TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN NGHIÊN CỨU TÍNH CHÁT ĐÀN HỒI CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG VÀ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Được sự phân công của khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, và sự đồng ý của Cô giáo hướng dẫn TS. Phạm Thị Minh Hạnh tôi đã thực hiện đề tài: "Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dân có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS bằng phương pháp thong kê mô men Đe hoàn thành khoá luận này, tôi xin cảm ơn các thầy (cô) giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu ở Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Cũng xin chân thành cảm ơn cô Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này. Mặc dù đã cố gắng hết sức để thực hiện, song tôi cũng không tránh khỏi nhũng sai sót mà bản thân không thấy được. Tôi rất mong các quý thầy (cô) và các bạn đóng góp để tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Phạm Thị Minh Hạnh cùng với sự cố gắng của bản thân trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi có sự tham khảo của các tài liệu khác và có dẫn nguồn tài tiệu tham khảo. Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền MỤC LỤC MỞ Đ À U ........................................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tà i.................................................................................................... 1 2. Mục tiêu nghiên cứu............................................................................................ 2 3. Nhiệm vụ nghiên c ú n .......................................................................................... 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu..................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cún.....................................................................................2 CHƯƠNG I: S ơ LƯỢC VỀ CHẤT BÁN D Ẫ N ....................................................3 1.1. Mạng tinh thể vật r ắ n ....................................................................................... 3 1.1.1. Mạng Bravais...............................................................................................3 1.1.2. Mạng đ ả o ..................................................................................................... 9 1.2. Cấu trúc tinh thể bán dẫn...............................................................................11 1.3. Các ứng dụng quan trọng của vật liệu bán d ẫn .......................................... 12 1.4. Các khuyết tật trong bán dẫn........................................................................13 1.4.1. Khuyết tật đ iểm ........................................................................................ 13 1.4.2. Khuyết tật đường...................................................................................... 14 1.4.3. Khuyết tật m ặ t...........................................................................................15 1.4.4. Khuyết tật k h ố i..........................................................................................15 Kết luận chương 1 .................................................................................................. 16 CHƯƠNG II: NGHIÊN c ú u TÍNH CHẤT ĐÀN HỒI CÙA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG VÀ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÓNG KÊ MÔ M E N .............................................................................................17 2.1. Phương pháp thống kê mô m en....................................................................17 2.1.1. Các công thức tổng quát về mô m en.................................................... 17 2.1.2. Công thức tổng quát tính năng lượngtự d o .......................................... 21 2.2. Phương pháp thống kê mô men trong nghiên CÚ01 bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS................................................................................... 22 2.2.1. