Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA PEN – C 2015 - 2016 MÔN TOÁN NGUYỄN BÁ TUẤN HỆ PHƯƠNG TRÌNH & CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Phần 1: Biến đổi đại số và phép thế) Tài liệu dành tặng học sinh https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 1 I. Phép rút - thế. Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 II. Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích. 1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản. 2. Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp. 3. Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2. 4. Hệ đồng bậc. 5. Phương pháp hệ số bất định (UTC). 6. Phương pháp liên hợp. Khi gặp 1 bài hệ phương trình thì ta có thứ tự ưu tiên cho các hướng giải sau: + Phép rút - thế Hệ có phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và thay vào phương trình còn lại. Ngoài ra còn tùy thuộc vào từng đề bài cụ thể mà ta có thể thế cụm biểu thức hay thế hằng số. + Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích. - - Nếu 1 trong 2 phương trình của hệ có dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậc 2 đó như bình thường để tìm mối quan hệ giữa x và y. Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với 1 vài hệ đơn giản ta quan sát nếu thấy 2 phương trình của hệ có form giống nhau thì thử cộng (trừ) 2 vế tương ứng của các phương trình trong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tử chung. Đỉnh cao của việc kết hợp 2 phương trình để tìm ra mối liên hệ x, y đó là phương pháp hệ số bất định (UCT). Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa 1 phương trình trong hệ về dạng nhân tử. + Sử dụng PP đặt ẩn phụ: - Quan sát phương trình có chứa các biệt thức: xy, x  y, ( x  y ) 2 , x  y, ( x  y ) 2 ...... thì đặt tổng – tích (P=x+y, S=xy). - Sơ chế hệ bằng các phép nhân, chia x, y, xy, x 2 , y 2 , x k , y k .... để xuất hiện dấu hiệu đặt ẩn phụ. - Với những bài có chứa căn thì thường đặt căn thức đó làm ẩn phụ. + Sử dụng PP hàm số + Sử dụng PP đánh giá + Sử dụng PP lượng giác + Kết hợp vận dụng nhiều phương pháp https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 2 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 I. PHÉP RÚT - THẾ  x 4  x3 y  9 y  y 3 x  x 2 y 2  9 x (1) Bài 1. Giải hệ phương trình:  3 3 (2)  x  y  x   7 Giải Dựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=> x  y Từ PT(1) nhận thấy các hệ số tương ứng của các hạng tử cùng bậc là như nhau, ta dễ dạng ghép cặp để tìm nhân tử chung: (1)   x 4  xy 3    x3 y  x 2 y 2   9  x  y   0   x  y   x  x 2  xy  y 2   x 2 y  9   0 2   x  y   x  x  y   9  0    x  x  y   9  0 (do x  y ) 2  x  x  y   9 (3)  x  0 2 (2)  y 3  x3  7 7  y  3 x3  x x Thay vào (3) ta được: 2  7 x  x  3 x 3    9 x  2  7 7    x  x 2  2 x. 3 x 3   3  x 3     9  0  x x     2 7 7   x  2 x . x   x. 3  x 3    9  0 x x  3 2 3 3  x 3  2 x. 3 x 6  7 x 2  3 x  x 4  7   9  0 (4) 2 Xét hàm số: f ( x)  x 3  2 x 3 x 6  7 x 2  3 x  x 4  7   9, x  0 2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 3 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i  6 x 6  14 x 2 3 6 2 f '( x)  3x  2  x  7 x  2  3 3  x6  7 x2   2 Phần 1  8 4  1 9 x  70 x  49  0, x  0   3. 2 2 4  3 x x 7      Suy ra f ( x ) đồng biến trên  0;   mà: f (1)  0 Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất x  1  y  2 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm:  x; y   1; 2   x 2  y 2  xy  x  3  Bài 2. Giải hệ phương trình:  2 2 2 2  x 1  4 xy   y 1  8 x  Giải Bình phương 2 vế của phương trình (1): x 2  y 2  x 2 y 2  x  3 2 Hệ phương trình tương đương với:  xy  x  3  0  xy  x  3  0  2  2 2 2 2 2 2 2 x  y  x y x  3      x y  x  3  0  2  2 2 3 2 2 2 2 2 2 2  x  y  4 x y  8 x y  x  y  x y  x  3  x  0  xy  x  3  0   x  0; y  0  2 2 2  y  0   x y  x  1  0    x  1  x  1; y   5  2  2 2 2 2  5  x 2  y 2  x 2 y 2  x  3 2  x  y  x y  x  3   xy  2  y x 2  2  Bài 3. Giải hệ phương trình:   y 2  2  x  1 x 2  2 x  3  2 x 2  4 x 1  2 Giải Nhận xét: từ phương trình (1) ta có thể rút y theo biến x và do x 2  2  x  x 2  x  x  x  0 x    x 2  2  x  0 x   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 4 Nên ta có (1)  y  Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i  x2  2  x  2  y  2 x 2x 2 Phần 1  x2  2  x Thế y  x 2  2  x vào phương trình (2) ta có:   2 x 2  2  x  2  x  1 x 2  2 x  3  2 x 2  4 x  1  x x 2  2  2 x   x  1 x 2  2 x  3  0   x  1 1    x  1 2  2     x  1    x 2  2  (*)    Xét hàm số f ( x )  t 1  t 2  2 ta có: f '(t )  1  t 2  2  t2 t2  2  0, t    f (t ) đồng biến trên  (*)  f  x  1  f   x   x  1   x  x   1 2 1  1 x   x    y  1 . Vậy hệ đã cho có nghiệm là  2 2  y  1  x3  4 y  y 3  16 x (1) Bài 4: Giải hệ phương trình:  2 2 1  y  5 1  x  (2) Giải “Thế hằng số” PT (2)  y 2  5 x 2  4 (3) Thay vào (1) ta được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 5 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 x  0 x 3   y 2  5 x 2  y  y 3  16  x 3  5 x 2 y  16 x  0   2  x  5 xy  16  0 x  0  y2  4  y  2 x 2  5 xy  16  0  y  x 2  16 5x 2  x 2  16  2 4 2 2    5 x  4  124 x  132 x  256  0  x  1 5 x    x  1  y  3   x  1  y  3  2 x 2 y  3 xy  4 x 2  9 y Bài 5. Giải hệ phương trình:  2 7 y  6  2 x  9 x Giải Ta có từ (2) suy ra: y  2x2  9x  6 (3) 7 Thay (3) vào (1) ta được:  2x2  9x  6   2 x 2  9 x  6  7.4 x 2  2x2  9x  6  2x2   3 x   9      7 7 7 7         2 x 2  9 x  6  2 x 2  3 x  9   28 x 2  4 x 4  24 x 3  31x 2  99 x  54  0 1  x  2   x  2 1  2   x    x  2   4 x  18 x  54   0    x  9  3 33 2  4    x  9  3 33  4 Với x  1 1  y   suy ra hệ phương trình có nghiệm 2 7 Với x  2  y    1 1   ;  2 7  16 16   suy ra hệ phương trình có nghiệm  2;  7 7   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 6 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Với x  9  3 33  y  3 suy ra hệ phương trình có nghiệm 4  9  3 33  ;3   4   Với x  9  3 33  y  3 suy ra hệ phương trình có nghiệm 4  9  3 33  ;3   4   Phần 1 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm  x; y  là: 16   1 1    ;  ,  2; , 7  2 7    9  3 33   9  3 33  ;3  ,  ;3   4 4     2  x  3 y  9 Bài 6. Giải hệ phương trình:  4 2  y  4  2 x  3 y  48 y  48 x  155  0 Giải Ta có (1)  9  x2 y 3 Thay vào (2) ta có:  9  x2  y  4  2 x  3 y  48    48 x  155  0  3   y 4  4  2 x  3 y 2  16 x 2  48 x  11  0 4 2   y 2  4 x  11 y 2  4 x  1  0  y 2  4 x  11 (3)  2  y  4 x  1 (4)  9  x2 y   3  Từ (3) và (1) ta được  2 2  9  x   4 x  11 (*)  3   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 7 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x 2  3 2 x  3 2  0 (6) (*)  x  18 x  36 x  18  x  18  x  1   2  x  3 2 x  3 2  0 (7)  3 2  18  12 2 12 2  6 36  24 2 x  y 2 12 Ta có (6)     x  3 2  18  12 2  y  12 2  6 36  24 2  2 12  3 2  18  12 2 12 2  6 36  24 2 x  y 2 12 (7)     x  3 2  18  12 2  y  12 2  6 36  24 2  2 12 4 2 2 4  9  x2 y   3  Thay (4) và (1) ta có:  2 2  9  x   4 x  1 (**)  3   (**)  x 4  18 x 2  36 x  72  