Trêng THPT Lý Nh©n T«ng së gi¸o dôc ®µo t¹o b¾c ninh trêng thpt Lý Nh©n t«ng ---------------- S¸nG kiÕn kinh nghiÖm ®¨ng ký cÊp ngµnh §Ò tµi : Bæ sung c¸c kÜ thuËt khi sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si Chñ nhiÖm SKKN : Lª ThÞ Hång Thuý Chøc vô : Gi¸o viªn Tæ: To¸n-Tin Trêng THPT Lý Nh©n T«ng N¨m häc: 2011 - 2012 GV:Lª ThÞ Hång Thuý 1 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng Môc lôc Lêi më ®Çu I. C¬ së lÝ luËn vµ lÝ do chän ®Ò tµi II.PhÇn néi dung ®Ò tµi II.1 HÖ thèng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ bÊt ®¼ng thøc C«si II.2 C¸c kÜ thuËt chÝnh 1. Ph¬ng ph¸p chøng minh trùc tiÕp 2. KÜ thuËt dïng ho¸n vÞ vßng 3. Ph¬ng ph¸p c©n b»ng tæng 4. Ph¬ng ph¸p c©n b»ng tÝch 5. Ph¬ng ph¸p thªm h¹ng tö vµ chän ®iÓm r¬i C«si 6. KÜ thuËt nh©n nghÞch ®¶o 7.KÜ thuËt C«si ngîc dÊu II.3 C¸c bµi tËp chän läc II.4KÕt qu¶ kiÓm chøng cña chuyªn ®Ò. III.KÕt kuËn IV.Phô lôc. Trang 2 3 4 4 7 8 10 11 16 17 20 24 25 26 Lêi më ®Çu I.1 C¬ së lÝ luËn, c¬ së thùc tiÔn vµ lÝ do chän ®Ò tµi. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y to¸n cÇn thêng xuyªn rÌn luyÖn cho häc sinh c¸c phÈm chÊt trÝ tuÖ cã ý nghÜa lín lao ®èi víi viÖc häc tËp, rÌn luyÖn vµ tu dìng trong cuéc sèng cña häc sinh. §èi víi häc sinh kh¸ giái, viÖc rÌn luyÖn cho c¸c em tÝnh linh GV:Lª ThÞ Hång Thuý 2 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng ho¹t, tÝnh ®éc lËp, tÝnh s¸ng t¹o, tÝnh phª ph¸n cña trÝ tuÖ lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cÇn thiÕt trong viÖc häc to¸n. BÊt ®¼ng thøc lµ mét m«n häc khã ®èi víi ®a sè häc sinh nhng còng lµ mét m¶ng kiÕn thøc dÔ ®©m chåi n¶y léc nh÷ng b«ng hoa ®Ñp nhÊt cña tÝnh s¸ng t¹o, sù kiªn tr×, ham häc hái. RÌn luyÖn vÒ bÊt ®¼ng thøc gióp häc sinh t¨ng cêng kh¶ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n, ph¸t triÓn t duy cho häc sinh. Qua vµt n¨m gi¶ng d¹y theo chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc t«i ®· rót ra nhiÒu kinh nghiÖm, c¶i tiÕn còng nh cã c¸c s¸ng kiÕn míi ®Ó gi¶ng d¹y m¶ng kiÕn thøc nµy. ChÝnh v× vËy còng m¹nh d¹n ®a lªn ®Ó c¸c thµy c« gi¸o tham kh¶o ®¸nh gi¸, cïng bµn b¹c ®Ó t×m ®îc c¸c ph¬ng híng míi, c¸ch thøc míi ®Ó gi¶ng d¹y hiÖu qu¶ h¬n,gióp häc sinh tiÕp cËn kiÕn thøc dÔ dµng vµ høng thó h¬n. C¸c ®iÒu míi trong s¸ng kiÕn lÇn nµy lµ: bæ sung kÜ thuËt nh©n nghÞch ®¶o, lÊy nhiÒu vÝ dô hay vµ ®Ñp cho c¸c ph¬ng ph¸p ®Ò ra, ®Æc biÖt lµ ph¬ng ph¸p thªm h¹ng tö vµ chän ®iÓm r¬i C«si, sù bè trÝ c¸c bµi tËp hîp lÝ ngay sau c¸c lÝ thuyÕt nh thÕ nµo, bæ sung c¸c lêi gi¶i và híng dÉn cho c¸c bµi tËp mµ tríc ®©y chØ cã ®Ò bµi. Hi väng víi mét lîng bµi tËp vµ c¸c vÝ dô võa ®ñ sÏ cã t¸c dông tèt cho c¸c em häc sinh. C¸c thÇy c« chØ cÇn bæ sung mét lîng bµi tËp nhá lµ cã thÓ x©y dùng c¸c chuyªn ®Ò hay cho häc sinh cña m×nh. Víi sù nhiÖt t×nh vµ say mª s¸ng t¹o c¸c thÇy c« gi¸o sÏ gióp cho c¸c em häc sinh tù tin, dÇn tù m×nh t×m tßi häc hái ®Ó lµm chñ ®îc kiÕn thøc, ®ã lµ mét thµnh c«ng rÊt lín cña c¸c thÇy c« gi¸o. §èi tîng kh¶o s¸t:Häc sinh líp 10A1 vµ 12A1 trêng THPT Lý Nh©n T«ng. I.2 Tãm t¾t néi dung chÝnh cña ®Ò tµi §Ò tµi ®îc tr×nh bµy theo cÊu tróc sau: *)HÖ thèng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n quan träng *)HÖ thèng c¸c kÜ thuËt ®îc sö dông, bao gåm c¸c vÝ dô minh häa vµ c¸c bµi tËp ®i kÌm ®Ó cñng cè. *)PhÇn bµi tËp cã chän läc ®Ó gióp häc sinh rÌn luyÖn c¸c kÜ n¨ng. *) Mét sè ®Ò xuÊt kiÕn nghÞ vµ c¸c híng khai th¸c kÕt qu¶. GV:Lª ThÞ Hång Thuý 3 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng II.PhÇn néi dung ®Ò tµi II.1 HÖ thèng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ bÊt ®¼ng thøc C«si BÊt ®¼ng thøc C«si (B§T C«si) ®îc nhµ to¸n häc ngêi Ph¸p Augustin Louis Cauchy ®a ra, nã cã d¹ng sau: D¹ng tæng qu¸t: Cho a1,a2,…an lµ c¸c sè kh«ng ©m th×: a1 + a 2 +... + a n ≥ n a1 a 2 ...a n n §¼ng thøc x¶y ra khi a1 = a2 = … = an Chóng ta thêng sö dông cho bé hai sè hoÆc bé ba sè, cô thÓ lµ: Víi 2 sè:Cho a ≥ 0, b ≥ 0 a + b ≥ 2 ab §¼ng thøc x¶y ra khi a = b HÖ qu¶1:Hai sè d¬ng cã tæng kh«ng ®æi,tÝch cña chóng lín nhÊt khi 2 sè b»ngnhau. HÖ qu¶2:Hai sè d¬ng cã tÝch kh«ng ®æi,tæng cña chóng nhá nhÊt khi 2 sè b»ngnhau Víi 3 sè:Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ;c≥ 0 ta lu«n cã a + b + c ≥ 33 abc §¼ng thøc x¶y ra khi a = b = c Khi sö dông B§T C«si ta ph¶i chó ý ®iÒu kiÖn ®Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc lµ c¸c sè a, b, c lµ nh÷ng sè kh«ng ©m. Mét ®iÒu rÊt quan träng lµ ph¶i nhÊn m¹nh cho häc sinh lµ dÊu b»ng x¶y ra khi nµo, ®iÒu ®ã