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏinút m ạng..................................... 22 2.2.2. Năng lượng tự do......................................................................................28 2.2.3. Tính chất đàn hồi của vật rắ n ................................................................. 31 2.2.4. Nghiên cún tính chất đàn hồi của bán dẫn bằng phương pháp thống kê mô m e n ............................................................................................................37 Ket luận chương 2 ..................................................................................................46 KẾT LU Ậ N ................................................................................................................ 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................48 MỞ ĐÀU 1. Lí do chọn đề tài Tính đàn hồi là tính chất đặc trưng của nhiều chất như: chất dẻo, kim loại, họp kim... Nó đặc trưng cho sự chống lại nguyên nhân biến dạng của vật chất. Chính vì vậy tính đàn hồi có ý nghĩa to lớn trong đời sống và trong kĩ thuật. Do đó nó đã thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cún. Các nhà khoa học đã có nhiều thành tựu khi nghiên CÚ01 về các vật liệu có tính đàn hồi như: chất dẻo, kim loại, họp kim... Tuy nhiên họ chưa quan tâm đúng mức đến việc nghiên cún tính chất đàn hồi của chất bán dẫn. Chính vì vậy tôi đề cập đến tính chất đàn hồi của chất bán dẫn trong khóa luận này để giúp mọi người hiểu hơn về tầm quan trọng của chất bán dẫn đối với đời sống và kĩ thuật. Có rất nhiều phương pháp nghiên cún bán dẫn như: Các phương pháp ab-initio, phương pháp liên kết chặt, phương pháp thế kinh nghiệm, phương pháp mô hình hóa máy tính,... Các phương pháp trên đều thu được kết quả đáng kể, tuy nhiên chưa có phương pháp nào thực sự hoàn hảo. Các tính toán còn hạn chế, kết quả thu được có độ chính xác chưa cao, có phương pháp đòi hỏi giới hạn ứng dụng của phương pháp cho hệ tương đối nhỏ. Như vậy, nghiên cứu tính chất đàn hồi của chất bán dẫn nói riêng vẫn hấp dẫn các nhà khoa học. Trong khoảng 30 năm trở lại đây, một phương pháp thống kê mới ra đời được gọi là phương pháp thống kê mô men đã áp dụng nghiên cún thành công đối với các tính chất nhiệt động và tính đàn hồi của tinh thể có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS. Phương pháp này đã sử dụng hiệu quả để nghiên cún về các hiện tượng khuếch tán trong kim loại và hợp kim có cấu trúc lập phương tâm diện và lập phương tâm khối. Với các lí do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bản dẫn cỏ cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS bang phương pháp thống kê mô men 1 2. Mục tiêu nghiên cứu Xây dựng biểu thức giải tích xác định các mô đun đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS bằng phương pháp thống kê mô men. 3. Nhiệm vụ nghiên cửu -Tìm hiểu một số lí thuyết nghiên cứu về bán dẫn. -Tìm hiểu phương pháp thống kê mô men và áp dụng phương pháp thống kê mô men để nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS. 5. Phương pháp nghiên cửu - Phương pháp phân tích - Phương pháp thống kê - Phương pháp tổng hợp 2 CHƯƠNG I: S ơ LƯỢC VÊ CHẤT BÁN DẪN 1.1. Mạng tinh thể vật rắn 1.1.1. M ạng Bravais / . / . / . / . Nhóm tịnh tiến Hình ỉ. ỉ:S ự sắp xếp các nguyên tử cùng loại trong một mạng tinh thế hai chiều Ta bắt đầu từ việc nghiên cún tính chất đối xứng (bất biến) của tinh thể đối với nhóm tịnh tiến. Phép chuyển động của vật rắn mà trong đó điểm r bất kì chuyển thành điểm R + r gọi là phép tịnh tiến 1 đoạn R , kí hiệu T(R ) ta viết tắt phép tịnh tiến như sau: T ( R ) : r ^ > C r + R ) ; với mọi r Ta có thể nói rằng, một tinh thể có tính chất đối xứng với phép tịnh tiến một đoạn ea theo hướng trục O a, nghĩa là đối với T (ea ) nếu phép tịnh tiến này mỗi nguyên tử dời chỗ đến vị trí của một nguyên tử khác cùng loại, còn tinh thể sau khi dịch chuyển sang một vị trí trùng khít với vị trí cũ. Hình 1.1 diễn tả thí dụ về sự sắp xếp các nguyên tử cùng loại trong mạng tinh thể hai chiều. Ta có thể nói tinh thể như trên có tính chất tuần hoàn theo hướng Oa. Mọi tinh thể trong không gian có tính chất bất biến (đối xứng) đối với phép tịnh tiên T(ea),T{ep),T{eỵ) theo ba hướng nào đó Oa, op, Oy, nghĩa là có tính chất tuần hoàn theo ba hướng khác này bằng nhiều cách khác nhau (xem hình 1.2 với tinh thế hai chiều). 