là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép tịnh r uuur uuur uuur tiến theo vectơ u = AB + 2 BC + 3CA Bài 5. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là BAE và CÀ. Gọi I, M và J lần lượt là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh rằng: tam giác IMJ vuông cân. Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d:3x-5y+3=0 và d’:3x-5y+24=0. Tìm tọa độ vectơ r v r v = 13 biết và Tvr ( d ) = d ' . Bài 7. Cho đoạn thẳng AB cố định và một đường tròn cố định (O). Gọi C là điểm di động trên (O). Vẽ hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp những điểm D. Vẽ hình tập hợp này. Vẽ tam giác đều CDE. Tìm tập hợp những điểm E này và vẽ tập hợp này. Bài 8. Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD. Giả sử · · MBC = MDC ·AMD = BMC · . Chứng minh rằng Bài 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm. Gọi A là một giao điểm. Một đường thẳng (d) di động qua A và gặp lại hai đường tròn trên tại M và N. Trên hai tia AM và uuuur AN lấy hai điểm B và C sao cho uuur uuur MN BA = AC = 2 . Tìm tập hợp các điểm B và C. Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P, trên tia đối của tia CD lấy điểm Q. Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất. Bài 11. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn(O,r) nằm về một phía của AB. Lấy M trên (O). Dựng ABMM’ là hình bình hành. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (O). Bài 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R) và AD=R. Dựng các hình bình hành DABM, DACM. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm trên đường tròn (O,R). Bài 13. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’, lấy hai điểm A và B không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song song với d và d’. Hãy tìm M trên d và M’ trên d’ sao cho tứ giác ABMM’ là hình bình hành. Bài 14. Biết rằng tồn tại một phép tịnh tiến biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) với (C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 2my + m 2 − 1 = 0 và (C ') : x 2 + y 2 + 2(m − 2) − 6 y + 12 + m 2 = 0 . Tìm m để có phép tịnh tiến đó. Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm P thay đổi trên BC vẽ PE ⊥ AB, PF ⊥ AC . Tìm ME 1 = MF 3 tập hợp điểm M sao cho . Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2), đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3 và đường tròn (C’):x2+y2-2x-4=0. Tìm các điểm M và N lần lượt trên (C) và (C’) sao cho uuuur uur MN = IA . Bài 17. Cho hai địa điểm A và B ở hai bên bờ của một dòng song có hai bờ song song với nhau. Hãy dựng cây cầu MN vuông góc với bờ song sao cho quãng đường từ A đến B là ngắn nhất. Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho d:3x-y-9=0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có giá song song hoặc trùng với trục hoành để biến d thành d’ đi qua gốc tọa độ. Viết phương trình d’. Bài 19. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác một hình chữ nhật BCDE. Các đường cao xuất phát từ D và E lần lượt vuông góc với AB và AC và cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI và BC vuông góc nhau. Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi A1, B2 và C3 lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Gọi O 1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và I1, I2, I3 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác AB1C1, BA1C1, CA1B1. Chứng minh rằng hai tam giác O1O2O3 và I1I2I3 bằng nhau. Bài 21. Cho hai đương tròn (O,R), (O’,R’) và đường thẳng uuur uuuuur r r (O’) tại B’ và C’ sao cho BC − B ' C ' = v v ∆ . Dựng d// ∆ cắt (O) tại B vàC, cắt ( cho trước và có giá song song với ∆ ). Bài 22. Cho tam giác tam giác ABC có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE. Gọi D 1, E1 lần lượt là hình chiếu của D, E lên AB, AC. Gọi M là giao điểm của DD1 và EE1. uuuur r DM = v a. Chứng minh rằng: không đổi. b. Tìm tập hợp điểm M. Bài 23. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B không đổi. Điểm M chạy trên (O). Tìm quỹ tích uuuuur uuur uuur MM ' + MA = MB điểm M’ sao cho . Bài 24. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hànhuuukhi và chỉ khi r 1 PM + NQ = ( AB + BC + CD + DA) 2 . AB = const Bài 25. Cho hình bình hành ABCD, biết . Dựng tam giác đều MBC. Tìm quỹ tích M biết: a. C chạy trên một đường thẳng cố định. b. C chạy trên một đường tròn. Bài 26. Cho hai đường tròn bằng nhau (O,R) và (O’,R) và cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng uuur d vuông góc với AB , cắt (O) tại C, D, cắt (O’) tại E, F với a. Chứng minh rằng độ lớn của b. Tính độ dài đoạn CE theo R. · CAE CD và uur EF cùng phương. không phụ thuộc vào vị trí của d. Bài 27. Cho đường thẳng d cố định, hai điểm B và C cố định nằm cùng phía của d và không thuộc d. Tìm quỹ tích điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành với A di động trên d. Bài 28. Cho hai đường thẳng d:x+y+6=0 và d’:x+y-4=0. Biết rẳng tồn tại một phép tịnh tiến có giá của vectơ tịnh tiến song song hoặc trùng với đường thẳng m:x-y=0. Tìm véctơ tịnh tiến đó. B. Bài tập: Phép quay: Bài 1. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép quay có cùng tâm quay là một phép quay. Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi P và Quuu làr hai điểm di động trên AB và AC sao cho AP=CQ. uuur AD CQ a. Xác phép quay biến thành . b. Chứng minh rằng đường tròn (APQ) luôn đi qua một điểm cố định khác A. Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Cho biết BC cố định, A di động trên cung lớn BC. Trên tia CA lấy đoạn CH=BA. Tìm tập hợp điểm M. Bài 4. Cho đường tròn tâm A bán kính R và một điểm cố định O. Ứng với mỗi điểm M lưu động trên (A,R) ta dựng tam giác đều OMN theo chiều thuận. Tìm tập hợp điểm N. Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(a;0) và B(0;a) với a>0 cho trước. Trên tia Ox lấy điểm M, trên tia Oy lấy điểm N sao cho OM+ON=2a. a. So sánh AM và BN. b. Chứng minh rằng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định I. Tam giác IMN là tam giác gì? Vì sao? Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(a;0) và B(0;a) với a>0 cho trước. Một đường thẳng lưu động song song với AB cắt Oy tại N và cắt đường thẳng có phương trình y=a tại M. Chứng minh rằng đường cao xuất phát từ M trong tam giác AMN đi qua một điểm cố định. Bài 7. Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M thuộc miền trong của tam giác này kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC và cắt các cạnh tại P, L, N, Q, H, K với ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ PL//AB, P AC, L BC, QH//AC, Q AB, H BC, NK//BC, N AC, K AB. a. Chứng minh rằng QL=KH ∩ b. Gọi I=QL HK. Chứng minh rằng tứ giác BKIL nội tiếp đường tròn. Bài 8. Cho tam giác giác ABC có các đỉnh được kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngoài tam giác này hai hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm cạnh AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm đoạn FH. uuur uuur BA BP a. Xác định ảnh của hai vectơ và qua phép quay tâm B góc quay 900. b. Chứng minh rằng DF=2BP và DF vuông góc với BP. Bài 9. Cho hai đường thẳng d1 và d2, hai điểm A và G không thuộc d1, d2. Hãy dựng tam giác ABC có trọng tâm G và hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên d1, d2. Bài 10. Về phía ngoài hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần lượt là AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của hình vuông đó là bốn đỉh của một hình vuông. Bài 11. Cho hai đường tròn (O1,R) và (O2,R). M và N lưu động lần lượt trên (O1,R) và (O2,R) uuuur uuuuur sao cho định. (O1M , O2 M ) = α (theo chiều dương). Chứng minh rằng trung trực MN qua một điểm cố Bài 12. Cho tam giác ABC đều. Lấy E trên cạnh AB, F trên cạnh AC sao cho AE=CF. Hãy dùng phép quay biến AE thành CF. Chứng minh rằng trung trực của EF luôn đi qua một điểm cố định. Bài 13. Cho tam giác ABC. Vẽ phía ngoài tam giác này hai tam giác vuông cân tại A là ABE và ACF. Gọi M là trung điểm của BC và AM cắt È tại H. Chứng minh rằng AH là đường cao của tam giác AEF. Bài 14. Cho đường tròn (O), đường thẳng d và điểm I. Tìm điểm A trên (O) và điểm B trên d sao cho I là trung điểm AB. Bài 15. Cho tam giác ABC. Dựng bên ngoài tam giác này hai hình vuông ABDE và ACMN. Kẻ trung tuyến À của tam giác ABC. Chuwnga minh rằng: ⊥ a. AF MN b. NE=2AF Bài 16. Cho hai tam giác vuông cân là OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng GOG’ là tam giác vuông cân. Bài 17. Cho hai tam giác OAB và OA’B’ vuông cân tại O. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng OG=OG’. Bài 18. Trên các cạnh của tam giác ABC dựng các tam giác đều BAC’ và CAB’ nằm ngoài của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a. AA’=BB’=CC’ b. Ba đường AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O. Bài 19. Cho ba điểm thẳng hang A, B, C với điểm B nằm giữa A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF. a. Chứng minh rằng AF=EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC là 600. b. Goij M và N lần lượt là trung điểm của AE và FC. Chứng minh rằng tam giác BMN đều. Bài 20. Cho nữa đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường tròn này. Dựng phía ngoài tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nữa đường tròn cố định. Bài 21. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ABEF, ACMN và gọi O, P, Q lần lượt là tâm của chúng. Gọi D là trung điểm AB. a. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D b. Chứng minh rằng AO ⊥ PQ và AO=PQ Bài 21. Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác ABC có trọng tâm G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a. Bài 22. Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, C 90 0 . Ở phía ngoài hình bình hành , vẽ các tam giác đều ADF và ABE. Chứng minh rằng tam giác CEF đều. Bài 41: Cho nữa đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm chạy trên nữa đường tròn đó. Trên AC lấy điểm D sao cho AD=CB. Qua A kẻ tiếp tuyến với nữa đường tròn rồi lấy AE=AB (E và C cùng thuộc một nữa mặt phẳng bờ AB). Tìm quỹ tích các điểm D. Bài 42: Cho đường tròn (O) , (O’) cố định cắt nhau tại 2 điểm A, B. Từ M di động trên đường tròn (O) ta vẽ các đường thẳng MA, MB cắt (O’) tại C và D. a) Tìm tập hợp trung điểm I của CD b) Suy ra tập hợp trọng tâm và trực tâm của tam giác ACD. Bài 43: Ứng dụng bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất . Trong tất cả các tam giác có đáy bằng a đường cao có độ dài bằng h. Tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất? Giải : Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất khi chu vi nhỏ nhất hay AB +AC nhỏ nhất (Ứng dụng bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất)Suy ra tam giác ABC cân tại A. [...]... D a) Tìm tập hợp trung điểm I của CD b) Suy ra tập hợp trọng tâm và trực tâm của tam giác ACD Bài 43: Ứng dụng bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất Trong tất cả các tam giác có đáy bằng a đường cao có độ dài bằng h Tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất? Giải : Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất khi chu vi nhỏ nhất hay AB +AC nhỏ nhất (Ứng dụng bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất) Suy.. .Bài 36 Cho đường tròn O có đường kính AB có định và đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM, AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt tại P, Q Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ Bài 36 Cho hình bình hành ABCD Hai đỉnh A, B cố định, tâm I thay đổi di động trên đường tròn (K) Tìm quỹ tích trung điểm M của BC Bài 37: Cho tam giác ABC Vẽ bên ngoài tam giác các hình vuông ABDE,ACFG... ) 2 ( AC ) = Bài 40: Cho hình bình hành ABCD có A > 90 0 Ở phía ngoài hình bình hành , vẽ các tam giác đều ADF và ABE Chứng minh rằng tam giác CEF đều Bài 41: Cho nữa đường tròn đường kính AB Gọi C là điểm chạy trên nữa đường tròn đó Trên AC lấy điểm D sao cho AD=CB Qua A kẻ tiếp tuyến với nữa đường tròn rồi lấy AE=AB (E và C cùng thuộc một nữa mặt phẳng bờ AB) Tìm quỹ tích các điểm D Bài 42: Cho đường... trung điểm của BC.Chứng minh rằng: Tam giác IOO’ là tam giác vuông cân Bài 38: Cho tam giác ABC đều Từ một điểm M thuộc miền trong của tam giác kẻ các đoạn IQ, PK, NJ lần lượt song song với các cạnh AB,BC,CA: N,P thuộc cạnh AB, I,J thuộc cạnh BC, Q,K thuộc cạnh AC.Chứng minh rằng: NI = PJ và góc hợp bởi hai đường thẳng NI,PJ bằng 600 Bài 39:Cho tam giác ABC Gọi A’, B’,C’ lần lượt là các điểm đối xứng ... tròn cố định (O) Gọi C điểm di động (O) Vẽ hình bình hành ABCD Tìm tập hợp điểm D Vẽ hình tập hợp Vẽ tam giác CDE Tìm tập hợp điểm E vẽ tập hợp Bài Cho hình bình hành ABCD điểm M cho C nằm tam... rẳng tồn phép tịnh tiến có giá vectơ tịnh tiến song song trùng với đường thẳng m:x-y=0 Tìm véctơ tịnh tiến B Bài tập: Phép quay: Bài Chứng minh hợp thành hai phép quay có tâm quay phép quay Bài Cho... với đường tròn ảnh (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình số giao điểm hai đường tròn ảnh với hai đường tròn cho A Bài tập: Phép tịnh tiến: Bài Cho hai điểm phân biệt B C