0   x 2  6 x  12  x 2  6 x  6   0  x 2  6 x  6  0 (do x 2  6 x  12  0, x)  x  3  3  y   1  2 3   x  3  3  y  1  2 3  x3  y 3  4 x  2 y Bài 7. Giải hệ phương trình:  2 2  x  1  3 1  y  Giải x 2  1  3 1  y 2   4  x 2  3 y 2 Xét 4  x 2  0  x  2, y  0 hoặc x  2, y  0 (cả hai đều thỏa mãn HPT) Xét y  0 suy ra x  2 hoặc x  2 (thỏa mãn HPT) Xét y  0 và x  2 Ta có: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 8 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 4 x  x3    y 3  2 y   x  4  x 2    y  y 2  2  (*)    2 2 2 2 4  x  3 y  4  x  3 y  y 2  3 xy  2 (1) Suy ra 3 xy    y  2  . Vậy  2  x  10  9 xy (2) 2 Nhân (1) với 5 rồi + (2) ta được: 5 y 2  x 2  6 xy  5 y 2  x 2  6 xy  0  5  y2 y  6 1  0 2 x x y y 1 đến đây các bạn tự làm tiếp.  1,  x x 5 2 3 2  2 y x  2 x  y  y  1  7 y Bài 8. Giải hệ phương trình:  2  2 y  2 xy  1  7 y Giải Hệ phương trình đã cho tương đương:  y  2 y 2  2 y  1  2 x  y 3  y 2  1  7 y  2  2 y  2 y  1  7 y  2 x  y 3  6 y 2  8 y  1  2  2 y  2 xy  1  7 y  2 x  y 3  6 y 2  8 y  1  2 3 2  2 y  y  y  6 y  8 y  1  1  7 y  2 x  y 3  6 y 2  8 y  1  4 3 2  y  6 y  10 y  6 y  1  0 3 2  2 x  y  6 y  8 y  1  x  2   4 y  1  0   y 1  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  x; y    2;1   x y 1 1  7 y 1 1  Bài 9. Giải hệ phương trình:   x 2 y  x y  1  13 y  x 2  12 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 9 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Giải ĐK: y  1 Phương trình thứ hai của hệ đã cho, tương đương: x 2  13  y  1  x y  1  1  0 (*) Ta thấy x  7 không là nghiệm của hệ. => x  7 , phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương: x   y 1 1  7 y 1 1  7  x y 1  x 1  Thế y 1  y 1  x 1 7x x 1 vào (*) ta được: 7x  x  1  x  x  1  13  1  0  7x 7x  x 4  x 3  5 x 2  33 x  36  0 x Với x  1 , ta được Với x  3 , ta được 2 x  1   x  1 x  3  x 2  5 x  12   0   x  3 1 9 y 1   y   3 8 y 1  1  y  0 8  Vậy hệ đã choc có 2 nghiệm  x; y    1;   ,  3;0  9  16 x 3 y 3  9 x 3   2 xy  y   4 xy 2  3 Bài 10. Giải hệ phương trình:  2 2 2 2 4 x y  2 xy  y  3 Giải Với y  0 không là nghiệm hệ. https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 10 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Với y  0 , ta chia phương trình thứ nhất cho y 3 , phương trình thứ hai cho y 2 ta được  3  3  16 x  9   2 x  1  4 x  2  (1) y     4 x 2  2 x  1  3 (2)  y2 Thế (2) vào (1) ta được: 16 x3  9   2 x  1  4 x  4 x 2  2 x  1  x 3  1  x  1  3  3  y  1 y2 Vậy nghiệm của hệ là: 1;1 , 1; 1  x 6 y  2  3 x  y  3 y Bài 11. Giải hệ phương trình:  2 3x  3x  y  6 x  3 y  4  Giải  Phương trình (1): 3 y  2 3x  y  y  3 y  2 3x  y  0 (3) 3x  y  0    y  3x  y  0 (4)  Thế phương trình (3) vào phương trình (2):  1  x  6   y  1  6 x  3 y  8 6 x  3 y  8 3   2   3 y  2 3 x  y  0 3 y  16  10 y  0  x  1  6   y  1 3   13  73   5  73 13  73  5  73    Thế phương trình (4) vào phương trình (2) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 11 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x  4    y  4  y  3 x  y  0  y  3 x  y  0     x  1  2 4  6 x  5 y  4 2 y  4  7 y  0  1  y   2  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y            1 1 1  1  1 1 13  73 ; 5  73  ;  13  73 ; 5  73  ;  4; 4  ;  ;  3 3 6  6  4 2 x 2  2xy  y  0  Bài 12. Giải hệ phương trình:  3 x  3xy  2 y  1 x  x 2y  2   4    (1) (2) Giải Điều kiện: y  1; x 2y  2 Ta có: (1)  x 2  y  2xy Ta có: (2)  x 3  xy  2xy  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0  x (x 2  y )  (x 2  y )  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0  x (2xy )  x 2  y  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0  (x 2y  2  y  1  2 y  1 x 2y  2)  x 2 (y  1)  2x y  1  1  0   2  2 2     x y  2  y  1  x y  1  1  0     x 2 (y  1)  1  x y  1  1     2  x 2y  y  1  x 2 (y  1)(y  1)  x 2y x y  2  y  1   x  0  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 12 TH1: x  0  y  0 không thỏa mãn TH2: y 2  y  1  0  y  1 5 x  2 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 5 1 2  5  1 1  5    là nghiệm của hệ. ; Thử lại ta được: (x ; y )    2 2  x 2 y  1  6y  2  1   Bài 13. Giải hệ phương trình:  4 2 x y  2x 2y 2  y x 2  1  12y 2  1 2    Giải Điều kiện : y  0; y  1 Khi đó : 1  x 2y y  1  6y 2  2y  x 2  2  4y  4 2 9y  1 ;x  3  . y 1 y 1    Thay vào (2) , ta có : x 4y 2  x 2y 2  y  6y 2  2y  12y 2  1  x 2  2 x 2  3 y 2  y  1  0  4 y  19y  1 y 2 2 y  1 y  1  x   2 y  1     y 1    2 2 y  1  x  0  4 9y  1 y  y  1   3  ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- II. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ LÀM XUẤT HIỆN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản: công trừ, nhân, chia các vế của hệ phương trình để tạo ra phương trình mới có dạng tích.  x 4  y 4  240 Bài 1. Giải hệ phương trình:  3 3 2 2  x  2 y  3  x  4 y   4  x  8 y  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Giải Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được: (tại sao lại có -8 các bạn tham khảo thêm về phương pháp hệ số bất đinh UTC ở bên dưới) x 4  8 x3  24 x 2  32 x  16  y 4  16 y 3  96 y 2  256 y  256   x  2   y  4  x  2  y  4  x  2  4  y  x  y  2  x  6  y 4 4 Thay vào phương trình đầu ta được: 1  8 y 3  24 y 2  32 y  16  240  y 3  3 y 2  4 y  28  0   y  2   y 2  5 y  14   0  y  2  x   4  2   24 y 3  216 y 2  864 y  1296  240  y 3  9 y 2  36 y  44  0   y  2   y 2  7 y  22   0  y 2 x4 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là:  x; y    4; 2  ,  4; 2   x 4  5 y  6 (1) Bài 2. Giải hệ phương trình:  2 2  x y  5 x  6 (2) Giải Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x4  x2 y 2  5  y  x   0  x2  x2  y 2   5  x  y   0  x 2  x  y  x  y   5  x  y   0   x  y   x 2  x  y   5  0 x  y  2 x  x  y  5  0 Nếu x = y, thay vào (1) ta được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 14 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x  2  y   2 x 4  5 x  6   x 3  x  3  x  2  x  1  0   x  1 y  1 Nếu x 2  x  y   5  0  y  5  x thay vào (1) ta được: x2  5  x 4  5  2   6  x 6  5 x 3  6 x 2  25  0 x  Từ (2) ta có: 5 x  6  x 2 y 2  6  x  3 6 5 2 432 6 6 Do đó: 5 x  6 x  5.    6.     25  x 6  5 x 3  6 x 2  25  0 5 5 25     3 2 Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:  x; y    2; 2  , 1;1  x  x  y  1  1 (1) Bài 3. Giải hệ phương trình:  2 2  y  x  2 y x  y x  0 (2) Giải x  0 ĐK:  x  y 1  0 (1)  x  x  y  1  1  x  x  y 1 2 x  y 1  1  y  2 x  y 1  y 2  4  x  y  1   y  2  4x 2  y22 x  (2)  y  x  2  xy 2  y  x  y x 1   y  2  2 x x  4  y  2  2 x  y  2  2 x x  (I )     2  4   y  y  2  0 2 y  y  2  y  y  2   y  x  y x  y  1  y  2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 15 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 2  y  xy  2   3 x (1) Bài 4. Giải hệ phương trình:  2 2  y  x y  2 x  0 (2) Giải  y  xy  2   3x 2 (1) Hệ phương trình đã cho tương đương với:  2  y  y  x   2 x (2) Suy ra: xy  2 3x 4  3x3   y  (3) y  x2 2 5x Thế (3) vào (1), ta được  4  3x3  4  3x3  2   3x 2  x. 5x  5x    4  3 x 3   10.  