TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ   KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN   BỘ MÔN TOÁN ------------    LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN VÀ CÁC ỨNG DỤNG GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN TS. NGUYỄN HỮU KHÁNH VÕ NGỌC NỮ_ 1100182 (BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHTN) NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG K36 CẦN THƠ - 12/2013       LỜI CẢM ƠN -----------  Đầu tiên, em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Hữu Khánh. Thầy đã  trực tiếp hướng dẫn, tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn.  Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy, quý Cô trong bộ môn Toán khoa Khoa học  Tự nhiên trường Đại học Cần Thơ đã truyền kiến thức cho em trong suốt thời gian học  tập. Đó là nền tảng cho quá trình nghiên cứu viết luận văn và đó còn là hành trang quí  báo để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin.  Em cũng không quên gởi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã ủng hộ, động viên  và giúp đỡ em về mọi mặt để em có thể hoàn thành tốt luận văn này.   Cuối  cùng  em  kính  chúc  quý  Thầy,  Cô  dồi  dào  sức  khỏe  và  thành  công  trong  công việc và cuộc sống.      Cần Thơ, tháng 12 năm 2013    Sinh viên thực hiện      Võ Ngọc Nữ ii       DANH MỤC CÁC BẢNG Trang               Bảng 1. Dân số trung bình của Việt Nam (1976 – 2013)  4              Bảng 2  Cung cầu đối với xe đạp ở một địa phương  22  Bảng 3  Bảng chuyển động của gia tốc và vận tốc  50    DANH MỤC CÁC HÌNH Trang   Hình 1. Đồ thị hàm trị tuyệt đối  4  Hình 2. Đồ thị điện tâm đồ trong y học  4     Hình 3. Đồ thị hàm lũy thừa y  x (   )   6  Hình 4  Đồ thị hàm mũ y  a x (0  a  1) 7  Hình 5  Đồ thị hàm logarit  y  log a x (0  a  1) 7  Hình 6  Đồ thị hàm giới hạn  g ( x) 10 Hình 7   Đồ thị thể hiện lợi nhuận công ti  13  Hình 8  Đồ thị tiếp tuyến với đường cong  30  Hình 9  Đồ thị hàm số   y  x2  1   x3 41  Hình 10  Đồ thị phương trình  r  a (1  cos ), a  0   3  x  a cos t (a  0)   3  y  a sin t 43  Hình 11. Đồ thị của phương trình tham số   45  Hình 12  Diện tích hình thang cong  64  Hình 13  Diện tích hình thang cong vô hạn  69  iii       MỤC LỤC   PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài  ---------------------------------------------------------------------------------- 1 II.  Mục đích nghiên cứu ------------------------------------------------------------------------ 1 III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu --------------------------------------------------------- 2 IV.  Phương pháp nghiên cứu ------------------------------------------------------------------ 2   PHẦN NỘI DUNG   CHƯƠNG 1 HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC ----------------------------------- 3 1.1  Hàm số -------------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.1.1  Các khái niệm cơ bản --------------------------------------------------------------------- 3 1.1.2 Tổng, hiệu, tích và thương các hàm ---------------------------------------------------- 5 1.1.3  Hàm hợp ------------------------------------------------------------------------------------ 5 1.1.4  Hàm ngược --------------------------------------------------------------------------------- 5 1.1.5 Các hàm sơ cấp cơ bản -------------------------------------------------------------------- 6 1.1.6  Hàm sơ cấp --------------------------------------------------------------------------------- 8 1.1.7 Ứng dụng của hàm số --------------------------------------------------------------------- 8 1.2  Giới hạn của dãy số và hàm số -------------------------------------------------------------  10 1.2.1 Dãy số và giới hạn của dãy số ---------------------------------------------------------  10 1.4.2 Bài tập ứng dụng -------------------------------------------------------------------------  19 1.4.3 Lãi đơn và lãi gộp ------------------------------------------------------------------------  22 CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ------------- 25 2.1  Đạo hàm-----------------------------------------------------------------------------------------  25 2.1.1  Đạo hàm tại một điểm ------------------------------------------------------------------  25 2.1.2 Đạo hàm một phía -----------------------------------------------------------------------  25 2.2  Các phương pháp tính đạo hàm ------------------------------------------------------------  27 2.2.1 Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản -------------------------------------------------  27 2.2.2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương ------------------------------------------------  27 2.2.3 Đạo hàm của hàm hợp ------------------------------------------------------------------  27 iv       v( x) 2.2.4 Đạo hàm của hàm  y  u ( x) ,  (u ( x )  0)  -----------------------------------------  28 2.2.5 Đạo hàm lôgarit --------------------------------------------------------------------------  28 2.2.6  Đạo hàm của hàm ẩn -------------------------------------------------------------------  28 2.3  Vi phân ------------------------------------------------------------------------------------------  29 2.3.1  Khái niệm vi phân -----------------------------------------------------------------------  29 2.3.2 Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân ----------------------------------------------------  30 2.3.3 Các qui tắc tính vi phân -----------------------------------------------------------------  30 2.3.4 Ý nghĩa hình học -------------------------------------------------------------------------  30 2.3.5 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng ---------------------------------------------  31 2.4  Các định lí giá trị trung bình ----------------------------------------------------------------  31 2.4.1 Cực trị địa phương. Định lý Fermat --------------------------------------------------  31 2.4.2 Các định lý giá trị trung bình ----------------------------------------------------------  31 2.4.3 Quy tắc L’Hospital ----------------------------------------------------------------------  34 2.5  Một số ứng dụng của đạo hàm -------------------------------------------------------------  35 2.5.1 Công thức Taylor ------------------------------------------------------------------------  35 2.5.2 Một số khai triển quan trọng -----------------------------------------------------------  35 2.5.3 Ứng dụng ----------------------------------------------------------------------------------  36 2.6  Ứng dụng của đạo hàm ----------------------------------------------------------------------  37 2.6.1  Tính đơn điệu ----------------------------------------------------------------------------  37 2.6.2  Khảo sát hàm số -------------------------------------------------------------------------  37 2.6.3 Đường cong trong tọa độ cực ----------------------------------------------------------  42 2.6.8 Đường cong cho bởi phương trình tham số -----------------------------------------  44 2.6.4 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất -------------------------------------------------------  46 2.6.9 Tốc độ biến thiên -------------------------------------------------------------------------  48 2.6.5 Vận tốc và gia tốc ------------------------------------------------------------------------  49 2.7  Ứng dụng của đạo hàm một biến trong kinh tế -----------------------------------------  51 2.7.1   Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế -------------------------------------------  51 2.7.2   Hàm trung bình và hàm chi phí biên -----------------------------------------------  52 2.7.3   Doanh thu trung bình và doanh thu biên -------------------------------------------  54 2.7.4   Giảm thiểu chi phí trung bình hoặc tổng chi phí và tối đa hoá tổng doanh   thu, tổng lợi nhuận ------------------------------------------------------------------------------  56 2.7.5   Độ co dãn của một hàm số------------------------------------------------------------  58 v       2.7.6   Hàm cầu biểu diễn quan hệ giá  p  và  QD  f ( p)  --------------------------------  58 2.7.7    Hàm số cung biểu diễn quan hệ giữa giá  p  và  Qs  G ( p)  --------------------  58 2.7.8    Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu --------------------------------------------  60 CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ---------------------- 61 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định ---------------------------------------------------------  61 3.1.1 Nguyên hàm -------------------------------------------------------------------------------  61 3.1.2 Tích phân bất định -----------------------------------------------------------------------  61 3.3.3 Các phương pháp tính tích phân ------------------------------------------------------  63 3.2 Tích phân xác định ----------------------------------------------------------------------------  64 3.2.