rÊt quan träng ®Ó sö dông kÜ thuËt c©n b»ng tæng vµ c©n b»ng tÝch sau nµy. GV:Lª ThÞ Hång Thuý 4 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng §Ó cho c¸c em häc sinh dÔ nhí c¸c thÇy c« nhÊn m¹nh vµ giíi thiÖu thÕ nµo lµ trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n, v× vËy ta thÊy c¸c bÊt ®¼ng thøc C«si ®Òu cã d¹ng chung lµ trung b×nh céng lín h¬n hoÆc b»ng trung b×nh nh©n. II.2 C¸c kÜ thuËt chÝnh 1. Sö dông trùc tiÕp bÊt ®¼ng thøc C«si. Môc ®Ých chÝnh cña líp bµi tËp nµy lµ gióp häc sinh lµm quen vµ cã høng thó ®Çu tiªn khi sö dông bÊt ®¼ng thøc c«si. a b (1) + ≥2 b a Ph©n tÝch: Ta ®· chøng minh ®îc bµi tËp nµy b»ng ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, sau ®©y lµ mét c¸ch lµm kh¸c: Bµi tËp 1. Chøng minh r»ng ∀a > 0, b > 0 : Gi¶i: do a>0 vµ b>0 nªn a b > 0, > 0 v× vËy ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: b a a b ab a b a b + ≥2 ⇔ + ≥2 1⇔ + ≥2 b a ba b a b a DÊu b»ng x¶y ra khi a b = ⇔ a2 = b2 ⇔ a = b b a C¸c bµi tËp mµ c¸c thÇy c« gi¸o cho häc sinh vËn dông t¬ng tù cã thÓ lµ: ∀a, b, c > 0 CMR : 1) a b c b c 4 + + ≥ 3 2) 2a + + ≥ 3 3 2c 3) a + ≥ 4 b c a a b a TiÕp tôc ph¸t triÓn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng: ∀a, b > 0 1 1 (a + b)( + ) ≥ 4 a b (2) Ph©n tÝch: Cã nhiÒu c¸ch gi¶i bµi tËp trªn: C¸ch 1: lµ nh©n ra ë vÕ tr¸i sau ®ã ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho a/b vµ b/a. C¸ch 2: Qui ®ång råi ®a vÒ (a+b)2 ≥ 4ab, khai c¨n ®Ó trë vÒ bÊt ®¼ng thøc C«si v.v... Tuy nhiªn c¸c phÐp biÕn ®æi ®ã lµ dµi ta cã thÓ lµm nh sau: Gi¶i: V× a > 0, b > 0 nªn 1 > 0, a 1 > 0 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: b a + b ≥ 2 ab  1 1 1 1 1  1 1 1  ⇒ ( a + b)( a + b ) ≥ 2 ab .2 ab ⇔ ( a + b)( a + b ) ≥ 4 + ≥2  a b ab  DÊu b»ng x¶y ra khi a = b. C¸c bµi tËp t¬ng tù cã thÓ dïng ®Ó cñng cè GV:Lª ThÞ Hång Thuý 5 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 1 1 1 1) ∀a, b, c > 0 (a + b + c )( + + ) ≥ 9 a b c (3) 2) ∀a, b, c ≥ 0 i) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ii) (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab iii) (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 9abc iv) a b c ( + 1)( + 1)( + 1) ≥ 8 b c a v) a 3b a 3 c b 3 c b 3 a c 3 a c 3b + + + + + ≥ 6abc c b a c b a (4) (5) (6) (7) a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ≥ 6abc Lóc nµy ta nªn chó ý cho häc sinh lµ: tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn b»ng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ta cã thÓ suy ra mét sè bÊt ®¼ng thøc phô kh¸ h÷u Ých: vi) 1 1 4 + ≥ a b a+b 1 4 ≥ ab ( a + b) 2 ( (2a) (2b) a+b 2 ) ≥ ab 2 1 1 1 1 ≤ ( + ) a+b 4 a b (2c) (2d) 1 1 1 1 1 ≤ ( + + ) (3a) a+b+c 9 a b c Mµ nã cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i mét vµi bµi tËp khã rÊt ®¬n gi¶n: 1) Víi a + b + c ≥ 1, a, b, c > 0 CMR: 1 1 1 + 2 + 2 ≥9 a + 2bc b + 2ac c + 2ba 2) 2 (§¹i häc B¸ch khoa) §HKHTN - 2000: Cho x, y, z > 0 víi x 2 + y 2 +z 2 ≤3 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P= 1 1 1 + + xy + 1 zy + 1 xz + 1 (9) Gi¶i: GV:Lª ThÞ Hång Thuý 6 (8) Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 1 1 1 + + )( xy + 1 + yz + 1 + zx + 1) ≥ 9 xy + 1 zy + 1 xz + 1 9 9 9 A= ≥ 2 ≥ xy + yz + zx + 3 x + y 2 + z 2 + 3 6 ( VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 3/2. 2. KÜ thuËt dïng ho¸n vÞ vßng. §©y lµ mét kÜ thuËt phæ biÕn khi dïng bÊt ®¼ng thøc C«si , rÊt ®¬n gi¶n vµ hiÖu qu¶ khi dïng vµ t¹o rÊt nhiÒu høng thó cho häc sinh. ab bc ac + + ≥ a + b + c (9) c a b Ph©n tÝch: NÕu ¸p dông ngay bÊt ®¼ng thøc C«si cho 3 sè h¹ng ta thÊy khã cã thÓ lµm ngay ®îc, v× vËy ta cÇn linh ho¹t vËn dông cho tõng bé hai sè. Bµi tËp 3: Chøng minh ∀a, b, c > 0 th× Gi¶i: V× a > 0, b > 0, c > 0 nªn ab bc > 0, > 0, c a ac > 0 ¸p dông bÊt ®¼ng b thøc C«si cho c¸c cÆp:  ab bc ab bc ab bc + ≥2 . ⇔ + ≥ 2b  c a c a c a   bc ac bc ac bc ac ab bc ac + ≥2 . ⇔ + ≥ 2c  ⇒ 2( + + ) ≥ 2(a + b + c) ⇒ ®pcm a b a b a b c a b   ac ba ac ba ac ba + ≥2 . ⇔ + ≥ 2a  b c b c b c  DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c. Bµi tËp 4: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh: a 3 + b3 + c 3 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab . ( ) Giải: Theo BĐT Cosi ta có: 4a 3 + b3 + c 3 ≥ 6 6 a 3 4 b3c 3 = 6a 2 bc ; tương tự ta cũng có: 4b3 + c3 + a 3 ≥ 6b 2 ca ;4c 3 + a 3 + b3 ≥ 6c 2 ab cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Ta thÊy r»ng ph¬ng ph¸p nµy ¸p dông cã hiÖu qu¶ rÊt tèt cho mét líp c¸c bµi tËp sau: 1) GV:Lª a b c 1 1 1 + + ≥ + + bc ac ab a b c ThÞ Hång Thuý 7 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 2) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ca + bc 3) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ca a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc (a + b + c) . 