Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 23/51 10-3 THIEÁT KEÁ BOÄ QUAN SAÙT TRAÏNG THAÙI Trong thöïc teá khoâng phaûi taát caû caùc bieán traïng thaùi ñeàu coù theå laáy tín hieäu phaûn hoài ñöôïc. Khi ñoù chuùng ta caàn öôùc löôïng caùc bieán traïng thaùi khoâng ño ñöôïc naøy. Neân traùnh laáy ñaïo haøm moät bieán traïng thaùi ñeå taïo moät bieán khaùc. Vieäc laáy ñaïo haøm moät tín hieäu luoân luoân laøm giaûm tyû soá tín hieäu – nhieãu vì nhieãu noùi chung dao ñoäng nhanh hôn tín hieäu. Tyû soá tín hieäu – nhieãu coù theå giaûm vaøi laàn sau moät laàn ñaïo haøm. Vieäc öôùc löôïng caùc bieán traïng thaùi khoâng ño ñöôïc thöôøng ñöôïc goïi laø quan saùt. Moät thieát bò (hoaëc moät chöông trình maùy tính) öôùc löôïng hoaëc quan saùt caùc bieán traïng thaùi ñöôïc goïi laø boä quan saùt traïng thaùi hay noùi goïn laø boä quan saùt. Neáu boä quan saùt traïng thaùi quan saùt ñöôïc taát caû caùc bieán traïng thaùi cuûa heä thoáng, duø coù moät soá bieán traïng thaùi laø ño ñöôïc tröïc tieáp, thì noù ñöôïc goïi laø boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû. Coù nhöõng tröôøng hôïp chuùng ta chæ caàn öôùc löôïng moät soá bieán traïng thaùi. Ví duï, vì caùc bieán ra laø quan saùt ñöôïc vaø chuùng tyû leä vôùi caùc bieán traïng thaùi, cho neân chuùng ta khoâng caàn quan saùt taát caû caùc bieán traïng thaùi maø chæ caàn quan saùt n — m bieán traïng thaùi, vôùi n laø kích thöôùc vec-tô traïng thaùi vaø m laø kích thöôùc vec-tô ra. Boä quan saùt traïng thaùi chæ quan saùt moät soá toái thieåu caùc bieán traïng thaùi ñöôïc goïi laø boä quan saùt traïng thaùi baäc toái thieåu, hay noùi ngaén goïn laø boä quan saùt baäc toái thieåu. Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 24/51 Boä öôùc löôïng traïng thaùi. Moät boä öôùc löôïng traïng thaùi öôùc löôïng caùc bieán traïng thaùi döïa treân vieäc ño caùc bieán ra vaø caùc bieán ñieàu khieån. Caùc boä quan saùt coù theå thieát keá ñöôïc neáu vaø chæ neáu thoûa maõn ñieàu kieän veà khaû naêng quan saùt. Chuùng ta seõ kyù hieäu ~x laø vec-tô traïng thaùi ñöôïc quan saùt. Vec-tô traïng thaùi quan saùt ~ x ñöôïc söû duïng trong phaûn hoài traïng thaùi ñeå taïo ra vec-tô ñieàu khieån mong muoán. Xeùt heä thoáng sau x& = Ax + Bu (10-25) y = Cx (10-26) Giaû söû raèng traïng thaùi x ñöôïc xaáp xæ baèng traïng thaùi ~x cuûa moâ hình ñoäng hoïc ~ x& = A~ x + Bu + K e ( y − C ~ x) (10-27) Boä quan saùt traïng thaùi coù y vaø u laø caùc tín hieäu vaøo vaø ~x laø tín hieäu ra. Thaønh phaàn cuoái cuøng beân veá phaûi cuûa phöông trình (10-27), laø moät thaønh phaàn hieäu chænh nhöõng yeáu toá lieân quan ñeán sai leäch giöõa tín hieäu ra ño ñöôïc y vaø tín hieäu ra öôùc löôïng C ~x . Ma-traän Ke ñöôïc goïi laø ma-traän troïng soá. Th/phaàn hieäu chænh theo doõi traïng thaùi ~x . Vôùi hieän dieän cuûa söï khoâng ñoàng nhaát giöõa caùc ma-traän A vaø B ñöôïc söû duïng trong moâ hình vaø trong heä thoáng thöïc teá, thì vieäc theâm vaøo thaønh phaàn hieäu chænh seõ laøm giaûm aûnh höôûng do söï sai khaùc giöõa moâ hình vaø heä thoáng thöïc teá naøy. Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 25/51 Hình 10-7 veõ sơ đồ khoái cuûa heä thoáng vaø boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû. Boä q/saùt tr/thaùi baäc ñuû Hình 10-7 Sơ đồ khoái cuûa heä thoáng vaø boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû, khi tín hieäu vaøo u vaø tín hieäu ra y laø voâ höôùng. Chuùng ta seõ nghieân cöùu chi tieát boä quan saùt traïng thaùi coù ñaëc tính ñoäng hoïc ñöôïc ñaëc tính hoùa bôûi caùc ma-traän A vaø B vaø bôûi thaønh phaàn hieäu chænh theâm vaøo. Giaû söû raèng caùc matraän A vaø B söû duïng trong moâ hình vaø trong heä thoáng thöïc laø gioáng nhau. Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 26/51 Boä öôùc löôïng traïng thaùi baäc ñuû. Baäc cuûa boä öôùc löôïng traïng thaùi ñöôïc nghieân cöùu laø baèng vôùi baäc cuûa heä thoáng. Ñeå thieát laäp phöông trình sai leäch boä quan saùt, chuùng ta tröø phöông trình (10-25) cho phöông trình (10-27). x& − x&% = Ax − Ax&% − K e (Cx − Cx&% ) = ( A − K eC )( x − x% ) (10 − 28) Goïi sai leäch giöõa x vaø ~x laø vec-tô sai leäch e, hay e= x−~ x Khi ñoù, phöông trình (10-28) seõ laø e& = ( A − K e C )e (10-29) Töø phöông trình (10-29), chuùng ta thaáy raèng ñaùp öùng ñoäng hoïc cuûa vec-tô sai leäch ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän A - KeC. Neáu ma-traän A - KeC laø moät ma-traän oån ñònh, thì vec-tô sai leäch seõ hoäi tuï veà 0 vôùi moïi vec-tô sai leäch ban ñaàu e(0). Töùc laø, ~x (t) seõ hoäi tuï veà x(t) baát keå caùc giaù trò cuûa x(0) vaø ~x (0). Neáu caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän A - KeC ñöôïc choïn sao cho ñaùp öùng ñoäng hoïc cuûa vec-tô sai leäch laø oån ñònh tieäm caän vaø ñuû nhanh, khi ñoù vec-tô sai leäch seõ tieán veà 0 (goác toïa ñoä) vôùi moät toác ñoä hôïp lyù. Neáu heä thoáng laø quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn, thì coù theå chöùng minh ñöôïc raèng coù theå choïn ma-traän Ke sao cho A - KeC coù caùc giaù trò rieâng mong muoán tuøy yù. Töùc laø ma-traän heä soá boä quan saùt Ke coù theå xaùc ñònh ñöôïc ñeå taïo ra ma-traän mong muoán A - KeC. Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 27/51 Baøi toaùn ñoái ngaãu (Dual problem) Vaán ñeà thieát keá moät boä quan saùt baäc ñuû trôû thaønh vieäc xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt Ke sao cho caùc sai leäch ñoäng hoïc xaùc ñònh bôûi phöông trình (10-29) laø oån ñònh tieäm caän vôùi toác ñoä ñaùp öùng vöøa ñuû. (OÅn ñònh tieäm caän vaø toác ñoä cuûa ñaùp öùng ñoäng hoïc sai leäch ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän A - KeC.) Vì vaäy vieäc thieát keá boä quan saùt baäc ñuû trôû thaønh vieäc xaùc ñònh Ke phuø hôïp sao cho A - KeC coù caùc giaù trò rieâng mong muoán. Do ñoù, vaán ñeà ôû ñaây trôû neân gioáng vaán ñeà ñaët cöïc maø chuùng ta ñaõ nghieân cöùu ôû baøi 10-2. Xeùt heä thoáng x& = Ax + Bu y = Cx Trong thieát keá boä quan saùt baäc ñuû, chuùng ta coù theå giaûi baøi toaùn ñoái ngaãu (dual problem), töùc laø, giaûi baøi toaùn ñaët cöïc cho heä thoáng ñoái ngaãu z& = A∗ z + C ∗ v n = B∗ z giaû söû tín hieäu ñieàu khieån v laø v = − Kz Neáu heä thoáng ñoái ngaãu ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn, thì ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K coù theå ñöôïc xaùc ñònh sao cho ma-traän A* - C*K seõ taïo ra moät taäp hôïp caùc giaù trò rieâng mong muoán. Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 28/51 Neáu µ1, µ2, . . ., µn laø caùc giaù trò rieâng mong muoán cuûa ma-traän boä quan saùt traïng thaùi, thì baèng caùch laáy caùc µi nhö caùc giaù trò rieâng mong muoán cuûa ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi cuûa heä thoáng ñoái ngaãu chuùng ta coù sI − ( A∗ − C ∗ K ) = ( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n ) Chuù yù raèng caùc giaù trò rieâng cuûa A* - C*K vaø cuûa A - K*C laø gioáng nhau, chuùng ta coù sI − ( A∗ − C ∗ K ) = sI − ( A − K ∗C ) So saùnh ña thöùc ñaëc tính sI - (A - K*C) vaø ña thöùc ñaëc tính sI - (A - KeC)vôùi heä thoáng boä quan saùt, chuùng ta tìm ñöôïc quan heä Ke vaø K* Ke = K ∗ Do ñoù, söû duïng ma-traän K xaùc ñònh bôûi phöông phaùp ñaët cöïc trong heä thoáng ñoái ngaãu, ma-traän heä soá boä quan saùt Ke cuûa heä thoáng ban ñaàu, coù theå ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch söû duïng quan heä Ke = K*. (xem baøi taäp A-10-9.) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû vôùi vieäc quan saùt traïng thaùi. Nhö ñaõ nghieân cöùu ôû treân, ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho vieäc xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt Ke vôùi caùc giaù trò rieâng mong muoán cuûa A – KeC laø tính ñoái ngaãu cuûa heä thoáng ban ñaàu z& = A∗ z + C ∗ v Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 29/51 ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi. Ñieàu kieän khaû naêng ñieàu khieån traïng thaùi hoaøn toaøn cho heä thoáng ñoái ngaãu naøy laø haïng cuûa [C ∗ M A∗C ∗ M . . . M ( A∗ ) n −1 C ∗ ] baèng n. Ñaây laø ñieàu kieän cho tính quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn cuûa heä thoáng ban ñaàu xaùc ñònh bôûi phöông trình (10-25) vaø (10-26). Coù nghóa laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû tính quan saùt traïng thaùi cuûa heä thoáng xaùc ñònh bôûi (10-25) vaø (10-26) laø heä thoáng quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn. Chuùng ta seõ ñöa ra phöông phaùp tröïc tieáp (thay cho phöông phaùp baøi toaùn ñoái ngaãu) ñeå giaûi baøi toaùn thieát keá boä quan saùt traïng thaùi. Chuùng ta seõ söû duïng phöông phaùp baøi toaùn ñoái ngaãu ñeå thieát laäp coâng thöùc Ackermann ñeå xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt Ke. Thieát keá boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû. Xeùt heä thoáng vôùi x& = Ax + Bu (10-30) y = Cx (10-31) x = vec-tô traïng thaùi (n-vector) y = tín hieäu ra (voâ höôùng) u = tín hieäu ñieàu khieån (voâ höôùng) A = ma-traän haèng n x n B = ma-traän haèng n x 1 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 30/51 C = ma-traän haèng 1 x n Giaû söû raèng heä thoáng laø quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn vaø caáu truùc cuûa heä thoáng töông töï nhö ñaõ veõ ôû hình 10-7. Trong thieát keá boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû, seõ tieän lôïi neáu chuùng ta chuyeån heä thoáng cho bôûi phöông trình (10-30) vaø (10-31) sang daïng chuaån taéc quan saùt ñöôïc. Nhö ñaõ ñeà caäp ôû treân, ñieàu naøy coù theå ñöôïc thöïc hieän nhö sau: xaùc ñònh ma-traän chuyeån Q laø (10-32) Q = (WN ∗ ) −1 vôùi N laø ma-traän quan saùt ñöôïc [ N = C ∗ M A∗C ∗ M . . . M ( A∗ ) n −1 C ∗ ] (10-33) vaø W ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình (10-6),  a n −1 a  n −2  .  W = .  .   a1  1 a n −2 a n −3 . . . 1 0 . . . a1 1 . . . 1 0  . .  . . . .  . . . 0 0 . . . 0 0 vôùi a1, a2, . . . , an-1 laø caùc heä soá trong phöông trình ñaëc tính cuûa phöông trình traïng thaùi Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 31/51 ban ñaàu cho bôûi phöông trình (10-30): sI − A = s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n = 0 (Vì giaû söû HT quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn, cho neân nghòch ñaûo cuûa ma-traän WN* toàn taïi). Ñònh nghóa vec-tô traïng thaùi môùi (n-vector) ξ laø x = Qξ Khi ñoù phöông trình (10-30) vaø (10-31) trôû thaønh ξ& = Q −1 AQξ + Q −1 Bu (10-35) y = CQξ (10-36) vôùi 0 1  0  Q −1 AQ =  . .  . 0 − an  . . . 0 − a n −1   . . . 0 − a n −2   . .  . .   . .  . . . 1 − a1  0 ... 0 0 1 . . . 0 (10-37) (10-34) Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi  bn − a n b0  b − a b  n −1 0   n −1   −1 Q B=         b1 − a1b0  CQ = [0 0 . . . 0 32/51 (10-38) 1] (10-39) [xem baøi taäp A-10-6 vaø A-10-7 ñeå ruùt ra phöông trình (10-37) - (10-39).] Phöông trình (10-35) vaø (10-36) laø ôû daïng chuaån taéc quan saùt ñöôïc. Vì vaäy, vôùi moät phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình ra cho tröôùc, chuùng coù theå ñöôïc chuyeån thaønh daïng chuaån taéc quan saùt ñöôïc neáu heä thoáng laø quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn vaø neáu vec-tô traïng thaùi ban ñaàu x ñöôïc chuyeån thaønh vec-tô traïng thaùi môùi ξ baèng caùch söû duïng pheùp chuyeån ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-34). Neáu ma-traän A coù saún trong daïng chuaån taéc quan saùt ñöôïc, thì Q = I. Nhö ñaõ phaùt bieåu ôû treân, chuùng ta choïn boä quan saùt traïng thaùi ~ x& = A~ x + Bu + K e ( y − C~ x ) = ( A − K eC )~ x + Bu + K e Cx (10-40) ~ ~ Baây giôø xaùc ñònh x = Qξ (10-41) Töø phöông trình (10-41) vaø (10-40), chuùng ta coù Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi ~ ~ ξ& = Q −1 ( A − K e C )Qξ + Q −1 Bu + Q −1 K e CQξ 33/51 (10-42) Tröø phöông trình (10-35) cho (10-42) chuùng ta coù ~ ~ ξ& − ξ& = Q −1 ( A − K e C )Q(ξ − ξ ) Goïi (10-43) trôû thaønh (10-43) ~ ∈=ξ −ξ & = Q −1 ( A − K e C )Q ∈ (10-44) ∈ Chuùng ta yeâu caàu sai leäch ñoäng hoïc laø oån ñònh tieäm caän vaø c(r) tieán tôùi 0 vôùi toác ñoä vöøa ñuû. Chu trình ñeå xaùc ñònh ma-traän Ke tröôùc heát laø choïn caùc cöïc boä quan saùt mong muoán (caùc giaù trò rieâng cuûa A – KeC) vaø sau ñoù xaùc ñònh ma-traän Ke sao cho noù seõ taïo ra caùc cöïc boä quan saùt mong muoán. Chuù yù raèng Q-1 = WN*, chuùng ta coù  an − 1 a  n−2  .  Q −1 K e =  .  .   a1  1 a n − 2 K a1 1 an − 3 1 0  . . .  . . . . . .  1 0 0 0 0 0  C   CA     .    .    .   n − 2 CA  n − 1  CA   k1   k   2   .    .    .    k  n −1  k n  Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi vôùi 34/51  k1   k   2   .    Ke =  .   .    k n − 1    k n  Vì Q-1Ke laø n- vector, neân  δn  δ  n − 1   −1 Q Ke =  .    .    δ 1  (10-45) Khi ñoù, töø phöông trình (10-39), chuùng ta coù  δn   δ n − 1   −1 Q K e CQ =  .  [0 0 L 1] =   .    