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong ---------------------------------------------  64 3.2.2 Khái niệm tích phân xác định ---------------------------------------------------------  65 3.2.3 Công thức Newton-Leibnitz -----------------------------------------------------------  67 3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định-------------------------------------------  68 3.3 Tích phân suy rộng ----------------------------------------------------------------------------  69 3.3.1 Tích phân với cận vô hạn (loại 1) -----------------------------------------------------  70 3.3.2 Tích phân của hàm không bị chặn (loại 2) ------------------------------------------  71 3.4  Ứng dụng của tích phân xác định ----------------------------------------------------------  72 3.4.1  Tính giá trị trung bình của hàm trên một đoạn ------------------------------------  72 3.4.2 Diện tích hình phẳng --------------------------------------------------------------------  72 3.4.3  Tính độ dài đường cong ----------------------------------------------------------------  73 3.4.4  Tính thể tích ------------------------------------------------------------------------------  74 3.5 Ứng dụng hình học của tích phân suy rộng -----------------------------------------------  76 3.6  Ứng dụng tích phân xác định trong khoa học kĩ thuật ---------------------------------  76 3.6.1  Tổng thay đổi của đại lượng ----------------------------------------------------------  76 3.6.2  Công của lực sản sinh ------------------------------------------------------------------  77 3.7  Ứng dụng trong xác suất – thống kê ------------------------------------------------------  78 3.7.1 Kỳ vọng ------------------------------------------------------------------------------------  78 3.7.2  Phương sai --------------------------------------------------------------------------------  79 3.8 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế -----------------------------------------------------  80 3.8.1   Xác định hàm chi phí ------------------------------------------------------------------  80 3.8.2   Xác định hàm tổng doanh thu --------------------------------------------------------  82 3.8.3  Giá trị tương lai --------------------------------------------------------------------------  83 vi       3.8.4  Giá trị tích lũy tương lai của dòng thu nhập liên tục -----------------------------  84 3.8.5  Giá trị hiện tại ----------------------------------------------------------------------------  84 3.8.6   Giá trị tích lũy hiện tại của dòng thu nhập liên tục ------------------------------  85 3.8.7   Tiêu thụ tài nguyên thiên nhiên ------------------------------------------------------  86 3.8.8   Tìm hàm tổng chi phí khi biết chi phí biên ----------------------------------------  87 3.8.9  Xác định nguồn vốn đầu tư K(t) từ tốc độ thay đổi đầu tư I(t)-----------------  87 3.8.10  Tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng ----------------------------------------  88 3.8.11  Tính giá trị thặng dư của nhà sản xuất --------------------------------------------  89 CHƯƠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT ----------------------- 90 4.1  Phương trình tách biến -----------------------------------------------------------------------  90 4.2  Phương trình vi phân tuyến tính cấp một ------------------------------------------------  91 4.3 Phương trình dẳng cấp ------------------------------------------------------------------------  92 4.4  Phương trình Bernoulli-----------------------------------------------------------------------  94 4. 5  Phương trình vi phân toàn phần -----------------------------------------------------------  95 KẾT LUẬN   ----------------------------------------------------------------------------------------  97 TÀI LIỆU THAM KHẢO  ------------------------------------------------------------------- 98         vii     PHẦN MỞ ĐẦU     I. Lý do chọn đề tài Từ xưa giải tích đã được con người biết đến. Vì thế ứng dụng của  giải tích vào  cuộc  sống  là  điều  mà  con  người  luôn  quan  tâm.  Giải  tích  có  các  ứng  dụng  đáng  kể  trong  nhiều  lĩnh  vực  đặc  biệt  trong  kinh  tế  trên  dưới  một  thế  kỉ  nay,  nhưng  chúng  không được ứng dụng rộng rãi bởi các nhà  kinh tế cổ điển chỉ dùng thí dụ  minh họa  cho các lý thuyết của mình hay các công thức toán học và đồ thị. Ngày nay Khoa học  kĩ thuật và Kinh tế ngày càng phát triển dựa vào sử dụng rất nhiều công cụ toán học,  đặc biệt là giải tích.   Phép tính vi phân và tích phân, hai phép tính này đóng vai trò rất quan trọng và là  nền  tảng  cho  sự phát  triển  của  giải  tích  toán  học.  Ngoài  ra  chúng  còn  được  đưa  vào  ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như: Vật lí, y học, khoa học kĩ thuật, thống kê,... Đặc  biệt trong ứng dụng  kinh tế ngày một nhiều. Nó giúp cho  kinh tế diễn giải, trình bày  được nhiều vấn đề mà các phương pháp diễn giải bằng lời thông thường không có hiệu  quả.  Giải  tích  dường  như rất  khô  khan  về  mặt  lý  thuyết  nhưng  ứng  dụng  của  chúng  trong  một  số  lĩnh  vực cũng  như trong  các  bài  toán  kinh  tế  rất  thú  vị  và  hấp  dẫn.  Sử  dụng  giải  tích  để  phân  tích  kinh  tế,  phân  tích  tình  huống  và  nghiên  cứu  kinh  tế  thị  trường.  Nghiên cứu ứng dụng của giải tích sẽ giúp ta hiểu sâu hơn các kiến thức giải tích  đã học, thấy được lợi ích của toán học và làm quen với việc áp dụng toán học vào đời  sống.  Đó là lí do mà em chọn làm nghiên cứu đề tài: “ GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN  VÀ CÁC ỨNG DỤNG “ cho luận văn tốt nghiệp.  II. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu ứng dụng giải tích trong một số lĩnh vực  Nhằm vận dụng giải tích vào trong phân tích các mô hình kinh tế để nắm rõ hơn  các nguyên tắc và các quy luật kinh tế.    1   III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của Giải tích vào một số hàm kinh tế cơ bản.  Phạm  vi nghiên cứu: Đề tài tập trung  vào những nội dung cơ bản của hàm  một  biến.  IV. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích và trình bày các kiến thức cơ bản của hàm một biến.  Phương pháp thực nghiệm: Vận dụng các  kiến thức vào trong các  ví dụ cụ thể.   2   CHƯƠNG 1 HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1.1 HÀM SỐ 1.1.1 Các khái niệm cơ bản a. Hàm số  Định nghĩa 1.1.1 Cho tập  X  ,X   . Hàm số (hay hàm)  f  xác định trên  X  là  một quy tắc cho tương ứng mỗi số  x  X  với một số thực xác định duy nhất  f ( x ) .  Kí hiệu  f : x  f  x   hay  y  f ( x ) .    X  được gọi là miền xác định, kí hiệu là  D f  hay  D ( f ) . Nếu hàm  f được cho bởi  biểu thức giải tích  y  f ( x )  và không chỉ rõ miền xác định thì miền xác định  D f  là tập  các số thực làm cho biểu thức  f ( x )  có nghĩa.  Tập hợp  f  X    f  x  : x  X   được gọi là miền giá trị của hàm  f .  Ta gọi  x  là biến độc lập (hay đối số),  y  là biến phụ thuộc (hay hàm).  Giá trị của hàm  f  tại x = a được kí hiệu là  f (a )  hay  f  x  |x  a .   Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số  y  f  x   với miền xác định  X là tập hợp các điểm  ( x, f ( x))   trong mặt phẳng tọa độ với  x  X .  b. Các phương pháp cho hàm i. Phương pháp giải tích Hàm được cho dưới dạng một hay nhiều biểu thức giả tích.   Ví dụ 1 Hàm trị tuyệt đối cho bởi   x   , x  0 .  y x   x  , x  0     Hàm xác định trên  D   ,    và có miền giá trị f  D    0, ) .  3   Hình 1. Đồ thị hàm trị tuyệt đối    ii. Phương pháp bảng Hàm được cho bởi một bảng trong đó một hàng (cột) ghi các giá trị của biến số  và một hàng (cột) còn lại ghi các giá trị tương ứng của hàm.   Ví dụ 2   Dân số trung bình của Việt Nam qua các mốc thời gian từ năm 1976 đến  2013 được cho bởi bảng sau (đơn vị tính là triệu người):  Bảng 1. Dân số trung bình của Việt Nam (1976 – 2013) 1976  1980  1985  1990  1995  2000  2005  2009  2011  2013  49.16  53,72  59,87  66,02  71,99  77,63  83,12  85,70  87,84  90,00  Trong bảng trên, năm là biến độc lập, dân số là biến phụ thuộc và bảng biểu diễn  dân số như là hàm của năm.  iii. Phương pháp đồ thị   Hàm  được  cho  bởi  đồ  thị.  Phương  pháp  này  cho  ta  thấy  được  dáng  điệu  của  hàm.   Ví dụ 3    Điện tâm đồ trong y học.    Hình 2. Đồ thị điện tâm đồ trong y học   4   1.1.2 Tổng, hiệu, tích và thương các hàm Với  x  D f  Dg , các hàm  f  + g,  f - g,  fg và  i. f  cho bởi  g  f  g  x   f  x   g  x    ii. fg  x   f  x  .g ( x)   iii. f f ( x) , g ( x )  0 .   x  g g ( x) 1.1.3 Hàm hợp Giả sử  y  f (u )  là hàm số của biến số  u  và  u  g ( x)  là hàm số của biến số  x .  Khi đó  y  f  u   f  g ( x)   gọi là hàm số hợp của biến độc lập  x  thông qua biến trung  gian  u , kí hiệu  f  g . Ta có:    f g  x   f  g  x   , x  Dg    Nhận xét  Hàm hợp  f  g  xác định với mọi  x  tại đó  g ( x)  xác định và  g ( x)  thuộc miền xác  định của  f , tức là   D  f  g    x : x  D  g  , g ( x )  D( f )  và  f g  g f .   Ví dụ 4 Cho các hàm  f  x   2 x 2  1  và  g  x   x  1 . Ta có    f g  x   2 f  g  x    2  g  x    1  2  x  1  1  2 x  1    g f  x   g  f  x   f  x 1   2x 2   1  1  2 x .  Ta thấy   g f  0   0   f  g  0   1 .  1.1.4 Hàm ngược  Định nghĩa 1.1.2  Giả sử hàm  f xác định trên  X  và có miền giá trị là Y và là hàm  1  1 , tức là nếu  x1  x2  thì  f ( x1 )  f ( x2 ) . Khi đó với mỗi  y  Y  tồn tại duy nhất  x  X   sao cho f  x   y .  Coi  x  Y  là biến độc lập thì với mọi  x  Y  tồn tại duy nhất  y  f 1 ( x )  X  để  f  y   x . Ta có hàm  y  f 1  x  , x  Y , gọi là hàm ngược của hàm  y  f ( x ) .    5    Chú ý : Chỉ có hàm  1  1  mới có hàm ngược.   Định nghĩa 1.1.3 ( Hàm 1  1 )  Một hàm được gọi là tương ứng  1  1  giữa tập xác định và tập giá trị (gọi tắt là  hàm  1  1 ) nếu nó không lấy một giá trị nào đó của nó hai lần; tức là:  f  x1   f  x2   khi  x1  x2 .   Ví dụ 5 i. Hàm  y  x3  có hàm ngược  x  3 y , cả hai cùng xác định trên  .  ii. Hàm  y  a x  (0  a  1)  xác định trên   và có miền giá trị. Hàm này có hàm  ngược  x  log a y  xác định trong khoảng  D  (0, )  và có miền giá trị  f  D    .  iii. Hàm  y  x 2  không có hàm ngược trên   vì không là hàm  1  1 .  1.1.5 Các hàm sơ cấp cơ bản a. Hàm lũy thừa: y  x α (α  ) Nếu   vô tỉ ta quy ước xét:  x  0  nếu    0 và  x  0  nếu    0 .  Miền xác định của hàm phụ thuộc vào     Đồ thị của tất cả các hàm  y  x (  )  đều đi qua điểm (1, 1), chúng đi qua gốc  O   nếu    0 và không đi qua  O  nếu    0 .  Hình 3 Đồ thị hàm lũy thừa y  x α (α  ) b. Hàm mũ: y  a x (0  a  1) Hàm xác định với mọi  x  và luôn nhận giá trị dương.  Hàm tăng khi  a  1 và giảm khi  0  a  1 .  Đồ thị luôn đi qua hai điểm  0,1 , nằm trên trục  Ox và tiệm cận với trục  Ox .    6   Hình 4 Đồ thị hàm mũ y  a x (0  a  1) c. Hàm logarit: y  log a x (0  a  1) Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ.  Hàm xác định với mọi  x  0 .  Hàm tăng khi  a  1 và giảm khi  0  a  1 .  Đồ thị đối xứng với đồ thị của hàm  y  a x   qua đường phân giác thứ nhất, luôn đi  qua điểm  (1, 0) , nằm bên phải trục  Oy và tiệm cận với  Oy .  