4) Ngoµi ra ®Ó tr¸nh nhµm ch¸n c¸c thÇy c« cã thÓ bæ sung thªm mét lo¹t c¸c bµi tËp kh¸c ë møc ®é khã h¬n: 1) Chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) x x x 2) Chøng minh r»ng :  12 ÷ +  15 ÷ +  20 ÷ ≥ 3x + 4 x + 5 x ( khèi D-2004)  5  4  3  3) NÕu x, y z lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n xyz = 1 th× 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥3 3 xy yz zx 2 2 2 2 2 2 4) ∀a, b, c > 0 : a + b + c ≤ a + b + b + c + c + b 2c 2a 2a 3. Ph¬ng ph¸p c©n b»ng tæng Ph¬ng ph¸p nµy xuÊt ph¸t tõ mét nhËn xÐt s©u s¾c trong s¸ch gi¸o khoa, tøc lµ khi “ nÕu hai sè d¬ng cã tÝch kh«ng ®æi th× tæng cña chóng nhá nhÊt khi vµ chØ khi chóng b»ng nhau”. Më réng mét c¸ch tù nhiªn th× ®Ó chøng minh tæng S= S1 + S2+ ... + Sn ≥ m , ta biÕn ®æi S = A1+A2+...+An lµ c¸c sè kh«ng ©m mµ cã tÝch A1A2...An = C kh«ng ®æi, sau ®ã ta ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si. Bµi tËp 5: VÝ dô: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f(x) = x + 1 khi x > 1 x −1 Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè x - 1 > 0 vµ 1 > 0 ta cã x −1 1 1 1 1 ≥ 2 ( x − 1) ⇔ x −1+ ≥2⇔ x+ ≥3. x −1 x −1 x −1 x −1 VËy f(x) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 3 khi x = 2. x −1+ Bµi tËp 6. Chøng minh r»ng nÕu x > -1 th× 2 x + 1 ≥1 ( x + 1) 2 Ph©n tÝch: NÕu ¸p dông ngay bÊt ®¼ng thøc C«si th× ta thÊy cha ra kÕt qu¶, nhng nÕu t¸ch 2x thµnh x+1+x+1-2 th× cã ngay ®iÒu ph¶i chøng minh. GV:Lª ThÞ Hång Thuý 8 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng Bµi tËp 7. Chøng minh r»ng nÕu x ≥ 0 th× x + 27 ≥ 1. ( x + 3) 3 Ph©n tÝch: BiÕn ®æi vÕ tr¸i thµnh mét tæng cña c¸c sè h¹ng cã tÝch kh«ng ®æi, v× vËy ph¶i ph©n tÝch x thµnh 3 sè h¹ng lµ (x+3)/3 Gi¶i: BÊt ®¼ng thøc ®· cho t¬ng ®¬ng ⇔ x+3 x+3 x+3 27 + + + −3 ≥1 3 3 3 ( x + 3) 3 x+3 x+3 x+3 27 + + + ≥ 4 . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho 4 sè d¬ng gåm 3 3 3 ( x + 3) 3 ba sè 27 x+3 vµ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. ( x + 3) 3 3 DÊu b»ng x¶y ra khi x=0 Bµi tËp 8 Cho x > y ≥ 0 . Chứng minh: 2 x + 32 ≥ 5. ( x − y )(2 y + 3) 2 Giải: Ph©n tÝch: BiÕn ®æi vÕ tr¸i thµnh mét tæng cña c¸c sè h¹ng cã tÝch kh«ng ®æi, v× vËy ph¶i ph©n tÝch 2x thµnh 3 sè h¹ng lµ (4x-4y);(2y+3);(2y+3) vµ thªm bít 6 Ta có: 4 x − 4 y + (2 y + 3) + (2 y + 3) + 64.4 − 6 ≥ 4 4 64.4 − 6 = 16 − 6 = 10 2 (4 x − 4 y )(2 y + 3) Từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi: 4 x − 4 y = 2 y + 3 = 4 ⇔ x = 3/ 2; y = 1/ 2 . §Ó luyÖn tËp ta cã thÓ cho c¸c em ¸p dông nh÷ng bµi t¬ng tù sau: 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x + 2 víi x > 0 2x + 1 2) Chøng minh r»ng nÕu nÕu x > - 3 th× 2x 9 + ≥1 3 ( x + 3) 2 3) Chøng minh r»ng nÕu a > b > 0 th× a+ b ≥3 (a − b)(b + 1) 2 4) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = x + y biÕt x > 0, y > 0 tho¶ m·n: 2 3 + =1 x y Híng dÉn: tõ biÓu thøc ta cã y = GV:Lª ThÞ Hång Thuý 3x 6 do vËy = 3+ x−2 x−2 9 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng Q = x + y = x +3+ 6 6 = x−2+ +5 x−2 x−2 2 2 ab a + b 5) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc R = víi a > 0, b > 0 + ab a2 + b2 Hd: R = ab a 2 + b 2 3 a 2 + b 2 sau ®ã dïng bÊt ®¼ng thøc C«si. C¸c + + . a 2 + b2 4ab 4 ab thÇy c« cè g¾ng ®Æt cho häc sinh cho häc sinh c©u hái lµ t¹i sao l¹i lµm nh vËy? 6) Chøng minh r»ng ( x + 2) 2 + 2 ≥ 3 (a > 0) x+2 4. Ph¬ng ph¸p c©n b»ng tÝch. Tõ mét hÖ qu¶ quan träng trong s¸ch gi¸o khoa: “ NÕu hai sè d¬ng cã tæng kh«ng ®æi th× tÝch cña chóng lín nhÊt khi vµ chØ khi chóng b»ng nhau“. Më réng ta cã: ®Ó chøng minh mét biÓu thøc cã d¹ng P= P1P2...Pn ≤ M ta ph©n tÝch P = B1B2...Bn lµ c¸c sè kh«ng ©m mµ tæng B1 + B2+ ... + Bn = C lµ mét sè kh«ng ®æi. Bµi tËp 9. Cho a > 0, b > 0 vµ a + b = 1 chøng minh r»ng ab2 ≥ 4 . 27 Ph©n tÝch: ta cÇn t¸ch biÓu thøc ab2 thµnh mét tÝch cã tæng kh«ng ®æi mµ tæng ®ã ch¾c ch¾n ph¶i liªn quan ®Õn a + b = 1. Gi¶i: ab2 = 4a. b/2,b/2 ta cã: 3 b b mµ theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 3 sè d¬ng lµ a, . 2 2 b b a. . ≤ 2 2 a+ b b + 2 2 = 1 ⇒ a. b . b ≤ 1 ⇒ 4a. b . b ≤ 4 ⇒ ®pcm. 3 3 2 2 27 2 2 27 DÊu b»ng x¶y ra khi a = 1/3; b = 2/3. Bµi tËp 10: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: x + y ≤ 4;3 x + y ≤ 6 . Tìm GTLN của biểu thức: P = 9. 