δ 1  0 0  M  0 δn  0 L 0 δn − 1 0 L 0 M M 0 L 0  M  δ 1  Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 35/51 vaø Q-1(A - KeC)Q = Q-1AQ – Q-1KeCQ 0 1  = 0  M 0 sI - Q-1(A - KeC)Q= 0 Phöông trình ñaëc tính trôû thaønh hay  0 L 0 − an − 1 − δ n − 1   1 L 0 − an − 2 − δ n − 2   M M M  0 L 1 − a1 − δ 1  − an − δ n 0 L 0 s 0 0 L 0 an + δ n 0 s 0 L 0 an − 1 + δ n − 1 0 −1 s L 0 M M M M M 0 0 0 −1 s + a1 + δ 1 an − 2 + δ n − 2 = 0 sn + (a1 + δ1)sn – 1 + (a2 + δ2)sn – 2 + . . . + (an + δn) = 0 (10-46) Coù theå thaáy raèng moãi δn, δn - 1, . . ., δ1 chæ phuø hôïp vôùi moät trong caùc heä soá cuûa phöông trình ñaëc tính. Giaû söû raèng phöông trình ñaëc tính mong muoán coù ñaëc tính sai leäch laø (s - µ1)(s - µ2) . . . (s - µn) = sn + α1sn – 1 + α2sn – 2 + . . . αn – 1s + αn = 0 (10-47) Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 36/51 (Chuù yù raèng caùc giaù trò rieâng mong muoán µi xaùc ñònh möùc ñoä traïng thaùi quan saùt hoäi tuï veà traïng thaùi thöïc teá nhanh nhö theá naøo.) So saùnh caùc heä soá cuûa caùc thaønh phaàn cuøng soá muõ cuûa s trong phöông trình (10-46) vaø (10-47), chuùng ta coù a1 + δ1 = α1 a2 + δ2 = α2 ... an + δn = αn töø ñoù chuùng ta coù δ1 = α1 – a1 δ2 = α2 – a2 ... δn = αn - an Khi ñoù töø phöông trình (10-45) chuùng ta coù  δn   αn δ  α n − 1 −1  =  n −1 Q Ke =   M       δ1   α1 Do ñoù − an  − an − 1   M   − a1  Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi  αn α Ke = Q  n − 1    α1 − an   αn α − an − 1   = (WN *) −1  n − 1 M     − a1   α1 37/51 − an  − an − 1   (10-48) M   − a1  Phöông trình (10-48) xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt traïng thaùi Ke Nhö ñaõ noùi ôû treân, phöông trình (10-48) cuõng coù theå ñaït ñöôïc töø phöông trình (10-13) baèng vieäc xem xeùt baøi toaùn ñoái ngaãu. Töùc laø, xeùt baøi toaùn ñaët cöïc vôùi heä thoáng ñoái ngaãu vaø thieát laäp ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K vôùi hoaøn toaøn ñoái ngaãu. Khi ñoù ma-traän heä soá boä quan saùt traïng thaùi Ke coù theå ñöôïc ñöa ra bôûi K* (xem baøi taäp A-10-9). Caùc giaù trò rieâng mong muoán hoaëc phöông trình ñaëc tính neân ñöôïc choïn sao cho boä quan saùt traïng thaùi ñaùp öùng nhanh gaáp hai ñeán naêm laàn so vôùi heä thoáng voøng kín ñöôïc xeùt. Nhö ñaõ noùi ôû tröôùc, phöông trình vôùi boä quan saùt baäc ñuû laø ~ x& = ( A − K e C ) ~ x + Bu + K e y (10-49) Phöông phaùp thay theá tröïc tieáp ñeå thieát laäp ma-traän heä soá boä quan saùt traïng thaùi Ke Töông töï tröôøng hôïp ñaët cöïc, neáu heä thoáng coù baäc thaáp, thì thay theá tröïc tieáp ma-traän Ke vaøo ña thöùc ñaëc tính mong muoán coù theå ñôn giaûn hôn. Chaúng haïn, neáu x laø 3-vector, thì vieát ma-traän heä soá boä traïng thaùi Ke laø Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 38/51  k e1  K e = k e 2     k e3  Thay ma-traän Ke naøy vaøo ña thöùc ñaëc tính mong muoán: sI – (A - KeC) = (s - µ1)(s - µ2)(s - µ3) Caân baèng caùc heä soá cuøng soá muõ cuûa s ôû hai veá cuûa phöông trình cuoái cuøng, chuùng ta xaùc ñònh ñöôïc caùc giaù trò ke1,ke2 vaø ke3. Phöông phaùp naøy thuaän tieän neáu n = 1, 2, hoaëc 3, vôùi n laø kích thöôùc cuûa vec-tô traïng thaùi x. (Maëc duø phöông phaùp naøy coù theå ñöôïc söû duïng khi n = 4, 5, 6, . . ., nhöng khoái löôïng tính toaùn seõ raát nhieàu.) P/p khaùc ñeå xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt traïng thaùi Ke laø s/d coâng thöùc Ackermann. Coâng thöùc Ackermann. Xeùt heä thoáng (10-50) x& = Ax + Bu y = Cx (10-51) Keát quaû ñöôïc ñöa ra bôûi phöông trình (10-18) nhö sau: [ ] −1 K = [0 0 L 0 0] B M AB M L M A n − 1 B φ ( A) Vì tính ñoái ngaãu cuûa heä thoáng xaùc ñònh bôûi phöông trình (10-50) vaø (10-51), Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 39/51 z& = A * z + C * v n = B*z coâng thöùc Ackermann vôùi phöông phaùp ñaët cöïc ñöôïc söûa ñoåi nhö sau [ K = [0 0 L 0 1] C * M A * C * L M ] −1 ( A*) n − 1 C * φ ( A*) (10-53) Do ñoù  C   CA    K e = K * = φ ( A*) *  M   n − 2 CA  n −1  CA  −1 0   C  0   CA       M  = φ ( A)  M     n − 2 0   CA  n −1 1  CA  −1 0  0     M  (10-53)   0  1 vôùi φ(s) laø ña thöùc ñaëc tính mong muoán vôùi boä quan saùt traïng thaùi, hay φ(s) = (s - µ1)(s - µ2) . . . (s - µn) vôùi µ1, µ2, . . ., µn caùc giaù trò rieâng mong muoán. Phöông trình (10-53) ñöôïc goïi laø coâng thöùc Ackermann ñeå xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt Ke. Nhaän xeùt veà vieäc löïa choïn heä soá Ke toát nhaát. Töø hình veõ 10-7, chuù yù raèng tín hieäu phaûn hoài qua ma-traän heä soá boä quan saùt Ke nhö laø moät tín hieäu – hieäu chænh ñeán moâ hình ñoái töôïng ñeå buø cho nhöõng thaønh phaàn chöa bieát trong ñoái töôïng. Neáu coù caùc thaønh phaàn chöa bieát khaù lôùn, thì tín hieäu phaûn hoài qua ma- Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 40/51 traän Ke seõ khaù lôùn. Tuy nhieân, neáu tín hieäu ra bò phaù hoûng ñaùng keå do nhieãu vaø nhieãu ño, thì tín hieäu ra y laø khoâng tin caäy vaø tín hieäu phaûn hoài qua ma-traän Ke seõ khaù nhoû. Trong vieäc xaùc ñònh ma-traän Ke, neân kieåm ñònh caån thaän aûnh höôûng cuûa nhieãu vaø nhieãu ño coù trong tín hieäu ra y. Ma-traän heä soá boä quan saùt Ke phuï thuoäc vaøo phöông trình ñaëc tính mong muoán (s - µ1)(s - µ2) . . . (s - µn) = 0 Vieäc choïn moät taäp hôïp µ1, µ2, . . ., µn trong nhieàu tröôøng hôïp caù bieät, khoâng phaûi laø duy nhaát. Do ñoù, nhieàu phöông trình ñaëc tính khaùc nhau coù theå ñöôïc choïn ñeå laøm phöông trình ñaëc tính mong muoán. Vôùi moãi phöông trình ñaëc tính mong muoán, chuùng ta coù moät ma-traän Ke khaùc. Trong thieát keá boä quan saùt traïng thaùi, ñieàu mong muoán laø xaùc ñònh vaøi ma-traän heä soá boä quan saùt Ke döïa treân vaøi phöông trình ñaëc tính mong muoán khaùc nhau. Vôùi moãi ma-traän Ke thöû moâ phoûng ñeå ñaùnh giaù söï thöïc thi cuûa heä thoáng ñöôïc thieát keá. Sau ñoù chuùng ta choïn Ke toát nhaát theo quan ñieåm toát nhaát chung cho toaøn heä thoáng. Trong nhieàu tröôøng hôïp thöïc teá, vieäc choïn ma-traän Ke toát nhaát caàn coù söï thoûa hieäp giöõa ñaùp öùng toác ñoä vaø ñoä nhaïy ñoái vôùi nhieãu vaø nhieãu ño. VÍ DUÏ 10-3 Xeùt heä thoáng Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 41/51 x& = Ax + Bu y = Cx vôùi 0 20.6 A= , 1 0   0  B =  , 1 C = [0 1] Thieát keá boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû, giaû söû raèng caáu truùc heä thoáng laø gioáng nhö ñöôïc veõ treân hình 10-7. Giaû söû raèng caùc giaù trò rieâng mong muoán cuûa ma-traän boä quan saùt laø µ1 = -1.8 + j2.4, µ2 = -1.8 –j2.4 Vieäc thieát keá boä quan saùt traïng thaùi trôû thaønh vieäc xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt Ke Bay giôø chuùng ta kieåm ñònh ma-traän quan saùt ñöôïc. Haïng cuûa [C * 0 1  M A * C *] =   1 0  laø 2. Vì vaäy heä thoáng laø quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn vaø vieäc xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt mong muoán laø khaû thi. Chuùng ta seõ giaûi baøi toaùn naøy baèng 3 phöông phaùp. Phöông phaùp 1: chuùng ta seõ xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt baèng caùch söû duïng phöông trình (10-48). Ma-traän traïng thaùi cho tröôùc A laø ñaõ coù daïng chuaån taéc quan saùt ñöôïc. Vì vaäy ma-traän chuyeån Q = (WN*)-1 laø I. Do ñoù phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng ñaõ cho laø Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi sI − A = s − 20.6 −1 s = s 2 − 20.6 = s 2 + a1 s + a 2 = 0 Phöông trình ñaëc tính mong muoán laø (s + 1.8 – j2.4)(s + 1.8 + j2.4) = s2 + 3.6s + 9 = s2 + α1s + α2 = 0 Vì vaäy α1 = 3.6, α2 = 9 Khi ñoù ma-traän heä soá boä quan saùt Ke coù theå thieát laäp töø phöông trình (10-48) nhö sau: − α 2  1 0 9 + 20.6 29.6 α K e = (WN *) −1  2  = 0 1  3.6 − 0  =  3.6  α 1 α        1  Phöông phaùp 2: Töø phöông trình (10-29), e& = ( A − K e C )e phöông trình ñaëc tính vôùi boä quan saùt laø sI – A + KeC = 0 Goïi k  K e =  e1  k e 2  Khi ñoù phöông trình ñaëc tính trôû thaønh 42/51 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 43/51 s − 20.6 + k e1  s 0 0 20.6  k e1  [ ] − + 0 1 =  0 s  1 −1 s + k e2 0  k e 2     = s2 + ke2s – 10.6 + ke1 = 0 (10-54) Vì phöông trình ñaëc tính mong muoán laø s2 + 3.6s + 9 = 0 baèng caùch so saùnh phöông trình (10-54) vôùi phöông trình cuoái cuøng, chuùng ta coù ke1 = 29.6, ke2 = 3.6 hay 29.6 Ke =    3.6  Phöông phaùp 3: Chuùng ta seõ söû duïng coâng thöùc Ackermann ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-53): −1  C  0  K e = φ ( A)     CA 1 vôùi φ(s) = (s - µ1)(s -µ2) = s2 + 3.6s + 9 Do ñoù φ(A) = A2 + 3.6A + 9I Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 44/51 vaø ( 2 K e = A + 3.6 A + 9 I 29.6 74.16 0 =   3.6 29.6  1 −1 0 1  1 0    1  0  0 1 ) 0  1   29.6 =   3.6  Roõ raøng chuùng ta coù cuøng Ke duø söû duïng 3 phöông phaùp khaùc nhau. Chuù yù raèng heä thoáng ñöôïc xeùt trong ví duï 10-1 vaø heä thoáng hieän ñang xeùt laø ñoái ngaãu nhau. Ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi ñaït ñöôïc trong ví duï 10-1 laø K = [29.6 3.6]. Matraän heä soá boä quan saùt Ke ñaït ñöôïc ôû ñaây quan heä vôùi ma-traän K bôûi Ke = K*. (Vì matraän K vaø Ke laø soá thöïc, cho neân chuùng ta coù theå vieát laø Ke = KT) Phöông trình cho boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû ñöôïc cho ôû phöông trình (10-49): ~ x& = ( A − K e C ) ~ x + Bu + K e y hay x1  0 x&1  0 − 9   ~ ~ 29.6 = + u + y  ~&  1 − 3.6  ~      x   2  1   3.6   x2   Cuoái cuøng, chuù yù raèng töông töï nhö tröôøng hôïp ñaët cöïc, neáu baäc n cuûa heä thoáng laø 4 hoaëc cao hôn, thì caùc phöông phaùp 1vaø 3 ñöôïc söû duïng, vì taát caû caùc tính toaùn ma-traän coù theå ñöôïc thöïc hieän treân maùy tính, trong khi phöông phaùp 2 luoân yeâu caàu tính toaùn baèng tay Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 45/51 phöông trình ñaëc tính coù caùc thoâng soá chöa bieát ke1,ke2, . . ., ken. VÍ DUÏ 10-4 Xeùt heä thoáng x& = Ax + Bu y = Cx vôùi 1 0 0 A=0 0 1 ,   − 6 − 11 − 6 0  B = 0  ,   1 C = [1 0 0] Thieát keá boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû, giaû söû raèng caáu truùc heä thoáng laø gioáng nhö ñaõ veõ trong hình 10-7. Giaû söû raèng caùc giaù trò rieâng mong muoán cuûa ma-traän quan saùt laø µ1 = -2 + j3.464, µ2 = -2 - j3.464, µ3 = -5 Kieåm ñònh ma-traän quan saùt ñöôïc. Haïng cuûa 1 0 0 2 N = C * M A * C * M ( A*) C * = 0 1 0   0 0 1 [ ] laø 3. Do ñoù, h/t laø quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn vaø vieäc x/ñ ma-traän heä soá quan saùt K laø khaû Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi thi. Vì phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng ñaõ cho laø 0  s − 1 −1  sI − A = 0 s   6 11 s + 6 = s3 + 6s2 + 11s + 6 chuùng ta coù a1 = 6, = s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0 a2 = 11, a3 = 6 Phöông trình ñaëc tính mong muoán laø (s - µ1)(s - µ2)(s - µ3) = (s + 2 – j3.464)(s + 2 + j3.464)(s + 5) = s3 + 9s2 + 36s + 80 = s3 + α1s2 + α2s + α3 = 0 do ñoù α1 =9, α2 = 36, α3 = 80 Chuùng ta seõ giaûi baøi toaùn naøy baèng caùch söû duïng phöông trình (10-48): α 3 − a3  K e = ( MN *) −1 α 2 − a 2     α 1 − a1  Chuù yù raèng 46/51 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 1 0 0  N * = 0 1 0  ,   0 0 1 47/51 11 6 1 W =  6 1 0    1 0 0 chuùng ta coù (WN *) −1 11 6 1 1 0 0    =   6 1 0  0 1 0        1 0 0  0 0 1      −1 1  0 0 = 0 1 − 6    1 − 6 25  vì vaäy 1   80 − 6   3  0 0 K e = 0 1 − 6 36 − 11 =  7       1 − 6 25   9 − 6  − 1 Tham khaûo phöông trình (10-49), boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû ñöôïc ñöa ra bôûi ~ x& = ( A − K e C ) ~ x + Bu + K e y hay x&1   − 3 1 0  ~ x1  0 ~ 3  ~&    ~ & 2  + 0  u +  7  y x = − 7 0 1 x 2          ~ ~ & &  x3   − 5 − 11 − 6  x 3  1 − 1 (Lôøi giaûi cho baøi taäp naøy söû duïng phöông phaùp thay theá tröïc tieáp vaø söû duïng coâng thöùc Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 48/51 Ackermann ñöôïc trình baøy ôø baøi taäp A-10-11.) AÛnh höôûng cuûa vieäc theâm boä quan saùt vaøo moät heä thoáng voøng kín. Trong quaù trình thieát keá ñaët cöïc, chuùng ta giaû thieát raèng traïng thaùi thöïc teá x(t) laø coù theå laáy phaûn hoài. Tuy nhieân trong thöïc teá, traïng thaùi thöïc x(t) coù theå khoâng ño ñöôïc, do ñoù chuùng ta seõ caàn thieát keá moät boä quan saùt vaø söû duïng traïng thaùi quan saùt ñöôïc x% (t ) ñeå phaûn hoài nhö hình veõ 10-8. Vì vaäy quaù trình thieát keá coù hai giai ñoaïn, giai ñoaïn ñaàu tieân laø xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài K ñeå taïo ra phöông trình ñaëc tính mong muoán vaø giai ñoaïn thöù hai laø xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt Ke ñeå taïo ra phöông trình ñaëc tính boä quan saùt mong muoán. Baây giôø chuùng ta nghieân cöùu aûnh höôûng cuûa vieäc söû duïng traïng thaùi quan saùt ~x (t), hôn laø traïng thaùi thöïc teá x(t), leân phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng ñieàu khieån voøng kín. Xeùt heä thoáng ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn vaø quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình x& = Ax + Bu y = Cx Vôùi ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi döïa treân traïng thaùi quan saùt ñöôïc ~x , u = − K~ x Vôùi ñieàu khieån naøy, phöông trình traïng thaùi trôû thaønh x& = Ax − BK~ x = ( A − BK ) x + BK ( x − ~ x) (10-55) Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 49/51 Sai leäch giöõa traïng thaùi thöïc x(t) vaø traïng thaùi quan saùt ~x (t) ñaõ ñöôïc ñònh nghóa laø e(t): e(t ) = x(t ) − ~ x (t ) Thay vec-tô sai leäch e(t) vaøo phöông trình (10-55) cho x& = ( A − BK ) x + BKe Hình 10-8 Heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi quan saùt ñöôïc (10-56) Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 50/51 Chuù yù raèng phöông trình sai leäch boä quan saùt ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-29), laø: (10-57) e& = ( A − K e C )e Keát hôïp phöông trình (10-56) vaø (10-57), chuùng ta coù  x&   A − BK  e&  =  0      x A − K e C   e  BK (10-58) Phöông trình (10—58) moâ taû ñaëc tính ñoäng hoïc cuûa heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi ñöôïc quan saùt. Phöông trình ñaëc tính cho heä thoáng laø hay sI − A + BK − BK 0 sI − A + K e C =0 sI – A + BKsI – A + KeC = 0 Chuù yù raèng caùc cöïc voøng kín cuûa heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi ñöôïc quan saùt bao goàm caùc cöïc do thieát keá ñaët cöïc coïng vôùi caùc cöïc do thieát keá boä quan saùt. Ñieàu naøy coù nghóa laø thieát keá ñaët cöïc vaø thieát keá boä quan saùt laø ñoäc laäp nhau. Chuùng coù theå ñöôïc thieát keá rieâng bieät vaø keát hôïp vôùi nhau thaønh daïng heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi ñöôïc quan saùt. Chuù yù raèng neáu baäc cuûa ñoái töôïng laø n, thì boä quan saùt cuõng baäc n (neáu söû duïng boä quan saùt baäc ñuû), vaø ptrình ñaëc tính keát quaû cho toaøn boä heä thoáng voøng kín seõ laø baäc 2n. Caùc cöïc voøng kín mong muoán ñöôïc taïo ra baèng phaûn hoài traïng thaùi (ñaët cöïc) ñöôïc choïn Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 51/51 sao cho heä thoáng thoûa maõn caùc yeâu caàu thöïc hieän. Caùc cöïc cuûa boä quan saùt thöôøng ñöôïc choïn sao cho ñaùp öùng boä quan saùt nhanh hôn nhieàu so vôùi ñaùp öùng heä thoáng. Moät qui taéc laø choïn ñaùp öùng boä quan saùt ít nhaát nhanh gaáp hai ñeán naêm laàn ñaùp öùng heä thoáng. Noùi chung vì boä quan saùt khoâng phaûi laø moät caáu truùc phaàn cöùng maø laø moät chöông trình maùy tính, cho neân coù theå taêng toác ñoä ñaùp öùng sao cho traïng thaùi quan saùt ñöôïc hoäi tuï nhanh choùng veà traïng thaùi thöïc teá. Toác ñoä ñaùp öùng cöïc ñaïi cuûa boä quan saùt thöôøng biï giôùi haïn chæ do nhieãu vaø vaán ñeà ñoä nhaïy coù trong heä thoáng ñieàu khieån. Caàn chuù yù vì caùc cöïc boä quan saùt ñöôïc ñaët beân traùi caùc cöïc voøng kín mong muoán trong quaù trình ñaët cöïc, cho neân caùc cöïc heä thoáng voøng kín troäi hôn trong ñaùp öùng. Haøm truyeàn cuûa boä ñieàu khieån – boä quan saùt. Xeùt heä thoáng x& = Ax + Bu y = Cx Giaû söû raèng heä thoáng laø quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn nhöng x khoâng ño tröïc tieáp ñöôïc. Giaû söû chuùng ta söû duïng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi quan saùt sau: u = − K~ x (10-59) Trong heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi quan saùt ôû hình 10-8, phöông trình boä quan saùt laø ~ x& = ( A − K e C ) ~ x + Bu + K e y (10-60) Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 52/51 Bieán ñoåi Laplace phöông trình (10-59). ~ U ( s ) = − KX ( s ) (10-61) Bieán ñoåi Laplace phöông trình boä quan saùt ñöôïc cho bôûi (10-60) laø ~ ~ sX ( s ) = ( A − K e C ) X ( s ) + BU ( s ) + K eY ( s ) (10-62) vôùi giaû thieát traïng thaùi ñaàu cuûa boä quan saùt baèng 0, hay ~x (0) = 0. Thay phöông trình (10~ 61) vaøo phöông trình (10-62) vaø giaûi vôùi nghieäm X (s), chuùng ta coù ~ X ( s ) = ( sI − A + K e C + BK ) −1 K eY ( s ) Thay phöông trình cuoái cuøng naøy vaøo phöông trình (10-61), chuùng ta coù U ( s ) = − K ( sI − A + K e C + BK ) −1 K eY ( s ) (10-63) ÔÛ ñaây, caû u vaø y laø voâ höôùng. Phöông trình (10-63) cho ta haøm truyeàn giöõa U(s) vaø -Y(s). Hình 10-9 veõ sô ñoà khoái cuûa heä thoáng. Chuù yù raèng haøm truyeàn K(sI – A + KeC + BK)-1Ke Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 53/51 Hình 10-9 Bieåu dieãn sô ñoà khoái cuûa heä thoáng boä ñieàu khieån – boä quan saùt observer hoaït ñoäng moät boä ñieàu khieån cuûa heä thoáng. Vì vaäy chuùng ta goïi haøm truyeàn sau: U(s) = K(sI + KeC + BK)-1Ke -Y(s) (10-64) laø haøm truyeàn boä ñieàu khieån – boä quan saùt. VÍ DUÏ 10-5. Thieát keá heä thoáng ñieàu chænh cho ñoái töôïng sau: x& = Ax + Bu (10-65) y = Cx (10-66) vôùi 1  0 A= ,  20.6 0 0  B =  , 1 C = [1 0] Giaû söû raèng chuùng ta söû duïng phöông phaùp ñaët cöïc ñeå thieát keá heä thoáng vaø caùc cöïc voøng Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 54/51 kín mong muoán vôùi heä thoáng naøy laø s =µi (i = 1, 2), vôùi µ1 = - 1.8 + j2.4 vaø µ2 = - 1.8 j2.4. Ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K cho tröôøng hôïp naøy ñaït ñöôïc ôû ví duï 10-1 nhö sau: K = [29.6 3.6] Söû duïng ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K, tín hieäu ñieàu khieån u seõ laø x  u = − Kx = − [29.6 3.6]  1   x2  Giaû söû raèng chuùng ta söû duïng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi boä quan saùt thay cho ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi thöïc, hay  x%  u = − Kx% = − [ 29.6 3.6]  1   x%2  ôû ñaây chuùng ta choïn caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän heä soá boä quan saùt laø µ1 = µ2 = -8 Thieát laäp ma-traän heä soá boä quan saùt Ke vaø veõ sô ñoà khoái heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài quan saùt traïng thaùi. Sau ñoù thieát laäp haøm truyeàn U(s)/[ -Y(s)] cho boä ñieàu khieån – boä quan saùt vaø veõ sô ñoà khoái cho heä thoáng. Vôùi heä thoáng xaùc ñònh bôûi phöông trình (10-65), ña thöùc ñaëc tính laø Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi sI − A = do ñoù s 1 55/51 = s 2 − 20.6 = s 2 + a1 s + a 2 − 20.6 s a1 = 0, a2 = -20.6 Ña thöùc ñaëc tính mong muoán cuûa boä quan saùt laø (s - µ1)(s - µ2) = (s + 8)(s + 8) = s2 + 16s +64 vì vaäy α1 = 16, α2 = 64 Ñeå xaùc ñònh ma-traän heä soá boä quan saùt, chuùng ta söû duïng phöông trình (10-48), hay a2  −1 α 2 K e = (WN *)   α 1 a1  vôùi N = [C * M a1 W =  1 1 0 1 0 A * C *] =   0 1  0 1  =   1 0 do ñoù −1 0 1 1 0  64 + 20.6 K e =      1 0 0 1   16 − 0  Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 0 1 84.6  16  =   16  = 84.6 1 0      56/51 (10-67) Phöông trình (10-67) ñöa ra ma-traän heä soá boä quan saùt Ke. Phöông trình boä quan saùt ñöôïc ñöa ra bôûi phöông trình (10-49): ~ x& = ( A − K e C ) ~ x + Bu + K e y Vì (10-68) u = − K~ x Phöông trình (10-68) trôû thaønh ~ x& = ( A − K e C − BK ) ~ x + Ke y hay x1   16  1  16  x&1   0  ~ ~ 0  = − − y [ 1 0 ] [ 29 . 6 3 . 6 ]   ~&  +   ~&  20.6 0 84.6       1   x 2     x 2  84.6 x1   16  1  ~  − 16 =  + 84.6 y  ~ x 93 . 6 3 . 