Hình 5 Đồ thị hàm logarit y  log a x (0  a  1) d. Các hàm lượng giác Các hàm  y  sin x, y  cos x, y  tan x, t  cot x . Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn.       Hàm  y  sin x, y  cos x  là hai hàm có tập xác định là   và tập giá trị là [-1, 1].    Hàm y  tanx  có tập xác định là   x   | x     k  và tập giá trị là     ;   .                       2  Hàm y  cotx  có tập xác định là   x   | x  k  và tập giá trị là     ;   .                              e. Các hàm lượng giác ngược  Hàm y  acrsinx    y  acrsinx  với miền xác định   1,  1 và miền giá trị    ,   .   2 2   7    Hàm y  arccosx   y  arccosx  với miền xác định là   1,  1 , miền giá trị là  [0,  ] .    Hàm y  arctan x      y  arctan x có miền xác định là   , miền giá trị    ,   .   2 2  Hàm y  arc cot x y  arc cot x  có miền xác định là   , miền giá trị   0,   .  1.1.6 Hàm sơ cấp  Định nghĩa 1.1.4 Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép  lấy tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp đối với các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng.   Chẳng hạn  f  x   e  cosx lnx  2 x3arcsinx 2  là hàm sơ cấp.  1.1.7 Ứng dụng của hàm số Phần này giới thiệu ứng dụng của hàm số thông qua các ví dụ.    Ví dụ 6 (Giá tiền đi xe taxi) Giá đi xe taxi trong thành phố được tính như sau: trong  2km đầu tiên trả 20 000đ, 3km kế tiếp phải trả thêm 8 000đ/km, sau km thứ năm phải  trả thêm 5 000đ/km.  Gọi  x  là số km taxi đã chạy và  f ( x )  là giá tiền phải trả ứng với  x  km đó. Ta có   20 000 , 0  x  2   f  x   20 000  8 000  x  2   , 2  x  5    44 000  5 000  x  5   , x  5.  Giá đi 4 km là :  f (4)  20000  2.8000  36000 đ   Ví dụ 7 (Liên hệ giữa độ C và độ F) Có hai đơn vị phổ biến để đo nhiệt độ: Celcius  (C) và Fahrenheit (F). Nước đông đặc ở  00 C  và  320 F . Nước sôi ở 1000 C  và  2120 F .  a. Giả sử nhiệt độ Celcius  TC  và nhiệt độ Fahrenheit  TF  liên hệ với nhau  bởi một phương trình tuyến tính. Tìm sự biểu diễn  TF  như là hàm  TC .  b. Nhiệt độ bình thường của người là  37 0 C . Hỏi ở nhiệt độ F nó là bao  nhiêu?    8   Giải a. Vì  TC  và  TF  liên quan với nhau một cách tuyến tính nên ta có thể giả sử   32  0.a  b TF  aTC  b . Theo giả thiết ta có hệ phương trình      212  100.a  b 9 5 9 5 Giải hệ ta được  a   ,  b  32 . Do đó  TF  TC  32   9 5 b. Ta có  TF  37   .37  32  98, 6 nên ở nhiệt độ F nhiệt độ trung bình  thường của người là  98, 600 F .   Ví dụ 8 (Giá nguyên liệu).  Một container hình hộp chữ nhật không có nắp phía trên  với thể tích là 10m3 . Chiều dài của đáy bằng hai lần chiều rộng. Nguyên liệu để làm  đáy là 10$ một  m 2 ; nguyên liệu làm các mặt bên là 6$ trên  m 2 . Giá nguyên liệu để  làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy, hãy biểu thị hàm này bằng  một công thức.  Giải Đặt w là chiều rộng của mặt đáy, chiều dài mặt đáy là  2w ;  h  là chiều cao của  container.  Diện tích của mặt đáy là  2w( w)  2w2 nên giá nguyên liệu để làm mặt đáy là:   10(2w2 )$.   Hai mặt bên có diện tích là  2 wh và hai mặt bên còn lại có diện tích  wh  nên giá  nguyên liệu để làm các mặt bên là:  6  2  wh   2(2 wh)  $   Như vậy, giá nguyên liệu tổng cộng là    C  10 2w2  6  2  wh   2  2wh    20 w2  36 wh   Mặt khác, thể tích của nó là 10m3  nên ta có  w  2 w  h  10 , tức là  h  5   w2 Thay vào công thức tính C, ta được:     5 C  20w2  36wh  2 w 180  2      20 w  w  Vậy giá nguyên liệu được biểu thị theo chiều dài cạnh đáy bởi công thức sau:  C  20w2    9 180 , w  0.   w   1.2 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 1.2.1 Dãy số và giới hạn của dãy số a. Khái niệm dãy số.  Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm  f  xác định trên tập   . Khi đó tập các giá trị  f 1 , f  2  , , f  n  ,   lập thành một dãy số (hay dãy).  Đặt  xn  f (n) , ta được dãy số  x1 , x2 , , xn , , kí hiệu là   xn n .  xn  được gọi là số hạng tổng quát (hay số hạng thứ n) của dãy.   Ví dụ 9  n  n  1 2 3  i.  ,       ,  ,  , ,  n 1   n  1 n 1  2 3 4  ii.    1 1  n n n   1,1 , 1,1 ,, 1  , .  n n 1 1  2 3            1,  ,  ,    b. Giới hạn của dãy số thực  Định nghĩa 1.2.2 Số a (hữu hạn) được gọi là giới hạn của dãy số   xn   khi n dần ra  vô cùng nếu với mọi số    0  bé tùy ý tồn tại số tự nhiên  N  phụ thuộc vào    sao cho  với mọi  n  N  ta có  xn  a   . Kí hiệu lim xn  a  hay  xn  a   n  c. Các phép tính giới hạn  Định lý 1.2.1  Nếu các dãy số   xn   và   yn   có giới hạn thì  i. lim  xn  yn   lim xn  lim yn   x  x  x  ii. lim  xn . yn   lim xn .lim yn   x  iii. lim x  x  x  xn xn lim  x       (lim yn  0) .  x  yn lim yn x    10   d. Dãy bị chặn, dãy đơn điệu Dãy   xn   được gọi là tăng nếu  xn  xn1 , n  1 , tức là  x1  x2  x3   . Nó được  gọi là dãy giảm nếu  xn  xn 1 , n  1 . Một dãy là tăng hoặc là giảm thì được gọi chung  là dãy đơn điệu.  xn  M , n  1   Một dãy   xn   được gọi là bị chặn dưới nếu có một số m sao cho  xn  m, n  1 .  Khi dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, thì ta nói   xn   là dãy bị chặn  1.2.2 Giới hạn của hàm số a. Giới hạn của hàm tại một điểm  Định nghĩa 1.2.3 Giả sử hàm  f ( x )  xác định ở lân cận  x0 , không nhất thiết phải xác  định tại  x0 . Số L (hữu hạn) được gọi là giới hạn của hàm  y  f ( x )  khi x dần đến  x0  nếu    0,      0  sao cho  x  X , 0  x  x0    ta có  f  x   L   .  Kí hiệu  lim f  x   L    hay    f  x   L   khi     x  x0 .  x  x0 b. Giới hạn một phía  Định nghĩa 1.2.4 Khi  x  dần về  x0  bên trái ( x  x0  và  x  x0 ) thì giới hạn của  f ( x )  được gọi là  giới hạn trái của  f ( x )  tại  x0 , kí hiệu là  lim f ( x )  hay  f ( x0  0) .  x  x0 Khi  x  dần về  x0  bên phải ( x  x0  và  x  x0 ) thì giới hạn của  f ( x )  được gọi là  giới hạn phải của  f ( x )  tại  x0 , kí hiệu là  lim f ( x)  hay  f ( x0  0) .  x  x0  Định lý 1.2.2 lim f  x   L   lim f  x  ,  lim f  x    và   lim f  x   lim f  x   L x  x0 x  x0 x  x0 x  x0  Ví dụ 10 Đồ thị hàm  g được cho trong hình dưới đây        11 x  x0             Hình 6 Đồ thị hàm giới hạn g ( x) c. Tính chất i.   Giới hạn của hàm  f ( x )  khi  x  x0  (hay  x   ) nếu có là duy nhất.  ii.   Nếu  f  x   C  (const) thì  lim f  x   C .  x  x0 iii.  Nếu  lim f  x   L  và  A  f  x   B  x  X  thì  A  L  B .  x  x0   Đặc biệt, nếu  f  x   0  f  x   0    x  X  thì  L  0 ( L  0) .  v.  Nếu  lim f  x   L  thì  lim f ( x)  L .  x  x0 x  x0 d. Các phép toán về giới hạn  Định lý 1.2.3 (Giới hạn hữu hạn)  Giả sử:  lim f  x   L ,  lim g  x   M  hữu hạn. Khi đó:  x  x0 x  x0 i. lim  f  x   g ( x)   L  M   xx 0 ii. lim  f  x  .g ( x)   L.M   xx 0 iii. lim x  x0 f ( x) L  ( M  0)   g ( x) M  Định lý 1.2.4 (Giới hạn của hàm hợp)  Xét hàm hợp  f u  x  .  Nếu   i.  lim u  x   u0 .  x  x0 ii.  f  u   xác định tại  u0  và lân cận  u0  và  lim f  u   f (u0 )  thì  x  x0   lim f u ( x)   f (u0 )       f lim u  x   .  x  x0 x  x0     12   1.2.2 Ứng dụng của giới hạn Dùng giới hạn ta có thể nhận biết dáng điệu của qui luật trong khoảng vô hạn.   Ví dụ 11 Một công ti dự tính rằng khi dùng x triệu USD để quảng cáo sản phẩm thì lợi  nhuận R (theo triệu USD) được cho bởi hàm:  R  x   500  1000   x4 a. Tìm  lim R( x)  và   lim R( x )   x0 x  b. Công ti đang chi 30 triệu cho quảng cáo. Hỏi công ti có nên tăng số tiền đó lên  đến 40 triệu USD hay không?  Giải Hình 7 Đồ thị thể hiện lợi nhuận công ti a.  Ta có       lim R  x   500  x0 1000  250   04 lim R  x   500  0  500   x  b. Ta thấy  R  x   tăng và  R  x   500 ,  x  0 . Khi  x  30  thì  R  x   tăng chậm.  Vì  R  30   470,59  và  R  40   477, 27  nên  R  40   R  30   6, 69  triệu USD. Hiệu số  này nhỏ hơn 10 triệu USD chi cho quảng cáo nên việc chi thêm tiền cho quảng cáo là  không có lợi.    13   1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC  1.3.1 Liên tục tại một điểm  Định nghĩa 1.3.1  Cho hàm  f ( x )  xác định trong khoảng  (a, b)  và  x0  (a, b) .  f  được gọi là liên tục tại  x0  nếu  lim f  x   f ( x0 ) .  x  x0 f  liên tục trong  (a, b)  nếu f liên tục tại mọi  x0  (a, b) .  Tức là    0, n  0, x :  x  x0  n   f  x   f  x0    .   2 1  x sin  , x  0  Ví dụ 12 Xét tính liên tục của hàm  f ( x )        tại  x  0 .  x  0 , x  0 Ta có  f  0   0 .      Vì  0  x 2 sin 1 2  x  0 nên  lim f  x   0   x0 x Do  lim f  x   f (0)  nên  f  liên tục tại  x  0 .  x0 1.3.2. Liên tục tại một phía  Định nghĩa 1.3.2  Cho hàm  f ( x )  xác định trong khoảng  [a, b]  và  x0  [a, b] .  Hàm  f  liên tục bên phải tại điểm  x0  nếu  lim f  x   f ( x0 ) .  x  x0  Hàm  f  liên tục bên trái tại điểm  x0  nếu  lim f  x   f ( x0 ) .  x  x0  Để hàm  f  liên tục tại  x0  điều kiện cần và đủ:  lim f  x   lim f  x   f ( x0 )   x  x0  x  x0  Ví dụ 13  Xét tính liên tục một phía của hàm   x 2  , x  1        tại  x  1 .  f ( x)  3 x  1 ,  x  1  Giải Ta có  f 1  1 .   lim f  x   lim  3 x  1  4  f (1) .  x 1 x 1 Do đó  f không liên tục trái tại  x  1 .    14   lim f  x   lim x 2  f (1) .  x 1   x 1  Suy ra  f  liên tục phải tại  x  1 .  1.3.3 Hàm liên tục trong một khoảng  Định nghĩa 1.3.3  Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại  mọi điểm thuộc khoảng đó.   Ví dụ 14  Chứng minh hàm  f  x   1  1  x 2   liên tục trên [-1; 1].  Giải Nếu  1  a  1  thì sử dụng các định lý về giới hạn tại một điểm ta được:    lim f  x   lim 1  1  x 2  1  lim x a x a x a   1  x 2  1  1  a 2  f (a ) .  Tức là hàm  f  liên tục tại mọi điểm thuộc   1;1 .  Nếu  a  1  thì  lim f  x   1  f (1) .   x  1  Nếu  a  1  thì  lim f  x   1  f (1)   x 1 Vậy hàm liên tục phải tại -1 và liên tục trái tại 1.  Nên hàm đã cho liên tục tại [-1; 1].  1.3.4. Điểm gián đoạn. Phân loại điểm gián đoạn  Định nghĩa 1.3.4  Cho hàm  f ( x )  xác định trong  (a, b)  và  x0  (a, b) . Nếu  f ( x )   không liên tục tại  x0  thì ta nói  f ( x )  gián đoạn tại  x0 .   Phân loại: Gián đoạn loại 1: Nếu tồn tại  lim f  x  và  lim f  x   hữu hạn.  x  x0  x  x0 Đặc biệt, khi  lim f  x   lim f  x   L  f ( x0 )  thì ta gọi  x0  là điểm gián đoạn bỏ  x  x0  x  x0  được. Nếu thay  L  bởi  f ( x0 )  thì hàm liên tục tại  x0 .  Gián đoạn loại 2: Ít nhất một trong các giới hạn  lim f  x  ,  lim f  x   không tồn  x  x0  x  x0 tại hoặc tồn tại nhưng bằng   .   