3 Hình 1.2 : Tỉnh thế hai chiểu. Vì tinh thể gián đoạn cho nên trong số tất cả các véc tơ ea (ep ’ ey ) theo mỗi hướng tuần hoàn tinh thể có một véc tơ ngắn nhất ũ ^ a ^ a ^ ) và ea ~ n \a \ ; ep ~ n 2 a 2 ; er = n 3a 3 với ni, n2, n3 là số nguyên. Tinh thể có tính đối xứng (bất biến) đối với tất cả phép tịnh tiến T(R ) mà: ( 1 .1 ) R = n {a x+ n 2a 2 + n 3a 3 Các phép tịnh tiến này tạo thành một nhóm tịnh tiến, với quy tắc nhân sau đây: T (R ,)J (R 2)= T (R 2 + J 3) 1.1.1.2. Định nghĩa mạng Bravais Tập họp tất cả các điểm có bán kính véc tơ R xác định bởi công thức (1.1) tạo thành một mạng không gian gọi là Bravais. Mỗi điểm gọi là nút mạng không gian. Các véc tơ CLv a 2, a 3 gọi là véc tơ cơ sở của mạng Bravais. 4 1.1.1.3. Ô cơ sở Bộ ba véc tơ a v a 2,a 3 gọi là véc tơ cơ sở, chiều dài của chúng được gọi là hằng số mạng. Hình hộp được tạo bởi các véc tơ cơ sở gọi là ô đơn vị hay ô cơ sở. Ô cơ sở là một thể tích không gian có các tính chất sau: i. Khi thực hiện tất cả phép tịnh tiến tạo thành mạng Bravais, nghĩa là tất cả phép tịnh tiến có dạng (1.1), thì tập họp tất cả các ô thu được từ ô ban đầu sẽ lấp đầy toàn bộ không gian, không để lại khoảng trống nào. ii. Hai ô khác nhau chỉ có thể có các điểm chung nằm trên mặt phân cách của chúng. iii. Ồ cơ sở có thể tích: V = ữ ị [ a 2 A a 3] 1.1.1.4. Ỏ nguyên tố Wigner- Seitz Có nhiều cách chọn ô cơ sở. Các ô cơ sở mà các nút mạng chỉ nằm ở đỉnh hộp gọi là ô nguyên tố như ví dụ trong hình 1.3. Ồ nguyên tố có thể tích nhỏ nhất và trong mỗi ô chỉ chưa một nút mạng. Hình 1.3. Ỏ nguyên tố lập phương đơn giản. Bao giờ cũng có thể chọn ô nguyên tố để sao cho nó có đầy đủ tính chất đối xúng của mạng Bravais. Cách chọn nối tiếng là chọn ô Wigner-Seilz, được xây dựng như sau: Lấy một nút o xác định trên mạng Bravais, tìm nút 5 lân cận theo tất cả các phương, vẽ mặt phẳng trục giao với đoạn thẳng nối o với tất cả các nút lân cận đó tại trung điểm của đoạn này. Khoảng không gian giới hạn bởi các mặt đó là ô nguyên to Wigner - Seitz (hình 1.4). Hình 1.4. Ô nguyên tố Wigner- Seitz của mạng lập phương tâm khối. I. ỉ. 1.5. Phân loại các mạng Bravaỉs của vật ran Mạng Bravais là một tập họp các điểm tạo thành từ một điểm duy nhất theo các bước rời rạc xác định bởi các véc tơ cơ sở. Trong không gian ba chiều có tồn tại 14 mạng Bravais (phân biệt với nhau bởi các nhóm không gian). Tất các vật liệu có cấu trúc tinh thể đều thuộc vào một trong các mạng Bravais này (không tính đến các giả tinh thể). 14 mạng tinh thể được phân theo các hệ tinh thể khác nhau được trình bày ở phía bên dưới: Hệ tinh thể Mạng tinh thể a,p,Ỵ * 90* Ba nghiêng ế 6 7 1.1.1.6. cấ u trúc tinh thế Trong một số tinh thể vật lý, mỗi ô cơ sở của mạng Bravais có thể chứa nhiều nguyên tử cùng loại hoặc khác loại nằm ở các điểm có véc tơ bán kính xác định. Mạng Bravais cùng với tập hợp các véc tơ bán kính của tất cả các nguyên tử trong ô cơ sở tạo thành một cấu trúc tinh thể. Ta thường gặp các cấu trúc tinh thể như sau : i. Cấu trúc loại kim cương: gồm hai mạng Bravais lập phương tâm diện lồng vào nhau, nút của một mạng nằm trên đường chéo không gian của mạng kia và xê dịch đi một đoạn bằng đường chéo. Ô cơ sở chứa hai nguyên tử cùng loại nằm ở các điểm có tọa độ là o và nằm ở các điếm có tọa độ là — (/+ } + &). Cấu trúc này đươc mô tả như hình 1.5a. 4 ii. Cấu trúc loại kẽm pha: gồm hai loại nguyên tử khác nhau với số lượng bằng nhau nằm trên hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau giống như mạng kim cương, do đó mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử loại khác nằm ở 4 nút lân cận gần nhất. iii. Cấu trúc loại muối ăn: gồm hai nguyên tử khác nhau (Na và C1 chang hạn) có số lượng bằng nhau nằm xen kẽ trên các nút của mạng lập phương đơn, do đó mỗi nguyên tử có 6 nguyên tử khác loại khác nằm ở các nút lân cận gần nhất. Các nguyên tử thuộc mỗi loại nằm ở các nút mạng lập phương tâm diện, hai mạng này lồng vào nhau, mạng nọ xê dịch đi so với mạng kia một đoạn bằng véc tơ cơ sở của mạng lập phương tâm diện của mỗi loại nguyên tử chứa 2 nguyên từ một nguyên tử loại đã cho ở điểm có tọa độ o và nguyên tử loại a ~ - T kia ở điêm —ụ + J + k ) . Câu trúc này được mô tả như hình 1.5b. 8 Hình 1.5. a. Cấu trúc tinh thê kim cương. o Na Q c i Hình 1.5.b. Tinh thể NaCl. 1.1.2. M ạng đảo 1.1.2.1. Định nghĩa mạng đảo Mạng thuận là mạng không gian được xác định từ ba véc tơ cơ sở d ị, a 2, a 3 ? vị trí của mỗi nút mạng được xác định bởi véc tơ: r = n]a ] + n 2a 2 + trong đó: dị ,a 2,a 3 là các véc tơ cơ sở; ni, n2, n3 là các số nguyên. 