6 − −    2   Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng vôùi phaûn hoài traïng thaùi boä quan saùt ñöôïc veõ treân hình 10-10. Töø phöông trình (10-64), haøm truyeàn cuûa boä ñieàu khieån – boä quan saùt laø Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 57/51 U ( s) = K(sI - A + K e C + BK) - 1K e − Y (s) −1 − 1   16   s + 16 = [29.6 3.6]      93.6 s + 3.6 84.6 778.16 s + 3609.72 = 2 s + 19.6 s + 151.2 Hình 10-11 veõ sô ñoà khoái cuûa heä thoáng. Ñaëc tính ñoäng hoïc cuûa heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi boä quan saùt vöøa ñöôïc thieát keá coù theå ñöôïc moâ taû bôûi caùc phöông trình: Vôùi ñoái töôïng, Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi Hình 10-10 Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng vôùi phaûn hoài traïng thaùi quan saùt. (ví duï 10-5.) Hình 10-11 Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng haøm truyeàn. (ví duï 10-5) 58/51 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi Vôùi boä quan saùt, 59/51 1  x1  0  x&1   0 =  x&  20.6 0  x  + 1 u  2    2  x  y = [1 0]  1   x2  x  ~ u = − [29.6 3.6]  ~1   x2  x1   16  1  ~ x&1   − 16 ~ = + y  ~&  − 93.6 − 3.6  ~     x 2  84.6 x 2   Heä thoáng coù baäc laø 4. Phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng laø sI - A + BKsI - A + KeC = (s2 + 3.6s + 9)(s2 + l6s + 64) = s4 + 19.6s3 + 130.6s2 + 374.4s + 576 = 0 Ptrình ñaëc tính naøy cuõng coù theå ñaït ñöôïc töø sô ñoà khoái 10-11. Vì haøm truyeàn voøng kín laø Y(s) 778.16s + 3690.72 = R(s) (s2 + 19.6s + 151.2)(s2 - 20.6) + 778.16s + 3690.72 cho neân phöông trình ñaëc tính (s2+ 19.6s + 15l.2)(s2 - 20.6) + 778.16s + 3690.72 = s4 + 19.6s3+ 130.6s2+ 374.4,s+ 576 = 0 Hieån nhieân, phöông trình ñaëc tính naøy gioáng nhau khi bieåu dieãn heä thoáng daïng haøm truyeàn hoaëc khoâng gian traïng thaùi. Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 60/51 Boä quan saùt baäc toái thieåu (Minimum-order observer). Trong thöïc teá, coù moät vaøi traïng thaùi coù theå ño ñöôïc chính xaùc. Caùc bieán traïng thaùi coù theå ño ñöôïc chính xaùc naøy khoâng caàn phaûi öôùc löôïng. Boä quan saùt öôùc löôïng ít hôn n bieán traïng thaùi, vôùi n laø kích thöôùc cuûa vec-tô traïng thaùi, ñöôïc goïi laø boä quan saùt giaûm baäc (reduced-order observer). Neáu baäc cuûa boä quan saùt giaûm baäc laø nhoû nhaát coù theå, thì boä quan saùt ñöôïc goïi laø boä quan saùt baäc toái thieåu (minimum-order observer). Giaû söû raèng vec-tô traïng thaùi x laø moät n-vec-tô vaø vec-tô ra y laø moät m-vec-tô ño ñöôïc. Vì m bieán ra laø caùc toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc bieán traïng thaùi, m bieán traïng thaùi khoâng caàn phaûi öôùc löôïng. Chuùng ta chæ caàn öôùc löôïng n - m bieán traïng thaùi. Khi ñoù boä quan saùt giaûm baäc trôû thaønh boä quan saùt baäc (n - m). Boä quan saùt baäc (n - m) laø boä quan saùt baäc toái thieåu. Hình 10-12 veõ sô ñoà khoái heä thoáng coù boä quan saùt baäc toái thieåu. Tuy nhieân, ñieàu quan troïng caàn löu yù laø neáu vieäc ño caùc bieán ra bò aûnh höôûng ñaùng keå cuûa nhieãu vaø khoâng ñöôïc chính xaùc, thì söû duïng boä quan saùt baäc ñuû seõ cho keát quả ñaùp öùng toát hôn. Ñeå ñöa ra caùc khaùi nieäm cô baûn veà boä quan saùt baäc toái thieåu, maø khoâng caàn söû duïng caùc coâng thöùc toaùn hoïc phöùc taïp, chuùng ta seõ nghieân cöùu tröôøng hôïp caùc tín hieäu ra laø voâ höôùng (töùc laø, m = 1) vaø ruùt ra phöông trình traïng thaùi cho boä quan saùt baäc toái thieåu. Xeùt heä thoáng Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 61/51 Hình 10-12 Heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi quan saùt vôùi boä quan saùt baäc toái thieåu x& = Ax + Bu y = Cx Vôùi vec-tô traïng thaùi x coù theå phaân tích thaønh 2 phaàn xa (voâ höôùng) vaø xb [ (n-1) vec-tô]. ÔÛ ñaây bieán traïng thaùi xa baèng tín hieäu ra y vaø vì vaäy coù theå ño ñöôïc tröïc tieáp vaø xb laø khoaûng khoâng ño ñöôïc cuûa vec-tô traïng thaùi. Khi ñoù chuùng ta coù:   x& a    Aaa   x&   =  A   b    ba Aab   xa   Ba  +  u    Abb   xb   Bb  (10-69) Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi x  y = [1 0]  a   xb  vôùi 62/51 (10-70) Aaa = voâ höôùng Aab = 1 x (n - 1) ma-traän Aba = (n - 1) x 1 ma-traän ABB = (n - 1) x (n - 1) ma-traän Ba = voâ höôùng BB = (n - 1) X 1 ma-traän Töø phöông trình (10-69), phöông trình khoaûng vec-tô traïng thaùi ño ñöôïc laø x&a = Aaa xa + Aab xb + Ba u hay x& a − Aaa xa − Ba u = Aab xb (10-71) Thaønh phaàn beân traùi phöông trình (10-71) coù theå ño ñöôïc. Phöông trình (10-71) taùc ñoäng nhö phöông trình ra. Trong thieát keá boä quan saùt baäc toái thieåu, chuùng ta xem veá traùi cuûa phöông trình (10-71) laø caùc thoâng soá ñaõ bieát. Do ñoù, phöông trình (10-71) lieân quan ñeán caùc thoâng soá ño ñöôïc vaø khoâng ño ñöôïc cuûa traïng thaùi. Töø phöông trình (10-69), phöông trình cho ñoaïn vec-tô khoâng ño ñöôïc cuûa traïng thaùi laø x&b = Aba xa + Abb xb + Bb u (10-72) Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 63/51 Chuù yù raèng thaønh phaàn Abaxa vaø Bbu laø caùc thoâng soá ñaõ bieát. Phöông trình (10-72) moâ taû ñaëc tính ñoäng hoïc cuûa ñoaïn khoâng ño ñöôïc cuûa traïng thaùi. Chu trình thieát keá coù theå ñöôïc ñôn giaûn hoùa neáu chuùng ta söû duïng kyõ thuaät thieát keá ñöôïc phaùt trieån töø boä quan saùt traïng thaùi baäc ñuû. So saùnh phöông trình traïng thaùi cuûa boä quan saùt baäc ñuû vôùi phöông trình traïng thaùi cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu. Phöông trình traïng thaùi cuûa boä quan saùt baäc ñuû laø x& = Ax + Bu vaø phöông trình traïng thaùi cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu laø x&b = Abb xb + Aba xa + Bb u Phöông trình ra cuûa boä quan saùt baäc ñuû laø y = Cx vaø phöông trình ra cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu laø x& a − Aaa xa − Ba u = Aab xb Vieäc thieát keá boä quan saùt baäc toái thieåu coù theå ñöôïc thöïc hieän nhö sau: Tröôùc heát, chuù yù raèng phöông trình boä quan saùt cuûa cuûa boä quan saùt baäc ñuû ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-49), laø: ~ x& = ( A − K C ) ~ x + Bu + K y (10-73) e e Sau ñoù, thay theá theo baûng 10-2 vaøo phöông trình (10-73), chuùng ta coù Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 64/51 Baûng 10-2 Caùc thay theá trong phöông trình boä quan saùt baäc toái thieåu Full-Order State Observer Minninum-Order State Observe ~ ~ x xb A Bu Y C Ke(n x 1 matrix) Abb Abaxa + Bbu x& a - Aaaxa – Bau Aab Ke[(n - 1) x 1 matrix] ~ x&b = ( Abb − K e Aab ) ~ xb + Aba xa + Bb u + K e ( x& a − Aaa xa − Ba )u (10-74) vôùi ma-traän heä soá boä quan saùt