Ví dụ 15  Chứng minh hàm  y  arctg   1  gián đoạn tại  x  4 .  x4 15   Giải Nếu  x  4  thì  1 1     và  lim   .  x 4 x  4 x4 2 Nếu  x  4  thì  1 1     và  lim  .  x 4 x  4 x4 2 Vậy khi  x  4  hàm này có giới hạn bên trái và giới hạn bên phải hữu hạn, nhưng  giới hạn này khác nhau nên  x  4  là điểm gián đoạn loại 1.    1.3.5 Các phép toán đại số của hàm liên tục  Định lý 1.3.1 Nếu các hàm số f và  g liên tục tại điểm  x0 , thì các hàm số  f  x   g  x  ,   f  x   g  x  , f  x  .g ( x )  cũng liên tục tại  x0  và  f ( x ) / g ( x )  cũng liên tục  tại  x0  nếu  g ( x)  0 .   Định lý 1.3.2 Nếu hàm  f ( x )  liên tục tại  x0 , hàm  g ( y )  xác định trong khoảng chứa  y0  f ( x0 )  và liên tục tại  y0  thì hàm hợp  g o f ( x )  liên tục tại  x0 .   Định lý 1.3.3  Mọi hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.   Định lý 1.3.4 (Weierstrass) Hàm số  f ( x )  liên tục trên  [a, b]  thì đạt giá trị lớn nhất  và giá trị nhỏ nhất trên  [a, b] , nghĩa là:  xm , xM   a, b  , x  [a, b]  có  f  xm   f  x   f ( xM ) .   Định lý 1.3.5 (Bolzano-Cauchy 1)  Nếu  f ( x )  liên tục trên  [a, b]  khi đó  f ( x )  nhận giá trị trung gian giữa  f  a   và  f  b  , nghĩa là:    f  a  , f  b   , c   a, b  , f (c)   .  1.3.6 Ứng dụng của hàm liên tục để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình   Ta có thể dùng tính liên tục của hàm để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương  trình trong khoảng mà không cần thiết giải phương trình.   Định lý 1.3.6 (Bolzano-Cauchy 2)  Nếu  f ( x )  liên tục trên  [a, b]  và  f  a  . f  b   0  thì tồn tại điểm  c   a, b   sao cho  f  c   0 .    16    Ví dụ 16  Hãy chứng minh rằng  2 x  1  tanx  0  có một nghiệm duy nhất nằm thuộc     0;   .   3 Giải f  x   2 x  1  tanx    Ta có:    f  0   1, f    3   3 Và     f  0  . f     3  0   3 Suy ra      x0   0;   : f  x0   0    3 Với  x  x0  ta có:    f  x   f  x   f  x0   2  x  x0   tanx  tanx0  0   Với  x  x0   f  x   f  x   f  x0   2  x  x0   tanx  tanx0  0     Vãy  f  x   0 có một nghiệm thuộc   0;   .   3 1.4  ỨNG DỤNG HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC TRONG KINH TẾ 1.4.1 Các hàm cơ bản a. Hàm chi phí Tổng chi phí  C  của sản xuất và đơn vị  x  của sản phẩm phụ thuộc số lượng các  đơn vị  x . Nên hàm liên quan  C  và  x  được gọi là hàm chi phí và được viết:   C  C ( x)   Tổng chi phí sản xuất đơn vị  x  của sản phẩm bao gồm 2 phần:  Chi phí cố định: Chi phí cố định là tất cả các loại chi phí mà không thay đổi với  mức sản xuất . Ví dụ: Giá thuê của các cơ sở, bảo hiểm, thuế,…  Chi phí biến đổi: Chi phí biến đổi là tổng tất cả các chi phí phụ thuộc mức độ sản  xuất. Ví dụ: Chi phí vật liệu, chi phí lao động, chi phí bao bì,…  C  ( x )   F   V    ( x)     17   b. Hàm yêu cầu Một phương trình có liên quan đến một đơn vị giá và số lượng giá được gọi là  hàm yêu cầu.  Nếu  p  là giá trên một đơn vị của một sản phẩm nhất định và  x  là số lượng đơn vị  yêu cầu thì ta có thể viết hàm yêu cầu:    x  f ( p)  hoặc  p   g  ( x)  giá  p  thể hiện như một hàm của  x .  c. Hàm doanh thu Nếu  x  là số lượng đơn vị của sản phẩm nhất định bán ở mức giá. Giá  p  trên một  đơn vị, số tiền thu được từ việc bán  x  đơn vị của một sản phẩm là tổng doanh thu. Do  đó, nếu  R đại diện cho tổng doanh thu từ  x  đơn vị của sản phẩm ở mức giá. Giá  p   trên một đơn vị thì                                     R  p.x  là tổng doanh thu  Do đó, hàm doanh thu    R( x )  p.x  x. p( x)   d. Hàm lợi nhuận Lợi nhuận được tính bằng cách trừ đi tổng chi phí từ tổng doanh thu bằng bán  x   đơn vị của sản phẩm. Do đó, nếu  P( x )  là hàm lợi nhuận thì  P  ( x)   R  ( x) – C  ( x)   e. Điểm hòa vốn Điểm hòa vốn là gía trị của  x  (số đơn vị của sản phẩm bán ra) mà chúng không  có lợi nhuận hoặc lỗ.  Điểm hòa vốn        Hoặc      P( x)  0   R( x )  C ( x )  0  hoặc  R  ( x)   C  ( x)   f. Hàm cung và hàm cầu +  Hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa số cầu đối với một hàng hóa nào đó ( QD )  và giá của nó ( P ) được gọi là hàm số cầu.  QD  a  bP     18   Trong đó:  QD  là số cầu của người tiêu dùng đối với một loại hàng hóa nào đó,  P   là giá của hàng hóa đó và  a, b  là các hằng số.  +  Hàm cung là hàm số biểu diễn mối tương quan giữa lượng cung và các nhân tố  ảnh hưởng đến lượng cung.  Qs  a  bP   Trong đó:  QD  là hàm cung,  P  là giá,  b  là các hằng số dương,  a  là hằng số.  1.4.2 Bài tập ứng dụng 1.  Cho một sảm phẩm mới, nhà sản xuất dành 100000 USD cho cơ sở hạ tầng và  cho phí biến đổi được ước tính là 150 USD trên một đơn vị của sản phẩm. Giá bán trên  một đơn vị đã được cố định tại 200 USD. Tìm  i. Hàm chi phí.  ii. Hàm doanh thu.  iii. Hàm lợi nhuận.  iv. Điểm hòa vốn.  Giải Cho x là số lượng của đơn vị sản xuất và bán  i. Hàm chi phí:  C ( x )  =  chi phí cố định + chi phí biến đổi                                   100000  150x    ii. Hàm doanh thu:  R( x )  p.x  200 x   iii.  Hàm lợi nhuận:  P( x)  R( x )  C ( x)                                                200 x  – (100000 1 50 x )   50 x  –1 00000    iv.  Điểm hòa vốn:  P( x )  0                                 50 x  100000  0    x   2000    Vậy  x   2000  là điểm hòa vốn.       =>  Khi 2000 đơn vị của sản phẩm được sản xuất hoặc bán, nhà sản xuất sẽ  không có lợi nhuận hoặc lỗ.  2.   Chi phí cố định của một sản phẩm là 18000 USD và chi phí biến đổi trên một  đơn vị là 550 USD. Nếu hàm yêu cầu là  p( x)  4000  150 x  . Tìm điểm hòa vốn.    19   Giải Ta có: Chi phí cố định:    F  18000   Chi phí biến đổi:   V ( x )  550 x   Hàm chi phí:     C ( x)  18000  550 x   Hàm yêu cầu:    p( x)  4000  150 x   Hàm doanh thu:   R( x)  4000 x  150 x 2   P( x )  R( x)  C ( x)   4000 x  150 x 2  18000  550 x  150 x 2  3450 x  18000     Ở điểm hòa vốn     P( x)  0             150 x 2  3450 x  18000  0                       x  15  và  x  8     Vậy  x  15  và  x  8  thì sản phẩm công ty làm ra và bán đi sẽ không có lợi nhuận  và bị lỗ.  3.   Một công ty sản xuất một sản phẩm với 18000 USD như chi phí cố định. Chi  phí biến đổi được ước tính là 30% của tổng doanh thu khi nó được bán ở mức 20 USD  cho mỗi đơn vị. Tìm tổng doanh thu, tổng chi phí và hàm lợi nhuận.  Giải Giá của mỗi đơn vị  p  20  USD  Tổng doanh thu  R  ( x)   p.x  20 x,  trong đó  x  là số lượng của đơn vị bán.  Hàm chi phí:  C  ( x ) 1 8000  30 30 R( x ) 1 8000   20 x   1 8000   6 x         100 100 Hàm lợi nhuận  P  ( x)   R  ( x )   C  ( x)    20 x  (18000  6 x) 1 4 x  –1 8000.   4.   Một công ty sản xuất thấy rằng chi phí hàng ngày của sản xuất mặt hàng  x  của  một sản phẩm được cho bởi  C ( x)  210 x  7000   i. Nếu mỗi mặt hàng được bán với giá 350 USD, tìm số lượng tối thiểu phải được  sản xuất và bán hàng ngày để đảm bảo không bị lỗ.  ii. Nếu giá bán tăng 35 USD cho mỗi đơn vị, đâu sẽ là điểm hòa vốn?    20   Giải i.   Ta có:     R( x )  350 x  và  C ( x)  210 x  7000   P( x)  350 x  210 x  7000  140 x  7000   Cho      P( x)  0   Suy ra    140 x  7000  0  hoặc   x    50   Do đó để đảm bảo không lỗ, công ty phải sản xuất và bán ít nhất 50 mặt hàng  mỗi ngày.  ii. Khi giá bán được tăng 35 USD cho mỗi đơn vị, ta có:  R( x)  (350  35) x  385 x   P( x)  385 x  (210 x  7000)  175 x  7000   Điểm hòa vốn           Suy ra       P( x)  0     175 x  7000  0  hoặc  x  40 .   5.   Một công ty làm ăn có lãi muốn giới thiệu một sản phẩm mới. Với chi phí cố  định của sản phẩm mới là 35000 USD và chi phí biến đổi trên đơn vị là 500 USD.   Hàm doanh thu để bán ra  x  đơn vị được cho bởi  R( x)  5000 x  100 x 2  . Tìm   i. Hàm lợi nhuận  ii. Giá trị hòa vốn  iii. Giá trị nào của  x  để kết quả là lỗ.  Giải i. Ta có hàm chi phí:  C ( x)  35000  500 x   Hàm lợi nhuận  P( x)  R( x )  C ( x)  5000 x  100 x 2  35000  500 x    100 x 2  4500 x  35000   ii. Điểm hòa vốn     P( x )  0     100 x 2  4500 x  35000  0    x  10, x  35   Vậy khi 10 hoặc 35 đơn vị được sản xuất và bán ra thì công ty sẽ không có lợi  nhuận hoặc bị lỗ.  iii. Để công ty sản xuất và bán ra sản phẩm mới ở mức chịu lỗ thì hàm lợi nhuận  phải nhỏ hơn 0    21   P( x )  0     100 x 2  4500 x  35000  0        x  10, x  35   Bảng 2 Cung cầu đối với xe đạp ở một địa phương  P ( đơn vị tiền )  QD ( 1.000 chiếc/ năm )  Qs ( 1.000 chiếc/ năm )  8  16  24  32  40  70  60  50  40  30  10  30  50  70  90  6. Dựa vào bảng số liệu trên hãy xây dựng hàm cầu và hàm cung đối với xe đạp.  Giải 70  a  8b    (1)  60  a  16b Ta có hệ phương trình hàm cầu là:   a  80 . Vậy hàm cầu là  QD  1, 25 P  80 .  b  1, 25 Giải (1) ta được   10  a  8b    (2)  30  a  16b Ta có hệ phương trình hàm cung là:  a  10  . Vậy hàm cung là  Qs  2,5 P  10 .  b  2,5 Giải (2) ta được   1.4.3 Lãi đơn và lãi gộp  Bài toán lãi đơn: Nếu ta cho vay một số tiền là  v0  với lãi suất mỗi kì là  r . Cuối  mỗi kì lãi được rút ra, chỉ để lại vốn cho kì sau (gọi là lãi đơn). Hỏi sau n kì số tiền có  được là bao nhiêu?  Giải Sau kì đầu thì số tiền lãi là   v0 r  nên số tiền có được là:  v0  v0 r     Sau kì thứ 2 thì số tiền lãi là  2v0 r  nên số tiền có được là:   v0  2v0 r     Tổng quát, sau n kì số tiền lãi thu được là  nv0 r   nên số tiền có được là:   v0  nv0 r   .    22    Nhận xét: Số tiền có được sau n kì là  an  v0  nv0 r , trong đó  v0 và r đã biết nên ta  được một dãy số, dãy này có đặc điểm là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng  trước cộng với một số cố định  v0 r . Các dãy như thế gọi là cấp số cộng.  Bài toán lãi gộp:  Nếu ta cho vay một số tiền là  v0  (gọi là vốn) với lãi suất mỗi kì  là  r . Cuối mỗi kì lãi được nhập vào vốn để tạo thành vốn mới và tính lãi cho lì sau       ( gọi là lãi gộp hoặc lãi kép). Hổi sau n kì số tiền có được là bao nhiêu?  Giải Sau một kì thì số tiền lãi là  v0 r nên số tiền có được là:  v1  v0  v0 r  v0 (1  r ) .  Sau hai kì thì số có được là:   2 v2  v1  v1r  v0 1  r   rv0 1  r   v0 1  r    Sau ba kì thì số tiền có được là:  2 2 3 v3  v2  v2 r  v0 1  r   rv0 1  r   v0 1  r    Tổng quát: Sau n kì thì số tiền thu được là:   vn  vn 1  vn1r  v0 1  r  n 1  rv0 1  r  n 1 n  v0 1  r     Nhận xét:  Số tiền sau n  kì là một dãy số với đặc điểm số đứng sau bằng số  đứng liền trước nhân với số cố định  (1  r ) . Những dãy số như vậy được gọi là cấp số  nhân.  7.  