9 Mạng đảo là mạng không gian được xác định từ ba véc tơ Ь\,Ь2,ЬЪ được xác định như sau: bl= 2ĩM a \ a 2 л а 3] bĩ = 2 „ j ẵ ™ à a \ a 2 л а 3] ĩĩ= 2 x J ầ ™ ả a \ a 2 л a3] với Ьл, z?2 , b 3 là các véc tơ cơ sở của mạng đảo Vị trí của mỗi nút mạng được xác định bởi véc tơ mạng đảo G : G = rriịbị + m 2b2 + щ Ъ ъ trong đó m b m2, m 3 là các số nguyên. 1.1.2.2. Tỉnh chất của các véc tơ mạng đảo Tính chất 1: _L a 2, a 3 b2 _L a3, a x b3 _L a x, a 2 Tính chất 2: Độ lớn của véc tơ mạng đảo có thứ nguyên của nghịch đảo của chiều dài: 1 1— _____ -1 h -----* - j_ ai Tính chất 3: Hình hộp chữ nhật dựng nên từ ba véc tơ cơ sở của mạng đảo được gọi là ô sơ cấp của mạng đảo và có thế tích: 10 V ' J 2ĩTỹ V trong đó V = a ][a2 A a3] là thể tích của ô cơ sở mạng thuận. Tính chất 4 (định lý 1): Véc tơ mạng đảo G — h b { + k b 2 + /z?3 vuông góc với mặt phang (hkl) của mạng thuận. Tính chất 5 (định lý 2): Khoảng cách d(hkl) giữa hai mặt phẳng liên tiếp nhau thuộc họ mặt phang (hkl) bằng nghịch đảo của độ dài véc tơ mạng đảo GỢikl) nhân với 2ti. 2k d ( h k l) = _ G (h k l) 1.2. Cấu trúc tinh thể bán dẫn Các chất rắn thông dụng thường kết tinh theo mạng theo mạng tinh thể lập phương tâm diện. Trong đó, mỗi nút mạng được gắn một gốc (basis) gồm hai nguyên tử. Hai nguyên tử đó cùng loại nếu là bán dẫn đơn chất như Si, Ge; hai nguyên tử đó là khác loại nếu là bán dẫn họp chất như GaAs, InSb, ZnS, CdS,... Đối với các bán dẫn hợp chất AmBv hoặc AnBVI, như GaAs hay ZnS, thường kết tinh dưới dạng lập phương kiếu giả kẽm (Zinc Blend-ZnS), gồm hai phân mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau, phân mạng này nằm ở % đường chéo chính của phân mạng kia, mạng thứ nhất cấu tạo từ một loại nguyên tử, Ga chẳng hạn, thì mạng thứ hai cấu tạo từ một loại nguyên tử khác, As chẳng hạn. 11 Hình 1.6: Tinh thể GaAs. Trong tinh thể GaAs, mỗi nguyên tử Ga là tâm của hình tứ diện đều, cấu tạo từ bốn nguyên tử As xung quanh. Ngược lại, mỗi nguyên tử As lại là tâm của một hình tứ diện đều, cấu tạo từ bốn nguyên tử Ga xung quanh. 1.3. Các ứng dụng quan trọng của vật liệu bán dẫn Vật liệu bán dẫn được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật và công nghệ [5]. Tuy nhiên, ứng dụng quan trọng nhất và phổ biến nhất của chúng là dùng để chế tạo các linh kiện điện tử. Chúng ta đang sống trong thời kì công nghệ thông tin. Một lượng lớn thông tin có thể thu thập được qua internet và cũng có thể thu được một cách nhanh chóng qua những khoảng cách xa bằng hệ thống truyền thông vệ tinh. Sự phát triển của các bán dẫn như điốt, transistor và mạch tích hợp đã dẫn đến khả năng đáng kinh ngạc này. IC thâm nhập sâu vào hầu hết mọi mặt của đời sống hàng ngày chan hạn như đầu đọc CD, máy Fax, máy Scan laser tại các siêu thị và điện thoại di động. Photodiot là một loại công cụ không thể thiếu trong thông tin 12 quang học và trong ngành kĩ thuật tự động hóa. Điốt phát quang được dùng trong các bộ hiển thị, đèn báo, làm các màn hình quảng cáo và làm các nguồn sáng. Pin nhiệt điện bán dẫn được ứng dụng đế chế tạo các thiết bị làm lạnh gọn nhẹ, hiệu quả cao dùng trong khoa học, y học... 1.4. Các khuyết tật trong bán dẫn Cấu trúc tinh thể được trình bày ở trên là cấu trúc tinh thể lý tưởng vì khi xét đã bỏ qua dao động nhiệt và các khuyết tật trong trật tự sắp xếp của nguyên tử, những khuyết tật đó được gọi là khuyết tật mạng tinh thể [4]. Phụ thuộc vào kích thước ba chiều trong không gian, khuyết tật mạng tinh thế chia thành: khuyết tật điểm, khuyết tật đường, khuyết tật mặt và khuyết tật khối. 1.4.1. Khuyết tật điểm Đó