4  3 x 3   75 x 3  0 2  9 x 6  69 x 3  24  0 t  8 Đặt x  t , ta được 9t  69t  24  0   t  1  3 2 3 Với t  8 suy ra x  2 dẫn đến y  2 Với t  1 suy ra x  3 3 1 1 1 dẫn đến y 2  3 y  2 3  0 3 9 3 2  1 1 Phương trình này vô nghiệm do    3   8. 3  0 3  9 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y  duy nhất là  2; 2  2 4 3  4 x  y  4 xy  1 (1) Bài 5. Giải hệ phương trình:  2 2  4 x  2 y  4 xy  2 (2) Giải Trừ vế theo vế được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 16 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i y 4  2 y 2  4 xy 1  y 2   1 Phần 1   y 2  1  4 xy  y 2  1 2   y 2  1 y 2  1  4 xy   0 Với y 2  1  y  1 . Ta có 4 nghiệm (0; 1) và (1; 1) và (-1; -1) và (0; -1) Với y 2  1  4 xy , thay vào (2), ta được 4 x 2  y 2  1  y 2  1  4 x 2 (3) Lại thay (3) vào (1) ta có: 1  4 x 2   4 xy 1  4 x 2   1  4 x 2 2 Nếu 1  4 x 2  0 thì y  0 không thỏa hệ. Vậy 1  4 x 2  4 xy  1  x 2  xy  0 Với x  0  y  1 Với x   y thay vào hệ được x   1 5 1   1 1   1 Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y) là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1),  ; ; ,   5  5 5  5  x  y 4  13x  4 (1) Bài 6. Giải hệ phương trình:   x  y  3x  y  2 (2) Giải Ta có: x  y  3x  y  2  x  y  3x  y  2  x  y  3x  y   2  4 x 2  4 x  1  3 x 2  2 xy  y 2 , x  1 2   x  y   4x 1 2 5  x  Thay vào (1) ta được:  4 x  1  13x  4  16  x  1  2 Do x  1  1 5 3 nên loại nghiệm này. Vậy x  . Suy ra y  . 2 16 16 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 17 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  5 3  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:  ;   16 16   y 3  x3  9  x3  (1) Bài 7. Giải hệ phương trình:  2 2  x y  y  6 x (2) Giải Xét trường hợp x  0 dẫn đến y  0 Xét trường hợp x, y  0 , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:  x 2  y  x 4  x 2  y 2   9 x 3 (1)   2 6x (2) x  y  y  Lấy (2) thế vào (1), ta được: (1)  2  x 4  x 2 y  y 2   3x 2 y  2  x4  2x2 y  y 2   9x2 y   x2  y   2 9 2 x y (3) 2 Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có: (2)   x 2  y   2 36 x 2 (4) y2 Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y 3  8  y  2 Với y  2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x  2 và x  1 Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)   x 2 y  2 xy 2  3 y 3  4  x  y   0 Bài 8. Giải hệ phương trình:  2 2 2  xy  x  y   1  3 xy   x  y  Giải +Phương trình thứ nhất tương đương:  x 2 y  xy 2  3xy 2  3 y 3  4  x  y   0 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 18   x  y   3 y 2  xy  4   0 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  y  x  2 3 y  xy  4  0 (*) Thế y   x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được:  x  1 2x  x 1  0   x   2  2 4 2  2 2  2 2 Suy ra  x; y    1;1 , 1; 1 ,   ; ;  ,   là bốn nghiệm của hệ đã cho. 2 2 2 2     + Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:  xy  1  xy  1  x 2  y 2  1  0   2 2  x  y  1  0 (**) Thế xy  1 vào (*), ta được: y 2  1  y  1 . Suy ra  x; y    1;1 , 1; 1 là hai nghiệm của hệ đã cho. Từ x 2  y 2  1 ta được y  0 . Do đó (*)  x  Thế x  3y2  4 y 3y2  4 vào (**), ta được: 10 y 4  25 y 2  16  0 (vô nghiệm) y  2 2  2 2 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm  x; y    1;1 , 1; 1 ,   ; ;  ,   2   2 2   2 x  y  x  2y  6y  2 Bài 9. Giải hệ phương trình:   x  x  2 y  x  3y  2  Giải Điều kiện: y  0 Phương trình thứ nhất tương đương: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 19 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 2  x  2 y  3y y 25 y 2  x  2 y       2 4   x  2 y  2 y + Với x  2 y  3 y thay vào PT(2) ta được: x  3y  x  3y  2    x  3y 1 x  3y  2   x  3y  2  x  3 y  4  4  5 y  3 y  y  + Với 4 8  x  9 3 x  2 y  2 y  y  0 thay vào PT(2) ta được: x  2 y  x  3y  2  x  2 y  x  2 y  5y  2  2 y   2 y  2  y  2  5y  2    y  2  x  12  y  1  L  4 8 4 Vậy hệ đã cho có nghiệm:  ;  , 12; 2  . 3 9  x  x2  y 2 9x  (1)  5  x  x2  y 2 Bài 10. Giải hệ phương trình:  5  3x x  y  6  5  y  (2)  Giải y  0  Điều kiện:  x 2  y 2  0 (*)  2 2  x  x  y  0 Ta biến đổi phương trình (2): (2)  30 x  6 xy  5 y  3 xy  x 5  9x 10 x 5   x  (**) y 30 3y 9 Trục căn thức ở (1) ta được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 20 x  (1)  x2  y 2  y2 2 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 2 2   x 9x x 9x       1   y  5 5  y   2 2 2   x x x x 9x x xx 0  2   2  1  1   6  1    1  3      y  y 5 y y y y  y    x y 0   2  x   x   1  3  0  y  y x  0 x  Với:  0   5 (vô nghiệm) y x    9 2 x x Với:     1  3  0 y  y 2 x x    1  3  y  y x y 3   2 2  x   1  9  6 x   x     y  y  y  x 5   y 3 Từ x  5 x 5 . Thử lại điều kiện (*) ta thấy thỏa.  thay vào (**) ta được  y 3 y  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    5;3 x 2  4 3x  2  10  2y  Bài 11. Giải hệ phương trình:  2 y  6 4y  3  11  x  (1) (2) Giải https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 21 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i 2 3 Điềukiện: x  ; y  3 4 Phần 1 Cộng 2 vế của phương trình với nhau ta được: x 2  4 3x  2  10  y 2  6 4y  3  11  2y  x  (3x  2  4 3x  2  4)  (x 2  4x  4)  (4y  3  6 4y  3  9)  (y 2  6y  9)  0    2 2 3x  2  2  (x  2)   x  2 4y  3  3  (y  3)  0   y  3   2 2 Thử lại ta được (2; 3) là nghiệm của hệ. 2 x 2  5 xy  y 2  1  Bài 12. Giải hệ phương trình:  2 2  y xy  2 y  4 y  xy  1   Giải ĐK: 4 y  x  2 y  0 Trừ vế với vế ta được: 2 x 2  5 xy  y 2  y Chia hai vế cho y 2 ta có: Đặt x  2   5  y    xy  2 y 2  4 y 2  xy  0 x  1 y x x 2  4  0 y y x  t  t   2; 4 . Khi đó ta được y 2t 2  5t  1  t  2  4  t  0  2t 2  6t  t  2  2t  t  3    t  3   t2 t  2 1  t 3 0 1 4  t  t2 1   t  3  2t   t  2 1 1 4  t  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan  t  2 1  1 4  t  0    0  Trang 22 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Ta thấy 2t  Phần 1 t2 1   0 với t   2; 4 t  2 1 1 4  t Vậy t  3 suy ra x  3 y thế vào phương trình (1) của hệ ta được phương trình 1 3 x 2 2 2 y2  1  y   3 1  Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    ;   2 2 2. Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp (thường là đẳng cấp bậc 2, bậc 3) ( x  y )( x  4 y 2  y )  3 y 4  0 Bài 12. Giải hệ phương trình:  2 2  x  2 y  1  y  y  1  0 HD Từ phương trình (1) ta chỉ thấy có các cụm  x  y  , y 2 xuất hiện => để quan sát PT dễ hơn ta đặt tạm a  x  y, b  y 2  (1) : a  a  b   3b 2  0 đây là PT đẳng cấp bậc 2 => dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa a và b đó là a  3b  0, a  b  0 . Vậy ta có lời giải sau: PT 1  ( x  y ) 2  y 4   x  y  4 y 2  4 y 4  0   x  y  y   4 y  x  y  y   0   x  y  3 y  x  y  y   0  x  y  y2 2 2 2 2 2  x   y  3y2  2  x   y  y https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 23 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i ) x   y  3 y 2 Phần 1  PT  2  :  y  3 y 2  2 y 2  1  y 2  y  1  0   y  y 2  1  y 2  y  1  *   y  y 2  1  y 4  y 2  1  2 y 3  2 y  2 y 2  y 4  2 y3  y  0    y  y  1 y 2  y  1  0  y  0, y  1   y  1 5 , y  1 5  2 2  L ) x   y  y 2  PT  2  :  y  y 2  2 y 2  1  y 2  y  1  0   y  y2 1  y2  y 1   y  y 2  1  y 4  y 2  1  2 y 3  2 y  2 y 2  y 4  2 y3  2 y 2  3 y  0  y  0 L   y  1    y  1  13 2    y  1  13 2    1  13  ĐS :  4  13;  2    1  13   4  13;  ; ( 2; 1) 2   8x 2  18y 2  36xy  5(2x  3y ) 6xy  0  Bài 13. Giải hệ phương trình:  2 2x  3y 2  30  (1) (2) Giải https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 24 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Điều kiện: xy  0 Phần 1 Ta có: (1)  2(2x  3y )2  12xy  5(2x  3y ) 6xy  0 (khi ta đặt: a  2x  3y, b  xy dễ thấy PT trên là ở dạng đẳng cấp bậc 2)  (2x  3y  2 6xy )(4x  6y  6xy )  0 2x  3y  2 6xy    4x  6y  6xy  TH1: 2x  3y  0   2x  3y 2x  3y  2 6xy   2 4x  12xy  9y 2  24xy  Thay vào (2) ta được: y  2  x  3 9y 2  3y 2  30   2 y  2  x  3 So sánh điều kiện ta được: (3;2) là nghiệm của hệ 4x  6y  0 4x  6y  0   TH2: 4x  6y  6xy    2 16x  48xy  36y 2  6xy 8x 2  21xy  18y 2  0  VN   3. Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2: Lấy 1 biến có bậc cao nhất là bậc 2 làm ẩn, biến còn lại coi như là 1 tham số rồi tính delta như 1 phương trình bậc 2 nếu delta có dạng chính phương thì sử dụng công thức nghiệm của PT bậc 2 để tìm mối quan hệ giữa 2 biến.  1 y 2 x    2 (1)  y Bài 1. Giải hệ phương trình:  x x  y x 2 1  1 = 3 x 2  3 (2)    Giải https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 25 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i x  0 ĐK:  y  0 Phần 1 (1)  y x  y 2  2 x x  2 xy  y2  =    x  2 x y  2 x  0 (3)  2 x  2 x  8x x   x  2x  2 0 y   x (3)    y  2x Nếu y   x , thay vào (2) ta được:  x Ta có:  x   x 2  1  1  3x 2  3   x 2  1  1  0  3 x 2  3 nên phương trình này vô nghiệm Nếu y  2 x , thay vào (2) ta được: 2x   x 2  1  1  3x 2  3    x2  1 2x  3  2 x  x2  1  (vì x  2x 2x  3 3 không thỏa phương trình) 2 Xét 2 hàm số: f ( x)  x 2  1, x   0;   và g ( x)  f '( x)  x x2  1  0, x   0;   ; g '( x)  2x , x   0;   2x  3 2 3 , x   0;   2x  3 Suy ra f(x) đồng biến trên  0;   và g(x) nghịch biến trên  0;   Ta thấy x  3 là nghiệm của (4) Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x  3  y  2 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan  3; 2 3  Trang 26 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  xy  x  y  x 2  2 y 2 (1) Bài 2. Giải hệ phương trình  x 2 y  y x  1  2 x  2 y (2)  Giải Điều kiện: x  1; y  0 . Phương trình (1)  x 2  x  y  1  2 y 2  y  0 Ta coi PT trên là pt bậc 2 với ẩn x và y là tham số khi đó ta có      y  1  4 2 y 2  y   3 y  1 2 2 x   y   x  2 y 1 Do có x + y > 0, nên tâ được: x  2 y  1 Thay vào phương trình (2) ta được: (2 y  1) 2 y  y 2 y  2(2 y  1)  2 y  2 y ( y  1)  2( y  1)  ( y  1)( 2 y  2)  0  y  2 ( Do y  0) Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5 Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2)  y 2  (5 x  4)(4  x) Bài 3. Giải hệ phương trình:  2 2  y  5 x  4 xy  16 x  8 y  16  0 (1) (2) Giải Biến đổi phương trình (2) về dạng: y 2  (4 x  8) y  5 x 2  16 x  16  0  y  5x  4 '  9 x2   y  4 x Với y = 5x + 4 thay vào phương trình (1)  (5x + 4)2 = (5x+ 4)(4-x)  4  x    x, y     5      x , y   x  0  4    ;0   5   0, 4  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 27 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Với y = 4 - x thay vào (1) ta được: Phần 1 x  4  y  0 (4  x) 2  (5 x  4)(4  x)   x  0  y  4 Hệ có 3 nghiệm (x,y) là: (0;4); (4;0); (- 4 ; 0). 5  x 2  y 4  9 y  x(9  y  y 3 ) Bài 4. Giải hệ phương trình:  3  x  1  1  y  2 HD PT 1  x 2  x(9  y  y 3 )  y 4  9 y  0   x  (9  y  y 3 )  4 y 4  36 y   y 3  y  9      2  9  y  y3   y3  y  9 x   9  y3 2    9  y  y3   y3  y  9 x  y  2 + Với x  9  y 3 thế vào PT (2) sử dụng hàm số => vô nghiệm +Với x=y thế vào PT(2) ta được đáp số: ĐS :  0;0  ,  11  6  11  6 3; 11  6 3 3; 11  6 3   Bài dưới đây là 1 sự nhạy bén trong việc sử dụng linh hoạt phương trình bậc 2 và vi-et để giải hệ. 2 x 2  xy  1 (1)  Bài 5. Giải hệ phương trình:  9 x 2 3 xy  2 1  x 4  1  2 1  x 2 (2)      Giải Xét phương trình bậc hai: 2t 2  yt  1  0 (3) (1)  2 x 2  yx  1  0 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 28 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Cho thấy t = x là một nghiệm của phương trình (3) (2)  2. Cho thấy t  9x2 2 1  x  3 x 2 1  x  2 4  y. 3 x 2 1  x  2 1  0 là một nghiệm của phương trình (3) Dễ thấy phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt mà x  định lý Vi- et ta có: x. 3 x 2 1  x  2 3 x nên áp dụng 2 1  x 2   1  3 x  y2  1 2    2  1  3  y2 x   2  1  3    1  3  Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: ( x; y )   ; 2  ,  ; 2  2 2     1  y  x 2  2 y 2  x  2 y  3 xy (1)  Bài 6. Giải hệ phương trình   y  1  x 2  2 y 2   x  2 y (2) Giải ĐK: y  1 Xét 1 : 1  y  x 2  2 y 2  x  2 y  3xy Đặt x2  2 y 2  t t  0 Phương trình (1) trở thành: t 2  1  y  t  x 2  2 y 2  x  2 y  3xy  0   1  y   4  x 2  2 y 2  x  2 y  3 xy    2 x  3 y  1 2 2 2 2 t   x  y  1  x  2 y   x  y  1    x2  2 y 2  x  2 y t  x  2 y  Với x 2  2 y 2   x  y  1 thay vào (2) ta có: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 29 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 1  y   y 1  3y 1    y0 3 9 y 2  5 y  0   x 2   x  1 (vô nghiệm) Với  1  5 x   y  1  2 x  4 x 2  2 y 2  x  2 y , ta có hệ:   2 2  y  1 5  x  2 y  x  2 y  2  1  5 1  5  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;  4 2    y  2 . x  2  x . y  0   Bài 7. Giải hệ phương trình    x  1. y  1  y  3. 1  x 2  y  3x      Giải x  1; y  0 Điều kiện :  2 x  y  3x  0  Ta có: (1)  x  2.y  x . y  2 x  2  0   y  2x  4  2 2 x 2 Với: y  x 2  8 x  2  x  4     2  y   0  loai  4 x  2  Với y  x 1  2x  4 2 x 2  y  x  2  y  x  2 , thếvào (1) ta được :   x  2  1  x  1 1  x 2  2x  2    2  x  1.( x  2  1)  x  1.  x  1  1 (*)   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 30 Xét hàm số f (t )  t   Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i t  1  1  t t  1  t , có f ' (t )  t 2  1  2 2 t2 2 t 1 Phần 1  1  0  f (t ) đồng biến. x  1  VìPT (*)  f ( x  1)  f (x  1)  x  1  x  1    2  x  3 x  1  x  1  Với x  3  y  5 (thỏa mãn).  3x  1  4 2x  1  y  1  3y    Bài 8. Giải hệ phương trình:   x  y 2x  y   4  6x  3y  (1) (2) Giải Điều kiện: x  1 ;y  1 3 (2)  y 2  x  3y  2x 2  6x  4  0; y  x  1  0 Vậy ta có:  2x  y  4  0 Với: y  x  1  0 vô nghiệm vì x  1 ;y  1 3 Với: 2x  y  4  0  y  2x  4 , thay vào (1) ta có: 3x  1  4 2x  1  2x  3  3 2x  4  2 3x  1  3x  1  2 2x  3  2x  3 *  * 3x  1  2x  3  x  4  y  12 . Vậy hệ có nghiệm là: (4; l2) 4. Hệ đồng bậc https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 31 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 A  B Nếu thấy hệ  có dấu hiệu các hạng tử trong A, B, C, D cùng đồng bậc với nhau C  D và bậc A +bậc D= bậc C+bậc B. Thì ta nhân chéo: AD=BC sẽ được 1 phương trình đồng bậc => sử dụng phép chia để đưa về PT bậc 2, 3.... Khi đó giải phương trình bậc 2, 3.. ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa x và y. 2 2  2 x  3 y  x  3 xy  y Bài 1. Giải hệ phương trình:  2 2  x  2 y  x  2 y Giải Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được: (2 x  3 y )( x 2  2 y 2 )  ( x  2 y )( x 2  3 xy  y 2 )  x 3  4 y 3  3 xy 2  2 x 2 y  0 x  y ( x  y )( x  xy  4 y )  0    x  1  17 y  2 2 2 x  0 x  y  0 Với y = x thay vào phương trình thứ hai suy ra 3 x 2  3 x    x  1 x  y  1  1  17 y 1  17 x  Với x  y khi đó ta có hệ:  2 2  x2  2 y 2  x  2 y  2 y 2  x 2  1 1 Bài 2. Giải hệ phương trình  3 3 2 x  y  2 y  x  2  Giải Từ (1) và (2) ta được phương trình đồng bậc 2 x 3  y 3   2 y 2  x 2   2 y  x   x 3  2 x 2 y  2 xy 2  5 y 3  0   x  y   x 2  3 xy  5 y 2   0 x  y  2 2  x  3 xy  5 y  0  3 Với x  y thay vào (1) ta được y 2  1  y  1 . https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 32 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i 2 Phần 1 3  11  Ta có x  3 xy  5 y   x  y   y 2  0 . Rõ ràng x  y  0 không phải là nghiệm hệ phương 2  4  trình. Vậy (3) vô nghiệm. 2 2 Vậy hệ đã cho có nghiệm là 1;1 ,  1; 1 . 3 2 3  x  4 xy  8 y  1 Bài 3: Giải hệ phương trình  4 4  2 x  8 y  2 x  y Giải Từ hệ phương trình trên nhân chéo 2 vế ta được:  2 x  y   x3  4 xy 2  8 y 3   2 x 4  8 y 4  x 3 y  8 x 2 y 2  12 xy 3  0(1) Với y  0  x  1 Với y  0 3 2 x  x  x (1)     8    12    0  y  y  y x  y  2  x  2y  x    6  x  6y y x  0 x 0 y 0 y Với x  2 y thay vào phương trình đầu ta được 2y 3 4  8 y3  8 y3  1  8 y3  1 y 3 1  x 1 8 Với x  6 y thay vào phương trình đầu ta được https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 33 6 y  3  24 y 3  8 y 3  1 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  200 y 3  1 y 3 1 216 x 3 200 200  1   216 3 1  Kết luận: Vậy hệ phương trìn có 4 nghiệm  x; y   1;0  ,  0;0  , 1; 3  ,  3 ;  8   200 200    x3  8 x  y 3  2 y (1) Bài 4: Giải hệ phương trình:  2 2  x  3  3  y  1 (2) Giải Thế (2) vào (1) ta có: 3  x3  y 3    x 2  3 y 2   4 x  y  I    2 2  x  3 y  6 2 2  x3  x 2 y  12 xy 2  0  x  x  xy  12 y   0  2  2 2 2  x  3 y  6  x  3 y  6  x  0  x  3 y  x  4 y  2 2 x  3y  6 x  0 x  3y  x  4 y  2     2 2 2 2 2 x  3y  6 x  3y  6 x  3y  6 4 4   x 78  x  78  x  0   x  3  x  3   13 13  (VN )      2  y  1  y  1  y  1 78  3 y  6  y   1 78 13 13    x 3  y 3  xy 2  1 1 Bài 5. Giải hệ phương trình:  4 4  4 x  y  4 x  y  2  Giải Thay (1) vào (2), ta có: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 34 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 4 x 4  y 4   4 x  y   x 3  y 3  xy 2   xy  3 y 2  4 xy  x 2   0   x  0  y  1 x  0  y  1   y  0  x 1  y  0  x 1  3 y 2  4 xy  x 2  0  x  y  x  3 y  Với x=y thay vào (1), ta có: x  y  1 Với x=3y thay vào (1), ta có: x  3 3 1 ,y 3 25 25 1   3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:  x; y    0;1 , 1;0  , 1;1 ,  3 ;3   25 25   x 3  5 xy 2  3 y 3  2 x  y Bài 6. Giải hệ phương trình  2  x  2 xy  1 Giải  x 3  5 xy 2  3 y 3   2 x  y  Hệ   2  x  2 xy  1 (2) (1) Nhân chéo 2 vế ta được x3  7 xy 2  3 x 2 y  3 y 3  0 (3) * Với y = 0 hệ đã cho vô nghiệm * Với y  0 ta có x x x (3)  ( )3  3( ) 2  7  3  0 (4) y y y Đặt t  x phương trình (4) trở thành y https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 35 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i t  1  t3 + 3t2 – 7t + 3 = 0  t  2  7 t  2  7  Với t = 1 ta có x = y hệ có nghiệm là ( Với t = 2  7 hệ có nghiệm là ( Với t = - 2 + Phần 1 1 1 1 1 ), (  ) ; ; 3 3 3 3 2 7 1 2 7 1 ; ), ( ; ) 7 7 72 7 72 7  7 hệ có nghiệm là       7 2 1 ,  ; 7 7  2 7    x x  y y  2(4 x  y ) Bài 7. Giải hệ phương trình:   x  3 y  6  7 2 1  ; 7 7  2 7  (1) (2) Giải Phân tích: trong PT(1) có VT bậc 3/2, VP bậc 1/2 trong PT(2) có VT bậc 1, VP bậc 0 khi đó bậc VT(1) +bậc VP(2) = bậc VT(2) +bậc VP(1)= 3/2 Nên ta có lời giải x  0 Điều kiện:  y  0 1 Thay 2  ( x  3 y ) từ (2) vào (1) ta được: 3( x x  y y )  ( x  3 y )(4 x  y ) 3  x ( x  xy  12 y )  0  x ( x  3 y )( x  4 y )  0  x 3 y  0   x 0  x  9 y  x  9; y  1   x  4 y  0 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (9;1) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 36  x 2  xy  y 2  3  Bài 8. Giải hệ phương trình  x5  y 5 31  x3  y 3  7  Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Giải Điều kiện: x   y  x 2  xy  y 2  3  2 2 1  5  x  xy  y  3 5  x  y  31 5 5 3 3  x3  y 3  7 7  x  y   31 x  y   2   Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc 21 x 5  y 5   31 x 2  xy  y 2  x 3  y 3   10 x 5  31x 4 y  31x 3 y 2  31xy 4  10 y 4  0  3  . Rõ ràng x  y  0 không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt x  ty thay vào (3) ta được: y 5 10t 5  31t 4  31t 3  31t  10   0  10t 5  31t 4  31t 3  31t  10  0 t  1  0   t  1 10t 4  21t 3  10t 2  21t  10   0   4 3 2 10t  21t  10t  21t  10  0 Với t  1  0  t  1 hay x   y  x  y  0 (loại). Với 10t 4  21t 3  10t 2  21t  10  0  3 . Vì t  0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia 1   1 hai vế phương trình cho t 2 ta được: 10  t 2  2   21 t    10  0 , t    t 1 1 1 Đặt u  t   u  2; u 2  t 2  2  2  t 2  2  u 2  2 . Khi đó (3) trở thành t t t 2  u  (loại)  5 10u 2  21u  10  0   u   5  2 t  2 1 5 5 2 Với u   ta có t     2t  5t  2  0   t   1 t 2 2  2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 37 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Với t  2 ta có x  2 y thế vào (1) ta có 3 y 2  3  y 2  1  y  1 tương ứng x  2 . 1 Với t   ta có y  2 x thế vào (1) ta có 3 x 2  3  x 2  1  x  1 tương ứng y  2 . 2 Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là 1; 2  ,  1; 2  ,  2; 1 ,  2;1 . 3 4  x y  y  7 Bài 9. Giải hệ phương trình  2 2 3  x y  2 xy  y  9 Giải 3 3  x 3 y  y 4  7  y  x  y   7 1   2 2 3 2  x y  2 xy  y  9  y  x  y   9  2  Từ hệ suy ra x.y  0; x   y, y  0 . Nhận xét: nếu để nguyên hệ dạng trên thì chưa có dạng đồng bậc nhưng khi ta lũy thừa 3 PT(1) và lũy thừa 4 PT(2) ta sẽ đưa đc về hệ có dạng đồng bậc. Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn. Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc: y 3  x3  y 3  3 y4  x  y  8  t 3  1  73 73  4 . Đặt x  ty ta được phương trình: 8 4 9  t  1 9 3  3 . Từ phương trình này suy ra t  1. t f t   Xét 3  1 3  t  1 8 9t 2  t 3  1  t  1  8  t  1  t 3  1 2 f'  t   t  3 ; t  1. 8 7  t  1 8  1  t  1  t 3  9t 2  8  2 3 t  3  1  t  1  9t 3  9t 2  8t 3  8  2 7  t  1 8 7  t  1 8  0 t  1 Vậy f(t) đồng biến với mọi t  1 . Nhận thấy t  2 là nghiệm của (3). Vậy t  2 là nghiệm duy nhất. Với t  2 ta có x  2 y thế vào (1) ta được y 4  1  y  1 (vì y  0 ) suy ra x  2 . https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 38 Vậy hệ phương trình có nghiệm là  2;1 . Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x  y  x  y  2 y 1 Bài 10. Giải hệ phương trình   2  x  5 y  3 Giải Điều kiện của phương trình x  y  0 Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc 2 y  x  0 x  y  x  y  2 y  2x+2 x 2  y 2  4 y  x 2  y 2  2 y  x   2 2 2  x  y   2 y  x  2 y  x 2 y  x   2   y  0 5 y  4 xy  0  5 y  4 x  0  Với y  0 thay vào (2) ta suy ra x  9 (loại) Với 5 y  4 x  0 thay vào (2) ta có x 1 x 1 y  4 (thỏa mãn). 