Cho  i  18% năm, tính tiền lãi của vốn đầu tư 20 triệu đồng trong các trường hợp  sau:  i. 20 ngày  ii.  3 tháng  iii.  5 năm  Giải i.  Lãi của vốn đầu tư 20 ngày là:  I n  v0 ni  10  20  ii.  Lãi của vốn đầu tư 3 tháng là:  I n  v0 ni  10  3  18%  0,1  triệu.  360 18%  0, 45  triệu.  12 iii.  Lãi của vốn đầu tư 5 năm là:  I n  v0 ni  10  5 18%  9  triệu.    23   8. Một khoảng vốn là 100 triệu được gửi vào ngân hàng theo lãi suất là 5% một  năm.   i. Tính số tiền thu được từ khoảng vốn 8 năm.  ii. Cứ 6 tháng lãi gộp vào vốn một lần. Tính số tiền thu được sau 8 năm.  Giải i.  vn  v0 (1  i )n  100  (1  5%)8  147, 75  triệu.   12   5%    8  16  kì,  i     6  2,5%   6  12  ii.  n   Ta có :  v16  100(1  2,5%)16  148  triệu.  9. Nếu một người cho vay số tiền là 1000 USD với lãi gộp 8% trên năm tính theo  quý thì sau 5 năm số tiền người này có được là bao nhiêu? Giải Ta có  v0  1000, r  2%  và sau 5 năm, tức là sau số kỳ là:  n  (4).(5)  20 .  Vậy, số tiền có  được là  v20  1000(1  0, 02) 20  1485,95  USD.                            24   CHƯƠNG 2   PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 2.1 ĐẠO HÀM 2.1.1 Đạo hàm tại một điểm  Định nghĩa 2.1.1 Giả sử hàm  y  f ( x )  xác định trong khoảng   a, b   và  x0   a, b  .  Cho  x0  số gia  x  sao cho  x0  x   a, b  . Lập tỉ số f ( x0  x)  f ( x0 ) f  .  x x Nếu tồn tại  lim x  0 f  (hữu hạn) thì ta nói hàm  f ( x )  có đạo hàm tại  x0 và giới hạn  x được gọi là đạo hàm của  f ( x )  tại  x0 . Kí hiệu  f ' ( x0 )  hay  y ' ( x0 ) .    Ta có   f ' ( x0 )  lim x  0 f ( x0  x )  f ( x0 )   x    Chú ý : Đặt  x  x0  x  thì  x  x  x0  và  x  0  khi và chỉ khi  x  x0 . Do đó   f ' ( x0 )  lim x  x0 f ( x)  f ( x0 )   x  x0  Ý nghĩa hình học  f ( x0 )  tan  là hệ số gốc của tiếp tuyến của đường cong  y  f ( x ) tại điểm có  hoành độ  x0 và tiếp tuyến có phương trình  y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )   2.1.2 Đạo hàm một phía  Định nghĩa 2.1.2  Các giới hạn hữu hạn f ' ( x0 )  lim x  0 f f ,  f ' ( x0 )  lim   x  0 x x theo thứ tự được gọi là đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải của hàm  f ( x )  tại  x0 .    25    Định lý 2.1.1 Hàm số có đạo hàm tại  x0  khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo  hàm phải tại  x0  và hai đạo hàm đó bằng nhau.   Ví dụ 1 Xét hàm  f ( x)  x  tại  x  0 .  Giải 0  x  0 x 1, x  0 f      x x x 1, x  0   Ta có        Do đó  f (0)  lim x  0    f f  1 ,  f  (0)  lim  1 ,  f (0)  f (0) .  x  0   x x Vậy hàm  f ( x)  x  có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại  x  0  nhưng không có  đạo hàm tại  x  0 .   Ý nghĩa hình học f ( x0 ) ,  f  ( x0 )  tương ứng là hệ số gốc của tiếp tuyến trái, phải của đường cong  y  f ( x )  tại điểm  ( x0 , f ( x0 )) .   Định lý 2.1.2 Nếu hàm  f (x)  có đạo hàm tại  x0  thì  f (x)  liên tục tại  x0 .  f .  x  0  x Chứng minh  Giả sử  f (x)  có đạo hàm tại  x0 , tức là tồn tại  f ( x0 )  lim  Ta có       f  f ( x0 )   ,    0  khi  x  0 .  x Khi đó        lim f  lim ( f ( x0 )x   .x)  0 .  x  0 x  0 Vậy  f (x)  liên tục tại  x0 .   Chú ý Chiều ngược lại của Định lý 2.1.2 không đúng.   Ý nghĩa hình học Nếu hàm  f (x)  có đạo hàm vô tận tại  x0  thì đường cong  y  f ( x )  có tiếp tuyến  thẳng đứng tại  ( x0 , f ( x0 )) .  1 3  Ví dụ 2 Xét hàm  f ( x)  x  tại  x  0 . Ta có:  1 f (0  x) 3  0 1 lim  lim  lim    x  0 x x  0 x  0 ( x ) 2/3 x     Vậy  f (x)  có đạo hàm vô hạn tại  x  0 .  26   2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM  2.2.1 Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản   (C )  0  (C là hằng số)   1  1  x   2 1 x .    ( x )   x 1           Đặt biệt:      2 ,  x  x   (a x )  a x ln a            Đặt biệt  (e x )  e x .    (sin x)  cos x             (cos x)   sin x   1    cos 2 x         (cot x)           (arccos x)           (arc cot x)           (chx)  shx     (tan x )  1   (arcsin x)  1 x   (arctan x )  1   1  x2   ( shx)  chx     (log a x )  2     1   sin 2 x 1 1  x2   1   1  x2 1 1     Đặt biệt:  (ln x )  .  x ln a x 2.2.2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương  Định lý 2.2.1 Nếu  f ( x )  và  g ( x)  có đạo hàm tại x, thì      f ( x)  g ( x)  f ( x )  g ( x )      f ( x).g ( x )  f ( x ).g ( x)  f ( x ) g ( x )    f ( x )  f ( x).g ( x)  f ( x) g ( x)     g 2 ( x)  g ( x)     2.2.3 Đạo hàm của hàm hợp  Định lý 2.2.2 Nếu hàm  y  y (u )  có đạo hàm đối với u và hàm  u  u ( x )  có đạo hàm  đối với x thì hàm hợp  y  y u ( x)  có đạo hàm đối với x và có   y ( x)  y (u ).u( x )     27   v( x) 2.2.4 Đạo hàm của hàm y  u ( x) ,  (u ( x )  0)    Phương pháp u u v Ta có  y  u v  e ln u  ev ln u  nên  y   ev ln u (v ln u  v ) .  u u Do đó  y   u v (v ln u  v ) .   Ví dụ 3 Tính đạo hàm của hàm  y  x sin x .  Giải sin x Ta có       y  eln x  esin x.ln x .   Do đó      s inx   y   esinx.lnx (sin x.ln x)  x sinx  cos x ln x   .  x   2.2.5 Đạo hàm lôgarit  Ví dụ 4  Tính đạo hàm của hàm  x 2 3 7 x  14 (1  x 2 )4 Giải Lấy ln hai vế ta có:  1 ln y  2 ln x  ln(7 x  14)  4 ln(1  x 2 )   3 Đạo hàm hai vế theo x ta được  7 1 2 8x   y   3  y x 7 x  14 1  x 2 7    8 x 7 x  14  2 x 3    y      2 4 2 (1  x )  x 7 x  14 1  x    23 Vậy       Chú ý : Ta thấy  ln y  chỉ xác định khi  y  0 .  2.2.6 Đạo hàm của hàm ẩn  Định nghĩa 2.2.1 Hàm  y  f ( x )  được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình  F ( x, y )  0  nếu  F ( x, f ( x ))  0, x .    28    Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong  x 3  y 3  6 xy  tại điểm (3, 3).  Giải   Đạo hàm hai vế theo x ta được  3 x 2  3 y 2 y   6 y  6 xy   hay  x 2  y 2 y  2 y  2 xy    ( y 2  2 x) y  2 y  x 2  hay  y   2 y  x2   y2  2x   Đối với  y   :      Khi  x  y  3  thì  y   1 . Do đó tiếp tuyến với đường cong tại (3, 3) có phương  trình : y  3  ( x  3)  hay  y  6  x .  2.3 VI PHÂN 2.3.1 Khái niệm vi phân  Định nghĩa 2.3.1  Cho hàm  f ( x )  xác định trong  (a, b)  và  x0  (a, b) . Cho  x0  một số  gia  x  sao cho  x0  x  (a, b) . Nếu có thể biểu diễn   f  A.x  O (x ) , trong đó  A  là  hằng số,  O (x ) là vô cùng bé cấp cao hơn  x  khi  x  0  thì hàm  f ( x )  được gọi là  khả vi tại  x0  và biểu thức  A.x  được gọi là vi phân của  f ( x )  tại  x0 , kí hiệu  df ,  df ( x0 ) . Ta có  df  A.x .   Nhận xét: Từ định nghĩa vi phân ta có  f  df  O(x) . Khi  A  0 thì   lim x  0 f  1 O ( x )   lim  1  .   1   x  0 df A x   Do đó  df là vô cùng bé tương đương với  f nhưng đơn giản hơn  f .   Ví dụ 6 Chứng minh rằng hàm  f ( x)  x 3  khả vi tại  x  1 . Tìm vi phân  df (1) .  Giải Ta có  f (1)  f (1  x )  f (1)  1  3(x )  3(x) 2  (x)3  1                                                        3.x  3(x) 2  (x )3    3.x  o(x ) Theo định nghĩa hàm đã cho khả vi tại 1 và  df (1)  3.x .    29   2.3.2 Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân  Định lý 2.3.1 i. Nếu hàm  f ( x )  khả vi tại  x0  thì nó có đạo hàm tại  x0 và  A  f ( x0 ) .  ii. Ngược lại, nếu  f ( x )  có đạo hàm tại  x0  thì nó khả vi tại  x0 và  df ( x0 )  f ( x0 ).x .   Nhận xét  Khi  f ( x )  x  thì  f ( x )  1  nên  df ( x)  dx  1.x .  Như vậy,  df  f ( x)dx  suy ra  f ( x)  df .  dx 2.3.3 Các qui tắc tính vi phân Giả sử  f  và  g  là các hàm khả vi. Ta có    d ( f  g )  df  dg     d ( fg )  gdf  fdg   f g   d   gdf  fdg    g2  2.3.4 Ý nghĩa hình học Giả sử hàm  y  f ( x )  khả vi tại  x 0 . Gọi    là góc tạo bởi tiếp tuyến  M 0T  với  đường cong tại  M 0 ( x0 , f ( x o ))  và chiều dương trục Ox. Ta có  df ( x0 )  f ( x0 ).x  tan  .M 0 M  MT .  Vậy vi phân của hàm y  f ( x )  ứng với  x 0 và  x  cho trước bằng số gia tung độ  của tiếp tuyến với đường cong  y  f ( x ) .       Hình 8 Đồ thị tiếp tuyến với đường cong   30   2.3.5 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng Ta có  f ( x0  x)  f ( x0 )  A.x  f ( x0 ).x , tức là  f ( x0  x )  f ( x0 )  f ( x0 ).x    Ví dụ 7 Tính gần đúng  n 1, 0001  , n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2.  Giải  Xét hàm  f ( x)  n x , chọn  a  1, x  0, 0001 . Ta có  x  0, f ( x )  1 n n x n1   1 n Nên  f (1)  . Mặt khác  f (1)  1 .  1 n Theo công thức tính gần đứng :  n 1, 0001  1  .0,0001    2.4 CÁC ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 2.4.1 Cực trị địa phương. Định lý Fermat  Định lý 2.4.1 (Fermat) Cho hàm số  y  f ( x )  xác định trên khoảng  (a, b) . Nếu  f ( x )   đạt cực trị tại điểm  x0  (a, b)  và tồn tại  f ( x0 )  thì  f ( x0 )  0 .   Ý nghĩa hình học Nếu hàm  y  f ( x )  khả vi tại cực trị của nó thì tiếp tuyến với đường cong  y  f ( x )  tại điểm đó song song với trục Ox.  2.4.2 Các định lý giá trị trung bình  Định lý 2.4.2 (Rolle) Nếu hàm f ( x )  liên tục trên đoạn  [a, b] , khả vi trong  (a, b)  và  f (a)  f (b)  thì tồn tại  c  (a, b)  sao cho  f (c)  0 .   Ý nghĩa hình học: Nếu các giả thiết của định lý được thỏa mãn, thì tồn tại một điểm  c trong (a, b) sao cho tiếp tuyến tại  (c, f (c))  song song với trục hoành.    Định lí 2.4.3 (Cauchy) Nếu các hàm  f ( x ) và  g ( x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi  trong khoảng (a, b) và  g ( x )  0 ,  x  (a, b)  thì tồn tại  c  (a, b)  sao cho    31   f (b)  f (a ) f (c)    g (b)  g (a ) g (c)  Định lí 2.4.4 (Lagrange) Nếu hàm  f ( x )  liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong  khoảng (a, b) thì tồn tại  c  (a, b)  sao cho  f (b)  f (a)  f (c)   b a  Ứng dụng của định lí Lagrange   Định lí Lagrange có nhiều ứng dụng trong thực tế. Nó thường được dùng để  chứng minh bất đẳng thức   Ví dụ 8. Chứng minh với mọi số thực a, b ta luôn có  | sin a  sin b |  | a  b | .  Giải   Không mất tính tổng quát, ta giả sử a > b. Xét hàm  f (t) = sint  trên đoạn [b, a]    Ta có  f (t) liên tục trên [b, a] và f '(t) = cost.  Theo định lí Lagrange, tồn tại số     c  (b, a) sao cho   f (a )  f (b) sin a  sin b  f '(c)    hay     cos c .  a b a b   Suy ra    sin a  sin b | cos c |  1 .  a b Từ đó ta có   | sin a  sin b |  | a  b | .     