3 x + 4 y . Giải: Theo BĐT Cosi ta có: P = 3.3 3 x.1.1 + 2 2 .2 y.3 ≤ 3( x + 2) + ( y + 3) 3 3 = a ( x + y ) + b(3 x + y ) + 6 + 2 3 ≤ 4a + 6b + 6 + 2 3 = 4. GV:Lª ThÞ Hång Thuý 10 2 3 −3 9−2 3 + 6. +6+ 2 6 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng = 9 + 4 3 . ( Do a + 3b = 3 & a + b = 2 / 3 ⇒ a = (2 3 − 3) / 2 & b = (9 − 2 3) / 6 ). Vậy MaxP = 9 + 4 3 khi x = 1& y = 3 . C¸c bµi tËp t¬ng tù mµ c¸c thÇy c« cã thÓ vËn dông cho häc sinh lµ: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 1) y = 4x3 - 3x2 víi 0 ≤ x ≤ 4/3 2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) víi 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4 3) y = (2 + x) (4 - x2) víi 0 ≤ x ≤ 4 4) y = x (1 - x2) víi 0 ≤ x ≤ 1 5) y = 2 x − 3 + 5 − 2 x 5. Ph¬ng ph¸p thªm h¹ng tö vµ chän ®iÓm r¬i C«si §©y lµ ph¬ng ph¸p rÊt l«i cuèn häc sinh, b»ng c¸ch thªm c¸c sè h¹ng phï hîp vµ sö dông khÐo lÐo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã thÓ ®¹t nh÷ng kÕt qu¶ kh«ng ngê! a2 b2 c2 th× ∀a, b, c > 0 + + ≥ a+b+c b c a Ph©n tÝch: tríc hÕt ta nhËn thÊy nÕu ¸p dông ngay bÊt ®¼ng thøc C« si th× còng kh«ng ra ®îc kÕt qu¶, kÜ thuËt vßng còng kh«ng gi¶i quyÕt ®îc. B©y giê ta ®¸nh gi¸ dÊu b»ng x¶y ra khi nµo, dÔ nhËn thÊy ®ã lµ khi a = b = c khi ®ã a2/b =a v× vËy ta thªm b vµo phÇn tö ®¹i diÖn a2/b ®Ó cã chøng minh sau: Chøng minh: Bµi tËp 11. Chøng minh 2 2 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho c¸c sè d¬ng a , b, b , c, c , a th× ta cã: b c a a2 b2 c2 + b ≥ 2a; + c ≥ 2b; + a ≥ 2c b c a 2 2 2 a b c a 2 b2 c2 ⇒ + b + + c + + a ≥ 2a + 2b + 2c ⇒ + + ≥ a + b + c b c a b c a Tuy nhiªn c©u hái ®Æt ra lµ t¹i sao l¹i thªm h¹ng tö b cho a2/b? Gi¶ sö cÇn thªm cho a2/b sè h¹ng m. sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: a2/b + m ≤2 a2 m . VËy m cÇn ®îc chän sao cho: b 2 1. a m cã thÓ triÖt tiªu ®îc b, hay lµ mÊt mÉu sè do vÕ tr¸i cña b®t kh«ng cã b mÉu GV:Lª ThÞ Hång Thuý 11 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 2. Khi dÊu b»ng x¶y ra th× a2/b = m = a = b = c. Râ rµng m chØ cã thÓ b»ng b ®îc th«i. Bµi tËp sau sÏ lµm s¸ng tá h¬n: Bµi tËp12. Chøng minh r»ng ∀a, b, c > 0 th× a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a+c b+a 2 2 Ph©n tÝch: Ta cÇn thªm cho a b+c mét sè m tho¶ m·n: 1. rót gän ®îc mÉu sè (b+c) sau khi ¸p dông b®t C«si 2 2 a ( +m ≥ 2 a m ) b+c b+c 2 2. dÊu b»ng cña bÊt ®¼ng thøc C«si x¶y ra ®îc nghÜa lµ a = m vµ a= b = c b+c suy ra m = 2 b+c Vµ ®Ó tÝnh α th× a = m = b + c . DÔ thÊy khi thay a=b=c th× α =4. α b+c α Chøng minh: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho c¸c sè d¬ng a2 b + c b2 c + a c2 a + b , , , , , b+c 4 c+a 4 a+b 4 th× ta cã:  a2 b+c + ≥ a b+c 4  b2 c+a a2 b+c b2 c+a c2 a+b  + ≥ b ⇒ + + + + + ≥ a+b+c⇒ c+a 4 b + c 4 c + a 4 a + b 4   c2 a+b + ≥ c a+b 4  2 2 a b c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b 2 DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c. Tuy nhiªn thªm h¹ng tö nµo cho hîp lÝ th× tïy tõng bµi vµ vÝ dô cô thÓ Bài tËp 13: Chøng minh r»ng víi x,y,z > 0: x3 y3 z 3 + + ≥ x2 + y2 + z2 y z x Ph©n tÝch: ta thÊy r»ng víi h¹ng tö x3/ y cã thÓ cã hai híng sau: C¸ch 1: hs sÏ thªm x3/y +xy ≥ 2x2 ; y3/z +zy ≥ 2y2 ; z3/x +xz ≥ 2z2; sau ®ã chøng minh x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, céng c¸c bÊt ®¼ng thøc ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. GV:Lª ThÞ Hång Thuý 12 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 3 3 x3 x3 y3 z3 2 2 y 2 2 z C¸ch 2: + + y ≥ 3 x ; + + z ≥ 3 y ; + + x 2 ≥ 3 z 2 céng l¹i ta cã y y z z x x ®iÒu ph¶i chøng minh. 2 2 2 a b c Bµi tËp 14: Chøng minh r»ng víi a, b, c>0 ta cã 2 + 2 + 2 ≥ a + b + c b c a b a a Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: a 2 b 2 c 2 ≥ 3, + + b2 c2 a2 a2 a + 1 ≥ 2 b2 b b2 b + 1 ≥ 2 c c2 c2 c + 1 ≥ 2 a a2 Céng vÕ víi vÕ suy ra ®iÒu phai chøng minh. Bµi tËp 15: CMR nÕu x, y, z là c¸c sè d¬ng tháa m·n xyz = 1 ta cã x3 + y3 +z3 ≥ x + y + z Ph©n tÝch: DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z = 1, v× vËy ta sÏ thªm vµo x3 hai sè h¹ng lµ 1,1 ®Ó sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si hîp lÝ. Híng dÉn: x3 + 1 +1 ≥ 3x; y3 + 1 +1 ≥ 3y; z3 + 1 +1 ≥ 3z; 2(x3 + y3 +z3 ) ≥ 6 Theo thèng kª th× cã kho¶ng 80% häc sinh sÏ sö dông c¸ch 1 ®Ó lµm. Bµi tËp 16 Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ . b(c + a) c( a + b) a(b + c ) 2 a3 b c+a a 3 b c + a 3a Giải: Theo BĐT Cosi ta cã: . + + ≥ 33 = b (c + a ) 2 4 b(c + a ) 2 4 2 Tương tự ta cũng có: b3 c a + b 3b c3 a b + c 3c + + ≥ ; + + ≥ . c ( a + b) 2 4 2 a (b + c ) 2 4 2 Cộng c¸c vế của c¸c BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. C¸c bµi tËp sau còng ¸p dông t¬ng tù: GV:Lª ThÞ Hång Thuý 13 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 1) §Ò QGHN 2000: Cho a + b + c = 0. CMR 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c Híng dÉn. §Æt x = 2a ; y = 2b ;z = 2c th× x,y,z d¬ng vµ xyz = 1. 