là khuyết tật có kích thước rất nhỏ theo ba chiều không gian. Một khuyết tật điển hình là nút trống, nguyên tử xen kẽ, nguyên tử tạp chất. 1.4.1.1. Nút trống và nguyên tử xen kẽ Trong tinh thể, nguyên tử luôn dao động nhiệt quanh vị trí cân bằng của nút mạng. Khi một số nguyên tử nào đó có năng lượng cao, với biên độ dao động lớn chúng có khả năng bứt khỏi nút mạng, để lại nút không có nguyên tử gọi là nút trống. Sau khi rời khỏi nút mạng, nguyên tử có thể sang vị trí giữa các nút (cơ chế tạo nút trống Frenkel) tạo ra khuyết tật điếm dạng nguyên tử xen kẽ. Cơ chế thứ hai gọi là cơ chế tạo nút Schottky, khi nguyên tử rời vị trí cân bằng ra bề mặt tinh thể. 1.4.1.2. Nguyên tử tạp chất Trong thực tế hầu như không có vật liệu hoặc kim loại sạch tuyệt đối, các công nghệ nấu, luyện hiện đại nhất trong phòng thí nghiệm cũng chỉ cho phép đạt độ sạch nhất 99,999% hoặc cao hơn một chút phụ thuộc vào kích 13 thước các nguyên tử nguyên tử tạp chất thay thế ở nút mạng hoặc xen kẽ giữa các nút. Hình 1.7: Các dạng khuyết tật điếm: nút trống và nguyên tử tự xen kẽ (a) và các nguyên tử tạp chất (b). Mật độ nút trống phụ thuộc vào nhiệt độ theo hàm số mũ, nên tăng rất nhanh theo nhiệt độ và có giá trị lớn nhất khi sắp chảy lỏng. Nút trống có ảnh hưởng lớn đến cơ chế và tốc độ khuếch tán của bán dẫn ở chế độ trạng thái rắn. 1.4.2. Khuyết tật đường Các khuyết tật điểm cũng như nút trống, nguyên tử xen kẽ.... Neu chúng nằm liền nhau trên một đường, chúng tạo khuyết tật đường. Chúng có những dạng hình học nhất định và tính ổn định cao. Người ta phân biệt những loại khuyết tật đường sau đây: lệch đường thẳng (lệch biên), lệch xoắn và lệch hỗn hợp. 14 Hình 1.8: Khuyết tật đưòng lệch xoắn. Y«cta Buriỉcn c) Hình 1.9: Khuyết tật đường lệch biên. 1.4.3. Khuyết tật m ặt Là loại khuyết tật có kích thước lớn theo hai chiều và nhỏ theo chiều thứ ba. 1.4.4. Khuyết tật khối Những loại khuyết tật có kích thước lớn theo ba chiều trong mạng tinh thể gọi là khuyết tật khối. Khuyết tật khối vi mô là khuyết tật sinh ra khi nấu, đúc họp kim tập trung tạp chất xỉ trong vật đúc. 15 Kết luận chương 1 Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về cấu trúc tinh thể vật rắn và cấu trúc tinh thể bán dẫn. Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày các ứng dụng và các loại khuyết tật trong bán dẫn. Sau đây chúng tôi xin trình bày phương pháp thống kê mô men trong nghiên cún tính chất đàn hồi của bán có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS. 16 CHƯƠNG II: NGHIÊN c ứ u TÍNH CHÁT ĐÀN HÒI CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRỦC KIM CƯƠNG VÀ CẤU TRỦC ZnS BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN 2.1. Phương pháp thống kê mô men 2.1.1. Các công thức tổng quát về mô men Trong lí thuyết xác suất và trong vật lí thống kê, mô men được định nghĩa như sau: Giả sử có một tập hợp các biến cố ngẫu nhiên qi, q2, quy tắc thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố co(qi, qn tuân thủ theo qn)- Hàm này phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Trong lí thuyết xác suất người ta định nghĩa mô men cấp m như sau: (2 .1) ( là mô men trung tâm cấp hai. Vì thế nếu biết hàm phân bố co(q^q2,...,qn) ta có thế xác định được các mô men. Trong vật lí thống kê cũng có các định nghĩa tương tự. Riêng đối với hệ lượng tử, được mô tả bởi toán tử thống kê p , các mô men xác định như sau: (2.3) Trong đó, toán tử p tuân theo phương trình Liouville lượng tử 17 A Ôt ở đây là dấu ngoặc Poisson lượng tử. Như vậy, nếu biết toán tử thống kê P thì có thể tìm được mô men. Tuy nhiên việc tính các mô men không phải là bài toàn đon giản. Ngay đối với hệ cân bằng nhiệt động, dạng của P thường đã biết (phân bố chính tắc, hoặc chính tắc lớn, v.v...), nhưng việc tìm các mô men cũng rất phức tạp. Giữa các mô men có mối quan hệ với nhau. Mô men cấp cao có thể biểu diễn qua mô men cấp thấp hơn. Việc xây dựng tổng quát đối với hệ lượng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các mô men đã được xây dựng trong [6]. Các hệ thức đó đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS nên ở đây xin trình bày vắn tắt việc xây