Ý nghĩa hình học Nếu các điều kiện của Định lí 2.4.4 được thỏa mãn thì trên đường cong  y  f ( x )   luôn tìm được điểm  M (c, f (c))  sao cho tiếp tuyến tại đó song song với dây cung AB,  trong đó  A(a, f (a)) ,  B(b, f (b) .   Ví dụ 9 Giả sử  f (0)  3  và  f ( x )  5 ,  x . Giá trị  f (2)  nhỏ hơn hoặc bằng bao  nhiêu? Giải   32   Vì hàm  f  có đạo hàm tại mọi số thực nên liên tục trên tập số thực. Như vậy, ta có  thể áp dụng định lí Giá trị trung bình trên [0, 2]. Tồn tại một số c sao cho   f (2)  f (0)  f (c )(2  0)   Suy ra  f (2)  f (0)  2 f (c)   Theo giả thiết  f (c)  5  nên  f (2)  3  2.5  7   Vậy giá trị lớn nhất mà  f (2) có thể nhận là 7.   Công thức số gia giới nội Xét định lí Lagrange, đặt  a  x0 , b  x0  x  thì  b  a  x . Vì  x0  c  x0  x  nên  c  x0  x  với  0    1 . Khi đó theo công thức Lagrange ta được :  f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0  x)   x Do đó ta có công thức số gia giới nội :  f ( x0  x )  f ( x0 )  f ( x0  x)x   Cho     0  (0,1)  ta được công thức gần đúng :  f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0  x)x   1 2  Ví dụ 10 Tính gần đúng arctan 1,1 bằng công thức số gia giới nội với   0  .  Giải Áp dụng công thức tính gần đúng cho hàm f ( x ) = arctan x. Ta có:   arctan( x0  x ) = arctan x0 + x   1  ( x0   0 x )2 Chọn  x0  1, x  0,1 , ta có   arctan(1,1)    arctan 1 +     0,1     0,1.0, 475     0,8329  0,1 2 4 1  (1  2 ) 33   2.4.3 Quy tắc L’Hospital Qui tắc L'Hospital là công cụ mạnh để tìm giới hạn thông qua việc lấy đạo hàm.   Định lí 2.4.5 Giả sử các hàm  f ( x ) và  g ( x) khả vi tại lân cận  x0  trừ  x0 và  g ( x )  0 ,  tồn tại  lim x  x0 f ( x ) f ( x )  hoặc  lim  là cô cực.   x  x0 g ( x ) g ( x ) Nếu   lim f ( x )  0 và  lim g ( x )  0   x  x0 x  x0 Hoặc    lim f ( x)    và  lim g ( x)     x  x0 x  x0 f ( x) f ( x )  lim    g ( x ) x x0 g ( x) Thì            lim x  x0 ln x   x 1  Ví dụ 11 Tìm giới hạn  lim x 1 Giải Ta tính :    1 (ln x ) ln x  1  lim  lim x  1 . Theo quy tắc ta được  lim x 1 x  1 x 1 ( x  1) x 1 1 ex   x  x 2  Ví dụ 12 Tìm giới hạn  lim Giải  Ta có     (e x ) ex  lim   ( )   2 x  ( x ) x  2 x      lim Ta tiếp tục tính   Vậy     (e x )     x  (2 x) lim ex (e x ) (e x ) lim lim     x  x 2 x  ( x 2 ) x  (2 x) lim  Các dạng khử vô định 0 0 Các dạng vô định khác đều có thể chuyển qua dạng   hoặc  đổi biểu thức dưới dấu giới hạn. +  Dạng  0.  biến đổi thành            1  0 34   bằng cách biến     1 1  0 g ( x ) f ( x) +  Dạng     : f ( x)  g ( x)   thành dạng  .  1 0 f ( x) g ( x) +  Dạng  1 ,  0 , 00 : f ( x) g ( x )  e g ( x ) ln f ( x ) thành dạng  0. .  2.5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.5.1 Công thức Taylor  Định lí 2.5.1 Nếu hàm  f ( x ) liên tục trên đoạn  [a, b] , có đạo hàm hữu hạn đến cấp  n  1  trong khoảng  (a, b)  và  x0  (a, b)  thì với mọi  x0  [a, b]  ta có   f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 ) f ( x0 ) f n ( x0 ) f ( n1) (c) ( x  x0 )  ( x  x0 ) 2  ...  ( x  x0 )n  ( x  x0 )n 1   1! 2! n! (n  1)! với c nằm giữa  x0  và  x .  n i.  Đa thức  Pn ( x)   k 0                   Rn ( x )  f k ( x0 ) ( x  x0 )k gọi là đa thức Taylor  k! f ( n1) (c) ( x  x0 )( n 1)  gọi là phần dư bậc n của  f ( x )   (n  1)! Ta có  f ( x)  Pn ( x)  Rn ( x) . Ta có thể xấp xỉ  f ( x )  bởi  Pn ( x)  khi x ở khá gần  x0 bằng  cách ngắt bỏ  Rn ( x)  với sai số   Rn ( x )  M n 1 n 1 x  x0 ,  (n  1)! trong đó  M n 1  f ( n1) ( x ) , x  [a, b] .  ii.  Trong công thức Taylor cho  x0  0  ta được công thức MacLaurin với c nằm  giữa 0 và x.  n f ( x)   k 0 f ( k ) (0) k f ( n1) (c) ( n 1) x  x   k! (n  1)!  Nhận xét.  Trong công thức Taylor cho  n  0 ta được công thức số gia giới nội  f ( x)  f ( x0 )  f (c )( x  x0 ).   2.5.2 Một số khai triển quan trọng Khai triển Maclaurin của một số hàm thường gặp:  i.  Hàm  y  e x , ta có  f k ( x )  e x  nên  f k (0)  1 , k . Ta có      35   ex  1  x x2 xn ec   ...   x n 1   n ! (n  1)! 1! 2! với c nằm giữa 0 và x.  Với  x  1 , ta có   Rn ( x )  ec e 3     (n  1)! (n  1)! (n  1)! ii.  Hàm  y  sin x . Ta có  x3 x5 x7 x 2 k 1 sin(c  k ) 2 k    ...  (1)k 1  x    3! 5! 7! (2k  1)! (2k )! sin x  x  với c nằm giữa 0 và x.  R2 k 1 ( x )  x 2k (2k )!   iii.  Hàm  y  cos x . Ta có       cos  c   k    2   2 k 1 x x x x   cosx  1     ...  (1) k x    2! 4! 6! (2k )! (2k  1)! 2 4 2k 6 với c nằm giữa 0 và x.   iv.  Hàm  y  (1  x)m , m nguyên dương   (1  x )m  1  mx  m(m  1) 2 m(m  1)(m  2)...(m  k  1) k x  ...  x  ...  x m .  2! k! v.  Hàm  y  ln(1  x ) . Ta có:   ln(1  x)  x  x 2 x3 x4 xn (1) n    ...  (1)n 1  x n 1    n 1 2 3 4 n (n  1)(1  c) với c nằm giữa 0 và x.  2.5.3 Ứng dụng a. Tính gần đúng  Ví dụ 13 Tính gần đúng số e khi cho  n  8 và đánh giá sai số.  Giải Khi  n  8 ta có  e  e1  1    1 1 1   ...   2, 71827   1! 2! 8! 36   Sai số    3  0, 00001 .   9! b. Tính giới hạn sin x  x   x0 x3  Ví dụ 14 Tính  lim Giải Vì    sin x  x  x   Nên   lim x0 x3 x3  o( x 3 )  x    o( x 3 )   6 6 x3  o( x 3 ) 1 6    3 x 6 2.6 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.6.1 Tính đơn điệu   Khi xác định tính đơn điệu của hàm số ta thường phải chứng minh các bất đẳng  thức.  Công  việc  này  thường  không  dễ  dàng.  Đạo  hàm  cho  ta  một  phương  pháp  đơn  giản để chứng minh tính đơn điệu.   Định lí 2.6.1 Giả sử hàm  f ( x )  liên tục trên đoạn  [a, b]  và có đạo hàm hữu hạn  trong khoảng  (a, b) .  i.  Nếu  f ( x )  tăng (giảm) trên  [a, b]  thì  f ( x )  0  ( f ( x )  0 ),  x  (a, b)  (điều kiện  cần).  ii.  Nếu  f ( x )  0  ( f ( x )  0 ), x  (a, b)  thì  f ( x )  tăng (giảm) trong  [a, b]  (điều  kiện đủ).   Ví dụ 15 Hàm  y  x3 thỏa  y   3x 2  0 , x  0 . Vậy hàm  y  x3  luôn luôn tăng.  2.6.2 Khảo sát hàm số   Đạo hàm cung cấp cho ta công cụ khảo sát hàm số một cách hiệu quả.   Các bước tiến hành khảo sát hàm số i. Tìm miền xác định, các điểm gián đoạn của hàm. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.  ii. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ  thị.    37   iii. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị   iv. Vẽ đồ thị: Xác định giao điểm của đồ thị với các trục và tiếp tuyến với đồ thị tại  các điểm đặc biệt.    Để chuẩn bị tiến hành khảo sát hàm số ta nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị  sau đây:  a. Cực trị i) Điều kiện cần  Định nghĩa 2.6.1 x0  được gọi là điểm dừng của hàm  f ( x )  nếu  f ( x )  0 .  x0  được gọi là điểm kì dị của hàm  f ( x )  nếu  f ( x )  không tồn tại.  Điểm dừng và điểm kì dị gọi chung là điểm tới hạn.  ii) Điều kiện đủ  Định lí 2.6.2  (Điều kiện đủ thứ nhất) Giả sử hàm  f ( x )  liên tục trong khoảng  (a, b) ,  có đạo hàm ở lân cận  x0 (có thể trừ  x0 ) và  x0  là điểm tới hạn của hàm  f ( x ) .  i.  Nếu  x đi qua  x0 mà  f ( x )  đổi dấu từ  () sang  ()  (từ  ()  sang  () ) thì  f ( x ) đạt cực tiểu (cực đại) tại  x0 .  ii.  Nếu x đi qua  x0 mà  f ( x )  không đổi dấu thì  f ( x ) không đạt cực trị tại  x0 .   Định lí 2.6.3 Giả sử hàm  f ( x ) có đạo hàm liên tục đến cấp n ở lân cận  x0 và  f ( x0 )  f ( x0 )  ...  f ( n1) ( x0 )  0, f n ( x0 )  0 . Khi đó  i.  Nếu n chẵn thì  f ( x ) đạt cực trị tại  x0 :  Nếu  f n ( x0 )  0 thì  x0 là điểm cực tiểu.  Nếu  f n ( x0 )  0  thì  x0 là điểm cực đại.  ii.  Nếu n lẻ thì  f ( x ) không đạt cực trị tại  x0    Ví dụ 16 Xét hàm  f ( x)  x 3 tại 0. Ta có  f (0)  f (0)  0, f (3) (0)  6  nên  x  0  không phải là  điểm cực trị.    38         Xét hàm  f ( x )  sin x, tại  . Ta có  f     0, f     1 . Vậy   là điểm cực  2 2 2 2 đại.    b. Tính lồi lõm. Điểm uốn i) Tính lồi, lõm của đườn cong  Định nghĩa 2.6.2 Đường cong  C : y  f ( x)  gọi là lồi (lõm) tại  x0 nếu trong một lân cận của  x0 mọi  điểm của C đều nằm dưới (trên) tiếp tuyến với C tại  x0 .  Đường cong lồi (lõm) trong khoảng  (a, b)  nếu nó lồi (lõm) tại mọi điểm trong  khoảng này.   Định lí 2.6.4 Cho hàm  f ( x ) xác định trong  (a, b) .  Nếu  f ( x )  0   ( f ( x)  0)  với mọi  x  (a, b)  thì đường cong  C : y  f ( x)  lồi (lõm)  trong  (a, b) .  ii. Điểm uốn  Định nghĩa 2.6.3 Điểm phân cách cung lồi và cung lõm của đường cong được gọi  là điểm uốn của đường cong.   Định lí 2.6.5 Giả sử hàm  f ( x )  liên tục tại  x0 , khả vi đến cấp hai ở lân cận  x0  (có  thể trừ  x0 ). Nếu  f ( x ) đổi dấu khi x đi qua  x0  thì  ( x0 , f ( x0 ))  là điểm uốn của đường  cong  C : y  f ( x) .  2  Ví dụ 17 Xét tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong  y  e  x .  Giải 2 2 2 2 Ta có  y   2 xe x ,  y   4 x 2 e  x  2e  x  2(2 x 2  1)e x  0  khi  x     x       y               1 1                                 2 2 +        0        -          0         +      1 .  2 39       Vậy đường cong lõm trong khoảng   ,   1   1  ,   , lồi trong khoảng  , 2  2   1 1   1 1   1 1  , , , ,   là các điểm uốn.   . Hai điểm    2 2 2 e  2 e   c. Tiệm cận  Định nghĩa 2.6.5 Đường thẳng    gọi là đường tiệm cận của đương cong  y  f ( x )   nếu khoảng cách từ điểm  M  trên đường cong đến    dần đến 0 khi  M  đi ra vô tận  dọc theo đương cong. i) Tiệm cận đứng Nếu  lim f ( x)    thì đường thẳng  x  a  là tiệm cận đứng của đường cong  x a y  f ( x ) .  1 x  Ví dụ 18  Đường  y  x 2   1  có hai tiệm cận đứng  x  0  và  x  1     x 1 ii) Tiệm cận ngang Nếu  lim f ( x )  b  thì đường thẳng  y  b  là tiệm cận ngang của đường cong  x  y  f ( x ) .   Ví dụ 19  Đường  y  arctan x  có tiệm cận ngang phía trái là  y   ngang phía phải là  y   2  2  và tiệm cận  .  iii) Tiệm cận xiên. Đường thẳng   :  y  ax  b  là tiệm cận xiên của đường cong  y  f ( x )  nếu  lim[f ( x)  (ax  b)]  0 . Ta có  a  lim x   Ví dụ 20 Đường cong  y  x  f ( x) ,  b  lim[f ( x)  ax ] .      x  x 1  x2  x  e  có tiệm cận xiên  y  x  vì  x2 2   1 lim[y  x]  lim  2  e  x   0 .  x  x  x     40    Ví dụ 21 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  y  x2  1 .  x3 Giải Hàm xác định  x  0 .  y  3  x2 ,  y   0  khi  x   3  và  y   không tồn tại khi  x  0   x4 y   2( x 2  6) 6 , y  0  khi  x   6  và  y  6  5 ,y 5 x 36 Vì  lim x 0     6   5 366 ,   x2 1 x2  1      nên đồ thị có tiệm cận đứng  x  0  ở hai nhánh.  