2) §HQGHN: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng. CMR: a3 b3 c3 a b c + 3 + ≥ + + b3 c a3 b c a Híng dÉn: t¬ng tù cho a3 a3 + 3 +1 ≥ 33 3 b b a3 a3 a . .1 = 3 b3 b3 b b3 c3 ; c3 a3 3) ∀a, b, c > 0 : ab cb ac a+b+c + + ≥ a +b b+c a +c 2 Híng dÉn: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc phô: 4) Víi abc = 1 ab a+b ≥ a +b 4 a, b, c > 0 CMR: 1 1 1 3 + 2 + 2 ≥ a (b + c) b (a + c) c (b + a) 2 2 5) Víi xyz = 1, x, y, z > 0 CMR: x2 y2 z2 3 + + ≥ z+ y x+z x+ y 2 6) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: bc ca ab + + a 2b + a 2 c b 2 a + b 2 c c 2b + c 2 a Víi a,b,c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n abc = 1; a, b, c> 0. A= 7) Víi x,y,z > 0: x 3 + y 3 + z 3 ≥ x 2 y + y 2 z + z 2 x 8) CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x ≥ 4x-y + 4y-z + 4z-x Sau ®©y ta tham kh¶o hai vÝ dô rÊt lÝ thó cho Bµi tËp 17: NÕu a, b, c d¬ng và abc=1 th× a3 b3 c3 3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) 4 GV:Lª ThÞ Hång Thuý 14 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng Ph©n tÝch: ta sÏ thªm cho a3 nh÷ng h¹ng tö g×? ch¾c ch¾n lµ cã (1 + b)(1 + c ) b +1 c +1 víi α lµ mét sè d¬ng nµo ®ã. VÊn ®Ò α b»ng bao nhiªu, ta chØ cÇn chó ý ; α α lµ dÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=1; khi ®ã a3 b +1 c +1 sÏ cho ta α =4. = = (1 + b)(1 + c) α α V× vËy ta cã chøng minh sau: a3 1 + b 1 + c 3a b3 1 + c 1 + a 3b c3 1 + a 1 + b 3c + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥ (1 + b)(1 + c) 8 8 4 (1 + c)(1 + a) 8 8 4 (1 + a)(1 + b) 8 8 4 a3 b3 c3 3 1 3 + + + ≥ (a + b + c) ≥ §iÒu ph¶i chøng minh. (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a)(1 + b) 4 2 2 Bµi tËp 18: 3 3 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = a + b víi a, b lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu 1+ b 1+ a kiÖn ab = 1. 3 Híng dÉn: DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1, vËy ta ph¶i thªm cho a sè h¹ng 1+ b 1+ b . §Ó tÝnh α ta thÊy cho a = b =1 th× α =4. Nhng nh thÕ ta thÊy chØ xuÊt hiÖn 3 a3 α v× vËy ta thªm 1/2 ®Ó ®îc chøng minh sau: a3 1 + b 1 3 b3 1 + c 1 3 a3 b3 3 5 5 + + ≥ a; + + ≥ b⇒ + + ≥ ( a + b) ≥ . 1+ b 4 2 2 1+ c 4 2 2 1+ b 1+ c 2 4 2 MinP = 1 6. KÜ thuËt thªm nghÞch ®¶o §©y lµ mét kÜ thuËt mµ nÕu kh«ng nh¾c vµ sö dông sÏ lµ mét thiÕu sãt rÊt lín trong viÖc sö dông vµ chøng minh bÊt ®¼ng thøc C«si. Bµi tËp 19: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = 2 3 + víi x, y lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n x y x+y=1. Gi¶i: Ta ®· lµm bµi tËp nµy b»ng C«si nhng ta còng cè thÓ lµm nh sau: 2 3 2y 3x P =  + ÷( x + y ) = 2 + + + 3 ≥ 5 + 2 6 dÊu b»ng x¶y ra khi x+y=1 vµ 3x2 = 2y2 x y x y GV:Lª ThÞ Hång Thuý 15 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 2 3 ;y= 2+ 3 2+ 3 Khi x = Bµi tËp 20: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Nesbit: nÕu a, b, c lµ c¸c sè d¬ng th× a b c 3 + + ≥ (1) b+c c+a a+b 2 HD: Thªm 3 vµo hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ta xuÊt hiÖn 2(a + b + c )( 1 1 1 + + ) ≥ 9 (2) a+b b+c c+a x = a + b  §Æt:  y = b + c z = c + a  1 1 1 Khi ®ã x,y,z lµ c¸c sè d¬ng vµ (2) ⇔ ( x + y + x)( + + ) ≥ 9 (3) x y z ¸p dông C«si: cho 3 sè x,y,z ta cã: x + y + z ≥ 33 xyz > 0 1 1 1 1 1 1 Cho 3 sè: , , ta cã: + + ≥ 33 xyz > 0 x y z x y z Nh©n vÕ víi vÕ 2 bÊt ®¼ng thøc suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 7.KÜ thuËt Co-si ngîc dÊu: Bài tập 21 Cho c¸c số dương a,b,c thỏa m·n điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: PhÇn lín nh÷ng häc sinh gi¶i bài to¸n này nh sau : Quy ®ång mÉu sè, B§T cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi: 2( a 3 c 2 + b 3 a 2 + c 3 b 2 + a 3 + b 3 + c 3 + ac 2 + ba 2 + cb 2 + a + b + c) ≥ 3( a b c + a b + b c + c a + a + b + c ) Thay a + b + c = 3, ta cã thÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc nhê C«si : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 (a c + ac 2 ) ≥ 3a 2 c 2 2 2 . .T¬ng tù víi hai ho¸n vÞ. a 3 + a 3 + 1 ≥ 3a 2 . t¬ng tù víi 2 ho¸n vÞ. 1 3 2 1 (a c + b 3 a 2 + c 3b 2 + ac 2 + ba 2 + cb 2 ) ≥ 63 a 4 b 4 c 4 ≥ 3a 2 b 2 c 2 2 2 (C«-si cho 6 sè). BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng lµ do abc ≤1 . Lời giải 2(Dïng C«si ngược dấu) GV:Lª ThÞ Hång Thuý 16 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng Ta lu«n cã : Theo bất đẳng thức C«si ta cã: nªn (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng cã: (2) (3) Cộng vế theo vế c¸c bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cã: (đpcm). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức th× ta phải dïng tới biểu thức Bài tập 22 Chứng minh về mọi số dương a,b,c cã a+b+c=3 th× ta cã: Ta cã: Theo bất đẳng thứcC«si ta cã: nªn (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng cã: (2) (3) GV:Lª ThÞ Hång Thuý 17 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng Cộng vế theo vế c¸c bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng cã: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Bµi tËp 23:Cho a,b,c d¬ng tho¶ m·n:a+b+c=3.Chøng minh r»ng: a2 b2 c2 3 (1) + + ≥ a + b2 b + c2 c + a2 2 Lêi gi¶i: Ta cã: a − a2 ab 2 = . a + b2 a + b2 ab 2 1 a + b ≥ 2 ab > 0 ⇒ ≤ ab . 2 2 a+b Mµ 2 T¬ng tù víi 2 ho¸n vÞ ta cã: b2 1 b− ≤ bc b + c2 2 c2 1 c− ≤ ca c + a2 2 Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ®ã ta ®¬c: a + b + c − VT (1) ≤ 1 1 ( ab + bc + c a ) ≤ (a + b + c)(ab + bc + ca) 2 2 1 (a + b + c) 2 3 ≤ (a + b + c) = 2 3 2 VT (1) ≥ (a + b + c) − Do ®ã ⇔ VT (1) ≥ 3 2 3 2 DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật C«si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài to¸n mà nếu giải bằng c¸c phương ph¸p kh¸c sẽ rất dài thậm chÝ kh«ng giải được ,sau đ©y là một số bài tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta lu«n cã: GV:Lª ThÞ Hång Thuý 18 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là c¸c số thực dương thỏa m·n a+b+c+d=4 ta lu«n cã: Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng: II.3 C¸c bµi tËp chän läc Cuèi cïng t«i xin ®a ra mét líp c¸c bµi tËp tham kh¶o ®Ó c¸c thµy c« n©ng cao kÜ n¨ng gi¶i bµi cho c¸c em: 2. ( y + z) ( x + z) ( y + x) +9 + 16 ≥ 26 x y z Cho a, b, c > 0 Chøng minh r»ng: 3. a 2 + b 2 b2 + c 2 c 2 + b2 a3 b3 c3 a+b+c ≤ + + ≤ + + 2c 2a 2a bc ac ab Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 3 CMR: 1. Cho x, y, z > 0 cm: 4 a b c 3 1 1 1 + + ≤ ≤ + + 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 2 1+ a 1+ b 1+ c 4. Cho x + y = 1, x, y > 0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = 2 5. CMR a, b > 0 ta cã a 2 + b 4 + 1 ≥ a + 2b . a b 2 2 HD  a − b ÷ + ( b 2 − 1) + (b − 1) 2 + (a − 1) ≥ 0 a b  2 6. §H BKHN - 2000: a) a 3 + b3  a + b  Cho a + b ≥ 0. Chøng minh ≥  2  2  b) Cho tam gi¸c ABC. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 3 sin A + 3 sin B + 3 sin c P= A 3 B C 3 cos + cos + 3 cos 2 2 2 6. Thi vµo líp 10 Tæng Hîp - §HQG:x, y > 0, x2 + y2 = 1. CMR 3 GV:Lª ThÞ Hång Thuý 19 1 1 + 2 x +y xy 2 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 1 ≤ x2 + y2 ≤1 2 7. Chuyªn TT - §HSP:Cho a, b, c lµ 3 sè thùc vµ abc = 1. CMR 1 1 1 + 3 + 3 ≤1 3 3 a + b +1 c + b +1 a + c3 +1 3 HD: 1 1 1 1 ; sau ®ã sö dông + 3 + 3 ≤ 3 3 3 a + b + abc c + b + abc c + a + abc abc 3 a3+b3≥ab(a+b) 8. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = 2 + ab 1 a 4 + b 4 víi a, b lµ sè d¬ng + 2 a2 + b2 vµ tho¶ m·n a + b = 1 4 4 1 4 1 1 4 a + b ≥ ; + ≥ ; HD: dïng bÊt ®¼ng thøc C«si 2 lÇn. ab (a + b) 2 2ab a 2 + b 2 (a + b) 2 2 9. Cho tam gi¸c ABC víi AB = c, BC = a, CA = b. Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC vµ M, N, P lµ c¸c sè thùc sao cho m + n, n + p, p + m ®Òu lµ sè d¬ng. CMR: ma 2 + nb 2 ≥ 4 mn + np + pm 10. Chøng minh r»ng: a) x 2 + y 2 ≥ ( x + y ) 4 2 4 ( x + y ) b) x + y ≥ 8 4 4 c) x > 0, y > 0, x + y = 1. CM: 8( x 4 + y 4 ) + 1 ≥5 xy 11. Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n x + y = 10 . T×m gi¸ trÞ cña x, y ®Ó P = ( x4+ 1) ( y4+ 1) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. HD. ®Æt t= xy th× x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 – 40t + 100 12. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ( O; R ) cã 3 gãc nhän víi BC = a, AC = b, AB = c. LÊy I bÊt kú ë phÝa trong tam gi¸c ABC, gäi x, y, z lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm I ®Õn c¸c c¹nh BC, AC, AB cña tam gi¸c.Chøng minh a2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ 2R HD. CM ax + by + cz = 2S. Sö dông bÊt ®¼ng thøc Bunhia 13. Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n abc = 1 GV:Lª ThÞ Hång Thuý 20 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 1 1 1 1 + 2 + 2 ≤ 2 2 2 a + 2b + 3 2c + b + 3 2a + c + 3 2 CMR: 2 1 1 1 1 1 = 2 ≤ ( 2 + 2 ) 2 2 a + 2b + 3 a + 2(b + 1) 4 a + 1 2b + 2 HD t¸ch: 2 14. Cho a + b = 5, a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt P = 15. CMR x2 y + y 2 z + z 2 x ≤ x3 + y3 + z3 ≤1 + 1 1 + a b 1 4 (x + y 4 + z 4 ) 2 Trong ®ã x, y, z lµ nh÷ng sè kh«ng ©m tho¶ m·n x + y + z = 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T = 16. a b + b c + c a víi a, b, c d¬ng vµ tho¶ m·n a + b + c = 3 a 2 b 2 c 2 2a b 2b c 2c a HD: B×nh ph¬ng hai vÕ: T = + + + + + ; b c a c a b 2 a2 a b a b + + + c ≥ 4a , b c c CMR nÕu a, b, c, d > 0 th×: 17. a) t¬ng tù. a b c a+b+c + + ≥ 3 b c a abc a2 b2 c2 d 2 a + b + c + d b) 2 + 2 + 2 + 2 ≥ 3 b c d a abcd HD: a a b 3a b b c 3b c c a 3c + + ≥3 ; + + ≥ 3 ; + + ≥3 b b c abc c c a abc a a b abc T¬ng tù cho c©u b. 18. 2 a + 3 3 b + 4 4 c ≥ 9 9 abc 19. Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) .xyz ≤ 8 729 20. Cho x, y, z là c¸c số dương và x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 2 2 + y + + z + ≥ 82 (ĐH 2003) x2 y2 z2 1 1 1 21. Cho x, y, z là c¸c số dương thỏa m·n + + = 4 . Chứng minh rằng: x y z x2 + GV:Lª ThÞ Hång Thuý 21 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng 1 1 1 + + ≤ 1 (ĐH 2005) 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z x x x  12   15   20  22. Chứng minh rằng với mọi x th×  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ 3x + 4 x + 5 x (ĐH 2005)  5  4  3  x , y , z 23. Cho là c¸c số dương thỏa m·n xyz = 1 . Chứng minh rằng: 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥ 3 3 (ĐH 2005) xy yz zx 2 y  9   24. Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 th× (1 + x) 1 + ÷1 + ÷ ≥ 256 (ĐH 2005) x  y÷   25. Cho x, y, z thỏa m·n x + y + z = 0 . Chứng minh 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 6 (ĐH 2005) 3 4 3 3 3 a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ 3 (ĐH 2005) 26. Cho a, b, c là ba số dương thỏa m·n a + b + c = . Chứng minh rằng: 27. Cho x, y, z thỏa m·n 3− x + 3− y + 3− z = 1 . Chứng minh 9x 9y 9z 3x + 3 y + 3 z (ĐH 2006) + + ≥ 4 3x + 3 y + z 3 y + 3x + z 3z + 3x + y 11 7   28. T×m GTNN của hàm số y = x + + 4 1 + 2 ÷( x > 0) (ĐH 2006) 2x  x  x , y 29. Cho là hai số dương thỏa m·n điều kiện x + y ≥ 4 . T×m GTNN của biểu thức 3x 2 + 4 2 + y 3 (ĐH 2006) A= + 4x y2 1 1 1 30.Ba số dương a, b, c thỏa m·n + + = 3 . a b c (1 Chứng minh rằng: + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (ĐH 2001) 31 Giả sử x và y là hai số dương và x + y = 1 . T×m GTNN của P = x y + 1− x 1− y (ĐH 2001) 32. Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa m·n ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . T×m GTLN của biểu thức A= 1 1 + 3 (ĐH 2006) 3 x y 1 4 33. Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 th× x y − y x ≤ (ĐH 2006) GV:Lª ThÞ Hång Thuý 22 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng II.4 Mét sè kÕt luËn vµ ®Ò nghÞ Sau mét qu¸ tr×nh t«i xin cung cÊp mét vµi kÕt qu¶ thùc nghiÖm ban ®Çu, víi c¸ch d¹y míi vµ cò t«i thu ®îc mét vµi kÕt qu¶ sau: víi líp thùc nghiÖm 10A1, d¹y theo ph¬ng ¸n míi vµ líp ®èi chøng 12A1, d¹y theo ph¬ng ¸n truyÒn thèng (2 líp thuéc trêng THPTLý Nh©n T«ng.) th«ng qua bµi kiÓm tra sau khi d¹y xong. KÕt qu¶ Thùc nghiÖm §èi chøng Tæng sè hs 50 40 Giái SL % 17 34 13 32.5 Kh¸ SL % 24 48 18 45.0 Trung b×nh SL % 7 14 9 22.5 YÕu kÐm SL % 2 4 0 0 III.KÕt luËn Trªn ®©y t«i ®· ®a ra mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng viÖc sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si,kÌm theo ph©n tÝch bµi to¸n.Qua thùc tiÔn gi¶ng d¹y t«i thÊy r»ng ®Ó häc sinh cã kÜ n¨ng chøng minh tèt bÊt ®¼ng thøc th× tríc hÕt ngêi thÇy ph¶i lµm cho häc sinh hiÓu ®îc c¸i hay vµ ®Ñp cña bÊt ®¼ng thøc, ®ång thêi v× d¹y chøng minh bÊt ®¼ng thøc lµ lÜnh vùc khã nªn c¸c thÇy c« còng nªn c¨n cø vµo søc cña häc sinh ®Ó ®Ò ra nh÷ng bµi tËp phï hîp. Theo kinh nghiÖm cña t«i, øng víi ba møc ®é nhËn biÕt, th«ng hiÓu vµ vËn dông th× ®Çu tiªn bao giê còng lµ c¸c bµi tËp nhËn biÕt vµ th«ng hiÓu c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n, rÊt ®¬n gi¶n. Sau ®ã dÇn n©ng møc ®é bµi tËp lªn. ChÝnh v× vËy ®Ó sö dông tµi liÖu nµy t«i d· cè g¾ng lùa chän vµ s¾p xÕp vÝ dô cho hîp lÝ, nhÑ nhµng, ®¬n gi¶n vµ võa søc víi häc sinh cña m×nh. GV:Lª ThÞ Hång Thuý 23 Trêng THPT Lý Nh©n T«ng IV.Phô lôc Tµi liÖu tham kh¶o 1. BÊt ®¼ng thøc - NguyÔn §Ô, Vò Hoµng L©m. NXB H¶i Phßng 2. BÊt ®¼ng thøc - NguyÔn Vò Thanh.NXB §ång Th¸p. 3. T¹p chÝ To¸n häc vµ Tuæi trÎ (1994 – 2008) 4. C¸c ®Ò thi ®¹i häc vµ cao ®¼ng trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y. 5. To¸n «n thi ®¹i häc- TËp I, §¹i sè - Do·n Minh Cêng chñ biªn. NXB §¹i häc s ph¹m. 6. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt - NguyÔn V¨n Nho, Lª Hoµnh Phß. NXB Gi¸o dôc. . GV:Lª ThÞ Hång Thuý 24 [...]... thêm nghịch đảo Đây là một kĩ thuật mà nếu không nhắc và sử dụng sẽ là một thiếu sót rất lớn trong việc sử dụng và chứng minh bất đẳng thức Côsi Bài tập 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2 3 + với x, y là các số dơng thỏa mãn x y x+y=1 Giải: Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhng ta cũng cố thể làm nh sau: 2 3 2y 3x P = + ữ( x + y ) = 2 + + + 3 5 + 2 6 dấu bằng xảy ra khi x+y=1 và 3x2 = 2y2 x y x y... cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ! a2 b2 c2 thì a, b, c > 0 + + a+b+c b c a Phân tích: trớc hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì cũng không ra đợc kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết đợc Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c khi đó a2/b =a vì vậy ta thêm b vào... l các số dơng thỏa mãn xyz = 1 ta có x3 + y3 +z3 x + y + z Phân tích: Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1, vì vậy ta sẽ thêm vào x3 hai số hạng là 1,1 để sử dụng bất đẳng thức Côsi hợp lí Hớng dẫn: x3 + 1 +1 3x; y3 + 1 +1 3y; z3 + 1 +1 3z; 2(x3 + y3 +z3 ) 6 Theo thống kê thì có khoảng 80% học sinh sẽ sử dụng cách 1 để làm Bài tập 16 Cho 3 s thc dng a,b,c Chng minh: a3 b3 c3 a+b+c + + b(c + a)... khi x = 1& y = 3 Các bài tập tơng tự mà các thầy cô có thể vận dụng cho học sinh là: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1) y = 4x3 - 3x2 với 0 x 4/3 2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với 0 x 3, 0 y 4 3) y = (2 + x) (4 - x2) với 0 x 4 4) y = x (1 - x2) với 0 x 1 5) y = 2 x 3 + 5 2 x 5 Phơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi Đây là phơng pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các. .. Chứng minh: Bài tập 11 Chứng minh 2 2 2 áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng a , b, b , c, c , a thì ta có: b c a a2 b2 c2 + b 2a; + c 2b; + a 2c b c a 2 2 2 a b c a 2 b2 c2 + b + + c + + a 2a + 2b + 2c + + a + b + c b c a b c a Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là tại sao lại thêm hạng tử b cho a2/b? Giả sử cần thêm cho a2/b số hạng m sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a2/b + m 2 a2 m Vậy m cần đợc... c ( a + b) 2 4 2 a (b + c ) 2 4 2 Cng các v ca các BT ny li ri n gin ta s c BT cn chng minh Du bng xy ra khi a = b = c Các bài tập sau cũng áp dụng tơng tự: GV:Lê Thị Hồng Thuý 13 Trờng THPT Lý Nhân Tông 1) Đề QGHN 2000: Cho a + b + c = 0 CMR 8a + 8b + 8c 2a + 2b + 2c Hớng dẫn Đặt x = 2a ; y = 2b ;z = 2c thì x,y,z dơng và xyz = 1 2) ĐHQGHN: Cho a, b, c là các số dơng CMR: a3 b3 c3 a b c + 3 + +... mẫu số do vế trái của bđt không có b mẫu GV:Lê Thị Hồng Thuý 11 Trờng THPT Lý Nhân Tông 2 Khi dấu bằng xảy ra thì a2/b = m = a = b = c Rõ ràng m chỉ có thể bằng b đợc thôi Bài tập sau sẽ làm sáng tỏ hơn: Bài tập12 Chứng minh rằng a, b, c > 0 thì a2 b2 c2 a+b+c + + b+c a+c b+a 2 2 Phân tích: Ta cần thêm cho a b+c một số m thoả mãn: 1 rút gọn đợc mẫu số (b+c) sau khi áp dụng bđt Côsi 2 2 a ( +m 2 a... THPT Lý Nhân Tông 2 3 ;y= 2+ 3 2+ 3 Khi x = Bài tập 20: Chứng minh bất đẳng thức Nesbit: nếu a, b, c là các số dơng thì a b c 3 + + (1) b+c c+a a+b 2 HD: Thêm 3 vào hai vế của bất đẳng thức ta xuất hiện 2(a + b + c )( 1 1 1 + + ) 9 (2) a+b b+c c+a x = a + b Đặt: y = b + c z = c + a 1 1 1 Khi đó x,y,z là các số dơng và (2) ( x + y + x)( + + ) 9 (3) x y z áp dụng Côsi: cho 3 số x,y,z ta có: x + y... abc 1 Li gii 2(Dùng Côsi ngc du) GV:Lê Thị Hồng Thuý 16 Trờng THPT Lý Nhân Tông Ta luôn có : Theo bt ng thc Côsi ta có: nên (1) Hon ton tng t ta cng có: (2) (3) Cng v theo v các bt ng thc (1),(2) v (3) ta có: (pcm) Du "=" xy ra khi v ch khi a=b=c=1 Trong bi ny s dng bt ng thc thì ta phi dùng ti biu thc Bi tp 22 Chng minh v mi s dng a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: Theo bt ng thcCôsi ta có: nên (1)... 2 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 Nh k thut Côsi ngc du ta ó chng minh c nhng bi toán m nu gii bng các phng pháp khác s rt di thm chí không gii c ,sau ây l mt s bi tp ng dng: Bi 1)Chng minh vi mi s dng a,b,c,d ta luôn có: GV:Lê Thị Hồng Thuý 18 Trờng THPT Lý Nhân Tông Bi 2)Chng minh rng vi a,b,c,d l các s thc dng tha mãn a+b+c+d=4 ta luôn có: Bi 3)Cho 3 s v a+b+c=3.Chng minh rng: II.3 Các bài tập chọn lọc