dựng chúng: Xét một hệ lượng tử, chịu tác động của ngoại lực không đổi aj theo hướng tọa độ suy rộng Qj. Như vậy Hamiltonian của hệ có dạng: A A A với Hữ là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng. Bằng một phép biến đổi kì diệu các tác giả đã thu được hệ thức tổng quát, chính xác biểu thị mối quan hệ giữa toán tử bất kì F và tọa độ suy rộng Qk của hệ Hamiltonial H: (2.4) o 18 trong đó 0 = kBT , kB là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối, B2n là hệ số Becmouli và (....) biểu thị trung bình tập họp cân bằng thống kê với Hamiltonian H. Hệ thức này cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F và tọa / A(2m)\ đô suy rông Qk. Muốn vây cần phải biết các đai lương I f ) \ /. Đại lượng và ( — — ) . \ còn có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn (2 m ) ÕF dah từ các phương trình động lực. Trong trường hợp đặc biệt, F = Qk , ta thu được biểu thức chính xác đối với phương sai: á-(á-) \ I Cl) ổ & = Ỡ- da, (2m) 00 --0 % ỔÔ, '2 m m=0 0 (2m)!vỡy da, (2.5) Bởi vì ọ k không phụ thuộc tường minh vào ak nên đối với hệ cổ điển công thức (2.5) trở nên đơn giản: (íá -(4 ĩ). = ỡ- da,. (2 .6) Ngoài ra, công thức (2.4) còn có khả năng xác định hàm tương quan giữa F và Qk đối với hệ có Hamiltonian H(): trong đó biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltonian Hữ Trong đó nhiều công trình nghiên cứu các tác giả thu được hệ thức chính xác khác: A («) A F'Q> (2 m + n ) B 2m = ( - i r 'ớ £ Ố(2 m y \ e m=0 00 ÕF da (2 .8) r Trong trường họp đặc biệt: F = Q chúng ta thu được hệ thức cho phép xác định thăng giáng của xung: ( 2 m + l) ( á ỉ ) = ^ T J- ^ L\ L rm Ỵ ” ỔÔ, da,, (2.9) (2 n ỉ)! Công thức (2.4) còn được sử dụng để viết công thức truy chứng đối với mô men cấp cao [16]. Muốn vậy, tác giả đưa vào định nghĩa toán tử tương quan cấp n: 1 Kn= ^ [ . . i à Â i à i - â ni (2 . 10) n-1 r _ A A Nêu trong công thức (2.4) thay F=Kn thì thu được công thức truy chứng: (2m) (U \ M . ) ỉ à j ) J - ỉ & - o± £ * - Ị * la \ 7fl\ /fl dan+ì h (2 m )ịỡ õ kn da. (2 . 11) Công thức này là một công thức tổng quát mô men. v ề nguyên tắc, công thức (2.11) cho phép ta xác định các mô men cấp tùy ý. Đó là công thức xác định mô men cấp cao qua mô men cấp thấp hơn, thậm chí có thể biểu diễn qua mô men cấp 1. Khi đó chúng ta thu được biểu thức khá cồng kềnh. Nhưng đối với các hệ cụ thế, nó có dạng đơn giản, gọn gàng hơn. 20 2.1.2. Công thức tong quát tỉnh năng lượng tự do Trong vật lý thống kê, khi biết năng lượng tự do ta sẽ có thông tin đầy đủ về tính chất nhiệt động của hệ, vì vậy việc xác định nó đóng vai trò quan trọng. Trong vật lý thống kê năng lượng tự do liên kết với tổng trạng thái qua hệ thức: y/ = - 0 In z ( _ỊỊ_\ Z = T r e~ỡ (2. 12) J V Tuy nhiên, việc tìm y/ không đon giản. Đối với một số hệ đơn giản có thể tìm được biểu thức chính xác của năng lượng tự do, còn nói chung chỉ có thể tìm được dưới dạng gần đúng. Trong [6] phương pháp mô men đã được áp dụng để xác định công thức tổng quát tính năng lượng tự do: Xét một hệ lượng tử đặc trung bởi Hamiltonian có dạng: A A A H = H 0- a V (2.13) với a là thông sô và V là toán tử tùy ý. Dựa vào biêu thức đã thu được băng phương pháp mô men đối với hệ cân bằng nhiệt động: (2.14) a 0 21 (2.15) là năng lượng tự do của hệ với Hamiltonian H 0 và được xem trong đó như đã biết. Bằng cách nào đó tìm được (ỵ) thì từ (2.15) có thể thu được biểu thức đối với năng lượng tự do iff{à) , đại lượng (y) có thể tìm được nhờ công thức mô men. Neu Hamiltonian H có dạng phức tạp thì tách nó thành: / A A (2.16) A sao cho H ()- a ỵV\^> a 2V2 giả thiết biết năng lượng tự do ụ/0 ứng với Hamiltonian H0 của hệ, khi đó tìm năng lượng tự do ụ/ị ứng với //, = H Q-CC\ V,. Sau đó tìm năng lượng tự do y/2 ứng với H2 = H x- a 2V2 v.v... Cuối cùng chúng ta thu được biểu thức đối với năng lượng tự do y/ của hệ. 2.2. Phương pháp thống kê mô men trong nghiên cún bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS. 2.2.1. Độ dịch chuyên của nguyên tử khỏi nút mạng Xét tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương hoặc ZnS, ngoài tương tác cặp là chủ yếu còn phải kề đến đóng góp