lim  và  x 0  x3 x3     x2 1  0  nên đồ thị có tiệm cận ngang  y  0  ở hai nhánh.  x  x3 Vì  lim x2 - 1 Hình 9 Đồ thị hàm số y = 3   x   41   2.6.3 Đường cong trong tọa độ cực a. Hệ tọa độ cực  Định nghĩa 2.6.6      Trong mặt phẳng chọn một điểm O làm gốc gọi là cực, trục Ox gọi là trục cực,   lấy M  là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng, gọi  r  OM   là bán kính cực,       Ox ; OM  là góc cực.     Cặp  (r;  )  là toạ độ cực của điểm M. Nếu M trùng với O ta có toạ độ cực là ( 0;  )      Một điểm M có thể có nhiều toạ độ cực, chẳng hạn  (r;  ) và  (r;  k 2 ) , với  k  Z .  Để biểu diễn các điểm trong mặt phẳng ta chỉ cần hạn chế r    0 và 0   0 2.6.8 Đường cong cho bởi phương trình tham số a. Phương trình tham số của đường cong Xét hệ hai hàm :   x   (t )     y   (t )   Ứng với mỗi giá trị của t ta có một cặp  ( x, y ) . Khi t biến thiên thì điểm  M ( (t ), (t ))  vạch nên một đường cong C trong mặt phẳng tọa độ. Ta gọi đó là  phương trình tham số của C.  b. Đạo hàm theo tham số y ( x)   (t )  (t ) c. Khảo sát đường cong có phương trình tham số  Tìm miền xác định, xét tính chẵn, lẽ, tuần hoàn.   Khảo sát sự biến thiên với chú ý   y x  yt .  xt  Tìm các đường tiệm cận:   Nếu  lim x(t )  a, lim y (t )    thì  x  a  là tiệm cận đứng.  t t0 t t0  Nếu  lim x(t )  , lim y (t )  b  thì  y  b  là tiệm cận ngang.  t t0  Nếu  lim t t0 t t0 y (t )  , lim  y (t )  a.x(t )  b  thì  y  ax  b  là tiệm cận xiên.  t  t0 x (t )  Ví dụ 23  Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình tham số    44    x  a cos3 t (a  0)    3  y  a sin t Ta thấy  x, y  xác định  t  [  a, a ] . Ngoài ra  x, y  là các hàm tuần hoàn với chu kì  2  nên ta chỉ cần khảo sát đường cong trên đoạn  [0, 2 ] .  x(t )  3acos 2t sin t  0  khi  t  0, t  y (t )  3a sin 2 tcost  0  khi  t  0, t   2  2 , , , , 3 , 2   2 3 , 2   2 Ta có bảng biến thiên sau:    Ta có   y ( x)  y (t ) 3a sin 2 t cos t    tan t .  x(t ) 3acos2t sin t Ta thấy:  y ( x)  0  tại  t  0,  , 2  và tại các điểm này tiếp tuyến nằm ngang  y ( x)    tại  t   3 2 , 2  và tại các điểm này tiếp tuyến thẳng đứng.  x = acos 3t Hình 11. Đồ thị của phương trình tham số  (a > 0) 3 y = asin t   45   2.6.4 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất  Định nghĩa 2.6.4  Hàm  f ( x ) được gọi là đạt giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) tại  x0 trong khoảng I nếu  f ( x)  f ( x0 )  ( f ( x)  f ( x0 ) ),  x  I .   Định lí 2.6.6 Nếu hàm  f ( x ) liên tục trên đoạn  [a, b] thì  f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất và  giá trị lớn nhất trên đoạn này.  a. Cách tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Bước 1: Tính  y    Bước 2: Giải phương trình  y   0  tìm các nghiệm  xi  [a, b]   Bước 3: Tính  f (a), f (b), f ( xi )   Khi đó:           max f ( x)  max  f (a ), f (b), f ( xi )   x[a ,b ] min f ( x )  min  f (a), f (b), f ( xi )   x[a ,b ]  Ví dụ 24 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm   f ( x )  x1 3 (1  x) 2 3  trên  đoạn  [  1,1] .  Giải Ta có:    f ( x)  1 (1  x) 2 3 2 x1 3 1  3x   23   23 13 3x 3(1  x ) 3 x (1  x)1 3 1 3 4 Cho  f ( x )  0  tại  x  và  f    .   3  3 3 f ( x )  không tồn tại tại  x  0, x  1  và  f (0)  f (1)  0   Tại đầu mút  x  1  ta có  f (1)   3 4 .  Vậy   3 f min   3 4  tại  x  1  và  f m ax   4 1  tại  x  .  3 3  Ví dụ 25 Một người nông dân có 2400  m dây để rào hàng rào  miếng  đất hình chữ  nhật tiếp  giáp  với bờ sông. Ông ta  không rào cạnh dọc bờ sông. Tìm  kích  thước của  hình chữ nhật sao cho hình có diện tích lớn nhất.  Giải   46                River  x   y   Gọi x là độ dài cạnh vuông  góc bờ sông và y là độ dài cạnh song song bờ sông.     Ta có    2x + y = 2400. Suy ra  y = 2400 - 2x.    Miếng đất có diện tích  S(x) = xy = x(2400 - 2x) = 2x2 + 2400x  (0  x  1200).    Ta tìm x để S(x) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0, 1200].  S'(x) = 4(600 - x).  S'(x) = 0 khi x = 600 và S(600) = 720000    Tại hai đầu mút  S(0) = S(1200) = 0.    Do đó S đạt giá trị lớn nhất tại x = 600 và y = 1200.  b. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong khoảng  Định lí 2.6.7 Giả sử hàm  f ( x )  liên tục trong khoảng  (a, b)  và  lim f ( x )  L, lim f ( x)  M   x a x b Khi đó:  i. Nếu  f (u )  L  và  f (u )  M  với u nào đó thuộc  (a, b)  thì  f ( x )  đạt giá trị lớn  nhất trên  (a, b) .  ii. f (u )  L  và  f (u )  M  với u nào đó thuộc  (a, b)  thì  f ( x )  đạt giá trị nhỏ nhất  trên  (a, b) .   Ví dụ 26  Người ta muốn làm một cái can hình trụ có thể tích 1 lít (1000  cm3 ) để  chứa chất lỏng. Tìm kích thước của can sao cho để làm can này ta tốn ít nhiên liệu  nhất.    47   Giải Gọi r là bán kính và h là chiều cao của can. Diện tích toàn phần của can là:  S  2 r 2  2 rh     Can có thể tích 1000  cm3  nên   r 2 h  1000 . Suy ra  h  1000 ( r 2 )   Ta được:   S  2 r 2  2 r 1000 2000  2 r 2  .  2 r r Để tốn ít nhiên liệu nhất, ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm   S (r )  2 r 2  2000     (0  r  )   r Ta thấy S là hàm liên tục trong khoảng  (0, ) ,  lim S (r )    và  lim S (r )     r  0 r  nên  S (r )  có giá trị nhỏ nhât trong khoảng  (0, )  và giá trị nhỏ nhất này phải đạt tới  một điểm tới hạn của  S (r ) . Ta có  S (r )  4 r  2000 4( r 3  500)    r2 r2 Cho  S (r )  0  khi   r 3  500 . Ta có điểm tới hạn  r  3 500  .  Vì  S (r )  chỉ có duy nhất điểm tới hạn trong khoảng  (0, )  nên giá trị nhỏ nhất  phải đạt tại  r  3 500  . Giá trị tương ứng của h là  h 1000 1000   2 3 500   2r   2 r  (500  )2 3 Vậy để tốn ít nhiên liệu nhất thì bán kính của can là  r  3 500   và chiều cao gấp  đôi bán kính.  2.6.9 Tốc độ biến thiên Bài toán tìm tốc độ biến thiên dựa vào ý nghĩa của đạo hàm:   f '(t0) biểu thị tốc độ biến thiên của hàm  f(t) tại thời điểm t0   Các bước giải quyết bài toán  Kí hiệu các đại lượng biến thiên và xem chúng như hàm theo thời gian t.   Xác định các đại lượng đã biết và các đại lượng chưa biết.   Lập phương trình liên quan giữa các đại lượng.   Tính đạo hàm hai vế của phương trình theo t và giải ra đối với đạo hàm của  đại lượng cần biết.    48    Tính giá trị đạo hàm của đại lượng cần biết tại thời điểm đang xét và kết luận  về tốc độ biến thiên.   Ví dụ 27 Diện tích của hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu chiều dài là 10 cm  đang tăng với tốc độ 2cm/s và chiều rộng là 8cm đang giảm với tốc độ 3cm/s?  Giải Gọi  x(t ) ,  y (t )  lần lược là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật tại thời điểm t  (đơn vị cm).  Diện tích của hình chữ nhật tại thời điểm t là  S (t )  x (t ) y (t )   Ta có  S (t )  x(t ) y (t )  x(t ) y(t )   Tại thời điểm  t0 đang xét thì  x(t0 )  10  và  y (t0 )  8  với  x(t0 )  2  và  y (t0 )  3  nên   S (t0 )  x(t0 ) y (t0 )  x(t0 ) y(t0 )  2.8  10.(3)  14   Vậy diện tích của hình chữ nhật đang giảm ở tốc độ 14cm2 / s .  2.6.5 Vận tốc và gia tốc  a. Vận tốc Giả sử một vật chuyển động dọc theo trục Ox , có vị trí theo thời gian là  x  x(t ) .  Vận tốc trung bình của vật:  vtb  x x (t  t )  x(t )    t t Vận tốc tức thời của vật:  v(t )  lim t  0 x  x(t )   t  Nếu  v(t )  0  thì  x(t )  tăng: vật đang chuyển động về bên phải   Nếu  v(t )  0  thì  x(t )  giảm: vật đang chuyển động về bên trái   Nếu  v(t )  0  thì  t  t0  thì tại thời điểm này vật ở trạng thái dừng.   Ví dụ 28 Một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox có phương trình  x  t 2  4t  2   a.  Xác định vận tốc của chất điểm khi  t  3, t  4  và vận tốc trung bình của chất  điểm giữa thời điểm  t  3, t  4 .    49   b.  Xác định khoảng thời gian mà chất điểm chuyển động về bên trái, bên phải.  Giải Vận tốc của chất điểm tại thời điểm  t  là  v(t )  x(t )  2t  4 .  a.  Ta có  v(3)  2, v(4)  4  và vận tốc trung bình của chất điểm giữa thời điểm  t  3, t  4  là  x (4)  x(3) 2  (1)   3 .  43 1 b.  Ta có  v(t )  0  khi  t  2 .  Khi  0  t  2  thì  v(t )  0  nên chất điểm chuyển động về phía bên trái.  Khi  t  2  thì  v(t )  0  nên chất điểm chuyển động về phía bên phải.  b. Gia tốc Tốc độ biến thiên của vận tốc theo thời gian của vật chuyển động thẳng gọi là gia  tốc của vật. kí hiệu  a(t ) .  Ta có  a(t )  v(t )  x(t ) .  Nếu  a(t )  0  thì vận tốc tăng.   Bảng 3 Bảng chuyển động của gia tốc và vận tốc Vận tốc  +  +  -  -  Gia tốc  +  -  +  -  Hướng chuyển động  Về bên phải  Về bên phải  Về bên trái  Về bên trái  Tốc độ  Tăng  Giảm  Giảm  Tăng   Ví dụ 29 Một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox có phương trình  x ( t )  t 3  6t  1   a.  Xác định gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc bằng 0.  b.  Tìm khoảng thời gian mà chất điểm đang tăng tốc về phía bên phải.  Giải a.  Ta có         x(t )  3t 2  6  3(t 2  2)   v(t )  x(t )  0  t   2   a(t )  v(t )  6t     50   Gia tốc của chất điểm tại thời điểm  t   2  là  a( 2)  6 2 .  b.  Để chất điểm dang tăng tốc về phía bên phải thì  v(t )  0, a (t )  0    suy ra  t  2 .  2.7 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ 2.7.1 Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế Cho mô hình hàm số y  f ( x ) ,  x  và  y là các biến kinh tế  x : biến độc lập hay biến đầu vào  y : biến phụ thuộc hay biến đầu ra  Với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản, ta có:  y  khi  x đủ nhỏ, ta có thể viết:  x  0  x f ( x0 )  lim y f ( x0  x)  f ( x0 )   f ' ( x0 )   x x  y  f ( x0  x)  f ( x0 )  f ' ( x0 ).x Khi   x  1  y  f ' ( x0 )   Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số  y  khi biến số  x  tăng  thêm một đơn vị  Với quan hệ hàm  y  f ( x )  để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế  y , khi biến kinh  tế  x  thay đổi, ta gọi  f ' ( x0 )  là giá trị biên tế  y  tại x0 (còn gọi là biên tế)  Với hàm doanh thu:  R  p.Q  thì  dR  được gọi là doanh thu biên tế  dQ Với hàm chi phí:  C  f ( x), x : sản lượng thì  dC df   : chi phí biên tế  dx dx Với hàm sản xuất:  Q  f ( L), L : lao động thì  dQ df   sản lượng biên tế  dL dL  Ví dụ 30  Giả sử hàm sản xuất của một doang nghiệp là:   Q  f ( L)  5 L         L : số công nhân  Ở mức  L  1 00  đơn vị lao động là 100 công nhân thì Q = 5 100  =  50 đơn vị sản  phẩm.    51   Sản phẩm biên tế của lao động tại L = 100 là:  5 5 dQ   0, 25  khi  L  1 00      f ( L)  dL 2 L 2 100 Điều này có nghĩa là: Khi tăng mức sử dụng lao đông từ  100  101 thì sản lượng  sẽ tăng thêm 0.25 đơn vị sản phẩm.   