traïng thaùi Ke laø ma-traän (n - 1) x 1. Trong phöông trình ~ (10-74) chuù yù raèng ñeå öôùc löôïng x b chuùng ta caàn laáy vi phaân cuûa xa. Ñieàu naøy laø khoâng theå vaø vì vaäy chuùng ta caàn söûa ñoåi phöông trình (10-74). Chuùng ta vieát laïi phöông trình (10-74). Chuù yù xa = y, ta coù ~ x&b − K e x& a = ( Abb − K e Aab ) ~ xb + ( Aba − K e Aaa ) y + ( Bb − K e Ba )u = ( Abb − K e Aab )( ~ xb − K e y ) + [( Abb − K e Aab ) K e + Aba − K e Aaa ]y + ( Bb − K e Ba )u Goïi vaø x b − K e y = xb − K e x a = η ~ xb − K e y = ~ xb − K e xa = η~ (10-76) Khi ñoù, phöông trình (10-75) trôû thaønh (10-75) Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 65/51 η~& = ( Abb − K e Aab )η~ + [( Abb − K e Aab ) K e + Aba − K e Aaa ] y + ( Bb − K e Ba )u (10-77) Phöông trình (10-77) cuøng vôùi phöông trình (10-76) xaùc ñònh boä quan saùt baäc toái thieåu. Tieáp theo, chuùng ta seõ ruùt ra phöông trình sai leäch boä quan saùt. Söû duïng phöông trình (1071), phöông trình (10-74) coù theå ñöôïc söûa ñoåi nhö sau ~ x&b = ( Abb − K e Aab ) ~ xb + Aba xa + Bb u + K e Aab xb (10-78) x& a − Aaa xa − Ba u = Aab xb (10-71) ~ x&b = ( Abb − K e Aab ) ~ xb + Aba xa + Bb u + K e ( x& a − Aaa xa − Ba )u (10-74) Laáy phöông trình (10-72) tröø cho phöông trình (10-78), chuùng ta coù Goïi x&b − ~ x&b = ( Abb − K e Aab )( xb − ~ xb ) (10-79) x&b = Aba xa + Abb xb + Bb u e = xb − ~ xb = η − η~ (10-72) Khi ñoù phöông trình (10-79) trôû thaønh e& = ( Abb − K e Aab )e (10-80) Ñaây laø phöông trình sai leäch cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu. Chuù yù raèng e laø (n-1) vec-tô. Caùc sai leäch ñoäng hoïc coù theå ñöôïc choïn nhö mong muoán baèng phöông phaùp döïa treân boä quan saùt baäc ñuû, mieãn laø haïng cuûa ma-traän: Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 66/51  Aab   A A   ab bb  M    n−2  Aab Aab  laø n - 1. (Ñaây laø ñieàu kieän tính quan saùt ñaày đđuû aùp duïng cho boä quan saùt baäc toái thieåu.) Phöông trình ñaëc tính cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu ñaït ñöôïc töø phöông trình (10-80) laø: sI − Abb + K e Aab = ( s − µ1 )( s − µ 2 )K ( s − µ n −1 ) ) ) ) = s n − 1 + α1s n − 2 + L + α n − 2 s + α n − 1 = 0 (10-81) vôùi µ1, µ2, . . . , µn - 1 laø caùc giaù trò rieâng mong muoán cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu. Matraän heä soá boä quan saùt Ke coù theå ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch tröôùc heát choïn caùc giaù trò rieâng mong muoán cho boä quan saùt baäc toái thieåu [töùc laø, ñaët caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính (10-81), ôû caùc vò trí mong muoán] vaø sau ñoù söû duïng chu trình ñöôïc phaùt trieån cho boä quan saùt ñuû vôùi caùc söûa ñoåi phuø hôïp. Chaúng haïn, neáu coâng thöùc xaùc ñònh ma-traän Ke ñöôïc ñöa ra bôûi phöông trình (10-48) ñöôïc söû duïng, caàn söûa ñoåi laø ) ) ) )  α n − 1 − an − 1   α n − 1 − an − 1  ) ) ) ) ) α n − 2 − a n − 2  ) ) −1 α n − 2 − a n − 2   = (WN *)   K e = Q (10-82)    M ) ) α1 − a1       M ) ) α1 − a1    Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 67/51 vôùi Ke laø (n - 1) x 1 ma-traän vaø ) N = Aab * Abb * Aab * L ( Abb *) n − 2 Aab * = ( n − 1) x (n − 1) matrix ) ) ) a n − 2 a n − 3 L a1 1 )  a) a L 1 0 n − 3 n − 4  )  W = M M M M  = (n − 1) x (n − 1) matrix  )  a 1 L 0 0 1    1 0 L 0 0 Chuù yù raèng a)1 , a)2 ,. . ., a)n − 2 laø caùc heä soá trong p/t ñaëc tính cuûa phöông trình traïng thaùi ) ) ) sI − Abb = s n − 1 + a1 s n − 2 + L + a n − 2 s + a n − 1 = 0 [ ] Neáu cthöùc Ackermann ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-53) ñöôïc söû duïng, thì caàn söûa ñoåi laø  a ab   A A   ab bb  M K e = φ ( Abb )    n −3 A A ab bb   n−2  Aab Abb  −1 0  0    M   0  1 (10-83) vôùi ) ) ) n −1 n−2 φ ( Abb ) = Abb + α1 Abb + L + α n − 2 Abb + α n − 1 I Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 68/51 VÍ DUÏ 10-6 Xeùt heä thoáng töông töï ôû ví duï 10-4. Giaû söû raèng tín hieäu ra y coù theå ñöôïc ño chính xaùc. Vì vaäy, bieán traïng thaùi x1 (baèng y) khoâng caàn phaûi öôùc löôïng. Thieát keá boä quan saùt baäc toái thieåu. (Boä quan saùt baäc toái thieåu naøy baäc 2.) Giaû söû raèng caùc giaù trò rieâng mong muoán cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu laø µ1 = -2 + j3.464, µ2 = -2 - j3.464 Töø phöông trình (10-81), phöông trình ñaëc tính cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu laø sI – Abb + KeAab = (s - µ1)(s - µ2) = (s + 2 - j3.464)(s + 2 + j3A64) = s2 + 4s + 16 = 0 Chuùng ta seõ söû duïng coâng thöùc Ackermann ñöôïc ñöa ra bôûi phöông trình (10-83). [Baøi taäp A-10-13 ñöa ra caùch xaùc ñònh K söû duïng phöông trình (10-82).] −1 vôùi  Aab  K e = φ ( Abb )    Aab Abb  ) ) 2 φ ( Abb ) = Abb + α 1 Abb + α 2 I 0  1    (10-84) 2 = Abb + 4 Abb + 16 I Vì vaäy  x a   x1  x =   =  x2  ,      xb   x3  1 0 0 A=0 0 1 ,   − 6 − 11 − 6 0  B = 0    1 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi Chuùng ta coù Aab = [1 0], Aaa = 0, Abb 1  0 = , Ba = 0, 11 6 − −   69/51 0 Aba =    − 6 0  Bb =   1  Phöông trình (10-84) trôû thaønh 2 −1  0 1  1   0 1 0 1 0 0 K e =   + 4 − 11 − 6 + 16 0 1 0 1 1         − 11 − 6  5 − 2  0   − 2  =  1 =  17  22 17      Töø phöông trình (10-76) vaø (10-77), phöông trình cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu laø η& = ( Abb − K e Aab )η~ + [( Abb − K e Aab ) K e + Aba − K e Aaa ] y + ( Bb − K e Ba )u vôùi η~ = ~xb − K e y = ~xb − K e x1 (10-85) Chuù yù raèng Abb − K e Aab 1  − 2  0 =  −  17  [1 0] = − 11 − 6     1   2   − 28 − 6 laø phöông trình cuûa boä quan saùt baäc toái thieåu. Phöông trình (10-85), trôû thaønh 1 η~& 2   2 =  ~&  − 28 − 6  η 3   1   − 2  0   − 2   2  0   − 2   η~2  + + − 0 y +    −   0u η~    17  − 6  17   − 28 − 6         3  1  17   Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi hay vôùi hay η~& 2   2  ~&  = − 28 η 3   x2  η~2   ~ = η~   ~ − x  3  3 x 2  η~2  ~ = ~  + ~   x3  η 3  1  − 6 70/51 η~2   13  0  + y + η~  − 52 1u     3  Ke y K e x1 Neáu phaûn hoài traïng thaùi boä quan saùt ñöôïc söû duïng, thì tín hieäu ñieàu khieån u trôû thaønh  x1  u = − K~ x = − K ~ x2    x3   ~ vôùi K laø ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi. (Ma-traän K khoâng ñöôïc xaùc ñònh trong ví duï naøy.) Hình 10-13 laø sô ñoà khoái veõ caáu truùc cuûa heä thoáng vôùi phaûn hoài traïng thaùi boä quan saùt, vôùi boä quan saùt laø boä quan saùt baäc toái thieåu. Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi Hình 10-13 Heä thoáng vôùi phaûn hoài traïng thaùi boä quan saùt vôùi boä quan saùt baäc toái thieåu ñöôïc thieát keá ôû ví duï 10-6 71/51 Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 72/51 Heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi quan saùt vôùi boä quan saùt baäc toái thieåu Vôùi tröôøng hôïp heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi quan saùt vôùi boä quan saùt baäc ñuû, chuùng ta ñaõ chöùng minh raèng caùc cöïc voøng kín cuûa heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi quan saùt bao goàm caùc cöïc do thieát keá ñaët cöïc, coïng vôùi caùc cöïc do thieát keá boä quan saùt. Do ñoù thieát keá ñaët cöïc vaø thieát keá boä quan saùt baäc ñuû laø ñoäc laäp nhau. Vôùi heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi quan saùt coù boä quan saùt baäc toái thieåu, ta cuõng coù keát luaän töông töï. Phöông trình ñaëc tính heä thoáng coù theå ñöôïc ruùt ra nhö sau sI – A + BKsI – Abb + KeAab = 0 (Xem baøi taäp A-10-12.) Caùc cöïc voøng kín cuûa heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi boä quan saùt coù boä quan saùt baäc toái thieåu thoûa hieäp vôùi caùc voøng kín do ñaët cöïc [caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän (A - BK)] vaø caùc cöïc voøng kín do boä quan saùt baäc toái thieåu [caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän (Abb - KeAab)]. Vì vaäy, thieát keá ñaët cöïc vaø thieát keá boä quan saùt baäc toái thieåu laø ñoäc laäp nhau. Chöông 10. Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån baèng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi 73/51 A-10-9 K = [α n − an α n −1 − an −1 ... α 2 − a2 α1 − a1 ]T −1 T = MW = C * * Vì W = W , ta co ù (10 − 168) A*C * ... ( A* ) n −1 C *  W = NW T * = W * N * = WN * , (T * ) −1 = (WN * ) −1 Laáy lieân hôïp chuyeån vò caû hai veá cuûa ptr (10-168), ta coù:  α n − an   α n − an   α n − an  α − a  α − a  α − a  K * = (T −1 )*  n −1 n −1  = (T * ) −1  n −1 n −1  = (WN * ) −1  n −1 n −1        ... ... ...       α α α − a − a − a  1 1   1 1   1 1  [...]... phản hồi trạng thái được quan sát bao gồm các cực do thiết kế đặt cực cọng với các cực do thiết kế bộ quan sát Điều này có nghóa là thiết kế đặt cực và thiết kế bộ quan sát là độc lập nhau Chúng có thể được thiết kế riêng biệt và kết hợp với nhau thành dạng hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái được quan sát Chú ý rằng nếu bậc của đối tượng là n, thì bộ quan sát cũng bậc n (nếu sử dụng bộ quan sát bậc... pháp không gian trạng thái 48/51 Ackermann được trình bày ờ bài tập A -10- 11.) Ảnh hưởng của việc thêm bộ quan sát vào một hệ thống vòng kín Trong quá trình thiết kế đặt cực, chúng ta giả thiết rằng trạng thái thực tế x(t) là có thể lấy phản hồi Tuy nhiên trong thực tế, trạng thái thực x(t) có thể không đo được, do đó chúng ta sẽ cần thiết kế một bộ quan sát và sử dụng trạng thái quan sát được x% (t... ma-trận hệ số bộ quan sát là µ1 = µ2 = -8 Thiết lập ma-trận hệ số bộ quan sát Ke và vẽ sơ đồ khối hệ thống điều khiển phản hồi quan sát trạng thái Sau đó thiết lập hàm truyền U(s)/[ -Y(s)] cho bộ điều khiển – bộ quan sát và vẽ sơ đồ khối cho hệ thống Với hệ thống xác đònh bởi phương trình (10- 65), đa thức đặc tính là Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái sI − A... 3. 6]      93. 6 s + 3. 6 84.6 778.16 s + 36 09.72 = 2 s + 19.6 s + 151.2 Hình 10- 11 vẽ sơ đồ khối của hệ thống Đặc tính động học của hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái bộ quan sát vừa được thiết kế có thể được mô tả bởi các phương trình: Với đối tượng, Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái Hình 10- 10 Sơ đồ khối của hệ thống với phản hồi trạng thái quan. .. phản hồi trạng thái quan sát ở hình 10- 8, phương trình bộ quan sát là ~ x& = ( A − K e C ) ~ x + Bu + K e y (10- 60) Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái 52/51 Biến đổi Laplace phương trình (10- 59) ~ U ( s ) = − KX ( s ) (10- 61) Biến đổi Laplace phương trình bộ quan sát được cho bởi (10- 60) là ~ ~ sX ( s ) = ( A − K e C ) X ( s ) + BU ( s ) + K eY ( s ) (10- 62)... trạng thái quan sát ~x (t) đã được đònh nghóa là e(t): e(t ) = x(t ) − ~ x (t ) Thay vec-tơ sai lệch e(t) vào phương trình (10- 55) cho x& = ( A − BK ) x + BKe Hình 10- 8 Hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái quan sát được (10- 56) Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái 50/51 Chú ý rằng phương trình sai lệch bộ quan sát được cho bởi phương trình (10- 29), là: (10- 57)... DỤ 10- 3 Xét hệ thống Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái 41/51 x& = Ax + Bu y = Cx với 0 20.6 A= , 1 0   0  B =  , 1 C = [0 1] Thiết kế bộ quan sát trạng thái bậc đủ, giả sử rằng cấu trúc hệ thống là giống như được vẽ trên hình 10- 7 Giả sử rằng các giá trò riêng mong muốn của ma-trận bộ quan sát là µ1 = -1.8 + j2.4, µ2 = -1.8 –j2.4 Việc thiết kế bộ. .. 6 3 6 ]   ~&  +   ~&  20.6 0 84.6       1   x 2     x 2  84.6 x1   16  1  ~  − 16 =  + 84.6 y  ~ x 93 6 3 6 − −    2   Sơ đồ khối của hệ thống với phản hồi trạng thái bộ quan sát được vẽ trên hình 10- 10 Từ phương trình (10- 64), hàm truyền của bộ điều khiển – bộ quan sát là Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái. .. được trạng thái hoàn toàn và quan sát được hoàn toàn được xác đònh bởi phương trình x& = Ax + Bu y = Cx Với điều khiển phản hồi trạng thái dựa trên trạng thái quan sát được ~x , u = − K~ x Với điều khiển này, phương trình trạng thái trở thành x& = Ax − BK~ x = ( A − BK ) x + BK ( x − ~ x) (10- 55) Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp không gian trạng thái 49/51 Sai lệch giữa trạng thái. .. thiết kế bộ quan sát trạng thái trở thành việc xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát Ke Bay giờ chúng ta kiểm đònh ma-trận quan sát được Hạng của [C * 0 1  M A * C *] =   1 0  là 2 Vì vậy hệ thống là quan sát được hoàn toàn và việc xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát mong muốn là khả thi Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng 3 phương pháp Phương pháp 1: chúng ta sẽ xác đònh ma-trận hệ số bộ quan sát bằng ... hồi trạng thái quan sát với quan sát bậc đủ, chứng minh cực vòng kín hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái quan sát bao gồm cực thiết kế đặt cực, cọng với cực thiết kế quan sát Do thiết kế đặt... đo trạng thái Chu trình thiết kế đơn giản hóa sử dụng kỹ thuật thiết kế phát triển từ quan sát trạng thái bậc đủ So sánh phương trình trạng thái quan sát bậc đủ với phương trình trạng thái quan. .. hồi trạng thái quan sát, với quan sát quan sát bậc tối thiểu Chương 10 Thiết kế hệ thống điều khiển phương pháp không gian trạng thái Hình 10-13 Hệ thống với phản hồi trạng thái quan sát với quan