5  4 Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;  .  5 5. Phương pháp hệ số bất định: Phương pháp này sẽ xử lý đẹp hầu hết các hệ phương trình hữu tỉ. a1 x 2  b 1 y 2  c1 xy  d1 x  e1 y  f1  0 1 5.1. Với hệ có dạng tổng quát:  2 2 a2 x  b 2 y  c2 xy  d 2 x  e2 y  f 2  0  2  Khi gặp hệ có 1 phương trình là dạng bậc 2 thì đầu tiên ta sẽ xem xét phương trình bậc 2 đó có đưa về dạng tích của 2 thằng bậc 1 hay không bằng cách: - - Coi nó là 1 PT bậc 2 với ẩn là x hoặc y (biến còn lại là tham số), thực hiện hiện thao tác tính . + Nếu  là số chính phương thì ta dùng công thức nghiệm của PT bậc 2 để tìm mối liên hệ giữa x và y. + Nếu  không là số chính phương thì sẽ không đưa về dạng tích được phải chuyển sang hướng khác. Dùng các kĩ năng về phân tích nhân tử bằng casio để kiểm nghiệm. https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 39 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Như vậy trong trường hợp mà cả 2 phương trình (1) và (2) không đưa về dạng tích thì khi đó ta sẽ xử lý hệ như thế nào??. Một ý tưởng được đưa ra là ta sẽ kết hợp cả 2 phương trình lại với nhau theo 1 hằng số k  PT (1)  kPT (2)  0 *  để tạo ra  là số chính phương. Xong việc khó khăn tiếp theo ở đây là tìm k như thế nào để cho PT (*) có  là số chính phương. Có 1 phương pháp chọn k được đề cập trong nhiều tài liệu như sau: Đặt a  a1  ka2 , b  b1  kb2 , c  c1  kc2 , d  d1  kd 2 , e  e1  ke2 , f  f1  kf 2 Khi đó k sẽ là nghiệm của phương trình sau: cde  4abf  ae 2  bd 2  fc 2 * Như vậy đã có công thức để tính k, xong việc giải PT(*) để tìm k cũng là 1 công việc khá cồng kềnh, mất nhiều thời gian tính toán. Nên chỉ sử dụng PP này khi ta đã dùng các phương pháp khác (đặt ẩn phụ, thế...) mà vẫn chưa tìm được lời giải.  x 2  xy  y 2  3(1) Bài 1. Giải hệ phương trình:  2  x  2 xy  7 x  5 y  9  0(2) Giải Dùng PP UCT 2 2  x  y  xy  3  0(1) HPT   2  2 xy  7 x  5 y  9  0(2)  x a  1  k1, b  1, c  1  2k , d  7 k , e  5k , f  3  9k cde  4abf  ae 2  bd 2  fc 2  1  2k  7 k  .  5k   4 1  k  3  9k   1  k  5k   1.  7 k    3  9k  . 1  2k  2 2 2  k 1 Như vậy sử dụng PP UCT ta được k=1 Vậy ta có lời giải x  y  2  0 Cộng theo vế 2 phương trình ta được: ( x  y  2)(2 x  y  3)  0   2 x  y  3  0 Với x + y – 2 = 0 khi đó ta có hệ: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 40 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 x  y  2  0 y  2 x x  1    2   2 2 2  x  xy  y  3  x  x(2  x)  (2  x)  3  y  1 Với 2x + y – 3 = 0 khi đó ta có hệ:  x  1  2 x  y  3  0  y  3  2x y 1  2   2 2 2  x  2  x  xy  y  3  x  x(3  2 x)  (3  2 x)  3    y  1  x  1  2 x  y  3  0  y  3  2x y 1 Vậy hệ có 2 nghiệm là (1;1), (2;-1).  2  2  2 2  x  2  x  xy  y  3  x  x(3  2 x)  (3  2 x)  3    y  1 1  2 2 x  y  (1)  5 Bài 2. Giải hệ phương trình:  4 x 2  3 x  57   y (3 x  1)(2)  25 Giải Sử dụng UCT ta được k  50 25 Lấy 25 lần phương trình (1) cộng theo vế với 50 lần phương trình (2) ta được: 7  3 x  y   5 25(3 x  y ) 2  50(3 x  y )  119  0   3 x  y  17  5  2 1   11 2  Giải ra ta được nghiệm của hệ là  ;  ,  ;   5 5   25 25   x 2  2 xy  2 y 2  3 x  0(1) Bài 3. Giải hệ phương trình:  2  xy  y  3 y  1  0(2) Giải Sử dụng UCT ta được k  2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 41 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 2 lần phương trình (2) ta được:  x  2 y  1 ( x  2 y ) 2  3( x  2 y )  2  0    x  2 y  2  y  1  2  x  3  2 2 Với x + 2y = -1, thay vào (2) ta được: y 2  2 y  1  0    y  1  2  x  3  2 2  1 5  x  3  5 y  2 2 Với x + 2y = -2, thay vào (2) ta được: y  y  1  0    1 5  x  3  5 y   2 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm.  y 2  xy  3 y  2 x  1  Bài 4. Giải hệ phương trình sau:  2 1 2  y  4 xy  3 y  3 x  2 x  2  Giải  y 2  xy  2 x  3 y  1  0 (1) Hệ đã cho   2 2 6 x  2 y  8 xy  4 x  6 y  1  0 (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: y 2  3 x  1 y  2 x 2  2 x  0 (*) Có  y  x 2  2 x  1 Do đó, (*) có hai nghiệm: y = x + 1; y = 2x * Với y  x  1 thay vào (1) ta được: - 3= 0 (Vô nghiệm)  2 2  y  2 2 x  2 * Với y = 2x thay vào (1) ta được:   2 2  y  2 2 x  2  2 2  2 2  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:  ; 2  2  và  ; 2  2   2   2  5.2. Bài toán đặt ra là với những hệ mà không có dạng https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 42 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 2 2 a1 x  b 1 y  c1 xy  d1 x  e1 y  f1  0 1  2 2 a2 x  b 2 y  c2 xy  d 2 x  e2 y  f 2  0  2  thì ta sẽ dùng UCT như thế nào để xử lý? 5.2a. Dạng hệ mà x, y độc lập với nhau  x 3  y 3  35(1) Bài 5. Giải hệ phương trình:  2 2  2 x  3 y  4 x  9 y (2) Giải Phân tích: thấy pt (1) có bậc là 3, PT(2) có bậc 2 và bậc 1 và các biến x, y là độc lập với nhau=> ta liên tưởng tới hằng đẳng thức  u  v  . => ý tưởng kết hợp 2 PT đề đưa về dạng 3  x  a 3   y  b . 3 Hướng 1 dùng UCT: Do PT(2) có bậc nhỏ hơn nên ý tưởng ta sẽ nhân thêm 1 hằng số k vào PT(2) và kết hợp với PT(1) để đưa về dạng  x  a    y  b  . 3 3 Vậy: PT (1)  kPT (2)  x3  2kx 2  4kx  y 3  3ky 2  9ky  35  0 Ta cần tìm k để đưa PT trên về dạng  x  a    y  b   0 3 3  k  3  Sử dụng đồng nhất thức hệ số ta được a  2 b  3  =>Lời giải Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được: ( x  2)3  (3  y )3  x  y  5(3)  y  2  x  3 Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được: y 2  5 y  6  0    y  3  x  2 Vậy nghiệm của hệ là (3;-2), (2;-3). Hướng 2 dựa vào hệ số tự do: Từ hệ số tự do là 35 ta sẽ phân tích 35 thành các số có dạng lập phương quen thuộc 35  27  8  33  23  ( x  2)3  ( y  3)3 =>ta hi vọng sẽ đưa được về 1 trong các dạng sau  3 3  ( x  3)  ( y  2) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 43 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Nếu là dạng ( x  2)3  ( y  3)3 => hệ số của x 2 là: 6 => khi đó ta phải nhân 3 vào pt(2) 9 Nếu là dạng ( x  3)3  ( y  2)3 => hệ số của x 2 là: 9 => khi đó ta phải nhân  vào pt(2) (thằng 2 này nhân số khá lẻ => khả năng là không được) nên thử: Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được: ( x  2)3  (3  y )3  x  y  5(3)  y  2  x  3 Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được: y 2  5 y  6  0    y  3  x  2 Vậy nghiệm của hệ là (3;-2), (2;-3). 