của tương tác ba hạt. Do vậy khi sử dụng phương pháp quả cầu phối vị, thế năng tương tác có dạng: ỉ ^ i,j ° i,j,k (2.17) (2.18) z j ° j,k trong đó Ei là thế năng tương tác của hạt thứ i; Oịị là thế năng tương tác giữa hạt thứ i và j; W jjA là thế năng tương tác giữa các hạt i, j, k. 22 Ở nhiệt độ cao, dao động của các hạt ở nút mạng mạnh, khi đó trong biểu thức khai triển của thế năng tương tác E j theo độ dời Ui phải kể đến những số hạng bậc cao hơn 2. Vì vậy, nếu dừng lại ở gần đúng bấc 4, thế năng tương tác của hạt i có dạng: í г õ- !E, r Л Õ3E: и и -аи Е, = $ + \ Ъ ui«ui P + ị L ß,r yÖUjaÖUjßÖUjrJ ja iß jy аф yÕUJaÔUjl}J eq eq (2.19) 8ЛЕ: +— £^ r, , A j (2 .20) ° j ở đây aj là vị trí cân bằng của hạt thứ j. ' Dạng của số hạng d% x v.v... được xác định như sau: K ÕUjaÕU0 J eq ô2E; ydujadujßJ = { ^ E ) a jaaj ß + {®E,)Saß eq Ổ3Ê, = И ) у + {&ĨEi){a A л ? + a A r + аЛ г ) eq d*E: = ( 0 4E. )a. а „а. а . + V 4 j° iß Jr ri eq ( ö 3£, ) ( v A + " * v W + v w V + aißaA n + aißai A r + a iraiA ß ) + +'5„5aj + .5a ) (2.21) 23 trong đó: 0E, = — a: o r ta K Ẹ iC ta ) ■5 0 2e , . = 4 a7 À' o ír M +3ịẸk iC K ) 3 k © E, = k ^ ’M ® A = a 4 L ^ (« y ỉ+ Ì Ẹ ^ Í « ;) + J /c +ịẸ lC Í « ;) -> * < ’k )+ỉ Ẹ"£’ (°; )Ị4 [®r k )+ỉD Ẹk ^ 1(ớ,) * J “ỹL + (2 .22 ) 15 +ễ ® (« ;)+ ị J w l - Ỉ7 k k J ’ («,) 4 a j L Ẹ ^ («,) k với các kí hiệu (1), (2), (3), (4) trên đầu hàm o (ứ .),w (ứ y) là đạo hàm các cấp tương ứng. Như vậy, tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ i là: "2 — N dlE: I yõujadujfiJ eq ( ô3£. „yi a,y \ du.ja dll-nôllỤỊ'jP " j ỵ 11. 11- ja jỵ +— y ^ Lj eq Ô4E: Uja ; U-U; jy m eq Nếu hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ thuộc không đổi trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phương trình: Pp thì ở Do tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc ZnS, các số hạng sau đều bằng 0: 0% yõuiadUjllj ^ 0% / ô3ẽ '' , y K duj f j eq V,ỔMJa Jeq y K ^ \ ô E: V dUJl>J (224) du2 du-nôu. ia il] jy Nhờ công thức tổng quát về mô men(2.11), chúng ta có thể biểu diễn mô men bâc 4 ^\\(u./«.u)/:Mìn-nuJT■/})p Ị 1; mô men bâc 3 ỵ((\ u./«. u . u.m . )/ p J1;' mô men • {(Uj + W y y — + ỵỡ — Y + (x c o th x -\)ỵ + P y +{30 — + dp dp mờ) dp + y (xcothx —1) + kỵ —/7 —0 mco 25 (2.26) trong đó: 0% k= V d u = meo2; 1 jx +6 r = A Kõul õuì j eq 0 r 0% (2.27) d% = du Jx.du jyh.du }~Jeq Phương trình (2.26) nhận được khi coi rằng: (uja) = ( ujp) ^ { ujy) = (u) Đe giải phương trình (2.26), chúng tôi thực hiện phép biến đổi mới bằng cách đặt: y' = y + p (2.28) 3ỵ Với cách biến đổi như vậy, phương trình (2.26) biến đổi về dạng: ỵy' + 3ỡyy'-jL- + ỵỡ - ~ ị ĩ + £^ ( x c th x -'l) ỵ '+ K y-P * = Q dp* dp* k (2.29) trong đó: K = k - — \ p*= p - K * \K * = ^ ~ 3ỵ Y 21 ỵk 3 3ká (2.30) Phương trình (2.29) là phương trình vi phân phi tuyến, chúng ta tìm nghiệm của nó dưới dạng gần đúng. Vì ngoại lực p* là tùy ý và nhỏ nên ta có thể tìm nghiệm dưới dạng đơn giản: y ' = yỏ + A\P * +AiP * 2 (2.31) với y0 là độ dời ứng với trường hợp không có ngoại lực (p*=0 hoặc P*=-K*) Thay (2.31) vào (2.29) chúng ta sẽ thu được phương trình đối với Aị, A2: 26 2 ỵ&1A2 + 3ỵổy0A, + ỵ y 03 + K ya + - y (xcthx =0 y9 . 6ỵỡ y0Aĩ + 3 ỵỡA? + 3ỵ0yo2Al +KAí + ^ - ( x c th x - ì ) A l -1 = 0 (2-32) k Hệ cho nghiệm: A1= — K 1+ 2rũ2ỵ 6 r (xcthx + Y) (2.33) A 2 3 y0,Aì 2 0 y03 202 Ky ú x (xcthx -])y{' 2ỵỡ2 20k Ở vùng nhiệt độ cao, khi xcthx~l, phương trình (2.29) trở về dạng quen thuộc trong [6]: yql d 2y' , dy' .......,3 + 3ữỵy' +yy + K y - p * = 0 dp*2 ' ' dp * (2.34) Nghiệm của (2.34) đã được đưa ra trong [6]: 'ly d 2 (2.35) 3K 3 ở đây: AM 6/16 f A —ữ, 4- K 4 a2 + - j ^ a, + - j ^ aA + - ^ aỉ + e^ a[...]