Nhận xét:  MQ là một hàm số giảm dần, đến một số lượng công nhân nhất định nào  đó, việc tuyển thêm công nhân không còn hiệu quả, chỉ tăng thêm chi phí.    Ví dụ 31  Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp may mặc:   Q  f ( L)  5  7 L                       L: số công nhân   Ở mức  L  2500 đơn vị lao động  là 2500 công nhân thì  Q  355 đơn vị sản phẩm.  Sản phẩm biên tế của lao động tại  L  2500 là:  dQ 7 7  f ( L)    0, 07   khi  L  2500   dL 2 L 2 2500 Điều này có nghĩa là: Khi tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 thì sản  lượng tăng 0.07 đơn vị sản phẩm.  2.7.2 Hàm trung bình và hàm chi phí biên Nếu hai đại lượng  x  và  y  liên quan với nhau như  y  f ( x ) , thì hàm trung bình sẽ  được định nghĩa như  Hàm chi phí biên là   f ( x)  và hàm chi phí biên là tốc độ tức thời của sự thay y theo  x .  x dy d   hoặc  ( f ( x)) dx dx Chi phí trung bình: Cho  C  C ( x )  là tổng chi phí sản xuất và bán  x  đơn vị của  một sản phẩm, chi phí trung bình  ( AC )  được định nghĩa là  AC  C   x Do đó, chi phí trung bình đại diện cho mỗi đơn vị chi phí.  Chi phí biên: Cho  C  C ( x )  là tổng chi phí sản xuất x đơn vị của một sản phẩm,  chi phí biên (MC) được định nghĩa là tốc độ thay đổi của  C ( x )  đối với  x .  MC  dC d    hoặc  MC  (C ( x))   dx dx Chi phí biên được hiểu là khoảng chi phí khi tăng sản lượng lên một đơn vị.    52    Ví dụ 32  Hàm chi phí của một công ty được cho bởi :  C  2 x 2  x  5 .   Tìm:   i. Hàm trung bình  ii. Hàm chi phí biên, khi  x  4   Giải i.  Hàm trung bình  AC  Khi   x  4 ,     C 2x2  x  5 5  = 2x 1    x x x 5 4   AC  2.(4)  1   7, 75   ii. Hàm chi phí biên  MC  Khi   x  4 ,       d (C )  4 x  1   dx MC   17    Ví dụ 33  Hàm chi phí một sản phẩm được cho là:  C  0.0001Q 3  0.02Q 2  5Q  100   Tìm  MC  và  MC  là bao nhiêu khi  Q  50  đơn vị sản lượng ?  dC d =  (0.0001Q 3  0.02Q 2  5Q  100)  0.0003Q 2  0.04Q  5   dQ dQ Khi  Q  50 , thì  MC  3.75   Điều này có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51)  thì chi phí tăng thêm 3.75 đơn vị tiền tệ.  Q  MC  30  4.07  40  3.88  50  3.75  60  3.68  70  3.67  80  3.72  90  3.83  Q  100  120  150  180  200  300  500  MC  4  4.52  5.75  7.52  9  20  60     Nhận xét: Chi phí biên là một hàm tăng Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn.    53    Ví dụ 34 Cho hàm chi phí  C  C (Q ) .Giá trị biên của chi phí  MC (Q )  là đại lượng  đo sự thay đổi của chi phí  C  khi  Q  tăng lên một đơn vị. Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một chiếc máy tính là:  C  0.0003Q 2  0.001Q  3  200   Q Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với mức sản xuất  Q . Giá trị cận biên của chi  phí là bao nhiêu nếu mức sản xuất  Q  70 .  Giải Hàm tổng chi phí  sản xuất  Q  đơn vị sản phẩm là:  C  Q.C  0.0003Q3  0.001Q 2  3Q  200   Giá trị cận biên của chi phí là:  MC (Q)  dC  0.0009Q 2  0.002Q  3   dQ Khi  Q  70  thì  MC (70)  7.72 .Như vậy, nếu tăng  Q  lên một đơn vị từ 70 lên 71  thì chi phí tăng lên khoảng 7.72 đơn vị..   2.7.3 Doanh thu trung bình và doanh thu biên. Doanh thu trung bình: Nếu R là doanh thu thu được bằng việc bán  x  đơn vị của  sản phẩm tại p giá trên một đơn vị, doanh thu trung bình hạn có nghĩa là doanh thu  trên mỗi đơn vị, và được viết như AR  AR  R  p.x R   x d  dR dC    0  dQ dQ dQ AR  p.x  p  x Do đó, doanh thu trung bình giống như một đơn vị giá.  Doanh thu biên: Doanh thu biên (MR) được định nghĩa như tốc độ của sự thay  đổi tổng doanh thu đối với số lượng yêu cầu.  MR    d dR ( R)    hoặc       dx dx 54   Doanh thu biên là doanh thu tăng thêm khi làm ra và bán thêm một sản phẩm.   Ví dụ 35 Một sản phẩm có hàm cầu là Q  1000  14 P ,  Q là sản lương,  P  là giá bán.  Tìm doanh thu biên khi  P  10.50 . Giải   Ta có hàm doanh thu:   R(Q)  P 1000  14P     1000P  –  14P 2     MR   1000  –  28P   Với  P  10 , ta có  MR  720 nghĩa là khi tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng một  đơn vị tiền tệ) thì doanh thu sẽ tăng 720 đơn vị tiền tệ.  Với  P  50 , ta có  MR  400 nghĩa là khi tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 thì  doanh thu sẽ giảm một mức 400 đơn vị tiền tệ.   Ví dụ 36 Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: Q  1000  14 P ,  Q  là sản lượng,  P  là giá bán.  Tìm  MR khi  P  40 và  P  30   Giải   Hàm doanh thu là:  R(Q)  P(1000  14 P)  1000 P  14 P 2   MR  1000  28P   Khi       P  40, MR  1000  28(40)  120   Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì  doanh thu sẽ giảm 120 đơn vị tiền tệ.  Khi        P  30, MR  1000  28(30)  160   Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì  doanh thu sẽ tăng 160 đơn vị tiền tệ.   P 30  32  34  35  35.5  36  38  40  MR   120  104  48  20  6  -8  -64  -120   Nhận xét: MR  là một hàm số giảm, có một mức giá  MR  0 .   55   2.7.4 Giảm thiểu chi phí trung bình hoặc tổng chi phí và tối đa hoá tổng doanh thu, tổng lợi nhuận Chúng ta biết rằng nếu  C  C ( x )  là hàm tổng chi phí của  x  đối với một sản phẩm,  thì chi phí trung bình  AC  được cho bởi:  AC  C ( x) .  x Trong kinh tế và thương mại, nó là rất quan trọng để tìm ra mức sản lượng mà chi  phí trung bình là tối thiểu. Ta có thể tính bằng công thức  thỏa  d ( AC )  0  và giá trị của x dx d 2 ( AC )  0  dx 2 Khi chúng ta tìm mức sản lượng mà tổng doanh thu đạt mức tối đa. Ta tính bằng  công thức  d2 d [R( x)]  0  và tìm giá trị của x thỏa  2 [R( x )][...]...  có miền xác định là   , miền giá trị   0,     1.1.6 Hàm sơ cấp  Định nghĩa 1.1.4 Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép  lấy tổng, hiệu, tích,  thương, hàm hợp đối với các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng.   Chẳng hạn  f  x   e  cosx lnx  2 x3arcsinx 2  là hàm sơ cấp.  1.1.7 Ứng dụng của hàm số Phần này giới thiệu ứng dụng của hàm số thông qua các ví dụ.    Ví dụ 6 (Giá tiền đi xe taxi) Giá đi xe taxi trong thành phố được tính như sau: trong ... x)   C  ( x)   f Hàm cung và hàm cầu +  Hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa số cầu đối với một hàng hóa nào đó ( QD )  và giá của nó ( P ) được gọi là hàm số cầu.  QD  a  bP     18   Trong đó:  QD  là số cầu của người tiêu dùng đối với một loại hàng hóa nào đó,  P   là giá của hàng hóa đó và a, b  là các hằng số.  +  Hàm cung là hàm số biểu diễn mối tương quan giữa lượng cung và các nhân tố  ảnh hưởng đến lượng cung. ... x0 và tiếp tuyến có phương trình  y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )   2.1.2 Đạo hàm một phía  Định nghĩa 2.1.2 Các giới hạn hữu hạn f ' ( x0 )  lim x  0 f f ,  f ' ( x0 )  lim   x  0 x x theo thứ tự được gọi là đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải của hàm f ( x )  tại  x0     25    Định lý 2.1.1 Hàm số có đạo hàm tại  x0  khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo  hàm phải tại  x0 và hai đạo hàm đó bằng nhau. ... nằm trên trục  Ox và tiệm cận với trục  Ox     6   Hình 4 Đồ thị hàm mũ y  a x (0  a  1) c Hàm logarit: y  log a x (0  a  1) Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ.  Hàm xác định với mọi  x  0   Hàm tăng khi  a  1 và giảm khi  0  a  1   Đồ thị đối xứng với đồ thị của hàm y  a x   qua đường phân giác thứ nhất, luôn đi  qua điểm  (1, 0) , nằm bên phải trục  Oy và tiệm cận với  Oy   Hình 5 Đồ thị hàm logarit... (0  a  1) d Các hàm lượng giác Các hàm y  sin x, y  cos x, y  tan x, t  cot x  Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn.       Hàm y  sin x, y  cos x  là hai hàm có tập xác định là   và tập giá trị là [-1, 1].    Hàm y  tanx  có tập xác định là   x   | x     k  và tập giá trị là     ;                          2  Hàm y  cotx  có tập xác định là   x   | x  k  và tập giá trị là ... Trong bảng trên, năm là biến độc lập, dân số là biến phụ thuộc và bảng biểu diễn  dân số như là hàm của năm.  iii Phương pháp đồ thị   Hàm được  cho  bởi  đồ  thị.  Phương  pháp  này  cho  ta  thấy  được  dáng  điệu  của  hàm.    Ví dụ 3    Điện tâm đồ trong y học.    Hình 2 Đồ thị điện tâm đồ trong y học   4   1.1.2 Tổng, hiệu, tích và thương các hàm Với  x  D f  Dg , các hàm  f  + g,  f - g,  fg và i f  cho bởi ...   Coi  x  Y  là biến độc lập thì với mọi  x  Y  tồn tại duy nhất  y  f 1 ( x )  X  để  f  y   x  Ta có hàm y  f 1  x  , x  Y , gọi là hàm ngược của hàm y  f ( x )     5    Chú ý : Chỉ có hàm 1  1  mới có hàm ngược.   Định nghĩa 1.1.3 ( Hàm 1  1 )  Một hàm được gọi là tương ứng 1  1  giữa tập xác định và tập giá trị (gọi tắt là  hàm 1  1 ) nếu nó không lấy một giá trị nào đó của nó hai lần; tức là: ... Trong đó:  QD  là hàm cung,  P  là giá,  b  là các hằng số dương,  a  là hằng số.  1.4.2 Bài tập ứng dụng 1.  Cho một sảm phẩm mới, nhà sản xuất dành 100000 USD cho cơ sở hạ tầng và cho phí biến đổi được ước tính là 150 USD trên một đơn vị của sản phẩm. Giá bán trên  một đơn vị đã được cố định tại 200 USD. Tìm  i Hàm chi phí.  ii Hàm doanh thu.  iii Hàm lợi nhuận.  iv Điểm hòa vốn.  Giải Cho x là số lượng của đơn vị sản xuất và bán ...   khi  x1  x2    Ví dụ 5 i Hàm y  x3  có hàm ngược  x  3 y , cả hai cùng xác định trên    ii Hàm y  a x  (0  a  1)  xác định trên   và có miền giá trị. Hàm này có hàm ngược  x  log a y  xác định trong khoảng  D  (0, ) và có miền giá trị  f  D      iii Hàm y  x 2  không có hàm ngược trên   vì không là hàm 1  1   1.1.5 Các hàm sơ cấp cơ bản a Hàm lũy thừa: y  x α (α  ) Nếu ... vô tỉ ta quy ước xét:  x  0  nếu    0 và x  0  nếu    0   Miền xác định của hàm phụ thuộc vào     Đồ thị của tất cả các hàm y  x (  )  đều đi qua điểm (1, 1), chúng đi qua gốc  O   nếu    0 và không đi qua  O  nếu    0   Hình 3 Đồ thị hàm lũy thừa y  x α (α  ) b Hàm mũ: y  a x (0  a  1) Hàm xác định với mọi  x và luôn nhận giá trị dương.  Hàm tăng khi  a  1 và giảm khi  0  a  1   Đồ thị luôn đi qua hai điểm