3 3  x  y  91 Bài 6. Giải hệ phương trình:  2 2  4 x  3 y  16 x  9 y Giải Phần tích: Tương tự như bài trên  k  3  + Nếu dùng UCT ta được: a  4 b  3  + Nếu phân tích hệ số tự do: ta có 91  64  27  43  33  x  3 3  x  4 3  9 x 2 => ta cần nhân PT(2) với  9 4  12 x 2 => ta cần nhân PT(2) với 3 (ưu tiên hướng này) vậy: Lời giải Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) theo vế ta được: ( x  4)3   3  y   x  7  y (3) Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được: 3 y  4  x  3 y 2  7 y  12  0   y  3 x  4 Vậy nghiệm của hệ là (3;4), (4;3). https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 44 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x 4  y 4  240 (1) Bài 7: Giải hệ phương trình:  3 3 2 2  x  2 y  3  x  4 y   4  x  8 y  (2) Giải: Nhân (2) với 8 rồi lấy (1) trừ đi (2) ta được: x 4  y 4  8 x 3  16 y 3  240  24  x 2  4 y 2   32  x  8 y   x 4  8 x 3  24 x 3  32 x  16  y 4  16 y 3  96 y 2  256 y  256   x  2   y  4 2 2 x  y  2  x  6  y Với: x  y  2 thế lại vào (1) ta có:  y  2 4  y 4  240  y 3  3 y 2  4 y  28  0   y  2   y 2  5 y  14   0  y  2  x   4 Với x  6  y thế lại vào (1) ta có:  y  6 4  y 4  240  y 3  9 y 2  36 y  44  0   y  2   y 2  7 y  22   0  y 2 x4 Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    2; 4  ,  2; 4  5.2b. Dạng hệ mà x, y không độc lập với nhau: 3 2  x  3 xy  49(1) Bài 8. Giải hệ phương trình sau:  2 2  x  8 xy  y  8 y  17 x(2) Giải Vì bậc của x > bậc của y nên ta biến đổi các PT của hệ theo ẩn y https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 45 3 y 2 x  x 3  49  0(1) PT   2 2  y  8 y  x  1  x  17 x  0(2) Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Vì PT(2) có chứa y mà PT(1) không chứa y => thử với x= - 1 để xem PT(1), (2) có dạng tương đương nhau không?  3  y 2  16   0 Ta có với x=-1 thì hệ :   2  y  16  0 Như vậy nếu ta nhân 3.PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+1) => lời giải Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được:  x  1; y  4  ( x  1)  ( x  1) 2  3( y  4) 2   0    x  1; y  4 Vậy nghiệm của hệ là (-1;-4), (-1;4). 6 x 2 y  2 y 3  25  0(1) Bài 9. Giải hệ phương trình:  2 2 5( x  y )  2 xy  5 x  13 y  0(2) Giải Vì bậc của x < bậc của y nên ta biến đổi các PT của hệ theo ẩn x 6 x 2 y  2 y 3  35  0(1) HPT   2 2 5 x  x  2 y  5   5 y  13 y  0(2) 5 Tương tự như trên thử với y  vào hệ ta được: 2 15  2 15 x  4  0  5 x 2  5  0  4 Như vậy nếu ta nhân 3.PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+5/2) Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được: (6 y  15) x 2  3(2 y  5) x  2 y 3  15 y 2  39 y  35  0 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 46 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 5 1  y x 2 2     1  5 2 2  (2 y  5)  3  x     y     0      2  2   x  1  y  5   2 2 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm. 3 2  x  5 xy  35  0(1) Bài 10. Giải hệ phương trình:  2 2  2 x  5 xy  5 y  x  10 y  35  0(2) Hướng dẫn: Lấy PT 1  2 PT  2  ta sẽ được nhân tử chung là (x - 2) 3 2  x  3 xy  6 xy  3 x  39  0(1) Bài 11. Giải hệ phương trình:  2 2  x  8 xy  y  10 y  25 x  9  0(2) Hướng dẫn: Lấy PT 1  3PT  2  ta sẽ được nhân tử chung là (x + 1) Nhận xét: Như vậy với những hệ mà ta đoán được nghiệm (a; b) và khi thay x=a (hoặc y=b) vào hệ thì được PT(1) và PT(2) có dạng tương đương ta đã xử lý được. Vậy nếu khi thay vào hệ mà PT(1) và PT(2) không có dạng tương đương ta sẽ xử lý sao? + khi ta dùng các kĩ thuật casio để dự đoán mối quan hệ tuyến tính giữa x và y + từ đó thế ngược lại vào hệ như các bài trên để tìm ra hệ số k hoặc biểu thức (chứa x,y,xy...) làm cho tổ hợp của PT(1) và PT(2) xuất hiện nhân tử chung. 2 2  x y  3 x  3 y  3  0(1) Bài 12. Giải hệ phương trình:  2 2  x y  4 xy  3 y  2 y  x  1  0(2) Hướng dẫn Dùng casio dự đoán mối quan hệ giữa x và y là: x  1  y thế ngược lại vào hệ ta được 2 2 1  y 2 y 2  3 1  y   3 y  3  0(1)  y  1 y  0(1)   2 2 2 1  y y  4 1  y y  3 y  2 y  1  y  1  0(2)          y  1 y  0(2)  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 47 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Như vậy nếu ta nhân (1-y).PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+y-1)  x 2  2 y 2  xy  2 y (1) Bài 13. Giải hệ phương trình:  3 2 2 2  2 x  3 xy  2 y  3 x y (2) Giải Với y = 0 => x = 0 là một nghiệm của hệ Với y  0 , nhân vào 2 vế của (1) với –y sau đó cộng theo vế phương trình (2) ta được: 2 x 3  2 y 3  4 x 2 y  4 xy 2  0  x  y (3) Thay (3) vào phương trình (1) ta được: 2 y 2  2 y  y  1  x  1 Vậy nghiệm của hệ là (0;0), (1;1). 2 4 3  4 x  y  4 xy  1 (1) 2 2  2 x  y  2 xy  1 (2) Bài 14: Giải hệ phương trình:  Giải: Nhân vế (2) với -2 rồi cộng cho (1) vế theo vế ta được: y 4  2 y 2  4 xy 3  4 xy  1  0   y 2  1  4 xy  y 2  1  0 2   y 2  1 2 y 2  1  4 xy   0  y  1  y  1  y 2  1  4 xy  0 x  0 x  1 Nếu y  1 thay vào (1) ta được: 4 x 2  1  4 x  1  x  x  1  0   x  0  x  1 Nếu y  1 thay vào (1) ta được: 4 x 2  1  4 x  1  x  x  1  0   y2 1 Nếu y  1  4 xy  0  x  (vì y = 0 không thỏa mãn phương trình). Thay vào (1) ta 4y 2 được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 48 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i 2 Phần 1  y2 1   y2 1  3 4 4 2 4  y  4    y  1  5y  6 y 1  0 4 y 4 y     y 1 x  0  y  1  x  0    y  5  x   5 5 5   5 5 x y   5 5  Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là:   x; y   1;1 ,  0;1 ,  1; 1 ,  0; 1 ,    5 5  5 5 ; ;  ,   5 5   5 5  6. Phương pháp sử dụng liên hợp Một số hằng đẳng thức hay sử dụng: + x 2  y 2   x  y  x  y  + x 3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2  + x 4  y 4   x  y  x  y   x 2  y 2  PP này thường được áp dụng cho các hệ chứa căn thức và nhất là khi 1 trong 2 PT của hệ ta đoán được nghiệm cố định (hoặc dùng casio dự đoán mối quan hệ đơn giản giữa x và y) từ đó dùng các biến đổi liên hợp để ép PT trong hệ về dạng tích.  xy  2 y  3  y  x  1  y  3x  5 Bài 1. Giải hệ phương trình:  1  y  2 x  y  2  x  1   2 x  y  1 y  x, y    Giải y  0 2 x  y 1  x  5  Điều kiện:   (*) 2  y  10  y  x 1  y  3 x  5 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 49 Ta có phương trình (2)  1  y    1  y   Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i  Phần 1  2 x  y  1   2 x  y  1 1  y  0   1 1  2x  y 1   (3)  2 x  y  1 1  y     1 1   0 và 1  y  0 nên phương trình (3)  y  2 x  1 2x  y 1 1 y Do Với y  2 x  1 thế vào PT (1) ta được: x  2  4  x  2 x 2  5 x  1 (điều kiện: 2  x  4 )      4  x  1   2 x 2  5 x  3  0 x  2 1  x  3 1 1     x  3    2 x  1  0   1 1    2 x  1 (4) x  2  1 4  x  1    x  2  1 4  x 1 Xét f ( x)  f '( x)   1 1 và g ( x )  2 x  1 với x   2; 4 , ta có g ( x )  g (2)  5  x  2 1 4  x 1 2 x2 f ( x)  f (2)  1   1  x  2 1 2  2 4 x  1  4  x 1 2  0, x   2; 4  f ( x) nghịch biến 1 . Do đó f ( x)  g ( x), x   2; 4 hay phương trình (4) vô nghiệm. 