... bày phương pháp thống kê mô men trong nghiên cún tính chất đàn hồi của bán có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS 16 CHƯƠNG II: NGHIÊN c ứ u TÍNH CHÁT ĐÀN HÒI CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRỦC KIM CƯƠNG VÀ CẤU TRỦC ZnS BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN 2.1 Phương pháp thống kê mô men 2.1.1 Các công thức tổng quát về mô men Trong lí thuyết xác suất và trong vật lí thống kê, mô men được định nghĩa như sau: Giả sử có. .. đối với năng lượng tự do y/ của hệ 2.2 Phương pháp thống kê mô men trong nghiên cún bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS 2.2.1 Độ dịch chuyên của nguyên tử khỏi nút mạng Xét tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương hoặc ZnS, ngoài tương tác cặp là chủ yếu còn phải kề đến đóng góp của tương tác ba hạt Do vậy khi sử dụng phương pháp quả cầu phối vị, thế năng tương tác có dạng: ỉ ^ i,j ° i,j,k (2.17)... giữa các mô men đã được xây dựng trong [6] Các hệ thức đó đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS nên ở đây xin trình bày vắn tắt việc xây dựng chúng: Xét một hệ lượng tử, chịu tác động của ngoại lực không đổi aj theo hướng tọa độ suy rộng Qj Như vậy Hamiltonian của hệ có dạng: A A A với Hữ là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại... lượng tử Như vậy, nếu biết toán tử thống kê P thì có thể tìm được mô men Tuy nhiên việc tính các mô men không phải là bài toàn đon giản Ngay đối với hệ cân bằng nhiệt động, dạng của P thường đã biết (phân bố chính tắc, hoặc chính tắc lớn, v.v ), nhưng việc tìm các mô men cũng rất phức tạp Giữa các mô men có mối quan hệ với nhau Mô men cấp cao có thể biểu diễn qua mô men cấp thấp hơn Việc xây dựng tổng... không gian của mạng kia và xê dịch đi một đoạn bằng đường chéo Ô cơ sở chứa hai nguyên tử cùng loại nằm ở các điểm có tọa độ là o và nằm ở các điếm có tọa độ là — (/+ } + &) Cấu trúc này đươc mô tả như hình 1.5a 4 ii Cấu trúc loại kẽm pha: gồm hai loại nguyên tử khác nhau với số lượng bằng nhau nằm trên hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau giống như mạng kim cương, do đó mỗi nguyên tử có 4 nguyên... k l) 1.2 Cấu trúc tinh thể bán dẫn Các chất rắn thông dụng thường kết tinh theo mạng theo mạng tinh thể lập phương tâm diện Trong đó, mỗi nút mạng được gắn một gốc (basis) gồm hai nguyên tử Hai nguyên tử đó cùng loại nếu là bán dẫn đơn chất như Si, Ge; hai nguyên tử đó là khác loại nếu là bán dẫn họp chất như GaAs, InSb, ZnS, CdS, Đối với các bán dẫn hợp chất AmBv hoặc AnBVI, như GaAs hay ZnS, thường... vật lý, mỗi ô cơ sở của mạng Bravais có thể chứa nhiều nguyên tử cùng loại hoặc khác loại nằm ở các điểm có véc tơ bán kính xác định Mạng Bravais cùng với tập hợp các véc tơ bán kính của tất cả các nguyên tử trong ô cơ sở tạo thành một cấu trúc tinh thể Ta thường gặp các cấu trúc tinh thể như sau : i Cấu trúc loại kim cương: gồm hai mạng Bravais lập phương tâm diện lồng vào nhau, nút của một mạng nằm... bình thống kê chính là mô men cấp một và phương sai )2 > là mô men trung tâm cấp hai Vì thế nếu biết hàm phân bố co(q^q2, ,qn) ta có thế xác định được các mô men Trong vật lí thống kê cũng có các định nghĩa tương tự Riêng đối với hệ lượng tử, được mô tả bởi toán tử thống kê p , các mô men xác định như sau: (2.3) Trong đó, toán tử p tuân theo phương trình Liouville lượng tử 17 A Ôt ở... [6] phương pháp mô men đã được áp dụng để xác định công thức tổng quát tính năng lượng tự do: Xét một hệ lượng tử đặc trung bởi Hamiltonian có dạng: A A A H = H 0- a V (2.13) với a là thông sô và V là toán tử tùy ý Dựa vào biêu thức đã thu được băng phương pháp mô men đối với hệ cân bằng nhiệt động: (2.14) a 0 21 (2.15) là năng lượng tự do của hệ với Hamiltonian H 0 và được xem trong đó như đã biết Bằng. .. tắc thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố co(qi, qn tuân thủ theo qn)- Hàm này phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa Trong lí thuyết xác suất người ta định nghĩa mô men cấp m như sau: (2 1) ( ... thng kờ mụ men nghiờn cỳn tớnh cht n hi ca bỏn cú cu trỳc kim cng v cu trỳc ZnS 16 CHNG II: NGHIấN c u TNH CHT N HềI CA BN DN Cể CU TRC KIM CNG V CU TRC ZnS BNG PHNG PHP THNG Kấ Mễ MEN 2.1 Phng... cu trỳc kim cng v cu trỳc ZnS bng phng phỏp thng kờ mụ men Nhim v nghiờn cu -Tỡm hiu mt s lớ thuyt nghiờn cu v bỏn dn -Tỡm hiu phng phỏp thng kờ mụ men v ỏp dng phng phỏp thng kờ mụ men nghiờn... cụng thc tng quỏt mụ men v nguyờn tc, cụng thc (2.11) cho phộp ta xỏc nh cỏc mụ men cp tựy ý ú l cụng thc xỏc nh mụ men cp cao qua mụ men cp thp hn, thm cú th biu din qua mụ men cp Khi ú chỳng