2 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3; 5)    x  1  x 3 x  y  x x  3 y  y  1 Bài 2. Giải hệ phương trình:  3 xy 2  4  4 x 2  2 y  x Giải x  1 Điều kiện:  y 1 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 50  y  1  4 y  4 Với x  1 , ta được:   y 1 2 3 y  2 y  1  0 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Suy ra  x; y   1;1 là một nghiệm của hệ. Với x  1 , phương trình thứ nhất tương đương: x 1  y 1  3 x  y   x  x  y   0  x y  3 x  y   x  x  y   0 x 1  y 1   1   x  y  3 x   0  x 1  y 1    x y Thế y  x vào phương trình thứ hai ta được: 3x3  4 x 2  3x  4  0   x  1 x  1 3 x  4   0 x Với x  4 3 4 4 , ta được y  x  3 3 4 4 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm  x; y   1;1 ,  ;  3 3  x x 2  y  y  x 4  x3  x  Bài 3. Giải hệ phương trình:  9  x  y  x  1  y ( x  1)  2  DK : x  1, y  0 HD https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 51 PT 1  x x 2  y  y  x x 2  x  x x   Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x2  y  x2  x  x  y x  y  x x2  y  x2  x  x y   x 0   x  y  1  2 2   x  y  x  x   x y Do với x  1, y  0 thì 1  x x2  y  x2  x 0  25 25  ĐS :  ;   16 16  Thế vào PT(2) ta được  2 2 2 2 2 2  4x  3xy  7y  4 x  5xy  6y  3x  2xy  y (1) Bài 4. Giải hệ phương trình:  2 3x  10xy  34y 2  47 (2)    Giải 3x  2xy  y  0 Điều kiện:   2 4x  3xy  7y 2  0  2 2 Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình 1 , ta được:   1  x  5xy  6y   4  0   4x 2  3xy  7y 2  3x 2  2xy  y 2    2 2  x  y t / m   x  6y t / m    x  1  y  1 Với x  y Thay vào 2 , ta được: x 2  1   x  1  y  1  y  47  x  6  82 Với x  6y Thay vào 2 , ta được: 82y 2  47    y   47  x  6  82 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan 47 82 47 82 Trang 52 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i x  3 x  3  3 y  5  y  Bài 5. Giải hệ phương trình   x 2  16(y  x )  y  2 xy  Phần 1 (1) (2) Giải Điều kiện: x  3; y  5; x 2  16(y  x )  0; xy  0 Ta có: (2)  x 2  16(y  x )  xy  xy  y    x  16 y   0  (x  y )    2 xy  y   x  16(y  x )  xy x  y  x  16 y    0  2 xy  y  x  16(y  x )  xy Với: x  y Thay vào (1) ta được: 2x  3   x  3  x  5  x 4  9x 3  9x 2  324  0  x  6  y  6(t / m) Với: x  16 x 2  16(y  x )  xy Ta có: y  5   y xy  y  y xy  y 0 0 Từ (1) ta có: x  3 x  3  3 y  5  y  y  5  3 y  5  x  3  3 x  3  2  0 (*) Ta coi (*) là Phương trình bậc haivới y  5 làần, x là tham số. https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 53 Ta có:  y 5    Phần 1   9  4 x  3  3 x  3  2  4(x  3)  12 x  3  1 (*) cónghiệm    x 3  Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i y 5  0  4(x  3)  12 x  3  1  0 6  2 10  x  16 4 x  16 2 x  16(y  x )  xy x  16 x 2  16(y  x )  xy 0  y xy  y  0  VN Vậy hệ có nghiệm: 6;6 HẾT PHẦN 1 Các phần 2 và 3 sẽ được phát hành sớm, các em chú ý theo dõi thông tin trên facebook của thầy. Chi tiết cách làm, hướng dẫn cụ thể được thầy trình bày trong khóa học PEN-C 2016 http://hocmai.vn/khoa-hoc-truc-tuyen/307/luyen-thi-quoc-gia-pen-c-mon-toan-thay-phan-huy-khaithay-tran-phuong-thay-nguyen-ba-tuan-2015.html https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 54 [...]... LÀM XUẤT HIỆN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản: công trừ, nhân, chia các vế của hệ phương trình để tạo ra phương trình mới có dạng tích  x 4  y 4  240 Bài 1 Giải hệ phương trình:  3 3 2 2  x  2 y  3  x  4 y   4  x  8 y  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Giải Nhân phương trình thứ hai... Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có: (2)   x 2  y   2 36 x 2 (4) y2 Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y 3  8  y  2 Với y  2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x  2 và x  1 Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)   x 2 y  2 xy 2  3 y 3  4  x  y   0 Bài 8 Giải hệ phương trình:  2 2 2  xy  x  y   1  3 xy   x  y  Giải +Phương trình. .. 4  t  0    0  Trang 22 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Ta thấy 2t  Phần 1 t2 1   0 với t   2; 4 t  2 1 1 4  t Vậy t  3 suy ra x  3 y thế vào phương trình (1) của hệ ta được phương trình 1 3 x 2 2 2 y2  1  y   3 1  Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    ;   2 2 2 Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp (thường là đẳng... C  D và bậc A +bậc D= bậc C+bậc B Thì ta nhân chéo: AD=BC sẽ được 1 phương trình đồng bậc => sử dụng phép chia để đưa về PT bậc 2, 3 Khi đó giải phương trình bậc 2, 3 ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa x và y 2 2  2 x  3 y  x  3 xy  y Bài 1 Giải hệ phương trình:  2 2  x  2 y  x  2 y Giải Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được: (2 x  3 y )( x 2  2 y 2 )  ( x  2 y )( x 2  3 xy  y... phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  5 3  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:  ;   16 16   y 3  x3  9  x3  (1) Bài 7 Giải hệ phương trình:  2 2  x y  y  6 x (2) Giải Xét trường hợp x  0 dẫn đến y  0 Xét trường hợp x, y  0 , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:  x 2  y  x 4  x 2  y 2   9 x 3 (1)   2 6x (2) x  y  y  Lấy (2) thế vào (1), ta được:... Với x  9  y 3 thế vào PT (2) sử dụng hàm số => vô nghiệm +Với x=y thế vào PT(2) ta được đáp số: ĐS :  0;0  ,  11  6  11  6 3; 11  6 3 3; 11  6 3   Bài dưới đây là 1 sự nhạy bén trong việc sử dụng linh hoạt phương trình bậc 2 và vi-et để giải hệ 2 x 2  xy  1 (1)  Bài 5 Giải hệ phương trình:  9 x 2 3 xy  2 1  x 4  1  2 1  x 2 (2)      Giải Xét phương trình bậc hai: 2t 2... kiện (*) ta thấy thỏa  thay vào (**) ta được  y 3 y  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    5;3 x 2  4 3x  2  10  2y  Bài 11 Giải hệ phương trình:  2 y  6 4y  3  11  x  (1) (2) Giải https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 21 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i 2 3 Điềukiện: x  ; y  3 4 Phần 1 Cộng 2 vế của phương trình với nhau ta được: x 2... 2  1 1 Phương trình này vô nghiệm do    3   8 3  0 3  9 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y  duy nhất là  2; 2  2 4 3  4 x  y  4 xy  1 (1) Bài 5 Giải hệ phương trình:  2 2  4 x  2 y  4 xy  2 (2) Giải Trừ vế theo vế được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 16 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i y 4  2 y 2  4 xy 1  y 2   1 Phần 1 ... 0;   và g(x) nghịch biến trên  0;   Ta thấy x  3 là nghiệm của (4) Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x  3  y  2 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan  3; 2 3  Trang 26 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  xy  x  y  x 2  2 y 2 (1) Bài 2 Giải hệ phương trình  x 2 y  y x  1  2 x  2 y (2)  Giải Điều... https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 15 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 2  y  xy  2   3 x (1) Bài 4 Giải hệ phương trình:  2 2  y  x y  2 x  0 (2) Giải  y  xy  2   3x 2 (1) Hệ phương trình đã cho tương đương với:  2  y  y  x   2 x (2) Suy ra: xy  2 3x 4  3x3   y  (3) y  x2 2 5x Thế (3) vào (1), ta được  4  3x3  4  3x3  2   3x 2  ... Quy phương trình dạng phương trình bậc Hệ đồng bậc Phương pháp hệ số bất định (UTC) Phương pháp liên hợp Khi gặp hệ phương trình ta có thứ tự ưu tiên cho hướng giải sau: + Phép rút - Hệ có phương. .. tương ứng phương trình hệ xuất nhân tử chung Đỉnh cao việc kết hợp phương trình để tìm mối liên hệ x, y phương pháp hệ số bất định (UCT) Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa phương trình hệ dạng... tích - - Nếu phương trình hệ có dạng hàm bậc x (y) giải PT bậc bình thường để tìm mối quan hệ x y Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với vài hệ đơn giản ta quan sát thấy phương trình hệ có form